$\mathit{\text{ MATERIAL EN REVISIÓN}}$

Introducción

En otros cursos, donde el conjunto de los números reales es el protagonista, se suele hablar de una propiedad: El conjunto $\mathbb{R}$ es completo. Esto puede concluirse a partir de 3 situaciones que son válidas en $\mathbb{R}:$

1. El axioma del supremo o de completitud.
2. La intersección de intervalos cerrados encajados cuya longitud tiende a cero es no vacía.
3. Las sucesiones de Cauchy son convergentes en $\mathbb{R}$.

En las siguientes entradas veremos cómo las propiedades $2$ y $3$ son generalizadas a los espacios métricos. La primera no es posible, por ejemplo, en conjuntos métricos que no están ordenados. Pero tampoco basta que un conjunto tenga un orden en sus elementos para que todos sus subconjuntos acotados tengan un supremo en el conjunto. Este es el caso de algunos conjuntos acotados en el subespacio $\mathbb{Q}$ que tendrán supremo en $\mathbb{R}$ pero no en $\mathbb{Q}.$ ¿Puedes dar un ejemplo?

Recordemos que en la entrada de Convergencia vista anteriormente, hablamos de sucesiones $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ que se aproximan a un punto $x$ en un espacio métrico $(X,d)$. Según la definición, $x_n\to x$ significa que dado $\epsilon >0$ existe $N\in \mathbb{N}$ que cumple para cada $n\ge N,d(x_n,x)<\epsilon .$ Esta definición compara la distancia entre cada punto de la sucesión con un punto fijo $x$. Sin embargo, ¿qué podemos decir de la distancia entre cualesquiera dos puntos de la sucesión?

Sea $\epsilon >0$. En una sucesión convergente $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ ocurrirá que para algún $N\in \mathbb{N}$ si $n\ge N$ entonces $d(x_n,x)<\frac{\epsilon }{2}.$

Podemos ver que mientras más se aproximan los puntos de la sucesión al punto de convergencia $x$, los puntos de la sucesión se acercan cada vez más entre ellos también.

Más aún, la desigualdad del triángulo garantiza que si $n,m\ge N$ entonces:
$$d(x_n,x_m)\le d(x_n,x)+d(x,x_m)<\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}<\epsilon .$$ como lo expresa la siguiente imagen:

Esto indica que es posible identificar un término de la sucesión, a partir del cual las distancias entre cualesquiera dos de ellos será arbitrariamente pequeña. Aunque ya vimos que esto pasa en sucesiones convergentes también puede ocurrir en algunas que no lo son. Cuando las sucesiones tienen esta característica son denominadas como sigue:

Definición sucesión de Cauchy: Sea $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ una sucesión de un espacio métrico $(X,d).$ Decimos que es una sucesión de Cauchy si satisface la condición de Cauchy que es que:
$\mathrm{\forall }\epsilon >0,$ existe $N\in \mathbb{N}$ tal que $\mathrm{\forall }n,m\ge N$ ocurre que $d(x_n,x_m)<\epsilon .$

Proposición: Si una sucesión es de Cauchy entonces es acotada.

Demostración:
Sea $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ una sucesión de Cauchy. Entonces para $\epsilon =1$ existe $N\in \mathbb{N}$ tal que $\mathrm{\forall }n,m>N$ se cumple que $d(x_n,x_m)<1$ Entonces, $\mathrm{\forall }m\ge N,d(x_N,x_m)<1.$ Si definimos las distancias faltantes en los términos de la sucesión, es decir, las distancias $d_i=d(x_N,x_i)$ con $i=1,\dots ,N-1$ y hacemos $M=máx\{d_i,1\},i=1,\dots ,N-1$ se concluye que existe una bola abierta que contiene todos los términos de la sucesión, la bola $B(x_N,M)$.

A pesar de que una sucesión convergente es de Cauchy, no toda sucesión de Cauchy es convergente.

Ejemplo: La sucesión $(\frac{1}{n}{)}_{n\in \mathbb{N}}$ en el subespacio euclideano $(0,1]$ es de Cauchy, pero no es convergente en $(0,1].$ La demostración se deja como ejercicio.

No obstante tenemos el siguiente resultado:

Proposición: Sea $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ una sucesión de Cauchy en el espacio euclidiano ${\mathbb{R}}^n$, entonces la sucesión también es convergente.

Demostración:
Si el conjunto de términos de la sucesión dado por $\{x_n\}:=\{x_n:n\in \mathbb{N}\}$ es finito entonces es convergente. (Ejercicio de la tarea moral de la entrada de Convergencia). Pero si es infinito entonces, al ser también acotado (por la proposición anterior) se sigue que el conjunto de los términos de la sucesión tiene un punto de acumulación $x\in {\mathbb{R}}^n$. Esto es resultado del teorema de Bolzano-Weierstrass, que se ve en los cursos de cálculo y dice que todo conjunto infinito acotado en ${\mathbb{R}}^n$ tiene un punto de acumulación. (La demostración puede consultarse en el libro «Análisis Matemático, Introducción Moderna al Cálculo Superior» de Tom. M. Apóstol).

Sea $\epsilon >0$. Como $(x_n)$ es de Cauchy entonces existe $N\in \mathbb{N}$ tal que $\mathrm{\forall }n,m\ge N$ ocurre que $d(x_n,x_m)<\frac{\epsilon }{2}$.

Finalizamos esta sección con la siguiente:

Proposición: Sea $(X,d)$ un espacio métrico y $(x_n{)}_{n\mathbb{N}}$ una sucesión de Cauchy en $X$. Entonces $(x_n)$ es convergente si y solo si tiene una subsucesión convergente.

Demostración: Queda como ejercicio.

Más adelante…

Ya que conocemos el concepto de las sucesiones de Cauchy procederemos a explorar espacios donde este tipo de sucesiones sí es convergente. Esto motiva la definición de espacio métrico completo que conoceremos en la siguiente entrada.

Tarea moral

1. Demuestra que la sucesión $(\frac{1}{n}{)}_{n\in \mathbb{N}}$ en el subespacio euclideano $(0,1]$ es de Cauchy, pero no es convergente en $(0,1].$
2. En la demostración de la proposición anterior, prueba que que existe un término de la sucesión $(x_n)$ de ${\mathbb{R}}^n$, digamos $x_k$ tal que $x_k\in B(x,\frac{\epsilon }{2})$ con $k\ge N.$
3. Demuestra que si $(x_n{)}_{n\mathbb{N}}$ es una sucesión de Cauchy en un espacio $X$, entonces $(x_n)$ es convergente si y solo si tiene una subsucesión convergente.
4. Sea $X=[1,\mathrm{\infty })$ y sea $d(x,y)=|\frac{1}{x}-\frac{1}{y}|$. Demuestra que $d$ es una métrica en $X.$
5. Para cada $n\in \mathbb{N}$ definimos $x_n=n+1$. Prueba que la sucesión $(x_n)$ es de Cauchy en el espacio métrico del ejercicio anterior.

Enlaces

• Análisis Matemático.
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$\mathit{\text{ MATERIAL EN REVISIÓN}}$

El contenido de esta sección corresponde al artículo

Solís, DA, et.al, Abstraction and Application de la Universidad Autónoma de Yucatán, De la Geometría Riemanniana a los Espacios de Alexandrov I. Estructuras por Caminos y Métricas Inducidas: UADY, Mérida, 2015, págs 18-41.

Introducción

En las ideas más abstractas de espacios métricos, se relacionan dos puntos con un número mayor o igual que cero en los reales. Si bien, este número representa la distancia entre dos puntos, puede que en principio no esté muy claro cómo se originó esa distancia, o bien, qué camino se recorrió para llegar de un punto al otro y entonces sí, justificar de alguna forma, qué tan cerca o lejos están los puntos entre sí.
No obstante, hemos visto ejemplos de espacios métricos en los que sí fue un desplazamiento lo que inspiró la métrica definida, (como en la métrica del taxista, la del ascensor o la de las piezas de ajedrez). En esta sección observaremos que es posible definir una métrica en un conjunto a partir de la existencia de caminos que «conecten» a sus puntos. Comenzamos presentando una definición más general que la de los abiertos generados por una métrica:

Definición. Topología. Sea $X$ un conjunto, diremos que $\tau$ es una topología de $X$ si es una familia de subconjuntos de $X$ (que llamaremos abiertos) que satisface lo siguiente:
1) Los conjuntos $X$ y $\mathrm{\varnothing }$ son abiertos.
2) La unión arbitraria de conjuntos abiertos $\underset{\alpha \in \mathbb{A}}{\cup }{U}_{\alpha }$ es un conjunto abierto.
3) La intersección finita de conjuntos abiertos $\underset{1\le i\le n}{\cap }{U}_i$ es un conjunto abierto.
Al conjunto $(X,\tau )$ lo llamaremos espacio topológico.
Ya que los abiertos de un espacio métrico satisfacen las condiciones anteriores, se puede concluir que un espacio métrico es también un espacio topológico.

Definición. Camino. Un camino en un espacio topológico $(X,\tau )$ es una función continua $\gamma :I\to X$ donde $I=[a,b]\subset \mathbb{R}$.

Definición. Estructura por caminos. Sea $(X,\tau )$ un espacio topológico. Una estructura por caminos $(\mathcal{C},L)$ en $X$ es una clase $\mathcal{C}$ de caminos en $X$, que llamaremos admisibles. Se les asocia una función $L:\mathcal{C}\to [0,\mathrm{\infty }]$ que llamaremos longitud de caminos.

La clase $\mathcal{C}$ satisface las siguientes condiciones:

Mientras que la función $L$ cumple que:

Ahora definamos una distancia en el conjunto $X$ a partir de una estructura por caminos $(\mathcal{C},L)$. Para cualesquiera dos puntos $x,y\in X$ consideremos la longitud de todos los caminos que conectan a $x$ con $y$. El ínfimo de esas longitudes será la distancia entre ambos puntos, es decir:
$$d_L(x,y):=inf\{L(\gamma ):\gamma :[a,b]\to X,\gamma \in \mathcal{C},\gamma (a)=x,\gamma (b)=y\}$$
Si no existe un camino que conecte a $x$ con $y$ se define $d_L(x,y)=\mathrm{\infty }$

Entonces $(X,d_L)$ es un espacio métrico, siendo $d_L$ la métrica inducida por la estructura por caminos $(\mathcal{C},L)$.

Definición. Espacio métrico de caminos. Un espacio métrico cuya métrica puede ser obtenida como la función distancia de una estructura por caminos es llamado espacio métrico de caminos. La distancia asociada recibe el nombre de métrica intrínseca.

Ejemplos

En el conjunto ${\mathbb{R}}^2$ considera los caminos que unen a cualesquiera dos puntos $x,y\in {\mathbb{R}}^2$ a través de la concatenación de segmentos que son paralelos a los ejes coordenados. Como ejemplo presentamos la siguiente imagen:

Eso significa que la distancia $d_L(x,y)$ corresponderá al ínfimo de las longitudes de estos caminos. En este caso, el valor del ínfimo coincide con la longitud de los caminos que son de este estilo:

En la entrada Otros ejemplos de espacios métricos vimos que esta métrica es conocida como métrica del taxista.

No todos los espacios métricos de caminos tendrán siempre un camino cuya longitud coincida con la distancia de los puntos que une. Por ejemplo, considera el espacio ${\mathbb{R}}^2\setminus \{(0,0)\}$ Si los caminos que conectan a los puntos $(-1,0)$ y $(1,0)$ están dados por la unión de los segmentos $\overline{(-1,0),(0,b)}$ y $\overline{(0,b),(1,0)}$ como muestra la siguiente imagen:

Es posible probar que el ínfimo de estas longitudes es $2$, sin embargo, no existe un camino que tenga a $2$ como longitud. La justificación de esta conclusión se deja como ejercicio al final de esta sección.

Definición. Estructura por caminos completa. Cuando para cualesquiera puntos $x,y\in X$ sí existe un camino admisible cuya longitud coincide con $d_L(x,y)$ diremos que tenemos una estructura por caminos completa. La métrica que induce recibe el nombre de métrica estrictamente intrínseca.

Un subespacio que es posible deducir de un espacio métrico de caminos es uno restringido a los caminos en un conjunto. Lo expresamos en la siguiente:

Definición. Estructura restringida. Sea $(\mathcal{C},L)$ una estructura por caminos de $X,$ entonces induce una estructura por caminos $(\mathcal{C}{|}_A,L{|}_A)$ en un conjunto $A\subset X$ donde $\mathcal{C}{|}_A$ consiste de todos los caminos de $\mathcal{C}$ cuya imagen está totalmente contenida en $A$ y la función $L{|}_A$ es la restricción de de $L$ en $\mathcal{C}{|}_A$.

Es posible que en la estructura restringida las distancias entre dos puntos no se preserven.

Ejemplo
La distancia usual ${\mathbb{R}}^3$ puede verse como un espacio métrico de caminos donde la distancia entre dos puntos $p$ y $q$ está dada por la longitud del segmento que los une.

Más adelante…

Conoceremos sucesiones cuyos elementos se van aproximando de manera arbitraria pero que no necesariamente convergen. Veremos bajo qué condiciones sí se puede asegurar la convergencia. Esto incentivará un nuevo concepto, el de los espacios métricos completos.

Tarea moral

1. En el espacio ${\mathbb{R}}^2\setminus \{(0,0)\}$ del ejemplo anterior, donde los caminos que conectan a los puntos $(-1,0)$ y $(1,0)$ están dados por la unión de los segmentos $\overline{(-1,0),(0,b)}$ y $\overline{(0,b),(1,0)}$. Prueba que el ínfimo de las longitudes de estos caminos es $2$ y que no existe un camino que cuya longitud sea $2.$
2. Demuestra que las piezas de ajedrez vista en la entrada Otros ejemplos de espacios métricos inducen una métrica de caminos.
3. ¿Es la métrica del ascensor, vista en Otros ejemplos de espacios métricos, una métrica de caminos?

Enlaces

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$\mathit{\text{ MATERIAL EN REVISIÓN}}$

Introducción

Las funciones continuas resultan muy útiles al relacionar espacios métricos. Propiedades identificadas en el dominio pueden conservarse también en el contradominio y viceversa.

En esta sección presentaremos definiciones más específicas para funciones continuas que reúnen ciertas características. Si una función es aplicada a dos puntos, ¿qué ocurre con la distancia en los puntos del espacio en el que caen? Ya sabemos que podemos hacer la distancia muy cercana si se toma como referencia un punto donde la función es continua pero, ¿habrá casos donde existan funciones que restrinjan la distancia de un modo más general, para todos los puntos? Comencemos con la siguiente:

Definición. Homeomorfismo. Sea $\varphi :X\to Y$ una función continua. Si además $\varphi$ es biyectiva y su inversa ${\varphi }^{-1}:Y\to X$ es continua, diremos que $\varphi$ es un homeomorfismo. Dos espacios métricos $X$ y $Y$ son homeomorfos si existe un homeomorfismo entre ellos.

Dos espacios homeomorfos tienen, en principio, la misma cardinalidad. Como existe una función continua y de inversa continua, puntos que están cerca en un espacio métrico se conservarán cerca en el otro. Podemos pensar que los espacios homeomorfos tienen la misma forma, en el sentido de que es posible modificar continuamente uno para convertirlo en el otro.

Ejemplos:

Una circunferencia y el perímetro de un rectángulo son homeomorfos. Nota que cada radial -rayo que parte del centro del círculo- conecta un único punto de la circunferencia con un único punto de la frontera del rectángulo, definiendo así una proyección, que es una función continua y es también un homeomorfismo entre estos espacios.

Una taza de café y una dona son homeomorfos en ${\mathbb{R}}^3.$ La siguiente imagen nos muestra la transformación de un espacio al otro a través de la aplicación de homeomorfismos.

Proposición. Sean $(X,d_X),(Y,d_Y),(Z,d_Z)$ espacios métricos con $\varphi :X\to Y$ y $\psi :Y\to Z$ funciones entre ellos. Las siguientes son propiedades de la composición de funciones:
a) Si $\varphi$ y $\psi$ son continuas, entonces la composición $\psi \circ \varphi :X\to Z$ es una función continua.

b) Si $\varphi$ es un homeomorfismo, entonces $\psi$ es continua si y solo si la composición $\psi \circ \varphi$ es continua.

c) Si $\psi$ es un homeomorfismo, entonces $\varphi$ es continua si y solo si la composición $\psi \circ \varphi$ es continua.

Demostración:
La prueba de a) se dejará como ejercicio al final de esta sección. Por lo pronto ya lo asumiremos válido.
Para probar b) nota que si $\varphi$ es homeomorfismo entonces es continua y su función inversa ${\varphi }^{-1}$ también lo es. A partir de a) concluimos que $\psi \circ \varphi$ es continua si y solo si $(\psi \circ \varphi )\circ {\varphi }^{-1}=\psi$ es continua.
Para probar c) nota que si $\psi$ es homeomorfismo entonces es continua y su función inversa ${\psi }^{-1}$ también lo es. A partir de a) concluimos que $\psi \circ \varphi$ es continua si y solo si ${\psi }^{-1}\circ (\psi \circ \varphi )=\varphi$ es continua.

Definición. Isometría. Sean $(X,d_X)$ y $(Y,d_Y)$ dos espacios métricos. Decimos que $\varphi :X\to Y$ es una isometría si preserva distancias entre espacios, es decir, para toda $x,y\in X:$
$$d_X(x,y)=d_Y(\varphi (x),\varphi (y))$$

¿Puede una isometría ser un homeomorfismo? En principio sería necesario que sea biyectiva.

Proposición. Una isometría es una función inyectiva.
Demostración:
Sea $\varphi :X\to Y$ una isometría y $x,y\in X$ tales que $\varphi (x)=\varphi (y)$ entonces $d_Y(\varphi (x),\varphi (y))=0$. Como $\varphi$ es isometría, $d_X(x,y)=d_Y(\varphi (x),\varphi (y))=0$ por lo tanto $x=y.$
Se deja como ejercicio argumentar que si una isometría es suprayectiva, entonces es un homeomorfismo. Particularmente, en este caso diremos que los espacios son isométricos.

En la siguiente función las distancias en el espacio del contradominio estarán limitadas por las distancias del espacio del dominio y una constante $c\in \mathbb{R}:$

Definición. Función Lipschitz continua. Sea $\varphi :X\to Y$. Si existe $c>0$ tal que para todo $x,y\in X,$ $d_Y(\varphi (x),\varphi (y))\le c{d}_X(x,y)$ diremos que $\varphi$ es Lipschitz continua y que $c$ es constante de Lipschitz para $\varphi$.

Proposición. Si la función $\varphi$ es Lipschitz continua, entonces es continua.
Demostración:
Sea $\varphi :X\to Y$ Lipschitz continua con constante de Lipschitz $c$, $x_0\in X$ y $\epsilon >0$. Si $\delta =\frac{\epsilon }{c}$ entonces si $x$ es tal que $d_X(x,x_0)\le \frac{\epsilon }{c}$ se sigue que $d_Y(\varphi (x_0),\varphi (x))\le c{d}_X(x,x_0)\le c\frac{\epsilon }{c}=\epsilon .$

El recíproco no es cierto. Se deja como ejercicio.

Definición. Equivalencia. Diremos que $\varphi :X\to Y$ es una equivalencia si es Lipschitz continua y biyectiva y su inversa ${\varphi }^{-1}:Y\to X$ también es Lipschitz continua.

Definición. Métricas equivalentes. Sean $d_1$ y $d_2$ dos métricas en el espacio métrico $X$. Diremos que $d_1$ y $d_2$ son equivalentes si la función identidad $I:(X,d_1)\to (X,d_2)$ es una equivalencia.

Asímismo, dos normas son equivalentes si las métricas inducidas por ellas son equivalentes. Podemos concluir también que si dos métricas son equivalentes, entonces ambas métricas generan los mismos conjuntos abiertos en el conjunto $X$, esto es, $A$ es abierto en $(X,d_1)$ si y solo si $A$ es abierto en $(X,d_2).$ ¿Por qué?

Ejemplos

En el conjunto ${\mathbb{R}}^n$ considera los puntos $x,y,z\in {\mathbb{R}}^n$, con $x=(x_1,\dots ,x_n)$ y $y=(y_1,\dots ,y_n).$ Las siguientes métricas son equivalentes:

a) $d_2(x,y)=\sqrt{(x_1-y_1{)}^2+\dots +(x_n-y_n{)}^2}$
b) $d_{\mathrm{\infty }}(x,y)=max\{|x_1-y_1|,\dots ,|x_n-y_n|\}$
c) $d_1(x,y)=|x_1-y_1|+\dots +|x_n-y_n|$

Demostración:
Demostremos que $d_2$ y $d_{\mathrm{\infty }}$ son métricas equivalentes.

$$\begin{array}{rl}(x_1-y_1{)}^2+\dots +(x_n-y_n{)}^2& \le n^2(max\{|x_1-y_1|,\dots ,|x_n-y_n|\}{)}^2\\ \sqrt{(x_1-y_1{)}^2+\dots +(x_n-y_n{)}^2}& \le nmax\{|x_1-y_1|,\dots ,|x_n-y_n|\}\\ d_2(x,y)& \le n{d}_{\mathrm{\infty }}(x,y)\end{array}$$

Por otro lado

$$\begin{array}{rl}(max\{|x_1-y_1|,\dots ,|x_n-y_n|\}{)}^2& \le (x_1-y_1{)}^2+\dots +(x_n-y_n{)}^2\\ max\{|x_1-y_1|,\dots ,|x_n-y_n|\}& \le \sqrt{(x_1-y_1{)}^2+\dots +(x_n-y_n{)}^2}\\ d_{\mathrm{\infty }}(x,y)& \le d_2(x,y)\end{array}$$

Por lo tanto $d_2$ y $d_{\mathrm{\infty }}$ son métricas equivalentes.

Ahora demostraremos que las métricas $d_1$ y $d_{\mathrm{\infty }}$ son equivalentes.

$$\begin{array}{rl}{d}_1(x,y)& =|x_1-y_1|+\dots +|x_n-y_n|\\ & \le nmax\{|x_1-y_1|,\dots ,|x_n-y_n|\}\\ & =n{d}_{\mathrm{\infty }}\end{array}$$

Por otro lado

$$\begin{array}{rl}{d}_{\mathrm{\infty }}& =max\{|x_1-y_1|,\dots ,|x_n-y_n|\}\\ & \le |x_1-y_1|+\dots +|x_n-y_n|\\ & =d_1(x,y)\end{array}$$

Por lo tanto las métricas $d_1$ y $d_{\mathrm{\infty }}$ son equivalentes. Queda como ejercicio al lector demostrar que las métricas $d_1$ y $d_2$ son equivalentes. Nota que es posible concluirlo a partir de las equivalencias demostradas y la composición de funciones.

Para finalizar esta sección, presentamos dos normas no equivalentes:
Considera el espacio de funciones continuas $C^0[0,1]$, (que van del intervalo $[0,1]\subset \mathbb{R}\to \mathbb{R})$ con las normas:
$$\begin{array}{rl}{\Vert f\Vert }_1& :=({\int }_0^1|f(x)|dx),\\ {\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }}& :=máx\{|f(x)|:0\le x\le 1\}\end{array}$$

Veremos que no existe una función Lipschitz continua $\varphi :(C^0[0,1],{\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }})\to (C^0[0,1],{\Vert f\Vert }_1).$

Para cada $n\in \mathbb{N}$ considera la función $f_n(x)\in C^0[0,1]$ que a cada $x\in [0,1]$ asigna el punto $f_n(x)=x^{n-1}.$ La distancia que hay entre estas funciones y la función constante $0$ está dada por:
$$\begin{array}{rl}{\Vert f_n\Vert }_1& :=({\int }_0^1|f_n|dx)=\frac{1}{n},\\ {\Vert f_n\Vert }_{\mathrm{\infty }}& :=máx\{|f_n|:0\le x\le 1\}=1\end{array}$$
No existe $c>0$ que satisfaga que para toda $n\in \mathbb{N},{\Vert f_n\Vert }_1\le c{\Vert f_n\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ pues no es cierto que $\frac{1}{n}\le c(1)=c$ para toda $n$. Por lo tanto no existe una función Lipschitz continua $\varphi :(C^0[0,1],{\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }})\to (C^0[0,1],{\Vert f\Vert }_1)$ y en conclusión, estas normas no son equivalentes

Más adelante…

Veremos que es posible definir un espacio métrico a partir de una familia de caminos que conecte puntos y de la longitud que estos caminos tienen. Observaremos la posibilidad de que varios caminos distintos conecten a los mismos dos puntos y si es posible rescatar alguna aproximación en funciones no continuas a través de un nuevo concepto: la semicontinuidad.

Tarea moral

1. Demuestra que si $\varphi$ y $\psi$ son continuas, entonces la composición $\psi \circ \varphi :X\to Z$ es una función continua.
2. Sea $\varphi$ una isometría tal que es suprayectiva. Prueba que es también un homeomorfismo.
3. Da un ejemplo de una función continua que no sea Lipschitz continua.
4. Demuestra que una isometría es una equivalencia.
5. Demuestra que las métricas $d_1(x,y)=|x_1-y_1|+\dots +|x_n-y_n|$ y $d_2(x,y)=\sqrt{(x_1-y_1{)}^2+\dots +(x_n-y_n{)}^2}$ son equivalentes.

Enlaces

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$\mathit{\text{ MATERIAL EN REVISIÓN}}$

Introducción

Probablemente estés familiarizado con las funciones continuas de los cursos de cálculo. Esta noción se retoma para funciones entre espacios métricos. Diremos que una función entre espacios métricos $X$ y $Y,$ $f:X\to Y$ es continua en un punto $x_0$ de $X$ si para puntos que están «junto a» $x_0$ en $X$, los puntos correspondientes bajo la función $f$ también están junto a $f(x_0).$ Este tipo de funciones nos permite identificar propiedades entre los espacios métricos que relaciona. En esta entrada comenzaremos a explorar algunos resultados. Comencemos con la definición:

Definición. Función continua. Sean $(X,d_X)$ y $(Y,d_Y)$ dos espacios métricos. Diremos que una función $\varphi :X\to Y$ es continua en el punto $x_0\in X$ si para todo $\epsilon >0$ existe $\delta >0$ tal que para todo $x\in X$ si $d_X(x,x_0)<\delta$ entonces $d_Y(\varphi (x),\varphi (x_0))<\epsilon$. Si $\varphi :X\to Y$ es continua en cada punto de $A\subset X$, diremos que $\varphi$ es continua en $A$.

Si comparas esta definición con la de la entrada anterior, Límite de una función, estarás de acuerdo en que una funcíon $\varphi :X\to Y$ es continua en $x_0\in X$ si
$$\underset{x\to x_0}{lim}\varphi (x)=\varphi (x_0)$$

Esta definición se puede expresar en términos de bolas abiertas como sigue: La función $\varphi :X\to Y$ es continua en $x_0\in X$ si para todo $\epsilon >0$ existe $\delta >0$ tal que $\varphi (B_X(x_0,\delta ))\subset B_Y(\varphi (x_0),\epsilon )$. Observa que en la definición de continuidad, a diferencia de la de límite, no se excluye al punto de continuidad $x_0$.

Ejemplos

La función constante
Para cualesquiera dos espacios métricos $(X,d_X)$ y $(Y,d_Y)$ la función constante $\varphi :X\to Y$ tal que para todo $x\in X,\varphi (x)=c$ para algún $c\in Y$, es continua en cualquier punto de $X.$

Demostración:
Sea $\epsilon >0$ y $\delta =1$ (cualquier valor para delta funciona). Sea $x_0\in X$. Entonces si $d_X(x_0,x)<1$ se cumple que $d_Y(\varphi (x_0),\varphi (x))=d_Y(c,c)=0<\epsilon .$ Por lo tanto, $f$ es continua en $X.$

Cualquier función que tenga como dominio al espacio discreto es continua.

Demostración:
Sea $(X,d_{disc})$ el espacio discreto, $(Y,d_Y)$ espacio métrico y $\varphi :X\to Y$. Sea $\epsilon >0$ y sea $x_0\in X$. Entonces, si $\delta =1$ (cualquier delta mayor que cero pero menor igual que $1$ funciona) tenemos:
$d_{disc}(x_0,x)<\delta$ entonces $x_0=x$ así $d_Y(\varphi (x_0),\varphi (x))=d_Y(\varphi (x_0),\varphi (x_0))=0<\epsilon .$ Por lo tanto, $\varphi$ es continua en el espacio discreto $X$.

La siguiente proposición expresa la continuidad en términos de sucesiones.
Proposición. La función $\varphi :X\to Y$ es continua en $x_0\in X$ si y solo si para toda sucesión $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ que converge en $X$ se cumple que:
$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\varphi (x_n)=\varphi (\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n).$$ La demostración se deja como ejercicio. Te sugerimos comparar esta proposición con la que concluye el límite de una función a partir de sucesiones vista en Límite de una función.

Las siguientes son propiedades de las funciones continuas:

Proposición. Sean $\varphi ,\psi :A\subset X\to \mathbb{C}$ funciones continuas en $x_0\in X$, entonces:

a) $\varphi (x)\pm \psi (x)$ es continua en $x_0$.
b) $\varphi (x)\psi (x)$ es continua en $x_0$.
c) $\varphi (x)/\psi (x)$ es continua en $x_0$ cuando $\psi (x_0)\ne 0$

La demostración se deja como ejercicio.

Proposición. Sean $\varphi ,\psi :A\subset X\to {\mathbb{R}}^n$ dos funciones continuas en $x_0\in X$, entonces:
a)$(\varphi \pm \psi )(x)$ es continua en $x_0$.
b)$(\varphi \cdot \psi )(x)$ es continua en $x_0$.
c) $\lambda \varphi (x)$ con $\lambda \in \mathbb{R}$ es continua en $x_0$.

La demostración se deja como ejercicio.

Antes de continuar, veamos con detenimiento la siguiente:
Definición. Imagen inversa. Sean $X$ y $Y$ dos conjuntos y $f:X\to Y$ una función entre ellos. Si $U\subset Y,$ diremos que la imagen inversa del subconjunto $U$, es el conjunto de todos los elementos de $X$ que bajo la función $f$ están en $U$. Se denota como $f^{-1}(U).$ Formalmente tenemos:
$$f^{-1}(U)=:\{x\in X:f(x)\in U\}$$

Nota: Ten cuidado de no confundir el concepto de imagen inversa $f^{-1}(U)$ (que es una forma de definir conjuntos en $X$ a partir de un conjunto en $Y$) con el concepto de la función inversa de $f$ que, aunque también se denota como $f^{-1},$ hace referencia a una función que se evalúa en puntos de $Y$ y solo existe cuando $f$ es biyectiva.

Ahora consideremos un conjunto $U_1\subset X.$ La función $f$ define en $Y$ el conjunto $f(U_1)$. Si renombramos a este conjunto como $U_2$ y buscamos identificar ahora la imagen inversa de este nuevo conjunto, ¿regresaremos al mismo conjunto $U_1$ del cual partimos? Observa que, dependiendo la naturaleza de la función, es posible que la imagen inversa nos arroje un conjunto más grande que el $U_1$ inicial, sin embargo $U_1$ estará contenido.

Esto ocurre porque es posible que haya puntos en $U_2$ que son igualmente asignados por la función $f$ para puntos fuera de $U_1$.

¿Bajo qué condiciones no pasaría esto?

Para finalizar esta sección, veamos las siguientes propiedades de las funciones continuas:

Proposición. Sean $X$ y $Y$ espacios métricos y $\varphi :X\to Y$ una función. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

a) $\varphi :X\to Y$ es continua.
b) Para todo subconjunto abierto $U\subset Y$, ${\varphi }^{-1}(U)$ es un conjunto abierto en $X.$
c) Para todo subconjunto cerrado $V\subset Y$, ${\varphi }^{-1}(V)$ es un conjunto cerrado en $X.$

Demostración:
Para probar a) $\Rightarrow$ b) considera $U\subset Y$ abierto y $x\in {\varphi }^{-1}(U).$ Entonces existe $\epsilon >0$ tal que $B_Y(\varphi (x),\epsilon )\subset U$, pues $U$ es abierto. Como $\varphi$ es continua en $x$, entonces existe $\delta >0$ tal que $\varphi (B_X(x,\delta ))\subset B_Y(\varphi (x),\epsilon )\subset U.$ Por lo tanto $B_X(x,\delta ))\subset {\varphi }^{-1}(U)$ lo que demuestra que ${\varphi }^{-1}(U)$ es un conjunto abierto en $X.$

Para probar b) $\Rightarrow$ c) considera $V\subset Y$ cerrado. Entonces $Y\setminus V$ es abierto en $Y$. Así ${\varphi }^{-1}(Y\setminus V)$ es abierto en $X$ de modo que $X\setminus {\varphi }^{-1}(Y\setminus V)$ es cerrado en $X$.
Nota que ${\varphi }^{-1}(V)=X\setminus {\varphi }^{-1}(Y\setminus V)$ pues $x\in {\varphi }^{-1}(V)$ $\iff$ $\varphi (x)\in V$ $\iff$ $\varphi (x)\notin (Y\setminus V)$ $\iff$ $x\notin {\varphi }^{-1}(Y\setminus V)$ $\iff$ $x\in X\setminus {\varphi }^{-1}(Y\setminus V)$. Por lo tanto ${\varphi }^{-1}(V)$ es cerrado en $X.$

Para probar c) $\Rightarrow$ a) considera $x\in X$. Sea $\epsilon >0$ entonces la bola $B_Y(\varphi (x),\epsilon )$ es abierto por lo tanto su complemento $Y\setminus B_Y(\varphi (x),\epsilon )$ es cerrado. Por hipótesis, la imagen inversa dada por ${\varphi }^{-1}(B_Y(\varphi (x),\epsilon ))$ es un conjunto cerrado en $X$. En consecuencia el complemento de ${\varphi }^{-1}(B_Y(\varphi (x),\epsilon ))$ es un conjunto abierto en $X$ que tiene a $x$ como elemento. Llamemos $U$ a este conjunto.

Como $U$ es abierto, existe $\delta >0$ tal que $B_X(x,\delta )\subset U$. Por lo tanto la imagen $f(B_X(x,\delta ))\subset B_Y(\varphi (x),\epsilon )$ lo que prueba que la función $\varphi$ es continua en $x$. Como $x$ fue arbitrario, se concluye que $\varphi$ es continua en el espacio $X$.

Más adelante…

Veremos cómo la existencia de funciones continuas entre dos espacios muestra propiedades que se conservan en ambos. Ya no hablaremos solo de la cercanía a los puntos, sino que haremos esa distancia más específica y comparable a la registrada en el espacio del dominio. Conoceremos así a los espacios isomorfos y homeomorfos.

Tarea moral

1. Demuestra que la función $\varphi :X\to Y$ es continua en $x_0\in X$ si y solo si para toda sucesión $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ que converge en $X$ se cumple que:
   $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x_n)=f(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n)$$.
2. Demuestra que si $\varphi ,\psi :A\subset X\to \mathbb{C}$ son funciones continuas en $x_0\in X$, entonces:
   a) $\varphi (x)\pm \psi (x)$ es continua en $x_0$.
   b) $\varphi (x)\psi (x)$ es continua en $x_0$.
   c) $\varphi (x)/\psi (x)$ es continua en $x_0$ cuando $\psi (x_0)\ne 0$
3. Demuestra que si $\varphi ,\psi :A\subset X\to {\mathbb{R}}^n$ son dos funciones continuas en $x_0\in X$, entonces:
   a)$(\varphi \pm \psi )(x)$ es continua en $x_0$.
   b)$(\varphi \cdot \psi )(x)$ es continua en $x_0$.
   c) $\lambda \varphi (x)$ con $\lambda \in \mathbb{R}$ es continua en $x_0$.
4. Usa la última proposición de esta sección para probar que cualquier función que tenga como dominio al espacio discreto es continua.
5. ¿Es posible concluir que cualquier función que tenga como contradominio al espacio discreto es continua?

Enlaces

• Análisis Matemático.
• Enlace a entrada anterior.
• Enlace a entrada siguiente.

$\mathit{\text{ MATERIAL EN REVISIÓN}}$

Introducción

Es momento de interactuar entre dos espacios métricos, $(X,d_X)$ y $(Y,d_Y)$, cada uno con su respectivo conjunto de puntos y métrica definida en ellos. Podemos relacionar puntos del espacio métrico $X$ con puntos en el espacio métrico $Y$. Será natural preguntarse qué ocurre con las distancias en el nuevo espacio métrico, en comparación con el de origen. Considera la siguiente:

Definición. Imagen de un conjunto. Sean $(X,d_X)$ y $(Y,d_Y)$ espacios métricos. Si $A\subset X$ y $f:X\to Y$, es una función, entonces $f$ define un conjunto en $Y$ dado por $f(A):=\{f(x)|x\in A\}$, que llamaremos la imagen de $A$ bajo $f$ y es la colección de elementos que se le asignan a cada elemento de $A$.

Ahora preguntamos: ¿bajo qué circunstancias una función envía puntos de $A\subset X$ a puntos en $Y$ que se aproximan a algún punto $L\in Y$?

Si $x_0$ es un punto de acumulación en $A$, por definición, todas sus bolas abiertas tienen elementos en $A$ distintos de $x_0$. Podemos así, identificar puntos cercanos a $x_0$, según la distancia $d_X$, que bajo la función $f$ sean enviados a puntos en $Y$ que estén cerca de un punto $L$, según la distancia $d_Y$.
Como los puntos cerca de $L$ en $(Y,d_Y)$ son los que están en la bola de radio $\epsilon$ con centro en $L,$ se busca conseguir que los puntos cerca de $x_0$ caigan justamente en $B_Y(L,\epsilon )$. (El subíndice $Y$ en $B_Y$ nos recuerda en qué espacio métrico es considerada la bola abierta. Recuerda que pueden ser diferentes, según la métrica a la que se refiera).

De manera formal tenemos la siguiente:

Definición. Límite de una función. Sea $f:X\to Y$ una función entre espacios métricos y $x_0$ un punto de acumulación de $A$. Decimos que el límite de $f$, cuando $x$ tiende al punto $x_0$ es $L\in Y$, si ocurre que para todo $\epsilon >0$ existe $\delta >0$ tal que para todo $x\ne x_0,\text{ si }d(x,x_0)<\delta$ entonces $d(f(x),L)<\epsilon$. Se denota como:
$$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=L$$
Se dice entonces que $f(x)\to L$ cuando $x\to x_0$.

Esta definición se puede expresar en términos de bolas abiertas como sigue: $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=L$ si para todo $\epsilon >0$ existe $\delta >0$ tal que $f(B_X(x_0,\delta )\setminus \{x_0\})\subset B_Y(L,\epsilon )$.

Veamos un resultado que nos permite concluir límites a partir de sucesiones.

Proposición. Considera $A\subset X$ y $x_0\in A$ un punto de acumulación en $A$. Entonces $$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=L$$ si y solo si para toda sucesión $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ en $A\setminus \{x_0\}$ tal que $x_n\to x_0$ ocurre que $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x_n)=L$$.
Demostración:
Sea $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ una sucesión en $A\setminus \{x_0\}$ que converge a $x_0$ y sea $\epsilon >0$. Como $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=L$ entonces existe $\delta >0$ tal que para todo $x\ne x_0,\text{ si }d(x,x_0)<\delta$ entonces $d(f(x),L)<\epsilon$.

Como $(x_n)\to x_0$, entonces existe $N\in \mathbb{N}$ tal que $\mathrm{\forall }n\ge N,d(x_n,x_0)<\delta$, así $\mathrm{\forall }n\ge N,d(f(x_n),L)<\epsilon$ por lo tanto $f(x_n)\to L$ en $Y$.

Las siguientes proposiciones son propiedades de límites de funciones en los espacios métricos mencionados:

Proposición. Sean $f:A\to \mathbb{C}$ y $g:A\to \mathbb{C}$. Si $x_0$ es un punto de acumulación en $A$ y $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=L_1$ y $\underset{x\to x_0}{lim}g(x)=L_2$, se tiene que:

a) $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)\pm g(x)=L_1\pm L_2$
b) $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)g(x)=L_1{L}_2$
c) $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)/g(x)=L_1/L_2$ cuando $L_2\ne 0$

La demostración se deja como ejercicio.

Proposición. Sean $f,g:A\subset X\to {\mathbb{R}}^n$ Si se definen
$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ y $(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)$ entonces si $x_0$ es un punto de acumulación en $A$ y $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=L_1$ y $\underset{x\to x_0}{lim}g(x)=L_2$, se tiene que:

a) $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)\pm g(x)=L_1\pm L_2$.
b) $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)\cdot g(x)=L_1\cdot L_2$.
c) $\underset{x\to x_0}{lim}\lambda f(x)=\lambda L_1$con $\lambda \in \mathbb{R}$.

La demostración se deja como ejercicio.

Más adelante…

Veremos el caso para cuando la función sí está definida en $x_0\in A\subset X$ y más aún, la función tiene como límite al punto $f(x_0)$. Hablaremos así de funciones continuas en un punto $x_0$ y observaremos el efecto que estas funciones producen en subconjuntos abiertos y cerrados de un espacio métrico.

Tarea moral

1. Demuestra las dos proposiciones anteriores.

Enlaces

• Análisis Matemático.
• Enlace a entrada anterior.
• Enlace a entrada siguiente.