Introducción

Las funciones continuas son bonitas pues tienen la propiedad del valor intermedio y además alcanzan sus valores extremos. Las funciones diferenciables en un intervalo también tienen un par de teoremas que hablan acerca de algo que sucede «dentro del intervalo». Estos son el teorema de Rolle y el teorema del valor medio. Ambos nos permiten encontrar en el intervalo un punto en el que la derivada tiene un valor específico.

Teorema de Rolle. Sean $a<b$ reales y $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ una función continua en el intervalo $[a,b]$ y diferenciable en el intervalo $(a,b)$. Supongamos que $f(a)=f(b)$. Entonces existe un punto $c\in (a,b)$ tal que $f^{\prime }(c)=0$.

Teorema del valor medio. Sean $a<b$ reales y $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ una función continua en el intervalo $[a,b]$ y diferenciable en el intervalo $(a,b)$. Entonces existe un punto $c\in (a,b)$ tal que $$f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

El teorema del valor medio parece más general. Sin embargo, en cierto sentido, estos dos teoremas son «equivalentes», en el sentido de que uno de ellos nos ayuda a probar al otro de manera fácil, y viceversa.

Ya dimos las demostraciones de ambos teoremas en la entrada anterior, que habla del teorema del valor extremo. En esta entrada nos enfocaremos en ver cómo podemos usar el teorema de Rolle para resolver problemas. En la siguiente veremos algunos ejemplos del uso del teorema del valor medio.

Problemas resueltos con teorema de Rolle

Hay algunos problemas que parece que pueden ser resueltos con el teorema del valor intermedio (el de funciones continuas), pero para los cuales no es sencillo encontrar un intervalo correcto en el cual aplicar el teorema. En estas ocasiones, a veces el teorema de Rolle puede entrar al rescate.

Problema. Muestra que $5x^4-4x+1$ tiene una raíz real entre $0$ y $1$.

Sugerencia pre-solución. Primero, convéncete de que no es sencillo resolver este problema usando el teorema del valor intermedio. Luego, escribe a la función como la derivada de otra y aplica el teorema de Rolle. Funciona trabajar hacia atrás: si $f$ es derivada de una función, ¿quién tendría que ser esta función?

Solución. La idea es expresar a $f(x)=5x^4-4x+1$ como la derivada de una función y aplicar el teorema de Rolle. Para ello, podemos integrar o verificar por inspección que si $g(x)=x^5-2x^2+x$, entonces $g^{\prime }(x)=f(x)$. Ahora, notemos que $g(0)=g(1)=0$. Por el teorema de Rolle, debe existir un $c$ en $(0,1)$ tal que $f(c)=g^{\prime }(c)=0$, es decir, esta $c$ es justo una raíz de $f$, como queríamos.

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En algunas ocasiones hay que aplicar el teorema del valor medio repetidas veces dentro de un mismo problema.

Problema. Demuestra que $f(x)=\frac{x^4}{4}-\frac{3}{2}{x}^2+bx+c$ puede tener como mucho dos ceros el intervalo $[-1,1]$, sin importar los valores de $b$ y de $c$.

Sugerencia pre-solución. Procede por contradicción, suponiendo que hay más de dos ceros. Aplica el teorema del valor medio dos veces.

Solución. Supongamos que $f$ tiene tres o más ceros en ese intervalo, y que son $r,s,t$, con $-1\le r<s<t<1$. Tenemos que $f(r)=f(s)$ y que $f(s)=f(t)$, pues estos tres valores son $0$. Por el teorema de Rolle, tenemos que $f^{\prime }(x)=x^3-3x+b$ debe tener al menos un cero $p$ en el intervalo $(r,s)$ y al menos un cero $q$ en el intervalo $(s,t)$. Aplicando de nuevo el teorema de Rolle, tenemos que $f»(x)=3x^2-3$ debe tener un cero en el intervalo $(p,q)$. Pero $-1<p<q<1$ y $f»(x)$ sólo tiene como ceros a $1$ y $-1$. Esto es una contradicción.

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Veamos un ejemplo más, en donde es necesario aplicar el teorema de Rolle varias veces y usar otras propiedades de diferenciabilidad.

Problema. Supongamos que la funciónes $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ y $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ son diferenciables y que $f^{\prime }(x)g(x)\ne f(x)g^{\prime }(x)$ para todo real $x$. Muestra que si $f(x)=0$ tiene al menos $2020$ soluciones distintas, entonces $g(x)=0$ tiene al menos $1010$ soluciones distintas.

Sugerencia pre-solución. Modifica el problema y generalízalo de la siguiente manera: bajo las hipótesis del problema, se tiene que entre cualesquiera dos ceros de $f$ hay un cero de $g$. Para demostrar esto, procede por contradicción.

Solución. Mostraremos que entre cualesquiera dos ceros de $f$ hay un cero de $g$. Para ello, procedamos por contradicción. Supongamos $a<b$ son ceros de $f$ y que $g$ no tiene ningún cero en el intervalo $[a,b]$.

Consideremos la función $f/g$. Como $g$ no se anula en $[a,b]$, tenemos que $f/g$ es continua en $[a,b]$ y diferenciable en $(a,b)$. Además, $f(a)/g(a)=f(b)/g(b)=0$. Con esto, por el teorema de Rolle tendríamos que la derivada de $f/g$ en algún punto $c$ en $(a,b)$ es cero. Pero esto es una contradicción, pues la derivada en $c$ es $$\frac{f^{\prime }(c)g(c)-f(c)g^{\prime }(c)}{g^2(c)},$$ que por hipótesis nunca es $0$. De esta forma, entre cualesquiera dos ceros de $f$ debe haber un cero de $g$.

Para resolver el problema original, consideremos los $2020$ ceros que tiene $f$, digamos $a_1<\dots <a_{2020}$. En cada uno de los intervalos $[a_{2i-1},a_{2i}]$ para $i=1,\dots ,1010$ debe haber un cero de $g$, y como estos son intervalos disjuntos, estos deben ser ceros distintos. De este modo, tenemos al menos $1010$ ceros de $g$.

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Más problemas

Hay más problemas en los que se usa el teorema de Rolle en la Sección 6.5 el libro Problem Solving through Problems de Loren Larson.