Introducción
Teorema de la Función Inversa
Teorema 1. Sea definida sobre el abierto y sea .
(1) Supóngase que f tiene derivada continua y que .
(2) Entonces existe un intervalo abierto que contiene al punto y un intervalo abierto que contiene a , tal que la función es uno a uno y sobre.
(3) Además, la función inversa también tiene derivada continua y para un punto , si es tal que , entonces
Ejercicio. Obtener la tesis del teorema de la función inversa como aplicación del teorema de la función implícita
Solución. Sea una función real de variable real con derivada continua sobre un conjunto abierto A y sea un punto de A donde .
Considere la función y calculemos sus derivadas parciales. Así
Nótese que son continuas sobre el conjunto
Considere ahora como solución inicial el punto donde . Tenemos que
De manera que se cumplen las hipótesis del Teorema de la Función Implicita. Luego entonces cerca del punto la variable x puede representarse en términos de la variable y. Estos expresado formalmente nos dice que existe una única función implicita con dominio un intervalo y con rango tal que y, para toda y, en el intervalo J
ademas, g y su derivada son continuas sobre J, y
La función g que ha sido determinada no es otra que la función inversa
Ejemplo. Sea f la función definida por la regla de correspondencia . Si calculamos su derivada, tenemos . Observese que para toda x en los reales, por lo que f es decreciente sobre toda la recta real y a su vez es uno a uno.\Concluimos así que la inversa de f está definida sobre toda la recta real y que su gráfica es decreciente. Sin embargo, no se puede obtener la regla de correspondencia para la inversa. Sin embargo, podemos calcular su derivada. Sea y cualquier número real y supóngase que x es tal que . Así
Teorema de la Función Inversa (sistema )
Sea un abierto y sean
con derivadas parciales continuas. Considerar las ecuaciones
Tratamos de resolver las n-ecuaciones para como funciones de
La condición de existencia para la solución en una vecindad del punto es que el determinante de la matriz y sean distintos de cero. Explícitamente:
entonces el sistema anterior se puede resolver de manera ‘unica como para cerca de y y cerca de
Nota: La cuestión de existencia se responde por medio del teorema general de la función implícita aplicado a las funciones con las incognitas .
Solución. Aquí las funciones son
De acuerdo al teorema de la función inversa
por lo tanto, en los puntos donde la expresión anterior no se anula, se puede resolver para , en términos de y .
Mas aún, si consideramos las expresiones:
Lo que pretendemos es «despejar» de ella a y en términos de e y poder establecer así las funciones . Entonces el T.F.Im. (tercera versión) nos da las condiciones para que podamos hacer esto. Sea un punto tal que . Supongamos que en una bola de centro en P las derivadas parciales de y son continuas. Si el jacobiano.
en , entonces es posible «despejar» de ellas a y en terminos de e , y establecer así funciones definidas en una vecindad de , las cuales tienen derivadas parciales continuas en que se pueden calcular como
Por lo tanto:
Por lo tanto:
En resumen tenemos: Sean funciones definidas en el conjunto abierto de . Sean , .
Suponga que alguna bola de con centro , las derivadas parciales , , , son continuas.
Si el jacobiano es no nulo en entonces una vecindad de donde podemos definir «funciones inversas» es decir tales que
para las cuales tienen derivadas parciales continuas en que se calculan como
Ahora bien con las funciones . Podemos formar el sistema
se tiene entonces que
El resultado anterior nos dice como calcular las derivadas parciales , , , en una vecindad de al sustituir las fórmulas correspondientes en , recordando que .
Multipliquemos y , se obtiene
Así concluimos que la matriz jacobiana de la función inversa de F es justamente la inversa de la matriz jacobiana de F. Es decir se tiene
Ejemplo. Considere las ecuaciones dadas por . Se tiene
que en .\
Las derivadas parciales de las funciones
, son
La matriz jacobiana de f es
la cual en el punto es invertible pues
Así podemos concluir que en una bola de se da la inversa de o bien, que podemos despejar de a como funciones de e , la cual es de clase en y que su derivada es
donde . Es decir
Considere las ecuaciones
para se tiene que el
determinante de la matriz jacobiana de la función
es:
Si calculamos su determinante obtenemos
Podemos localmente invertir la función , entorno al punto , donde podemos definir funciones de clase
y . Ahora bien como
- Vamos a calcular la inversa usando la matriz de cofactores de la matriz
Transponiendo la ultima matriz tenemos
las parciales son: