En una entrada anterior recordamos el concepto de producto interior. A continuación presentamos el concepto de norma, norma Euclidiana.

Comenzamos:

Norma

Una norma en un espacio vectorial $(V , + , \cdot )$ es una función

$$\|.\|: V \times V \longrightarrow \mathbb{R}$$ tal que:

1. $\|v\| \geqslant 0 \; \; \forall \, v \in V$
2. $\|v\| =0 \iff v=0 \in V$
3. $\|\lambda v\| = |\lambda| \, \|v\| \; \; \forall \; v\in V ;\; \forall \; \lambda \in \mathbb{R}$
4. $\|v+w\| \leqslant \|v\| + \|w\| \; \; \forall \; v, w \in V$

Norma Euclidiana en $\mathbb{R}^n$

Sea $x \in \mathbb{R}^n$ tal que $x=(x_1, x_2, \dotsc, x_n)$ se define la norma Euclidiana como:

$$\big\| x \big\|=\sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \dotsc + x_n^2 \, \; }$$

La norma Euclidiana cumple con la desigualdad de CB.S. (Cauchy-Bunyakowski-Schwarz) y con la ley del paralelogramo.

La norma Euclidiana es un ejemplo de norma inducida por un producto interior, ya que

$$\big\| v \big\|=\sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \dotsc + v_n^2 \, \; } = \sqrt{ \langle v, v \rangle}$$

Otro ejemplo de norma inducida por otro producto interior en $\mathbb{R}^2$ se representa en la siguiente imagen

Sean $x, y \in \mathbb{R}^n$ entonces $$2\big\|x \big\|^2+2 \big\|y \big\|^2 = \big\|x+y \big\|^2 + \big\|x-y \big\|^2$$

Donde $\big\| \; \big\|$ es la norma Euclidiana, $\big\|x \big\|=\sqrt{x\cdot x \, }$

En el siguiente enlace puedes observar que se cumple esta ley. Puedes mover los vectores $v_1$ y $v_2$, haciéndolos del tamaño que prefieras y observar que los valores de la igualdad representados en la ley se mantiene.

https://www.geogebra.org/classic/t4y4evhn

Consideremos el paralelogramo cuyos vértices son los puntos $(2,1)$,$(-1, 1)$,$(-2, -1)$,$(1, -1)$.

Sea $\mathcal{A} = \Big\{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \, \Big| \, -1\leqslant y \leqslant 1,\; -3 \leqslant y-2x \leqslant 3 \Big\}$

Este paralelogramo es un conjunto convexo y también simétrico respecto al origen, es decir que $$(x, y) \in \mathcal{A} \Longrightarrow (-x, -y) \in \mathcal{A}$$

Además es cerrado, $\bar{\mathcal{A}} = \mathcal{A} \cup \partial \mathcal{A} = \mathcal{A} $, donde $\partial \mathcal{A}$ es la unión de los elementos de recta que forman las aristas, incluyendo los vértices.

Es acotado con la norma Euclidiana (un conjunto es acotado si está contenido en una bola).

Entonces, nos preguntamos si ¿existe una norma $\big\| \; \big\|_{\square}: \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}$ tal que $\mathcal{A}$ sea la bola unitaria cerrada?, es decir $$\mathcal{A} = \Big\{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \, \Big| \, \Big\| (x, y) \Big\|_{\square} \leqslant 1 \Big\}$$

Para que la frontera sea la «circunferencia unitaria» debe suceder que si $$(x, y) \in \partial \mathcal{A} \Longrightarrow \Big\| (x, y) \Big\|_{\square}=1$$

Para que sea norma se debe complir que $$\Big\| (0, 0) \Big\|_{\square}=0$$

y además debe cumplir que $$ \Big\| t(x, y) \Big\|_{\square} = \Big|t \Big| \, \Big\|(x, y) \Big\|_{\square}$$

Analicemos que:

si $$(x, y) = \lambda (a, b)$$ entonces $$\Big\| (x, y) \Big\|_{\square} = \Big| \lambda \Big| \, \Big\| (a, b) \Big\|_{\square} = \Big| \lambda \Big|$$ ya que el punto $(a, b)$ es un punto de $\mathcal{A}$.

Entonces ¿cuál es la regla de correspondencia que a cada $(x, y) \longrightarrow \Big|\lambda \Big|= \Big\|(x, y) \Big\|_{\square}$?

Sea $(x, y) \in \mathbb{R}^2$, tenemos que considerar los siguientes casos:

Caso «fácil»: si $(x, y)$ está en la recta diagonal.

Caso «menos fácil»: si $(x, y)$ no está en ninguna recta que contenga a una diagonal.

Pregunta auxiliar ¿cuáles son las ecuaciones de las rectas que contienen a las diagonales del paralelogramo?

Tenemos que las ecuaciones de las rectas que contienen a las diagonales son:

Recta I: $ \; y=\frac{1}{2}x$

Recta II: $ \; y=-x$

Comenzamos analizando el caso «fácil»:

CASO «punto en la Recta I»: si $(x, y)=\lambda (2,1)$

entonces $(x, y) =(2\lambda , \lambda)$

por lo tanto $y = \lambda$

Ejemplo: $\Big\| (4, 2) \Big\|_{\square}=2$

CASO «punto en la Recta II»: si $(x, y) =\lambda (-1, 1)$

entonces $(x, y) = (-\lambda, \lambda)$

por lo que $y = \lambda$

Ejemplo: $\Big\| (-3, 3) \Big\|_{\square} = 3$

Análogamente se estudia el CASO III $(x, y) = \lambda (-2, -1)$,

y el CASO IV, cuando $(x, y) = \lambda (1, -1)$.

Ejemplo: $\Big\| (-10, -5) \Big\|_{\square} =5$

$\Big\| (8, -8) \Big\|_{\square} = 8$

Ahora, analizamos el caso «menos fácil»:

CASO «punto en la Región I»: si $(x,y)$ está en el cono generado por los vectores $\vec{a}=(2,1)$ y $\vec{b}=(-1,1)$.

$$(x,y)=\alpha \, \vec{a} + \beta \, \vec{b} \hspace{5mm} \alpha, \beta > 0$$

Afirmación:

$t=máx \Bigg\{ \big|y \big|, \dfrac{|2x-y|}{3} \Bigg\}$

Sea $(x,y) \in \mathbb{R}^2 \setminus \partial \square$.

Consideramos 4 posibilidades, dadas por la ubicación del punto en algunas de las cuatro partes en las que queda dividido el plano, según las rectas $y=\frac{1}{2}x$ y $y= – \, x$.

Veamos que sucede cuando el punto está en las regiones «I» y «IV». Los dos casos restantes son análogos.

Cuando $(x,y)$ está en la Región I, cumple que: $$y>-x$$ $$y>\frac{1}{2}x$$

Observación: como $y>0$ entonces al unir $(x,y)$ con $(0,0)$ cortamos a la arista superior en un punto de la forma $(a,b)$ pero la arista superior está contenida en la recta $y=1$ por lo que $b=1$ por lo tanto $(a,b)=(a,1)$.

Luego $(x,y)=t(a,b)=t(a,1)$

Por lo tanto, $$y=t$$

$$\Big\| (x,y) \Big\|_\square =y$$

Cuando $(x,y)$ está en la Región IV, cumple que: $$y> – \, x$$ $$y<\frac{1}{2}x$$

Ahora $x>0$ por lo que al unir $(x,y)$ con $(0,0)$ cortamos a la arista del lado derecho del paralelogramos en el punto $(a,b)$, pero como la arista está contenida en la recta $y=2x-3$ tenemos que $b=2a-3$

Luego $$(x,y)=t(a,b)$$

por lo que $x=ta$ y $y=tb$ entonces $$y=t(2a-3)$$ $$y=2at-3t$$ $$a=\dfrac{y+3t}{2t}$$

Hemos propuesto $$\Big\| (x,y) \Big\|_\square := \text{máx} \Big\{ |y|, \dfrac{|2x-y|}{3} \Big\}$$

$$ \Big\| \; \Big\|_\square : \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}$$

Afirmación: $ \Big\| \; \Big\|_\square$ es una norma.

$\Big\| (x,y) \Big\|_\square > 0$

$\Big\| (x,y) \Big\|_\square = 0 \iff (x,y) = (0,0)$

$\Big\| (x,y) \Big\|_\square = \text{máx} \Big\{ |ty|, \frac{|2tx-ty|}{3} \Big\} = |t| \, \text{máx} \Big\{ |y|, \dfrac{|2x-y|}{3} \Big\} = \Big|t \Big| \, \Big\| (x,y) \Big\|_{\square}$.

Por último probamos que satisface la desigualdad del triángulo, es decir que se cumple que: $\Big\| u+v \Big\|_{\square} \leqslant \Big\|u \Big\|_{\square} + \Big\|v \Big\|_{\square}$

Sean $u=(u_1, u_2)$ y $v=(v_1, v_2)$. Además $u+v =(u_1 + v_1, u_2 + v_2).$

Entonces $\Big\| u+v \Big\|_{\square} = \text{máx} \Bigg\{ \Big|u_2 + v_2 \Big|, \dfrac{2(u_1+v_1) \, – \, (u_2+v_2)}{3} \Bigg\}$

Por demostrar $\Big\| u+v \Big\|_{\square} \leqslant \Big\| u \Big\|_{\square} + \Big\| v \Big\|_{\square}$

Si el máximo es $\Big| u_2+v_2 \Big|$ entonces, se tiene que $$\Big| u_2 + v_2 \Big|\leqslant \Big| u_2 \Big| + \Big| v_2 \Big|\leqslant \Big\| u \Big\|_{\square} + \Big| v \Big\|_{\square}$$

Si el máximo es $\dfrac{2(u_1+v_1)-(u_2+v_2)}{3}$ entonces, $$\dfrac{2(u_1+v_1)-(u_2+v_2)}{3} = \dfrac{2u_1-u_2+2v_1-v_2}{3} \leqslant \dfrac{2u_1-u_2}{3} + \dfrac{2v_1\, – \, v_2}{3} \leqslant \Big\| u \Big\|_{\square} + \Big\| v \Big\|_{\square}$$

Por lo anterior queda probado que $\| \; \|_{\square}$ es una norma.

En el siguiente enlace puedes ver una animación de esta norma para valores de $p\in [1,10]$. Cambia el parámetro $p$ para que observes como la circunferencia unitaria cambia su forma.

https://www.geogebra.org/classic/qcb2u6ku

Tal vez te preguntes, qué sucede con los valores de $p \in (0,1)$. Bueno, en el siguiente enlace puedes observar que sucede con la circunferencia unitaria. ¿Consideras qué para estos valores de $p$ se tiene una norma?

https://www.geogebra.org/m/txjay9zn

Introducción

En la entrada anterior trabajamos con la ecuación diferencial $\dfrac{d \, y(x)}{dx} = y(x)$ con condición inicial $y(0)=1.$ Al identificar propiedades enunciadas en el teorema de punto fijo de Banach encontramos su solución. En esta ocasión repetiremos el proceso para demostrar que la solución a una ecuación diferencial general existe y es única.

Primeramente, veamos un concepto.

Definición. Función localmente Lipschitz continua en la segunda variable. Sea $(a,b) \subset \mathbb{R}$ y sea $\Omega \subset \mathbb{R}$ tal que $\Omega$ es abierto. Si $F:(a,b) \times \Omega \to \mathbb{R}$ es una función que satisface que para cada $x_0 \in (a,b)$ y $y_0 \in \Omega \, $ existen $\delta_0 >0$ y $c>0$ tales que $[x_0 – \delta_0, x_0 + \delta_0] \subset (a,b), \, [y_0 – \delta_0, y_0 + \delta_0] \subset \Omega$ y además que si $x \in [x_0 – \delta_0, x_0 + \delta_0] $ y si $y_1,y_2 \in [y_0 – \delta_0, y_0 + \delta_0]$ entonces
$$|F(x,y_1)-F(x,y_2)| \leq c |y_1-y_2|$$
diremos que $F$ es localmente Lipschitz continua en la segunda variable.

Solución a la ecuación diferencial $\dfrac{d \, y(x)}{dx}=F(x,y(x))$

Sea $\dfrac{d \, y(x)}{dx}=F(x,y(x))$ una ecuación diferencial con condición inicial $y(x_0)=y_0$ donde:

1. $F$ es una función localmente Lipschitz continua en la segunda variable.
2. $y$ es una función, al menos derivable, de variable $x$ que manda valores reales en valores reales.
3. $x_0$ es un punto donde la $\, y \,$ buscada toma valor $y_0.$

Plan para resolverla con el teorema de punto fijo de Banach: Propondremos un espacio métrico completo $(X,d)$ de funciones entre las cuales deberá estar la $\, y \,$ buscada y una contracción $\phi:X \to X$ cuyo punto fijo sea la solución de la ecuación diferencial.

Sean $\delta_0>0$ y $c>0$ para $F$ localmente Lipschitz continua como en la definición. Se dejará como ejercicio al lector probar que $F$ restringida en $[x_0 \, – \, \delta_0, x_0 + \delta_0] \times [y_0 \, – \, \delta_0, y_0 + \delta_0]$ es continua. Como este conjunto es compacto, se sigue que $F$ está acotada en este conjunto. Por lo tanto existe $M>0$ tal que para toda $(x,y) \in [x_0 \, – \, \delta_0, x_0 + \delta_0] \times [y_0 \, – \, \delta_0, y_0 + \delta_0]$ se cumple
$$|f(x,y)| \leq M.$$

Sea $\delta$ tal que $0< \delta < min\{\frac{1}{c}, \frac{\delta_0}{M}\}$

Considera $X:= \{ f \in \mathcal{C}^0([x_0 \, – \, \delta, x_0 + \delta],\mathbb{R}): d_{\infty}(f,y_0) \leq \delta M \}$
donde $y_0$ representa, en este caso, a la función constante que arroja el valor $y_0.$ Nota que $X$ es un espacio cerrado en el espacio métrico $\mathcal{C}^0([x_0 \, – \, \delta, x_0 + \delta],\mathbb{R})$ que recordemos, tiene la propiedad de ser completo. Por lo visto en la última proposición de la entrada Espacios métricos completos concluimos que $X$ también es completo.

Propongamos la contracción $\phi$ deseada

Si $f \in X$ satisface la ecuación diferencial entonces para todo $x \in [x_0 \, – \, \delta, x_0 + \delta]$ se sigue:

\begin{align*}
&&\dfrac{d \, f(x)}{dx}&= F(x,f(x))\\
&\Rightarrow & \int_{x_0}^{x} \dfrac{d \, f(t)}{dt} \, dt &= \int_{x_0}^{x} F(t,f(t)) \, dt\\
&\Rightarrow & f(x) \, – \, f(x_0) &=\int_{x_0}^{x} F(t,f(t)) \, dt\\
&\Rightarrow & f(x) &=f(x_0) + \int_{x_0}^{x} F(t,f(t)) \, dt\\
&\Rightarrow & f(x) &= y_0 + \int_{x_0}^{x} F(t,f(t)) \, dt
\end{align*}

Como buscamos que esta solución sea punto fijo de una contracción $\phi$ en $X$ entonces $\phi(f(x)) = f(x).$ La última igualdad nos lleva a proponer:

$$\phi(f(x)) := y_0 + \int_{x_0}^{x} F(t,f(t)) \, dt$$

Nota que $\phi(f(x))$ pertenece a $\mathcal{C}^0([x_0 – \delta, x_0 + \delta],\mathbb{R}).$ Probaremos que también pertenece a $X.$ Si $x \in [x_0 – \delta, x_0 + \delta],$ tenemos dos casos:

De ambos casos podemos concluir que $d_{\infty}(f,y_0) \leq \delta M,$ por lo tanto $\phi(f) \in X.$

$\phi$ es contracción en $X$

Sean $f,g \in X.$ Considera $I = [x_0 – \delta, x_0 + \delta]$ entonces si $x \in I,$ tenemos dos casos.

Si $x < x_0.$

\begin{align*}
|\phi(f(x))- \phi(g(x))|&=\left|y_0 + \int_{x_0}^{x} F(t,f(t)) \, dt-(y_0 + \int_{x_0}^{x} F(t,g(t)) \, dt) \right|\\
&=\left|\int_{x_0}^{x} F(t,f(t)) \, dt- F(t,g(t)) \, dt \right|\\
&=\left|- \int_{x}^{x_0} F(t,f(t)) \, dt- F(t,g(t)) \, dt \right|\\
&=\left| \int_{x}^{x_0} F(t,f(t)) \, dt- F(t,g(t)) \, dt \right|\\
&\leq \int_{x}^{x_0} |F(t,f(t)) \, dt- F(t,g(t))| \, dt\\
&\leq \int_{x}^{x_0} c|f(t)- g(t)| \, dt \\
&\leq (x_0-x) c \, d_{\infty}(f,g) \\
&\leq (\delta c) \, d_{\infty}(f,g)
\end{align*}

Por lo tanto, la distancia entre $\phi(f)$ y $\phi(g)$ se puede estimar como

\begin{align*}
d_\infty(\phi(f(x)), \phi(g(x))) &= \underset{x \in I}{Sup} \, \{|\phi(f(x))- \phi(g(x))| \} \\
&\leq \underset{x \in I}{Sup} \, \{ \delta c \, d_{\infty}(f,g) \} \\
&=(\delta c)d_{\infty}(f,g)
\end{align*}

Sea $\alpha := \delta c$ entonces $\alpha<1,$ por lo tanto $\phi$ es contracción en $X.$

Lo que hemos visto en esta entrada demuestra el siguiente:

Teorema. Picard-Lindelöf. Sea $F:(a,b) \times \Omega \to \mathbb{R}$ una función continua y localmente Lipschitz continua en la segunda variable. Entonces, dados $x_0 \in (a,b)$ y $y_0 \in \Omega$ existe $\delta >0$ tal que la ecuación diferencial
$$\dfrac{d \, y(x)}{dx}=F(x,y(x)), \, y(x_0)=y_0$$
tiene una única solución en el intervalo $[x_0 \, – \, \delta, x_0 + \delta].$

Generalización en $\mathbb{R}^n$

Si $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ y $F$ tiene su contradominio en $\mathbb{R}^n$ entonces la definición y el teorema quedan como sigue:

Definición. Función localmente Lipschitz continua en la segunda variable. Sea $(a,b) \subset \mathbb{R}$ y sea $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ tal que $\Omega$ es abierto. Si $F:(a,b) \times \Omega \to \mathbb{R}^n$ es una función que satisface que para cada $x_0 \in (a,b)$ y $y_0 \in \Omega \, $ existen $\delta_0 >0$ y $c>0$ tales que $[x_0 – \delta_0, x_0 + \delta_0] \subset (a,b), \, \overline{B}(y_0, \delta_0) \subset \Omega$ y además que si $|x-x_0| \leq \delta_0$ y si $y_1,y_2 \in \overline{B}(y_0,\delta_0)$ entonces
$$\norm{F(x,y_1)-F(x,y_2)} \leq c \norm{y_1-y_2}$$
diremos que $F$ es localmente Lipschitz continua en la segunda variable.

Teorema. Picard-Lindelöf. Sea $F:(a,b) \times \Omega \to \mathbb{R}^n$ una función continua y localmente Lipschitz continua en la segunda variable. Entonces, dados $x_0 \in (a,b)$ y $y_0 \in \Omega$ existe $\delta >0$ tal que la ecuación diferencial
$$\dfrac{d \, y(x)}{dx}=F(x,y(x)), \, y(x_0)=y_0$$
tiene una única solución en el intervalo $[x_0 \, – \, \delta, x_0 + \delta].$

En este caso el espacio completo donde podemos encontrar la solución es

$$X:= \{ f \in \mathcal{C}^0([x_0 \, – \, \delta, x_0 + \delta], \mathbb{R}^n) : \norm{f \, – \, y_0}_\infty \leq \delta M\}$$

Donde $\delta$ y $M$ se definen de forma análoga a la demostración anterior.

Más adelante

Pasaremos a la siguiente sección de esta asignatura con temas de compacidad. Aunque ya se han usado algunos resultados para el caso del espacio métrico euclidiano, mostraremos cómo el concepto puede generalizarse en otros espacios a partir de la topología que la métrica induce en ellos.

Tarea moral

1. Sean $\delta_0>0$ y $c>0$ para $F$ localmente Lipschitz continua como en la definición. Prueba que $F$ restringida en $[x_0 \, – \, \delta_0, x_0 + \delta_0] \times [y_0 \, – \, \delta_0, y_0 + \delta_0]$ es continua.
2. Sea $F: \mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que $F(x,y)= 3y^{2/3}.$
   a) Prueba que $F$ no es localmente Lipschitz continua en la segunda variable.
   b) Prueba que para cualesquiera $\alpha < 0 < \beta,$ la función
   \begin{equation*}
   f_{\alpha, \beta}(x) = \begin{cases}
   (x \, – \, \alpha)^3 & \text{si x $\leq \alpha,$} \\
   0 & \text{si $\alpha \leq x \leq \beta,$}\\
   (x \, – \, \beta)^3 & \text{si $x \geq \beta.$}
   \end{cases}
   \end{equation*}
   Es diferenciable en $\mathbb{R}$ y es solución de
   $$\dfrac{d \, y(x)}{dx}=3y^{2/3}, \, y(0)=0.$$
   Así, si $F$ no es localmente Lipschitz continua en la segunda variable la ecuación puede tener una infinidad de soluciones.
3. Sea $F: \mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que $F(x,y)= -y^2.$
   a) Prueba que $F$ es localmente Lipschitz continua en la segunda variable.
   b) Para $\alpha \neq 0$ considera la ecuación
   $$\dfrac{d \, y(x)}{dx}=-y^2, \, y(0)= – \, \frac{1}{\alpha}.$$
   Prueba que $f(x)= \dfrac{1}{x \, – \, \alpha}$ es su solución en algún intervalo que contiene a $0$.
   c) ¿Cuál es el intervalo máximo para el que esta ecuación tiene solución?

Enlaces

• Análisis Matemático.
• Enlace a entrada anterior.
• Enlace a entrada siguiente.