(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

INTRODUCCIÓN

Estudiaremos cómo el hecho de que una matriz real simétrica tenga valores propios reales garantiza la existencia de vectores propios con entradas reales y cómo la simetría preserva la ortogonalidad bajo la acción del operador.

Pero lo más importante es que veremos el teorema espectral para operadores simétricos, el cual no solo revela una estructura profunda en los operadores definidos sobre espacios con producto interno, sino que también conecta elegantemente conceptos clave como valores y vectores propios, ortogonalidad y diagonalización. Veremos cómo, bajo condiciones de simetría, es posible encontrar una base ortogonal compuesta exclusivamente por vectores propios, lo que tiene aplicaciones directas en la física, la ingeniería y la ciencias de datos.

Teorema (5.7.1.): Sean $A \in \mathcal{M}_{n \times n} (\mathbb{R})$ una matriz simétrica y $T \in \mathcal{L}(\mathbb{C}^n , \mathbb{C}^n)$ dado por $T(X) = AX$ para toda $X \in \mathbb{C}^n$ . Entonces $T$ tiene un vector propio no nulo con entradas reales.

Demostración: Sean $A \in \mathcal{M}_{n \times n} (\mathbb{R})$ tal que $A^t = A$ y $T \in \mathcal{L}(\mathbb{C}^n , \mathbb{C}^n)$ dado por $T(X) = AX$ para toda $X \in \mathbb{C}^n$.

Sabemos por el (teorema 5.6.1.) que $T$ tiene un valor propio $\lambda$ que, por el teorema (5.6.3.), es real.

Sea $Z$ un vector propio de $T$ no nulo asociado a $\lambda$, escribamos $Z = X + iY$ con $X,Y \in \mathbb{R}^n$. Entonces, $AZ = A(X + iY) = AX + iAY.$ Por otro lado, $AZ = T(Z) = \lambda Z = \lambda (X + iY) = \lambda X + i \lambda Y.$

Igualando parte reales y partes imaginarias $AX = \lambda X$ y $AY = \lambda Y$. Así, $X , Y$ son vectores propios de $T$ asociados a $\lambda$ y como $Z$ es no nulo, entonces al menos uno de $X$ o $Y$ es no nulo y es entonces un vector propio no nulo de $T$ con entradas reales.

OPERADOR LINEAL SIMÉTRICO

Definición: Sea $V$ un $\mathbb{R}$-espacio vectorial con un producto interno $\langle\, ,\, \rangle_V$ y $T \in \mathcal{L} (V,V)$. Decimos que $T$ es simétrico si $\langle T(v) , u \rangle_V = \langle v , T(u) \rangle_V$ para todo $u,v \in V.$

Corolario (5.7.2.): Sea $V$ un $\mathbb{R}$-espacio vectorial de dimensión finita con un producto interno. Sea $T \in \mathcal{L} (V,V)$, $B$ una base ortonormal de $V$ y $A = \lceil T \rceil_{B}^{B}.$
Si $T$ es simétrico, entonces $A^t = A$ y $T$ tiene un vector propio no nulo en $V.$

Demostración: Sea $V$ un $\mathbb{R}$-espacio vectorial de dimensión finita $n$ con un producto interno $\langle\, ,\, \rangle_V$ y $B = (v_1 , … , v_n)$ base ordenada ortonormal de $V$ (que existe gracias al teorema (4.6.1.)).

Sean $w,u \in V$. Tenemos que $w = \lambda_1 v_1 + … + \lambda_n v_n$ y $u = \mu_1 v_1 + … + \mu_n v_n$ para algunos $\lambda_1 ,\dots , \lambda_n ,\mu_1 ,\dots ,\mu_n\in\mathbb{R}.$ Entonces,

$\langle w , u \rangle_V = \langle \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \lambda_i v_i , \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \mu_i v_i \rangle_V$ $= \lambda_1 \mu_1 + … + \lambda_n \mu_n = \langle [w]_{\beta} , [u]_{\beta} \rangle$ con el producto usual de $\mathbb{R}^n$.

En particular, para $w=T(v_i)$ y $u=v_j$ tenemos que $\langle T(v_i) , v_j \rangle_V$ $= \langle [T(v_i)]_{B} , [v_j]_{B} \rangle$ $= \langle [T]_{B}^{B} [v_i]_{B} , [v_j]_{B} \rangle$ y para $w=v_j$ y $u=T(v_i)$ tenemos que $\langle v_j , T(v_i) \rangle_V = $ $=\langle [v_j]_{B} , [T(v_i)]_{B} \rangle$$=\langle [v_j]_{B} , [T]_{B}^{B} [v_i]_{B} \rangle$.

Sea $A = [T]_{B}^{B}$. Entonces $\langle T(v_i) , v_j \rangle_V =\langle [T]_{B}^{B} [v_i]_{B} , [v_j]_{B} \rangle$ $=\langle A e_i , e_j \rangle = A_{ij}$ y $\langle v_j , T(v_i) \rangle_V = \langle [v_j]_{B} , [T]_{B}^{B} [v_i]_{B} \rangle$ $=\langle e_j , Ae_i \rangle = A_{ji}.$

Pero como $T$ es simétrico tenemos que $\langle T(v_j) , v_i \rangle = \langle v_j , T(v_i) \rangle $ y como el campo es el de los reales $\langle v_j , T(v_i) \rangle = \langle T(v_i) , v_j \rangle$. Entonces, $\langle T(v_j) , v_i \rangle = \langle T(v_i) , v_j \rangle$.

$\therefore A_{ij} = A_{ji}.$

Así, $A = A^t$. Además, al considerar el operador $X \mapsto AX$ para todo $X\in\mathbb{C}^n$, por el teorema anterior existe $Y \in \mathbb{R}^n$ un vector propio de dicho operador no nulo con entradas reales asociado a un valor propio $\lambda \in \mathbb{R}.$

Consideremos el vector $v \in V$ tal que $[v]_{B} = Y$. Entonces, $[T(v)]_{B} = [T]_{B}^{B} [v]_{B}$ $= AY = \lambda Y$ $= \lambda [v]_{B} = [\lambda v]_{B}.$

$\therefore T(v) = \lambda v$.

Concluimos que y $v$ un vector propio no nulo de $T$.

Observación: Sea $V$ un $\mathbb{R}$-espacio vectorial con producto interno y $T \in \mathcal{L} (V,V)$ un operador simétrico.
Si $v \in \mathbb{R}^n$ es un vector propio de $T$ y $w \in \mathbb{R}^n$ es ortogonal a $v$, entonces $T(w)$ también es ortogonal a $v.$

Justificación. Sea $v \in \mathbb{R}^n$ un vector propio de $T$ asociado a $\lambda$ y $w \in \mathbb{R}^n$ tal que $\langle v,w \rangle = 0.$
$\langle v , T(w) \rangle = \langle T(v) , w \rangle$ $= \langle \lambda v , w \rangle = \lambda \langle v , w \rangle$ $= \lambda (0) = 0.$
$\therefore T(w)$ es ortogonal a $v$.

Teorema espectral para operadores simétricos (5.7.3.): Sean $V$ un $\mathbb{R}$-espacio vectorial con producto interno de dimensión finita y $T \in \mathcal{L} (V,V)$ un operador simétrico.
Entonces existe una base ortogonal de $V$ formada por vectores propios de $T.$

Demostración: Sean $V$ un $\mathbb{R}$-espacio vectorial con producto interno de dimensión finita $n$ y $T \in \mathcal{L} (V,V)$ un operador simétrico. Hagamos inducción sobre $n.$

Para $n = 1$:

Consideremos $B = (v)$ es una base de $T$. Como $T(v)\in V=\langle v \rangle$ tenemos que $T(v) = \lambda v$ para alguna $\lambda \in \mathbb{R}$ y así $v$ es un vector propio de $T$ asociado a $\lambda$.

Sea $V$ de dimensión $n+1$.

Hipótesis de inducción:
Supongamos que si $W$ es un $\mathbb{R}$-espacio vectorial con producto interno de dimensión finita $n$ y $S \in \mathcal{L} (W,W)$ es un operador simétrico, entonces existe una base ortogonal de $W$ formada por vectores propios de $S.$

Por el corolario (5.7.2.), tenemos que existe $v \in V$ un vector propio no nulo de $T.$

Sea $W = \{ w \in V | \langle w , v \rangle = 0 \} = \langle v \rangle^{\perp}.$

Sabemos que $n+1 = dim \,V$ $= dim\, \langle v \rangle + dim \,\langle v \rangle^{\perp}$, entonces $dim \,W = dim\, \langle v \rangle^{\perp}$ $= n+1 \,-\, dim \langle v \rangle = n.$

Además, por la observación previa al teorema, $T(w) \in W$ para toda $w \in W$, por lo que podemos considerar el operador $T|_W : W \longrightarrow W$ que es simétrico, pues $T$ lo es.

Por hipótesis de inducción, existe $(w_1 , … , w_n)$ una base ortogonal de $W$ formada por vectores propios de $T|_W$ y por tanto, de $T.$

Como $V = W \oplus W^{\perp}$, se tiene que $(w_1 , … , w_n , v)$ es una base de $V$ y, por construcción, está formada por vectores propios de $T.$

Además, como $w_i \in W = \langle v \rangle^{\perp}$ para toda $i \in \{ 1 , … , n \}$, entonces $\langle w_i , v \rangle = 0$ para toda $i \in \{ 1 , … , n \}.$

Así, $(w_1 , … , w_n , v)$ es una base ortogonal de $V$.

Tarea Moral

1. Justifica para cada una de las siguientes transformaciones si son o no simétricas:
   a) $T: \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2$ con $T(x,y) = (2x,y)$
   b) $T: \mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R}^3$ con $T(x,y,z) = (x,y,0)$
   c) $T: \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2$ con $T(x,y) = (-y,x)$
2. Para cada uno de los casos afirmativos en la pregunta anterior, encuentra una base ortogonal de $V$ formada por vectores propios de $T$.

Más adelante…

Durante este curso construimos una visión cada vez más amplia del álgebra lineal. Fuimos desarrollando herramientas generales como espacios vectoriales, transformaciones lineales, bases, producto interno, determinantes y valores propios.

Vimos que el álgebra lineal no consiste en realizar cálculos. Detrás de cada definición y cada teorema hay una manera de interpretar fenómenos geométricos, físicos y tecnológicos: desde sistemas de ecuaciones y transformaciones del espacio hasta robótica y gráficos por computadora. Las herramientas desarrolladas en este curso forman parte del lenguaje matemático que utilizan muchas áreas modernas de la ciencia.

Esto fue solo el inicio de una etapa más profunda. El recorrido continúa y cada nueva herramienta permitirá observar las matemáticas y el mundo desde una perspectiva aún más completa. Descúbrelo en los demás cursos disponibles.

Entradas relacionadas

• Ir a Álgebra Lineal I
• Entrada anterior del curso: 5.6. POLINOMIO CARACTERÍSTICO Y MATRIZ SIMÉTRICA: definiciones y propiedades de valores propios

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

INTRODUCCIÓN

Imagina que una transformación actúa sobre una figura en el espacio: puede estirarla en algunas direcciones, aplastarla en otras o incluso girarla por completo. Pero hay ciertos vectores privilegiados que, en lugar de cambiar de rumbo, permanecen en la misma línea; lo único que les ocurre es que su longitud se escala por un factor. Esos vectores son los vectores propios asociados a los valores propios.

Para identificarlos de manera sistemática, aparece el polinomio característico, una herramienta algebraica que condensa en una sola expresión el comportamiento de una matriz asociada a una transformación. Y lo más interesante es que, en el caso de las matrices simétricas, los valores y vectores propios se organizan con una claridad sorprendente: no solo existen siempre, sino que se distribuyen de manera ortogonal, como si la geometría y el álgebra se dieran la mano con total armonía.

Observación 1: Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión finita $n$ con $B$ una base ordenada de $V$ y $A \in \mathcal{M}_{n \times n} (K)$ tal que $A = [ T ]_{B}^{B}$. Entonces, $\lambda$ es un valor propio de $T$ si y solo si $det (A – \lambda I_n) = 0$.

Justificación: Por la última observación de la entrada 5.5, $\lambda$ es un valor propio de $T$ si y solo si $ A – \lambda I_n$ es no invertible, y por el teorema (5.4.1) $ A – \lambda I_n$ es no invertible si y solo si $det (A – \lambda I_n) = 0$.

Observación 2: Sea $V$ un $K$ – espacio vectorial de dimensión finita $n$, $B , \Gamma$ bases ordenadas de $V$ y $T \in \mathcal{L}(V,V)$. Entonces, $det \left( [ T ]_{B}^{B} – \lambda I_n \right)$ $=det \left( [ T ]_{\Gamma}^{\Gamma} – \lambda I_n \right)$.

Justificación: $det \left( [ T ]_{B}^{B} \,-\, \lambda I_n \right)$ $= det \left( [ id ]_{\Gamma}^{B} [ T ]_{\Gamma}^{\Gamma}[ id ]_{B}^{\Gamma} \,-\, \lambda [ id ]_{\Gamma}^{B} [ id ]_{B}^{\Gamma} \right)$ $= det \left( [ id ]_{\Gamma}^{B} \left( [ T ]_{\Gamma}^{\Gamma} \,-\, \lambda I_n \right) [ id ]_{B}^{\Gamma} \right)$ $= det \, [ id ]_{\Gamma}^{B} \, det \left( [ T ]_{\Gamma}^{\Gamma} \,-\, \lambda I_n \right) \, det \, [ id ]_{B}^{\Gamma} $ $= det \, [ id ]_{\Gamma}^{B} \, det \, [ id ]_{B}^{\Gamma} \, det \left( [ T ]_{\Gamma}^{\Gamma} \,-\, \lambda I_n \right) $ $= det \left( [ id ]_{\Gamma}^{B} [ id ]_{B}^{\Gamma} \right) \, det \left( [ T ]_{\Gamma}^{\Gamma} \,-\, \lambda I_n \right)$ $= det \, [id ]_{B}^{B} \, det \left( [T]_{\Gamma}^{\Gamma} \,-\, \lambda I_n \right) $ $= det \left( [ T ]_{\Gamma}^{\Gamma} \,-\,\lambda I_n \right)$.

POLINOMIO CARACTERÍSTICO

Definición: Sean $V$ un $K$ – espacio vectorial de dimensión finita $n$, $T \in \mathcal{L} (V,V)$ y $B = (v_1 , … , v_n)$ una base de $V$. Llamamos el polinomio característico de $T$ al polinomio $p_T (x) = det \left( [ T ]_{B}^{B} \,-\, x I_n \right).$

Notemos que, debido a la observación 3, el polinomio característico no depende de la base elegida, por lo que está bien definido.

Reescribiendo la observación 1 de acuerdo a la definición anterior:

Observación 3: Las raíces del polinomio característico de $T$ son los valores propios de $T$.

Teorema (5.6.1.): Sea $V$ un $\mathbb{C}$ – espacio vectorial de dimensión finita. Todo operador lineal en $V$ tiene al menos un valor propio.

Demostración: Sea $V$ un $\mathbb{C}$ – espacio vectorial de dimensión finita $n.$

Sean $T \in \mathcal{L} (V,V)$ y $B = (v_1, … , v_n)$ una base de $V.$

El polinomio característico de $T$ es $p_T (\lambda) = det \left( [ T ]_{B}^{B} \,-\, x I_n \right)$ que es un polinomio en $\mathbb{C} [x].$

Por el Teorema fundamental del álgebra, existe $\lambda \in \mathbb{C}$ una raíz de $p_T (x)$ que, de acuerdo a la observación 3, es un valor propio de $T.$

Ejemplo

• Sea $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$. Definamos $T : \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2$ como $T(x) = Ax$ para toda $x \in \mathbb{R}^2$
  Entonces, $p_T (x) = (x-4) (x-2).$

Justificación. Como $T(x) = Ax$, entonces $A= [ T ]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{C}}$ con $\mathcal{C}$ la base canónica.

Por lo tanto, $p _T (x) = det (A \,-\, x I_2)$ $= det \left(\begin{array}{cc} 3-x & 1 \\ 1 & 3 -x \end{array}\right) = (3-x)^2 \,-\, 1$ $= x^2- 6x +9 \,-\, 1$ $= x^2 \,-\, 6x + 8 = (x-4) (x-2).$

Teorema (5.6.2.): Sean $V$ un $\mathbb{C}$ – espacio vectorial de dimensión finita y $T \in \mathcal{L} (V,V)$. Existe $B$ una base ordenada de $V$ tal que $[ T ]_{\beta}^{\beta}$ es triangular superior.

Demostración: Sean $V$ un $\mathbb{C}$ – espacio vectorial de dimensión finita $n$ y $T \in \mathcal{L} (V,V)$. Haremos la prueba por inducción sobre $n$:

Sea $n$ un natural.

Hipótesis de inducción: Supongamos que el resultado se cumple para todo $\mathbb{C}$ – espacio vectorial de dimensión menor que $n.$

Sea $V$ un $\mathbb{C}$ – espacio vectorial de dimensión $n$. Sabemos, por el teorema (5.6.1.) que existe $\lambda \in \mathbb{C}$ un valor propio de $T.$ Consideremos el operador $T \,-\, \lambda id_V$ y definamos $U = Im (T \,-\, \lambda id_V).$

Como $\lambda$ es un valor propio de $T$, por la última observación de la entrada 5.5, $ T – \lambda I_n$ es no invertible y en consecuencia, por el teorema (5.7.1.), $ T – \lambda I_n$ no es suprayectiva.

Así, $dim_{\mathbb{C}} \,U = dim_{\mathbb{C}} \,I_m (T – \lambda id_V)$ $< dim_{\mathbb{C}} \,V = n.$

Además, si $u \in U$: $T(u) = T(u) – \lambda u + \lambda u = (T – \lambda id_V) (u) + \lambda u$

Como $(T – \lambda id_V) (u) \in Im (T – \lambda id_V) = U$ y $\lambda u \in U$ tenemos que $T (u) \in U$, concluimos que $T(u) \in U.$ Por lo tanto, podemos considerar la restricción de $T$ a $U$, es decir, $T |_U : U \longrightarrow U.$

Por la hipótesis de inducción, sabemos que existe $B = (u_1 , … , u_m)$ una base de $U$ formada por vectores propios de $T |_U$ (y en consecuencia de $T$), digamos que $T(u_i)=\lambda_i u_i$ con $\lambda_1,\dots ,\lambda_m\in\mathbb{C}$.

Podemos completar $B$ a una base de $V$: $\Gamma = (u_1 , … , u_m , v_1 , … , v_r).$

Como $T (v_j) = T(v_j) – \lambda v_j + \lambda v_j = (T – \lambda id_V) (v_j) + \lambda v_j$ con $(T – \lambda id_V) (v_j) \in U$, entonces $T (v_j) \in \langle u_1 , … , u_m , v_j \rangle .$

Entonces, para toda $j \in \{ 1 , … , r \}$: $T (v_j) = \mu_{1j} u_1 + … + \mu_{mj} u_m + \lambda v_j$ para algunos $\mu_{1j}, … \mu_{mj} \in \mathbb{C}$, y así $[ T (v_j) ]_{\Gamma} = \begin{pmatrix} \mu_{1j} & \dotsb & \mu_{mj} & 0 & \dotsb & \lambda & \dotsb & 0 \end{pmatrix}^t$ donde $\lambda$ se encuentra en la $j$ – ésima posición.

Por otro lado, para toda $i \in \{ 1 , … , m \}$, $[ T (u_i) ]_{\Gamma} = \begin{pmatrix} 0 & \dotsb & 0 & \lambda_i & 0 & \dots & 0 \end{pmatrix}^t$ donde $\lambda_i$ se encuentra en la $i$ – ésima posición.

Así, $[ T]_{\Gamma}^{\Gamma} = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \dotsb & 0 & 0 & \mu_{1j} & \mu_{1j+1} & \dotsb & \mu_{1r-1} & \mu_{1r} \\ 0 & \lambda_2 & \dotsb & 0 & 0 & \mu_{2j} & \mu_{2j+1} & \dotsb & \mu_{2r-1} & \mu_{2r} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \dotsb & \lambda_{m-1} & 0 & \mu_{m-1j} & \mu_{m-1j+1} & \dotsb & \mu_{m-1r-1} & \mu_{m-1r} \\ 0 & 0 & \dotsb & 0 & \lambda_m & \mu_{mj} & \mu_{mj+1} & \dotsb & \mu_{mr-1} & \mu_{mr} \\ 0 & 0 & \dotsb & 0 & 0 & \lambda & 0 & \dotsb & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \dotsb & 0 & 0 & 0 & \lambda & \dotsb & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \dotsb & 0 & 0 & 0 & 0 & \dotsb & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \dotsb & 0 & 0 & 0 & 0 & \dotsb & 0 & \lambda \end{pmatrix},$

que es triangular superior.

Nota: Consideremos ahora el $\mathbb{C}$ – espacio vectorial $\mathbb{C}^n$ (o $\mathcal{M}_{n \times 1} (\mathcal{C})$) con el producto punto usual, es decir, $\langle X , Y \rangle = X^t \overline{Y}$ para todas $X , Y \in \mathbb{C}^n.$

Diremos que $A \in \mathcal{M}_{n \times n} (\mathbb{R})$ es simétrica si $A^t = A.$

Observación 4: Si $A \in \mathcal{M}_{n \times n} (\mathbb{R})$ es simétrica, entonces para todas $X , Y \in \mathbb{C}^n$ se cumple que $\langle AX,Y \rangle = \langle X,AY \rangle$

Justificación. Si $A \in \mathcal{M}_{n \times n} (\mathbb{R})$, entonces $A = \overline{A}$. Y si además $A = A^t$, entonces $\langle AX,Y \rangle = (AX)^t \overline{Y}$ $= X^t A^t \overline{Y} = X^t A \overline{Y}$ $ = X^t \overline{A} \overline{Y} = X^t \overline{AY}= \langle X,AY \rangle$.

Teorema (5.6.3.): Sea $T \in \mathcal{L} (\mathbb{C}^n , \mathbb{C}^n)$ dado por $T(X) = AX$ con $A \in \mathcal{M}_{n \times n} (\mathbb{R})$ una matriz simétrica. Entonces todo valor propio de $T$ es real.

Demostración: Sea $T \in \mathcal{L} (\mathbb{C}^n , \mathbb{C}^n)$ dado por $T(X) = AX$ con $A \in \mathcal{M}_{n \times n} (\mathbb{R})$ una matriz simétrica. Sabemos que los valores propios de $T$ son las raíces de $p_T (X) \in \mathbb{C} [X]$, que, como consecuencias del Teorema fundamental del álgebra, son números complejos.

Veamos que, de hecho, son números reales.

Sea $\lambda \in \mathbb{C}$ un valor propio de $T$.
Consideremos $X \in \mathbb{C}^n$ un vector propio no nulo de $T$ asociado a $\lambda$:

Por un lado, $\langle AX , X \rangle = \langle T(X) , X \rangle$ $= \langle \lambda X , X \rangle = \lambda \langle X , X \rangle .$

Por otro lado, por la observación 4, $\langle AX , X \rangle = \langle X , AX \rangle = \langle X , T(X) \rangle$ $= \langle X , \lambda X \rangle = \overline{\lambda} \langle X , X \rangle .$

Por lo tanto, $\lambda \langle X , X \rangle = \overline{\lambda} \langle X , X \rangle$ y como $X$ es no nulo, entonces $\langle X , X \rangle \not= 0$. Así que $\lambda = \overline{\lambda}$ y al ser $\lambda$ igual a su conjugado podemos concluir que es un número real.

Tarea Moral

1. Sea $T \in \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2$ definida por $T (x,y) = (4x + y , x+2y).$
   a) Encuentra $[ T ]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{C}}$ con $\mathcal{C}$ la base canónica.
   b) Calcula el polinomio característico de $T$.
   c) Encuentra los valores propios de $T$ y un vector propio para cada uno.
   d) ¿Existe una base de $\mathbb{R}^2$ formada por vectores propios de $T$? Exhibe dos ejemplos en caso de que existan.
2. Sea $T : \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2$ con el producto interno usual en $\mathbb{R}^2$ definida por $T(X) = AX$ para toda $X \in \mathbb{R}^2$ donde $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}.$
   a) Encuentra los valores propios de $T$ y una base $B$ de $V$ formada por vectores propios de $T$.
   b) Encuentra la matriz diagonal $D =[ T ]_{B}^{B}$
   c) Sea $P=[id_{\mathbb{R}^2 }]_B^C$, con $C$ la base canónica de $\mathbb{R}^2 $. Calcula $P^{-1}AP$.
3. Sea $A = \left(\begin{array}{rr} 3 & -1 \\ -1 & 3 \end{array}\right).$
   a) ¿Es $A$ simétrica?
   b) Considerando $\langle X,Y \rangle = X^t Y$ y $T:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 $ con $T(X)=AX$ para todo $X\in \mathbb{R}^2 $. Demuestra que para todos $X,Y\in \mathbb{R}^2 $ se tiene que $\langle T(X),Y \rangle =\langle X,T(Y) \rangle $.
   c) Comprueba que cualesquiera dos vectores propios correspondientes a distintos valores propios de $T$ son ortogonales.
4. Sean $T_1 , T_2 , T_3 , T_4 \in \mathcal{L} (\mathbb{R}^2 , \mathbb{R}^2)$
   tales que $\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2$:
   $T_1 (x,y) = (3x + 2y , 2x + 3y),$
   $T_2 (x,y) = (-y , x),$
   $T_3 (x,y) = (4x , y),$
   $T_4 (x,y) = (x+y , x-y).$
   Obteniendo únicamente su matriz asociada, ¿para cuáles operadores podemos asegurar que todo valor propio es real?

Más adelante…

Profundizaremos en las consecuencias geométricas de que una matriz simétrica tenga todos sus valores propios reales. Veremos cómo este hecho garantiza la existencia de vectores propios con componentes reales y cómo la simetría preserva relaciones de ortogonalidad entre ellos. Estos resultados nos conducirán al teorema espectral, una herramienta fundamental que revela que todo operador lineal simétrico puede representarse, en una base adecuada, mediante una matriz diagonal. Esta propiedad no solo simplifica enormemente los cálculos, sino que también ofrece una visión estructural poderosa sobre la acción de los operadores simétricos en espacios con producto interno.

Entradas relacionadas

• Ir a Álgebra Lineal I
• Entrada anterior del curso: 5.5. OPERADOR LINEAL, VALOR Y VECTOR PROPIO: definiciones, propiedades y ejemplos
• Siguiente entrada del curso: 5.7. OPERADOR LINEAL SIMÉTRICO: definición y teorema espectral para operadores simétricos

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

INTRODUCCIÓN

Imagina una transformación que gira, estira o deforma un espacio. En apariencia todo cambia… excepto algunas direcciones privilegiadas que parecen “resistirse” a la transformación: no cambian de «ángulo», solo se estiran o se encogen. ¿Cómo encontrarlas?

OPERADOR LINEAL Y VALOR PROPIO

Definición: Sea $V$ un $K$ – espacio vectorial. Le llamaremos a $T$$\,\in \mathcal{L}(V,V)$ un operador lineal en $V$.
Dado $\lambda \in K$, decimos que $\lambda$ es un valor propio de $T$ si existe $v \in V \setminus \{ \theta_V \}$ tal que $T(v) = \lambda v.$

VECTOR PROPIO (EIGENVECTOR) Y ESPACIO DE VECTORES PROPIOS

Definición: Sean $V$ un $K$ – espacio vectorial, $T$ un operador lineal en $V$ y $\lambda \in K$ un valor propio de $T$. Decimos que $v$$\,\in V$ es un vector propio o eigenvector de $T$ asociado a $\lambda$ si $T(v) = \lambda v.$
Le llamamos el espacio de vectores propios asociado a $\lambda$ al conjunto $E_{\lambda} = \langle v \in V | T(v) = \lambda v \rangle .$

Observación: Si $v \in V$ es un vector propio de $T$ no nulo, entonces existe un único valor propio de $T$ al que está asociado.

Justificación. Sea $v \in V \setminus \{ \theta_V \}$ un vector propio de $T$ asociado al valor propio $\lambda \in K$. Supongamos que también está asociado al valor propio $\mu \in K$. Entonces, $T(v) = \lambda v = \mu v$, en consecuencia $(\lambda – \mu) v= \theta_V$, pero como $v \not = \theta_V$, entonces $\lambda -\mu =0$ y así $\lambda =\mu$.

Ejemplo

• Sea $T : \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2$ donde $\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2 ( T(x,y) = (y,x) )$
  $1$ es un valor propio de $T$ y $(1,1)$ es un vector propio de $T , \lambda$ asociado a $1.$
  $-1$ es un valor propio de $T$ y $(-1,1)$ es un vector propio de $T$ asociado a $-1.$

Justificación.

Tenemos que $T(1,1) = (1,1) = 1 (1,1)$
Por lo tanto $T(1,1) = 1(1,1)$ y se tiene que $1$ es un valor propio de $T$ y $(1,1) $ un vector propio de $T$ asociado a $1$. Además,

$E_1 = \langle (x,y) \in \mathbb{R}^2 | T(x,y) = 1(x,y) \rangle$ $= \langle (x,y) \in \mathbb{R}^2 | (y,x) = (x,y) \rangle$ $= \langle (x,x) \in \mathbb{R}^2 | x \in \mathbb{R} \rangle$.

Tenemos que $T(-1,1) = (1,-1) = -1 (-1,1)$
Por lo tanto $T(-1,1) = -1(-1,1)$ y se tiene que $-1$ es un valor propio de $T$ y $(-1,1) $ un vector propio de $T$ asociado a $-1$. Además,

$E_{-1} = \langle (x,y) \in \mathbb{R}^2 | T(x,y) = -1(x,y) \rangle$ $= \langle (x,y) \in \mathbb{R}^2 | (y,x) = (-x,-y) \rangle$ $= \langle (x,-x) \in \mathbb{R}^2 | x \in \mathbb{R} \rangle$.

Teorema (5.5.1.): Sean $V$ un $K$ – espacio vectorial y $T$ un operador lineal en $V$.
Si $\lambda_1 , … , \lambda_m \in K$ son valores propios de $T$ distintos y $v_1 , … , v_m$ son vectores propios no nulos de $T$ asociados a $\lambda_1 , … , \lambda_m$ respectivamente, entonces la lista $v_1 , … , v_m$ es linealmente independiente.

Demostración: Sean $V$ un $K$ – espacio vectorial y $T$ un operador lineal en $V$.
Si $\lambda_1 , … , \lambda_m \in K$ son valores propios de $T$ distintos y $v_1 , … , v_m$ son vectores propios no nulos de $T$ asociados a $\lambda_1 , … , \lambda_m$. Supongamos por reducción al absurdo que la lista $v_1 , … , V_m$ es linealmente dependiente.

Sea $k \in \{ 1 , … , m \}$ el menor entero tal que $v_k \in \langle v_1 , … , v_{k-1} \rangle .$

Así, $v_k = \mu_1 v_1 + … + \mu_{k-1} v_{k-1}$ para algunos $\mu_1 , … , \mu_{k-1} \in K.$

Multiplicando por $\lambda_k$ tenemos:
$\lambda_k v_k = \mu_1 \lambda_k v_1 + … + \mu_{k-1} \lambda_{k} v_{k-1}.$

Por otro lado, evaluando $T$ en $v_k$:
$\lambda_k v_k = T(v_k)$ $= T (\mu_1 v_1 + … + \mu_{k-1} v_{k-1})$ $= \mu_1 \lambda_1 v_1 + … + \mu_{k-1} \lambda_{k-1} v_{k-1}.$

Restando ambas expresiones obtenemos:
$\theta_V = \mu_1 (\lambda_1 – \lambda_k) v_1 + … + \mu_{k-1} (\lambda_{k-1} – \lambda_k) v_{k-1}.$

Por la elección de $k$, la lista $v_1 , … , v_{k-1}$ es l.i., entonces $\mu_i (\lambda_1 – \lambda_k) = 0$ para toda $i \in \{ 1 , … , k-1 \}.$

Por hipótesis, $\lambda_1 , … , \lambda_m$ son distintos, entonces $\lambda_i – \lambda_k \not= 0$ para toda $i \in \{ 1, … , k-1 \}$. Por lo tanto, los valores que son cero son los $\mu_i$ para toda $i \in \{ 1, … , k-1 \}$.Así, $v_k = \mu_1 v_1 + … + \mu_{k-1} v_{k-1} = \theta_V$, pero esto es una contradicción ya que por hipótesis $v_1 , … , v_m$ son vectores no nulos.

Por lo tanto, la lista $v_1 , … , v_m$ es linealmente independiente.

Ejemplo

• Sea $T : \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2$ donde $\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2 ( T(x,y) = (y,x) )$
  $\beta=( (1,1) , (-1,1) )$ es una base de $\mathbb{R}^2$ y $[T ]_{\beta}^{\beta}$ es una matriz diagonal.

Justificación. Notemos que $T$ es el operador lineal del ejemplo anterior.

Ya vimos que $(1,1)$ y $(-1,1)$ son vectores propios de $T$ asociados a $1$ y $-1$ respectivamente.

Por el teorema (5.5.1.), podemos concluir que $\{ (1,1) , (-1,1) \}$ es un conjunto linealmente independiente de cardinalidad $2$ en el espacio $\mathbb{R}^2$, que es de dimensión $2$. Por lo tanto, es una base de $\mathbb{R}^2.$

Así, definiendo $\beta = ( (1,1) , (-1,1) )$, tenemos que $[T ]_{\beta}^{\beta} = \left(\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right) .$

Teorema (5.5.2.): Sea $V$ un $K$ – espacio vectorial de dimensión finita y $T \in \mathcal{L}(V,V)$. Si $\beta = (v_1 , … , v_n)$ es una base de $V$ formada por vectores propios de $T$, entonces $[ T ]_{\beta}^{\beta}$ es una matriz diagonal.

Demostración: Sea $V$ un $K$ – espacio vectorial de dimensión finita, $T \in \mathcal{L}(V,V)$ y $\beta = (v_1 , … , v_n)$ es una base de $V$ formada por vectores propios de $T$.

Como $v_1 , … , v_n$ son vectores propios de $T$, existen $\lambda_1 , … , \lambda_n \in K$ tales que $T (v_i) = \lambda_i v_i$ para cada $i \in \{ 1 , … , n \}.$ De este modo, para cada $i \in \{ 1, … , n \}$ tenemos que $T (v_i) = 0 v_1 + … \lambda_i v_i + … + 0 v_n$, entonces para cada $i \in \{ 1, … , n \}$:
$[ T (v_i) ]_{\beta} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ \vdots \\ \lambda_i \\ \vdots \\ 0 \end{array}\right).$

Por lo tanto, cada $i$-ésima columna de $[ T ]_{\beta}^{\beta}$ es cero en todas sus entradas excepto en la $i$-ésima, cuyo valor es $\lambda_i$:

$[ T ]_{\beta}^{\beta} = \left(\begin{array}{rrrrr} \lambda_1 & 0 & \dotsb & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \dotsb & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \dotsb & \lambda_{n-1} & 0 \\ 0 & 0 & \dotsb & 0 & \lambda_n \end{array}\right) $

Observación: $\lambda$ es un valor propio de $T$ si y solo si $T – \lambda id_V$ no es invertible.
Justificación: $\lambda$ es un valor propio de $T$
$\iff \exists v \in V \setminus \{ \theta_V \}$ tal que $T (v) = \lambda v$
$\iff \exists v \in V \setminus \{ \theta_V \}$ tal que $(T – \lambda id_V) (v) = \theta_V$
$\iff T – \lambda id_V$ no es inyectiva
$\iff T – \lambda id_V$ no es invertible.

Tarea Moral

1. Demuestra o da un contraejemplo:
   Sean $V$ un $K$ – espacio vectorial de dimensión finita y $T \in \mathcal{L} (V,V)$.
   Existe siempre una base formada por vectores propios.
2. Sea $T : \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2$ donde $\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2 ( T (x,y) = (2x , 3y) ).$
   ¿Qué valores propios están asociados a $(1,0)$ y $(0,1)$ respectivamente?
   Describe geométricamente los espacios de los eigenvectores $(1,0)$ y $(0,1).$
3. Demuestra que si todos los vectores no nulos de $\mathbb{C}^n$ son vectores propios de un operador lineal $T : \mathbb{C}^n \longrightarrow \mathbb{C}^n$, entonces $T = \lambda Id$ para algún $\lambda \in K.$

Más adelante…

Abriremos la puerta a un nuevo terreno: los valores propios y el polinomio característico. Estos conceptos nos permiten descubrir direcciones esenciales dentro de un espacio vectorial, donde la acción de una transformación se reduce a un estiramiento o compresión. Al mismo tiempo, nos encontraremos con una clase especial de matrices – las simétricas – cuyas propiedades hacen que sus valores propios sean particularmente interesantes y manejables.

Entradas relacionadas

• Ir a Álgebra Lineal I
• Entrada anterior del curso: 5.4. MATRICES INVERTIBLES: equivalencias y producto
• Siguiente entrada del curso: 5.6. POLINOMIO CARACTERÍSTICO Y MATRIZ SIMÉTRICA: definiciones y propiedades de valores propios

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

INTRODUCCIÓN

Piensa en una transformación que mueve puntos en el espacio: algunas deforman, otras aplastan o aplastan parcialmente las dimensiones. Una matriz invertible sirve para describir transformaciones que nunca aplastan nada, de modo que todo punto puede ser recuperado a partir de su imagen.

En esta entrada exploraremos las diferentes formas de reconocer a estas matrices y lo que sucede cuando multiplicamos dos de ellas: el resultado sigue siendo una matriz del mismo tipo, invertible.

Observación 1: Recordemos que si $A \sim R$ con $R$ escalonada reducida por renglones, entonces $A = E_1 \dotsb E_t R$ con $t$ un natural positivo y $E_i$ una matriz elemental para toda $i \in \{ 1 , … , t \}$.
Además, toda matriz elemental es invertible. (Se sugiere revisar la Nota 35 del curso de Álgebra Superior I).

Observación 2: Si $R \in \mathcal{M}_{n \times n} (K)$ es escalonada reducida, entonces $R = I_n$ o $R$ tiene al menos un renglón nulo.

Observación 3: Sea $A \in \mathcal{M}_{n \times n}(K)$ donde $A \sim R$ con $R$ escalonada reducida. Tenemos que $det \, A \not= 0$ si y sólo si $det \, R \not= 0.$
Justificación. Las operaciones elementales sólo afectan el signo del determinante o lo modifican por un factor $\lambda \not= 0$.

Teorema (5.4.1.): Sea $A \in \mathcal{M}_{n \times n} (K)$.
Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1) Los renglones de $A$ forman un conjunto linealmente indepediente en $K^n$

2) $rango \,A = n,$

3) $A \sim I_n,$

4) $A$ tiene inversa,

5) $det \, A \not= 0.$

Demostración:

$1 \Rightarrow 2$) Supongamos que los renglones de $A$ son un conjunto linealmente independiente en $K^n$.

Entonces, como son $n$ vectores linealmente independiente en $K^n$ son una base de $K^n$ y así, el espacio de renglones de $A$ es $K^n$ que tiene dimensión $n.$

$\therefore rango \,A = n$.

$2 \Rightarrow 3$) Supongamos que $rango \,A = n$.

Entonces al escalonar $A$ se obtiene una matriz reducida $R \in \mathcal{M}_{n \times n}$ con $n$ renglones no nulos.

Por la Observación 2, tenemos que $R = I_n.$

$\therefore A \sim I_n$.

$3 \Rightarrow 4$) Supongamos que $A \sim I_n$, entonces $A = E_t \dotsb E_1 I_n$ con con $t$ un natural positivo y $E_1 , … , E_t$ matrices elementales (que son invertibles).

Notemos que $B={E_1}^{-1} \dotsb {E_t}^{-1}$ cumple que $AB=BA=I_n$. Por lo tanto $A$ es invertible.

$4 \Rightarrow 5$) Supongamos que $A$ es invertible, entonces existe $A^{-1}$ tal que $A A^{-1} = I_n$

Así, $1 = det \, I_n = det \, (A A^{-1})$

Por el teorema (5.3.2.) tenemos que $det \, (A A^{-1}) = det \, A\,det \, A^{-1}.$

Así, $1 = det \, A\,det \, A^{-1}.$

$\therefore det \, A \not= 0$.

$5 \Rightarrow 1$) Supongamos que $det \, A \not= 0$

Sea $R$ la matriz escalonada tal que $A \sim R$. Por la observación 3 $det \, R \not= 0$ y entonces $R$ no puede tener renglones nulos.

Usando la observación 2, tenemos que $R = I_n$. Así, la dimensión del espacio de renglones de $A$ es $n$ y entonces los $n$ renglones de $A$ deben formar un conjunto linealmente independiente.

Corolario (5.4.2.): Sean $A , B \in \mathcal{M}_{n \times n} (K)$.
La matriz $AB$ es invertible si y sólo si $A$ y $B$ son invertibles.
En ese caso, $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$

Demostración:

$AB$ es invertible $\Leftrightarrow$ $det \, AB \not= 0$
$\Leftrightarrow$ $det \, A\,det \, B\not=0$
$\Leftrightarrow$ $det \, A \not= 0$ y $det \, B \not= 0.$

Del teorema (5.4.1.) tenemos que lo último sucede si y sólo si $A$ es invertible y $B$ es invertible.

En ese caso:

$AB (B^{-1} A^{-1}) = A (B B^{-1}) A^{-1}$ $= A I_n A^{-1} = A A^{-1} = I_n$
$(B^{-1} A^{-1}) AB = B^{-1} (A^{-1} A) B$ $= B^{-1} I_n B = B^{-1} B = I_n$

$\therefore (AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$.

Tarea Moral

1. Construye una matriz en $\mathcal{M}_{6 \times 6} (\mathbb{R})$ que no sea invertible. ¿Qué otras cuatro características puedes afirmar de esa matriz propuesta al saber que no es invertible?
2. Sean $A, B \in\mathcal{M}_{n \times n} (K)$ invertibles.
   a) Si conoces $(AB)^{-1}$ y $A$.
   ¿Cómo calcularías la inversa de $B$ sin conocer $B$?
   b) Si conoces $(AB)^{-1}$ y $A^{-1}$.
   ¿Cómo calcularías la inversa de $B$ sin conocer $B$?

Más adelante…

Hasta este punto hemos estudiado cuándo una matriz puede invertirse y cómo ciertas propiedades permiten describir su comportamiento global. Sin embargo, también es posible analizar una transformación lineal desde otra perspectiva: en lugar de observar todo el espacio al mismo tiempo, podemos buscar vectores particulares cuya dirección permanezca inalterada bajo la acción del operador. Estas direcciones especiales permitirán comprender mejor la estructura interna de las transformaciones y simplificar problemas que, a primera vista, parecen mucho más complejos.

Entradas relacionadas

• Ir a Álgebra Lineal I
• Entrada anterior del curso: 5.3. EL MENOR $i,j$ de $A$: definición y propiedades del determinante de la transpuesta y del producto de matrices
• Siguiente entrada del curso: 5.5. OPERADOR LINEAL, VALOR Y VECTOR PROPIO: definiciones, propiedades y ejemplos

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

INTRODUCCIÓN

En el siglo XVIII, Pierre-Simon Laplace desarrolló un método que aún hoy se enseña en los cursos de matemáticas: el desarrollo de determinantes por cofactores. Este avance no surgió de la nada, sino de propiedades básicas que se descubrieron antes: la simetría entre renglones y columnas, y la forma en que el determinante se comporta frente al producto de matrices.

Esta entrada nos llevará de la estructura a la técnica, siguiendo los mismos pasos que guiaron a los grandes matemáticos del pasado.

Observación: Dada $\sigma \in S_n$ se tiene que $sgn\,\sigma = sgn\,\sigma^{-1}.$

Justificación. Si $\sigma = \tau_1 \circ \dotsb \circ \tau_m$ con $\tau_1 , … , \tau_m \in S_n$ transposiciones, se tiene que $\sigma^{-1} = \tau_m \circ \dotsb \circ \tau_1$, así $sgn \,\sigma = (-1)^m = sgn \,\sigma^{-1}$.

Teorema (5.3.1.): Sea $A \in \mathcal{M}_{n \times n} (K)$. Tenemos que $det \, A = det \, A^t$.
En consecuencia, todas las propiedades del determinante que se cumplen para renglones, también se cumplen para columnas.

Demostración: Sea $A = (a_{ij})$ y $A^t = (b_{ij})$ (donde $b_{ij}=a_{ji}$ para todos $i,j$).

$det \, A^t = \displaystyle \sum_{\sigma \in S_n} sgn \,\sigma \, b_{1 \, \sigma (1)} \dotsb b_{n \, \sigma (n)}$ $= \displaystyle \sum_{\sigma \in S_n} sgn \,\sigma \, a_{\sigma (1) \, 1} \dotsb a_{\sigma (n) \, n} $ $= \displaystyle \sum_{\sigma^{-1} \in S_n} sgn \,\sigma^{-1} \, a_{\sigma (1) \,\sigma^{-1} (\sigma (1))} \dotsb a_{\sigma (n) \, \sigma^{-1} (\sigma (n))} $ $= \displaystyle \sum_{\sigma^{-1} \in S_n} sgn \,\sigma^{-1} \, a_{1 \,\sigma^{-1} (1)} \dotsb a_{n \, \sigma^{-1} (n)} $.

Ahora, reescribamos $\sigma^{-1}$ como $\gamma$ para simplificar notación y notar que $\displaystyle \sum_{\sigma^{-1} \in S_n} sgn \,\sigma^{-1} \, a_{1 \,\sigma^{-1} (1)} \dotsb a_{n \, \sigma^{-1} (n)} = \displaystyle \sum_{\gamma \in S_n} sgn \,\gamma \, a_{1 \,\gamma (1)} \dotsb a_{n \, \gamma^{-1} (n)} = det \, A.$

Por lo tanto, $det \, A^t = det \, A.$

Teorema (5.3.2.): Sean $A, B \in \mathcal{M}_{n \times n} (K)$.
Se cumple que $det \, AB = det \, A\, det \, B.$

Demostración: Sean $A, B \in \mathcal{M}_{n \times n} (K)$. Consideremos $C = AB$, entonces el renglón $i$ de $C$ es $C_i = a_{i1}B_1 + … + a_{in}B_n$ con $B_1 , … , B_n$ los renglones de $B.$

Entonces, $det \, C = det (a_{11}B_1 + … + a_{1n}B_n , … , a_{n1}B_1 + … + a_{nn}B_n)$.

Usando la linealidad en cada entrada, obtenemos muchos sumandos del tipo $a_{1 \, t_1} \dotsb a_{n \, t_n} \, det (B_{t_1} , … , B_{t_n})$, pero si $t_i = t_j$ para $i \not= j$, entonces $det (B_{t_1} , … , B_{t_n}) = 0$

Así, basta con considerar los sumandos donde $t_1 , … , t_n$ son los números $\{ 1 , … , n \}$ salvo por el orden.

Sea $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & … & n \\ t_1 & t_2 & … & t_n \end{pmatrix}.$

Entonces, usando el inciso c de la proposición (5.1.1.), $det \, C = \displaystyle \sum_{\sigma \in S_n} \, a_{1 \, \sigma (1)} \dotsb a_{n \, \sigma (n)} \, det (B_{\sigma (1)} , … , B_{\sigma (n)})$ $= \displaystyle \sum_{\sigma \in S_n} sgn (\sigma)\, a_{1 \, \sigma (1)} \dotsb a_{n \, \sigma (n)} \, det (B_1 , … , B_n)$ $= det \, A\, det \, B$.

EL MENOR $i , j$ DE $A$

Definición: Sean $A \in \mathcal{M}_{n \times n} (K)$ y $j , i \in \{ 1, … , n \}$. Denotemos por $A (i|j)$ a la matriz $(n-1) \times (n-1)$ que se obtiene de $A$ quitando el renglón $i$ y la columna $j$. Decimos que $det \, A (i|j)$ es el menor $i , j$ de $A.$

Ejemplo

• Sea $A = \left(\begin{array}{rrr} 1 & -2 & 3 \\ 5 & 7 & 0 \\ 2 & 4 & -1 \end{array}\right).$
  El menor $1,2$ de $A$ es $-5$ y el menor $2,3$ de $A$ es $8$.

Justificación. Veamos cómo son $A (1|2)$ y $A (2|3)$ y sus respectivos determinantes:

$A (1|2) = \left(\begin{array}{rr} 5 & 0 \\ 2 & -1 \end{array}\right)$ y su determinante es $-5$

$A(2|3) = \left(\begin{array}{rr}1 & -2 \\ 2 & 4 \end{array}\right)$ y su determinante es $8$.

Teorema (5.3.3.): Sean $A \in \mathcal{M}_{n \times n} (K)$ y $n \geq 2$. Se cumple que, para toda $i$ y para toda $j$ en $\{1,\dots , n\}$: $det \, A = (-1)^{i+1} \, a_{i1} \, det \, A (i|1) + … + (-1)^{i+n} \, a_{in} \, det \, A (i|n)$ $= (-1)^{1+j} \, a_{1j} \, det \, A (1|j) + … + (-1)^{n+j} \, a_{nj} \, det \, A (n|j)$

Demostración: Sean $A \in \mathcal{M}_{n \times n} (K)$ y $n \geq 2$.

Sea $j \in \{1,\dots , n\}$. Veamos que $Det \, A = \displaystyle \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+j} \, a_{ij} \, det \, A (i|j)$ es una función determinante $n \times n$ en $K$. Al lograrlo, por el teorema (5.2.1.) tendremos que $Det \, A = det \, A.$

Sean $A_1 , … , A_n \in K^n$ los renglones de $A$ con $A_k = \lambda A^*_k + A^{**}_k$ para algunas $\lambda \in K$ y $A^*_k , A^{**}_k.$

Sean $A^*$ la matriz con renglones $A_1 , … , A^*_k , … , A_n$ y $A^{**}$ la matriz con renglones $A_1 , … , A^{**}_k , … , A_n.$

Tenemos que:

$\begin{align*}
a_{kj} \, det \, A (k|j) & = ( \lambda {a_{kj}}^* + a^{**}_{kj} ) \, det \, A (k|j) \tag{} \\
& = \lambda a^*_{kj} det \, A (k|j) + a^{**} _{kj}det \, A (k|j) \tag{} \\
& = \lambda a^*_{kj} det \, A^* (k|j) + a^{**} _{kj}det \, A^{**} (k|j). \tag{} \\
\end{align*}$

Ahora, si $i \not= k$:

$\begin{align*}
a_{ij} det \, A (i|j) & = a_{ij} ( \lambda det \, A^* (i|j) + det \, A^{**} (i|j) ) \tag{} \\
& = \lambda a_{ij} \, det \, A^* (i|j) + a_{ij} \, det \, A^{**} (i|j) \tag{} \\
& = \lambda a^*_{ij} \, det \, A^* (i|j) + a^{**}_{ij} \, det \, A^{**} (i|j). \tag{} \\
\end{align*}$

Así, para toda $i$ $a_{ij} det \, A (i|j) = \lambda a^*_{ij} \, det \, A^* (i|j) + a^{**}_{ij} \, det \, A^{**} (i|j)$, entonces:
$Det \, A$ $= \displaystyle \sum_{i = 1}^{n} (-1)^{i+j} \left( \lambda a^*_{ij} \, det \, A^* (i|j) +a^{**}_{ij} \, det \, A^{**} (i|j) \right)$ $= \lambda \, Det \, A^* + Det \, A^{**}.$

$\therefore Det$ es una función $n$ – multilineal.

Ahora, para la matriz identidad, veamos por inducción sobre $n$ que $Det \, I_n =1$.

Para $n=2$, $Det \, I_2 =(-1)^{1+1} \, (I_2)_{11} \, det \, I_2 (1|1)+(-1)^{2+1} \, (I_2)_{21} \, det \, I_2 (2|1)=(+1)(1)(1)+(-1)(0)(0)=1+0=0,$

y $Det \, I_2 =(-1)^{1+2} \, (I_2)_{12} \, det \, I_2 (1|2)+(-1)^{2+2} \, (I_2)_{22} \, det \, I_2 (2|2)=(-1)(0)(0)+(+1)(1)(1)=0+1=1.$

Supongamos ahora que $Det \, I_{n-1}=1$.

Tenemos que

$Det \, I_n = \displaystyle \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+j} \, (I_n)_{ij} \, det \, I_n (i|j),$

pero si $i\neq j$ se tiene que $(I_n)_{ij}$, por lo que en la suma anterior basta considerar el sumando en el que $i=j$. Así,

$Det \, I_n = (-1)^{j+j} \, (I_n)_{jj} \, det \, I_n (j|j)=(+1) \, (1) \, det \, I_n (j|j).$

Notemos que, como $ I_n (j|j)=I_{n-1}$, por la hipótesis de inducción $det \, I_n (j|j)=1$. Por lo tanto, $Det \, I_n =1$.

Por lo tanto, $Det \, A = \displaystyle \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+j} \, a_{ij} \, det \, A (i|j)$ es la función determinante $n \times n$ en $K$. De manera análoga se tiene que $Det \, A = \displaystyle \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} \, a_{ij} \, det \, A (i|j)$ función determinante $n \times n$ en $K$.

Debido a que todas las propiedades del determinante que valen para columnas, también valen para renglones (teorema (5.3.1.)), se puede desarrollar el determinante análogamente para renglones.

Tarea Moral

1. Si $det \left(\begin{array}{rrr} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{array}\right)=\pi$, calcula el determinate de y $det \left(\begin{array}{rrr} b-3c & 7c & -a \\ e-3f & 7f & -d \\h-3i & 7i & -g \\ \end{array}\right)$.
2. ¿Cuánto vale $det \left(\begin{array}{rrrrrr} 1 & 2 & 3 & 0 & 5 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 4 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 2 & -1 & 3 & 1 \\ -1 & 1 & 0 & 2 & 1 & 3 \\ 3 & -1 & 2 & 0 & 4 & 1 \\ 0 & 2 & 2 & 1 & 0 & -2 \end{array}\right)$? ¿Qué propiedades puedes usar para evitar hacer el cálculo completo del determinante?
3. Sea $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix}$
   Simplifica la matriz usando operaciones elementales por renglones (sin cambiar el determinante) hasta que el cálculo del determinante de la nueva matriz implique solamente los elementos de su diagonall.

Más adelante…

Utilizaremos las propiedades del determinante como una herramienta poderosa para estudiar cuándo una matriz tiene un inverso multiplicativo. Veremos cómo el determinante, el rango y las operaciones elementales se entrelazan para caracterizar este tipo de matrices, lo que nos abrirá la puerta a comprender mejor cómo se combinan y multiplican matrices en problemas más complejos.

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