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Teorema del valor medio para funciones de $\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$

Por Angélica Amellali Mercado Aguilar

Introducción

Recordemos el teorema del valor medio para funciones de $\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$

Suponga que $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ es derivable en $(a,b)$ y continua en $[a,b]$ entonces existe $c\in(a,b)$ tal que
$$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

En esta sección se presenta el caso en la versión para funciones de $\mathbb{R}^{n}$ en $\mathbb{R}$. De esta manera el caso general se ve de la siguiente manera:

Teorema. Sea $f:A\subset\mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}$
una función definida en el conjunto abierto $A$ de $\mathbb{R}^{n}$. Si $x_{0},y_{0} \in A$ se pide que el conjunto $A$ sea tal que $[x_0,y_0]={x_{0}+t(y_{0}-x_{0})~|~t\in[0,1]}\subset A$. Sea $u$ un vector unitario en la dirección del vector $y_{0}-x_{0}$. Si la función $f$ es continua en los puntos del segmento $[x_0,y_0]$ y
tiene derivadas direccionales en la dirección del vector $u$ en los puntos del segmento $(x_0,y_0)$, entonces existe $\theta$ , $0<\theta<1$ tal que $f(x_0+hu)-f(x_0)=\displaystyle\frac{\partial f}{\partial u}(x_0+\theta
hu)h$ donde $h=|y_0-x_0|$.

Una consecuencia del teorema anterior es el teorema
Teorema. Sea $f:A\subset\mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}$
una función definida en el conjunto abierto $A$ de $\mathbb{R}^{n}$. Si las derivadas parciales $\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_{i}}~~\forall i=1,..,n}$ son continuas en $x_{0}\in A$ entonces f es diferenciable en $x_{0}\in A$
Vamos a dar una idea de la demostración para el caso n=2

Teorema del Valor Medio para Funciones de $\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}$

Teorema. Sea $f:A\subset\mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}$ una función definida en el conjunto abierto $A$ de $\mathbb{R}^{2}$. Si $x_{0},y_{0} \in A$ se pide que el conjunto $A$ sea tal que $[x_0,y_0]={x_{0}+t(y_{0}-x_{0})~|~t\in[0,1]}\subset A$. Sea $u$ un vector unitario en la dirección del vector $y_{0}-x_{0}$. Si la función
$f$ es continua en los puntos del segmento $[x_0,y_0]$ y tiene derivadas direccionales en la dirección del vector $u$ en los puntos del segmento $(x_0,y_0)$, entonces existe
$\theta$ \, $0<\theta<1$ tal que $f(x_0+hu)-f(x_0)=\displaystyle\frac{\partial f}{\partial u}(x_0+\theta hu)h$ donde $h=|y_0-x_0|$.

Demostración. Considere la función $\phi:[0,h]\rightarrow
\mathbb{R}$ dada por $\phi(t)=f(x_0+tu)$ ciertamente
la función $\phi$ es continua en $[0,h]$ pues $f$ lo es en $[x_0,y_0]$. Ademas

[\begin{array}{ll}
\phi'(t) & =\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}
\frac{\phi(t+h)-\phi(t)}{h} \\
\, & = \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}
\frac{f(x_0+(t+h)u)-f(x_0+tu)}{h} \\
\, & = \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}
\frac{f(x_0+tu+hu)-f(x_0+tu)}{h} \\
\, & = \displaystyle\frac{\partial f}{\partial
u}(x_0+tu)
\end{array}]

de modo que para $t \in (0,h)$, $\phi'(t)$ existe y es la derivada direccional de $f$ en $x_0+tu \in (x_0,y_0)$ en la dirección del vector $u$. Aplicando entonces el teorema del valor medio a la función $\phi$, concluimos que existe un múmero $\theta \in (0,1)$ que da $\phi(h)-\phi(0)=\phi'(\theta h)h$\ es decir de modo que $$f(x_0+hu)-f(x_0)=\frac{\partial f}{\partial u}(x_0+\theta hu)h$$

Ahora para la verisón del teorema 3

Teorema 5. Sea $f:A\subset\mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}$
una función definida en el conjunto abierto $A$ de $\mathbb{R}^{n}$. Si las derivadas parciales $\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x},~~\frac{\partial f}{\partial y}}$ son continuas en $(x_{0},y_{0})\in A$ entonces f es diferenciable en $(x_{0},y_{0}\in A$

Demostración. Vamos a probar que $$f((x_{0},y_{0})+(h_{1},h_{2}))=f(x_{0},y_{0})+\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})h_{1}+\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0})h_{2}+r(h_{1},h_{2})$$donde $$\lim_{(h_{1},h_{2})\rightarrow(0,0)}\frac{r(h_{1},h_{2})}{|(h_{1},h_{2})|}=0$$

para ello tenemos que
$$r(h_{1},h_{2})=f((x_{0},y_{0})+(h_{1},h_{2}))-f(x_{0},y_{0})-\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})h_{1}-\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0})h_{2}$$
sumando un cero adecuado
$$r(h_{1},h_{2})=f((x_{0},y_{0})+(h_{1},h_{2}))-\textcolor{Red}{f(x_{0},y_{0}+h_{2})}+\textcolor{Red}{f(x_{0},y_{0}+h_{2})}-f(x_{0},y_{0})-\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})h_{1}-\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0})h_{2}$$
trabajaremos

$$f((x_{0},y_{0})+(h_{1},h_{2}))-\textcolor{Red}{f(x_{0},y_{0}+h_{2})}$$Considerando la función $\varphi(x)=f(x,y_{0}+h_{2})$ por lo tanto tenemos que $$\varphi'(x)=\lim_{h_{1}\rightarrow0}\frac{\varphi(x+h_{1})-\varphi(x)}{h_{1}}=\lim_{h_{1}\rightarrow0}\frac{f(x+h_{1},y_{0}+h_{2})-f(x,y_{0}+h_{2})}{h_{1}}$$
este limite existe y nos dice que $\varphi$ es es continua en este caso en el intervalo $[x_{0},x_{0}+h_{1}]$. Por lo tanto aplicando el TVM en dicho intervalo se obtiene
$$\varphi(x_{0}+h_{1})-\varphi(x_{0})=\varphi'(x_{0}+\theta_{1} h_{1})h_{1}~p.a.~\theta_{1}\in(0,1)$$
es decir
$$f((x_{0}+h_{1},y_{0}+h_{2})-\textcolor{Red}{f(x_{0},y_{0}+h_{2})}=\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0}+\theta_{1} h_{1},y_{0}+h_{2})h_{1}$$
Analogamente

$$\textcolor{Red}{f(x_{0},y_{0}+h_{2})}-f(x_{0},y_{0})$$Considerando la función $\varphi(y)=f(x_{0},y)$ por lo tanto tenemos que $$\varphi'(y)=\lim_{h_{2}\rightarrow0}\frac{\varphi(x_{0},y_{0}+h_{2})-\varphi(y_{0}+h_{2})}{h_{2}}=\lim_{h_{2}\rightarrow0}\frac{f(x_{0},y_{0}+h_{2})-f(y_{0}+h_{2})}{h_{2}}$$
este limite existe y nos dice que $\varphi$ es es continua en este caso en el intervalo $[y_{0},y_{0}+h_{2}]$. Por lo tanto aplicando el TVM en dicho intervalo se obtiene
$$\varphi(y_{0}+h_{2})-\varphi(y_{0})=\varphi'(y_{0}+\theta_{2} h_{2})h_{2}~p.a.~\theta_{2}\in(0,1)$$
es decir
$$f((x_{0},y_{0}+h_{2})-\textcolor{Red}{f(x_{0},y_{0})}=\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0}+\theta_{2}h_{2})h_{2}$$

Sustituimos en
$$r(h_{1},h_{2})=f((x_{0},y_{0})+(h_{1},h_{2}))-\textcolor{Red}{f(x_{0},y_{0}+h_{2})}+\textcolor{Red}{f(x_{0},y_{0}+h_{2})}-f(x_{0},y_{0})-\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})h_{1}-\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0})h_{2}$$y obtenemos
$$r(h_{1},h_{2})=\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0}+\theta_{1} h_{1},y_{0}+h_{2})h_{1}-\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})h_{1}+\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0}+\theta_{2}h_{2})h_{2}-\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0})h_{2}$$

es decir
$$r(h_{1},h_{2})=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0}+\theta_{1} h_{1},y_{0}+h_{2})-\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})\right)h_{1}+\left(\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0}+\theta_{2}h_{2})-\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0})\right)h_{2}$$
por lo tanto
$$\frac{r(h_{1},h_{2})}{|(h_{1},h_{2})|}=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0}+\theta_{1} h_{1},y_{0}+h_{2})-\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})\right)\frac{h_{1}}{|(h_{1},h_{2})|}+\left(\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0}+\theta_{2}h_{2})-\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0})\right)\frac{h_{2}}{|(h_{1},h_{2})|}$$
ahora bien si $\displaystyle{|(h_{1},h_{2})|\rightarrow(0,0)}$ se tiene
$$\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0}+\theta_{1} h_{1},y_{0}+h_{2})-\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})\right)\rightarrow0$$
y
$$\frac{h_{1}}{|(h_{1},h_{2})|}<1$$
Analogamente
$$\left(\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0}+\theta_{2}h_{2})-\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0})\right)\rightarrow0$$
y
$$\frac{h_{2}}{|(h_{1},h_{2})|}<1$$
en consecuencia
$$\lim_{(h_{1},h_{2})\rightarrow(0,0)}\frac{r(h_{1},h_{2})}{|(h_{1},h_{2})|}=0$$por lo tanto f es diferenciable en $(x_{0},y_{0})$

Más adelante

Tarea Moral

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Geometría Analítica I: Introducción al curso

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

Introducción

Bienvenido al curso de Geometría Analítica I. A través de esta serie de entradas cubriremos el temario oficial del programa de la materia tal y como se requiere en la Facultad de Ciencias de la UNAM. Esto incluye desarrollar no sólo habilidades para ejecutar procedimientos («hacer cuentitas»), sino también aquellas que nos permitan deducir los resultados que obtendremos a través de razonamientos lógicos («demostrar»).

Pre-requisitos del curso

En la mayoría de las entradas seguiremos un flujo matemático, en el cual escribiremos definiciones, proposiciones, ejemplos, teoremas y otro tipo de enunciados matemáticos. Siempre que digamos que algo sucede, es importante argumentar o justificar por qué es esto, es decir, que demos una demostración. Las demostraciones nos ayudarán a justificar que ciertos procedimientos (para encontrar distancias, ángulos, etc.) son válidos.

Para entender un poco más al respecto, te recomendamos leer las siguientes dos entradas, o incluso llevar a la par un curso de Álgebra Superior I:

Además de estos pre-requisitos de pensamiento lógico, también es importante que recuerdes algunos de los conceptos fundamentales de geometría (punto, línea, segmento, triángulo, distancia, etc.). Si bien todo lo construiremos «desde cero», el recordar estos conceptos te ayudará mucho en la intuición de por qué ciertas cosas las definimos como lo haremos, y por qué ciertos enunciados que planteamos «deben ser ciertos».

Finalmente, también supondremos que sabes manejar a buen nivel las operaciones y propiedades en $\mathbb{R}$, los números reales. Por ejemplo, que la suma es conmutativa ($a+b=b+a$), que se distribuye con el producto ($a(b+c)=ab+ac$), etc. Si bien en otros cursos se definen a los reales con toda formalidad, para este curso sólo será importante que sepas hacer estas operaciones.

La idea fundamental

La geometría se trata de figuras, de ver, de medir. El álgebra se trata de sumar, de operar, de comparar. La idea clave que subyace a la geometría analítica, como la veremos en este curso, es la siguiente:

La geometría y el álgebra son complementarias e inseparables, ninguna con más importancia sobre la otra. Podemos entender al álgebra a partir de la geometría, y viceversa.

Un ejemplo muy sencillo que se ve desde la educación básica es que la suma de reales se corresponde con «pegar segmentos». Si en la recta real tenemos un segmento de longitud $a$ y le pegamos un segmento de longitud $b$, entonces el segmento que se obtiene tiene longitud $a+b$. Si bien es obvio, cuando estemos estableciendo los fundamentos tendremos que preguntarnos, ¿por qué pasa? ¿qué es pegar segmentos?

Nuestro objetivo será entender a profundidad muchas de estas equivalencias.

Interactivos

En este curso procuraremos incluir interactivos para que explores las ideas que vayamos introduciendo. Si bien un interactivo no reemplaza a una demostración, lo cierto es que sí ayuda muchísimo a ver más casos en los cuales una proposición o teorema se cumple. Nuestros interactivos están hechos en GeoGebra y necesitarás tener activado JavaScript en tu navegador.

En el siguiente interactivo puedes mover los puntos $A$, $B$ y $C$. Observa como la suma de dos segmentos siempre es igual al tercero. ¿Qué pasa si $B$ «se pasa de $C$»? ¿Cuál segmento es la suma de los otros dos?

Te recomendamos fuertemente que dediques por lo menos un rato a jugar con los interactivos: intenta ver qué se puede mover, qué no, qué cosas piensas que suceden siempre y para cuales crees que haya ejemplos que fallen.

Más adelante…

En esta entrada platicamos de cómo son las notas del curso en general. Platicamos de pre-requisitos y de la idea fundamental que subyace al curso. A partir de la siguiente entrada comenzaremos con el tratamiento teórico de la materia. Hablaremos de dos visiones de geometría: la sintética y la analítica. Veremos un primer resultado que nos dice que, en realidad, ambas están muy relacionadas entre sí.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Escribe en una hoja de papel o en un documento digital qué significan para ti los siguientes términos: punto, línea, círculo, plano, semiplano, elipse, intersección, alineado, longitud, ángulo, dirección, vector. ¿En cuáles de estas palabras tuviste que usar las otras? ¿En cuáles no? Más adelante formalizaremos cada una de estas.
  2. Explora el inicio del siguiente libro digital: Euclides de Byrne.
  3. Si aprendes a manejar GeoGebra por tu cuenta, podrás hacer interactivos tú mismo. Si te interesa esto, revisa el siguiente curso de GeoGebra.
  4. ¿Cómo le harías para a cada punto del plano asociarle una pareja de números reales? ¿Cómo le harías para a cada pareja de números reales asociarle un punto en el plano?
  5. Si la suma de números corresponde a pegar segmentos, ¿a qué corresponde la multiplicación de números?

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Modelos Biomatemáticos I. Ejercicios de nivelación — BORRADOR

Por Mariana Paulin

1. Evalúa las siguientes expresiones, escribe cada paso y la ley de los exponentes que usaste en cada caso. Escribe tu respuesta sin exponentes negativos.

  • $(−2)^5$
  • $−2^5$
  • $2^{−5}$
  • $(4^7)/(4^4)$
  • $(3^8)/(3^5)$
  • $(7^12)/(7^10)$
  • $(5/6)^{−3}$
  • $(1/4)^{−2}$
  • $(3/5)^{−4}$
  • $27^{2/3}$
  • $8^{3/2}$
  • $16^{1/4}$
  • $(−5)^3$
  • $−5^3$
  • $5^{−3}$
  • $(2^6)/(2^2)$
  • $(9^5)/(9^3)$
  • $(4^7)/(4^4)$
  • $(3/4)^{−2}$
  • $(5/9)^{−1}$
  • $(8/15)^{−3}$
  • $2^{−2}$
  • $10^{−3}$
  • $16^{−5/4}$
  • $32^{−4/5}$
  • $(3/7)^{−5}$
  • $(1/2)^{−4}$
  • $(5/11)^{−6}$

2. Simplifica las expresiones e indica la ley o propiedad que usaste en cada tipo de expresión. Escribe tu respuesta sin exponentes negativos.

  • $\sqrt{72} − \sqrt{50}$​
  • $\sqrt{245} + \sqrt{72}$​
  • $\sqrt{300} − \sqrt{75}$
  • $\sqrt{128} + \sqrt{32}$
  • $\sqrt{180} − \sqrt{45}$
  • $(2a^2b^3)(3a^4b^2)$
  • $(5a^3b^2)^{2}(2a^2b^4)$
  • $(4a^2b)(3a^3b^2)$
  • $(7a^5b^3)(2a^2b^4)^{2}$
  • $(8a^4b^2)(5a^2b^3)$
  • $\left(\frac{2x^{3/4}y^2}{x^{1/2}y^{1/3}}\right)^2$
  • $\left(\frac{3a^{5/3}b^2}{a^{2/3}b^{1/2}}\right)^3$
  • $\left(\frac{4x^{5/6}y^3}{x^{1/3}y^{2/5}}\right)^2$
  • $\left(\frac{5a^{2/3}b^{1/4}}{a^{1/2}b^{1/3}}\right)^3$
  • $\left(\frac{6x^{4/5}y^2}{x^{1/5}y^{1/2}}\right)^2$

3. Resuelve las siguientes operaciones paso a paso.

  • $5(x + 7) + 3(2x − 4)$
  • $4(x − 3) + 6(3x + 2)$
  • $2(x + 5) + 7(4x − 1)$
  • $(x + 4) (3x − 2)$
  • $(x − 1)(2x + 5)$
  • $(2x + 3)(x − 4)$
  • ​​$(3x + 5)^2$
  • $(2x − 7)^2$
  • $(4x + 6)^2$
  • $(x + 3)^3$
  • $(2x − 1)^3$
  • $(x − 4)^3$
  • $(\sqrt{m}​+\sqrt{n}​)(\sqrt{m}​−\sqrt{n}​)$
  • $(\sqrt{x}​+3)(\sqrt{x}​−3)$
  • $(2a+\sqrt{b}​)(2a−\sqrt{b}​)$

4. Factoriza las siguientes expresiones. 

  • $4x^4 + 8x^3$
  • $5y^3 + 10y^2$
  • $3x^{4/3} − 6x^{2/3} + 9x^{−1/3}$
  • $2x^{5/2} – 4x^{3/2} + 6x^{1/2}$
  • $x^2y − 3xy^2$
  • $6x^3y − 9x^2y^2$
  • $9x^2 – 16$
  • $4y^2 – 25$
  • $3x^2 + 11x − 4$
  • $4x^2 − 13x + 9$
  • $x^3 − 6x^2 − 4x + 24$
  • $x^3 + 2x^2 − 9x − 18$

5. Simplifica las siguientes expresiones racionales. 

  • $\frac{x^2 + 5x + 6}{x^2 + 4x + 3}​$
  • $\frac{2x^3 + 5x^2 – 6x}{x^2 – x – 6}$​
  • $\left( \frac{x^2 + 2x + 1}{x^2 – 1} \right) \left( \frac{x – 1}{x + 2} \right)$
  • $\left( \frac{x^2 – 9}{x^2 – 4} \right) \left( \frac{x + 3}{x + 2} \right)$
  • $\frac{x^2 + 6x + 9}{x^2 – 4} – \frac{2x + 3}{x + 2}​$
  • $\frac{x^2 – 1}{x^2 + 3x + 2} – \frac{x + 2}{x + 1}$
  • $\frac{\frac{2x}{y} – \frac{y}{x}}{\frac{1}{x} – \frac{1}{y}}​​$
  • $\frac{\frac{3}{x + 1} + \frac{2}{x – 1}}{\frac{1}{x – 1} + \frac{1}{x + 1}}$

6. Racionaliza las expresiones y simplifica.

  • ${\sqrt{6}}{\sqrt{3}-1}$
  • $\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{6} – 3}$
  • $\frac{\sqrt{16+h} – 4}{h}$
  • $\frac{\sqrt{9+h} – 3}{h}$

7. Reescribe las siguientes expresiones completando cuadrados.

  • $x^2 + 6x + 5$
  • $x^2 + 4x + 7$
  • $3x^2 – 18x + 7$
  • $3x^2 – 18x + 5$
  • $2x^2 + 8x + 3$
  • $4x^2 – 12x + 24$

8. Resuelve las siguientes ecuaciones, encuentra sólo raíces reales.

  • $x + 3 = 8 −\frac{x}{3}​$
  • $x^2 – 7x + 10 = 0$
  • $x^4 – 5x^2 + 4 = 0$
  • $3x(5 – x)^{1/2} – 2\sqrt{5 – x} = 0$
  • $\frac{3x}{x + 2} = \frac{3x – 2}{x + 1}$
  • $2x^2 + 5x – 3 = 0$
  • $4|x – 2| = 12$

9. Resuelve las desigualdades, la solución debe estar en términos de intervalos de números reales.

  • $-3 < 4 – 2x \leq 10$
  • $-5 \leq 7 – 4x < 12$
  • $x(x + 3)(x – 2) > 0$
  • $(x – 1)(x + 3)(x – 4) \leq 0$
  • $\frac{3x + 2}{x – 2} > 1$
  • $\frac{4x – 5}{x + 2} \geq 2$
  • $x^2 – 5x + 6 \geq 0$
  • $x^2 + 4x – 5 < 0$
  • $|x + 2| \geq 5$
  • $|2x – 1| > 4$

10. Indica si las siguientes ecuaciones son falsas o verdaderas, explica por qué.

  • $(m + n)^2 = m^2 + n^2$
  • $\sqrt{a^2 + b^2} = a + b$
  • $\frac{1}{a – b} = \frac{1}{a} – \frac{1}{b}$
  • $\sqrt{xy} = \sqrt{x} \sqrt{y}$​
  • $\frac{1 + r}{r} = 1 + \frac{1}{r}$
  • $\frac{1/y}{a/y – b/y} = \frac{1}{a – b}$

Punto de Acumulación

Por Angélica Amellali Mercado Aguilar

Introducción

En está sección estudiaremos el concepto matemático que define los puntos infinitamente cercanos a un conjunto.

Sea A un subconjunto arbitrario de $\mathbb{R}^{n}$. Se dice que $\overline{x}\in \mathbb{R^{n}}$ es un $\textit{punto de acumulación}$ de $A$, si toda bola abierta con centro en $\overline{x}$ contiene un punto de $A$ distinto de $\overline{x}$ es decir $$\forall r>0 \quad \left(B(\overline{x},r)-{\overline{x}}\right)\bigcap A\neq \emptyset$$
Al conjunto de puntos de acumulación de $A$ se le denomina el conjunto derivado de $A$ y se le denota $A^{a}$

Lema 1.-$\bar{x}\in\mathbb{R}^n$ es punto de acumulación de $A$ si y solamente si $\bar{x}\in \overline{A-{\bar{x}}}$

Demostración. Si $\bar{x}$ es un punto de acumulación de A entonces \quad $\forall \, r > 0$ \quad $B(\bar{x},r)-{\bar{x}}\cap A \neq \varnothing$ esta expresión es equivalente a $$B(\bar{x},r)\cap A -{\bar{x}}\neq \varnothing$$
por lo que $$B(\bar{x},r) \cap {\bar{x}}^c\cap A
= [B(\bar{x},r) \cap {\bar{x}}^c]\cap A= B(\bar{x},r)\cap A -{\bar{x}}\neq
\varnothing$$
pero esto significa que $\bar{x}$ es un punto de
adherencia de $A -{\bar{x}}$
$\therefore$ $\bar{x}\in \overline{A-{\bar{x}}}$ $\square$

Ejercicio. Pruebe que $A’\subset \overline{A}$

Demostración. Sea $x\in~A’$ se tiene entonces
$$x\in~A’~\Rightarrow~x\in \overline{A-{\bar{x}}}~\underbrace{\Rightarrow}_{ \overline{A-{\bar{x}}}\subset~\overline{A}}~x\in \overline{A}$$
por lo tanto $A’\subset \overline{A}$

Ejercicio. Pruebe que $A\subset B~\Rightarrow~A’\subset~B’$

Demostración. Sea $x\in~A’$ se tiene entonces
$$x\in~A’~\Rightarrow~x\in \overline{A-{x}}~\underbrace{\Rightarrow}_{ \overline{A-{x}}\subset~\overline{B-{x}}}~x\in \overline{B-{x}}~\Rightarrow~x\in~B’$$
por lo tanto $A’\subset B’$ $\square$

Proposición 1.-Si $\bar{x}\in\mathbb{R}^n$ es un punto de acumulación de $A$, entonces toda bola abierta $B(\bar{x},r)$ contiene una infinidad de puntos de $A$.

Demostración. Sea $B(\bar{x},r)$ una bola abierta arbitraria con centro $\bar{x}$,
supongase que esta bola tuviese solamente un número finito de puntos de $A$, digamos $\bar{x}_1,\ldots,\bar{x}_k$ cada uno distinto de $\bar{x}$ elijamos
$r_0=\min{d(\bar{x},\bar{x}_1),\ldots,d(\bar{x},\bar{x}_k)}$ $\therefore$ $d(\bar{x},\bar{x}_i)\leq r$. Consideremos ahora la bola abierta $B(\bar{x},r_0)$. Es claro que $B(\bar{x},r_0) \subset B(\bar{x},r)$ y de la desigualdad se sigue que $B(\bar{x},r_0)$ no contiene puntos de $A$ distintos de $\bar{x}$ pues todo punto de $A$ que estubiese en $B(\bar{x},r_0)$ también sería elemento de $B(\bar{x},r)$ lo cual no es posible ya que $\bar{x}_1,\ldots,\bar{x}_k$ son los únicos elementos de $A$ que están en $B(\bar{x},r)$. Entonces la bola abierta $B(\bar{x},r_0)$ no tiene puntos de $A$ diferentes de $\bar{x}$, esto contradice la hipotesis de que $\bar{x}$ es punto de acumulación. $\square$

Teorema 1.- Un conjunto $A$ es cerrado si y solo si contiene a todos sus puntos de acumulación.

Demostración. Sea $\bar{x}$ un punto de acumulación de $A$. si $\bar{x} \not\in A $, el conjunto abieto $A^{c}$ es una vecindad de $\bar{x}$, que debe contener cuando menos un punto de $A$, pero esto no es posible, por lo tanto se concluye $x\in A$.
Inversamente:Si A contiene a todos sus puntos de acumulación se habrá de probar que
$A^{c}$ es abierto.
Sea $y \in A^{c}$ entonces $y$ no es punto de acumulación de $A$. Por lo tanto, existe una vecindad $r$ de $y$ tal que $A \cap v = \varnothing$.
En consecuencia $v_y\subset A^{c}$. Dado que esto es válido $\forall \ y \in A^{c}$ se deduce que $A^{c}$ es abierto $\therefore$ $A$ es cerrado. $\square$

Ejercicio. Sean $A, B\in\mathbb{R}^{n}$. Pruebe que $$(A\bigcup B)’=A’\bigcup B’$$

Demostración. Tenemos que
$$x\in (A\bigcup B)’~\Rightarrow~x\in\overline{A\bigcup B}-{x}$$
$$~\Rightarrow~x\in \overline{A-{x}}\bigcup \overline{B-{x}}$$
$$~\Rightarrow~x\in \overline{A-{x}}\acute{o}x\in \overline{B-{x}} $$
$$~\Rightarrow~x\in A’\acute{o}x\in B’$$
$$~\Rightarrow~x\in A’\bigcup B’$$
Inversamente
$$A\subset A\bigcup B~\Rightarrow~A’\subset (A\bigcup B)’$$
$$B\subset A\bigcup B~\Rightarrow~B’\subset (A\bigcup B)’$$
de lo anterior se tiene
$$A’\bigcup B’\subset (A\bigcup B)’$$ $\square$

Ejercicio. Pruebe que $(A\bigcap B)’\subset A’\bigcap B’$

Demostración.

$$ A\bigcap B~\subset~A~\Rightarrow~(A\bigcap B)’\subset A’$$
$$ A\bigcap B~\subset~B~\Rightarrow~(A\bigcap B)’\subset B’$$
de lo anterior se tiene
$$(A\bigcup B)’\subset A’\bigcup B’$$ $\square$

Más adelante

Tarea moral

1.- Prueba que si $A \subset \mathbb{R}^n $ es un conjunto arbitrario entonces

$$int(A) \subset A’ \subset int(A) \bigcup Fr(A)$$

2.- Prueba que $A \cup A’= \overline{A}$

3.- Sea $A=\left\{(m,0) \in \mathbb{R}^2 | m \in \mathbb{Z}\right\}$ Describe y prueba quién es $A’$

4.-

Enlaces

Y para terminar, dos resultados fuertes de la integral de Riemann-Stieltjes

Por Lizbeth Fernández Villegas

$\textit{MATERIAL EN REVISIÓN}$

Introducción

El contenido de esta sección corresponde al libro
Wheeden, R.L., Zygmund, A., Measure and Integral. An Introduccion to Real Analysis. (2da ed.). New York: Marcel Dekker, 2015, págs 34-37.

En la entrada anterior vimos que para cualesquiera $P_1, P_2 \in \mathcal{P}_{[a,b]}$ se cumple que $\underline{S}_{P_1} \leq \overline{S}_{P_2},$ entonces

\begin{align}
-\infty < \underset{P \in \mathcal{P}_{[a,b]}}{\text{sup} \, \underline{S}_P} \leq \underset{P \in \mathcal{P}_{[a,b]}}{\text{ínf} \, \overline{S}_P} < \infty.
\end{align}

Esto también ocurre con la integral de Riemann que se estudia en los cursos de Cálculo, donde además, cuando se da la igualdad $\, \underset{P \in \mathcal{P}_{[a,b]}}{\text{sup} \, \underline{S}_P} = \underset{P \in \mathcal{P}_{[a,b]}}{\text{ínf} \, \overline{S}_P} \, $ se toma el valor del límite como el valor de la integral. (Ver Cálculo Diferencial e Integral II: Definición de la integral definida).

Nota que nosotros no hemos definido así la integral de Riemann-Stieltjes, sino tomando particiones cuyas normas tienden a cero. Aunque la intuición nos dice que particiones de intervalos muy pequeños se aproximan demasiado al valor de la integral, esto no siempre ocurre. Específicamente, incluso cuando se cumple que $\, \underset{P \in \mathcal{P}_{[a,b]}}{\text{sup} \, \underline{S}_P} = \underset{P \in \mathcal{P}_{[a,b]}}{\text{ínf} \, \overline{S}_P} \,$ en el caso de las sumas inferior y superior de Riemann-Stieltjes, la integral podría no existir. Veamos un ejemplo.

Sean $f:[a,b] \to \mathbb{R}\,$ y $\, \alpha:[a,b] \to \mathbb{R}$ definidas como

\begin{equation*}
f(x) = \begin{cases}
0 &\text{ si } &-1 \leq x <0 \\
1 &\text{ si } &0 \leq x \leq 1.
\end{cases}
\end{equation*}

\begin{equation*}
\alpha (x) = \begin{cases}
0 &\text{ si } &-1 \leq x \leq 0 \\
1 &\text{ si } &0 < x \leq 1 .
\end{cases}
\end{equation*}

Observa que $f$ y $\alpha$ tienen un punto de discontinuidad común que provoca que $\int_{-1}^{1}f \, d\alpha$ no exista. En efecto, si $P= \{x_0=-1,…,x_n =1\}$ es una partición entonces para algún $j \in \{1,…,n\}$
$$x_{j-1} \leq 0 \leq x_j$$
Queda como ejercicio probar que $S(P,f,\alpha)= f(\xi_j)$ con $\xi_j \in [x_{j-1}, x_j],$ y así

$$S(P,f,\alpha)= 0\, \text{ o }\, S(P,f,\alpha)= 1$$
sin importar qué tan pequeños sean los intervalos de la partición, por lo que no existe $\underset{|P| \to 0}{lim} \, S(P,f,\alpha).$

Pese a lo anterior, es sencillo verificar que
$$ \underset{P \in \mathcal{P}_{[a,b]}}{\text{sup} \, \underline{S}_P} = \underset{P \in \mathcal{P}_{[a,b]}}{\text{ínf} \, \overline{S}_P} = 1.$$

La siguiente proposición muestra hipótesis en las que la integral de Riemann-Stieltjes y los límites de las sumas sí coinciden.

Proposición: Sea $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ acotada y $\alpha:[a,b] \to \mathbb{R}$ monótona creciente. Si $\int_{a}^{b}f \, d\alpha$ existe, entonces

$$\underset{|P| \to 0}{lim} \, \underline{S}_P \, \text{ y } \, \underset{|P| \to 0}{lim} \, \overline{S}_P$$

existen y

$$\underset{|P| \to 0}{lim} \, \underline{S}_P \, = \, \underset{|P| \to 0}{lim} \, \overline{S}_P = \underset{P \in \mathcal{P}_{[a,b]}}{\text{sup} \, \underline{S}_P} = \underset{P \in \mathcal{P}_{[a,b]}}{\text{ínf} \, \overline{S}_P} = \int_{a}^{b}f \, d\alpha.$$

Demostración:
En el caso no trivial, supongamos que $\alpha$ no es constante en $[a,b].$

Sea $I = \int_{a}^{b}f \, d\alpha.$ Entonces dada $\varepsilon >0$ existe $\delta>0$ tal que si $|P|< \delta$ entonces $|I \, – \, S(P,f,\alpha)|< \varepsilon.$

Supongamos que $P= \{x_0 = a,…, x_n =b\}$ con $|P|< \delta.$ Tomemos $\xi_i, \, \eta_i \in [x_{i-1},x_i], \, i=1,…,n, \,$ tales que

\begin{align}
0 \leq M_i \, – \, f(\xi_i) &< \frac{\varepsilon}{\alpha(b) \, – \, \alpha(a)} \, \, \text{ y } \\
0 \leq f(\eta_i) \, – \, m_i &< \frac{\varepsilon}{\alpha(b) \, – \, \alpha(a)}
\end{align}

Sean

\begin{align}
S’_P&= \sum_{i=1}^{n}f(\xi_i) \, (\alpha(x_i) \, – \, \alpha(x_{i-1})) \, \, \text{ y } \\
S´´_P&= \sum_{i=1}^{n}f(\eta_i) \, (\alpha(x_i) \, – \, \alpha(x_{i-1}))
\end{align}

entonces

\begin{align}
|I \, – \, S’_P|&< \varepsilon \, \, \text{ y}\\
|I \, – \, S´´_P|&< \varepsilon.
\end{align}

Por otro lado, por (2),

\begin{align}
\nonumber 0 \leq \overline{S}_P \, – \, S’_P &= \sum_{i=1}^{n}M_i \, (\alpha(x_i) \, – \, \alpha(x_{i-1})) \, – \sum_{i=1}^{n}f(\xi_i) \, (\alpha(x_i) \, – \, \alpha(x_{i-1}))\\
\nonumber &= \sum_{i=1}^{n}[M_i \, – \, f(\xi_i)] \, (\alpha(x_i) \, – \, \alpha(x_{i-1})) \\
\nonumber &< \sum_{i=1}^{n}\frac{\varepsilon}{\alpha(b) \, – \, \alpha(a)}\, (\alpha(x_i) \, – \, \alpha(x_{i-1})) \\
\nonumber &= \frac{\varepsilon}{\alpha(b) \, – \, \alpha(a)}\, \sum_{i=1}^{n} (\alpha(x_i) \, – \, \alpha(x_{i-1})) \\
\nonumber &= \frac{\varepsilon}{\alpha(b) \, – \, \alpha(a)}\, (\alpha(b) \, – \, \alpha(a)) \\
&= \varepsilon.
\end{align}

Análogamente

\begin{align}
0 \leq S´´_P \, – \, \underline{S}_P < \varepsilon.
\end{align}

De (6), (8) y la desigualdad del triángulo se sigue

$$|\overline{S}_P \, – \, I|\leq |\overline{S}_P\, – \, S’_P|+|S’_P \, – \, I|< \varepsilon + \varepsilon = 2 \varepsilon,$$

mientras que de (7), (9) y la desigualdad del triángulo tenemos

$$|\underline{S}_P \, – \, I|\leq |\underline{S}_P\, – \, S´´_P|+|S´´_P \, – \, I|< \varepsilon + \varepsilon = 2 \varepsilon,$$

por lo tanto

$$\underset{|P|\to 0}{lim}\, \overline{S}_P = I = \underset{|P|\to 0}{lim}\, \underline{S}_P .$$

Dado que

$$\underline{S}_P \leq \underset{P \in \mathcal{P}_{[a,b]}}{\text{sup} \, \underline{S}_P} \leq \underset{P \in \mathcal{P}_{[a,b]}}{\text{ínf} \, \overline{S}_P} \leq \overline{S}_P$$

entonces también

$$\underset{|P|\to 0}{lim}\, \underline{S}_P =\underset{P \in \mathcal{P}_{[a,b]}}{\text{sup} \, \underline{S}_P} = \underset{P \in \mathcal{P}_{[a,b]}}{\text{ínf} \, \overline{S}_P} = \underset{|P|\to 0}{lim}\, \overline{S}_P$$

terminando así la prueba.

Para finalizar, veamos la siguiente:

Proposición: Sean $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ acotada y $\alpha:[a,b] \to \mathbb{R}$ monótona creciente y continua, entonces

a)
$$\underset{|P| \to 0}{lim} \, \underline{S}_P \, \text{ y } \, \underset{|P| \to 0}{lim} \, \overline{S}_P$$

existen y se cumplen las siguientes igualdades:

\begin{align}
\underset{|P| \to 0}{lim} \, \underline{S}_P &= \underset{P \in \mathcal{P}_{[a,b]}}{\text{sup} \, \underline{S}_P} \\
\underset{|P| \to 0}{lim} \, \overline{S}_P &= \underset{P \in \mathcal{P}_{[a,b]}}{\text{ínf} \, \overline{S}_P}.
\end{align}

b) Si además $\underset{P \in \mathcal{P}_{[a,b]}}{\text{sup}} \, \underline{S}_P = \underset{P \in \mathcal{P}_{[a,b]}}{\text{ínf}} \, \overline{S}_P$ entonces

$$\int_{a}^{b}f \, d\alpha$$

existe y

$$\underset{P \in \mathcal{P}_{[a,b]}}{\text{sup}} \, \underline{S}_P = \int_{a}^{b}f \, d\alpha= \underset{P \in \mathcal{P}_{[a,b]}}{\text{ínf}} \, \overline{S}_P.$$

Demostración:
a) Será suficiente probar (10) y (11). Presentamos la demostración de (11). La igualdad faltante es análoga y se dejará como ejercicio al lector.

Para simplificar la notación, hagamos

$$\underset{P \in \mathcal{P}_{[a,b]}}{\text{ínf}} \, \overline{S}_P := \overline{S}.$$

Nota que (11) se cumple si y solo si dado $\varepsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que si $|P|< \delta$ entonces

\begin{align}
\nonumber &&|\overline{S}_P \, – \, \overline{S}| &< \varepsilon\\
\nonumber &\iff& \overline{S}_P \, – \, \overline{S} &< \varepsilon\\
&\iff& \overline{S}_P &< \overline{S} + \varepsilon
\end{align}

Tomemos $\hat{P}=\{\hat{x_0}=a,…,\hat{x_n}=b\}$ una partición de $[a,b]$ tal que

$$\overline{S}_{\hat{P}}<\overline{S}+ \frac{\varepsilon}{2}.$$

y sea
\begin{align}
\textcolor{RoyalBlue}{M= \underset{x \, \in \, [a,b]}{sup} \, |f(x)|.}
\end{align}

Ya que $\alpha$ es uniformemente continua en $[a,b],$ existe $\eta>0$ tal que si $|x \, – \, x’|< \eta$ entonces

\begin{align}
\textcolor{magenta}{|\alpha(x) \, – \, \alpha(x’)| < \frac{\varepsilon}{4(n+1)M}}.
\end{align}

Ahora tomemos $P=\{x_0=a,…,x_m=b\}$ partición de $[a,b]$ tal que $|P|< \eta$ y
$$|P|< \underset{i \in \{1,…,n\}}{\text{mín}}\, (\hat{x_i}\, – \, \hat{x}_{i-1}).$$

Vamos a mostrar que $\overline{S}_P$ cumple (12).

Nota que

\begin{align}
\overline{S}_P &= \sum_{i=1}^{m}M_i \, (\alpha(x_i) \, – \, \alpha(x_{i-1}))\\
&= \sum’ + \sum´´
\end{align}

donde $\sum’$ representa a los sumandos cuyos intervalos no tienen puntos de $\hat{P}\,$ y $\, \sum´´$ representa a los que sí. Observa que, por como fueron elegidas $P$ y $\hat{P},$ cada intervalo generado por $P$ tiene a lo más un punto de $\hat{P},$ así

\begin{align}
\overline{S}_{P \cup \hat{P}} = \sum’ + \sum´´´
\end{align}

donde $\sum´´´$ resulta de reemplazar cada sumando en $\sum´´$ que es de la forma

$$M_i \, (\alpha(x_i) \, – \, \alpha(x_{i-1}))$$

por la expresión

$$\underset{x \, \in \, [x_{i-1},\hat{x}_j]}{\text{sup}}f(x) \, (\alpha(\hat{x}_j) \, – \, \alpha(x_{i-1})) + \underset{x \, \in \, [\hat{x}_j, x_{i},]}{\text{sup}}f(x) \, (\alpha(x_i) \, – \, \alpha(\hat{x}_j) ) $$

donde $\hat{x}_j$ es el punto de $\hat{P}$ en $(x_{i-1}, x_i).$

Por lo tanto de (16) y (17) tenemos
$$\overline{S}_P \, – \, \overline{S}_{P \cup \hat{P}} = \sum´´ \, – \, \sum´´´.$$

Observa que se satisface al menos una de las siguientes igualdades:

\begin{align}
M_i &= \underset{x \, \in \, [x_{i-1},\hat{x}_j]}{\text{sup}}f(x) \, \text{ o bien} \\
M_i &= \underset{x \, \in \, [\hat{x}_j, x_{i},]}{\text{sup}}f(x)
\end{align}

Si se cumple (18) entonces

\begin{align}
\nonumber M_i \, (\alpha(x_i) \, – \, \alpha(x_{i-1})) \, – \, [\underset{x \, \in \, [x_{i-1},\hat{x}_j]}{\text{sup}}f(x) \, (\alpha(\hat{x}_j) \, – \, \alpha(x_{i-1})) + \underset{x \, \in \, [\hat{x}_j, x_{i},]}{\text{sup}}f(x) \, (\alpha(x_i) \, – \, \alpha(\hat{x}_j) )] = \\
=\textcolor{RoyalBlue}{\left( M_i \, – \, \underset{x \, \in \, [\hat{x}_j, x_{i},]}{\text{sup}}f(x) \right)} \, \textcolor{magenta}{(\alpha(x_i) \, – \, \alpha(\hat{x}_j) )}
\end{align}

Pero si se cumple (19) se sigue que

\begin{align}
\nonumber M_i \, (\alpha(x_i) \, – \, \alpha(x_{i-1})) \, – \, [\underset{x \, \in \, [x_{i-1},\hat{x}_j]}{\text{sup}}f(x) \, (\alpha(\hat{x}_j) \, – \, \alpha(x_{i-1})) + \underset{x \, \in \, [\hat{x}_j, x_{i},]}{\text{sup}}f(x) \, (\alpha(x_i) \, – \, \alpha(\hat{x}_j) )] = \\
=\textcolor{RoyalBlue}{\left(M_i \, – \, \underset{x \, \in \, [x_{i-1},\hat{x}_j]}{\text{sup}}f(x) \right)} \, \textcolor{magenta}{(\alpha(\hat{x}_j) \, – \, \alpha(x_{i-1}) )}
\end{align}

En cualquier caso, de (13) y (14) la diferencia es a lo más
$$\frac{\textcolor{RoyalBlue}{2M}\textcolor{magenta}{\varepsilon}}{\textcolor{magenta}{4(n+1)M}} = \frac{\varepsilon}{2(n+1)}$$

Entonces.

$$\overline{S}_P \, – \, \overline{S}_{P \cup \hat{P}} \leq \frac{\varepsilon(n+1)}{2(n+1)} = \frac{\varepsilon}{2}.$$

Más aún

$$\overline{S}_{P \cup \hat{P}} \leq \overline{S}_\hat{P} < \overline{S}+\frac{\varepsilon}{2}$$

con lo cual queda demostrada la proposición.

b) Dado que para cualquier $P \in \mathcal{P}_{[a,b]}$

$$\underline{S}_P \leq S(P,f,\alpha) \leq \overline{S}_P$$
entonces haciendo $|P| \to 0$ concluimos:

$$\underset{P \in \mathcal{P}_{[a,b]}}{\text{sup} \, \underline{S}_P} = \int_{a}^{b}f \, d\alpha = \underset{P \in \mathcal{P}_{[a,b]}}{\text{ínf} \, \overline{S}_P}.$$

Más adelante…

¡Gracias por acompañarnos en la exposición de este curso! Si deseas continuar, puedes consultar el contenido correspondiente a Análisis Matemático II. La comunidad sigue creciendo y ya trabaja creando notas con ejercicios que motiven el aprendizaje. Pronto te las compartiremos.

Tarea moral

  1. En el ejemplo descrito al inicio, demuestra que
    a)
    $$S(P,f,\alpha)= f(\xi_j)$$
    con $\xi_j \in [x_{j-1}, x_j]$ donde $[x_{j-1}, x_j]$ es el intervalo de la partición que tiene al cero.
    Prueba también que para todo $\delta>0$ existe una partición $P$ con $|P|< \delta$ tal que
    $S(P,f,\alpha)= 0$ o $S(P,f,\alpha)= 1$
    dependiendo el punto $\xi_j$ elegido. Concluye que no existe $\underset{|P| \to 0}{lim} \, S(P,f,\alpha).$
    b) Verifica que
    $$ \underset{P \in \mathcal{P}_{[a,b]}}{\text{sup} \, \underline{S}_P} = \underset{P \in \mathcal{P}_{[a,b]}}{\text{ínf} \, \overline{S}_P} = 1.$$
  2. Demuestra la igualdad (10).

Enlaces

Propiedades de la integral de Riemann-Stieltjes. Parte 1

Por Lizbeth Fernández Villegas

$\textit{MATERIAL EN REVISIÓN}$

Introducción

El contenido de esta sección corresponde al libro
Wheeden, R.L., Zygmund, A., Measure and Integral. An Introduccion to Real Analysis. (2da ed.). New York: Marcel Dekker, 2015, págs 26-30.

Mostraremos resultados formales de la integral de Riemann-Stieltjes. Recordemos que en la entrada anterior partimos de dos funciones acotadas $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ y $\alpha:[a,b] \to \mathbb{R}$ y una partición $P=\{x_0 = a,…,x_n =b\}$ en $[a,b]$ con puntos $\xi_i \in [x_{i-1}, x_i].$ Definimos la suma de Riemann-Stieltjes como

$$S(P,f,\alpha) = \sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)(\alpha(x_i) \, – \, \alpha(x_{i-1})).$$

Este resultado depende de $P, \, f$ y $\alpha.$ En esta ocasión, más que hacer $n \to \infty$ haremos que la norma de la partición tienda a cero. Cuando existe $I \in \mathbb{R}$ tal que para cada $\varepsilon >0,$ existe $\delta >0$ tal que si $|P|< \delta$
entonces $|I \, – \, S(P,f,\alpha)|< \varepsilon,$ diremos que
$$I := \underset{|P| \to 0}{lim} \, S(P,f,\alpha).$$
Si es finito lo llamamos integral de Riemann-Stieltjes de $f$ con respecto a $\alpha$ en $[a,b].$ El valor de $I \,$ se denota como:
$$\int_{a}^{b}f(x) \, d\alpha = \int_{a}^{b}f \, d\alpha.$$

Por supuesto que este límite no siempre existe en $\mathbb{R}.$ Conozcamos una equivalencia que muestra cuando sí.

Proposición. Criterio de Cauchy para la integral de Riemann-Stieltjes: La integral $\int_{a}^{b}f \, d\alpha$ existe si y solo si para cada $\varepsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que si $|P|, \, |Q|< \delta$ entonces
$$|S(P,f,\alpha) \, – \, S(Q,f,\alpha)|< \varepsilon.$$

La demostración se propone como tarea moral.

Ejemplos

  • Sean $f, \alpha :[a,b] \to \mathbb{R}$ con $f$ continua y $\alpha$ continuamente diferenciable, entonces
    $$\int_{a}^{b}f \, d\alpha = \int_{a}^{b}f \, \alpha’ \, dx$$
    De hecho, por el teorema del valor medio aplicado en $\alpha,$ para cada $i = 1,2,..,n$ existen $\eta_i \in [x_{i-1}, x_i]$ tales que
    \begin{align}
    S(P,f,\alpha) &= \sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)(\alpha(x_i) \, – \, \alpha(x_{i-1})) \\
    &= \sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\alpha'(\eta_i)(x_i \, – \, x_{i-1}).
    \end{align}
Teorema del valor medio en $\alpha.$

Usando la continuidad uniforme de $\alpha’$ podemos asumir que, en intervalos muy pequeños, $\alpha'(\eta_i)= \alpha'(\xi_i),$ en consecuencia

$$\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\alpha'(\eta_i)(x_i \, – \, x_{i-1})= \sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\alpha'(\xi_i)(x_i \, – \, x_{i-1})$$

Nota que esto ya es la común suma de Riemann y así:
$$\underset{|P| \to 0}{lim} \, S(P,f,\alpha)= \int_{a}^{b} f \, \alpha’ \, dx,$$

o bien

$$\int_{a}^{b}f \, d\alpha = \int_{a}^{b}f \, \alpha’ \, dx.$$

  • Ahora considera $f, \alpha: [a,b] \to \mathbb{R}$ donde

\begin{equation*}
\alpha(x) = \begin{cases}
1 \text{ si $x \geq 0$} \\
\\
0 \text{ si $x < 0$}
\end{cases}
\end{equation*}

Gráfica de $\alpha.$

y $f$ es una función continua en $0.$ Es sencillo demostrar que
$$\int_{-1}^{1}f \, d\alpha = f(0).$$

A continuación enunciaremos algunas propiedades de la integral de Riemann-Stieltjes. Las demostraciones las dejaremos como ejercicio.

Proposición: Sean $f, f_1, f_2, \alpha, \alpha_1$ y $\alpha_2$ funciones de $[a,b] \to \mathbb{R}$ y $c \in \mathbb{R},$ entonces se satisfacen:

a) Si $\int_{a}^{b} f \, d\alpha$ existe, entonces también existen tanto $\int_{a}^{b}cf \, d\alpha$ como $\int_{a}^{b}f \, d(c\alpha)$ y además
$$\int_{a}^{b}cf \, d\alpha = \int_{a}^{b}f \, d(c\alpha) = c \int_{a}^{b}f \, d\alpha.$$

b) Si tanto $\int_{a}^{b} f_1 \, d\alpha$ como $\int_{a}^{b} f_2 \, d\alpha$ existen, entonces también
$\int_{a}^{b} (f_1 + f_2) \, d\alpha$ existe y
$$\int_{a}^{b} (f_1 + f_2) \, d\alpha = \int_{a}^{b} f_1 \, d\alpha + \int_{a}^{b} f_2 \, d\alpha.$$

c) Si tanto $\int_{a}^{b} f \, d\alpha_1$ como $\int_{a}^{b} f \, d\alpha_2$ existen, entonces también
$\int_{a}^{b} f \, d(\alpha_1+ \alpha_2)$ existe y
$$\int_{a}^{b} f \, d(\alpha_1+ \alpha_2) = \int_{a}^{b} f \, d\alpha_1 + \int_{a}^{b} f \, d\alpha_2.$$

Para finalizar esta sección, veremos que es posible obtener la integral de Riemann-Stieltjes como equivalencia de la suma de integrales correspondientes a cada división del intervalo, como muestra la siguiente:

Proposición: Si $\int_{a}^{b} f \, d\alpha$ existe y $a \leq c \leq b,$ entonces

a) Tanto $\int_{a}^{c}f \, d\alpha$ como $\int_{c}^{b}f \, d\alpha$ existen y

b) $\int_{a}^{b}f \, d\alpha = \int_{a}^{c}f \, d\alpha + \int_{c}^{b} f \, d\alpha.$

Demostración:
Para simplificar la notación, hagamos $S_P[a,b] = S(P,f,\alpha)$ donde $P \in \mathcal{P}_{[a,b]}.$

Para mostrar que $\int_{a}^{c} f \, d\alpha$ existe, de acuerdo con el criterio de Cauchy para la integral de Riemann-Stieltjes encunciado arriba, será suficiente probando que para todo $\varepsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que si $P_1, \, P_2 \in \mathcal{P}_{[a,c]}$ con $|P_1|, \, |P_2|< \delta,$ entonces

\begin{align}
(S_{P_1}[a,c] \, – \, S_{P_2}[a,c]) < \varepsilon.
\end{align}

Como $\int_{a}^{b}f \, d\alpha \,$ existe entonces dada $\varepsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que para cualesquiera $P’_1, \, P’_2 \in \mathcal{P}_{[a,b]}$ con $|P’_1|, \, |P’_2|< \delta, \,$ tenemos
\begin{align}
(S_{P’_1}[a,b] \, – \, S_{P’_2}[a,b]) < \varepsilon.
\end{align}

Sean $P_1, \, P_2 \in \mathcal{P}_{[a,c]}$ tales que $|P_1|, \, |P_2|< \delta$ y toma $P \in \mathcal{P}_{[c,b]}$ tal que también $|P|< \delta.$

Definimos $P’_1 = P_1 \cup P \, $ y $\, P’_2 = P_2 \cup P.$ Nota que ambas son particiones de $[a,b]$ cuya norma es menor que $\delta$ y por tanto satisfacen (4).

Notemos que

\begin{align}
S_{P’_1}[a,b] &= S_{P_1}[a,c]+ S_{P}[c,b] \\
\text{y } S_{P’_2}[a,b] &= S_{P_2}[a,c]+ S_{P}[c,b]
\end{align}

así, restando (5) de (6)

\begin{align}
S_{P_1}[a,c] \, – \, S_{P_2}[a,c] + \cancel{S_{P}[c,b] \, – \, S_{P}[c,b]} = S_{P’_1}[a,b] \, – \, S_{P’_2}[a,b]
\end{align}

De (7) y (4) se cumple (3), por lo tanto

$\int_{a}^{c}f \, d\alpha$ existe.

Análogamente se puede probar que $\int_{c}^{b}f \, d\alpha$ existe, mientras que (5) y (6) permiten concluir que
$$\int_{a}^{b}f \, d\alpha = \int_{a}^{c}f \, d\alpha + \int_{c}^{b}f \, d\alpha$$
que es lo que queríamos demostrar.

Más adelante…

Veremos algunas propiedades más de la integral de Riemann-Stieltjes, por lo pronto desarrolla las ideas con los siguientes ejercicios.

Tarea moral

  1. Prueba el Criterio de Cauchy para la integral de Riemann-Stieltjes: La integral $\int_{a}^{b}f \, d\alpha$ existe si y solo si para cada $\varepsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que si $|P|, \, |Q|< \delta$ entonces
    $$|S(P,f,\alpha) \, – \, S(Q,f,\alpha)|< \varepsilon.$$
  2. Considera $f, \alpha: [a,b] \to \mathbb{R}$ donde
    \begin{equation*}
    \alpha(x) = \begin{cases}
    1 \text{ si $x \geq 0$} \\
    0 \text{ si $x < 0$}
    \end{cases}
    \end{equation*}
    y $f$ es una función continua en $0.$ Prueba que
    $$\int_{-1}^{1}f \, d\alpha = f(0).$$
  3. Sean $f, f_1, f_2, \alpha, \alpha_1$ y $\alpha_2$ funciones de $[a,b] \to \mathbb{R}$ y $c \in \mathbb{R}. \,$ Demuestra que se satisfacen:
    a) Si $\int_{a}^{b} f \, d\alpha$ existe, entonces también existen tanto $\int_{a}^{b}cf \, d\alpha$ como $\int_{a}^{b}f \, d(c\alpha)$ y además
    $$\int_{a}^{b}cf \, d\alpha = \int_{a}^{b}f \, d(c\alpha) = c \int_{a}^{b}f \, d\alpha.$$
    b) Si tanto $\int_{a}^{b} f_1 \, d\alpha$ como $\int_{a}^{b} f_2 \, d\alpha$ existen, entonces también
    $\int_{a}^{b} (f_1 + f_2) \, d\alpha$ existe y
    $$\int_{a}^{b} (f_1 + f_2) \, d\alpha = \int_{a}^{b} f_1 \, d\alpha + \int_{a}^{b} f_2 \, d\alpha.$$
    c) Si tanto $\int_{a}^{b} f \, d\alpha_1$ como $\int_{a}^{b} f \, d\alpha_2$ existe, entonces también
    $\int_{a}^{b} f \, d(\alpha_1+ \alpha_2)$ existe y
    $$\int_{a}^{b} f \, d(\alpha_1+ \alpha_2) = \int_{a}^{b} f \, d\alpha_1 + \int_{a}^{b} f \, d\alpha_2.$$
  4. Sean $f, \alpha:[a,b] \to \mathbb{R}$ funciones acotadas. Demuestra que si $[a’,b’] \subset [a,b]$ y $\int_{a}^{b} f \, d\alpha$ existe entonces también $\int_{a’}^{b’} f \, d\alpha$ existe.

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