¡Hola! Si estás leyendo esto, probablemente te estás preparando para cursar Modelos Biomatemáticos I, una asignatura que puede parecer desafiante si no sientes familiaridad con los números.

Este material fue diseñado pensando en ti. Aquí encontrarás explicaciones claras y concisas, acompañadas de ejemplos y ejercicios prácticos que te ayudarán a repasar y fortalecer conceptos fundamentales como fracciones, porcentajes, proporciones, potencias, sucesiones y más.

Mi objetivo con estas notas es que descubras cómo las matemáticas son un lenguaje que te permitirá describir y analizar fenómenos biológicos de forma precisa.

Tómate tu tiempo, resuelve los ejercicios, equivócate, vuelve a intentar. Este es un espacio seguro para aprender, repasar y ganar confianza.
Espero que estas páginas te acompañen como una herramienta útil en tu camino hacia una comprensión más sólida, no solo de la asignatura, sino también del papel que tienen las matemáticas en tu formación como estudiante de biología.

¡Ánimo y adelante!

Módulo 1

1. Fracciones

a. Definición de una fracción

Una fracción es una forma de representar una parte de un todo. Se representa como 

$\frac{a}{b},$

donde a es el numerador, que indica cuántas partes tomamos; b es el denominador, que indica en cuántas partes se divide el todo.

b. Cómo simplificar fracciones

Para simplificar una fracción, la sugerencia siempre es buscar el máximo común divisor (MCD) entre el numerador y el denominador. En algunos casos, esto implica descomponer ambos números en sus factores primos. Una vez que se tiene el MCD, se dividen ambas partes de la fracción entre ese número.

Ejemplo: para simplificar $\frac{18}{24}$

• Los factores primos de 18 son 2 × 3 × 3.
• Los factores primos de 24 son 2 × 2 × 2 × 3.
• El MCD es 2 × 3 = 6.

Entonces, $\frac{18}{24}$ se simplifica dividiendo ambos números entre 6:

$\frac{18÷6}{24÷6} = \frac{3}{4}$

c. Operaciones con fracciones

Suma y Resta

Si los denominadores son iguales, simplemente se realiza la suma o resta de los numeradores. 

Ejemplos: 

$\frac{2}{5} + \frac{3}{5} = \frac{5}{5} = 1$
$\frac{4}{7} − \frac{1}{7} = \frac{3}{7}$

Si los denominadores son diferentes, necesitas un denominador común. 

Ejemplo: 

Para sumar $\frac{1}{3} + \frac{1}{4}$ un denominador común es 12. Convertimos las fracciones: $\frac{1}{3} = \frac{4}{12}​, \frac{1}{4} = \frac{3}{12}$​; por lo tanto $\frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$.​

Multiplicación

Se multiplican numerador por numerador y denominador por denominador. 

Ejemplo: 

$\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{2 \times 4}{3 \times 5} = \frac{8}{15}$​

División 

Multiplicamos la primera fracción por el inverso de la segunda. 

Ejemplo:

$\frac{2}{3} ÷ \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{2 \times 5}{3 \times 4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}​$

d. Fracciones equivalentes

Dos fracciones son equivalentes si representan la misma cantidad, aunque el numerador y el denominador sean diferentes. Para encontrar fracciones equivalentes se multiplica o divide el numerador y el denominador por el mismo número.

Ejemplo: 

$\frac{1}{2}$​ es equivalente a $\frac{2}{4}​, \frac{3}{6}​, \frac{5}{10}​$

e. Conversión de fracciones a decimales

Para convertir una fracción a decimal, divide el numerador entre el denominador.

Ejemplo:

$\frac{3}{4} = 3 ÷ 4 = 0.75$

f. Reconocer decimales exactos y periódicos

Decimal exacto: es un decimal que termina después de un número finito de decimales, por ejemplo 0.5 o 0.75.

Decimal periódico: es un decimal que tiene una parte decimal que se repite infinitamente, por ejemplo $\frac{1}{3} = 0.\overline{3}$, donde el 3 se repite indefinidamente.

g. Cómo expresar un decimal en fracción

Para convertir un decimal a fracción, si el decimal tiene una cantidad finita de dígitos, se escribe el número como fracción sobre 10, 100, 1000, etc., dependiendo de la cantidad de decimales.

Ejemplo:

para convertir 0.75 a fracción se sigue que $0.75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$.

h. Pasos para convertir un número decimal infinito periódico a fracción

1. Identificar el período: sea x un número decimal periódico $x = 0.\overline{a}$, donde a es el dígito o grupo de dígitos que se repite, es decir, el período. Por ejemplo, si tenemos $x = 0.\overline{3}$, entonces a = 3.
2. Multiplicar por una potencia de 10: se multiplican ambos lados de la ecuación por la potencia de 10 que corresponda a la cantidad de dígitos del período para desplazar el punto decimal. Si el período tiene un solo dígito (como en el caso del ejemplo), se multiplica por 10: $10x = 10(0.\overline{3}) = 3.\overline{3}$.
3. Restar la ecuación original de la ecuación multiplicada: ahora se resta la ecuación original de la ecuación recién obtenida. Esto eliminará la parte decimal periódica. 

En el caso del ejemplo se resta:

$10x – x = 3.\overline{3} – 0.\overline{3} \Rightarrow 9x = 3$.

4. Resolver para x: finalmente se resuelve la ecuación para x. En el caso del ejemplo, dividiendo ambos lados entre 9:

$x = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}​$.

Por lo tanto, $0.\overline{3}$ es igual a $\frac{1}{3}​$.

Ejemplo con un número decimal periódico más largo

Sea un número decimal $x= 0.\overline{142857}$.

Se identifica el período: el grupo de dígitos que se repite, o período de
$x= 0.\overline{142857}$ es 142 857.

Se multiplica por una potencia de 10: como el período tiene seis dígitos, se multiplica ambos lados de la ecuación por $10^6 = 1000000$:

$1000000x= 1000000(0.\overline{142857}) = 142857.\overline{142857}$.

Restar la ecuación original: se resta la ecuación original:

$1000000x-x = 142857.\overline{142857} – 0.\overline{142857}$.

Esto da como resultado: $999999x= 142857$.

Resolver para x: se resuelve para x dividiendo ambos lados entre 999 999:

$x = \frac{142857}{999999} = \frac{1}{7}$​.

Así, $0.\overline{142857}$ es igual a $\frac{1}{7}$​.

Porcentajes

a. Definición de porcentajes

El porcentaje es una forma de expresar un número como una fracción de 100.

$\text{Porcentaje} = \frac{\text{Parte}}{\text{Total}} \times 100$

b. Conversión de fracciones y decimales a porcentajes

• Fracción a porcentaje: multiplicar la fracción por 100.

Ejemplo:

$\frac{1}{4} \times 100 = 25 %$

• Decimal a porcentaje: multiplicar el número decimal por 100.

Ejemplo:

$0.75 \times 100 = 75 %$

c. Conversión de porcentajes a decimales o fracciones

• Porcentaje a decimal: dividir entre 100.

Ejemplo:

$25\% = \frac{25}{100} = 0.25$

• Porcentaje a fracción: escribir el porcentaje como fracción y simplificar.

Ejemplo:

$75 \% = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$

Operaciones con porcentajes

Porcentaje de una cantidad: multiplicar la cantidad por el porcentaje expresado como decimal.

Ejemplo:

El 20 % de 50 es: 50 × 0.20 = 10

3. Proporciones y razones

a. Cálculo de proporciones

Una proporción es una igualdad entre dos razones: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$.

Para resolver proporciones, se puede usar el producto cruzado: a × d = b × c.

Ejemplo:

$\frac{2}{3} = \frac{4}{x} \Rightarrow 2 \times x = 3 × 4 \Rightarrow x = 6$

b. Proporciones directas e inversas

• Proporción directa: si una cantidad aumenta, la otra también aumenta necesariamente, por ejemplo y = k × x.

• Proporción inversa: si una cantidad aumenta, la otra disminuye, por ejemplo $y = \frac{k}{x}$.

4. Medidas de tendencia central

a. Media (promedio)

La media se obtiene sumando todos los valores de un conjunto de datos y dividiendo entre la cantidad total de elementos en dicho conjunto.

Fórmula:

$\text{Media} = \frac{x_1 + x_2 + x_3 + \dots + x_n}{n}$

donde $x_i$ son los valores de los datos y n es la cantidad de datos.

Ejemplo:
Supongamos que medimos el número de hojas en 5 plantas: 8, 10, 12, 10, 10.

La media es: $\frac{8 + 10 + 12 + 10 + 10}{5} = \frac{50}{5} = 10$.

b. Mediana

La mediana es el valor que se encuentra en el centro de un conjunto de datos ordenados. Si hay un número impar de datos, es el valor central. Si hay un número par, es el promedio de los dos valores centrales.

Ejemplo: con número impar de datos

Datos: 7, 9, 10, 13, 15

Ordenados: 7, 9, 10, 13, 15

→ La mediana es 10 (el del medio)

Ejemplo: con número par de datos

Datos: 5, 7, 8, 9
→ Mediana = $\frac{7 + 8}{2}$ = $\frac{15}{2}$ = 7.5

c. Moda

La moda es el valor que aparece con mayor frecuencia en un conjunto de datos.

Ejemplo:

Datos: 3, 4, 4, 5, 6, 4, 7

→ La moda es 4, porque se repite tres veces.

Importante recordar: Puede haber más de una moda (moda bimodal o multimodal), o ninguna si todos los datos aparecen solo una vez.

5. Sucesiones

Una sucesión es una lista ordenada de números, llamados términos, que siguen una regla o patrón. Estos números pueden representar fenómenos naturales que cambian con el tiempo, como el crecimiento de una población, la cantidad de bacterias en una placa, o la altura de una planta en distintas semanas.

a. Definición de sucesión

Una sucesión es una secuencia de números dispuestos en un orden específico. Cada número tiene una posición que se indica con un subíndice:

$a_1, a_2, a_3, \dots, a_n$​, donde $a_1$​ es el primer término, $a_2$​ el segundo, y así sucesivamente hasta $a_n$ para cualquier n en los naturales.

b. Fórmulas generales de sucesiones

Algunas sucesiones siguen reglas simples que nos permiten encontrar cualquier término sin tener que listar todos los anteriores.

•  Sucesión aritmética: se forma sumando una cantidad fija llamada razón.

Fórmula general:

$a_n = a_1 + (n – 1) \cdot d$, donde d es la diferencia común.

Ejemplo:

$2, 5, 8, 11, \dots$ tiene $a_1 = 2$, $d = 3$, entonces $a_5 = 2 + (5 – 1)\cdot3 = 14$

•  Sucesión geométrica: se forma multiplicando por una cantidad fija, es decir, la razón geométrica.

Fórmula general:
$a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$, donde r es la razón multiplicativa.

Ejemplo:
$3, 6, 12, 24, \dots$ tiene $a_1 = 3$, $r = 2$, entonces $a_4 = 3 \cdot 2^{3} = 24$

c. Algunas sucesiones conocidas

•  Sucesión de Fibonacci: cada término es la suma de los dos anteriores

$0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 \dots$

Esta sucesión aparece en la naturaleza: por ejemplo en la distribución de hojas, en el crecimiento de conchas, bifurcación de ramas, etcétera.

•  Sucesión de cuadrados: $1, 4, 9, 16, 25, \dots$ representa el área de cuadrados de lado 1, 2, 3, etc.

6. Potencias y exponentes

a. Definición de potencia

Una potencia es una forma abreviada de representar una multiplicación repetida de un mismo número:

$a^n = a \cdot a \cdot a \cdots a \quad \text{(n veces)}$, donde a es la base, n es el exponente o índice.

Ejemplo:

$3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$

• Importante: signos y paréntesis

Hay una diferencia fundamental entre:

$(-2)^5 = -2 \cdot -2 \cdot -2 \cdot -2 \cdot -2 = -32$ y $-(2^5) = -32$

Regla clave:
Si el signo negativo está dentro de paréntesis, la base es negativa. De lo contrario, solo el número es base y el signo queda afuera.

b. Propiedades de las potencias

• Producto con la misma base:  $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

• Cociente con la misma base: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$

• Potencia de una potencia: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$

• Potencia de un producto: $(ab)^n = a^n \cdot b^n$

• Potencia de un cociente: $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$

c. Exponentes especiales

• Exponente cero: $a^0 = 1$ para $a \neq 0$

• Exponente uno: $a^1 = a$

• Exponente negativo: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

Ejemplo: $5^{-3} = \frac{1}{5^3} = \frac{1}{125}$​

d. Potencias con fracciones

• Si la base es una fracción: $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$

• Y si el exponente es negativo: $\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n$

Ejemplo: $\left(\frac{3}{5}\right)^{-2} = \left(\frac{5}{3}\right)^2 = \frac{25}{9}$​

e. Exponentes fraccionarios

Un exponente fraccionario representa una raíz: 

$a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}, \quad a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$​

Ejemplos:

• $8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2$

• $27^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{27^2} = \sqrt[3]{729} = 9$

También se puede hacer en dos pasos: 

$27^{\frac{2}{3}} = \left(27^{1/3}\right)^2 = (3)^2 = 9$

7. Radicales y racionalización

a. Definición de raíz

Una raíz es la operación inversa de una potencia. La raíz cuadrada de un número a es aquel número que al elevarlo al cuadrado da a:

$\sqrt{a} = b \Longleftrightarrow b^2 = a$

Para raíces cúbicas: $\sqrt[3]{a} = b \Longrightarrow b^3 = a$

b. Propiedades de las raíces

• $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$

• $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

• $\sqrt{a^2} = |a|$

• $\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$

Estas propiedades son válidas sólo si los números involucrados están definidos en el conjunto de los números reales (por ejemplo, no se puede extraer raíz par de un número negativo en los reales).

c. Simplificación de raíces cuadradas

Para simplificar una raíz cuadrada, se busca el mayor cuadrado perfecto que divida al radicando.

Ejemplo:

$\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$​

Otros ejemplos:

• $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$

• $\sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = 8\sqrt{2}$

d. Racionalización

Racionalizar es el proceso de eliminar raíces del denominador de una fracción.

• Caso básico

$\frac{1}{\sqrt{a}} \cdot \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{a}$​​

Ejemplo:

\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{6} – 3}$ se racionaliza multiplicando por el conjugado: $\frac{\sqrt{6} + 3}{\sqrt{6} + 3}$

• Binomios con radicales

Cuando el denominador es un binomio con una raíz, se multiplica por su conjugado:

$\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{a} – \sqrt{b}}{\sqrt{a} – \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a} – \sqrt{b}}{a – b}$

Ejemplo:

$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3} – 1} \cdot \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{\sqrt{6}(\sqrt{3} + 1)}{3 – 1} = \frac{\sqrt{18} + \sqrt{6}}{2}$

Teorema

Sea $f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$, con $A$ abierto, tal que existen las derivadas parciales en $A$ y son acotadas, entonces $f$ es continua en $A$.

Demostración:

Sea $(x_0, y_0) \in A.$

$\Big[$ por demostrar : $f$ es continua en $(x_0, y_0) \Big]$

Basta demostrar que existe $L = \lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} f (x, y)$ y $ L = f (x_0, y_0).$

Sea $\epsilon > 0.$

Basta demostrar que existe $\delta > 0 $ tal que si

$\| (x, y) \, – \, (x_0, y_0) \| < \delta \Rightarrow |f (x, y) \, – \, f (x_0, y_0)|< \epsilon$

Como $\| (x, y) \, – \, (x_0, y_0) \| < \delta$

Sean $ h = x \, – \, x_0 $ y $ k = y \, – \, y_0 $ entonces, si $\| (h, k) \| < \delta \Rightarrow |f (x_0 + h, y_0 + k) \, – \, f (x_0, y_0) | < \epsilon$

$f (x_0 + h, y_0 + k) \, – \, f (x_0, y_0) = f (x_0 + h, y_0 + k) \, – \, f (x_0 , y_0 + k) \, + \, f (x_0, y_0 + k) \, – \, f (x_0, y_0) $

$f (x_0 + h, y_0 + k) \, – \, f (x_0, y_0) = \dfrac{\partial f}{\partial x} (x_0 + \theta_1 h, y_0 + k) h + \dfrac{\partial f}{\partial y} (x_0 , y_0 + \theta_2 k) k$ para algún $\theta_1, \theta_2 \in (0, 1)$

Sean $\xi = x_0 + \theta_1 h \; \in [x_0, x_0 + h]$

y $\eta = y_0 + \theta_2 k \; \in [y_0, y_0 + k]$

$\dfrac{\partial f}{\partial x}(\xi, y_0+k) = \dfrac{\Delta f}{h}$

$\dfrac{\partial f}{\partial y}(\xi, y_0+k)h = \Delta f$

Tomando el valor absoluto y aplicando la desigualdad del triángulo tenemos que:

$\Big| f (x_0 + h, y_0 + k) \, – \, f ( x_0, y_0) \Big| \leq \Bigg| \dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0 + \theta_1h, y_0 + k) \Bigg| \Big|h \Big| + \Bigg| \dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0 , y_0 + \theta_2k) \Bigg| \Big|k \Big| \leq M \Big| h \Big| + M \Big| k \Big| < \epsilon$

Para que $M \Big| h \Big| + M \Big| k \Big| < \epsilon$ se debe cumplir que

$$\big| h \big| \leq \sqrt{h^2 + k^2 } = \big\| (h, k) \big\|$$

$$\big| k \big| \leq \sqrt{h^2 + k^2 } = \big\| (h, k) \big\|$$

Luego $$\big| h \big| + \big| k \big| \leq 2 \sqrt{h^2 + k^2 } = 2 \big\| (h, k) \big\|$$

Entonces, para que se cumpla que $ 2M \big\| (h, k) \big\| < \epsilon$ basta pedir que

$$ \big\| (h, k) \big\| < \delta = \dfrac{\epsilon}{2M} \; _{\blacksquare}$$

4. Sistemas Dinámicos Discretos y Modelos de Crecimiento

4.1. Ejemplos elementales de sistemas dinámicos: números de Fibonacci, modelo de Malthus discreto

Los números de Fibonacci

Los números de Fibonacci son una secuencia de números enteros que aparecen en muchos fenómenos de la naturaleza. Esta secuencia se define de una manera muy simple: cada número, a partir del tercero, es la suma de los dos números anteriores. Es decir, la secuencia comienza así:

$F_0 = 0,$

$F_1 = 1,$

$F_2 = F_1 + F_0 = 1 + 0 = 1,$

$F_3 = F_2 + F_1 = 1 + 1 = 2,$

$F_4 = F_3 + F_2 = 2 + 1 = 3, \quad \dots$

Formalmente, la sucesión de Fibonacci se expresa como:

$F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$, donde $F_0 = 0$ y $F_1 = 1$ son condiciones iniciales.

Este patrón se repite para todos los números de la secuencia. Los números de Fibonacci aparecen, por ejemplo, en la distribución de las hojas de las plantas, las espirales de los caracoles, la proporción de las ramas de los árboles y muchos otros fenómenos naturales, por lo que es natural cuestionar: ¿cómo se obtuvo dicha secuencia?

La sucesión de Fibonacci

En el año 1202, Leonardo de Pisa (1175–1250), mejor conocido como Fibonacci, publicó su libro Liber Abaci en el cual planteó el siguiente problema: Si se pone una pareja de conejos en un lugar rodeado por un muro, ¿cuántas parejas de conejos pueden salir de esa pareja en un año si se supone que cada mes cada pareja engendra una nueva pareja que, a partir del segundo mes, se vuelve fértil?

Para resolver el problema, Fibonacci supuso que cada pareja ―a partir del segundo mes― daba a luz a una nueva pareja de conejos por mes, y que cada pareja está conformada por un macho y una hembra. Para modelar esto matemáticamente, se define como

$y_n= \sum_{k=1}^\infty y_{k,n}$,

donde $y_{k,n}$ representa el número de parejas de conejos de edad k (meses) en el mes n; $y_n$ el número total de parejas en el mes n. También se asume que ningún conejo muere. De manera que cada conejo de edad k en el mes n, tendrá edad k + 1 en el mes n + 1. Por lo que la población de cada mes sería

$y_{k,n} = y_{k+1,n+1}$ para $y \geq 0, k \geq 0$.

Además, el número de parejas de conejos de un mes de edad en n + 1 es igual al número de parejas de dos meses o más en el mes anterior, es decir

$y_{1,n+2}=y_{2,n+1}+y_{3,n+1}+…$

Ahora, se supone que la pareja del inicio es adulta y no debe esperar dos meses para poder engendrar, por lo que las condiciones iniciales son 

$y_{1,0}=0$, $y_{2,0}=1$, $y_{k,0}=0$ para k > 2.

Por lo que para $n\geq 0$ se tiene que 

$y_{n+2}=\sum_{a=1}^\infty y_{a,n+2}=y_{1,n+2}+\sum_{a=1}^\infty y_{a,n+1}=\sum_{b=2}^\infty y_{b,n+1}+\sum_{a=1}^\infty y_{a,n+1}$,

entonces $y_{n+2}= y_n+y_{n+1}$.

Entonces podemos deducir que 

$y_{1,1} =0, y_{2,1}=0, y_{3,1}=1, y_{k,1}=0$ para $k\geq 3$,

luego $y_1=1$. Entonces las condiciones iniciales son $y_0=y_1=1$.

Para entender cómo crece esta población con el tiempo, tenemos que resolver la ecuación obtenida $y_{n+2}= y_n+y_{n+1}$, que nos ayuda a predecir cómo se comportará la población de conejos en el futuro. Para esto, se necesita encontrar una fórmula general que permita predecir cómo será el número de parejas de conejos en cualquier mes n.

Lo que sigue es encontrar la solución general de esta ecuación, y para eso utilizamos algo llamado la ecuación característica. La idea es proponer una solución de la forma:

$y_n = C \lambda^n$,

donde C es una constante (que encontraremos más tarde), y $\lambda$ es lo que llamamos la raíz de la ecuación. La razón por la que proponemos esta forma es que la solución $y_n$​ crece como crecen las poblaciones, de forma exponencial.

Ahora, sustituimos esta forma en la ecuación de diferencias para encontrar $\lambda$. Esto es lo que se hace en la ecuación característica.

Sustituyendo $y_n = C \lambda^n$ en la ecuación $y_{n+2} = y_n + y_{n+1}$​, obtenemos:

1. $y_{n+2} = C \lambda^{n+2}$
   
2. $y_n = C \lambda^n$
   
3. $y_{n+1} = C \lambda^{n+1}$
   

Ahora, sustituyendo estas tres expresiones en $y_{n+2}= y_n+y_{n+1}$:

$C \lambda^{n+2} = C \lambda^n + C \lambda^{n+1}$

Como C es una constante no nula, podemos cancelarla en ambos lados de la ecuación, lo que nos deja con:

$\lambda^{n+2} = \lambda^n + \lambda^{n+1}$

Ahora, podemos dividir toda la ecuación entre $\lambda^n$ ―asumiendo que $\lambda \neq 0$―, luego:

$\lambda^2 = \lambda + 1$

Este es el resultado de la ecuación característica, y así es como queda simplificada la ecuación $y_{n+2}= y_n+y_{n+1}$ en una ecuación cuadrática:

$\lambda^2 – \lambda – 1 = 0$

Ahora, utilizando la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas tenemos que:

$\lambda = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

En este caso, los coeficientes de la ecuación son:

• a = 1 (el coeficiente de $\lambda^2$),
  
• b = –1 (el coeficiente de $\lambda$),
  
• c = –1 (el término independiente).
  

Sustituyendo en la fórmula general, tenemos:

$\lambda = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 – 4(1)(-1)}}{2(1)}$

Simplificando:

$\lambda = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2}$

$\lambda = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Esto nos da dos soluciones para $\lambda$:

$\lambda_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ y $\lambda_2 = \frac{1 – \sqrt{5}}{2}$​​

Estas dos soluciones son los valores de $\lambda$ que describen el crecimiento de la población de conejos. En este caso, la solución positiva $\lambda_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$​​ es la que nos interesa, porque nos da la tasa de crecimiento de la población, que es un número mayor que 1. Este número es conocido como la proporción áurea y tiene muchas propiedades interesantes en biología y naturaleza.

La solución negativa $\lambda_2$​ no tiene mucho sentido en este contexto porque implica una disminución en el número de conejos, lo cual no es el caso en este modelo de crecimiento poblacional. Como menciona Britton “el crecimiento o decrecimiento geométrico ocurre en casi todos los modelos de ecuaciones diferenciales lineales, incluso cuando se incluye la estructura poblacional. Esto no es necesariamente un problema si tratamos un período finito, como en la pregunta que planteó Fibonacci” (Britton, p. 29).

Entonces, la solución general para la población de conejos en el mes n es:

$F_n = A_1 \lambda_1^n + A_2 \lambda_2^n$​,

donde $A_1$​ y $A_2$​ son constantes que se determinan a partir de las condiciones iniciales. 

Usando las condiciones iniciales de la sucesión de Fibonacci para determinar las constantes $A_1$​ y $A_2$:

Sabemos que $F_0 = 0$ y $F_1 = 1$, entonces sustituimos estos valores en la ecuación general para obtener un sistema de ecuaciones.

Para n = 0:

$F_0 = A_1 \lambda_1^0 + A_2 \lambda_2^0 = A_1 + A_2 = 0 \Rightarrow A_1 = -A_2$​

Para n = 1:

$F_1 = A_1 \lambda_1^1 + A_2 \lambda_2^1 = A_1 \lambda_1 + A_2 \lambda_2 = 1$

Sustituyendo $A_1 = -A_2$ tenemos que $-A_2 \lambda_1 + A_2 \lambda_2 = 1 \Rightarrow A_2 (\lambda_2 – \lambda_1) = 1$

Tenemos que las raíces de la ecuación característica para la sucesión de Fibonacci son:

$\lambda_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \quad \lambda_2 = \frac{1 – \sqrt{5}}{2}$​​.

Ahora, para calcular la diferencia $\lambda_2 – \lambda_1$​, simplemente restamos estas dos expresiones:

$\lambda_2 – \lambda_1 = \left( \frac{1 – \sqrt{5}}{2} \right) – \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)$

Para simplificar, primero agrupamos los términos de forma conveniente:

$\lambda_2 – \lambda_1 = \frac{1 – \sqrt{5} – 1 – \sqrt{5}}{2}$

$\lambda_2 – \lambda_1 = \frac{-2\sqrt{5}}{2}$

$\lambda_2 – \lambda_1 = -\sqrt{5}$

Luego, como $\lambda_2 – \lambda_1 = -\sqrt{5}$​, tenemos:

$A_2 (-\sqrt{5}) = 1 \quad \Rightarrow \quad A_2 = \frac{-1}{\sqrt{5}}$.

Por lo tanto, $A_1 = \frac{1}{\sqrt{5}}$​.

Ahora que tenemos las constantes $A_1 = \frac{1}{\sqrt{5}}$ y $A_2 = \frac{-1}{\sqrt{5}}$​, podemos escribir la solución general de la sucesión de Fibonacci como:

$F_n = \frac{1}{\sqrt{5}} (\lambda_1^n – \lambda_2^n)$.

Dado que $\lambda_2$​ tiende a cero cuando n crece, podemos aproximar

$F_n \approx \frac{\lambda_1^n}{\sqrt{5}}$​ para valores grandes de n.

Ejemplo 1.

Calcula de los primeros 10 términos de la sucesión de Fibonacci:

Los primeros 10 términos son:
$F_0 = 0, \quad F_1 = 1, \quad F_2 = 1, \quad F_3 = 2, \quad F_4 = 3, \quad F_5 = 5, \quad F_6 = 8, \quad F_7 = 13, \quad F_8 = 21, \quad F_9 = 34.$

Ejemplo 2.

Calcula cuántas parejas de conejos habrá en 6 meses, usando la ecuación $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$, luego comprueba el resultado usando la fórmula $F_n \approx \frac{\lambda_1^n}{\sqrt{5}}$.

El número de parejas de conejos después de seis meses es $F_6 = F_{6-1} + F_{6-2} \Rightarrow  F_6 = F_{5} + F_{4}$ entonces $F_6 = 8$.

Ahora, usando la fórmula $F_n \approx \frac{\lambda_1^n}{\sqrt{5}}$, donde $\lambda_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.618$ y n es el mes para el cual queremos calcular el número de conejos, tenemos que 

$F_6 \approx \frac{(1.618)^6}{\sqrt{5}} \approx 8.02$. 

Ejercicio 1.

Calcula cuántas parejas de conejos habrá en 38 meses.

Respuesta modelo:

Usando la fórmula $F_n \approx \frac{\lambda_1^n}{\sqrt{5}}$, tendremos que

$F_38 \approx \frac{(1.618)^{38}}{\sqrt{5}} \approx 39056979.55$.

En 38 meses habrá 39 056 979 conejos.

Ejercicio 2.

Calcula cuántas parejas de conejos habrá en 83 meses.

Respuesta modelo:

Usando la fórmula $F_n \approx \frac{\lambda_1^n}{\sqrt{5}}$, tendremos que

$F_83 \approx \frac{(1.618)^{83}}{\sqrt{5}} \approx \frac{2.2142 \times 10^{17}}{\sqrt{5}} \approx 9.9022 \times 10^{21}$.

En 83 meses habrá aproximadamente $9.9022 \times 10^{21}$ conejos.

Modelo de Malthus discreto

El modelo de Malthus describe cómo crece una población en condiciones ideales, es decir, cuando no hay limitaciones en los recursos disponibles (como alimentos, espacio o energía). Este modelo supone que la población crece de manera exponencial, lo que significa que el número de individuos en cada periodo de tiempo aumenta en función del tamaño de la población en el periodo anterior. El modelo se expresa como:

$P_{n+1} = r P_n$,

donde $P_n$ es el tamaño de la población en el tiempo n (por ejemplo, el número de individuos al mes n), y r es la tasa de crecimiento de la población, que nos indica cuántas veces crece la población en cada periodo. Si r > 1, la población está creciendo; si r < 1, la población está decreciendo.

En este modelo, no se tienen en cuenta las limitaciones de recursos, lo que significa que la población puede crecer indefinidamente sin restricciones. Este tipo de crecimiento es característico de poblaciones de microorganismos en cultivo, como las bacterias, cuando se encuentran en un ambiente con recursos abundantes y sin competencia.

Limitaciones del modelo

Aunque el modelo de Malthus proporciona una descripción útil del crecimiento rápido de poblaciones en condiciones ideales, no es realista para describir el comportamiento de poblaciones en ecosistemas naturales. En la realidad, los recursos son finitos. Esto significa que a medida que la población crece, los recursos disponibles (como comida y espacio) se vuelven limitados, lo que provoca que el crecimiento de la población disminuya.

En estos casos, el modelo de Malthus deja de ser aplicable, ya que no toma en cuenta los efectos de la competencia por recursos. Por esta razón, en la naturaleza, el crecimiento de las poblaciones se describe mejor mediante modelos más complejos, como el modelo logístico, que tiene en cuenta las restricciones de los recursos y permite predecir un crecimiento poblacional que eventualmente se estabiliza en un valor determinado.

Ejemplo 1.

Supón que una población inicial de bacterias es de 50 individuos, y la tasa de crecimiento es de 1.2 por mes. ¿Cuántos individuos habrá en la población al final de 6 meses?

Tenemos que el modelo original de Malthus es: $P_{n+1} = r \cdot P_n$​

Aquí, $P_n$​ es la población en el mes n, mientras que r es la tasa de crecimiento, y $P_{n+1}$​ es la población en el siguiente mes.

Entonces, en el mes 1 tenemos que $P_1 = r \cdot P_0$​.

Luego, en el mes 2, sustituyendo $P_1$ obtenemos​ $P_2 = r \cdot P_1 = r \cdot (r \cdot P_0) = r^2 \cdot P_0$. 

En el mes 3 la población será $P_3 = r \cdot P_2 = r \cdot (r^2 \cdot P_0) = r^3 \cdot P_0$.

Y así sucesivamente. De manera que para el mes n la población se calcula como

$P_n = r^n \cdot P_0$

Por lo tanto, la población después de 6 meses será:

$P_6 = 50 \cdot (1.2)^6 \approx 50 \cdot 2.98598 \approx 149.3$ individuos.

Ejercicio 1.

Si una población de 100 individuos tiene una tasa de crecimiento $r = 1.5$, ¿cuántos individuos habrá después de 10, 20 y 30 meses? Compara cómo varía el crecimiento de la población con diferentes tasas $r = 1.2, \, r = 1.5, \, r = 2.0$.

Respuesta modelo:

Para r = 1.5:

• Después de 10 meses:
$P_{10} = 100 \cdot (1.5)^{10} \approx 100 \cdot 57.665 \approx 5766.5$

• Después de 20 meses:
$P_{20} = 100 \cdot (1.5)^{20} \approx 100 \cdot 3325.2567 \approx 332525.67$

• Después de 30 meses:
$P_{30} = 100 \cdot (1.5)^{30} \approx 100 \cdot 191751.0592 \approx 19175105.92$

Para r = 1.2:

• Después de 10 meses:
$P_{10} = 100 \cdot (1.2)^{10} \approx 100 \cdot 6.1917 \approx 619.17$

• Después de 20 meses:
$P_{20} = 100 \cdot (1.2)^{20} \approx 100 \cdot 38.3375 \approx 3833.75$

• Después de 30 meses:
$P_{30} = 100 \cdot (1.2)^{30} \approx 100 \cdot 237.3763 \approx 23737.63$

Para r = 2.0:

• Después de 10 meses:
$P_{10} = 100 \cdot (2.0)^{10} = 100 \cdot 1024 = 102400$

• Después de 20 meses:
$P_{20} = 100 \cdot (2.0)^{20} = 100 \cdot 1048576 = 104857600$

• Después de 30 meses:
$P_{30} = 100 \cdot (2.0)^{30} = 100 \cdot 1073741824 = 107374182400$

Comparación:
El modelo de Malthus muestra un crecimiento exponencial, entre más grande sea la tasa de crecimiento, mayor es también el aumento de la población en el tiempo. Se puede observar cómo las tasas r = 1.5 y r = 2.0 muestran un crecimiento mucho más rápido que r = 1.2.

Ejercicio 2.

Supón que una población de bacterias comienza con 500 individuos, pero su tasa de crecimiento cambia a lo largo del tiempo. Durante los primeros 3 meses, la tasa de crecimiento es 1.1, y durante los siguientes 3 meses, la tasa es 1.3. ¿Cuál será el tamaño de la población después de 6 meses?

Respuesta modelo: 

Hemos de dividir el cálculo en dos partes:

1. Primeros 3 meses con tasa de crecimiento 1.1:
   $P_3 = 500 \cdot (1.1)^3 \approx 500 \cdot 1.331 = 665.5$

2. Próximos 3 meses con tasa de crecimiento 1.3:
   $P_6 = 665.5 \cdot (1.3)^3 \approx 665.5 \cdot 2.197 = 1462.1$

Así, después de 6 meses, la población será aproximadamente 1462 individuos.

4.2. Órbitas: iteración y tipos de órbita

Definición de un sistema dinámico discreto

Cuando estudiamos sistemas dinámicos discretos, estamos interesados en cómo cambia el sistema con el paso del tiempo. Un sistema dinámico discreto es aquel cuya evolución se describe por medio de ecuaciones matemáticas que se actualizan en intervalos de tiempo específicos. Estos sistemas se «avanzan» en pasos discretos (por ejemplo, de un día a otro, de un año a otro, de una generación a otra).

Como menciona Torres Olin “Un sistema dinámico es un organismo cambiante, o propenso al cambio. Es un conjunto de elementos que describen la evolución de un sistema. […] Se define un sistema dinámico discreto cuando medimos el tiempo en forma tal que cualesquiera dos puntos en el tiempo $t_1$ y $t_2$ están bien separados, es decir, el tiempo se mide respecto a un conjunto discreto.” (Torres Olin, 2019)

Introducción a las órbitas en sistemas dinámicos discretos

En el contexto de los sistemas dinámicos discretos, las órbitas se refieren a las trayectorias que siguen las soluciones de un sistema de ecuaciones a lo largo del tiempo, cuando el tiempo avanza en pasos discretos.

• Definición. Las órbitas son secuencias de puntos que representan el estado del sistema en diferentes momentos del tiempo. Cada uno de estos puntos se encuentra en el espacio de fases del sistema, que es el conjunto de todos los posibles estados del sistema en el que se puede encontrar. 

Por ejemplo, si estamos estudiando la población de una especie en un ecosistema, cada punto de la órbita representará el número de individuos de esa población en un momento dado. A medida que el tiempo avanza, la población cambia, y por lo tanto, la órbita describe cómo esa población evoluciona con el tiempo.

• Relación con las ecuaciones recursivas. En un sistema dinámico discreto, la evolución del sistema se describe mediante ecuaciones recursivas. Esto significa que el valor del estado del sistema en el tiempo t + 1 depende del valor en el tiempo t.

Un ejemplo sería un modelo de población descrito por la ecuación:
$P_{t+1} = r \cdot P_t \cdot (1 – \frac{P_t}{K})$, 

donde $P_t$​ es la población en el tiempo t, r es la tasa de crecimiento de la población y K es la capacidad de carga del ambiente, es decir, el número máximo de individuos que el ecosistema puede soportar.

• Importancia de las órbitas. Las órbitas permiten entender el comportamiento a largo plazo del sistema. A medida que el sistema evoluciona con el tiempo, las órbitas nos ayudan a identificar patrones. Según el tipo de órbita, el sistema puede estabilizarse en un valor constante, entrar en un ciclo periódico o volverse impredecible (lo que se conoce como caos).

¿Qué es la iteración en sistemas dinámicos discretos?

La iteración es el proceso mediante el cual repetimos una operación matemática para obtener el siguiente valor del sistema a partir del valor actual. En otras palabras, es aplicar repetidamente una función o ecuación para predecir el comportamiento futuro del sistema. Se trata de calcular el estado del sistema en el siguiente paso de tiempo, usando el valor actual como punto de partida. Cada «paso» o «iteración» produce un nuevo valor que se usa como base para la siguiente, es decir, cada vez que realizamos una iteración, tomamos el valor del sistema en el tiempo t y lo usamos para calcular el valor en el tiempo t + 1, y este valor calculado luego se convierte en el valor inicial para el siguiente paso

Ejemplo 1.

Consideremos un modelo de crecimiento poblacional donde la población en el tiempo t + 1 depende de la población en el tiempo t:
$P_{t+1} = r \cdot P_t \cdot (1 – \frac{P_t}{K})$

Supongamos una población inicial $P_0 = 50$, una tasa de crecimiento r = 1.5 y una capacidad de carga K = 100, podemos calcular las poblaciones de los siguientes tiempos de forma iterativa:

• Para t = 0, $P_0 = 50$.

• Para t = 1, $P_1 = 1.5 \cdot 50 \cdot (1 – \frac{50}{100}) = 1.5 \cdot 50 \cdot 0.5 = 37.5$.

• Para t = 2, $P_2 = 1.5 \cdot 37.5 \cdot (1 – \frac{37.5}{100})$, y así sucesivamente.

Este proceso continúa para muchos pasos, y la población va cambiando a medida que se realizan las iteraciones.

Tipos de órbitas

Las órbitas en los sistemas dinámicos pueden clasificarse en diferentes tipos, dependiendo de cómo se comporta el sistema con el paso del tiempo.

1. Órbitas periódicas: son aquellas en las que el sistema regresa al mismo estado después de un número finito de pasos, es decir, la secuencia de valores se repite cíclicamente. 

Ejemplo: Si r = 2 y $P_0 = 50$, el sistema puede entrar en una órbita periódica. En este caso, la población podría oscilar entre los valores 60 y 50 en un patrón cíclico, como P = 60, 50, 60, 50,….
Estas órbitas son estables y predecibles, ya que la población sigue un patrón constante que se repite con el tiempo.

2. Órbitas atractoras: son aquellas en las que el sistema tiende a estabilizarse en un valor constante o en un ciclo periódico a medida que pasa el tiempo. Estas órbitas son estables, y las pequeñas perturbaciones tienden a ser corregidas.
Ejemplo: En el modelo logístico de crecimiento poblacional, si los valores de r y K se eligen adecuadamente, la población puede estabilizarse en el valor P = K, que es la capacidad de carga del ambiente. Este valor se convierte en una órbita atractora, ya que la población tiende a estabilizarse alrededor de K con el paso del tiempo.

3. Órbitas caóticas: son aquellas en las que el comportamiento del sistema es extremadamente sensible a las condiciones iniciales. Pequeñas variaciones en el valor inicial del sistema pueden generar trayectorias completamente diferentes. Estos sistemas son impredecibles y no siguen un patrón repetitivo.
Ejemplo: Si r es demasiado grande (por ejemplo, r = 3.5), el sistema puede volverse caótico, donde las iteraciones no siguen un patrón predecible, sino que se distribuyen de forma irregular.

MATERIAL EN REVISIÓN

Introducción

En entradas anteriores, definimos los espacios de Lebesgue $L^p$ para $p\in [1,\infty]$ y estudiamos algunas de sus propiedades. En esta entrada trataremos de responder la pregunta: ¿Qué relación existe entre los espacios $L^p$ y $L^q$ cuando $p\neq q$?

En general $L^p \nsubseteq L^q$

A pesar de lo que la intuición podría sugerirnos, en general, dados $1\leq p\leq \infty$ y $1\leq q \leq \infty$ con $p\neq q$, NO se tiene ninguna contención:
$$L^p\subseteq L^q$$ Ni $$L^q\subseteq L^p.$$

Ejemplo. Consideremos funciones de la forma $$x\to\frac{1}{x^{\alpha}}.$$ Es fácil verificar que $$\int_1^\infty \frac{1}{x^{\alpha}} \ \mathrm{d}x<\infty \iff \alpha>1.$$ Y que $$\int_0^1 \frac{1}{x^{\alpha}} \ \mathrm{d}x<\infty \iff \alpha<1.$$ Entonces, dados $p,q\in [1,\infty)$ con $p<q$, podemos encontrar un número $\gamma>0$ tal que $$\gamma p<1<\gamma q.$$ Tomemos $f(x)=\frac{\chi_{[1,\infty)}(x)}{x^{\gamma}}$ y $g(x)=\frac{\chi_{(0,1)}(x)}{x^{\gamma}}$.

Luego $$\int_{\mathbb{R}} |f|^q \ \mathrm{d}x=\int_1^\infty \frac{1}{x^{\gamma q}} \ \mathrm{d}x<\infty; \ \ \ \ \int_{\mathbb{R}} |f|^p \ \mathrm{d}x=\int_1^\infty \frac{1}{x^{\gamma p}} \ \mathrm{d}x=\infty. $$ Por lo que $f\in L^q(\mathbb{R})$ pero $f\notin L^p(\mathbb{R})$. Similarmente
$$\int_{\mathbb{R}} |g|^p \ \mathrm{d}x=\int_0^1 \frac{1}{x^{\gamma p}} \ \mathrm{d}x<\infty; \ \ \ \ \int_{\mathbb{R}} |g|^q \ \mathrm{d}x=\int_0^1 \frac{1}{x^{\gamma q}} \ \mathrm{d}x=\infty.$$ Por lo que $g\in L^p(\mathbb{R})$ pero $g\notin L^q(\mathbb{R})$.

$\triangle$

Aunque en general se cumple que $L^p\nsubseteq L^q$ cuando $p\neq q$, sí podemos garantizar una contención cuando $\mu$ es una medida finita.

Proposición. Si $\mu$ es una medida finita y $s<r$, entonces $L^r(X)\subseteq L^s(X)$ con $$\left\lVert f \right\lVert_s\leq (\mu(X))^{\frac{r-s}{rs}}\left\lVert f \right\lVert_r.$$

Demostración. Tomando $(p,q)=(\frac{r}{r-s},\frac{r}{s})$ en la desigualdad de Hölder: \begin{align*}
\left\lVert f \right\lVert_s^s &=\int_X |f|^s \ \mathrm{d}\mu \\ &= \int_X 1\cdot |f|^s \ \mathrm{d}\mu \\
&\leq \left( \int_X 1 \ \mathrm{d}\mu \right)^{\frac{r-s}{r}} \left( \int_X (|f|^s)^{\frac{r}{s}} \ \mathrm{d}\mu \right)^{\frac{s}{r}} \\
&= (\mu(X))^{\frac{r-s}{r}}\left\lVert f \right\lVert_r^{s}
\end{align*} De modo que $$\implies \left\lVert f \right\lVert_s\leq (\mu(X))^{\frac{r-s}{rs}}\left\lVert f \right\lVert_r.$$
Como queríamos probar.

$\square$

Interpolación de espacios $L^p$

También podemos decir algo sobre $L^p\cap L^r$ con $p\neq r$.

Proposición (Identidad de interpolación). Sean $1\leq p <q<r\leq \infty$. Si $f\in L^p\cap L^r$, entonces $f\in L^q$. Además $$\left\lVert f \right\lVert_{q}\leq \left\lVert f \right\lVert_{p}^{\lambda}\left\lVert f \right\lVert_{r}^{1-\lambda}.$$

Donde $\lambda\in (0,1)$ es aquel número tal que $$\frac{1}{q}=\frac{\lambda}{p}+\frac{(1-\lambda)}{r}.$$
Es decir $\lambda=\frac{q^{-1}-r^{-1}}{p^{-1}-r^{-1}}$. (En este caso, hacemos la convención $\frac{1}{\infty}=0$).

Demostración. Si $r=\infty$, tenemos que $|f|^q\leq \left\lVert f \right\lVert_{\infty}^{q-p}|f|^p$ y $\lambda=\frac{p}{q}$. Integrando, se sigue que:

$$\left\lVert f \right\lVert_{q}=\left( \int_X |f|^q \ \mathrm{d}\mu\right)^{\frac{1}{q}}\leq \left( \int_X \left\lVert f \right\lVert_{\infty}^{q-p}|f|^p \ \mathrm{d}\mu\right)^{\frac{1}{q}}=\left\lVert f \right\lVert_{\infty}^{1-\frac{p}{q}}\left\lVert f \right\lVert_{p}^{\frac{p}{q}}=\left\lVert f \right\lVert_{\infty}^{1-\lambda}\left\lVert f \right\lVert_{p}^{\lambda}.$$

Si $r<\infty$, observemos que la pareja $\frac{p}{\lambda q}, \frac{r}{(1-\lambda)q}$ son conjugados de Hölder pues: $$\frac{\lambda q}{p}+\frac{(1-\lambda)q}{r}=q\left( \frac{\lambda}{p}+\frac{(1-\lambda)}{r}\right)=\frac{q}{q}=1.$$

Así que, aplicando la desigualdad de Hölder con tales conjugados:

\begin{align*}
\left\lVert f \right\lVert_{q}^q &= \int_X |f|^q \ \mathrm{d}\mu \\
&= \int_X |f|^{\lambda q}|f|^{(1-\lambda)q} \ \mathrm{d}\mu \\
&\leq \left( \int_X (|f|^{\lambda q})^{\frac{p}{\lambda q}} \ \mathrm{d}\mu\right)^{\frac{\lambda q}{p}}\left( \int_X (|f|^{(1-\lambda) q})^{\frac{r}{(1-\lambda )q}} \ \mathrm{d}\mu\right)^{\frac{(1-\lambda) q}{r}} \\
&= \left( \int_X |f|^p \ \mathrm{d}\mu\right)^{\frac{\lambda q}{p}} \left( \int_X |f|^r \ \mathrm{d}\mu\right)^{\frac{(1-\lambda) q}{r}} \\
&= \left\lVert f \right\lVert_{q}^{\lambda q}\left\lVert f \right\lVert_{r}^{(1-\lambda )q}
\end{align*}

Tomando raíces $q$-ésimas:
$$ \left\lVert f \right\lVert_{q}\leq \left\lVert f \right\lVert_{q}^{\lambda }\left\lVert f \right\lVert_{r}^{(1-\lambda )}.$$

$\square$

Tarea moral

MATERIAL EN REVISIÓN

Introducción

Anteriormente definimos los espacios $L^p$ para $p\in [1,\infty)$, definimos su norma y estudiamos algunas de sus propiedades analíticas más importantes. En esta entrada estudiaremos el concepto de supremo esencial y el espacio $L^{\infty}$. Bajo ciertas condiciones, este último espacio se puede pensar como «un caso límite» de los espacios $L^p$, y como veremos, comparten varias de sus propiedades. También le daremos sentido a nuestra convención de que el dual de Hölder de 1 sea $\infty$.

Durante toda la entrada $(X,\mathcal{M},\mu)$ denotará un espacio de medida arbitrario salvo que se especifique lo contrario.

Definición. Sea $f$ una función $\mathcal{M}$-medible, posiblemente definida en $\mu$-c.t.p. de $X$. Decimos que $f$ es esencialmente acotada si existe $M\in \mathbb{R}$ con $0\leq M<\infty$ tal que $$|f(x)|\leq M.$$ Para $\mu$-c.t.p. de $X$. O equivalentemente $$\mu(\{ x \ | \ \ M<|\ f(x)|\})=0.$$

Al igual que hicimos con los espacios $L^p$, identificaremos a las funciones que son iguales en $\mu$-c.t.p. de $X$, es decir, a lo largo de esta entrada, cuando hablemos de alguna función $f$, nos referiremos implícitamente a la clase de equivalencia de funciones $\mathcal{M}$-medibles e iguales en $\mu$-c.t.p. a $f$.

Definición. El espacio $L^{\infty}(X,\mathcal{M},\mu)$ es la colección de (clases de equivalencia) de funciones $\mathcal{M}$-medibles y esencialmente acotadas en $X$, equipado con la norma:
$$\left\lVert f \right\lVert_{\infty}=\inf \{M\in \mathbb{R} \ \ | \ \ |f(x)|\leq M \text{ en } \mu-c.t.p. \}.$$ Al número $\left\lVert f \right\lVert_{\infty}$ le llamaremos el supremo esencial de $f$.

Cuando el espacio sobre el que estemos trabajando sea claro, denotaremos a $L^{\infty}(X,\mathcal{M},\mu)$ como $L^{\infty}(X)$ o simplemente como $L^{\infty}$.

No es trivial que $\left\lVert \cdot \right\lVert_{\infty}$ es una norma sobre $L^{\infty}$. Antes de probarlo, veamos una propiedad útil de $\left\lVert \cdot \right\lVert_{\infty}$:

Proposición. Si $f\in L^{\infty}$ $\implies$ $|f(x)|\leq \left\lVert f \right\lVert_{\infty}$ en $\mu$-c.t.p. $x\in X$.

Demostración. Por definición de ínfimo, podemos encontrar una sucesión $\{M_k \}_{k=1}^{\infty}$ tal que $$M_k\longrightarrow \left\lVert f \right\lVert_{\infty}.$$ Y $$|f(x)|\leq M_k.$$ Para cada $x\in X\setminus N_k$ con $\mu(N_k)=0$.

Ahora, definiendo $$N=\bigcup_{k=1}^{\infty} N_k$$ Se sigue que $\mu(N)=0$. Además, para todo $x\in X\setminus N$ tenemos que $$|f(x)|\leq M_k \ \ \ \forall k\in \mathbb{N}$$ $$\implies |f(x)|\leq \left\lVert f \right\lVert_{\infty}.$$

$\square$

Teorema. $(L^{\infty}(X,\mathcal{M},\mu),\left\lVert \cdot \right\lVert_{\infty})$ es un espacio normado.

Demostración. Es inmediato de la definición que $\left\lVert f \right\lVert_{\infty}\geq 0$. Notemos también que $\left\lVert f \right\lVert_{\infty}=0$ $\iff$ $|f(x)|\leq 0$ en c.t.p. $x\in X$ $\iff$ $f=0$ (como clase de equivalencia).

Dadas $f,g\in L^{\infty}$, por la proposición anterior: $$|f(x)|\leq \left\lVert f \right\lVert_{\infty}; \ \ \ \ \ |g(x)|\leq \left\lVert g \right\lVert_{\infty}$$ En $\mu$-c.t.p. $x\in X$. Por la desigualdad del triángulo se sigue entonces: $$|f(x)+g(x)|\leq |f(x)|+|g(x)|\leq \left\lVert f \right\lVert_{\infty}+\left\lVert g \right\lVert_{\infty}.$$ En $\mu$-c.t.p. $x\in X$ $$\implies \left\lVert f+g\right\lVert_{\infty}\leq \left\lVert f \right\lVert_{\infty}+\left\lVert g \right\lVert_{\infty}.$$

$\square$

Como habíamos adelantado, el espacio $L^{\infty}$ comparte varias propiedades con los espacios $L^p$ para $p\in [1,\infty)$. Veamos algunas de ellas.

Teorema (desigualdad de Hölder). Sean $p,q\in [1,\infty]$ conjugados de Hölder (es decir, tales que $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ si $p,q>1$ o bien $p=1,q=\infty$ o bien $p=\infty, q=1$). Si $f\in L^p(X,\mathcal{M},\mu)$ y $g\in L^q(X,\mathcal{M},\mu)$, entonces $fg\in L^1$ y además: $$\int_X |fg| \ \mathrm{d}\mu\leq \left\lVert f \right\lVert_{p}\left\lVert f \right\lVert_{q}$$

Demostración. El caso $p,q\in [1,\infty)$ ya lo habíamos probado [ENLACE]. Basta suponer que $f\in L^1$ y $g\in L^{\infty}$, de modo que $|g|\leq \left\lVert g \right\lVert_{\infty}$ en c.t.p. $\implies$ $|fg|\leq |f|\left\lVert g \right\lVert_{\infty}$ en c.t.p. Luego: $$\int |fg| \ \mathrm{d}\mu\leq \left(\int|f| \ \mathrm{d}\mu \right)\left\lVert g \right\lVert_{\infty}=\left\lVert f \right\lVert_{1}\left\lVert g \right\lVert_{\infty}.$$

$\square$

Proposición. $(L^{\infty}(X,\mathcal{M},\mu),\left\lVert \cdot \right\lVert_{\infty})$ es un espacio de Banach.

Demostración. Sea $\{ f_k \}_{k=1}^{\infty}$ una sucesión de Cauchy en $L^{\infty}$. Redefiniendo por $0$ a las funciones $f_k$ en un conjunto de medida nula apropiado (¿Cuál?), podemos asumir sin pérdida de generalidad que:

• $\forall k\in \mathbb{N}$ y $\forall x\in X$ $$|f_k(x)|\leq \left\lVert f_k \right\lVert_{\infty}.$$
• $\forall k,j\in \mathbb{N}$ y $\forall x\in X$ $$|f_k(x)-f_j(x)|\leq \left\lVert f_k-f_j \right\lVert_{\infty}.$$

De esta manera, para cada $x\in X$ $$|f_k(x)-f_j(x)|\leq \left\lVert f_k-f_j \right\lVert_{\infty}.$$ En particular, la sucesión $\{ f_k(x)\}_{k=1}^{\infty}$ es de Cauchy (en $\mathbb{R}$) por lo que converge a un límite $f(x)$.

La función $f(x)$ está definida en cada punto y es medible al ser límite de funciones medibles. Veamos que de hecho $f_k\longrightarrow f$ en $L^{\infty}$.

Como la sucesión $f_k$ es de Cauchy, en particular es acotada, por lo que $\exists M>0$ tal que $$ \left\lVert f_k \right\lVert_{\infty}\leq M.$$ Para todo $k$. En particular $|f_k(x)|\leq \left\lVert f_k \right\lVert_{\infty}\leq M$ para todo $k\in \mathbb{N}$ y para todo $x\in X$. $$\implies |f(x)|= \lim_{k\to \infty} |f_k(x)|\leq M.$$ Para cada $x\in X$. Concluimos que $f$ es (esencialmente) acotada: $f\in L^{\infty}$ con $\left\lVert f \right\lVert_{\infty}\leq M$.

Dado $\varepsilon>0$, podemos encontrar un entero $N$ tal que $\forall k,j>N$: $$\left\lVert f_k-f_j \right\lVert_{\infty}<\varepsilon$$ $$\implies |f_k(x)-f_j(x)|\leq \left\lVert f_k-f_j \right\lVert_{\infty}<\varepsilon, \ \ \ \ \forall x\in X.$$ Fijando $k>N$ y haciendo tender $j\to \infty$ se sigue: $$|f_k(x)-f(x)|\leq \varepsilon, \ \ \ \ \forall x\in X$$ $$\implies \left\lVert f_k-f \right\lVert_{\infty}\leq \varepsilon.$$ Como lo anterior se satisface para cualquier $\varepsilon>0$, concluimos que $f_k\longrightarrow f$ en $L^{\infty}$.

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El teorema a continuación es otra de las razones para justificar la notación $\left\lVert \cdot \right\lVert_{\infty}$. Por conveniencia, dado $p\in[1,\infty]$ y $f$ una función $\mathcal{M}$-medible, definamos: \begin{equation*}
\left\lVert f \right\lVert_{p}=
\begin{cases}
\left\lVert f \right\lVert_{p} & \text{si } f\in L^p \\
\infty & \text{si } f \notin L^p
\end{cases}
\end{equation*}

Teorema. Sea $f\in L^r(X,\mathcal{M},\mu)$ para algún $r<\infty$. Entonces $$\lim_{p\to \infty}\left\lVert f \right\lVert_{p}=\left\lVert f \right\lVert_{\infty}.$$

Nota. Aquí hay dos afirmaciones: que el límite existe y que es igual a $\left\lVert f \right\lVert_{\infty}$.

Demostración. Primero tomemos $t$ tal que $$0\leq t< \left\lVert f \right\lVert_{\infty}.$$ Por definición de la norma $\left\lVert \cdot \right\lVert_{\infty}$, el conjunto $$A=\{ x\in X \ | \ |f(x)|\geq t \}.$$ Tiene medida positiva $$\mu(A)>0.$$ Ahora: \begin{align*}
\left\lVert f \right\lVert_{p} &= \left( \int_X |f|^p \ \mathrm{d}\mu \right)^{\frac{1}{p}} \\
&\geq \left(\int_A |f|^p \ \mathrm{d}\mu \right)^{\frac{1}{p}} \\
&\geq \left(\int_A t^p \ \mathrm{d}\mu \right)^{\frac{1}{p}} \\
&= (t^p\mu(A))^{\frac{1}{p}} \\
&= t(\mu(A))^{\frac{1}{p}}.
\end{align*} Tenemos dos casos:

1. Si $0<\mu(A)<\infty$ $\implies$ $\mu(A)^{\frac{1}{p}}\longrightarrow 1$ cuando $p\longrightarrow \infty$.
2. Si $\mu(A)=\infty$ $\implies$ $\mu(A)^{\frac{1}{p}}=\infty.$

Sin embargo, en ambos casos $$\liminf_{p\to \infty} \left\lVert f \right\lVert_{p} \geq t.$$

Como $0\leq t< \left\lVert f \right\lVert_{\infty}$ era arbitrario, podemos concluir que $$\liminf_{p\to \infty} \left\lVert f \right\lVert_{p}\geq \left\lVert f \right\lVert_{\infty}.$$

Para la desigualdad opuesta, necesitaremos la hipótesis de que $f\in L^r$. Si $f=0$ (en c.t.p.) la desigualdad se cumple trivialmente. Supongamos entonces que $f\neq 0$ (en c.t.p.).

Notemos que $$\left\lVert f \right\lVert_{p}^p=\int_X|f|^p \ \mathrm{d}\mu=\int_X |f|^r|f|^{p-r} \ \mathrm{d}\mu\leq \left\lVert f \right\lVert_{\infty}^{p-r}\int_X|f|^r \ \mathrm{d}\mu=\left\lVert f \right\lVert_{\infty}^{p-r}\left\lVert f \right\lVert_{r}^{r}.$$ $$ \implies \left\lVert f \right\lVert_{p}\leq \left\lVert f \right\lVert_{r}^{\frac{r}{p}}\left\lVert f \right\lVert_{\infty}^{\frac{p-r}{p}}=\left\lVert f \right\lVert_{r}^{\frac{r}{p}}\left\lVert f \right\lVert_{\infty}^{1-\frac{r}{p}}.$$ Como $\left\lVert f \right\lVert_{r}<\infty$, entonces $\left\lVert f \right\lVert_{r}^{\frac{r}{p}}<\infty$. Además $ \left\lVert f \right\lVert_{r}^{\frac{r}{p}}\longrightarrow 1$ cuando $p\longrightarrow \infty$. Así pues, tomando $\limsup$ en el estimado de arriba: \begin{align*}
\limsup_{p\to \infty}\left\lVert f \right\lVert_{p} &\leq \limsup_{p\to \infty} \left\lVert f \right\lVert_{r}^\frac{r}{p}\left\lVert f \right\lVert_{\infty}^{1-\frac{r}{p}} \\
&\leq \left( \limsup_{p\to \infty} \left\lVert f \right\lVert_{r}^\frac{r}{p} \right)\left( \limsup_{p\to \infty} \left\lVert f \right\lVert_{\infty}^{1-\frac{r}{p}} \right) \\
&= (1)\cdot (\left\lVert f \right\lVert_{\infty}) \\
&= \left\lVert f \right\lVert_{\infty}
\end{align*} Juntando los dos estimados establecidos hasta ahora tenemos que: $$\limsup_{p\to \infty} \left\lVert f \right\lVert_{p}\leq \left\lVert f \right\lVert_{\infty}\leq \liminf_{p\to \infty} \left\lVert f \right\lVert_{p}.$$ Es decir, $$\lim_{p\to \infty} \left\lVert f \right\lVert_{p}=\left\lVert f \right\lVert_{\infty}.$$

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Más adelante…

Estudiaremos de varias formas la relación que existe entre $L^p$ y $L^q$ cuando $p\neq q$.

Tarea moral…