Definición:

Un espacio métrico es una pareja $(X,d)$ con $X$ un conjunto y $d$ una función

$$d: X\times X \longrightarrow \mathbb{R}$$ tal que:

• $d(x,y) \geqslant 0 \; \; \forall \; x, y \in X$
• $d(x,y) = d(y,x) \; \; \forall \; x, y \in X$
• $d(x,z) \leqslant d(x,y) + d(y,z) \; \; \forall \; x, y, z \in X$
• $d(x,y) = 0 \iff x = y$

La función $d$ se llama «métrica» y $d(x,y) = \|x-y\|$ es la métrica Euclidiana en $\mathbb{R}^n$.

En la entrada anterior vimos el concepto de norma Euclidiana. Tal vez te preguntes si todas las normas están inducidas por un producto interior; bueno, aquí te presentamos una norma que no está inducida por un producto interior, se llama norma infinito.

Definición

Sea $x \in \mathbb{R}^2$ tal que $x=(x_1, x_2)$, se define la norma infinito de la siguiente manera:

$$\|x\|_{\infty} = máx \big\{|x_1| , |x_2| \big\}$$

Observemos que definimos $\| \; \|_{\infty} : \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R} $ para que resulte más comprensible, pero no solamente es válida para $n=2$ sino para cualquier $n$, en cuyo caso $$\|x\|_{\infty} = máx \big\{|x_1| , |x_2|, \dotsc , |x_n| \big\}$$

En la imagen que colocamos a continuación, puedes ver la circunferencia unitaria con $\| \; \|_{\infty}$

Observaciones:

Una métrica $d$ en un conjunto $A$ es una función $d: A$ x $A \longrightarrow \mathbb{R}$ tal que cumple cuatro propiedades:

a) $d(x,y) \geq 0$ para todo $x,y \in A$,

b) $d(x,y)=0 \iff x=y$,

c) $d(x,y)=d(y,x)$,

d) Se cumple la desigualdad del triángulo, es decir $d(x,y) + d(y,z) \geq d(x,z)$.

1. Si en un espacio vectorial tenemos una norma $\|.\|: V \longrightarrow \mathbb{R}$, entonces podemos definir una métrica $d: V$x$V \longrightarrow \mathbb{R}$ como sigue: $d(x,y) = \| x-y \|$
2. Con la norma infinito se define una métrica, la métrica uniforme, en particular en $\mathbb{R}^2$ podemos definir $d_{\infty}\big((x_1, x_2), (y_1,y_2) \big)= \text{máx} \{|x_1 – y_1|, |x_2 – y_2|\} $

• $\mathbb{R}^2$ puede pensarse como un espacio de funciones.

$$f : \{1, 2\} \longrightarrow \mathbb{R}$$

Al punto $(x_1, x_2)$ le corresponde la función $f$ cuya regla de correspondencia es

$f(1) = x_1$ y $f(2) =x_2$

Entonces $d_{\infty} (f, g) = máx \big\{ \big|f(1) \, – \, g(1) \big|, \big|f(2) \, – \, g(2) \big| \big\}$

En el siguiente enlace puedes observar un dibujo interactivo del ejemplo anterior.

https://www.geogebra.org/classic/bwpxexhp

Sea $(V,+,\cdot)$ un espacio vectorial, un producto interior $\langle \; \rangle$ es una función

$$\langle \; \rangle : V\times V \longrightarrow \mathbb{R}$$

tal que cumple que:

• $\langle v,v \rangle \geqslant 0 \; \; \forall \, v \in V$
• $\langle v,v \rangle = 0 \iff 0 \in V$
• $\langle v,w \rangle = \langle w,v \rangle \; \; \forall \, v, w \in V$
• $\langle \lambda v_1 + v_2, w \rangle = \lambda \langle v_1, w \rangle + \langle v_2, w\rangle$

El producto interior de $\mathbb{R}^n$ que usualmente ocupamos es el producto punto.

Sean $x=(x_1, x_2, \dotsc, x_n)$ y $y=(y_1, y_2, \dotsc, y_n)$ entonces

$$x\cdot y = x_1\, y_1 + x_2 \, y_2 + \dotsc + x_n \, y_n$$

Ejemplo:

Sea $x= (x_1,x_2)$ y $y=(y_1,y_2)$

$\langle x,y\rangle=x_1y_1 + 4 x_2y_2$

En una entrada anterior recordamos el concepto de producto interior. A continuación presentamos el concepto de norma, norma Euclidiana.

Comenzamos:

Norma

Una norma en un espacio vectorial $(V , + , \cdot )$ es una función

$$\|.\|: V \times V \longrightarrow \mathbb{R}$$ tal que:

1. $\|v\| \geqslant 0 \; \; \forall \, v \in V$
2. $\|v\| =0 \iff v=0 \in V$
3. $\|\lambda v\| = |\lambda| \, \|v\| \; \; \forall \; v\in V ;\; \forall \; \lambda \in \mathbb{R}$
4. $\|v+w\| \leqslant \|v\| + \|w\| \; \; \forall \; v, w \in V$

Norma Euclidiana en $\mathbb{R}^n$

Sea $x \in \mathbb{R}^n$ tal que $x=(x_1, x_2, \dotsc, x_n)$ se define la norma Euclidiana como:

$$\big\| x \big\|=\sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \dotsc + x_n^2 \, \; }$$

La norma Euclidiana cumple con la desigualdad de CB.S. (Cauchy-Bunyakowski-Schwarz) y con la ley del paralelogramo.

La norma Euclidiana es un ejemplo de norma inducida por un producto interior, ya que

$$\big\| v \big\|=\sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \dotsc + v_n^2 \, \; } = \sqrt{ \langle v, v \rangle}$$

Otro ejemplo de norma inducida por otro producto interior en $\mathbb{R}^2$ se representa en la siguiente imagen

Sean $x, y \in \mathbb{R}^n$ entonces $$2\big\|x \big\|^2+2 \big\|y \big\|^2 = \big\|x+y \big\|^2 + \big\|x-y \big\|^2$$

Donde $\big\| \; \big\|$ es la norma Euclidiana, $\big\|x \big\|=\sqrt{x\cdot x \, }$

En el siguiente enlace puedes observar que se cumple esta ley. Puedes mover los vectores $v_1$ y $v_2$, haciéndolos del tamaño que prefieras y observar que los valores de la igualdad representados en la ley se mantiene.

https://www.geogebra.org/classic/t4y4evhn