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Variable Compleja I: Funciones complejas elementales como series de potencias

Por Pedro Rivera Herrera

Introducción

En la entrada 16 abordamos algunas de las funciones elementales en el estudio de la variable compleja. Vimos que todas las funciones de dicha entrada estaban motivadas por la extensión de las funciones reales a $\mathbb{C}$, además de que todas las funciones definidas en dicha entrada estuvieron dadas en términos de la función exponencial compleja, por lo que nos resulta de gran interés estudiar a detalle las propiedades de dicha función y justificar el por qué la definición dada para dicha función realmente extiende a la función exponencial real.

En esta entrada abordaremos de nueva cuenta a algunas de las funciones elementales desde el sentido complejo, pero utilizando series de potencias. Como veremos, esta caracterización nos permitirá entender mejor la analicidad de dichas funciones.

Primeramente consideremos la definición de la función exponencial como una serie de potencias dada en nuestros cursos de cálculo. Si $x \in \mathbb{R}$, entonces:
\begin{equation*}
\operatorname{exp}(x) = e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \tag{31.1}.
\end{equation*}

De acuerdo con la definición 20.1, tenemos que si $z=x+iy\in\mathbb{C}$, entonces la función exponencial compleja está dada por:
\begin{equation*}
\operatorname{exp}(z) = e^x\left[\operatorname{cos}(y) + i \operatorname{sen}(y)\right]. \tag{31.2}
\end{equation*}

Por la fórmula de Euler tenemos que si $z\in\mathbb{C}$ es un número complejo puro, es decir, $z=iy$ con $y\in\mathbb{R}$, entonces:
\begin{equation*}
\operatorname{exp}(iy) =\operatorname{cos}(y) + i \operatorname{sen}(y). \tag{31.3}
\end{equation*}

Motivados en la definición de la función exponencial para el caso real (31.1), veamos que mediante series de potencias podemos dar una definición similar para el caso complejo, que extienda de manera natural a la exponencial real a su versión compleja. Más aún, veamos que a través de dicha definición podemos justificar la definición (31.2) y todos los resultados de la entrada 20, como la fórmula de Euler (31.1), que resultarán ser consecuencia de esta expansión en series y sus propiedades.

Entonces, la pregunta fundamental es ¿cómo podemos llegar a una expresión similar a la de (31.1) para el caso complejo?

Sea $z\in\mathbb{C}$. Definimos a la función:
\begin{equation*}
f(z) = \sum_{n=0}^\infty c_n z^n.
\end{equation*}

Dado que $f$ es nuestra función candidata a ser la exponencial compleja, de acuerdo con las propiedades de la exponencial compleja vistas en la entrada 20, planteamos la siguiente ecuación diferencial con condición inicial.
\begin{equation*}
f(z) = f'(z), \quad f(0) = 1 \tag{31.4}
\end{equation*}

La respuesta a nuestra pregunta está dada por la solución de la ecuación diferencial anterior.

Tenemos que:
\begin{equation*}
f(z) = c_0 + c_1 z + c_2 z^2 + c_3 z^3 + \cdots,
\end{equation*}como la función exponencial es entera, entonces el radio de convergencia de la serie que define a $f$ debe ser infinito, entonces, por la proposición 30.2 tenemos que el de su derivada también es infinito y $f’$ deberá estar dada por la derivada término a término de la serie que la define, es decir:
\begin{align*}
f(z) = c_0 + c_1 z + c_2 z^2 + c_3 z^3 + \cdots,\\
f'(z) = c_1 + 2c_2 z + 3c_3 z^2 + 4 c_4 z^3 + \cdots .
\end{align*}

Como $f(z) = f'(z)$, entonces, por el corolario 30.2, los coeficientes de ambas series deben ser iguales, es decir:
\begin{equation*}
c_0 = c_1, \,\, c_1 = 2 c_2, \,\, c_2 = 3 c_3, \,\, \ldots, c_{n-1} = n c_n,
\end{equation*}de donde $c_n = \dfrac{1}{n} c_{n-1}$, para todo $n\geq 1$.

Considerando lo anterior y la condición inicial $f(0) = 1$, entonces $c_0 = 1$, por lo que:
\begin{equation*}
c_1 = 1, \,\, c_2 = \frac{1}{2} = \frac{1}{2!}, \,\, c_3 = \left(\frac{1}{3}\right) \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{3!}, \,\, \ldots \,\, , c_{n} = \left( \frac{1}{n}\right)\left( \frac{1}{(n-1)!}\right) = \frac{1}{n!}.
\end{equation*}

Por lo que, la solución a la ecuación diferencial (31.4) es:
\begin{equation*}
f(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}, \forall z\in\mathbb{C}.
\end{equation*}

Definición 31.1. (Exponencial compleja como serie de potencias.)
Sea $z \in\mathbb{C}$, entonces definimos a la exponencial compleja como la serie de potencias:
\begin{equation*}
\operatorname{exp}(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}. \tag{31.5}
\end{equation*}

Observación 31.1.
En el ejemplo 27.8 hemos probado que la serie de potencias que define a la exponencial compleja es absolutamente convergente para todo $z\in\mathbb{C}$. Por lo que la función exponencial compleja está bien definida para todo $z\in\mathbb{C}$.

Podemos mencionar algunas de las propiedades más importantes de esta función, dada como series de potencias, en la siguiente:

Proposición 31.1. (Propiedades de la exponencial compleja.)
La función exponencial compleja definida como en (31.5) satisface las siguientes propiedades.

  1. Es una función entera y para todo $z\in\mathbb{C}$ se cumple que $\dfrac{d}{dz} \operatorname{exp}(z) = \operatorname{exp}(z)$.
  2. $\operatorname{exp}(0) = 1$.
  3. $\operatorname{exp}(z_1 + z_2) = \operatorname{exp}(z_1) \operatorname{exp}(z_2)$ para todo $z_1, z_2 \in\mathbb{C}$.
  4. $\operatorname{exp}(z) \neq 0$ para todo $z\in\mathbb{C}$.
  5. $\operatorname{exp}(-z) = \dfrac{1}{\operatorname{exp}(z)}$ y $\operatorname{exp}(z_1 – z_2) = \dfrac{\operatorname{exp}(z_1)}{\operatorname{exp}(z_2)}$, para cualesquiera $z, z_1, z_2 \in\mathbb{C}$.
  6. $\overline{\operatorname{exp}(z)} = \operatorname{exp}\left(\overline{z}\right)$ para todo $z\in\mathbb{C}$.
  7. Para todo $z\in\mathbb{C}$ se cumple que $|\operatorname{exp}(z)| = \operatorname{exp}\left(\operatorname{Re}(z)\right)$, de donde:
    \begin{equation*}
    |\operatorname{exp}(i\theta)| = 1 \quad \Longleftrightarrow \quad \theta \in\mathbb{R} \quad \text{y} \quad |\operatorname{exp}(z)| \leq \operatorname{exp}(|z|).
    \end{equation*}

Demostración.

  1. Sea $z\in\mathbb{C}$, entonces, por la proposición 30.2 se cumple que:
    \begin{equation*}
    \dfrac{d}{dz} \operatorname{exp}(z) = \dfrac{d}{dz} \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!} = \sum_{n=1}^\infty \frac{n z^{n-1}}{n (n-1)!} = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!} = \operatorname{exp}(z).
    \end{equation*}
  2. Es inmediata de la definición de la función exponencial compleja.
  3. Sean $z_1, z_2 \in\mathbb{C}$, entonces:
    \begin{equation*}
    \operatorname{exp}(z_1) = \sum_{n=0}^\infty \frac{z_1^n}{n!} \quad \text{y} \quad \operatorname{exp}(z_2) = \sum_{n=0}^\infty \frac{z_2^n}{n!}.
    \end{equation*}Por el ejemplo 27.8 sabemos que ambas series son absolutamente convergentes. Del ejemplo 27.11, tenemos que el producto de Cauchy de dichas series es:
    \begin{equation*}
    \sum_{n=0}^\infty c_n = \sum_{n=0}^\infty \frac{(z_1 + z_2)^n}{n!}.
    \end{equation*}Por último, por el ejemplo 27.12, sabemos que el producto de estas series absolutamente convergentes, converge a su producto de Cauchy, es decir:
    \begin{align*}
    \operatorname{exp}(z_1) \operatorname{exp}(z_2) & = \left(\sum_{n=0}^\infty \frac{z_1^n}{n!}\right) \left(\sum_{n=0}^\infty \frac{z_2^n}{n!}\right)\\
    & = \sum_{n=0}^\infty \frac{(z_1 + z_2)^n}{n!}\\
    & = \operatorname{exp}(z_1 + z_2).
    \end{align*}Por inducción es fácil verificar que:
    \begin{equation*}
    \prod_{i=1}^n \operatorname{exp}(z_i) = \operatorname{exp}\left( \sum_{i=1}^n z_i\right), \quad \forall n\geq 2.
    \end{equation*}
  4. Se sigue de los incisos 2 y 3, por lo que los detalles se dejan como ejercicio al lector.
  5. Se sigue de los incisos 2 y 3, por lo que los detalles se dejan como ejercicio al lector.
  6. El resultado se sigue de la proposición 27.2(2).
  7. Sea $z\in\mathbb{C}$. Sabemos que:
    \begin{equation*}
    \operatorname{Re}(z) = \frac{z + \overline{z}}{2} \quad \text{y} \quad |z|^2 = z \overline{z}.
    \end{equation*}De los incisos 3, 4 y 6 tenemos que:
    \begin{equation*}
    |\operatorname{exp}(z)|^2 = \operatorname{exp}(z) \overline{\operatorname{exp}(z)} = \operatorname{exp}(z) \operatorname{exp}\left(\overline{z}\right) = \operatorname{exp}\left(z+\overline{z}\right) = \operatorname{exp}\left(2 \operatorname{Re}(z)\right) = \left[\operatorname{exp}\left(\operatorname{Re}(z)\right)\right]^2 >0,
    \end{equation*}de donde:
    \begin{equation*}
    |\operatorname{exp}(z)| = \operatorname{exp}\left(\operatorname{Re}(z)\right).
    \end{equation*}La parte restante del resultado se sigue de esta última igualdad, por lo que los detalles se dejan como ejercicio al lector.

$\blacksquare$

Es claro que si $z=x\in\mathbb{R}$, entonces las definiciones (31.5) y (31.1), correspondientes con la exponencial compleja y la exponencial real, coinciden. Sin embargo, procedemos a verificar que en efecto la exponencial compleja extiende a la exponencial real de manera formal.

Recordemos los siguientes resultados de Cálculo.

Teorema 31.1. (Teorema del Valor Intermedio.)
Sea $f:[a, b] \to \mathbb{R}$ una función continua en $[a, b]$. Entonces, para todo $y$ entre $f(a)$ y $f(b)$ existe $c\in [a, b]$ tal que $f(c) = y$.

Teorema 31.2. (Teorema del Valor Medio.)
Sea $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ una función continua en $[a, b]$ y diferenciable en $(a, b)$. Entonces, existe $c\in (a, b)$ tal que:
\begin{equation*}
f'(c) = \frac{f(b) – f(a)}{b – a}.
\end{equation*}

Lema 31.1.
Si $f:(a,b) \to \mathbb{R}$ es una función diferenciable en $(a, b)$ tal que $f'(x)>0$ para todo $x\in(a, b)$, entonces $f$ es estrictamente creciente en $(a, b)$.

Demostración. Es una consecuencia de teorema del valor medio, por lo que se deja como ejercicio al lector.

$\blacksquare$

Lema 31.2.
Si $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ es una función estrictamente creciente en $[a, b]$, entonces $f$ es inyectiva.

Demostración. Se deja como ejercicio al lector.

$\blacksquare$

Lema 31.3.
Sea $I\subset\mathbb{R}$ un intervalo. Si $f:I \to \mathbb{R}$ es una función continua e inyectiva. Entonces $f^{-1}$ es continua.

Demostración. Se deja como ejercicio al lector.

$\blacksquare$

Puede consultarse la prueba de estos resultados en alguno de los siguientes textos:

  • Elementary Analysis: The Theory of Calculus de Kenneth A. Ross.
  • An Introduction to Analysis de William R. Wade.
  • An Introduction to Analysis de James R. Kirkwood.

Procedemos con el resultado.

Corolario 31.1. ($\pmb{e^x = \operatorname{exp}|_{\mathbb{R}}(x)}$.)
Si $z = x+i0 \in\mathbb{C}$, con $x\in\mathbb{R}$, entonces la función $u(x) = \operatorname{exp}|_{\mathbb{R}}(x)$, es decir, la exponencial compleja restringida a $\mathbb{R}$, satisface lo siguiente:

  1. $u$ es una función real, continua y estrictamente creciente en su dominio $\mathbb{R}$.
  2. $u(\mathbb{R}) = (0, \infty)$.
  3. $u$ es un homeomorfismo, definición 9.2, entre $\mathbb{R}$ y $(0, \infty)$ y la única solución de la ecuación $u(0)=1$ es $x=0$.

Demostración. Dadas las hipótesis.

  1. De acuerdo con la definición 30.1, es claro que al evaluar la expresión (31.5) con $z=x\in\mathbb{R}$, la función $u(x) = \operatorname{exp}(x)$ es una función real de variable real. La continuidad de la función $u$ se sigue de la proposición 31.1(1), pues la exponencial compleja es una función entera y por tanto continua en $\mathbb{C}$, proposición 16.1, en particular es continua en $\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$.

    Por otra parte, de la proposición 31.1(4) sabemos que para todo $z\in\mathbb{C}$ se cumple que $\operatorname{exp}(z) \neq 0$, y por el inciso 2, de la misma proposición, para todo $z=x\in\mathbb{R}$ tenemos que:
    \begin{equation*}
    u(x) = \operatorname{exp}(x) = \operatorname{exp}\left(\frac{x}{2} + \frac{x}{2} \right) = \left[\operatorname{exp}\left(\frac{x}{2}\right)\right]^2 >0.
    \end{equation*}Dado que $u'(x) = u(x) > 0$, proposición 31.1(1), entonces se sigue del lema 31.1 que la función $u$ es estrictamente creciente en $\mathbb{R}$.
  2. Como $u$ es continua y $\mathbb{R}$ es un conjunto conexo, entonces de la proposición 10.3 se sigue que $u(\mathbb{R}) = \operatorname{exp}(\mathbb{R}) \subset{\mathbb{R}}$ debe ser un conjunto conexo, por lo tanto, proposición 10.1, es un intervalo. Puesto que para todo $z=x\in\mathbb{R}$ se cumple que $u(x)>0$, entonces $u(\mathbb{R}) \subset (0, \infty)$.

    Probemos la otra contención. De acuerdo con la definición de $u$, es claro que para $z = x>0$ se cumple que:
    \begin{equation*}
    u(x) = \operatorname{exp}(x) > 1 + x,
    \end{equation*}por lo que:
    \begin{equation*}
    \lim_{x \to\infty} u(x) = \infty. \tag{31.6}
    \end{equation*}Dado que para todo $z\in\mathbb{C}$ se cumple que $\operatorname{exp}(z) = 1/\operatorname{exp}(-z)$, proposición 31.1(5), entonces, para $z=t\in\mathbb{R}$ tal que $t<0$, es claro que:
    \begin{equation*}
    \lim_{t \to -\infty} u(t) = \lim_{-t \to \infty} \frac{1}{u(-t)} = \lim_{x \to\infty} \frac{1}{u(x)} = 0. \tag{31.7}
    \end{equation*}Sea $L>0$. De acuerdo con la definición del límite, de (31.6) se sigue que si $K=L>0$, entonces existe $M>0$ tal que:
    \begin{equation*}
    f(x) > K, \quad \text{si} \quad x>M.
    \end{equation*}En particular, para $x=M+1$ tenemos que $u(M+1) > L$.

    Análogamente, considerando la definición del límite (31.7), si $\varepsilon=L>0$, entonces existe $N<0$ tal que:
    \begin{equation*}
    |u(x) – 0| = |u(x)| = u(x) < L, \quad \text{si} \quad x < N.
    \end{equation*}Entonces, para $x=N-1$ tenemos que $u(N-1) < L$. Por lo tanto, dado $L>0$ existen $a=N-1<0$ y $b = M+1>0$ tales que:
    \begin{equation*}
    u(a) < L < u(b).
    \end{equation*}Como $u$ es continua en $\mathbb{R}$, en particular lo es en $(a, b)$, entonces, del teorema del valor intermedio se sigue que existe $c\in(a, b)$ tal que $u(c) = L$, lo cual prueba la contención restante, por lo que $u(\mathbb{R}) = (0, \infty)$.
  3. Dado que $u$ es estrictamente creciente, entonces, del lema 31.2 se sigue que es una función inyectiva. Por otra parte, del inciso anterior tenemos que $u:\mathbb{R} \to (0,\infty)$ es una función suprayectiva, por lo que $u$ es una función biyectiva y por tanto invertible. Denotamos a $u^{-1}(y)=x$ como la función inversa, entonces $u^{-1}$ es continua, lema 31.3, ya que $u$ es continua e inyectiva, por lo que $\mathbb{R}$ y $(0, \infty)$ son homeomorfos, definición 9.2.

    Como $u$ es inyectiva es claro que la única solución de la ecuación $u(0)=1$ es $x=0$.

$\blacksquare$

Observación 31.2.
De acuerdo con estos resultados, es claro que para $z=x\in\mathbb{R}$, la definición de la exponencial compleja dada en (31.5) se reduce al caso real dado por (31.1), por lo que de manera natural hemos hecho una extensión de la función exponencial real a $\mathbb{C}$, y como la serie que define a la exponencial converge absolutamente para todo $z\in\mathbb{C}$, entonces podemos utilizar las expresiones $e^z$ y $\operatorname{exp}(z)$ de manera indistinta para referirnos a la función exponencial compleja.

De nuestros cursos de cálculo, sabemos que las series de potencias de las funciones trigonométricas reales seno y coseno son:
\begin{align*}
\operatorname{sen}(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!},\\
\operatorname{cos}(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}.
\end{align*}

Notemos que si $z = iy \in\mathbb{C}$, con $y\in\mathbb{R}$, entonces:
\begin{align*}
\operatorname{exp}(iy) & = \sum_{n=0}^\infty \frac{(iy)^n}{n!}\\
& = 1 + iy – \frac{y^2}{2!} – i\frac{y^3}{3!} + \frac{y^4}{4!} + i \frac{y^5}{5!} – \frac{y^6}{6!} – i
\frac{y^7}{7!} + \frac{y^8}{8!} + \cdots\\
& = \left( 1 – \frac{y^2}{2!} + \frac{y^4}{4!} – \frac{y^6}{6!} + \frac{y^8}{8!} – \cdots \right) + i \left( y – \frac{y^3}{3!} + \frac{y^5}{5!} – \frac{y^7}{7!} – \cdots \right)\\
& = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n y^{2n}}{(2n)!} + i \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n y^{2n+1}}{(2n+1)!}\\
& = \operatorname{cos}(y) + i \operatorname{sen}(y).
\end{align*}

De acuerdo con la proposición 31.1(3), para $z = x+ iy \in\mathbb{C}$ se tiene que:
\begin{align*}
e^z = \operatorname{exp}(z) & = \operatorname{exp}(x + iy)\\
& = \operatorname{exp}(x) \operatorname{exp}(iy)\\
& = e^x \left[ \operatorname{cos}(y) + i \operatorname{sen}(y)\right],
\end{align*}lo cual justifica la definición 20.1 y por tanto todos los resultados de las entradas 20, 21, 22 y 23 son válidos.

De manera análoga, se puede utilizar la definición en series de potencias de la función exponencial compleja y las definiciones de las funciones trigonométricas e hiperbólicas, dadas en la entrada 22, para obtener sus correspondientes definiciones en series de potencias, que extienden de manera natural a $\mathbb{C}$ a sus versiones reales.

Proposición 31.2. (Series de las funciones trigonométricas e hiperbólicas seno y coseno.)
Sea $z\in\mathbb{C}$, entonces:
\begin{align*}
\operatorname{sen}(z) := \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n z^{2n+1}}{(2n+1)!}, \tag{31.8} \\
\operatorname{cos}(z) := \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n z^{2n}}{(2n)!}, \tag{31.9}\\
\operatorname{senh}(z) := \sum_{n=0}^\infty \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}, \tag{31.10} \\
\operatorname{cosh}(z) := \sum_{n=0}^\infty \frac{z^{2n}}{(2n)!}. \tag{31.11}
\end{align*}

Demostración. La demostración es análoga para las cuatro funciones y se sigue de las definiciones 22.1, 22.3, 31.1 y de la proposición 27.2(1). Para ejemplificar el procedimiento realicemos la prueba de la serie de la función coseno hiperbólico y el resto de las series se dejan como ejercicio al lector.

De las definiciones 22.3 y 30.1, para todo $z\in\mathbb{C}$, por la proposición 27.2(1) tenemos que:
\begin{align*}
\operatorname{cosh}(z) & = \frac{\operatorname{exp}(z) + \operatorname{exp}(-z)}{2}\\
& = \dfrac{\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \dfrac{z^n}{n!} + \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \dfrac{(-z)^n}{n!}}{2}\\
& = \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \dfrac{z^n + (-z)^n}{2 \cdot n!}\\
& = \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \dfrac{z^n \left[1 + (-1)^n\right]}{2 \cdot n!}.
\end{align*}

Sea $c_n = \dfrac{1 + (-1)^n}{2 \cdot n!}$, para todo $n\in\mathbb{N}$. Notemos que:
\begin{equation*}
c_n = \left\{ \begin{array}{lcc}
0 & \text{si} & n = 2k+1, \\
\\ \dfrac{1}{(2k)!} & \text{si} & n=2k,
\end{array}
\right.
\end{equation*} donde $k\in\mathbb{N}$.

Entonces:
\begin{equation*}
\operatorname{cosh}(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^{2n}}{(2n)!}.
\end{equation*}

$\blacksquare$

De manera análoga es posible deducir las series de potencias del resto de funciones trigonométricas e hiperbólicas, por lo que se deja como ejercicio al lector.

Observación 31.2.
De estas definiciones para las funciones trigonométricas e hiperbólicas seno y coseno es claro que para todo $z\in\mathbb{C}$ se cumple que:
\begin{equation*}
\operatorname{sen}(-z) = -\operatorname{sen}(z) \quad \text{y} \quad \operatorname{cos}(-z) = \operatorname{cos}(z),
\end{equation*}
\begin{equation*}
\operatorname{senh}(-z) = -\operatorname{senh}(z) \quad \text{y} \quad \operatorname{cosh}(-z) = \operatorname{cosh}(z),
\end{equation*}ya que las series de potencias de las funciones $\operatorname{sen}$ y $\operatorname{senh}$ solo consideran a las potencias impares de $z$, mientras que las series de potencias de las funciones $\operatorname{cos}$ y $\operatorname{cosh}$ solo consideran potencias pares de $z$.

Observación 31.3.
De acuerdo con las definiciones en series de las funciones hiperbólicas seno y coseno es claro que si restringimos el dominio de estas funciones al conjunto de los números reales positivos, entonces estas funciones serán positivas y estrictamente crecientes.

Más aún, por la observación 22.5, sabemos que para todo $z=x+iy\in\mathbb{C}$ se cumplen las identidades:
\begin{align*}
|\operatorname{sen}(z)|^2 = \operatorname{sen}^2(x) + \operatorname{senh}^2(y),\\
|\operatorname{cos}(z)|^2 = \operatorname{cos}^2(x) + \operatorname{senh}^2(y),
\end{align*}de donde es claro que los únicos ceros de las series (31.8) y (31.9), que definen al seno y coseno complejos, son reales ya que $\operatorname{senh}(y) = 0$ si y solo si $y=0$.

Considerando las propiedades que hemos probado para las series de números complejos a lo largo de esta unidad, podemos probar fácilmente algunas de las identidades con las que estamos familiarizados para el caso real, mediante la manipulación algebraica de las series de potencias que definen a las funciones trigonométricas e hiperbólicas.

Ejemplo 31.1.
Verifiquemos que para todo $z\in\mathbb{C}$ se cumple que:
a) \begin{equation*}
\operatorname{cos}^2(z) = \frac{1+\operatorname{cos}(2z)}{2}.
\end{equation*}
b) \begin{equation*}
\operatorname{sen}(2z) = 2 \operatorname{sen}(z)\operatorname{cos}(z).
\end{equation*}

Solución.

a) Notemos que:
\begin{align*}
\frac{1+\operatorname{cos}(2z)}{2} & = \frac{1}{2} + \frac{\operatorname{cos}(2z)}{2}\\
& = \frac{1}{2} + \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n (2z)^{2n}}{2 (2n)!}\\
& = \frac{1}{2} + \sum_{n=0}^\infty \frac{i^{2n} \, 2^{2n-1} \, z^{2n}}{(2n)!}.
\end{align*}

Por otra parte:
\begin{align*}
\operatorname{cos}^2(z) & = \left(\frac{\operatorname{exp}(iz) + \operatorname{exp}(-iz)}{2}\right)^2\\
& = \frac{1}{4} \left[\operatorname{exp}(2iz) + 2 +\operatorname{exp}(-2iz)\right]\\
& = \frac{1}{2} + \sum_{n=0}^\infty \frac{(2iz)^n}{4 \cdot n!} + \sum_{n=0}^\infty \frac{(-2iz)^n}{4 \cdot n!}\\
& = \frac{1}{2} + \sum_{n=0}^\infty \frac{2^{n-2} \, i^n \, z^n}{n!} + \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n \, 2^{n-2} \, i^n \, z^n}{n!}\\
& = \frac{1}{2} + \sum_{n=0}^\infty \frac{2^{n-2} \, i^n \, z^n \left[1 + (-1)^n\right]}{n!}.
\end{align*}

Sea $c_n = \dfrac{2^{n-2} \, i^n \left[1 + (-1)^n\right]}{n!}$, para todo $n\in\mathbb{N}$. Notemos que:
\begin{equation*}
c_n = \left\{ \begin{array}{lcc}
0 & \text{si} & n = 2k+1, \\
\\ \dfrac{2^{2k-1} i^{2k}}{(2k)!} & \text{si} & n=2k,
\end{array}
\right.
\end{equation*}donde $k\in\mathbb{N}$.

Entonces:
\begin{equation*}
\frac{1+\operatorname{cos}(2z)}{2} = \frac{1}{2} + \sum_{n=0}^\infty \frac{i^{2n} \, 2^{2n-1} \, z^{2n}}{(2n)!} = \operatorname{cos}^2(z).
\end{equation*}b) De acuerdo con el inciso anterior tenemos que:
\begin{equation*}
\operatorname{cos}^2(z) = \frac{1}{2} + \sum_{n=0}^\infty \frac{i^{2n} \, 2^{2n-1} \, z^{2n}}{(2n)!},
\end{equation*}la cual es una serie con radio de convergencia infinito.

Derivando ambos lados de ésta última igualdad, por la proposición 30.2 tenemos que:
\begin{align*}
-2 \operatorname{sen}(z) \operatorname{cos}(z) & = \sum_{n=1}^\infty \frac{i^{2n} \, 2^{2n-1} \, 2n \, z^{2n-1}}{2n \, (2n-1)!}\\
& = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n} \, (2z)^{2n-1}}{(2n-1)!}\\
& = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n+1} \, (2z)^{2n+1}}{(2n+1)!}\\
& = – \operatorname{sen}(2z),
\end{align*}de donde:
\begin{equation*}
\operatorname{sen}(2z) = 2 \operatorname{sen}(z)\operatorname{cos}(z).
\end{equation*}

Ejemplo 31.2.
Las funciones complejas exponencial, seno y coseno son analíticas, definición 30.1, en $\mathbb{C}$.

Solución. Sea $z_0\in\mathbb{C}$ fijo. Tenemos que:
\begin{align*}
e^z = e^{z_0 + z-z_0} & = e^{z_0} e^{z-z_0}\\
&= e^{z_0} \sum_{n=0}^\infty \frac{(z-z_0)^n}{n!}\\
& = \sum_{n=0}^\infty e^{z_0} \frac{(z-z_0)^n}{n!}, \quad \forall z\in\mathbb{C}.
\end{align*}

Por otra parte, por la proposición 22.1 sabemos que para todo $z\in\mathbb{C}$ se cumple que:
\begin{align*}
\operatorname{sen}(z) = \operatorname{sen}(z_0+z-z_0) = \operatorname{sen}(z_0) \operatorname{cos}(z-z_0) + \operatorname{sen}(z-z_0) \operatorname{cos}(z_0),\\
\operatorname{cos}(z) = \operatorname{cos}(z_0+z-z_0)= \operatorname{cos}(z_0) \operatorname{cos}(z-z_0) – \operatorname{sen}(z_0) \operatorname{sen}(z-z_0).
\end{align*}

Entonces:
\begin{equation*}
\operatorname{sen}(z) = \operatorname{sen}(z_0) \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(z-z_0)^{2n}}{(2n)!} + \operatorname{cos}(z_0) \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(z-z_0)^{2n+1}}{(2n+1)!}, \quad \forall z\in\mathbb{C},
\end{equation*}
\begin{equation*}
\operatorname{cos}(z) = \operatorname{cos}(z_0) \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(z-z_0)^{2n}}{(2n)!} – \operatorname{sen}(z_0) \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(z-z_0)^{2n+1}}{(2n+1)!}, \quad \forall z\in\mathbb{C}.
\end{equation*}

Ejemplo 31.3.
Determinemos el radio de convergencia y la suma de la serie:
\begin{equation*}
\sum_{n=2}^\infty \frac{n}{(n-2)!} z^n.
\end{equation*}

Solución. Por la forma de la serie, al tener un factorial en el denominador, inferimos que la función suma que describe la serie dada debe estar en términos de la exponencial compleja.

Sabemos que la serie de potencias, centrada en $z_0 = 0$, de la exponencial es:
\begin{equation*}
f(z) = e^z = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}, \quad \forall z\in\mathbb{C},
\end{equation*}entonces, al derivar dos veces de ambos lados de la igualdad, por el corolario 30.1 tenemos que:
\begin{equation*}
f»(z) = e^z = \sum_{n=2}^\infty \frac{n(n-1) z^{n-2}}{n!}= \sum_{n=2}^\infty \frac{z^{n-2}}{(n-2)!}, \quad \forall z\in\mathbb{C}.
\end{equation*}

Multiplicando ambos lados por $z^2$ tenemos:
\begin{equation*}
z^2 e^z = \sum_{n=2}^\infty \frac{z^{n}}{(n-2)!} = \sum_{k=0}^\infty c_k z^k, \quad \forall z\in\mathbb{C},
\end{equation*}de donde:
\begin{equation*}
c_k = \left\{ \begin{array}{lc}
\dfrac{1}{(n-2)!}, & \text{si existe} \,\, n\in\mathbb{N} \,\, \text{tal que} \,\, k = n,\\
\\ 0, & \text{en otro caso.}\\
\end{array}
\right.
\end{equation*}

Por lo que $c_0 = c_1 =0$ y para todo $k\geq 2$:
\begin{equation*}
c_k = \dfrac{1}{(k-2)!}.
\end{equation*}

Considerando lo anterior no es difícil verificar que esta última serie tiene radio de convergencia infinito, por lo que podemos volver a aplicar la proposición 30.2 y derivar de ambos lados de la igualdad, de donde se sigue que:
\begin{align*}
\frac{d}{dz} z^2 e^z = 2ze^z + z^2 e^z & = \sum_{k=1}^\infty k c_k z^{k-1}\\
& = \sum_{n=2}^\infty \frac{n z^{n-1}}{(n-2)!}, \quad \forall z\in\mathbb{C}.
\end{align*}

Por último, si multiplicamos por $z$ ésta última igualdad tenemos que:
\begin{equation*}
e^z(2z^2 + z^3) = \sum_{n=2}^\infty \frac{n z^{n}}{(n-2)!}, \quad \forall z\in\mathbb{C},
\end{equation*}la cual es la función suma correspondiente a la serie dada y tiene también radio de convergencia infinito.

Para cerrar esta entrada analicemos ahora a la función multivaluada logaritmo complejo, para ello consideremos el siguiente:

Ejemplo 31.4.
Veamos que la serie de potencias para la función $\operatorname{Log}(1+z)$ es:
\begin{equation*}
\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n z^{n+1}}{n+1},
\end{equation*}y determinemos su dominio de convergencia.

Solución. De acuerdo con el ejercicio 10 de la entrada 21, sabemos que la función $\operatorname{Log}(1+z)$ es analítica en $\mathbb{C}\setminus(-\infty, -1]$ y para todo punto en dicho dominio su derivada es:
\begin{equation*}
\frac{d}{dz} \operatorname{Log}(1+z) = \frac{1}{1+z}. \tag{31.12}
\end{equation*}

En particular, dicha función es analítica en $B(0,1)$ y para $|z|<1$ se cumple (31.12).

Por otra parte, considerando la serie geométrica, tenemos que:
\begin{equation*}
\sum_{n=0}^\infty (-z)^n = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n z^n = \frac{1}{1+z}, \quad \text{si} \,\, |z|<1.
\end{equation*}

Entonces:
\begin{equation*}
\frac{d}{dz} \operatorname{Log}(1+z) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n z^n = \frac{1}{1+z}, \quad \text{si} \,\, |z|<1.
\end{equation*}

Notemos que si definimos a una función $f$ considerando la serie de potencias dada, tenemos que:
\begin{equation*}
f(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n z^{n+1}}{n+1} = \sum_{k=0}^\infty c_k z^k,
\end{equation*}de donde:
\begin{equation*}
c_k = \left\{ \begin{array}{lc}
\dfrac{(-1)^{n}}{n+1}, & \text{si existe} \,\, n\in\mathbb{N} \,\, \text{tal que} \,\, k = n+1,\\
\\ 0, & \text{en otro caso.}\\
\end{array}
\right.
\end{equation*}

Por lo que, $c_0 = 0$ y para $k\geq 1$ se tiene que:
\begin{equation*}
c_k = \frac{(-1)^{k-1}}{k}.
\end{equation*}

Es claro que para $k\geq 1$ se tiene que $c_k \neq 0$ y como:
\begin{equation*}
\lambda = \lim_{k\to\infty} \frac{|c_{k+1}|}{|c_{k}|} = \lim_{k\to\infty} \left|\frac{k (-1)^{k}}{(k+1) (-1)^{k-1}}\right| = \lim_{k\to\infty} \frac{k}{k+1} = 1,
\end{equation*}entonces, del corolario 29.3 se sigue que $R = 1/ \lambda = 1$, es decir, la serie que define a $f$ tiene radio de convergencia 1, por lo que su dominio de convergencia es el disco $B(0,1)$.

Lo anterior nos garantiza que tanto $f(z)$ como $\operatorname{Log}(1+z)$ están bien definidas en el disco abierto $B(0,1)$.

De acuerdo con la proposición 30.2 y la definición 30.1, tenemos que $f$ es analítica en $B(0,1)$ y su derivada es:
\begin{align*}
f'(z) & = \sum_{k=1}^\infty k c_k z^{k-1}\\
& = \sum_{k=1}^\infty k \left(\frac{(-1)^{k-1}}{k}\right) z^{k-1}\\
& = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n z^{n}\\
& = \frac{1}{1+z}, \quad \text{si} \,\, |z|<1.
\end{align*}

Sea $g(z) = f(z) – \operatorname{Log}(1+z)$. Claramente $g$ es analítica en $B(0,1)$ y su derivada es:
\begin{equation*}
g'(z) = \dfrac{d}{dz} \left [f(z) – \operatorname{Log}(1+z)\right] = 0, \quad \forall z\in B(0,1),
\end{equation*}por lo que $g$ es una función constante en $B(0,1)$, proposición 19.2. Para $z=0$ tenemos que:
\begin{equation*}
g(0) = f(0) – \operatorname{Log}(1+0) = 0,
\end{equation*}entonces:
\begin{equation*}
f(z) – \operatorname{Log}(1+z) = 0 \quad \Longrightarrow \quad f(z) = \operatorname{Log}(1+z).
\end{equation*}

Por lo tanto:
\begin{equation*}
\operatorname{Log}(1+z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n z^{n+1}}{n+1}, \quad \text{si} \,\, |z|<1.
\end{equation*}

Observación 31.4.
Notemos que si sustituimos a $z$ por $z-1$ en el resultado anterior, entonces:
\begin{equation*}
\operatorname{Log}(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n (z-1)^{n+1}}{n+1}, \quad \text{si} \,\, |z-1|<1.
\end{equation*}

Tarea moral

  1. Prueba los lemas 31.1, 31.2 y 31.3.
  2. Completa la demostración de la proposición 31.1.
  3. Completa la demostración de la proposición 31.2.
  4. Utilizando las definiciones en series de potencias de las funciones seno y coseno prueba la identidad Pitagórica $\operatorname{sen}^2(z) + \operatorname{cos}^2(z) = 1$ para todo $z\in\mathbb{C}$.
  5. Determina la serie de potencias de la función $\operatorname{Log}\left(\dfrac{1}{1-z}\right)$ y determina su región de convergencia.

    Hint: Recuerda que para la rama principal del logaritmo se cumple que $\operatorname{Log}\left(w^{-1}\right) = -\operatorname{Log}(w)$ si $w\in\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]$.
  6. a) Considera el desarrollo en serie de potencias para la función $f(z) = \operatorname{Log}(z)$ dado en la observación 31.4 y muestra que $f'(z) = 1/z$.

    b) Sea $z_0 \neq 0$. Para $z \in B(z_0, 1)$ define a la función:
    \begin{equation*}
    f(z) = \displaystyle\sum_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^{n-1}}{n} \left(\dfrac{z-z_0}{z_0}\right)^n.
    \end{equation*} Muestra que $f'(z) = 1/z$.
  7. Determina la función suma y el dominio de convergencia de las siguientes series de potencias.
    a) $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n!} z^{3n}$.
    b) $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{z^{2n+1}}{(2n-1)!}$.
    c) $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{2^{n+1}(z-i)^{n+2}}{(n+1)!}$.
  8. Se definen a los números de Bernoulli $B_n$ a través de la serie de potencias:
    \begin{equation*}
    \frac{z}{e^z -1} = \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{B_n}{n!} z^n.
    \end{equation*}a) Prueba la fórmula recursiva:
    \begin{equation*}
    \frac{B_0}{n! \, 0!} + \frac{B_1}{(n-1)! \, 1!} + \cdots + \frac{B_{n-1}}{1! \, (n-1)!} = \left\{ \begin{array}{lcc}
    1 & \text{si} & n=1, \\
    \\ 0 & \text{si} & n>1.
    \end{array}
    \right.
    \end{equation*}Entonces $B_0=1$.

    b) Calcula $B_1$, $B_2$, $B_3$, $B_4$.

    c) Muestra que $B_n=0$ si $n$ es un número impar distinto de $1$.
  9. Define a la función $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ como:
    \begin{equation*}
    f(x) = \left\{ \begin{array}{lcc}
    0 & \text{si} & x\leq 0, \\
    \\ e^{-1/x} & \text{si} & x>0.
    \end{array}
    \right.
    \end{equation*}Muestra que $f$ es infinitamente diferenciable y que $f^{(n)}=0$ para todo $n\in\mathbb{N}$.

Más adelante…

Esta entrada es la última de la tercera unidad, correspondiente al tema de series de números complejos. En ella hemos abordado de manera general algunas de las funciones complejas elementales vistas como series de potencias, cabe mencionar que muchas de las propiedades referentes a estas funciones las hemos estudiado a detalle en la segunda unidad. Es importante notar que muchas de las definiciones dadas en esta entrada coinciden con las definiciones de estas funciones como series para el caso real, por lo que resulta natural la extensión de estas funciones al caso complejo.

En la siguiente entrada iniciamos con la cuarta unidad, correspondiente con el tema de integración compleja, en la cual veremos algunos de los resultados más importantes para las funciones complejas que sin duda son fundamentales en la teoría de la variable compleja en sí, mismos que nos permitirán caracterizar de manera clara a las funciones complejas y distinguirlas de las funciones reales.

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Introducción

Las funciones vistas como series de potencias tienen un comportamiento bueno, en el sentido de que son funciones continuas y diferenciables, aunque aquí es donde radica una propiedad importante y es que la derivada de una serie de potencias es también una serie de potencias, por lo que resultará que las funciones dadas como series de potencias son infinitamente diferenciables.

Por el corolario 16.1 tenemos que la derivada de un polinomio complejo, digamos:
\begin{equation*}
p(z) = c_0 + c_1 z + \cdots + c_n z^n,
\end{equation*}está dada por el polinomio complejo:
\begin{equation*}
p'(z) = c_1 + 2c_2 z + \cdots + n c_n z^{n-1}.
\end{equation*}Intuitivamente, esto nos dice que la función suma $f$, definición 28.6, dada por una serie de potencias, es decir:
\begin{equation*}
f(z) = \sum_{n=0}^\infty c_n z^n, \tag{30.1}
\end{equation*}debería tener como derivada:
\begin{equation*}
f'(z) = \sum_{n=0}^\infty n c_n z^{n-1}.
\end{equation*}Si esto se cumple, entonces tendríamos que $f$ sería una función diferenciable término a término, pero ¿cuándo es posible esto? Para responder esta pregunta recurriremos a los conceptos de la entrada anterior sobre lo que es una serie de potencias así como los conceptos de convergencia de series de números complejos y de series de funciones vistos en las entradas anteriores, pues como veremos a continuación, para que la función suma $f$ propuesta en (30.1) satisfaga lo anterior, bastará con que la serie de potencias que la define sea convergente en algún dominio.

Proposición 30.1. (Continuidad de una serie de potencias.)
Sea $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty c_n (z-z_0)^n$ una serie de potencias con radio de convergencia $R>0$ y disco de convergencia $B(z_0,R)$. Definimos:
\begin{equation*}
f(z) := \sum_{n=0}^\infty c_n (z-z_0)^n, \quad \forall z\in B(z_0, R).
\end{equation*}Entonces $f$ es continua en $B(z_0,R)$.

Demostración. Dadas las hipótesis, sea $a \in B(z_0,R)$. Definimos:
\begin{equation*}
r := \frac{R – |z_0 – a|}{2} > 0,
\end{equation*}entonces $\overline{B}(a, r) \subset B(z_0, R)$.

Dado que la serie converge uniformemente en $\overline{B}(a, r)$, proposición 29.2, y para cada $n\in\mathbb{N}$ la función $f_n(z) = c_n(z-z_0)^n$ es continua en $\mathbb{C}$, entonces se sigue del corolario 28.2 que $f$ es continua en $\overline{B}(a, r)$.

Como $a$ es un punto interior de $\overline{B}(a, r)$, entonces $f$ es continua en $a \in B(z_0, R)$. Dado que $a$ era aribitrario, entonces $f$ es continua en $B(z_0, R)$.

$\blacksquare$

Lema 30.1.
Sea $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty c_n (z-z_0)^n$ una serie de potencias con radio de convergencia $R>0$. Entonces la serie de potencias:
\begin{equation*}
\displaystyle\sum_{n=1}^\infty n c_n z^{n-1},
\end{equation*}tiene el mismo radio de convergencia $R>0$.

En general, para cada $k\geq 1$ la serie de potencias:
\begin{equation*}
\sum_{n=k}^\infty n(n-1)\cdots (n-k+1) c_n z^{n-k} = \sum_{n=k}^\infty \frac{n!}{(n-k)!} c_n z^{n-k},
\end{equation*}también tiene el mismo radio de convergencia $R>0$.

Demostración. Sin pérdida de generalidad probaremos el resultado para $z_0 = 0$.

El resultado general se sigue fácilmente al aplicar inducción sobre $k$, por ejemplo, el caso cuando $k=2$ se obtiene al aplicar el resultado para $k=1$ a la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty n c_n z^{n-1}$, por lo que esta última parte del resultado se deja como ejercicio al lector.

Dadas las hipótesis, procedemos entonces a probar el caso cuando $k=1$. Para $z\in B(0,R)$, tomamos $r = \dfrac{|\,z\,|+R}{2}>0$, tal que $|\,z\,|<r<R$, entonces del lema de Abel se sigue que la serie $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty c_n r^n$ converge absolutamente, por lo que existe $K>0$ tal que $|\,c_n r^n\,|\leq K$ para todo $n\in\mathbb{N}$. Sea:
\begin{equation*}
q := \frac{|\,z\,|}{r} < 1,
\end{equation*}entonces:
\begin{equation*}
|\,n c_n z^{n-1}\,| = n \, |\,c_n \,| \left|\, \frac{z}{r}\,\right|^{n-1} r^{n-1} \leq \frac{nK}{r} q^{n-1}, \quad \forall n\geq 1.
\end{equation*}Dado que $0\leq q < 1$, tenemos que:
\begin{equation*}
\lim_{n\to\infty} \dfrac{\dfrac{(n+1)Kq^n}{r}}{\dfrac{nK q^{n-1}}{r}} = q \lim_{n\to\infty} \left(1+\dfrac{1}{n}\right) = q < 1,
\end{equation*}por lo que la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty n K q^{n-1} r^{-1}$ converge, entonces la serie $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty |\,n c_n z^{n-1} \, |$ converge, proposición 27.4(1), y por tanto, proposición 27.3, la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty n c_n z^{n-1}$ converge.

Por último, notemos que si $|\,z\,|>R$, entonces la serie $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty |c_n z^n|$ diverge ya que la serie $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty c_n z^n$ diverge y dado que:
\begin{equation*}
\left|\,n c_n z^{n-1}\,\right| \geq \frac{|c_n z^n|}{|\,z\,|}, \quad \forall n\geq 1,
\end{equation*}entonces, proposición 27.4(2), la serie $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty n c_n z^{n-1}$ diverge.

Por lo tanto, dichas series tienen el mismo radio de convergencia.

$\blacksquare$

Observación 30.1.
Sean $z, z_0 \in\mathbb{C}$ distintos. Notemos que para todo $n\geq 2$ se cumple que:\begin{equation*}
\frac{z^n – z_0^n}{z – z_0} – n z_0^{n-1} = (z-z_0)\sum_{m=1}^{n-1} m z_0^{m-1} z^{n-m-1}.
\end{equation*}

Proposición 30.2.
Sean $z_0\in\mathbb{C}$ fijo y $f:B(z_0, R) \to \mathbb{C}$ una función dada por la serie de potencias:
\begin{equation*}
f(z) = \displaystyle \sum_{n=0}^\infty c_n (z-z_0)^n,
\end{equation*}con radio de convergencia $R>0$. Entonces $f$ puede diferenciarse término a término dentro de su dominio de convergencia, es decir:
\begin{equation*}
f'(z) = \sum_{n=1}^\infty n c_n (z-z_0)^{n-1}.
\end{equation*}

Demostración. Sin pérdida de generalidad probaremos el resultado para $z_0 = 0$, ya que en otro caso basta con que consideremos a la función:
\begin{equation*}
F(z) = \sum_{n=0}^\infty c_n z^{n},
\end{equation*}la cual cumple que $f(z) = F(z-z_0)$, entonces $f$ es diferenciable si y solo si lo es la función $F$ y las derivadas de $f$ en $z_0$ son las derivadas de $F$ en $0$.

Dadas las hipótesis, por el lema anterior tenemos que la serie $g(z) = \displaystyle\sum_{n=1}^\infty n c_n z^{n-1}$ es absolutamente convergente para $|\,z\,| < R$.

Veamos que para $z_0\in B(0,R)$ se cumple que:
\begin{equation*}
f'(z_0) = \lim_{z \to z_0} \frac{f(z) – f(z_0)}{z – z_0} = g(z_0),
\end{equation*}o equivalentemente que:
\begin{equation*}
\lim_{z \to z_0} \left[ \frac{f(z) – f(z_0)}{z – z_0} – g(z_0)\right] = 0.
\end{equation*}Una vez fijo $z_0\in B(0,R)$, tomemos $r=\dfrac{|\,z_0\,|+R}{2}$, entonces $|\,z_0\,|<r<R$ y sea $z\in B(0,r)\setminus\{z_0\}$. Dado que las series que definen a las funciones $f$ y $g$ son convergentes, entonces de la proposición 27.2 y la observación 30.1 tenemos que:
\begin{align*}
\frac{f(z) – f(z_0)}{z – z_0} – g(z_0) & = \dfrac{\displaystyle \sum_{n=0}^\infty c_n z^n – \displaystyle\sum_{n=0}^\infty c_n z_0^n}{z – z_0} – \sum_{n=1}^\infty n c_n z_0^{n-1}\\
& = \sum_{n=0}^\infty c_n \left(\frac{z^n – z_0^n}{z – z_0}\right) – \sum_{n=1}^\infty n c_n z_0^{n-1}\\
& = \sum_{n=1}^\infty c_n \left( \frac{z^n – z_0^n}{z – z_0} – n z_0^{n-1} \right)\\
& = \sum_{n=2}^\infty c_n \left( \frac{z^n – z_0^n}{z – z_0} – n z_0^{n-1} \right)\\
& = \sum_{n=2}^\infty c_n (z-z_0)\sum_{m=1}^{n-1} m z_0^{m-1} z^{n-m-1}.
\end{align*}Dado que $z, z_0 \in B(0,r)$, entonces se cumple que:
\begin{align*}
\left| (z-z_0)\sum_{m=1}^{n-1} m z_0^{m-1} z^{n-m-1} \right| & \leq |\,z-z_0\,| \sum_{m=1}^{n-1} m |z_0|^{m-1} |z|^{n-m-1}\\
& < |z-z_0| \, r^{n-2} \sum_{m=1}^{n-1} m\\
& = |z-z_0| \, r^{n-2} \left( \frac{n(n-1)}{2}\right).
\end{align*}Por lo que:
\begin{equation*}
\left|\frac{f(z) – f(z_0)}{z – z_0} – g(z_0)\right| < \frac{|\,z-z_0\,|}{2} \sum_{n=2}^\infty n(n-1)|c_n| r^{n-2}, \quad \forall z\in B^*(0,r).
\end{equation*}Por el lema 30.1 tenemos que la series:
\begin{equation*}
\sum_{n=0}^\infty c_n z^n \quad \text{y} \quad \sum_{n=2}^\infty n(n-1) c_n z^{n-2},
\end{equation*}tienen el mismo radio de convergencia, es decir, $R>0$, y en particular ambas son absolutamente convergentes. Puesto que $r<R$, entonces la serie $\displaystyle \sum_{n=2}^\infty n(n-1)|c_n| r^{n-2}$ converge. Por lo tanto, dado que $z\in B(0,r)\setminus\{z_0\}$ al tomar el límite tenemos:
\begin{equation*}
\lim_{z\to z_0} \left|\frac{f(z) – f(z_0)}{z – z_0} – g(z_0)\right| < \lim_{z\to z_0} \frac{|\,z-z_0\,|}{2} \sum_{n=2}^\infty n(n-1)|c_n| r^{n-2} = 0,
\end{equation*}de donde se sigue el resultado.

$\blacksquare$

Ejemplo 30.2.
Estudiemos la convergencia de la serie:
\begin{equation*}
\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{5^n}(z-i)^{n-1}.
\end{equation*}Solución. Notemos que dicha serie resulta de derivar a la serie:
\begin{equation*}
\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{5^n}(z-i)^{n},
\end{equation*} la cual es una serie geométrica convergente si:
\begin{equation*}
\left| \frac{z-i}{5}\right|<1 \quad \Longleftrightarrow \quad |z-i|<5,
\end{equation*} es decir, su dominio de convergencia es el disco $B(i,5)$. Entonces, de la proposición 30.2, al ser una serie geométrica, se sigue que ambas series tienen el mismo dominio de convergencia.

Por último, para obtener la suma de la serie dada tenemos que:
\begin{align*}
f(z) & = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{5^n}(z-i)^{n}\\
& = \dfrac{1}{1- \dfrac{z-i}{5}}\\
& = \dfrac{5}{5+i-z}, \quad \forall z \in B(i,5),
\end{align*}por lo que:\begin{align*}
f'(z) &= \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{5^n}(z-i)^{n-1}\\
& = \dfrac{5}{(5+i-z)^2}, \quad \forall z \in B(i,5).
\end{align*}

Observación 30.2.
Aunque una serie de potencias y su derivada tienen el mismo radio de convergencia, es importante hacer énfasis en que su dominio de convergencia no necesariamente es el mismo.

Ejemplo 30.3.
Consideremos a las series:
\begin{equation*}
\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac{z^n}{n} \quad \text{y} \quad \displaystyle\sum_{n=1}^\infty z^{n-1}.
\end{equation*}De acuerdo con el ejercicio 7(a) de la entrada anterior, sabemos que la primera serie de potencias tiene radio de convergencia $R=1$ y su dominio de convergencia es el conjunto:
\begin{equation*}
\overline{B}(0,1) \setminus\{1\} = \left\{z\in\mathbb{C} : |\,z\,|\leq 1 \,\, \text{y} \,\, z\neq 1 \right\}.
\end{equation*}Mientras que la segunda serie, que es su derivada, también tiene radio de convergencia $R=1$, pero al ser una serie geométrica su dominio de convergencia es el disco abierto $B(0,1)$, que es distinto al dominio de la primera serie.

Corolario 30.1 (Existencia de las derivadas de todos los órdenes de una serie de potencias.)
Sean $z_0\in\mathbb{C}$ fijo y $f:B(z_0, R) \to \mathbb{C}$ una función dada por la serie de potencias:
\begin{equation*}
f(z) = \displaystyle \sum_{n=0}^\infty c_n (z-z_0)^n,
\end{equation*}con radio de convergencia $R>0$. Entonces todas las derivadas de orden superior de $f$, es decir:
\begin{equation*}
f’, f^{(2)}, f^{(3)}, \ldots, f^{(k)}, \ldots
\end{equation*}existen para todo $z$ en su dominio de convergencia y dichas derivadas están dadas por:
\begin{align*}
f^{(k)}(z) & = \sum_{n=k}^\infty n(n-1)\cdots (n-k+1) c_n (z-z_0)^{n-k}\\
& = \sum_{n=k}^\infty \frac{n!}{(n-k)!} c_n (z-z_0)^{n-k}.
\end{align*}En particular:
\begin{equation*}
c_k = \frac{f^{(k)}(z_0)}{k!}, \quad k\in\mathbb{N}.
\end{equation*}

Demostración. Se deja como ejercicio al lector.

$\blacksquare$

Corolario 30.2. (Unicidad del desarrollo en series de potencias.)
Sean $R>0$ y $z_0 \in \mathbb{C}$ fijo. Si para todo $z\in\mathbb{C}$ tal que $|z-z_0|<R$ se cumple que:
\begin{equation*}
\displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n = \displaystyle \sum_{n=0}^\infty b_n (z-z_0)^n,
\end{equation*}entonces $a_n = b_n$ para todo $n\in\mathbb{N}$. En particular, si $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty c_n (z-z_0)^n = 0$, entonces $c_n = 0$ para todo $n\in\mathbb{N}$.

Demostración. Se deja como ejercicio al lector.

$\blacksquare$

Ejemplo 30.4.
Para todo $|\,z\,|<1$ definimos a la función:
\begin{equation*}
f(z) = \displaystyle \sum_{n=0}^\infty z^n = \frac{1}{1-z}.
\end{equation*}De acuerdo con el corolario 30.1, derivando repetidamente y cambiando los índices de las sumas, es fácil verificar que para todo $k\in\mathbb{N}$ y todo $|\,z\,|<1$ se cumple que:
\begin{equation*}
f^{(k)}(z) = \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (n+k)(n+k-1) \cdots (n+1) z^n = \frac{k!}{(1-z)^{k+1}}.
\end{equation*}Entonces, para todo $|\,z\,|<1$:
\begin{align*}
f'(z) &= \frac{1}{(1-z)^2} = \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (n+1) z^n,\\
f»(z) &= \frac{2}{(1-z)^3} = \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (n+2)(n+1) z^n,\\
f^{(3)} &= \frac{6}{(1-z)^4} = \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (n+3)(n+2)(n+1) z^n.
\end{align*}Además:
\begin{equation*}
f^{(k)}(0) = k! \quad \Longrightarrow \quad c_k = 1, \quad \forall k\in\mathbb{N}.
\end{equation*}

Ejemplo 30.5.
Determinemos la función suma y el dominio de convergencia de la siguiente serie:
\begin{equation*}
\displaystyle \sum_{n=0}^\infty n^2 z^n.
\end{equation*}

Solución. Notemos que para todo $n\in\mathbb{N}$ se cumple que:
\begin{equation*}
n^2 = (n+2)(n+1)-3(n+1)+1.
\end{equation*}De acuerdo con el ejemplo anterior, tenemos que para $|\,z\,|<1$ las series:
\begin{equation*}
\displaystyle \sum_{n=0}^\infty z^n, \quad \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (n+1) z^n \quad \text{y} \quad \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (n+2)(n+1) z^n,
\end{equation*}son convergentes, entonces, de la proposición 27.2(2) se sigue:
\begin{align*}
\displaystyle \sum_{n=0}^\infty n^2 z^n & = \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \left[(n+2)(n+1)-3(n+1)+1\right] z^n\\
& = \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (n+2)(n+1) z^n – 3 \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (n+1) z^n + \displaystyle \sum_{n=0}^\infty z^n\\
& = \frac{2}{(1-z)^3} – \frac{3}{(1-z)^2} + \frac{1}{1-z}\\
& = \frac{z^2 + z}{(1-z)^3}.
\end{align*}Por lo tanto, para todo $z\in B(0,1)$ la función suma de la serie dada es:
\begin{equation*}
f(z) = \frac{z^2 + z}{(1-z)^3}.
\end{equation*}

Definición 30.1. (Funciones par e impar.)
Sea $f(z) = \displaystyle \sum_{n=0}^\infty c_n z^n$ una serie con radio de convergencia $R>0$. Se define a la serie:
\begin{equation*}
f(-z) = \displaystyle \sum_{n=0}^\infty c_n (-z)^n = \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (-1)^n c_n z^n.
\end{equation*}Se dice que $f$ es par si $c_n=0$ para todo $n$ impar y que $f$ es impar si $c_n=0$ para todo $n$ par.

Ejemplo 30.6.
De acuerdo con la definición 30.1, veamos que $f$ es par si y solo si $f(-z) = f(z)$.

Solución. Dadas las hipótesis tenemos lo siguiente.

$\Rightarrow)$ Si $f$ es par, tenemos que $c_n = 0$ para todo $n$ impar. Además $(-1)^n = 1$ si $n$ es par, entonces:
\begin{equation*}
f(-z) = \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (-1)^n c_n z^n = \displaystyle \sum_{n \, \, \text{par}} (-1)^n c_n z^n = \displaystyle \sum_{n \, \, \text{par}} c_n z^n = f(z).
\end{equation*}

$(\Leftarrow$ Si $f(-z) = f(z)$ entonces:
\begin{equation*}
\displaystyle \sum_{n=0}^\infty (-1)^n c_n z^n = \displaystyle \sum_{n=0}^\infty c_n z^n.
\end{equation*}De acuerdo con el ejercicio 8(d) de la entrada anterior, tenemos que ambas series tienen el mismo radio de convergencia, por lo que ambas son series convergentes, entonces:
\begin{equation*}
\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \left[ 1- (-1)^n\right] c_n z^n = 0.
\end{equation*}Como $1 – (-1)^n = 2$ si $n$ es impar tenemos que:
\begin{equation*}
\displaystyle \sum_{n \, \, \text{impar}} 2 c_n z^n = 0,
\end{equation*}entonces, corolario 30.2, $c_n = 0$ para todo $n$ impar.

$\blacksquare$

Ejemplo 30.7.
Determinemos la serie de potencias y el dominio de convergencia de la función:
\begin{equation*}
f(z) = \frac{1}{(1-z)(2-z)}.
\end{equation*}

Solución. Aplicando fracciones parciales tenemos que:
\begin{align*}
f(z) & = \frac{1}{(1-z)(2-z)}\\
& = \frac{1}{1-z} – \frac{1}{2-z}\\
& = \frac{1}{1-z} – \dfrac{1}{2}\frac{1}{1-\dfrac{z}{2}}.
\end{align*}Notemos que si $|\,z\,|<1$ entonces:
\begin{align*}
f(z) & = \sum_{n=0}^\infty z^n – \frac{1}{2} \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{z}{2}\right)^n\\
& = \sum_{n=0}^\infty \left[1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}\right]z^n.
\end{align*}

En este punto es crucial que recordemos la observación 16.4 en la cual mencionamos que es posible definir de manera equivalente el concepto de función analítica a través del desarrollo en serie de potencias, ya que de acuerdo con el corolario 30.1 tenemos que una función dada a través de una serie de potencias es infinitamente diferenciable

Definición 30.2. (Función analítica.)
Sea $U \subset \mathbb{C}$ un conjunto abierto. Una función $f: U \to \mathbb{C}$ es analítica en $U$ si y solo si para cada $z_0\in U$ existe una sucesión de números complejos $\{c_n\}_{n\geq 0} \subset U$ y un número real $r>0$ tal que:
\begin{equation*}
f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n (z-z_0)^n, \quad \forall z\in B(z_0, r).
\end{equation*}

Observación 30.3.
Notemos que en la definición 30.2 no hemos asumido que $B(z_0, r)$ es necesariamente el mayor disco de convergencia en $U$ con centro en $z_0$. Además, los números $c_0, c_1, \ldots,$ en $U$ dependen de $z_0$.

Observación 30.4.
Debe ser claro que una consecuencia inmediata de la definición 30.2 es que una función analítica $f$ hereda todas las propiedades locales de una serie de potencias como las operaciones entre series, entre otras propiedades importantes estudiadas en la unidad anterior.

Corolario 30.3.
Sean $f$ y $g$ dos funciones analíticas en algún dominio $D$ y $c\in\mathbb{C}$ una constante. Entonces $c f$, $f + g$ y $f g$ son funciones analíticas en $D$. Más aún, la suma finita, el producto finito y las combinaciones lineales finitas de funciones analíticas son también analíticas.

Demostración. Se sigue de la definición anterior y de las propiedades de las series vistas en la entrada 27.

$\blacksquare$

Ejemplo 30.7.
Si $p:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ es un polinomio complejo, entonces $p$ una función analítica en $\mathbb{C}$.

Verificar este hecho es sencillo si consideramos que para todo $n\in\mathbb{N}$ se cumple que $z^n=(z-z_0+z_0)^n$, con $z_0\in\mathbb{C}$ fijo y utilizamos la fórmula binomial:
\begin{equation*}
(z+z_0)^n = \sum_{k=0}^n \frac{n!}{k!(n-k)!} z^k z_0^{n-k},
\end{equation*}por lo que se deja como ejercicio al lector.

Asimismo cada función racional, digamos $r=p/q$, donde $p$ y $q$ son dos polinomios complejos, es analítica en $\mathbb{C}\setminus Q$, con $Q$ el conjunto de los ceros del polinomio $q$.

Ejemplo 30.8.
Sea $U = \mathbb{C} \setminus\{1\}$. Definimos a la función $f:U \to \mathbb{C}$ como:
\begin{equation*}
f(z) = \frac{1}{1-z}.
\end{equation*}Veamos que $f$ es analítica de acuerdo con la definición 30.2.

Solución. Sabemos que para todo $z \in B(0,1)$ y $z_0 = 0$ podemos ver a $f$ como la serie geométrica:
\begin{equation*}
f(z) = \frac{1}{1-z} = \sum_{n=0}^\infty z^n.
\end{equation*}Sea $z_0 \in U$, entonces tenemos que:
\begin{align*}
f(z) = \dfrac{1}{1-z} & = \dfrac{1}{1-z_0} \left(\dfrac{1}{1-\dfrac{z-z_0}{1-z_0}}\right)\\
&= \dfrac{1}{1-z_0} \, \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{z-z_0}{1-z_0}\right)^n\\
& = \sum_{n=0}^\infty \frac{(z-z_0)^n}{(1-z_0)^{n+1}},
\end{align*}para todo $z\in B(z_0, r) \subset U$, donde $r=|1-z_0|$.

Por lo tanto, $f$ es analítica en $U$.

Tarea moral

  1. Demuestra los corolarios 30.1 y 30.2.
  2. Completa la demostración del lema 30.1.
  3. Verifica la observación 30.1.
  4. Sea $f$ una función analítica en un dominio $D$ y supón que:
    \begin{equation*}
    f(z_1) = f(z_2) = \cdots = f(z_n) = w,
    \end{equation*}para distintos puntos $z_1, z_2, \ldots, z_n \in D$. Muestra que:
    \begin{equation*}
    F(z) = \frac{f(z) – w}{(z-z_1) \cdots (z-z_n)},
    \end{equation*}es una función analítica en $D$ con una definición adecuada de $F$ en $z_1, z_2, \ldots, z_n \in D$.
  5. Sea $f$ una función analítica y distinta de cero en un dominio $D$. Prueba que $1/f$ es analítica en $D$.
    Hint: Procede de la siguiente forma.

    Toma a $z_0\in D$ fijo y define:
    \begin{equation*}
    f(z) = \sum_{n=0}^\infty c_n(z-z_0)^n,
    \end{equation*}para todo $z\in B(z_0,\rho) \subset D$, con $\rho>0$.

    Define la sucesión de coeficientes $\{b_n\}_{n\geq 0} \subset D$ recursivamente como $b_0 = 1/c_0$ y para $n\geq 1$:
    \begin{equation*}
    c_0 b_n + c_1 b_{n-1} + \cdots + c_n b_0 = 0.
    \end{equation*}

    Define a la función:
    \begin{equation*}
    g(z) = \sum_{n=0}^\infty b_n(z-z_0)^n.
    \end{equation*}Elige a $r$, con $0<r<\rho$, tal que:
    \begin{equation*}
    \sum_{n=1}^\infty |a_n| r^n \leq |a_0|.
    \end{equation*}a) Prueba por inducción que $|b_n|r^n \leq |b_0|$.
    b) Muestra que $g$ converge en $B(z_0, r)$.
    c) Prueba que $f(z)g(z)=1$ en $B(z_0, r)$, de donde:
    \begin{equation*}
    \left(\frac{1}{f}\right)(z) = \sum_{n=0}^\infty b_n(z-z_0)^n.
    \end{equation*}
  6. Supón que la serie de potencias $f(z) = \displaystyle \sum_{n=0}^\infty c_n z^n$ tiene radio de convergencia $R>0$ y $f'(0)=c_1 \neq 0$. Demuestra que para algún $0 < r \leq R$ la función $f$ es inyectiva en $B(0,r)$.

    Hint: Procede como en la prueba de la proposición 30.2, observa que si $0<r<R$ y $z,w\in B(0,r)$, entonces:
    \begin{equation*}
    f(z) – f(w) = c_1(z-w) + (z-w) \sum_{n=2}^\infty c_n \sum_{m=1}^n w^{m-1} z^{n-m},
    \end{equation*}de donde:
    \begin{equation*}
    |\,f(z) – f(w)\,| > \frac{|c_1|}{2} |\,z-w\,|.
    \end{equation*}
  7. Determina la función suma y el dominio de convergencia de las siguientes series de potencias.
    a)$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty (3+4i)^n \, z^n$.
    b) $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty n(n+1) \, z^n$.
    c) $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty (n^3 -1) \, z^n$.
    Hint: Considera el ejemplo 30.4, el inciso anterior y observa que para todo $n\in\mathbb{N}$ se cumple que:\begin{equation*}
    n^3 = (n+3)(n+2)(n+1) – 6n(n+1)-5(n+1)-1.
    \end{equation*}d) $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n(n+1) \, z^n$.
  8. Considera las siguientes series y en cada caso prueba lo que se te pide.
    a) \begin{equation*}
    f(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^{2n}}{(2n)!}.
    \end{equation*}Muestra que su radio de convergencia es $R=\infty$ y prueba que $f(z) = f»(z)$.
    b) \begin{equation*}
    f(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^{2n}}{(n!)^2}.
    \end{equation*}Muestra que su radio de convergencia es $R=\infty$ y prueba que $z^2 f»(z) + z f'(z) = 4z^2 f(z)$.
    c) \begin{equation*}
    f(z) = z – \frac{z^3}{3} + \frac{z^5}{5} – \frac{z^7}{7} + \cdots .
    \end{equation*}Muestra que su radio de convergencia es $R=1$ y prueba que $f'(z) = 1/(z^2+1)$.
  9. Considera la definición 30.1 y prueba que una función $f(z) = \displaystyle \sum_{n=0}^\infty c_n z^n$ es impar si y solo si $f(-z) = -f(z)$.
  10. Determina la serie de potencias y su dominio de convergencia de la función:
    \begin{equation*}
    f(z) = \frac{1}{(1+z)(2+z)}.
    \end{equation*}

Más adelante…

En esta entrada hemos probado uno de los resultados más importantes referentes a las funciones analíticas y es que dichas funciones tienen un desarrollo como serie de potencias. Este hecho es crucial pues nos garantiza que una función analítica es de clase $C^\infty$, lo cual nos será de gran utilidad en la última unidad de este curso al hablar de series de Taylor y series de Laurent que serán claves en la teoría de las funciones complejas pues nos permitirán dar de manera explícita un desarrollo en series de potencias para toda función compleja analítica.

La siguiente entrada corresponde con la última de esta tercera unidad y en ella abordaremos algunas de las funciones complejas elementales vistas como series de potencias, en particular de la función exponencial compleja que como hemos visto en la unidad anterior resulta fundamental para la definición de las demás funciones complejas elementales, por lo que a través de su desarrollo en series de potencias justificaremos su definición así como el uso de la notación $e^z$ y $\operatorname{exp}(z)$ de manera indistinta al hacer una extensión de la función real para el caso complejo.

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Variable Compleja I: Transformaciones lineales y transformaciones de Möbius

Por Pedro Rivera Herrera

Introducción

En la entrada anterior definimos el concepto de transformación compleja, como una función $T$ del plano complejo en sí mismo y probamos algunos resultados básicos sobre estas transformaciones al considerar a $\mathbb{C}$ como un $\mathbb{R}$-espacio vectorial. Además, definimos algunas de las transformaciones del plano más elementales como la traslación, la homotecia, la reflexión y la rotación.

Nuestro objetivo en ésta entrada es trabajar con un tipo de transformación compleja muy particular, que nos permitirá entender mejor la geometría de las funciones complejas en la siguiente entrada.

Definición 25.1. (Transformaciones afines lineales.)
Sean $a,b\in\mathbb{C}$ con $a\neq 0$. A las transformaciones de la forma:
\begin{equation*}
T(z) = az + b, \tag{25.1}
\end{equation*} se les llama transformaciones afines lineales o simplemente transformaciones lineales, las cuales son transformaciones dadas por una homotecia, una rotación y una traslación.

Observación 25.1.
En nuestros cursos de Geometría a las transformaciones de la forma (25.1), comúnmente se les llama transformaciones afines, sin embargo, en la mayoría de textos referentes a transformaciones del plano complejo $\mathbb{C}$ se les suele llamar transformaciones lineales puesto que geométricamente a una expresión de la forma (25.1) se le puede asociar una recta en el plano. Tener esto en cuenta es de suma importancia para no confundir las definiciones 24.2 y 24.3 con la definición 25.1, puesto que las primeras dos definiciones, vistas en nuestros cursos de Álgebra Lineal, corresponden a una propiedad entre $\mathbb{R}$-espacios vectoriales, mientras que la última definición está dada por una interpretación geométrica.

De hecho, es fácil verificar que no toda transformación lineal, definición 25.1, es $\mathbb{C}$-lineal, ya que $T(0) = b$ y $b\in\mathbb{C}$ no necesariamente es la constante cero.

Ejemplo 25.1.
Las transformaciones elementales del plano complejo son una transformación lineal particular.
a) Si $a=1$ y $b\in\mathbb{C}$, entonces tenemos la traslación por $b$, $T_b(z) = z+b$.
b) Si $a=e^{i\theta} \in \mathbb{C}$, con $\theta\in\mathbb{R}$ y $b=0$, entonces tenemos una rotación, $R_\theta(z) = e^{i\theta} z$.
c) Si $b=0$ y $a=k\in\mathbb{R}$, entonces tenemos una homotecia, $T(z)=kz$.
d) Si $a=e^{i\theta} \in \mathbb{C}$, con $\theta\in\mathbb{R}$ y $b\in\mathbb{C}$, entonces tenemos una reflexión respecto a una recta $L$, $r_\mathcal{L}(z) = e^{i\theta}\overline{z}+b$.

Procedemos ahora a establecer algunas propiedades sobre las transformaciones lineales.

Lema 25.1.
Sean $z_1, z_2, z_3\in\mathbb{C}$ tres puntos no colineales. El ángulo $\alpha$, figura 95, formado entre los vectores $z_2 – z_1$ y $z_3 – z_1$ está dado por:
\begin{equation*}
\alpha = \operatorname{arg}\left(\frac{z_3 – z_1}{z_2 – z_1}\right).
\end{equation*}

Demostración. Se deja como ejercicio al lector.

$\blacksquare$

Figura 95: Ángulo $\alpha$ formado entre los vectores $z_2 – z_1$ y $z_3 – z_1$.

Proposición 25.1.
Sea $T:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ una transformación lineal, entonces:

  1. $T$ envía rectas en rectas.
  2. $T$ envía circunferencias en circunferencias.

Demostración. Sea $T(z) = az + b$, con $a,b\in\mathbb{C}$ y $a\neq 0$.

  1. Sea $\mathcal{L}$ una recta en $\mathbb{C}$ con ecuación: \begin{equation*} c\overline{z} + \overline{c}z + d =0, \tag{25.2} \end{equation*} para algún $c\in\mathbb{C}$, $c\neq 0$, y $d\in\mathbb{R}$.

    Veamos que $T\left(\mathcal{L}\right)$ es también una recta. Notemos que cualquier $z\in\mathcal{L}$, bajo $T$ es de la forma $w = az+b$. Dado que $a\neq 0$, entonces: \begin{equation*} z = \frac{1}{a}\left(w-b\right), \end{equation*} por lo que, al ser $z$ un punto de $\mathcal{L}$ satisface (25.2), es decir: \begin{align*} 0 & = c\overline{\left(\frac{1}{a}\left(w-b\right)\right)} + \overline{c} \left(\frac{1}{a}\left(w-b\right)\right) + d\\ & = c \, \overline{\left(\frac{w}{a}\right)} + \overline{c} \left(\frac{w}{a}\right) + d – \left( c \overline{\left(\frac{b}{a}\right)} + \overline{c} \left(\frac{b}{a}\right)\right). \end{align*} Dado que: \begin{equation*} c \, \overline{\left(\frac{b}{a}\right)} + \overline{c} \left(\frac{b}{a}\right) = c \overline{\left(\frac{b}{a}\right)} + \overline{c \, \overline{\left(\frac{b}{a}\right)}} = 2 \operatorname{Re}\left(c \, \overline{\left(\frac{b}{a}\right)}\right), \end{equation*} entonces: \begin{equation*} d – \left( c \overline{\left(\frac{b}{a}\right)} + \overline{c} \left(\frac{b}{a}\right)\right) \in \mathbb{R}, \end{equation*} por lo que todos los puntos $w\in T\left(\mathcal{L}\right)$ satisfacen la ecuación de una recta, es decir, $T\left(\mathcal{L}\right)$ es una recta.
  2. Se deja como ejercicio al lector.

$\blacksquare$

Proposición 25.2.
Toda transformación lineal preserva ángulos.

Demostración. Sea $T$ una transformación lineal, es decir, $T(z) = az + b$, con $a,b\in\mathbb{C}$ y $a\neq 0$.

Dado que $T$ envía rectas en rectas, basta probar que el ángulo formado entre dos rectas que se cortan en un punto es igual al de sus imágenes bajo $T$.

Sean $\mathcal{L}_1$ y $\mathcal{L}_2$ dos rectas que se cortan en un punto $z_0\in\mathbb{C}$. Sean $z_1 \in\mathcal{L}_1$ y $z_2 \in\mathcal{L}_2$. Veamos que:
\begin{equation*}
\angle\left(\mathcal{L}_1, \mathcal{L}_2\right) = \angle\left(T(\mathcal{L}_1), T(\mathcal{L}_2)\right).
\end{equation*}

Por el lema 24.1 tenemos que:
\begin{align*}
\angle\left(T(\mathcal{L}_1), T(\mathcal{L}_2)\right) & = \operatorname{arg}\left(\frac{T(z_2) – T(z_0)}{T(z_1) – T(z_0)}\right)\\
& = \operatorname{arg}\left(\frac{az_2 + b – az_0-b}{az_1 + b – az_0-b}\right)\\
& = \operatorname{arg}\left(\frac{z_2 – z_0}{z_1-z_0}\right)\\
& = \angle\left(\mathcal{L}_1, \mathcal{L}_2\right).
\end{align*}

$\blacksquare$

Observación 25.2.
En general, es posible definir a una transformación compleja para la cual las transformaciones lineales son un caso particular. Dichas transformaciones resultan de gran interés en el estudio de las funciones complejas pues nos dicen mucho sobre su comportamiento geométrico.

Definición 25.2. (Transformaciones fraccionarias lineales.)
Sean $a,b,c,d\in\mathbb{C}$, con al menos $c$ ó $d$ distinto de cero. Una transformación de la forma:
\begin{equation*}
T(z) = \frac{az + b}{cz+d}, \tag{25.3}
\end{equation*} recibe el nombre de transformación fraccionaria lineal.

Observación 25.3.
Debe ser claro que una función $T$ dada por (25.3) está bien definida para todo $z\in\mathbb{C}$ tal que $cz+d\neq 0$. De hecho $T$ es una función analítica en $\mathbb{C}\setminus A$, donde:
\begin{equation*}
A = \{z\in\mathbb{C} : cz + d = 0\}.
\end{equation*}

Más aún, bajo la condición $c\neq0$, la función $T$ se restringe de $\mathbb{C}\setminus\left\{-\frac{d}{c}\right\}$ en $\mathbb{C}\setminus\left\{\frac{a}{c}\right\}$.

Definición 25.3. (Transformaciones de Möbius.)
Sean $a,b,c,d\in\mathbb{C}$. Una transformación de la forma (25.3) tal que $ad – bc\neq 0$ recibe el nombre de transformación de Möbius.

Observación 25.4.
La condición $ad – bc\neq 0$, impuesta sobre las constantes $a,b,c,d\in\mathbb{C}$, nos permite garantizar lo siguiente:
1) Las expresiones $az + b$ y $cz + d$ no se anulan para los mismos valores de $z$.
2) La transformación $T$ no puede ser constante, ya que $a$ y $c$ no pueden ser ambas cero, al igual que $b$ y $d$ no pueden ser ambas cero.
3) En general, el denominador no puede ser un múltiplo constante del numerador, es decir que $az + b$ y $cz + d$ no tienen un factor común.

Además, no es difícil verificar que $T$ es biyectiva si y solo si $ad – bc\neq 0$, por lo que se deja como ejercicio al lector.

Observación 25.5.
Notemos que toda transformación de la forma:
\begin{equation*}
w = T(z) = \frac{az + b}{cz+d}, \,\,\,\text{con} \,\,ad – bc\neq 0,
\end{equation*} es equivalente a una expresión de la forma:
\begin{equation*}
Azw + Bz + Cw + D = 0, \,\,\,\text{con} \,\,AD – BC\neq 0,
\end{equation*} donde $A = c$, $B=-a$, $C =d$ y $D=-b$.

Dado que ésta última expresión es lineal en $z$ y es lineal en $w$, entonces es bilineal en $z$ y $w$, por lo que una transformación de Möbius también suele llamarse una transformación bilineal.

Ejemplo 25.2.
Notemos que algunas de las transformaciones definidas antes, son un una transformación de Möbius particular.
a) Si $a=1=d$ y $b=0=c$, entonces tenemos la transformación identidad, $T(z) = z$.
b) Si $c=0$ y $d=1$, entonces tenemos una transformación lineal, $T(z) = az + b$.
c) Si $a = d = 0$ y $b=c$, entonces tenemos la transformación inversión, $T(z)=\dfrac{1}{z}$, dada en el ejemplo 24.1.

Es común trabajar con las transformaciones de Möbius como funciones sobre el plano complejo extendido, por lo que, considerando la observación 15.5 y el ejercicio 4 de la entrada 12, podemos definir a una transformación de Möbius como una función continua en $\mathbb{C}_\infty$, como sigue:

Definición 25.4. (Transformaciones de Möbius en $\mathbb{C}_\infty$.)
Sean $a,b,c,d\in\mathbb{C}$. Si $ad – bc\neq 0$, entonces diremos que una función racional $T:\mathbb{C}_\infty \to \mathbb{C}_\infty$ dada como:
\begin{equation*}
T(z)= \left\{ \begin{array}{lcc}
\dfrac{az+b}{cz+d}, & \text{si} & z \neq -\frac{d}{c}, \,\, z\neq \infty, \\
\\ \infty, & \text{si} & z = -\frac{d}{c}, \\
\\ \dfrac{a}{c}, & \text{si} & z = \infty,
\end{array}
\right.
\end{equation*} es una transformación de Möbius en el plano complejo extendido.

Observación 25.6.
Como hemos mencionado anteriormente, la condición $ad – bc\neq 0$ se impone para evitar que trabajemos con una transformación constante. Sin embargo, podemos utilizar dicha condición para plantear de una forma equivalente a la definición 25.4 considerando los siguientes casos:
1) Si $c=0$, entonces la condición $ad – bc\neq 0$ se reduce a $ad \neq 0$, en dicho caso tenemos que $T(\infty) = \infty$ y:
\begin{equation*}
T(z) = \frac{az+b}{d} = \frac{a}{d} \, z + \frac{b}{d}.
\end{equation*} 2) Si $c\neq 0$, tenemos $ad – bc\neq 0$, entonces $T(\infty) = a/c$, $T\left(-d/c\right) = \infty$ y:
\begin{equation*}
T(z) = \frac{az+b}{cz+d} = \frac{a}{c} + \frac{bc-ad}{c}\frac{1}{cz+d}.
\end{equation*}

Ejemplo 25.3.
La transformación:
\begin{equation*}
f(z) = \frac{z-1}{iz+i},
\end{equation*} es una transformación de Möbius desde que $a=1$, $b=-1$, $c=i=d$ y $ad – bc = i – (-i) = 2i \neq 0$.

Dado que $c=i\neq 0$, entonces la transformación de Möbius $f$ es una función restringida, es decir:
\begin{equation*}
f:\mathbb{C}\setminus\{-1\} \to \mathbb{C}\setminus\{-i\}.
\end{equation*}

Podemos extender dicha transformación de Möbius al plano complejo extendido como sigue:
\begin{equation*}
f(z) = \frac{z-1}{iz+i}, \quad \text{si} \quad z\neq -1 \quad \text{y} \quad z\neq \infty,
\end{equation*}

mientras que:
\begin{equation*}
f(-1) = \infty \quad \text{y} \quad f(\infty) = -i.
\end{equation*}

Proposición 25.3.
Sean $T_1$ y $T_2$ dos transformaciones de Möbius dadas por:
\begin{equation*}
T_1(z) = \frac{a_1 z + b_1}{c_1 z + d_1} \quad \text{y} \quad T_2(z) = \frac{a_2 z + b_2}{c_2 z + d_2}
\end{equation*}
con $a_1d_1 – b_1c_1 \neq 0$ y $a_2d_2 – b_2c_2 \neq 0$. Entonces su composición es también una transformación de Möbius.

Demostración. Se deja como ejercicio al lector.

$\blacksquare$

Proposición 25.4.
Toda transformación de Möbius es una biyección de $\mathbb{C}_\infty$ en $\mathbb{C}_\infty$. En particular la inversa de una transformación de Möbius es también una transformación de Möbius.

Demostración. Sea $T:\mathbb{C}_\infty \to \mathbb{C}_\infty$ una transformación de Möbius dada por:
\begin{equation*}
T(z) = \frac{az + b}{cz+d}, \,\,\,\text{con} \,\,ad – bc \neq 0.
\end{equation*}

De acuerdo con la observación 25.6 tenemos que si $c = 0$, entonces $T(\infty) = \infty$ y si $c\neq 0$, entonces $T(\infty) = a/c$ y $T\left(-d/c\right) = \infty$.

Primeramente verifiquemos que $T$ es inyectiva. Supongamos que $T(z_1) = T(z_2)$. Notemos que si $c \neq 0$, entonces tenemos la condición $ad – bc\neq 0$, por lo que:
\begin{align*}
\frac{az_1 + b}{cz_1+d} &= \frac{az_2 + b}{cz_2+d}\\ & \Longleftrightarrow \quad adz_1 + bcz_2 = adz_2 + bcz_1\\
& \Longleftrightarrow \quad (ad-bc)(z_1 – z_2) = 0\\
& \Longleftrightarrow \quad z_1 = z_2.
\end{align*}

Por otra parte, notemos que si $c=0$, entonces tenemos la condición $ad\neq 0$, por lo que:
\begin{align*}
\frac{az_1 + b}{d} &= \frac{az_2 + b}{d}\\ & \Longleftrightarrow \quad az_1 + b= az_2 + b\\
& \Longleftrightarrow \quad z_1 = z_2.
\end{align*}

Verifiquemos ahora que $T$ es suprayectiva. Sea $w\in\mathbb{C}_\infty$. Veamos que existe $z\in\mathbb{C}_\infty$ tal que $T(z) = w$. Notemos que si $w = \infty$, entonces $z = -d/c$ corresponde con dicho valor si $c = 0$. Sin pérdida de generalidad supongamos que $w\neq \infty$, entonces tenemos que $c\neq 0$ y por tanto se cumple la condición $ad – bc\neq 0$, por lo que planteamos la ecuación:
\begin{equation*}
w = \frac{az+b}{cz+d}.
\end{equation*}

Resolviendo para $z$ tenemos que:
\begin{equation*}
z = T^{-1}(w) = \frac{-dw+b}{cw-a},
\end{equation*} por lo que $T$ es suprayectiva.

Dado que $T$ es biyectiva entonces existe $T^{-1}$ tal que $T \circ T^{-1} = T^{-1} \circ T = \mathbb{I}_\mathbb{C}$ para todo $z\in\mathbb{C}_\infty$, la cual está dada por:
\begin{equation*}
T^{-1}(z) = \frac{-dz+b}{cz-a},\,\,\,\text{con} \,\,ad – bc \neq 0,
\end{equation*} tal que si $c = 0$, entonces $T^{-1}(\infty) = \infty$ y si $c\neq 0$, entonces $T^{-1}(a/c) = \infty$ y $T^{-1}\left(\infty\right) = -d/c$. Es claro que $T^{-1}$ es también una transformación de Möbius.

$\blacksquare$

Observación 25.7.
De acuerdo con las proposiciones 25.3 y 25.4 no es díficil verificar que el conjunto de todas las transformaciones de Möbius dotado con la operación de composición de funciones forma un grupo.

Proposición 25.5.
Toda transformación de Möbius $T:\mathbb{C}_\infty \to \mathbb{C}_\infty$ se puede expresar como la composición de transformaciones lineales (homotecias, rotaciones y traslaciones) y la inversión.

Demostración. Sea $T:\mathbb{C}_\infty \to \mathbb{C}_\infty$ una transformación de Möbius dada por:
\begin{equation*}
T(z) = \frac{az + b}{cz+d}, \,\,\,\text{con} \,\,ad – bc \neq 0,
\end{equation*} tal que si $c = 0$, entonces $T(\infty) = \infty$ y si $c\neq 0$, entonces $T(\infty) = a/c$ y $T\left(-d/c\right) = \infty$.\\

Por la observación 25.6(1) tenemos que, para $c=0$ la transformación $T$ se puede ver como la composición $T_2 \circ T_1$, donde:
\begin{equation*}
T_1(z) = \frac{a}{d}\,z, \quad \quad T_2(z) = z + \frac{b}{d},
\end{equation*} con $ad\neq 0$, por lo que en dicho caso se cumple el resultado.

Por otra parte, por la observación 25.6(2), para $c\neq 0$ tenemos que la transformación $T$ se puede ver como la composición $T_3 \circ T_2 \circ T_1$, donde:
\begin{equation*}
T_1(z) = cz + d, \quad \quad T_2(z) = \frac{1}{z}, \quad \quad T_3(z) = \frac{a}{c} + \frac{bc-ad}{c} z,
\end{equation*} con $ad – bc\neq 0$, por lo que en dicho caso también se cumple el resultado.

$\blacksquare$

Procedemos a analizar algunas propiedades geométricas importantes de las transformaciones de Möbius. Para ello nos apoyaremos de algunos resultados para la transformación inversión.

Tenemos que la transformación:
\begin{equation*}
w = T(z) = \frac{1}{z}, \tag{25.4}
\end{equation*} establece una biyección entre los puntos distintos de cero de los planos $z$ y $w$. Dado que $z \, \overline{z} = |\,z\,|^2$, entonces podemos reescribir a (25.4) mediante la composición de las siguientes transformaciones:
\begin{equation*}
T_1(z) = \frac{1}{\overline{z}} = \frac{z}{|\,z\,|^2}, \quad \quad T_2(z) = \overline{z}, \tag{25.5}
\end{equation*} entonces es claro que $T(z) = (T_2 \circ T_1)(z)$.

Notemos que la primer transformación en (25.5) nos describe una inversión con respecto a la circunferencia unitaria $C(0,1)$, es decir, la imagen de un punto $z\neq 0$ es el punto $w_1 = T_1(z)$ con las siguientes propiedades:
\begin{equation*}
|\,w_1\,| = \frac{1}{|\,z\,|}, \quad \quad \operatorname{arg} w_1 = \operatorname{arg} z.
\end{equation*}

Por lo que los puntos fuera de la circunferencia unitaria $|\,z\,|=1$ serán mapeados, mediante $T_1$, en los puntos $w_1\neq 0$ dentro de dicha circunferencia y viceversa. Mientras que los puntos que caigan sobre la circunferencia unitaria $|\,z\,|=1$, bajo $T_1$, serán mapeados en ellos mismos. Por otra parte, la segunda transformación dada en (16.2) es simplemente una reflexión a través del eje real de cada $w_1 = T_1(z) \neq 0$, es decir $w = \overline{w_1}$, figura 96.

Figura 96: Gráfica de la transformación inversión vista como la composición de las transformaciones $T_1$ y $T_2$ dadas en (25.5).

Podemos visualizar lo anterior en el siguiente applet de GeoGebra: https://www.geogebra.org/m/z3cf2kyt.

Desde que:
\begin{equation*}
\lim_{z\to 0} \frac{1}{z} = \infty, \quad \lim_{z\to \infty} \frac{1}{z} = 0,
\end{equation*} entonces podemos definir una biyección entre los planos $z$ y $w$ extendidos, es decir entre $\mathbb{C}_\infty$ y $\mathbb{C}_\infty$, mediante:
\begin{equation*}
T(z) = \left\{ \begin{array}{lcc}
\dfrac{1}{z}, & \text{si} & z\neq 0, z\neq \infty,\\
\\0, & \text{si} & z = \infty, \\
\\ \infty, & \text{si} & z=0.
\end{array}
\right.
\end{equation*}

Es claro que la transformación $T$, definida previamente, es una función continua en $\mathbb{C}_\infty$.

Considerando lo anterior, estamos listos para probar la siguiente:

Proposición 25.6.
La transformación inversión mapea el conjunto de circunferencias y rectas en el conjunto de circunferencias y rectas.

Demostración. Sea $T(z) = 1/z$ la transformación inversión. De nuestros cursos de geometría analítica sabemos que para $A,D,E,F$ números reales tales que $D^2+E^2 > 4AF$, la ecuación:
\begin{equation*}
A(x^2 + y^2) + Dx + Ey + F = 0, \tag{25.6}
\end{equation*} representa una circunferencia o una recta, si $A\neq 0$ ó $A = 0$, respectivamente.

Dado que $z\, \overline{z} = |\,z\,|^2$, tenemos que si $w = u + iv$ es la imagen de $z=x+iy\neq 0$ bajo la transformación inversión, es decir:
\begin{equation*}
w=T(z) = \frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{|\,z\,|^2},
\end{equation*}entonces:
\begin{equation*}
u=\frac{x}{x^2+y^2}, \quad v = -\frac{y}{x^2+y^2}. \tag{25.7}
\end{equation*}

Considerando que la transformación inversión establece una biyección entre los planos $z$ y $w$, entonces podemos plantear:
\begin{equation*}
z= T^{-1}(w) = \frac{1}{w} = \frac{\overline{w}}{|\,w\,|^2},
\end{equation*} de donde:
\begin{equation*}
x=\frac{u}{u^2+v^2}, \quad y = -\frac{v}{u^2+v^2}.\\ \tag{25.8}
\end{equation*}

Supongamos que $z=x+iy\neq 0$ satisface (25.6), veamos que $w=u+iv = T(z) \neq 0$ también satisface una ecuación similar. Sustituyendo las ecuaciones dadas en (25.8) tenemos que:
\begin{align*}
0 & = A\left[\frac{u^2+v^2}{(u^2+v^2)^2}\right] + D\left(\frac{u}{u^2+v^2}\right) + E\left(-\frac{v}{u^2+v^2}\right) + F\\
& = A\left(\frac{1}{u^2+v^2}\right) + Du\left(\frac{1}{u^2+v^2}\right) -Ev\left(\frac{1}{u^2+v^2}\right) + F,
\end{align*} de donde se sigue que $w=u+iv$ satisface la ecuación:
\begin{equation*}
F(u^2 + v^2) + Du – Ev + A = 0, \tag{25.9}
\end{equation*}la cual corresponde con la ecuación de una circunferencia o una recta, si $F\neq 0$ ó $F = 0$, respectivamente.

De manera análoga se puede mostrar que si $w=u+iv$ satisface (25.9), entonces, utilizando (25.7), $z=x+iy$ satisface (25.6).

$\blacksquare$

Observación 25.8.
Si consideramos a $T$ la transformación inversión, entonces de las ecuaciones (25.6) y (25.9) tenemos que:
1) Si $A\neq0$ y $F\neq 0$, en el plano $z$ se tiene una circunferencia que no pasa a través del origen, la cual, bajo $T$, será mapeada en una circunferencia que tampoco pasa por el origen en el plano $w$.
2) Si $A\neq0$ y $F=0$, en el plano $z$ se tiene una circunferencia que pasa a través del origen, la cual, bajo $T$, será mapeada en una recta que no pasa por el origen en el plano $w$.
3) Si $A=0$ y $F\neq 0$, en el plano $z$ se tiene una recta que no pasa a través del origen, la cual, bajo $T$, será mapeada en una circunferencia que pasa por el origen en el plano $w$.
4) Si $A=0$ y $F= 0$, en el plano $z$ se tiene una recta que pasa a través del origen, la cual será mapeada, bajo $T$, en una recta que pasa por el origen en el plano $w$.

Podemos visualizar lo anterior en el siguiente applet de GeoGebra: https://www.geogebra.org/m/eqh4nbab.

De acuerdo con las proposiciones 25.1, 25.5 y 25.6 se tiene el siguiente:

Corolario 25.1.
Toda transformación de Möbius mapea el conjunto de rectas y circunferencias en el conjunto de rectas y circunferencias.

Demostración. Se deja como ejercicio al lector.

$\blacksquare$

Ejemplo 25.4.
Muestra que la recta $\mathcal{L} : 3y=x$, en el plano $z$, es enviada en una circunferencia, en el plano $w$, bajo la transformación de Möbius:
\begin{equation*}
w = T(z) = \frac{i z+ 2}{4z+i}. \tag{25.10}
\end{equation*}

Solución. Sean $z=x+iy$ y $w=u+iv$. Para determinar la imagen de la recta $3y=x$ bajo $T$, debemos encontrar los valores de $x$ y de $y$ en términos de $u$ y de $v$.

Resolvemos (25.10) para $z$:
\begin{align*}
w = \frac{i z+ 2}{4z+i} \quad &\Longrightarrow \quad 4zw + iw = iz +2\\
&\Longrightarrow \quad z(4w-i) = 2-iw\\
&\Longrightarrow \quad z = \frac{2-iw}{4w-i}.
\end{align*}

Entonces:
\begin{align*}
x+iy & = \frac{v+2-iu}{4u+i(4v-1)} \frac{4u-i(4v-1)}{4u-i(4v-1)}\\
& = \frac{(v+2-iu)[4u+i(4v-1)]}{16u^2+(4v-1)^2}\\
& = \frac{9u – i(4u^2+4v^2+7v-2)}{16u^2+(4v-1)^2},
\end{align*} de donde:
\begin{equation*}
x = \frac{9u}{16u^2+(4v-1)^2}, \quad \quad y = -\frac{4u^2+4v^2+7v-2}{16u^2+(4v-1)^2}.
\end{equation*}

Sustituyendo en la ecuación de la recta tenemos que:
\begin{equation*}
\frac{9u}{16u^2+(4v-1)^2} = \frac{-3(4u^2+4v^2+7v-2)}{16u^2+(4v-1)^2},
\end{equation*} es decir:
\begin{equation*}
u^2 + v^2 + \frac{3}{4}u+\frac{7}{4}v-\frac{1}{2} = 0,
\end{equation*} la cual corresponde con la ecuación de una circunferencia, en el plano $w$, con centro en $\left(-3/8, -7/8\right)$ y radio $r = (3/8) \sqrt{10}$.

Figura 97: Imagen de la recta $3y=x$ bajo la transformación de Möbius (25.10).

Podemos generalizar la definición 24.10, de punto fijo de una transformación, para las funciones complejas definidas sobre el plano complejo extendido.

Definición 25.5.(Punto fijo.)
Sea $S\subset\mathbb{C}_\infty$ y sea $f: S \to \mathbb{C}_\infty$ una función. Diremos que un punto $z_0 \in S$ es un punto fijo de $f$ si y solo si $f(z_0) = z_0$.

Ejemplo 25.5.
a) La función $f(z) = z^2$ fija a los puntos $0, 1$ e $\infty$.
b) La función $f(z) = \dfrac{1}{z}$ fija a los puntos $1$ y $-1$.
c) La función $f(z) = z+i$ fija al $\infty$.

Una pregunta interesante que podemos hacernos es ¿cuáles son los puntos fijos de una transformación de Möbius?

Para responder a esta pregunta consideremos los siguientes resultados.

Proposición 25.7.
Toda transformación de Möbius $T:\mathbb{C}_\infty \to \mathbb{C}_\infty$ deja fijo 1, 2 o todos los puntos de $\mathbb{C}_\infty$.

Demostración. Sea $T:\mathbb{C}_\infty \to \mathbb{C}_\infty$ una transformación de Möbius dada por:
\begin{equation*}
T(z) = \frac{az + b}{cz+d}, \,\,\,\text{con} \,\,ad – bc\neq 0.
\end{equation*}

Para encontrar los puntos fijos de $T$ planteamos la siguiente ecuación:
\begin{equation*}
T(z) = \frac{az + b}{cz+d} = z,
\end{equation*} resolviendo para $z$ obtenemos la ecuación cuadrática:
\begin{equation*}
cz^2 + (d-a)z – b = 0.\tag{25.11}
\end{equation*}

Caso 1. Si $c\neq 0$, por la observación 25.6 tenemos que $T(\infty) = a/c$ y $T\left(-d/c\right) = \infty$, es decir, $T$ no fija al punto $z=\infty$. Por otra parte, es claro que la ecuación (25.11) tiene exactamente 1 ó 2 soluciones, por lo que en dicho caso tenemos que $T$ fija 1 ó 2 puntos de $\mathbb{C}_\infty$.

Caso 2. Si $c=0$, por la observación 25.6 tenemos que $T(\infty) = \infty$, es decir, $T$ fija al punto $z=\infty$. Por otra parte, para $c=0$ tenemos la condición $ad\neq 0$, por lo que $a \neq 0$ y $d \neq 0$, entonces procedemos a analizar los siguientes casos:

  • Si $a\neq d$, entonces la transformación $T$ es de la forma: \begin{equation*} T(z) = \frac{az + b}{d}. \end{equation*} De (25.11) tenemos la solución: \begin{equation*} z = \frac{b}{d-a} \neq \infty, \end{equation*} la cual es otro punto fijo de $T$, por lo que tenemos exactamente 2 puntos fijos, es decir, $T$ deja fijos a 2 puntos de $\mathbb{C}_\infty$.
  • Si $a = d$, entonces la ecuación (25.11) se reduce a $b=0$, por lo que la transformación $T$ es de la forma: \begin{equation*} T(z) = \frac{az + 0}{0z + a} = z, \end{equation*} la cual es la transformación identidad, por lo que claramente $T$ fija a todo punto de $\mathbb{C}_\infty$.

$\blacksquare$

Corolario 25.2.
Si $T$ es una transformación de Möbius que fija tres puntos distintos de $\mathbb{C}_\infty$, entonces $T$ es la identidad.

Demostración. Es inmediata del resultado anterior.

$\blacksquare$

Corolario 25.3.
Si $T_1$ y $T_2$ son dos transformaciones de Möbius que fijan a tres puntos distintos de $\mathbb{C}_\infty$, entonces $T_1=T_2$.

Demostración. Se sigue de las proposiciones 25.3, 25.4 y del corolario 25.3, por lo que los detalles se dejan como ejercicio al lector.

$\blacksquare$

Observación 25.9.
El último resultado es de suma importancia pues nos dice que el comportamiento de una transformación de Möbius está completamente descrito por su acción sobre tres puntos distintos de $\mathbb{C}_\infty$.

Observación 25.10.
Notemos que si $T$ es una transformación de Möbius, digamos:
\begin{equation*}
T(z) = \frac{az + b}{cz+d}, \,\,\,\text{con} \,\,ad – bc\neq 0,
\end{equation*} entonces para $\lambda\in\mathbb{C}$, tal que $\lambda\neq 0$, se cumple que:
\begin{equation*}
S(z) = \frac{\lambda a z +\lambda b}{\lambda c z + \lambda d}
\end{equation*} también es una transformación de Möbius desde que $\lambda^2(ad – bc) \neq 0$. Más aún, es claro que $T = S$.

Ejemplo 25.6.
Determina la transformación de Möbius que envía los puntos del plano $z$, en los puntos del plano $w$, respectivamente.
a) $-1\mapsto -i$, $0 \mapsto 1$ y $1 \mapsto i$.
b) $1\mapsto 0$, $i \mapsto 1$ y $-1 \mapsto \infty$.
c) $1\mapsto i$, $0 \mapsto \infty$ y $-1 \mapsto 1$.

Solución. Sea $T$ una transformación de Möbius, es decir:
\begin{equation*}
w = T(z) = \frac{az + b}{cz+d}, \,\,\,\text{con} \,\,ad – bc\neq 0.
\end{equation*}

a) Dado que $T(0)=1$, tenemos que:
\begin{equation*}
1 = \frac{b}{d} \quad \Longrightarrow \quad b = d,
\end{equation*} por lo que $b(a-c) \neq 0$, es decir $b\neq 0$ y $a\neq c$, entonces:
\begin{equation*}
T(z) = \frac{az + b}{cz+b}, \,\,\,\text{con} \,\,b(a-c) \neq 0.
\end{equation*} Como $T(-1) = -i$ y $T(1) = i$, tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
\begin{equation*}
\left\{ \begin{array}{c}
\dfrac{-a+b}{-c+b} = -i,\\
\\ \dfrac{a+b}{c+b} = i.
\end{array}
\right. \quad \Longrightarrow \quad \left\{ \begin{array}{c}
-a+b = ic-ib,\\
\\ a+b = ic+ib.
\end{array}
\right.
\end{equation*}Resolviendo tenemos $a = ib$ y $c = -ib$.

Como $b\neq 0$, entonces:
\begin{equation*}
T(z) = \frac{b(iz+1)}{b(-iz+1)} = \frac{iz+1}{-iz+1} = \frac{i-z}{i+z}.
\end{equation*}

b) Puesto que $T(-1)=\infty$, de la observación 25.6 tenemos que $c\neq 0$ y $-d/c = -1$, es decir, $c=d$.

Como $T(1) = 0$, entonces $a+b = 0$, es decir $a = -b$, entonces:
\begin{equation*}
T(z) = \frac{-b(z-1)}{d(z+1)}, \quad -2bd \neq 0.
\end{equation*}Por último, como $T(i)=1$, entonces:
\begin{equation*}
\frac{-b(i-1)}{d(i+1)} = 1 \quad \Longrightarrow \quad b = d \left(\frac{1+i}{1-i}\right) = id.
\end{equation*}Por lo tanto, como $d\neq 0$, tenemos que:
\begin{equation*}
T(z) = \frac{-id(z-1)}{d(z+1)}= -i\left(\dfrac{z-1}{z+1}\right).
\end{equation*}

c) Dado que $T(0)=\infty$, de la observación 25.6 tenemos que $c\neq 0$ y $d=0$, por lo que:
\begin{equation*}
T(z) = \frac{az + b}{cz}, \,\,\,\text{con} \,\,bc \neq 0.
\end{equation*}Como $T(1) = i$ y $T(-1) = 1$, tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
\begin{equation*}
\left\{ \begin{array}{c}
\dfrac{a+b}{c} = i,\\
\\ \dfrac{-a+b}{-c} = 1.
\end{array}
\right. \quad \Longrightarrow \quad \left\{ \begin{array}{c}
a+b = ic,\\
\\ -a+b = -c.
\end{array}
\right.
\end{equation*} Resolviendo tenemos $2a = c(1+i)$ y $2b = c(i-1)$.

De acuerdo con la observación 25.10 y considerando que $c\neq 0$, entonces tenemos que:
\begin{align*}
T(z) = \frac{az+b}{cz} & = \frac{2az+2b}{2cz}\\
&= \frac{c[(1+i)z+(i-1)]}{2cz}\\
&= \frac{(1+i)z+(i-1)}{2z}.
\end{align*}

Proposición 25.8.
Sean $z_1, z_2, z_3 \in\mathbb{C}_\infty$ tres puntos distintos. Entonces existe una única transformación de Möbius tal que:
\begin{equation*}
T(z_1) = 0, \quad T(z_2) = 1 \quad \text{y} \quad T(z_3) = \infty. \tag{25.12}
\end{equation*}

Demostración. Sean $z_1, z_2, z_3 \in\mathbb{C}_\infty$ tres puntos distintos. La unicidad se sigue del corolario 25.3.

Supongamos primeramente que los tres puntos son finitos, entonces para la existencia definimos a la transformación:
\begin{equation*}
T(z) = \frac{(z-z_1)(z_2 – z_3)}{(z-z_3)(z_2 – z_1)}, \quad \forall z\in\mathbb{C}. \tag{25.13}
\end{equation*} Primero veamos que $T$ es una transformación de Möbius. Notemos que:
\begin{align*}
T(z) &= \frac{(z-z_1)(z_2 – z_3)}{(z-z_3)(z_2 – z_1)}\\
& = \frac{(z_2 – z_3) z + z_1(z_3-z_2)}{(z_2 – z_1)z + z_3 (z_1 – z_2)}\\
& =: \frac{az+b}{cz+d},
\end{align*}de donde:
\begin{align*}
ad – bc & = z_3(z_2 – z_3)(z_1 – z_2) + z_1(z_3 – z_2)(z_1 – z_2)\\
& = (z_2 – z_3)(z_1 – z_2)(z_3 – z_1).
\end{align*}Dado que $z_1, z_2, z_3$ son distintos, entonces $z_2 – z_3 \neq 0$, $z_1 – z_2 \neq 0$ y $z_3 – z_1 \neq 0$, es decir, $ad – bc \neq 0$, por lo que $T$ es una transformación de Möbius.

Veamos ahora que $T$ cumple (25.12). Es claro que:
\begin{align*}
T(z_1) &= \frac{(z_1-z_1)(z_2 – z_3)}{(z_1-z_3)(z_2 – z_1)} = 0,\\
T(z_2) &= \frac{(z_2-z_1)(z_2 – z_3)}{(z_2-z_3)(z_2 – z_1)} = 1,\\
T(z_3) &= \frac{(z_3-z_1)(z_2 – z_3)}{(z_3-z_3)(z_2 – z_1)} = \infty.
\end{align*}

Por otra parte, si alguno de los $z_k$’s es $\infty$, definimos a $T(z)$ de modo que $z_k$ tienda a $\infty$ en (25.13). Sin pérdida de generalidad, supongamos que $z_1 = \infty$, entonces reescribimos el lado derecho de la igualdad en (25.13) como sigue:
\begin{equation*}
\dfrac{\dfrac{z}{z_1} – 1}{z-z_3} \dfrac{z_2-z_3}{\dfrac{z_2}{z_1} – 1},
\end{equation*}entonces:
\begin{equation*}
T(z) := \lim_{z_1 \to \infty} \dfrac{\dfrac{z}{z_1} – 1}{z-z_3} \dfrac{z_2-z_3}{\dfrac{z_2}{z_1} – 1} = \frac{z_2 – z_3}{z – z_3}.
\end{equation*}Claramente $T$ es una transformación de Möbius pues $z_3 – z_2 \neq 0$. Notemos que:
\begin{equation*}
T(\infty) = 0, \quad T(z_2) = 1 \quad \text{y} \quad T(z_3) = \infty.
\end{equation*}Análogamente, si $z_2 = \infty$ podemos definir:
\begin{equation*}
T(z) = \frac{z – z_1}{z – z_3},
\end{equation*}mientras que si $z_3 = \infty$ definimos:
\begin{equation*}
T(z) = \frac{z – z_1}{z_2 – z_1}.
\end{equation*}En ambos casos $T$ es una transformación de Möbius y se cumple (25.12).

$\blacksquare$

El resultado anterior nos motiva a dar la siguiente:

Definición 25.6. (Razón cruzada.)
Sean $z_1, z_2, z_3 \in\mathbb{C}_\infty$ tres puntos distintos y sea $z\in\mathbb{C}_\infty$. La {\bf razón cruzada} de $z, z_1, z_2$ y $z_3$, denotada como $(z; z_1, z_2, z_3)$, es el valor $T(z) \in\mathbb{C}_\infty$, donde $T$ es la única transformación de Möbius tal que $T(z_1)=0$, $T(z_2)=1$ y $T(z_3)=\infty$.

Observación 25.11.
De acuerdo con la proposición 25.8 es claro que:
\begin{equation*}
(z; z_1, z_2, z_3) = T(z)= \left\{ \begin{array}{lcc}
\dfrac{(z-z_1)(z_2 – z_3)}{(z-z_3)(z_2 – z_1)} & \text{si} & z_1, z_2, z_3 \in\mathbb{C}, \\
\\ \dfrac{z_2-z_3}{z-z_3} & \text{si} & z_1 = \infty, \\
\\ \dfrac{z-z_1}{z-z_3} & \text{si} & z_2 = \infty, \\
\\ \dfrac{z-z_1}{z_2-z_1} & \text{si} & z_3 = \infty.
\end{array}
\right.
\end{equation*}

Ejemplo 25.7.
Determina el valor de las siguientes razones cruzadas.
a) $(z;0,1,\infty)$.
b) $(z;1,\infty, 0)$.
c) $(z_2;z_1,z_2,z_3)$.
d) $(2;\infty, i,-1)$.

Solución. Tenemos que:
a) \begin{equation*}
(z;0,1,\infty) = \frac{z-0}{1-0} = z.
\end{equation*}b)
\begin{equation*}
(z;1,\infty,0) = \frac{z-1}{z-0} = \frac{z-1}{z}.
\end{equation*}c)
\begin{equation*}
(z_2;z_1,z_2,z_3) = \dfrac{(z_2-z_1)(z_2 – z_3)}{(z_2-z_3)(z_2 – z_1)} = 1.
\end{equation*}d)
\begin{equation*}
(2;\infty, i,-1) = \frac{i-(-1)}{2-(-1)} = \frac{1+i}{3}.
\end{equation*}

Ejemplo 25.8.
De acuerdo con la definición 25.6, la transformación de Möbius del ejemplo 25.6(b) puede escribirse como $T(z) = (z;1,i,-1)$.

Corolario 25.4.
Sean $z_1, z_2, z_3 \in\mathbb{C}_\infty$ tres puntos distintos y $w_1, w_2, w_3 \in\mathbb{C}_\infty$ tres puntos distintos. Entonces, existe una única transformación de Möbius tal que:
\begin{equation*}
H(z_1) = w_1, \quad H(z_2) = w_2 \quad \text{y} \quad H(z_3) = w_3.
\end{equation*}

Demostración. Dadas las hipótesis, sean $T(z) = (z; z_1, z_2, z_3)$ y $S(w) = (w; w_1, w_2, w_3)$. Definimos $H=S^{-1}\circ T$, entonces es claro que:
\begin{align*}
H(z_1) & = (S^{-1}\circ T)(z_1) = S^{-1}\left(T(z_1)\right) = S^{-1}\left(0\right) = w_1,\\
H(z_2) &= (S^{-1}\circ T)(z_2) = S^{-1}\left(T(z_2)\right) = S^{-1}\left(1\right) = w_2,\\
H(z_3) &= (S^{-1}\circ T)(z_3) = S^{-1}\left(T(z_3)\right) = S^{-1}\left(\infty\right) = w_3.
\end{align*} La unicidad se sigue del corolario 25.3.

$\blacksquare$

Proposición 25.9.
Toda transformación de Möbius preserva la razón cruzada.

Demostración. Sea $T$ una transformación de Möbius y sean $z_1, z_2, z_3 \in\mathbb{C}_\infty$ tres puntos distintos. Veamos que:
\begin{equation*}
\left(z; z_1, z_2, z_3\right) = \left(T(z); T(z_1), T(z_2), T(z_3)\right).
\end{equation*}

Sea $S(z) = \left(z; z_1, z_2, z_3\right)$. Definimos $H=S\circ T^{-1}$, la cual claramente es una transformación de Möbius. Tenemos que:
\begin{align*}
H(T(z_1)) & = S(z_1) = 0,\\
H(T(z_2)) &= S(z_2) = 1,\\
H(T(z_3)) &= S(z_3) = \infty,
\end{align*} por lo que, por la unicidad de la razón cruzada:
\begin{equation*}
H(z) = \left(z; T(z_1), T(z_2), T(z_3)\right), \quad \forall z\in\mathbb{C}_\infty.
\end{equation*}Entonces:
\begin{equation*}
S(z) = H(T(z)) = \left(T(z); T(z_1), T(z_2), T(z_3)\right), \quad \forall z\in\mathbb{C}_\infty.
\end{equation*}

$\blacksquare$

Observación 25.12.
Podemos reescribir el resultado anterior como:
\begin{equation*}
\dfrac{(z-z_1)(z_2 – z_3)}{(z-z_3)(z_2 – z_1)} = \dfrac{(w-w_1)(w_2 – w_3)}{(w-w_3)(w_2 – w_1)},
\end{equation*}donde $w = T(z)$ y $T$ es una transformación de Möbius. En caso de que algún $z_k$ ó algún $w_k$, con $k=1,2,3$, sea igual a $\infty$, entonces consideramos la definición de la observación 25.11.

Obtener una transformación de Möbius resulta sencillo mediante la razón cruzada.

Ejemplo 25.9.
Consideremos los incisos a) y c) del ejemplo 25.6.

Para el inciso a) queremos una transformación de Möbius tal que:
\begin{equation*}
-1\mapsto -i, \quad 0 \mapsto 1 \quad \text{y} \quad 1 \mapsto i.
\end{equation*}Considerando la observación 25.12 tenemos que:
\begin{equation*}
\dfrac{(z-(-1))(0 – 1)}{(z-1)(0 – (-1))} = \dfrac{(w-(-i))(1 – i)}{(w-i)(1 – (-i))},
\end{equation*}es decir:
\begin{equation*}
\dfrac{-(z+1)}{z-1} = \dfrac{(w+i)(1 – i)}{(w-i)(1 +i)},
\end{equation*}de donde:
\begin{equation*}
-2(z +i) = 2w(z+i) \quad \Longrightarrow \quad w = T(z) = \frac{i-z}{i+z}.
\end{equation*}

Por otra parte, para el inciso c) queremos una transformación de Möbius tal que:
\begin{equation*}
1\mapsto i, \quad 0 \mapsto \infty \quad \text{y} \quad -1 \mapsto 1.
\end{equation*}Considerando la observación 25.12 tenemos que:
\begin{equation*}
\dfrac{(z-1)(0 – (-1))}{(z-(-1))(0 – 1)} = \dfrac{w-i}{w-1},
\end{equation*}es decir:
\begin{equation*}
\dfrac{z-1}{-(z+1)} = \dfrac{w-i}{w-1},
\end{equation*}de donde:
\begin{equation*}
z(1 +i) + i – 1 = 2zw \quad \Longrightarrow \quad w = T(z) = \frac{(1+i)z +(i-1)}{2z}.
\end{equation*}

Ejemplo 25.10.
Determina la transformación de Möbius tal que:
\begin{equation*}
0\mapsto i, \quad 1 \mapsto 2 \quad \text{y} \quad -1 \mapsto 4.
\end{equation*}

Solución. Tenemos que:
\begin{equation*}
(z; 0, 1, -1) = \dfrac{(z-0)(1 – (-1)}{(z-(-1))(1 – 0)} = \frac{2z}{z+1},
\end{equation*}mientras que:
\begin{equation*}
(w; i, 2, 4) = \dfrac{(w-i)(2 – 4)}{(w-4)(2 – i)} = \dfrac{-2(w-i)}{(w-4)(2 – i)},
\end{equation*}por lo que:
\begin{equation*}
\frac{2z}{z+1} = \dfrac{-2(w-i)}{(w-4)(2 – i)},
\end{equation*}de donde, al resolver para $w$ tenemos:
\begin{equation*}
w\left[(6-2i)z+2\right] = \left[(16-6i)z+2i\right] \quad \Longrightarrow \quad w = T(z) = \frac{(16-6i)z+2i}{(6-2i)z+2}.
\end{equation*}

Corolario 25.5.
Sea $C \subset\mathbb{C}_\infty$ una circunferencia (o una recta), sean $z_1, z_2, z_3 \in C$ tres puntos distintos y $z\in\mathbb{C}_\infty$. Entonces $(z;z_1,z_2,z_3) \in \mathbb{R}$ si y solo si $z\in C$.

Demostración. Dadas las hipótesis, consideremos a $T(z) = (z;z_1,z_2,z_3)$. Dado que $T$ es una transformación de Möbius, del corolario 25.1 se sigue que $T$ mapea a $C$ en una circunferencia (o en una recta) en $\mathbb{C}_\infty$ que pasa por $0, 1$ e $\infty$, entonces $T(C) = \mathbb{R}\cup\{\infty\}$.

Por lo que:
\begin{align*}
T(z) = (z;z_1,z_2,z_3) \in \mathbb{R} \quad & \Longleftrightarrow \quad T(z) \in \mathbb{R} \cup\{\infty\} = T(C)\\
& \Longleftrightarrow \quad z \in C.
\end{align*}

$\blacksquare$

Tarea moral

  1. Completa la demostración de la proposición 25.1.
  2. Realiza la demostración de la proposición 25.3.
  3. Prueba la observación 25.7.
  4. Demuestra los corolarios 25.1 y 25.3.
  5. a) Muestra que la ecuación (25.6) se puede escribir de la forma: \begin{equation*} 2Az\,\overline{z} + (D-Ei)z + (D+Ei)\overline{z} + 2F = 0, \end{equation*} donde $z=x+iy$. b) Muestra que bajo la transformación inversión, $f(z)=1/z$, la ecuación del inciso anterior se convierte en: \begin{equation*} 2Fw\,\overline{w} + (D+Ei)w + (D-Ei)\overline{w} + 2A = 0. \end{equation*} Después prueba que si $w=u+iv$, entonces la ecuación anterior es la misma que la ecuación (25.9).
    Hint: Utiliza coordenadas complejas conjugadas.
  6. Determina de forma explícita la transformación de Möbius determinada por las siguientes correspondencias de puntos. Verifica tu resultado utilizando la razón cruzada.
    a) $1+i \mapsto 0$, $2 \mapsto \infty$, $0 \mapsto i-1$.
    b) $0 \mapsto 1$, $1 \mapsto 1+i$, $\infty \mapsto 2$.
    c) $\infty \mapsto 0$, $1+i \mapsto 1$, $2 \mapsto \infty$.
    d) $-2 \mapsto 1-2i$, $i \mapsto 0$, $2 \mapsto 1+2i$.
    e) $1 \mapsto 1$, $i \mapsto 0$, $-1 \mapsto -1$.
  7. Obtén los puntos fijos de las siguientes transformaciones.
    a) $T(z) = \dfrac{iz+2}{z+1}$.
    b) $T(z) = i\left(\dfrac{z-i}{z+i}\right)$.
    c) $T(z) = \dfrac{z}{z+1}$.
    d) $T(z) = \dfrac{1+i}{z+1}$.
  8. a) Determina la transformación de Möbius tal que: \begin{equation*} 1 \mapsto 0, \quad i \mapsto -1 \quad \text{y} \quad 0 \mapsto -i. \end{equation*}
    b) Considera la transformación $T$ del inciso anterior. ¿Cuál es la imagen de la circunferencia, en el plano $z$, que pasa por los puntos $z_1 = 1, z_2 = i$ y $z_3 = 0$, bajo $T$? ¿Cuál es la imagen del interior de dicha circunferencia bajo $T$?
  9. Prueba que si el origen es un punto fijo de una transformación de Möbius $T$, entonces dicha transformación es de la forma: \begin{equation*} w=T(z)=\frac{z}{cz+d}, \quad d\neq 0. \end{equation*}
  10. Muestra que la transformación: \begin{equation*} w = T(z) = \frac{iz+2}{4z+i}, \end{equation*} envía el eje real, en el plano $z$, en una circunferencia en el plano $w$. Determina el centro y el radio de dicha circunferencia. ¿Cuál es el punto en el plano $z$ que es enviado en el centro de la circunferencia?
  11. Determina la transformación de Möbius tal que envía el punto $i$ en el punto $-i$ y que fija el punto $1+2i$.

Más adelante…

En esta entrada hemos definido el concepto de transformación de Möbius o bilineal y establecimos algunos resultados elementales, en el estudio de estas transformaciones del plano complejo (extendido), las cuales resultan de suma importancia para entender de manera clara la geometría de algunas de las funciones complejas más elementales, como veremos en la siguiente entrada.

En general, las transformaciones de Möbius tienen muchas aplicaciones en el análisis complejo. Dejando de lado la aparente simplicidad en su definición, éstas transformaciones son el corazón de algunas áreas matemáticas modernas de investigación, por su conexión con las geometrías no Euclidianas como la geometría hiperbólica. De hecho, éstas transformaciones están estrechamente ligadas con la teoría de la relatividad de Einstein.

La siguiente entrada es la última de ésta segunda unidad y en ella abordaremos una alternativa básica para poder estudiar el comportamiento geométrico de las funciones complejas más elementales.

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Variable Compleja I: Transformaciones del plano complejo $\mathbb{C}$

Por Pedro Rivera Herrera

Introducción

En las entradas anteriores hemos abordado de manera formal el concepto de función en el sentido complejo así como algunas de sus propiedades más importantes como la continuidad y la diferenciablidad.

Para esta entrada, así como para las últimas dos entradas de esta unidad, nuestro objetivo será darle una interpretación geométrica a las funciones complejas de variable compleja. Para ello recurriremos al concepto de transformación, desde una perspectiva Geométrica, es decir, como una transformación del plano en sí mismo y desde la perspectiva del Álgebra Lineal considerando lo que sabemos de $\mathbb{R}^2$ como un $\mathbb{R}$-espacio vectorial.

Observación 24.1.
Recordemos que una transformación del plano $\mathbb{R}^2$ es una función $T:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$, es decir, una función del plano en sí mismo. En algunos textos suele pedirse que $T$ sea una función biyectiva, sin embargo, como veremos en esta entrada, la mayoría de las transformaciones con las que trabajaremos cumplirán esta propiedad.

Definición 24.1. (Transformación compleja.)
Una transformación compleja o simplemente una transformación del plano complejo es una función $T: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$, es decir, una función del plano complejo $\mathbb{C}$ en sí mismo.

Considerando que hemos construido a $\mathbb{C}$ mediante $\mathbb{R}^2$ y el hecho de que $\mathbb{R}^2$ es un $\mathbb{R}$-espacio vectorial, podemos definir el concepto de linealidad para transformaciones complejas.

Definición 24.2. (Transformación compleja $\mathbb{R}$-lineal.)
Sea $T : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ una transformación. Entonces, $T$ es $\mathbb{R}$-lineal si:

  1. $T(z_1 + z_2) = T(z_1) + T(z_2)$, para todo $z_1,z_2\in\mathbb{C}$,
  2. $T(\lambda z) = \lambda T(z)$, para todo $\lambda\in\mathbb{R}$ y para todo $z\in\mathbb{C}$.

Definición 24.3. (Transformación compleja $\mathbb{C}$-lineal.)
Sea $T : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ una transformación. Entonces, $T$ es $\mathbb{C}$-lineal si:

  1. $T(z_1 + z_2) = T(z_1) + T(z_2)$, para todo $z_1,z_2\in\mathbb{C}$,
  2. $T(\lambda z) = \lambda T(z)$, para todo $\lambda\in\mathbb{C}$ y para todo $z\in\mathbb{C}$.

Proposición 24.1.
Toda transformación $T : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ que es $\mathbb{R}$-lineal es de la forma:
\begin{equation*}
T(z) = \lambda z + \mu \overline{z},
\end{equation*}
donde $\lambda = \dfrac{a – ib}{2}$, $\mu = \dfrac{a + ib}{2}$, con $a = T(1)$ y $b=T(i)$.

Demostración. Dadas las hipótesis, sea $z=x+iy\in\mathbb{C}$. Como $T$ es $\mathbb{R}$-lineal, entonces:
\begin{equation*}
T(z) = T(x+iy) = x T(1) + y T(i).
\end{equation*}

Definimos $a := T(1)$ y $b := T(i)$, dado que:
\begin{equation*}
x = \frac{z + \overline{z}}{2} \quad \text{y} \quad y = -i\left(\frac{z – \overline{z}}{2}\right),
\end{equation*}

entonces:
\begin{equation*}
T(z) = a\left(\frac{z + \overline{z}}{2}\right) -ib\left(\frac{z – \overline{z}}{2}\right) = \lambda z + \mu \overline{z},
\end{equation*} donde $\lambda = \dfrac{a – ib}{2}$ y $\mu = \dfrac{a + ib}{2}$.

$\blacksquare$

Proposición 24.2.
Toda transformación $T:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ que es $\mathbb{C}$-lineal es de la forma:
\begin{equation*}
T(z) = \lambda z,
\end{equation*} donde $\lambda = T(1) \in\mathbb{C}$ es una constante.

Demostración. Se deja como ejercicio al lector.

$\blacksquare$

Proposición 24.3.
Sea $T$ una transformación $\mathbb{R}$-lineal, cuya matriz asociada es $A\in M_{2\times 2}(R)$ (considerando la base estándar de $\mathbb{R}^2$). Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:

  1. $T$ es $\mathbb{C}$-lineal, definición 24.3.
  2. $T(iz) = i\,T(z)$ para todo $z\in\mathbb{C}$.
  3. $A = \begin{pmatrix} a & -b\\ b & a \end{pmatrix}$ para algunos $a, b\in\mathbb{R}$.
  4. $T$ es una multiplicación compleja, es decir, existe algún $\lambda \in\mathbb{C}$ tal que $T(z) = \lambda z$ para todo $z\in\mathbb{C}$.

Demostración.

1. $\Rightarrow )$ 2.

Es inmediata de la definición.

2. $\Rightarrow )$ 3.

Sea $A = \begin{pmatrix}
a & c\\
b & d
\end{pmatrix}$, con $a,b,c,d\in\mathbb{R}$ la matriz asociada a $T$. Entonces tenemos:
\begin{align*}
T(i) & = \begin{pmatrix}
a & c\\
b & d
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
0\\
1
\end{pmatrix}\\
& = \begin{pmatrix}
c\\
d
\end{pmatrix}\\
&= c + id.
\end{align*}

Por otra parte:
\begin{align*}
i\,T(1) & = i \begin{pmatrix}
a & c\\
b & d
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1\\
0
\end{pmatrix}\\
& = i\begin{pmatrix}
a\\
b
\end{pmatrix}\\
&= i(a + ib)\\
& = -b + ia.
\end{align*}

Por hipótesis tenemos que $T(i) = i \, T(1)$, por lo que $c = -b$ y $d = a$, de donde se sigue el resultado.

3. $\Rightarrow )$ 4.

Sea $z = x+iy\in\mathbb{C}$, entonces:
\begin{align*}
T(z) & = A\,z\\
& = \begin{pmatrix}
a & -b\\
b & a
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}\\
&= (ax – by) + i(bx + ay)\\
& = (a+ib)(x+iy),
\end{align*}

por lo que tomando $\lambda = a + ib\in\mathbb{C}$ se tiene que $T(z) = \lambda z$, para toda $z\in\mathbb{C}$.

4. $\Rightarrow )$ 1.

Se deja como ejercicio al lector.

$\blacksquare$

Observación 24.2.
El resultado anterior nos dice cuáles transformaciones $\mathbb{R}$-lineales, pueden ser vistas también como transformaciones $\mathbb{C}$-lineales.

Más aún, dado que $\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$, debe ser claro que una transformación que es $\mathbb{C}$-lineal en particular es $\mathbb{R}$-lineal, sin embargo el recíproco no se cumple.

Ejemplo 24.1.
a) Sea $T:\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ dada por $T(z) = \overline{z}$. Es fácil verificar que $T$ es una transformación $\mathbb{R}$-lineal, por lo que se deja como ejercicio al lector. Por otra parte, notemos que para todo $z=x+iy\in\mathbb{C}$:
\begin{equation*}
T(z) = \overline{z} = x – iy,
\end{equation*} por lo que:
\begin{equation*}
T(i) = \overline{i} = -i,
\end{equation*} mientras que:
\begin{equation*}
i\,T(1) = i\,\overline{1} = i(1) = i,
\end{equation*} entonces considerando la proposición 16.2 es claro que $T$ no es $\mathbb{C}$-lineal.

b) Sea $T:\mathbb{C}\setminus\{0\} \to \mathbb{C}\setminus\{0\}$ dada por $T(z) = \dfrac{1}{z}$. Es fácil verificar que $T$ no es una transformación $\mathbb{R}$-lineal ni tampoco $\mathbb{C}$-lineal, por lo que se deja como ejercicio al lector. A esta transformación se le llama inversión.

De acuerdo con los resultados de la entrada 18 y considerando la proposición 24.3, debe ser claro que existe una estrecha relación entre a diferenciabilidad en el sentido complejo y las transformaciones $\mathbb{C}$-lineales, pues como sabemos, la diferenciabilidad en el sentido real de una función $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ no basta para garantizar la diferenciabilidad compleja.

Proposición 24.4.
Sean $U\subset\mathbb{C}$ un conjunto abierto y $f:U\to\mathbb{C}$ una función. Se dice que $f$ es complejo diferenciable en $z\in U$ si existe:
\begin{equation*}
\lim_{h\to 0} \frac{f(z+h) – f(z)}{h}. \tag{24.1}
\end{equation*}

Mientras que, se dice que $f$ es real diferenciable en $z\in U$ si existe una transformación $\varphi : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$, la cual es $\mathbb{R}$-lineal, tal que:
\begin{equation*}
\lim_{h\to 0} \frac{f(z+h) – f(z) – \varphi(h)}{h} = 0. \tag{24.2}
\end{equation*}

Entonces se cumple que:

  1. si $f$ es complejo diferenciable en $z\in U$, entonces $f$ es real diferenciable en $z\in U$;
  2. si $f$ es real diferenciable en $z\in U$ y la transformación $\mathbb{R}$-lineal $\varphi : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ también es $\mathbb{C}$-lineal, entonces $f$ es complejo diferenciable en $z\in U$;
  3. si $f$ es real diferenciable en $z\in U$ y existe el límite:
    \begin{equation*}
    \lim_{h\to 0} \left|\frac{f(z+h) – f(z)}{h}\right|, \tag{24.3}
    \end{equation*} entonces $f$ ó $\overline{f}$ es complejo diferenciable en $z\in U$.

Demostración. Dadas las hipótesis.

  1. Se deja como ejercicio al lector.
  2. Se deja como ejercicio al lector.
  3. Como $f$ es real diferenciable en $z\in U$, entonces existe una transformación $R$-lineal $\varphi:\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ tal que (24.2) se cumple. De acuerdo con la desiguladad del triángulo, proposición 3.3, tenemos que:
    \begin{equation*} 0 \leq \left| \left|\frac{f(z+h) – f(z)}{h} \right| – \left| \frac{\varphi(h)}{h}\right| \right| \leq \left|\frac{f(z+h) – f(z) – \varphi(h)}{h}\right|. \end{equation*} Por hipótesis el límite (24.2) existe, entonces al tomar limites en las desigualdades anteriores se sigue que:
    \begin{equation*} \lim_{h\to 0}\left| \left|\frac{f(z+h) – f(z)}{h} \right| – \left| \frac{\varphi(h)}{h}\right| \right| = 0, \end{equation*} de donde:
    \begin{equation*} \lim_{h\to 0} \left|\frac{f(z+h) – f(z)}{h} \right| = \lim_{h\to 0} \left| \frac{\varphi(h)}{h}\right|, \end{equation*} dado que (24.3) existe, entonces el límite del lado derecho de la igualdad existe.

    Como $\varphi$ es $R$-lineal, entonces, proposición 24.1, es de la forma $\varphi(h) = \lambda h + \mu \overline{h}$ donde: \begin{equation*} \lambda = \dfrac{\varphi(1) – i\varphi(i)}{2} \quad \text{y} \quad \mu = \dfrac{\varphi(1) + i\varphi(i)}{2}. \tag{24.4} \end{equation*} Notemos que: \begin{equation*} \left| \frac{\varphi(h)}{h}\right|^2 = \left| \frac{\lambda h + \mu \overline{h}}{h}\right|^2 = |\lambda|^2 + |\mu|^2 + 2 \operatorname{Re}\left(\lambda \overline{\mu} \frac{h}{\overline{h}}\right), \end{equation*} por lo que, al tomar límites en ambos lados de la igualdad, al existir el límite del lado izquierdo, también debe existir el límite: \begin{equation*} \lim_{h\to 0} \operatorname{Re}\left(\lambda \overline{\mu} \, \frac{h}{\overline{h}}\right). \end{equation*} Sea $h = a+ib$. Procedemos a calcular el límite cuando $h\to 0$ a lo largo de las rectas $a = 0$ y $b=0$, respectivamente. Por la unicidad del límite tenemos que: \begin{equation*} \lim_{b\to 0} \operatorname{Re}\left(\lambda \overline{\mu} \left[\frac{ib}{-ib}\right]\right) = \lim_{a\to 0} \operatorname{Re}\left(\lambda \overline{\mu} \left[\frac{a}{a}\right]\right), \end{equation*} es decir: \begin{equation*} -\operatorname{Re}\left(\lambda \overline{\mu}\right) = \operatorname{Re}\left(-\lambda \overline{\mu}\right) = \operatorname{Re}\left(\lambda \overline{\mu}\right), \end{equation*} de donde: \begin{equation*} \operatorname{Re}\left(\lambda \overline{\mu}\right) = 0. \end{equation*} Procediendo de manera análoga, si ahora consideramos el límite cuando $h\to 0$ a lo largo de las rectas $a=b$ y $a=-b$, respectivamente, por la unicidad del límite tenemos que: \begin{equation*} \operatorname{Re}\left(i\lambda \overline{\mu}\right) = – \operatorname{Re}\left(i\lambda \overline{\mu}\right) \quad \Longleftrightarrow \quad -\operatorname{Im}\left(\lambda \overline{\mu}\right) = \operatorname{Im}\left(\lambda \overline{\mu}\right), \end{equation*} de donde: \begin{equation*} \operatorname{Im}\left(\lambda \overline{\mu}\right) = 0. \end{equation*} Por lo tanto $\lambda \overline{\mu} = 0$, es decir, $\lambda = 0$ ó $\overline{\mu} = 0$.

    De $(24.4)$ se sigue que: \begin{equation*} \varphi(1) = i \varphi(i) \quad \text{ó} \quad \overline{\varphi}(1) = i \overline{\varphi}(i). \end{equation*} Del primer caso se sigue de la proposición 24.3 que $\varphi$ es $\mathbb{C}$-lineal y por el inciso anterior de esta proposición, tenemos que $f$ es complejo diferenciable en $z\in U$.

    Por último, notemos que si $f$ es real diferenciable con respecto a $\varphi$, entonces $\overline{f}$ es real diferenciable con respecto a $\overline{\varphi}$ desde que: \begin{align*} \lim_{h\to 0} \frac{f(z+h) – f(z) – \varphi(h)}{h} &= 0\\ \Longleftrightarrow \quad \lim_{h\to 0} \left| \frac{f(z+h) – f(z) – \varphi(h)}{h} \right| &= 0\\ \Longleftrightarrow \quad \lim_{h\to 0} \frac{\left| \overline{f(z+h) – f(z) – \varphi(h)}\right|}{\left|h\right|} &= 0\\ \Longleftrightarrow \quad \lim_{h\to 0} \frac{\overline{f}(z+h) – \overline{f}(z) – \overline{\varphi}(h)}{h} &= 0. \end{align*} Por lo que, para el segundo caso se sigue de la proposición 24.3, que $\overline{\varphi}$ es $\mathbb{C}$-lineal y por tanto $\overline{f}$ es complejo diferenciable en $z\in U$.

    Entonces $f$ ó $\overline{f}$ es complejo diferenciable en $z\in U$.

$\blacksquare$

Procedemos ahora a definir algunas de las transformaciones del plano complejo más importantes, con las que ya estamos familiarizados por nuestros cursos de Geometría.

Definición 24.4. (Transformación identidad en $\mathbb{C}$.)
La transformación $\mathbb{I}_\mathbb{C} : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ dada por $\mathbb{I}_\mathbb{C}(z)=z$, es llamada la transformación identidad del plano complejo $\mathbb{C}$.

Definición 24.5. (Homotecia.)
Sea $k\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$. Se define a una homotecia del plano complejo $\mathbb{C}$, con centro en el origen y razón (o factor) $k$ como la transformación $h_k:\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ dada por $h_k(z) = kz$.

Si el punto $O$ es el origen, $M$ es un punto cualquiera en el plano complejo, dado por $z\in\mathbb{C}$, entonces la posición del punto $M’=h_k(z) \in \mathbb{C}$ depende del signo de $k$, es decir, si $k>0$ figura 86, ó $k<0$ figura 87. Al punto $M’$ se le llama el punto homotético de $M$ con centro en $O$ y razón $k$.

En cualquiera de ambos caso se cumple que:
\begin{equation*}
|\overline{OM’}| = |k| \, |\overline{OM}|,
\end{equation*} es decir, el módulo del punto homotético $M’$ es igual al valor absoluto de $k$ por el módulo del punto $M$.

No es difícil verificar que la composición de dos homotecias también es una homotecia.

Figura 86: Homotecia del plano complejo $\mathbb{C}$ cuando $k>0$.
Figura 87: Homotecia del plano complejo $\mathbb{C}$ cuando $k<0$.

Definición 24.6. (Traslación.)
Sea $z_0 \in \mathbb{C}$ fijo y sea $t_{z_0}:\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ la transformación dada por:
\begin{equation*}
t_{z_0}(z) = z + z_0.
\end{equation*}

La transformación $t_{z_0}$ es llamada la traslación del plano complejo $\mathbb{C}$ por un número $z_0$.

Teniendo en cuenta la interpretación geométrica de la suma de dos números complejos, entrada 3, podemos dar fácilmente una interpretación geométrica de la traslación analizando la imagen de cualquier $z\in\mathbb{C}$, bajo $t_{z_0}$, figura 88.

En la figura 88, $O M_0 M’ M$ es un paralelogramo y el segmento $\overline{OM’}$ es una de sus diagonales. Por lo que, la transfromación $t_{z_0}$ corresponde en el plano complejo $\mathbb{C}$ con la traslación $t_{\overrightarrow{OM_0}}$ dada por el vector $\overrightarrow{OM_0}$ en el caso del plano Euclidiano.

Debe ser claro que la composición de dos traslaciones $t_{z_1}$ y $t_{z_2}$ cumple que:
\begin{equation*}
t_{z_1} \circ t_{z_2} = t_{z_1 + z_2}.
\end{equation*}

Figura 88: Traslación del plano complejo $\mathbb{C}$ por un número $z_0$.

Observación 24.3.
Notemos que el conjunto $\tau$ de todas las traslaciones del plano complejo forma un grupo con respecto de la composición de funciones. El grupo $\left(\tau,\circ\right)$ es abeliano y su unidad es la transformación identidad $\mathbb{I}_{\mathbb{C}} = t_0$, es decir, la traslación por el número complejo $0$.

Definición 24.7. (Reflexión respecto al eje real y respecto a un punto.)
Sea $s:\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ dada por $s(z) = \overline{z}$. A la transformación $s$ se le llama la reflexión con respecto al eje real.

Si $M$ es un punto en el plano dado por el número complejo $z\in\mathbb{C}$, entonces el punto $M’=s(z) \in\mathbb{C}$ es obtenido al reflejar a $M$ respecto al eje real, figura 89. Además, es claro que:
\begin{equation*}
s \circ s = \mathbb{I}_{\mathbb{C}}.
\end{equation*}

Figura 89: Reflexión en el plano complejo $\mathbb{C}$ con respecto al eje real.

Por otra parte, a la transformación $s_0 : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ dada por $s_0(z) = -z$, se le llama la reflexión con respecto al origen, desde que $s_0(z) + z = 0$, entonces para un punto $M = z\in\mathbb{C}$, el origen $O$ es el punto medio del segmento $\overline{MM’}$, con $M’=s_0(z)$, es decir, el punto $M’$ es la reflexión del punto $M$ en el origen, figura 90.

Debe ser claro que:
\begin{equation*}
s_{0} \circ s_{0} = \mathbb{I}_{\mathbb{C}}.
\end{equation*}

Figura 90: Reflexión en el plano complejo $\mathbb{C}$ con respecto al origen.

Por último, para $z_0\in\mathbb{C}$ fijo, se define a la reflexión con respecto a $\pmb{z_0}$ como la transformación $s_{z_0} : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ dada por $s_{z_0}(z) = 2z_0-z$.

Si $M, M_0$ y $M’$ son los puntos en el plano dados por $z,z_0,s_{z_0}(z) \in \mathbb{C}$, respectivamente, entonces $M_0$ es el punto medio del segmento $\overline{MM’}$ y así $M’$ es la reflexión de $M$ en $M_0$, figura 91.

Es sencillo verificar que:
\begin{equation*}
s_{z_0} \circ s_{z_0} = \mathbb{I}_{\mathbb{C}}.
\end{equation*}

Figura 91: Reflexión en el plano complejo $\mathbb{C}$ con respecto a un punto fijo $z_0\in\mathbb{C}$.

Observación 24.4.
A pesar de que la transformación $T(z) = \overline{z}$ no es $\mathbb{C}$-lineal, es importante recordar su interpretación geométrica, ya que dicha transformación nos representa una reflexión en el plano complejo a través del eje real.

Definición 24.8. (Rotación.)
Sea $a = \in \mathbb{C}$ tal que $|a|=1$, es decir, $a=e^{i\theta_0}$. Se define a la rotación de $z=\rho e^{i\theta}\in\mathbb{C}$ alrededor del origen, en un ángulo $\theta_0\in\mathbb{R}$, como la transformación $r_a:\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ dada por:
\begin{equation*}
r_a(z) = az = \rho e^{i(\theta+\theta_0)}.
\end{equation*}

Así, si $M$ es un punto en el plano complejo dado por $z=\rho e^{i\theta}\in\mathbb{C}$, entonces $M’ = r_a(z)$ se obtiene al rotar $M$ alrededor del origen un ángulo $\theta_0$, figura 92.

Figura 92: Rotación del plano complejo $\mathbb{C}$ alrededor del origen en un ángulo $\theta_0\in\mathbb{R}$.

Observación 24.5.
De manera general es posible definir una reflexión en el plano complejo respecto a una recta $\mathcal{L}$ arbitraria, la cual está dada por la composición de una rotación y/o una traslación del eje real, una reflexión respecto al eje real y las inversas de la rotación y la traslación, por lo que será de la forma:
\begin{equation*}
s_\mathcal{L}(z) = e^{i\theta} \overline{z} + b,
\end{equation*} para algún ángulo $\theta\in\mathbb{R}$ y una constante $b\in\mathbb{C}$.

Analicemos lo anterior mediante el siguiente:

Ejemplo 24.2.
Determinemos la reflexión en el plano complejo dada sobre la recta $\mathcal{L} : y=x+3$.

Solución. Primeramente, notemos que la recta dada se obtiene al rotar el eje real alrededor del origen un ángulo de $\pi/4$ y luego trasladarlo verticalmente por $3i$.

Así, para reflejar a $z\in\mathbb{C}$ respecto a $\mathcal{L}$, primero trasladamos verticalmente dicho punto por $-3i$, luego lo rotamos alrededor del origen un ángulo de $-\pi/4$, después lo reflejamos respecto al eje real y por último, lo rotamos alrededor del origen un ángulo de $\pi/4$ y lo trasladamos por $3i$.

Es decir, sean:
\begin{align*}
t_{-3i}(z) &= z-3i,\\
r_{e^{-i\frac{\pi}{4}}}(z) &= e^{-i\frac{\pi}{4}} z,\\
s(z) &= \overline{z},\\
t_{3i}(z) & = z+3i,\\
r_{e^{i\frac{\pi}{4}}}(z) &= e^{i\frac{\pi}{4}} z,
\end{align*}

por lo que:
\begin{align*}
\left(s\circ r_{e^{-i\frac{\pi}{4}}} \circ t_{-3i}\right)(z) & = s\left(r_{e^{-i\frac{\pi}{4}}}(t_{-3i}(z))\right)\\
& = s\left(r_{e^{-i\frac{\pi}{4}}}(z-3i)\right)\\
& = s\left(e^{-i\frac{\pi}{4}}(z-3i)\right)\\
& = \overline{e^{-i\frac{\pi}{4}}(z-3i)}\\
& = e^{i\frac{\pi}{4}}(\overline{z}+3i).
\end{align*}

Luego, como $e^{i\frac{\pi}{2}} = i$, tenemos que:
\begin{align*}
\left(t_{3i} \circ r_{e^{i\frac{\pi}{4}}}\right)(e^{i\frac{\pi}{4}}(\overline{z}+3i)) & = t_{3i} \left(r_{e^{i\frac{\pi}{4}}}(e^{i\frac{\pi}{4}}(\overline{z}+3i))\right)\\
& = t_{3i} \left(e^{i\frac{\pi}{4}} e^{i\frac{\pi}{4}}(\overline{z}+3i)\right)\\
& = e^{i\frac{\pi}{2}}(\overline{z}+3i) + 3i\\
& = i (\overline{z}+3i) + 3i\\
& = i\overline{z} – 3(1-i).
\end{align*}

Entonces, la reflexión sobre la recta $\mathcal{L} : y=x+3$, figura 93, está dada por:
\begin{equation*}
s_{\mathcal{L}}(z) = i\overline{z} – 3(1-i).
\end{equation*}

Por ejemplo, si consideramos al punto $z=-1+4i$, entonces:
\begin{align*}
s_{\mathcal{L}}(z) & = i(\overline{-1+4i}) – 3(1-i)\\
& = i(-1-4i)-3+3i\\
& = -i+4-3+3i\\
& = 1+2i.
\end{align*}

Figura 93: Reflexión en $\mathbb{C}$ respecto a la recta $y=x+3$.

Observación 24.6.
Como se verá en el ejercicio 7 de esta entrada, las reflexiones son transformaciones más sencillas que las rotaciones y las traslaciones, desde que estas últimas transformaciones son simplemente composiciones dos reflexiones particulares.

Recordemos ahora otro concepto importante visto en nuestros cursos de Geometría.

Definición 24.9. (Isometría.)
Sea $S\subset \mathbb{C}$. Una transformación $T:\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ se llama una isometría si no modifica las distancias, es decir, si:
\begin{equation*}
|\,T(z_1) – T(z_2)\,| = |\,z_1 – z_2\,|, \quad \forall z_1, z_2 \in\mathbb{C}.
\end{equation*}

Mientras que una función $f:S \to \mathbb{C}$ se llama una isometría si:
\begin{equation*}
|\,f(z_1) – f(z_2)\,| = |\,z_1 – z_2\,|,
\end{equation*} para todo par de números complejos $z_1$ y $z_2$ en el dominio $S$ de $f$.

Observación 24.7.
No es difícil verificar que la composición de dos isometrías es también una isometría. Más aún, el conjunto de todas las isometrías del plano complejo, denotado como $\text{Iso}(\mathbb{C})$ es un grupo con respecto a la composición de funciones y el grupo de las traslaciones, $(\tau, \circ)$, es un subgrupo de dicho grupo.

Proposición 24.5.
Las traslaciones, reflexiones y las rotaciones alrededor de un punto $z_0$ son isometrías del plano.

Demostración. Se deja como ejercicio al lector.

$\blacksquare$

De acuerdo con el ejercicio 9 de esta entrada tenemos el siguiente:

Ejemplo 24.3.
a) Las transformaciones $s_{\mathcal{L}_1}(z) = \overline{z}+3i$, $s_{\mathcal{L}_2}(z) = \overline{z}+5i$ y $s_{\mathcal{L}_3}(z) = -\overline{z}+1$ corresponden con tres reflexiones, las primeras dos respecto a las rectas horizontales $\mathcal{L}_1 : -iz+i\overline{z}-3=0$ y $\mathcal{L}_2 : -iz+i\overline{z}-5=0$, respectivamente, y la última respecto a la recta vertical $\mathcal{L}_3 : z+\overline{z}-1=0$.

La composición:
\begin{align*}
\left(s_{\mathcal{L}_1} \circ s_{\mathcal{L}_2}\right)(z) & = s_{\mathcal{L}_1}\left( s_{\mathcal{L}_2}(z)\right)\\
& = s_{\mathcal{L}_1}\left( \overline{z}+5i\right)\\
& = \overline{\overline{z}+5i}+3i\\
& = z – 2i,
\end{align*} corresponde con la traslación $t_{-2i}(z)$ en el plano complejo.

Por otra parte, la composición:
\begin{align*}
\left(s_{\mathcal{L}_1} \circ s_{\mathcal{L}_3}\right)(z) & = s_{\mathcal{L}_1}\left( s_{\mathcal{L}_3}(z)\right)\\
& = s_{\mathcal{L}_1}\left(- \overline{z}+1\right)\\
& = \overline{- \overline{z}+1}+3i\\
& = -z + \left(1 + 3i\right),
\end{align*} corresponde con la rotación $r_{a}(z)$ alrededor del punto $z_0 = \dfrac{1}{2} + i \dfrac{1}{2}$ y un ángulo $\pi$, es decir, $a = e^{i\pi}$, en el plano complejo.

b) La transformación $h(z)=\overline{z}+1$ está dada por la composición de la reflexión respecto al eje real $s(z) = \overline{z}$ y la traslación $t_{1}(z)=z+1$.

c) La transformación $h(z)=\overline{z}+2i = (\overline{z}+i)+i$ está dada por la composición de la reflexión $s_{\mathcal{L}}(z) = \overline{z} + i$, respecto a la recta horizontal $\mathcal{L} : -iz+i\overline{z}-1=0$, y la traslación $t_{i}(z)=z+i$.

Definición 24.10.(Punto fijo.)
Sea $T: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ una transformación. Diremos que un punto $z_0 \in \mathbb{C}$ es un punto fijo de $T$ si y solo si $T(z_0) = z_0$.

Ejemplo 24.4.
a) La transformación identidad fija a todos los puntos de $\mathbb{C}$.

b) Si $z_0\in\mathbb{C}$ es tal que $z_0 \neq 0$, entonces la transformación $t_{z_0}(z)=z+z_0$ no tiene puntos fijos.

c) Si $a\in\mathbb{C}$ es tal que $|a|=1$ y $a\neq 1$, entonces la rotación $r_a(z) = az$ alrededor del origen solo fija al origen.

Lema 24.1.
Una isometría del plano que fija a los puntos $0, 1$ e $i$ debe ser la identidad.

Demostración. Dadas las hipótesis, sea $h:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ una isometría tal que: \begin{equation*}
h(0)=0, \quad h(1) = 1 \quad \text{y} \quad h(i)=i.
\end{equation*}

Dado que $h$ es una isometría, entonces para cualesquiera $z,w\in\mathbb{C}$ se cumple que:
\begin{equation*}
|h(z)-h(w)| = |z-w|,
\end{equation*} en particular, para $w \in \{0,1,i\}$ tenemos que:
\begin{equation*}
|h(z)| = |z|, \quad |h(z)-1| = |z-1| \quad \text{y} \quad |h(z)-i| = |z-i|.
\end{equation*}

Elevando al cuadrado las tres igualdades anteriores tenemos que:
\begin{align*}
h(z) \overline{h(z)} & = z \overline{z}, \tag{24.4}\\
(h(z)-1)\overline{(h(z)-1)} &= (z-1)\overline{(z-1)}, \tag{24.5}\\
(h(z)-i)\overline{(h(z)-i)} &= (z-i)\overline{(z-i)}.\tag{24.6}
\end{align*}

Desarrollando (24.5) tenemos:
\begin{equation*}
h(z) \overline{h(z)} – h(z) – \overline{h(z)} + 1 = z \overline{z} – z \overline{z} + 1.
\end{equation*}

Considerando (24.4) se tiene que:
\begin{equation*}
h(z) + \overline{h(z)} = z + \overline{z}, \tag{24.7}
\end{equation*}

Análogamente, de (24.6) obtenemos que:
\begin{equation*}
h(z) – \overline{h(z)} = z – \overline{z}, \tag{24.8}
\end{equation*}

Entonces, de (24.7) y (24.8) se sigue que:
\begin{equation*}
h(z) = z.
\end{equation*}

$\blacksquare$

Proposición 24.6.
Toda isometría del plano complejo es de la forma:
\begin{equation*}
h_1(z) = \alpha z + \beta \quad \text{ó} \quad h_2(z) = \alpha \overline{z} + \beta,
\end{equation*} con $\alpha, \beta\in\mathbb{C}$, únicos y $|\,\alpha\,|=1$.

La primera función es una isometría que preserva la orientación y la segunda una isometría que la invierte.

Demostración. Sea $h:\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ una isometría arbitraria. Primeramente notemos que una función de la forma:
\begin{equation*}
h_1(z) = \alpha z + \beta \quad \text{ó} \quad h_2(z) = \alpha \overline{z} + \beta,
\end{equation*} con $\alpha, \beta\in\mathbb{C}$, constantes y $|\,\alpha\,|=1$ es una isometría desde que:
\begin{align*}
|h_1(z) – h_1(w)| = |\alpha(z-w)| = |z-w|,\\
|h_2(z) – h_2(w)| = |\alpha\overline{(z-w)}| = |z-w|,
\end{align*} para cualesquiera $z, w\in\mathbb{C}$.

Definimos:
\begin{equation*}
\beta : = h(0) \quad \text{y} \quad \alpha:= h(1) – h(0),
\end{equation*} de donde se sigue la unicidad de dichas constantes. Además:
\begin{equation*}
|\alpha|= |h(1) – h(0)| = |1 – 0| = 1.
\end{equation*}

Consideremos a la función:
\begin{equation*}
H(z) : = \frac{h(z) – \beta}{\alpha} = \frac{h(z) – h(0)}{h(1) – h(0)},
\end{equation*} la cual está bien definida desde que $\alpha\neq 0$, pues cualquier isometría del plano en particular es una función inyectiva.

Veamos que $H$ también es una isometría, en particular que dicha función es igual a $z$ ó $\overline{z}$.

Sean $z, w\in\mathbb{C}$, entonces:
\begin{align*}
|H(z) – H(w)| & = \left|\frac{h(z) – \beta}{\alpha} – \frac{h(z) – \beta}{\alpha} \right|\\
& = \frac{|h(z) – h(w)|}{|\alpha|}\\
& = |z-w|.
\end{align*}

Por otra parte, tenemos que:
\begin{align*}
H(0) = \frac{h(0) – h(0)}{h(1) – h(0)} = 0,\\
H(1) = \frac{h(1) – h(0)}{h(1) – h(0)} = 1.
\end{align*}

Dado que $H$ es una isometría que fija a $0$ y a $1$, se sigue que:
\begin{align*}
|H(i)| = |H(i) – H(0)| = |i-0| = 1, \tag{24.9}\\
|H(i)-1| = |H(i) – H(1)| = |i-1| = \sqrt{2}. \tag{24.10}
\end{align*}

Geométricamente, lo anterior nos dice que $H(i)$ está en la intersección de la circunferencia unitaria y la circunferencia de radio $\sqrt{2}$ y centro en $1$, pero en tal intersección únicamente están los puntos $i$ y $-i$, figura 94.

Figura 94: Intersección de las circunferencias $C(0,1)$ y $C(1,\sqrt{2})$.

Es fácil verificar este hecho de manera algebraica elevando al cuadrado las ecuaciones (24.9) y (24.10) y resolviendo el sistema de ecuaciones como en la prueba del lema 24.1, por lo que esta verificación se deja como ejercicio al lector.

Si $H(i)=i$, entonces por el lema 24.1 tenemos que:
\begin{equation*}
H(z) = z \quad \Longrightarrow \quad h(z) = \alpha z + \beta, \quad \forall z\in\mathbb{C}.
\end{equation*}

Si $H(i)=-i$, entonces $\overline{H(z)}$ es una isometría del plano que fija a $0, 1$ e $i$, por lo que, lema 24.1, debe ser la identidad:
\begin{equation*}
\overline{H(z)} = z \quad \Longrightarrow \quad H(z) = \overline{z}, \quad \forall z\in\mathbb{C},
\end{equation*}

de donde:
\begin{equation*}
h(z) = \alpha \overline{z} + \beta.
\end{equation*}

$\blacksquare$

Corolario 24.1.
Toda isometría del plano complejo es una función biyectiva y su inversa es también una isometría.

Demostración. Se deja como ejercicio al lector.

$\blacksquare$

Corolario 24.2.
Una isometría del plano está determinada por sus imágenes en tres puntos no colineales, es decir, si $z_1, z_2, z_3\in\mathbb{C}$ son tres puntos no colineales y $h_1$ y $h_2$ son dos isometrías tales que $h_1(z_i) = h_2(z_i)$, para $i=1,2,3$, entonces $h_1 = h_2$.

Demostración. Se sigue de la observación 24.5 y del corolario 24.1, por lo que los detalles se deja como ejercicio al lector.

$\blacksquare$

Cerraremos esta entrada con la siguiente caracterización de las transformaciones $\mathbb{C}$-lineales.

Observación 24.8.
Sean $\lambda=a_1 + i a_2$, $\mu=b_1 + i b_2$, $z=x + i y$ y $w = u+iv$ números complejos y sea $T:\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ una transformación $\mathbb{R}$-lineal. Por la proposición 24.1 sabemos que $T$ es de la forma:
\begin{align*}
w = T(z) & = \lambda z + \mu \overline{z}\\
& = (a_1+b_1) x – (a_2 – b_2) y + i \left[(a_2 + b_2) x + (a_1-b_1)y\right].
\end{align*}

De lo anterior se sigue que podemos representar a dicha transformación mediante las ecuaciones reales:
\begin{align*}
u = (a_1+b_1) x – (a_2 – b_2) y,\\
v = (a_2 + b_2) x + (a_1-b_1)y.
\end{align*}

Por lo que, geométricamente una transformación $\mathbb{R}$-lineal del plano complejo, es una transformación afín de un plano $\overline{y} = A \overline{x}$ con:
\begin{equation*}
A = \begin{pmatrix}
a_1+b_1 & -(a_2-b_2)\\
a_2+b_2& a_1 – b_1
\end{pmatrix}.
\end{equation*}

El Jacobiano de dicha transformación es:
\begin{equation*}
J = a_1^2 – b_1^2 + a_2^2 -b_2^2 = |\lambda|^2 – |\mu|^2,
\end{equation*} es decir, la transformación es invertible si $|\lambda| \neq |\mu|$. Dicha transformación envía rectas en rectas, rectas paralelas en rectas paralelas y cuadrados en paralelogramos. Además, preserva la orientación cuando $|\lambda|>|\mu|$ y la invierte cuando $|\lambda| < |\mu|$.

Sin embargo, una transformación $\mathbb{C}$-lineal, digamos $T(z) = \lambda z$, puede no invertir la orientación desde que su Jacobiano es:
\begin{equation*}
J = |\lambda|^2 \geq 0.
\end{equation*}

En tal caso, dicha transformación no es invertible si $\lambda=0$. Considerando la interpretación geométrica de la multiplicación de dos números complejos, para $\lambda= |\lambda| e^{i\theta_0}$, tenemos que $T(z) = |\lambda| e^{i\theta_0} z$ es la composición de una homotecia de razón $|\lambda|$ y una rotación alrededor del origen de un ángulo $\theta_0$. Tal transformación preserva ángulos y envía cuadrados en cuadrados.

Considerando lo anterior tenemos la siguiente caracterización de las transformaciones $\mathbb{C}$-lineales.

Proposición 24.7.
Si una transformación $\mathbb{R}$-lineal, digamos $T(z) = \lambda z +\mu \overline{z}$, preserva la orientación y los ángulos entre tres vectores no paralelos $e^{i\theta_1}, e^{i\theta_2}, e^{i\theta_3}\in\mathbb{C}$, con $\theta_k \in\mathbb{R}$ para $k=1,2,3$, entonces $T$ es $\mathbb{C}$-lineal.

La prueba de este resultado, así como de algunos otros resultados de ésta entrada se pueden consultar en el texto Introduction to Complex Analysis – excerpts de B.V.Shabat.

Tarea moral

  1. Realiza la demostración de las proposiciones 24.2 y 24.5.
  2. Completa la demostración de la proposiciones 24.3 y 24.4.
  3. Prueba las observaciones 24.3 y 24.7.
  4. Demuestra los corolarios 24.1 y 24.2.
  5. Sean $z_1, z_2 \in\mathbb{C}$. Supón que una isometría del plano complejo tiene como puntos fijos a $z_1$ y a $z_2$. Demuestra que todo punto $z$ del segmento $[z_1, z_2]$ es un punto fijo de dicha transformación.
  6. Prueba que las siguientes transformaciones son una isometría. En cada caso muestra que cada función se puede ver como la composición de una rotación con una traslación y posiblemente con una reflexión sobre el eje real.
    a) $f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ dada por $f(z) = i \overline{z} + 4 – i$.
    b) $g:\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ dada por $g(z) = -iz+ 1 + 2i$.
    c) $h:\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ dada por $h(z) = -\overline{z} + i$.
  7. Muestra que una traslación del plano complejo es la composición de dos reflexiones respecto dos rectas paralelas, mientras que una rotación en $\mathbb{C}$, alrededor de un punto fijo $z_0 \in\mathbb{C}$, es la composición de dos reflexiones respecto dos rectas que se cortan en $z_0$.
  8. En cada inciso determina una expresión que describa a una reflexión en el plano complejo respecto a la recta dada.
    a) $y=k$ con $k\in\mathbb{R}$ constante.
    b) $x=k$ con $k\in\mathbb{R}$ constante.
    c) $y=mx+b$, con $m, b\in\mathbb{R}$ y $m\neq 0$.
  9. Muestra que las siguientes transformaciones corresponden con una reflexión respecto a la recta dada.
    a) $s_{\mathcal{L}}(z) = \overline{z}+3i$ con $\mathcal{L}: -iz+i\overline{z}-3=0$.
    b) $s_{\mathcal{L}}(z) = \overline{z}+5i$ con $\mathcal{L} : -iz+i\overline{z}-5=0$.
    c) $s_{\mathcal{L}}(z) = -\overline{z}+1$ con $\mathcal{L} : z+\overline{z}-1=0$.
    d) $s_{\mathcal{L}}(z) = \overline{z}+i$ con $\mathcal{L} : -iz+i\overline{z}-1=0$.

Más adelante…

En esta entrada hemos recordado algunos conceptos de Geometría Analítica y Álgebra Lineal relacionados con las transformaciones del plano Euclidiano. Como es de esperarse, las definiciones de estos conceptos para el caso complejo coinciden con las que se dan para $\mathbb{R}^2$. Sin embargo, debe ser claro que a través de las propiedades de los números complejos resulta más sencilla la prueba de los resultados dados en esta entrada.

La siguiente entrada estudiaremos algunas transformaciones del plano complejo muy particulares, llamadas transformaciones de Möbius, mediante las cuales podremos caracterizar la geometría de las funciones complejas.

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Variable Compleja I: Series de potencias. Introducción y criterios de convergencia

Por Pedro Rivera Herrera

Introducción

En esta entrada abordaremos el concepto de serie de potencias, la cual es un tipo particular de serie de números complejos y/o serie de funciones de números complejos, por lo que los resultados de las dos entradas anteriores nos serán de gran utilidad para caracterizar a dichas series.

En general, las series de potencias resultan de gran interés puesto que nos permiten aproximar y definir funciones, en particular a las funciones complejas elementales como lo haremos en las siguientes entradas. Nuestro objetivo en esta entrada es establecer algunos resultados elementales para determinar cuándo y en qué conjuntos estas series convergen.

Definición 29.1. (Serie de Potencias.)
Sean $z_0 \in\mathbb{C}$ y $\{c_n\}_{n\geq 0} \subset \mathbb{C}$ una sucesión de números complejos. Una serie de la forma: \begin{equation*}
\displaystyle \sum_{n=0}^\infty c_n \left(z-z_0\right)^n, \tag{29.1}
\end{equation*} para cada $z\in\mathbb{C}$, es llamada serie de potencias centrada en $z_0$ y los números $c_n\in\mathbb{C}$ son llamados los coeficientes de la serie.

Observación 29.1.
Recordemos que hemos hecho antes la convención $(z-z_0)^0 = 1$ para todo $z-z_0\in\mathbb{C}$.

Considerando lo anterior, podemos pensar a una serie de potencias como una serie de números complejos o como una serie de funciones, por lo que, en cualquiera de los dos casos podemos hablar de los conceptos de convergencia, convergencia absoluta, convergencia puntual y convergencia uniforme establecidos en las entradas anteriores.

Si consideramos a una serie de potencias, dada en (29.1), como una serie de funciones, entonces dicha serie está definida por la sucesión de funciones:
\begin{equation*}
f_0(z) = c_0, \quad f_n(z) = c_n\left(z-z_0\right)^n, \forall n\geq 1.
\end{equation*}

Bajo esta idea, es claro que cada serie de potencias define a una función compleja, de variable $z$, cuyo dominio natural consistirá de todos los $z\in\mathbb{C}$ para los cuales la serie de funciones (29.1) converge. Por tanto, en caso de ser necesario podemos elegir distintos dominios para dicha función, correspondientes con subconjuntos del dominio natural dado por la convergencia de la serie.

Observación 29.2.
Notemos que la serie dada por (29.1) siempre converge en el centro, es decir, si $z=z_0$ entonces para $n \geq 1$ todos los términos de la serie se anulan, mientras que para $n=0$ se obtiene la constante $c_0 \in \mathbb{C}$, por lo que la serie de potencias converge.

Por otra parte, para $z\neq z_0$ la serie de potencias puede converger o diverger, como veremos más adelante.

Si planteamos el cambio de variable:
\begin{equation*}
\zeta = z – z_0, \tag{29.2}
\end{equation*} es claro que $\zeta = 0$ si y solo si $z = z_0$ y $\zeta \neq 0$ si y solo si $z \neq z_0$, entonces la serie de potencias dada en (29.1) toma la forma:
\begin{equation*}
\displaystyle \sum_{n=0}^\infty c_n \zeta^n, \quad \forall \zeta \in\mathbb{C}, \tag{29.3}
\end{equation*} de donde (29.3) converge si $\zeta = 0$, mientras que para $\zeta \neq 0$ la serie puede converger o diverger.

El cambio de variable dado en (29.2) puede simplificar un poco las cuentas, por lo que trabajaremos indistintamente con una serie de potencias de la forma (29.1) ó (29.3), simplemente considerando $z=\zeta$ y a la serie centrada en el origen, es decir, $z_0 = 0$. Para recuperar el caso general bastará con realizar el cambio de variable (29.2).

Ejemplo 29.1.
Veamos que para una serie de potencias, de la forma (29.1) ó (29.3), se cumple alguna de las siguientes condiciones.

  1. La serie converge para todo $z\in\mathbb{C}$ ó $\zeta\in\mathbb{C}$.
  2. La serie converge solo para $z=z_0$ ó $\zeta = 0$.
  3. La serie converge solo para los $z$ ó $\zeta$ en alguna región del plano complejo $\mathbb{C}$.

Solución. Por ahora, para verificar la afirmación basta con dar un ejemplo para cada caso. Más adelante, corolario 29.1, probaremos esta afirmación.

Veamos que cada condición se cumple sin importar si la serie de potencias es de la forma (29.1) ó (29.3).

  1. Consideremos a las series de potencias: \begin{equation*} \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{(z-1+i)^n}{(n!)^2} \quad \text{y} \quad \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{\zeta^n}{n!}. \end{equation*} Para la primera serie tenemos que $z_0 = 1-i$. Es claro que para $z=z_0$ la serie de potencias converge. Supongamos que $z\neq z_0$, entonces: \begin{align*} \lambda = \lim_{n\to \infty} \dfrac{\left|\dfrac{(z-1+i)^{n+1}}{\left[(n+1)!\right]^2}\right|}{\left|\dfrac{(z-1+i)^{n}}{(n!)^2}\right|} & = \lim_{n\to \infty} \left|\dfrac{(z-1+i)^{n+1}(n!)^2}{(z-1+i)^{n}\left[(n+1)!\right]^2} \right|\\ & = \lim_{n\to \infty} \dfrac{\left|z-1+i\right|(n!)^2}{(n+1)^2(n!)^2}\\ & = \lim_{n\to \infty} \dfrac{\left|z-1+i\right|}{(n+1)^2} = 0. \end{align*} Entonces, por el criterio del cociente de D’Alembert, proposición 27.5, para todo $z\neq z_0$ la serie converge absolutamente. Por lo tanto, para todo $z\in\mathbb{C}$ la primera serie de potencias converge.

    Por otra parte, para la segunda serie de potencias, por el ejemplo 27.8, sabemos que la serie es absolutamente convergente para todo $\zeta\in\mathbb{C}$, por lo que la segunda serie de potencias también converge para todo $\zeta\in\mathbb{C}$.
  2. Consideremos a las series de potencias: \begin{equation*} \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n (z-i)^n}{n} \quad \text{y} \quad \displaystyle \sum_{n=0}^\infty n! \zeta^n. \end{equation*} Para la primera serie tenemos que $z_0 = i$, $c_0 = 0$ y $c_n = \dfrac{n^n}{n}$ para $n\geq 1$. Es claro que para $z=z_0$ la serie de potencias converge. Supongamos que $z\neq z_0$, entonces: \begin{equation*} \lambda = \lim_{n\to \infty} \left|\frac{n^n (z-i)^n}{n}\right|^{1/n} = \lim_{n\to \infty} \frac{n \left|z-i\right|}{n^{1/n}} = \infty, \end{equation*} ya que $\lim\limits_{n\to\infty} n = \infty$ y $\lim\limits_{n\to\infty} n^{1/n} = 1$.

    Entonces, por el criterio de la raíz, proposición 27.6, tenemos que la serie diverge para toda $z\neq z_0$. Por lo tanto, la primera serie de potencias converge solo para $z=z_0$.

    Por otra parte, para la segunda serie de potencias es claro que la serie converge si $\zeta=0$. Mientras que para $\zeta \neq 0$ tenemos que: \begin{equation*} \lim_{n \to \infty} n! \zeta^n = \infty, \end{equation*} desde que $\lim\limits_{n\to\infty} n! = \infty$ y $|\zeta^n| \geq r >0$ para toda $n\in\mathbb{N}$, es decir, la sucesión $\{\zeta^n\}_{n\geq 0}$, con $\zeta\neq 0$, está separada de cero, proposición 8.2(5).

    Por lo tanto, la segunda serie solo converge para $\zeta = 0$.
  3. Consideremos a las series de potencias: \begin{equation*} \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (-2)^n \frac{(z+2)^n}{n+1} \quad \text{y} \quad \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \zeta^n. \end{equation*}Para la primera serie tenemos que $z_0 = -2$. Es claro que para $z=z_0$ la serie de potencias converge. Si $z\neq z_0$, tenemos: \begin{align*} \lambda = \lim_{n\to \infty} \dfrac{\left|(-2)^{n+1} \dfrac{(z+2)^{n+1}}{n+2}\right|}{\left|(-2)^n \dfrac{(z+2)^n}{n+1}\right|} & = \lim_{n\to \infty} \left|-2\right| \left|\dfrac{(n+1)(z+2)^{n+1}}{(n+2)(z+2)^{n}}\right|\\ & = \lim_{n\to \infty} \left(2\right) \left|z+2\right| \frac{n+1}{n+2}\\ & = 2 \left|z+2\right|. \end{align*}Entonces, por el criterio del cociente de D’Alembert, proposición 27.5, tenemos que la serie converge si $\lambda = 2 \left|z+2\right| < 1$, es decir, para todo $z\in\mathbb{C}$ tal que $\left|z+2\right| < 1/2$, mientras que la serie diverge si $\left|z+2\right| > 1/2$.

    Por último, para la segunda serie de potencias, por el ejemplo 27.3 sabemos que la serie geométrica es convergente para todo $\zeta\in\mathbb{C}$ tal que $\left|\zeta\right|<1$ y divergente si $\left|\zeta\right|\geq 1$.

Observación 29.3.
Al trabajar con una serie de potencias, ya sea de la forma (29.1) ó (29.3), debemos ser cuidadosos al identificar los coeficientes de la serie, puesto que no siempre están dados de forma explícita y esto puede llegar a causar errores al manipular a las series de potencias y/o al deducir algo relacionado con su convergencia.

Una vez que estemos seguros de que los coeficientes de la serie corresponden con la regla explícita dada en la serie, podemos trabajar con dicha regla para obtener los coeficientes.

Ejemplo 29.2.
Identifiquemos los coeficientes de las siguientes series de potencias.
a) $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2^n} z^{2n}$.
b) $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{z^n}{n}$.
c) $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n z^{n-1}}{n(n+1)}$.

Solución. Es claro que las tres series están centradas en $z_0 = 0$. Procedemos a escribir a las series de potencias de acuerdo con la definición 29.1.

a) Tenemos que:
\begin{equation*}
\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2^n} z^{2n} = \sum_{k=0}^\infty c_k z^{k},
\end{equation*} de donde:
\begin{equation*}
c_k = \left\{ \begin{array}{lc}
\dfrac{(-1)^{n}}{2^n}, & \text{si existe} \,\, n\in\mathbb{N} \,\, \text{tal que} \,\, k = 2n,\\
\\ 0, & \text{en otro caso.}\\
\end{array}
\right.
\end{equation*}

Por lo que:
\begin{equation*}
c_0 = 1, \quad c_1 = 0,\quad c_2 = -\frac{1}{2}, \quad c_3 = 0, \quad \ldots, \quad c_{2n} = \dfrac{(-1)^{n}}{2^n}, \quad c_{2n+1} = 0,
\end{equation*}

es decir:
\begin{equation*}
c_k = \left\{ \begin{array}{lcc}
\dfrac{(-1)^{n}}{2^n}, & \text{si} & k = 2n,\\
\\ 0, & \text{si} & k = 2n+1,\\
\end{array}
\right. \quad \text{con} \,\, n\in\mathbb{N}.
\end{equation*}

b) Tenemos que:
\begin{equation*}
\sum_{n=1}^\infty \frac{z^n}{n} = \sum_{k=0}^\infty c_k z^{k},
\end{equation*} de donde:
\begin{equation*}
c_k = \left\{ \begin{array}{lc}
\dfrac{1}{n}, & \text{si existe} \,\, n\in\mathbb{N} \,\, \text{tal que} \,\, k = n,\\
\\ 0, & \text{en otro caso.}\\
\end{array}
\right.
\end{equation*}

Por lo que:
\begin{equation*}
c_0 = 0, \quad c_1 = 1,\quad c_2 = \frac{1}{2}, \quad c_3 = \frac{1}{3}, \quad \ldots, \quad c_{n} = \dfrac{1}{n},
\end{equation*}es decir:
\begin{equation*}
c_k = \left\{ \begin{array}{lcc}
\dfrac{1}{k}, & \text{si} & k \geq 1,\\
\\ 0, & \text{si} & k = 0.\\
\end{array}
\right.
\end{equation*}

c) Tenemos que:
\begin{equation*}
\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n z^{n-1}}{n(n+1)} = \sum_{k=0}^\infty c_k z^{k},
\end{equation*}de donde:
\begin{equation*}
c_k = \left\{ \begin{array}{lc}
\dfrac{(-1)^{n}}{n(n+1)}, & \text{si existe} \,\, n\in\mathbb{N} \,\, \text{tal que} \,\, k = n-1,\\
\\ 0, & \text{en otro caso.}\\
\end{array}
\right.
\end{equation*}

Por lo que:
\begin{equation*}
c_0 = \dfrac{(-1)^{1}}{1(1+1)} = -\frac{1}{2}, \quad c_1 = \dfrac{(-1)^{2}}{2(2+1)} = \frac{1}{6},\quad c_2 = \dfrac{(-1)^{3}}{3(3+1)} = -\frac{1}{12}, \quad \ldots,
\end{equation*} es decir:
\begin{equation*}
c_k = \dfrac{(-1)^{k+1}}{(k+1)(k+2)}, \quad k\in\mathbb{N}.
\end{equation*}

Nuestra primera tarea es determinar bajo qué condiciones una serie de potencias converge, pues como vimos en el ejemplo 29.1, existen series de potencias que convergen en todo $\mathbb{C}$, en un sólo punto o en alguna región del plano complejo. Es claro que un ejemplo no es una prueba de este hecho, por lo que procedemos a verificarlo de manera formal.

Proposición 29.1. (Lema de Abel.)
Si la serie de potencias $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty c_n z^n$ converge para algún $z=z_0 \neq 0$, entonces la serie converge absolutamente para todo $z\in\mathbb{C}$ tal que $|z| < |z_0|$.

Más aún, si la serie diverge para algún $z=z_1 \neq 0$, entonces la serie diverge para todo $z\in\mathbb{C}$ tal que $|z_1| < |z|$.

Demostración. Dadas las hipótesis, procedemos a verificar la primera parte de la proposición.

Si la serie $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty c_n z_0^n$ converge, con $z_0 \neq 0$, entonces, por el corolario 27.1, se cumple que:
\begin{equation*}
\lim_{n\to\infty} c_n z_0^n = 0,
\end{equation*}

es decir, la sucesión $\{c_n z_0^n\}_{n\geq 0}$ converge a 0, por lo que, proposición 8.1, es una sucesión acotada. Entonces, existe $M>0$ tal que:
\begin{equation*}
|c_n| \, |z_0|^n = |c_n z_0^n| \leq M, \quad \forall n\in\mathbb{N}.
\end{equation*}

Como $z_0\neq 0$, tenemos que:
\begin{equation*}
|c_n| \leq \frac{M}{|z_0|^n}, \quad \forall n\in\mathbb{N},
\end{equation*}

de donde:
\begin{equation*}
|c_n z^n | \leq M \left|\frac{z}{z_0}\right|^n, \quad \forall n\in\mathbb{N}.
\end{equation*}

Si $|z|<|z_0|$, entonces la serie geométrica $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty M \left|\frac{z}{z_0}\right|^n$ es convergente, por lo que, se sigue del criterio de comparación, proposición 27.4, que la serie $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty c_n z^n$ es absolutamente convergente.

Por último, para la segunda parte procedemos por reducción al absurdo. Supongamos que $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty c_n z_1^n$ diverge. Si $|z_1| < |z|$ y la serie $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty c_n z^n$ converge, entonces de la primera parte se sigue que $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty c_n z_1^n$ converge, lo cual claramente es una contradicción. Por lo tanto $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty c_n z^n$ diverge si $|z|>|z_1|$.

$\blacksquare$

El lema de Abel es de suma importancia para poder establecer el siguiente resultado, el cual será un parteaguas para los resultados de esta entrada.

Proposición 29.2. (Radio de convergencia.)
Sea $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty c_n (z-z_0)^n$ una serie de potencias, entonces existe un número $R\in[0,\infty]$ tal que:

  1. la serie es absolutamente convergente si $|z-z_0| < R$;
  2. la serie converge absoluta y uniformemente en todo disco cerrado $\overline{B}(z_0, r)$, con $r$ fijo tal que $r<R$;
  3. si $|z-z_0| > R$ la serie diverge.

Demostración. Sea $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty c_n (z-z_0)^n$ una serie de potencias, definimos:
\begin{equation*}
S:= \left\{\rho \in [0, \infty) : \sum_{n=0}^\infty c_n \rho^n \,\, \text{converge}\right\}.
\end{equation*}

Notemos que $S \neq \emptyset$ desde que $0\in S$.

Afirmamos que el número $R$ que cumple lo anterior está dado por $ R:= \sup S$.

  1. De acuerdo con el enunciado de la proposición, debe ser claro que podemos tener dos casos extremos: si $R = 0$ ó si $R = \infty$, los cuales están dados por la definición de $R$ como sigue.

    Si $S$ no es acotado superiormente, adoptamos la convención $R = \infty$. Veamos que en tal caso, la serie $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty c_n (z-z_0)^n$ converge absoluta y uniformemente en $\overline{B}(z_0, r)$, para cualquier $r\geq 0$.

    Si elegimos a $\rho\in S$ tal que $|z-z_0| \leq r <\rho$, entonces la serie $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty c_n \rho^n$ es convergente y de la proposición 27.4(1) tenemos que la serie $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty c_n r^n$ es absolutamente convergente. Dado que: \begin{equation*}|c_n(z-z_0)^n| \leq |c_n r^n| = |c_n| r^n, \quad \forall n\in\mathbb{N}, \end{equation*} entonces del criterio $M$ de Weierstrass, proposición 28.3, se sigue que la serie $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty c_n (z-z_0)^n$ converge absoluta y uniformemente en $\overline{B}(z_0, r)$. Como $r$ es arbitario, entonces tenemos el caso $R=\infty$.

    Supongamos que $S$ es acotado superiormente. Si $R=0$, entonces la serie solo converge si $z=z_0$, por lo que, lema de Abel, la serie converge absolutamente solo en el centro.

    Si $R>0$ y $|z-z_0|<R$, entonces, por la definición de $R$, existe $r\in S$ tal que: \begin{equation*}|z-z_0| < r \leq R. \end{equation*}Dado que $r\in S$, entones la serie $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty c_n r^n$ es convergente. Notemos que la serie $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty c_n (z-z_0)^n$ converge para $z = r+z_0$, por lo que, lema de Abel, la serie converge absolutamente para $|z-z_0| < r \leq R$, lo cual completa el caso $|z-z_0| < R$.
  2. Sea $z \in \overline{B}(z_0, r)$, con $r$ fijo tal que $r<R$, entonces, por la definición de $R$, podemos elegir $\rho \in S$ tal que $r<\rho \leq R$. Como la serie $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty c_n \rho^n$ converge, entonces, proposición 27.4(1), la serie $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty |c_n| r^n$ converge, por lo que, criterio $M$ de Weierstrass, la serie $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty c_n (z-z_0)^n$ es absoluta y uniformemente convergente en $\overline{B}(z_0, r)$.
  3. Supongamos que $|z-z_0| > R$, entonces, por la definición de $R$, existe $r\not\in S$ tal que: \begin{equation*} R \leq r < |z-z_0|. \end{equation*} Como la serie $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty c_n r^n$ diverge, entonces la serie $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty c_n (z-z_0)^n$ diverge para $z=z_0+r$, por lo que, por lema de Abel, la serie diverge para todo $z\in\mathbb{C}$ tal que $R \leq r < |z-z_0|$.

$\blacksquare$

Definición 29.2. (Radio de convergencia.)
Se llama radio de convergencia de la serie de potencias $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty c_n (z-z_0)^n$ al número $R$ dado en la proposición 29.2.

Al conjunto $B(z_0, R) = \{z\in\mathbb{C} : |z-z_0| < R\}$ se le llama su disco de convergencia asociado, figura 108. En algunos textos suele hablarse del círculo de convergencia de la serie, el cual se asocia al conjunto $\overline{B}(z_0, R) = \{z\in\mathbb{C} : |z-z_0| \leq R\}$, ya que geométricamente corresponde con el interior y la frontera de una circunferencia de radio $R$ centrada en $z_0$.

Observación 29.4.
Notemos que la proposición no nos dice nada sobre la convergencia o divergencia de la serie para el caso en que $R=|z-z_0|$. Como veremos en la proposición 29.3, no podemos afirmar nada sobre tal caso.

La proposición 29.2 nos da la prueba de la afirmación hecha en el ejemplo 29.1.

Corolario 29.1.
Sea $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty c_n\left(z-z_0\right)^n$ una serie de potencias y sea $R$ su radio de convergencia. Entonces:

  1. Si $R=\infty$, la serie converge absolutamente para todo $z\in\mathbb{C}$.
  2. Si $R=0$, la serie converge solo para $z=z_0$.
  3. Si $0<R<\infty$, la serie converge solo para los $z\in\mathbb{C}$ tales que $|z-z_0|<R$ y diverge para $|z-z_0|>R$.

Demostración. Es inmediato de la proposición 29.2.

Ejemplo 29.3.
Analicemos la siguiente serie y determinemos su radio de convergencia.
\begin{equation*}
\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2^n} z^{2n} = 1 – \frac{z^2}{2} + \frac{z^4}{2^2} – \frac{z^6}{2^3} + \ldots .
\end{equation*}

Solución. Por el ejemplo 29.2 sabemos que se trata de una serie de potencias con centro en $z_0 = 0$ y coeficientes:
\begin{equation*}
c_k = \left\{ \begin{array}{lcc}
\dfrac{(-1)^{n}}{2^n}, & \text{si} & k = 2n,\\
\\ 0, & \text{si} & k = 2n+1,\\
\end{array}
\right. \quad \text{con} \,\, n\in\mathbb{N}.
\end{equation*}

Notemos que si hacemos $w = \dfrac{-z^2}{2}$ entonces:
\begin{equation*}
\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2^n} z^{2n} = \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{-z^2}{2}\right)^n = \sum_{n=0}^\infty w^n.
\end{equation*}

Entonces, tenemos una serie geométrica convergente si $|w|<1$, es decir, si $|z^2| < 2$. En tal caso la serie converge a:
\begin{equation*}
\frac{1}{1-w} = \frac{2}{2-z^2}.
\end{equation*}

Para esta serie es claro que su radio de convergencia es $R = \sqrt{2}$.

En general, obtener el radio de convergencia de una serie de potencias no es una tarea fácil, el ejemplo anterior resultó sencillo pues conocemos bien a la serie geométrica, pero en general las series de potencias pueden resultar más complejas. Por ello, procedemos a establecer una serie de resultados que nos permitan determinar el radio de convergencia de una serie de potencias a través de la sucesión de números complejos $\{c_n\}_{n\geq 0}$, correspondiente con los coeficientes de la serie.

Primeramente, recordemos los siguientes conceptos y resultados estudiados y probados en nuestros cursos de Cálculo y/o Análisis.

Definición 29.3.
Sea $\{a_n\}_{n\geq0}\subset\mathbb{R}$ una sucesión de números reales acotada. Se define:
\begin{align*}
l_{0} = \sup \{ a_n : n\geq 0\} & = \sup \{a_0 , a_1,\ldots, a_n ,\ldots\},\\
l_{1} = \sup \{ a_n : n\geq 1\} &= \sup \{a_1 , a_2,\ldots, a_n ,\ldots\},\\
l_{2} = \sup \{ a_n : n\geq 2\} &= \sup \{a_2 , a_3,\ldots, a_n ,\ldots\},\\
& \,\,\, \vdots\\
l_{k} = \sup \{ a_n : n\geq k\} &= \sup \{ a_k , a_{k+1},\ldots, a_n ,\ldots\}.
\end{align*}

Es claro que:
\begin{equation*}
\{ a_n : n\geq k+1\} \subset \{ a_n : n\geq k\}, \quad \forall k\in\mathbb{N},
\end{equation*}

por lo que:
\begin{equation*}
l_{k+1} = \sup \{ a_n : n\geq k+1\} \leq l_{k} = \sup \{ a_n : n\geq k\},
\end{equation*}

es decir, la sucesión $\{ l_{k}\}_{k\geq0}$ es decreciente.

Dado que $\{a_n\}_{n\geq0}$ es acotada, entonces existe $M>0$ tal que $|a_n| \leq M$ para todo $n\in\mathbb{N}$, es decir:
\begin{equation*}
– M \leq a_n \leq M, \quad \forall n\in\mathbb{N},
\end{equation*}

de donde:
\begin{equation*}
– M \leq l_k \leq M, \quad \forall k\in\mathbb{N},
\end{equation*} es decir, la sucesión $\{ l_{k}\}_{k\geq0}$ también es acotada.

Por lo tanto, se sigue del teorema de la convergencia monótona para sucesiones, teorema 27.1, que la sucesión $\{ l_{k}\}_{k\geq0}$ converge.

Si la sucesión $\{a_n\}_{n\geq0}$ no es acotada superiormente, tenemos que $l_k = \infty$ para todo $k\in\mathbb{N}$, en tal caso se define:
\begin{equation*}
\lim_{k \to \infty} l_k = \infty. \tag{29.4}
\end{equation*}

Análogamente, se define a la sucesión:
\begin{equation*}
m_k = \inf \{a_n : n\geq k\}, \quad k\in\mathbb{N}.
\end{equation*}

Claramente $m_k \leq m_{k+1}$ para todo $k\in\mathbb{N}$ y $\{m_k\}_{k\geq 0}$ es acotada, entonces, teorema 27.1, la sucesión $\{m_k\}_{k\geq 0}$ converge.

Si la sucesión $\{a_n\}_{n\geq0}$ no es acotada inferiormente, tenemos que $m_k = -\infty$ para todo $k\in\mathbb{N}$, en tal caso se define:
\begin{equation*}
\lim_{k \to \infty} m_k = -\infty. \tag{29.5}
\end{equation*}

Definición 29.4. (Límite superior e inferior de una sucesión.)
Sea $\{a_n\}_{n\geq0}\subset\mathbb{R}$ una sucesión de números reales arbitraria. Considerando a las sucesiones $\{l_k\}_{k\geq 0}$ y $\{m_k\}_{k\geq 0}$, dadas como en la definición 29.3, se define el límite inferior y superior de $\{a_n\}_{n\geq0}$, respectivamente, como:
\begin{align*}
\lim_{k\to\infty} m_k & = \lim_{k\to\infty} \inf\{a_n : n\geq k\},\\
\lim_{k\to\infty} l_k & = \lim_{k\to\infty} \sup\{a_n : n\geq k\},
\end{align*}

a los cuales se denota, respectivamente, como:
\begin{align*}
\liminf_{n\to\infty} a_n = \lim_{k\to\infty} m_k,\\
\limsup_{n\to\infty} a_n = \lim_{k\to\infty} l_k.
\end{align*}

Observación 29.5.
Dado que una sucesión monótona (acotada) siempre tiene límite, entonces si permitimos que se cumplan (29.4) y (29.5), es claro que $ \lim\limits_{k\to\infty} m_k$ y $\lim\limits_{k\to\infty} l_k$ siempre existen y por tanto los límites inferior y superior de una sucesión arbitraria de números reales $\{a_n\}_{n\geq0}$ siempre existen.

Más aún, de acuerdo con las definiciones 29.3 y 29.4 es claro que se cumple:
\begin{align*}
m_0 &\leq m_1 \leq \cdots \leq m_k \leq \cdots,\\
\cdots &\leq l_k \leq \cdots \leq l_1 \leq l_0,
\end{align*} y $m_i \leq l_j$, por lo que:
\begin{equation*}
\liminf_{n\to\infty} a_n \leq \limsup_{n\to\infty} a_n.
\end{equation*}

Observación 29.6.
Dada una sucesión arbitraria de números reales $\{a_n\}_{n\geq0}$, de acuerdo con la definición 7.7 de la entrada 7, tenemos que $\liminf\limits_{n\to\infty} a_n$ y $\limsup\limits_{n\to\infty} a_n$ corresponden, respectivamente, con el menor y mayor punto de acumulación del conjunto $\{a_n : n\in\mathbb{N}\}$.

Es importante notar que $\liminf\limits_{n\to\infty} a_n$ y $\limsup\limits_{n\to\infty} a_n$ no son necesariamente, el valor más pequeño o más grande, respectivamente, del conjunto $\{a_n : n\in\mathbb{N}\}$.

Ejemplo 29.4.
a) Para la sucesión $\{(-1)^n\}_{n\geq 0} = \{1, -1, 1, -1, \ldots\}$ tenemos que:
\begin{equation*}
\sup\{(-1)^n : n\geq k\} = 1 \quad \text{e} \quad \inf\{(-1)^n : n\geq k\} = -1 \quad \forall k\in\mathbb{N},
\end{equation*}

por lo que:
\begin{equation*}
\liminf_{n\to\infty} (-1)^n = -1 \quad \text{y} \quad \limsup_{n\to\infty} (-1)^n = 1.
\end{equation*}

b) Para la sucesión $\{(-1)^n n\}_{n\geq 0} = \{0, -1, 2, -3, \ldots\}$ tenemos que:
\begin{equation*}
\sup\{(-1)^n n : n\geq k\} = \infty \quad \text{e} \quad \inf\{(-1)^n n : n\geq k\} = -\infty \quad \forall k\in\mathbb{N},
\end{equation*}

por lo que:
\begin{equation*}
\liminf_{n\to\infty} (-1)^n n = -\infty \quad \text{y} \quad \limsup_{n\to\infty} (-1)^n n = \infty.
\end{equation*}

c) Para la sucesión $\left\{\dfrac{1}{n}\right\}_{n\geq 1} = \left\{1, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, \ldots\right\}$ tenemos que:
\begin{equation*}
\sup\left\{\frac{1}{n} : n\geq k\right\} = \frac{1}{k} \quad \text{e} \quad \inf\left\{\frac{1}{n} : n\geq k\right\} = 0, \quad \forall k\in\mathbb{N},
\end{equation*}por lo que:\begin{equation*}
\liminf_{n\to\infty} \dfrac{1}{n} = 0 = \limsup_{n\to\infty} \dfrac{1}{n},
\end{equation*}

aún cuando cada término de la sucesión es más mayor que $0$.

Teorema 29.1.
Una sucesión de números reales $\{a_n\}_{n\geq 0} \subset\mathbb{R}$ converge si y solo si $ \liminf\limits_{n\to\infty} a_n$ y $ \limsup\limits_{n\to\infty} a_n$, existen, son finitos y son iguales. En tal caso:
\begin{equation*}
\liminf\limits_{n\to\infty} a_n = \limsup\limits_{n\to\infty} a_n = \lim\limits_{n\to\infty} a_n.
\end{equation*}

Teorema 29.2.
Una sucesión $\{a_n\}_{n\geq 0} \subset\mathbb{R}$ converge a $L\in\mathbb{R}$ si y solo si toda subsucesión de $\{a_n\}_{n\geq 0}$ converge a $L$.

Lema 29.1.
Una sucesión $\{a_n\}_{n\geq 0} \subset\mathbb{R}$ converge a $L\in\mathbb{R}$ si y solo si las subsucesiones $\{a_{2n}\}_{n\geq 0}$ y $\{a_{2n+1}\}_{n\geq 0}$ convergen ambas a $L$.

Demostración. Dadas las hipótesis.

$\Rightarrow)$ Si $\lim\limits_{n\to\infty} a_n = L$, entonces, por el teorema 29.2, ambas subsucesiones $\{a_{2n}\}_{n\geq 0}$ y $\{a_{2n+1}\}_{n\geq 0}$ convergen a $L$.

$(\Leftarrow$ Supongamos que ambas subsucesiones $\{a_{2n}\}_{n\geq 0}$ y $\{a_{2n+1}\}_{n\geq 0}$ convergen a $L$. Sea $\varepsilon>0$, entonces existen $N_1, N_2\in\mathbb{N}$ tales que:
\begin{align*}
\left|a_{2n} – L \right| & <\varepsilon, \quad \text{para todo} \,\,\, n\geq N_1,\\
\left|a_{2n+1} – L \right| & < \varepsilon, \quad \text{para todo} \,\,\, n\geq N_2.
\end{align*}

Sea $N=\max\{2N_1, 2N_2 +1 \}$. Para $n \geq N $, tenemos que $n \geq 2N_1$ y $n \geq 2N_2+1$.

Si $n = 2k$, para algún $k\in\mathbb{N}$, y $n \geq N$, entonces $k \geq N_1$, por lo que:
\begin{equation*}
|a_n – L| = |a_{2k} – L| < \varepsilon.
\end{equation*}

Análogamente, si $n = 2k+1$, para algún $k\in\mathbb{N}$, y $n \geq N$, entonces $k \geq N_2$, por lo que:
\begin{equation*}
|a_{n} – L| = |a_{2k+1} – L| < \varepsilon.
\end{equation*}

De ambos casos concluimos que, dado $\varepsilon>0$ existe $N\in\mathbb{N}$, tal que si $n\geq N$, entonces $ |a_{n} – L| < \varepsilon$.

$\blacksquare$

Ejemplo 29.5.
a) Para la sucesión $\left\{a_n\right\}_{n\geq 1}$, con $a_n = \dfrac{(-1)^n +n}{n}$, tenemos que:
\begin{equation*}
a_{2n} = \dfrac{(-1)^{2n} +2n}{2n} = 1 + \frac{1}{2n} \quad \Longrightarrow \quad \lim_{n\to\infty} a_{2n} = 1,
\end{equation*}

\begin{equation*}
a_{2n+1} = \dfrac{(-1)^{2n+1} +(2n+1)}{2n+1} = 1 – \frac{1}{2n+1} \quad \Longrightarrow \quad \lim_{n\to\infty} a_{2n+1} = 1,
\end{equation*}

por lo que, del lema 29.1 y el teorema 29.1 se sigue que:
\begin{equation*}
\lim_{n\to\infty} a_{n} = 1 = \limsup_{n\to\infty} a_{n} = \liminf_{n\to\infty} a_{n}.
\end{equation*}

Figura 106: Gráfica de puntos de la sucesión $\{a_n\}_{n\geq 1}$.

Consideremos a la sucesión $\{b_n\}_{n\geq 1}$ dada por:
\begin{equation*}
b_n = \left\{ \begin{array}{lcc}
\dfrac{n}{n+1} & \text{si} & n=2k, \\
\\ \dfrac{1}{n+1} & \text{si} & n=2k+1,
\end{array}
\right. \quad k\in\mathbb{N}^{+}.
\end{equation*}

Tenemos que:
\begin{equation*}
\{b_n\}_{n\geq 1} = \left\{\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{1}{4}, \frac{4}{5}, \frac{1}{6}, \ldots\right\}.
\end{equation*}

Notemos que para dicha sucesión, los puntos $1$ y $0$ son de acumulación del conjunto $\{b_n : n\in\mathbb{N}^{+}\}$, proposición 8.6, ya que existen las subsucesiones $\left\{b_{2k}\right\}_{k\geq 1}$ y $\left\{b_{2k+1}\right\}_{k\geq 1}$ de la sucesión original tales que $1\neq b_{2k}$ y $0\neq b_{2k+1}$ para todo $k\in\mathbb{N}^{+}$ y se cumple que:
\begin{equation*}
b_{2k} = \dfrac{2k}{2k+1} \quad \Longrightarrow \quad \lim_{k\to\infty} b_{2k} = 1,
\end{equation*}
\begin{equation*}
b_{2k+1} = \dfrac{1}{2k+1} \quad \Longrightarrow \quad \lim_{k\to\infty} b_{2k+1} = 0.
\end{equation*}

Más aún, es claro que la sucesión está acotada superiormente e inferiormente por $1$ y $0$, respectivamente, por lo que:
\begin{equation*}
\limsup_{n\to\infty} b_n = 1 \quad \text{y} \quad \liminf_{n\to\infty} b_n = 0.
\end{equation*}

De acuerdo con el teorema 29.1, tenemos que la sucesión no converge ya que estos límites son distintos.

Figura 107: Gráfica de puntos de la sucesión $\{b_n\}_{n\geq 1}$.

Teorema 29.3.
Sea $\{a_n\}_{n\geq 1} \subset\mathbb{R}$ una sucesión de números reales positivos, entonces:
\begin{equation*}
\liminf_{n\to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \leq \liminf_{n\to \infty} a_{n}^{1/n} \leq \limsup_{n\to \infty} a_{n}^{1/n} \leq \limsup_{n\to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}. \tag{29.6}
\end{equation*}

Corolario 29.2.
Si $\{a_n\}_{n\geq 1} \subset\mathbb{R}$ es una sucesión de números reales positivos tales que $\lim_{n\to \infty} \dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}$ existe, entonces las cuatro cantidades dadas en (29.6) son iguales, por lo que:
\begin{equation*}
\lim_{n\to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \lim_{n\to \infty} a_{n}^{1/n}.
\end{equation*}

Observación 29.7.
Puede suceder que la sucesión $\left\{\sqrt[n]{a_{n}}\right\}_{n\geq 1}$ sea convergente, pero que la sucesión $\left\{\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right\}_{n\geq 1}$ sea divergente.

Ejemplo 29.6.
Sea $\{a_n\}_{n\geq 1}$ dada por:
\begin{equation*}
a_{2n} = a_{2n-1} = \frac{1}{2^n}, \quad n\in\mathbb{N}^+,
\end{equation*}

es decir:
\begin{equation*}
\{a_n\}_{n\geq 1} = \left\{ \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{8}, \ldots , \frac{1}{2^n}, \frac{1}{2^n}, \ldots\right\}.
\end{equation*}

Tenemos que:
\begin{equation*}
\sqrt[2n]{a_{2n}} = \left(\frac{1}{2^n}\right)^{1/2n} = \frac{1}{\sqrt{2}} \quad \Longrightarrow \quad \lim_{n\to\infty} \sqrt[2n]{a_{2n}} = \frac{1}{\sqrt{2}},
\end{equation*}
\begin{equation*}
\sqrt[2n-1]{a_{2n-1}} = \left(\frac{1}{2^n}\right)^{\frac{1}{2n-1}} = \frac{1}{2^{\frac{n}{2n-1}}} \quad \Longrightarrow \quad \lim_{n\to\infty} \sqrt[2n-1]{a_{2n-1}} = \frac{1}{\sqrt{2}}.
\end{equation*}

Entonces, por el lema 29.1, tenemos que:
\begin{equation*}
\lim_{n\to\infty} a_n = \frac{1}{\sqrt{2}},
\end{equation*} es decir, la sucesión $\left\{\sqrt[n]{a_{n}}\right\}_{n\geq 1}$ converge.

Por otra parte, notemos que:
\begin{equation*}
\frac{a_{2n}}{a_{2n-1}} =\dfrac{\dfrac{1}{2^n}}{\dfrac{1}{2^n}} = 1 \quad \Longrightarrow \quad \lim_{n\to\infty} \frac{a_{2n}}{a_{2n-1}} = 1,
\end{equation*}
\begin{equation*}
\frac{a_{2n+1}}{a_{2n}} =\dfrac{\dfrac{1}{2^{n+1}}}{\dfrac{1}{2^n}} = \frac{1}{2} \quad \Longrightarrow \quad \lim_{n\to\infty} \frac{a_{2n+1}}{a_{2n}} = \frac{1}{2},
\end{equation*} por lo tanto, del lema 29.1 se sigue que $\left\{\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right\}_{n\geq 1}$ no converge.

Puede consultarse la prueba de estos resultados en alguno de los siguientes textos:

  • Elementary Analysis: The Theory of Calculus de Kenneth A. Ross.
  • An Introduction to Analysis de William R. Wade.

Una vez recordados estos resultados, procedemos a establecer el resultado esperado para poder determinar el radio de convergencia a través de la sucesión de números complejos dada por los coeficientes de una serie de potencias.

Proposición 29.3. (Fórmula de Cauchy-Hadamard para el radio de convergencia.)
Sea $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty c_n\left(z-z_0\right)^n$ una serie de potencias y sea $\lambda = \limsup\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{|c_n|}$. Definimos a $R\in[0,\infty]$ como el radio de convergencia de la serie dado por $R = 1/\lambda$, con la definición de $R = 0$ si $\lambda=\infty$ y $R = \infty$ si $\lambda=0$. Entonces:

  1. Si $R=\infty$, la serie converge absolutamente para todo $z\in \mathbb{C}$.
  2. Si $R=0$, la serie solo converge para $z=z_0$.
  3. Si $0<r<R<\infty$ entonces la serie es absolutamente convergente para $|z-z_0|< R$ y uniformemente convergente en $\overline{B}(z_0, r)$. La serie diverge si $|z-z_0|> R$ y no podemos afirmar nada para $|z-z_0|=R$.

Demostración. Dadas las hipótesis.

  1. Si $R=\infty$, entonces tenemos que $\lambda = \limsup\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{|c_n|} = 0$. Notemos que para todo $z\in \mathbb{C}$ se cumple: \begin{equation*} \limsup\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{|c_n(z-z_0)^n|} = |z-z_0| \limsup\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{|c_n|} = |z-z_0| \lambda = 0. \end{equation*} Dado que la sucesión $\left\{\sqrt[n]{|c_n(z-z_0)^n|}\right\}_{n\geq1}$ es una sucesión de números reales no negativos, entonces: \begin{equation*} 0\leq \liminf\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{|c_n(z-z_0)^n|} \leq \limsup\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{|c_n(z-z_0)^n|} = 0, \end{equation*} es decir: \begin{equation*} \liminf\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{|c_n(z-z_0)^n|} = \limsup\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{|c_n(z-z_0)^n|} = 0. \end{equation*} Considerando lo anterior, por el teorema teorema 29.1, tenemos que: \begin{equation*} \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|c_n(z-z_0)^n|} = 0 < 1, \end{equation*} por lo que, se sigue del criterio de la raíz, proposición 27.6, que la serie $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty c_n\left(z-z_0\right)^n$ es absolutamente convergente para todo $z\in\mathbb{C}$.
  2. Si $R=0$, entonces tenemos que $\lambda = \limsup\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{|c_n|} = \infty$. Es claro que para $z = z_0$ la serie converge: \begin{equation*} \sum_{n=0}^\infty c_n(z-z_0)^n = \sum_{n=0}^\infty c_n(z_0-z_0)^n = c_0. \end{equation*} Veamos que la serie no puede converger en ningún otro punto. Procedamos por contradicción, supongamos que la serie converge para $z=a\neq z_0$, entonces, corolario 27.1, se cumple que: \begin{equation*} \lim_{n\to\infty} c_n(a-z_0)^n = 0, \end{equation*} lo cual es equivalente, considerando el ejercicio 6 de la entrada 8, a que: \begin{equation*} \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|c_n|}|a-z_0| = 0, \end{equation*} es decir, para todo $\varepsilon>0$ existe $N\in\mathbb{N}$ tal que si $n\geq N$, entonces: \begin{equation*} \sqrt[n]{|c_n|}|a-z_0| = |\sqrt[n]{|c_n|}|a-z_0|| <\varepsilon, \end{equation*} por lo que: \begin{equation*} \sqrt[n]{|c_n|} < \frac{\varepsilon}{|a-z_0|}, \quad \forall n \geq N, \end{equation*} de donde, teorema 29.1:\begin{equation*} \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|c_n|} = \limsup_{n \to \infty } \sqrt[n]{|c_n|}= \lambda < \infty, \end{equation*} lo cual contradice nuestro supuesto de que $\lambda = \infty$. Por lo que, la serie solo converge para $z=z_0$.
  3. Supongamos que $|z-z_0|< R$. De acuerdo con la definición 29.3: \begin{equation*} \lambda = \limsup\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{|c_n|} = \lim_{k\to\infty} \sup\left\{\sqrt[n]{|c_n|} : n\geq k\right\}, \end{equation*} por lo que, de la definición del límite tenemos que para todo $\varepsilon>0$ existe $N\in\mathbb{N}$ tal que si $k\geq N$, entonces:\begin{equation*} \left| \sup\left\{\sqrt[n]{|c_n|} : n\geq k\right\} – \lambda\right| <\varepsilon \quad \Longleftrightarrow \quad – \varepsilon + \lambda < \sup\left\{\sqrt[n]{|c_n|} : n\geq k\right\} <\varepsilon + \lambda, \end{equation*} de donde: \begin{equation*} -\varepsilon + \lambda < \sqrt[n]{|c_n|} < \varepsilon + \lambda, \quad \forall n\geq N. \end{equation*} Sea $\rho = \dfrac{|z-z_0| + R}{2}>0$, entonces $|z-z_0| < \rho < R$. Tenemos que: \begin{equation*} 0< \rho < R = \dfrac{1}{\lambda} \quad \Longrightarrow \quad \lambda < \frac{1}{\rho}, \end{equation*} por lo que, para $\varepsilon = \dfrac{1}{\rho} – \lambda >0$ existe $N\in\mathbb{N}$ tal que:
    \begin{equation*} \sqrt[n]{|c_n|} < \frac{1}{\rho} – \lambda + \lambda, \quad \forall n\geq N, \end{equation*} es decir: \begin{equation*}|c_n| < \frac{1}{\rho^n}, \quad \forall n\geq N. \end{equation*} De lo anterior se sigue que: \begin{equation*}|c_n(z-z_0)^n| = |c_n| |z-z_0|^n < \left(\frac{|z-z_0|}{\rho}\right)^n, \quad \forall n\geq N. \end{equation*} Dado que $|z-z_0| < \rho$, entonces la serie geométrica: \begin{equation*} \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{|z-z_0|}{\rho}\right)^n, \end{equation*} es convergente. Por tanto, del criterio de comparación, proposición 27.4, se sigue que la serie: \begin{equation*} \sum_{n=0}^\infty c_n(z-z_0)^n, \end{equation*} es absolutamente convergente para todo $z\in\mathbb{C}$ tal que $|z-z_0|< R$.

    Supongamos que $0<r<R$. Sea $\rho = \dfrac{r+R}{2}>0$, entonces $r< \rho < R =\dfrac{1}{\lambda}$, por lo que $\lambda < \dfrac{1}{\rho}$. Entonces, para $\varepsilon = \dfrac{1}{\rho} – \lambda >0$ existe $N\in\mathbb{N}$ tal que:\begin{equation*}|c_n| < \frac{1}{\rho^n}, \quad \forall n\geq N. \end{equation*} Como $r < \rho$, tenemos que la serie geométrica es convergente:\begin{equation*} \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{r}{\rho}\right)^n. \end{equation*} Si $|z-z_0| \leq r$, de lo anterior se sigue que:\begin{equation*}|c_n(z-z_0)^n| = |c_n| |z-z_0|^n \leq \left(\frac{r}{\rho}\right)^n, \quad \forall n\geq N, \end{equation*} por lo que, se sigue del criterio $M$ de Weierstrass, proposición 28.3, que la serie: \begin{equation*} \sum_{n=0}^\infty c_n(z-z_0)^n, \end{equation*} es absoluta y uniformemente convergente en $\overline{B}(z_0, r)$, para $0<r<R$.

    Supongamos ahora que $|z-z_0|> R$. Sea $r=\dfrac{|z-z_0|+ R}{2}>0$ tal que $R< r < |z-z_0|$, de donde $\dfrac{1}{r}<\dfrac{1}{R} = \lambda$. Entonces, para $\varepsilon=\lambda – \dfrac{1}{r} >0$ existe $N\in\mathbb{N}$ tal que:\begin{equation*}\frac{1}{r} = -\varepsilon + \lambda < \sqrt[n]{|c_n|}, \quad \forall n\geq N, \end{equation*} de donde: \begin{equation*} \left(\frac{|z-z_0|}{r}\right)^n < |c_n| |z-z_0|^n = |c_n (z-z_0)^n|, \quad \forall n\geq N. \end{equation*} Como $0 < r < |z-z_0|$, entonces la serie geométrica:\begin{equation*} \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{|z-z_0|}{r}\right)^n, \end{equation*} es divergente. Por el criterio de comparación, proposición 27.4, concluimos que la serie de potencias diverge.

    Por último, consideremos a la serie de potencias: \begin{equation*}\sum_{n=1}^\infty \frac{z^n}{n}.\end{equation*} Es claro que dicha serie está centrada en $z_0 = 0$ y del ejemplo 29.2(b) tenemos que:\begin{equation*}c_n = \left\{ \begin{array}{lcc}\dfrac{1}{n}, & \text{si} & n \geq 1,\\ \\ 0, & \text{si} & n = 0.\\ \end{array} \right. \end{equation*} Dado que: \begin{equation*} \sup\left\{\sqrt[n]{|c_n|} : n\geq k\right\} = \left(\frac{1}{k}\right)^{1/k}, \quad \forall k \geq 1, \end{equation*} entonces:\begin{equation*} \lambda = \limsup\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{|c_n|} = \lim\limits_{k\to\infty} \left(\frac{1}{k}\right)^{1/k} = 1.\end{equation*} Notemos que, para $z=1$ tenemos que $|z-z_0| = 1 = R = \dfrac{1}{\lambda}$ y en ese caso tenemos a la serie armónica: \begin{equation*} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}, \end{equation*} la cual diverge.

    Mientras que, para $z=-1$ tenemos que $|z-z_0| = 1 = R = \dfrac{1}{\lambda}$ y la serie es convergente:\begin{equation*}\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n}. \end{equation*} Por lo tanto, no podemos afirmar nada para el caso $|z-z_0|=R$.

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Considernado lo anterior, podemos dar de manera equivalente la siguiente:

Definición 29.5. (Radio de convergencia.)
Sea $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty c_n\left(z-z_0\right)^n$ una serie de potencias y sea $\lambda = \limsup\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{|c_n|}$. Entonces definimos a $R \in[0,\infty]$ como el radio de convergencia de la serie de potencias, dado por:

  1. $R = \infty$ si $\lambda = 0$.
  2. $R = 0$ si $\lambda = \infty$.
  3. $R = 1/\lambda$ si $0< \lambda < \infty$.
Figura 108: Disco de convergencia $B(z_0, R)$, de una serie de potencias $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty c_n\left(z-z_0\right)^{n}$.

Definición 29.6. (Dominio de convergencia.)
Sea $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty c_n\left(z-z_0\right)^n$ una serie de potencias. El conjunto de valores de $z\in\mathbb{C}$ para los cuales la serie de potencias converge es llamado su dominio de convergencia.

Ejemplo 29.7.
Determinemos el radio de convergencia de las siguientes series de potencias y veamos dónde la convergencia es uniforme.
a) $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty c_n z^n = 1 + 4z + 5^2 z^2 + 4^3 z^3 + 5^4 z^4 + 4^5 z^5 + \cdots$.
b) $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \dfrac{(z-1+i)^n}{(2-i)^n}$.
c) $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty z^{n^2}$.

Solución.
a) Tenemos que:
\begin{equation*}
c_0 = 1, \quad c_n = \left\{ \begin{array}{lcc}
5^n, & \text{si} & n = 2k,\\
\\ 4^n, & \text{si} & n = 2k+1,\\
\end{array}
\right. \quad \text{con} \,\, k\in\mathbb{N}^+,
\end{equation*}

por lo que:
\begin{equation*}
\sup\{|c_n|^{1/n} : n\geq k\} = 5, \quad \forall k\geq 1.
\end{equation*}

Entonces:
\begin{equation*}
\lambda = \limsup_{n\to\infty} |c_n|^{1/n} = \lim_{k\to\infty} \sup\{|c_n|^{1/n} : n\geq k\} = 5, \quad \Longrightarrow \quad R = \frac{1}{\lambda} = \frac{1}{5}.
\end{equation*}

De la proposición 29.3 se sigue que la serie converge uniformemente en todo disco cerrado $\overline{B}(0,r)$, con $r < R$.

b) Tenemos que:
\begin{equation*}
z_0 = 1-i, \quad c_0 = 1 \quad \text{y} \quad c_n = \frac{1}{(2-i)^n}, \quad \forall n\in\mathbb{N}^+,
\end{equation*}

por lo que:
\begin{equation*}
\sup\{|c_n|^{1/n} : n\geq k\} = \left(\frac{1}{|2-i|^{k}}\right)^{1/k} = \frac{1}{|2-i|} = \frac{1}{\sqrt{5}}, \quad \forall k \geq 1.
\end{equation*}

Entonces:
\begin{equation*}
\lambda = \limsup_{n\to\infty} |c_n|^{1/n} = \lim_{k\to\infty} \sup\{|c_n|^{1/n} : n\geq k\} = \frac{1}{\sqrt{5}}, \quad \Longrightarrow \quad R = \frac{1}{\lambda} = \sqrt{5}.
\end{equation*}

De la proposición 29.3 se sigue que la serie converge uniformemente en todo disco cerrado $\overline{B}(1-i,r)$, con $r < \sqrt{5}$.

c) Tenemos que:
\begin{equation*}
\sum_{n=0}^\infty z^{n^2} = \sum_{k=0}^\infty c_k z^{k},
\end{equation*}

de donde:
\begin{equation*}
c_k = \left\{ \begin{array}{lc}
1, & \text{si existe} \,\, n\in\mathbb{N} \,\, \text{tal que} \,\, k = n^2,\\
\\ 0, & \text{en otro caso,}\\
\end{array}
\right.
\end{equation*}

es decir:
\begin{equation*}
c_0 = 1, \quad c_1 = 1, \quad c_2 =0, \quad c_3 = 0, \quad c_4 = 1, \quad \ldots .
\end{equation*}

Considerando lo anterior es claro que la serie tiene un número infinitos de coeficientes que son $0$. Sin embargo, notemos que:
\begin{equation*}
\sup\{|c_n|^{1/n} : n\geq k\} = |1|^{1/k} = 1, \quad \forall k \geq 1.
\end{equation*}

Entonces:
\begin{equation*}
\lambda = \limsup_{n\to\infty} |c_n|^{1/n} = \lim_{k\to\infty} \sup\{|c_n|^{1/n} : n\geq k\} = 1, \quad \Longrightarrow \quad R = \frac{1}{\lambda} = 1.
\end{equation*}

De la proposición 29.3 se sigue que la serie converge uniformemente en todo disco cerrado $\overline{B}(0,r)$, con $r < 1$.

Corolario 29.3. (Determinación del radio de convergencia de una serie de potencias.)
El radio de convergencia $R\in[0,\infty]$, de una serie de potencias $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty c_n\left(z-z_0\right)^{n}$ puede determinarse por alguno de los siguientes métodos.

  1. Criterio de D’Alembert del radio de convergencia. Si $\lambda = \lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{|c_{n+1}|}{|c_n|}$ existe o es infinito, entonces:\begin{equation*} R = \frac{1}{\lambda}.\end{equation*}
  2. Criterio de la raiz de Cauchy. Si $\lambda = \lim\limits_{n\to\infty} |c_n|^{1/n}$ existe o es infinito, entonces:\begin{equation*} R = \frac{1}{\lambda}. \end{equation*}

En ambos casos consideramos la definición natural de $R=0$ si $\lambda =\infty$ y $R=\infty$ si $\lambda =0$.

Demostración. Los dos casos son una consecuencia de la proposición 29.3, de los teoremas 29.1 y 29.3 y del corolario 29.1, por lo que los detalles se dejan como ejercicio al lector.

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Observación 29.8.
Es posible dar una formulación de los criterios de convergencia de D’Alembert y de la raíz, proposiciones 27.5 y 27.6 respectivamente, en términos del límite superior, es decir, considerando:
\begin{align*}
\lambda = \limsup\limits_{n\to\infty} \frac{|z_{n+1}|}{|z_{n}|},\\
\lambda = \limsup\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{|z_n|},
\end{align*} respectivamente, en cada caso. Esta formulación de dichos criterios es de gran utilidad cuando los límites $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{|z_{n+1}|}{|z_{n}|}$, $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|z_{n}|}$ no existen.

Ejemplo 29.8.
Veamos que la serie:
\begin{equation*}
\sum_{n=1}^\infty z_n, \quad \text{con} \,\,\, z_n = \frac{1}{2^n}\left[1+(-1)^n\right] + \frac{1}{3^n}\left[1-(-1)^n\right],
\end{equation*} converge.

Solución. Tenemos que:
\begin{equation*}
z_{2n} = \frac{2}{2^{2n}} \quad \text{y} \quad z_{2n+1} = \frac{2}{3^{2n+1}}.
\end{equation*}

Entonces, el límite $\lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{|z_{n+1}|}{|z_{n}|} = \lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{z_{n+1}}{z_{n}}$ no existe, lema 29.1, ya que las subsucesiones:
\begin{equation*}
\frac{z_{2n+2}}{z_{2n}} = \frac{z_{2n+2}}{z_{2n+1}} \frac{z_{2n+1}}{z_{2n}} \quad \text{y} \quad \frac{z_{2n+3}}{z_{2n+1}} = \frac{z_{2n+3}}{z_{2n+2}} \frac{z_{2n+2}}{z_{2n+1}},
\end{equation*}

tienen diferentes límites:
\begin{align*}
\lim_{n\to\infty} \dfrac{z_{2n+2}}{z_{2n}} = \lim_{n\to\infty} \dfrac{2(2^{-2(n+1)})}{2(2^{-2n})} = \dfrac{1}{4},\\
\lim_{n\to\infty} \frac{z_{2n+3}}{z_{2n+1}} = \lim_{n\to\infty} \frac{2(3^{-(2n+3)})}{2(3^{-(2n+1)})} = \frac{1}{9}.
\end{align*}

Sin embargo, notemos que:
\begin{equation*}
\limsup_{n\to \infty} \frac{|z_{n+1}|}{|z_{n}|} = \limsup_{n\to \infty} \frac{z_{n+1}}{z_{n}} = \frac{1}{4} < 1,
\end{equation*}

por lo que, de acuerdo con el criterio de D’Alembert, la serie converge.

Ejemplo 29.9.
Determinemos el radio de convergencia de las siguientes series de potencias.

a) $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n^2} z^n$.
b) $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \dfrac{(n+1) z^n}{(n+2)(n+3)}$.
c) $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \left(a+ib\right)^{n} z^n$, con $a,b\in\mathbb{R}$ no ambos cero.
d) $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \left(\dfrac{n+2}{3n+1}\right)^{n} (z-4)^n$.

Solución. Para las cuatro series utilizaremos el corolario 29.3.
a) Tenemos que:
\begin{equation*}
\sum_{n=1}^\infty \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n^2} z^n = \sum_{k=0}^\infty c_k z^{k},
\end{equation*}

de donde:
\begin{equation*}
c_k = \left\{ \begin{array}{lc}
\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n^2}, & \text{si existe} \,\, n\in\mathbb{N} \,\, \text{tal que} \,\, k = n,\\
\\ 0, & \text{en otro caso,}\\
\end{array}
\right.
\end{equation*}

es decir:
\begin{equation*}
c_0 = 0 \quad \text{y} \quad c_n = \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n^2}, \quad \forall n\geq 1.
\end{equation*}

Entonces:
\begin{equation*}
\lambda = \lim_{n\to\infty} |c_n|^{1/n} = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e, \quad \Longrightarrow \quad R = \frac{1}{\lambda} = \frac{1}{e}.
\end{equation*}

b) Tenemos que:
\begin{equation*}
c_n = \dfrac{n+1}{(n+2)(n+3)}, \quad \forall n\in\mathbb{N},
\end{equation*}

por lo que:
\begin{equation*}
c_{n+1} = \dfrac{n+2}{(n+3)(n+4)}.
\end{equation*}

Entonces:
\begin{align*}
\lambda = \lim_{n\to\infty} \frac{|c_{n+1}|}{|c_n|}
& = \lim_{n\to\infty} \frac{(n+2)^2(n+3)}{(n+1)(n+3)(n+4)}\\
& = \lim_{n\to\infty} \frac{n^2+4n+4}{n^2+5n+4}\\
& = 1,
\end{align*} de donde $R = 1/\lambda = 1$.

c) Tenemos que:
\begin{equation*}
c_n = \left(a+ib\right)^{n} \quad \forall n\in\mathbb{N},
\end{equation*} con $a,b\in\mathbb{R}$ no ambos cero, por lo que:
\begin{equation*}
c_{n+1} = \left(a+ib\right)^{n+1}.
\end{equation*}

Entonces:
\begin{equation*}
\lambda = \lim_{n\to\infty} \frac{|c_{n+1}|}{|c_n|} = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{\left(a+ib\right)^{n+1}}{\left(a+ib\right)^{n}}\right| = \lim_{n\to\infty} |a+ib| = \sqrt{a^2 + b^2},
\end{equation*} de donde $R = 1/\lambda$.

d) Tenemos que:
\begin{equation*}
z_0 = 4, \quad c_0 = 1 \quad \text{y} \quad c_n = \left(\dfrac{n+2}{3n+1}\right)^{n} \quad \forall n\in\mathbb{N}^+.
\end{equation*}

Entonces:
\begin{equation*}
\lambda = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|c_n|} = \lim_{n\to\infty} \left(\left| \dfrac{n+2}{3n+1}\right|^n\right)^{1/n} = \lim_{n\to\infty} \dfrac{n+2}{3n+1} = \dfrac{1}{3},
\end{equation*} de donde $R = 1/\lambda = 3$.

Ejemplo 29.10.
Determinemos el dominio de convergencia de la siguiente serie de potencias e identifiquemos gráficamente a dicho conjunto en el plano complejo.
\begin{equation*}
\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1\cdot3\cdot5 \cdot \ldots \cdot (2n-1)}{n!}\left(\dfrac{1-z}{z}\right)^{n}.
\end{equation*}

Solución. Sea $w = \dfrac{1-z}{z}$, entonces:
\begin{equation*}
\sum_{n=1}^\infty \frac{1\cdot3\cdot5 \cdot \ldots \cdot (2n-1)}{n!} w^{n} = \sum_{k=0}^\infty c_k w^k,
\end{equation*}

de donde:
\begin{equation*}
c_k = \left\{ \begin{array}{lc}
\dfrac{1\cdot3\cdot5 \cdot \ldots \cdot (2n-1)}{n!}, & \text{si existe} \,\, n\in\mathbb{N} \,\, \text{tal que} \,\, k = n,\\
\\ 0, & \text{en otro caso,}\\
\end{array}
\right.
\end{equation*}

es decir:
\begin{equation*}
c_0 = 0 \quad \text{y} \quad c_n = \dfrac{1\cdot3\cdot5 \cdot \ldots \cdot (2n-1)}{n!} \quad \forall n\geq 1.
\end{equation*}

Tenemos que:
\begin{equation*}
c_{n+1} = \dfrac{1\cdot3\cdot5 \cdot \ldots \cdot (2n-1)(2n+1)}{(n+1)!},
\end{equation*}

por lo que:
\begin{align*}
\lambda = \lim_{n\to\infty} \frac{|c_{n+1}|}{|c_n|} & = \lim_{n\to\infty} \left|\dfrac{\dfrac{1\cdot3\cdot5 \cdot \ldots \cdot (2n-1)(2n+1)}{(n+1)!}}{\dfrac{1\cdot3\cdot5 \cdot \ldots \cdot (2n-1)}{n!}}\right|\\
& = \lim_{n\to\infty} \left|\dfrac{(2n+1)n!}{(n+1)!}\right|\\
& = \lim_{n\to\infty} \dfrac{2n+1}{n+1}\\
& = 2,
\end{align*} de donde $R = 1/\lambda = 1/2$.

Entonces, el dominio de convergencia de la serie está dado por la condición $|w|<1/2$, es decir:
\begin{align*}
\left|\frac{1-z}{z}\right| < \frac{1}{2} \quad & \Longrightarrow \quad 2 |1-z|< |z|,\\
& \Longrightarrow \quad 4 |1-z|^2< |z|^2,\\
& \Longrightarrow \quad 4 (1-z)\overline{(1-z)}< z \overline{z},\\
& \Longrightarrow \quad 4 -4\overline{z} – 4z + 3z \overline{z}< 0,\\
& \Longrightarrow \quad z \overline{z} -\frac{4}{3}\overline{z} – \frac{4}{3}z + \frac{4}{3}< 0 \tag{29.7}.
\end{align*}

De acuerdo con los resultados de la entrada 6, sabemos que la ecuación general de una circunfernecia en el plano complejo $\mathbb{C}$ es:
\begin{equation*}
z \overline{z} +a \overline{z} + \overline{a} z + b = 0,
\end{equation*} cuyo centro es el punto $-a$ y $r = \sqrt{|a|^2-b}$ su radio.

De (29.7) tenemos:
\begin{equation*}
z \overline{z} + \left(-\frac{4}{3}\right)\overline{z} + \left(-\frac{4}{3}\right) z + \frac{4}{3} = 0,
\end{equation*}

de donde:
\begin{equation*}
-a = \frac{4}{3}, \quad b= \frac{4}{3} \quad \text{y} \quad r = \sqrt{|a|^2-b} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}.
\end{equation*}

Por lo que, la expresión en (29.7) corresponde con el interior de la circunferencia $C\left(\dfrac{4}{3}, \dfrac{2}{3}\right)$, es decir, el disco abierto $B\left(\dfrac{4}{3}, \dfrac{2}{3}\right)$ es el dominio de convergencia de la serie de potencias, figura 109.

Figura 109: Dominio de convergencia de la serie de potencias del ejemplo 29.10.

Tarea moral

  1. Muestra que el radio de convergencia de la serie de potencias: \begin{equation*} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n} z^{n(n+1)},\end{equation*} es 1 y analiza la convergencia para $z=1$, $z=-1$ y $z=i$.

    Hint: Observa que el $(n+1)$-ésimo coeficiente de la serie no es $\dfrac{(-1)^n}{n}$. Procede como en el ejemplo 29.1.
  2. Determina el dominio de convergencia de las siguientes series de potencias y gráficalo.
    a) $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \left[\dfrac{(iz-1)}{3+4i}\right]^n$.
    b) $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \dfrac{(z+2)^{n-1}}{(n+1)^3 4^n}$.
  3. Muestra que el radio de convergencia de las siguientes series de potencias es infinito.
    a) $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \dfrac{z^n}{n!}$.
    b) $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^n z^{2n}}{(2n)!}$.
    c) $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^n z^{2n+1}}{(2n+1)!}$.
  4. Considera las tres series del ejemplo 29.2 y obtén su radio de convergencia, ¿en qué conjuntos la convergencia es uniforme?
  5. Prueba el corolario 29.3.
  6. Sean $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty c_n (z-z_0)^n$ y $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty d_n (z-z_0)^n$ dos series de potencias con radio de convergencia $R_1$ y $R_2$, respectivamente.
    a) ¿Cuál es el radio de convergencia de la serie $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty (c_n+d_n)(z-z_0)^n$?
    b) ¿Cuál es el radio de convergencia de la serie $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty (c_n \cdot d_n)(z-z_0)^n$?
  7. Obtén el radio de convergencia de las siguientes series de potencias:
    a) $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \dfrac{z^n}{n}$.
    b) $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \dfrac{z^{4n}}{4n+1}$.
    c) $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty n^2\left(\dfrac{z^{2}+1}{1+i}\right)^n$.
    d) $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \left(\dfrac{2i}{x+i+1}\right)^n$.
    e) $\dfrac{1}{2} z + \dfrac{1 \cdot 3}{2\cdot5} z^2 + \dfrac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2\cdot 5 \cdot 8} z^3 + \cdots$
    f) $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty (\operatorname{ln}(n))^n z^n$.
  8. Si $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty c_n z^n$ tiene radio de convergencia $R$, determina el radio de convergencia de las siguientes series de potencias:
    a) $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty c_n z^{2n}$.
    b) $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty c_n^2 z^{n}$.
    c) $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty n^d c_n z^{n}$, para cualquier $d\in\mathbb{N}^+$.
    d) $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty (-1)^n c_n z^{n}$.

Más adelante…

En esta entrada definimos de manera formal el concepto de serie de potencias y establecimos una serie de resultados relacionados con su convergencia. En particular, vimos que a través del concepto del radio de convergencia de una serie de potencias es posible establecer su dominio de convergencia, que geométricamente corresponde con discos abiertos, a los cuales comúnmente se les llama círculos de convergencia.

En la siguiente entrada estudiaremos algunas propiedades importantes de las series de potencias como la continuidad y analicidad de las mismas, propiedades que nos serán de utilidad en el estudio de las funciones complejas, pues como veremos, toda función compleja que es analítica en un dominio $D\subset\mathbb{C}$ puede tener un desarrollo en series de potencias en todo disco abierto completamente contenido en $D$.

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