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Cálculo Diferencia e Integral II: Aplicación de la integración al concepto de trabajo

Por Miguel Ángel Rodríguez García

4 respuestas

Introducción

En la sección anterior vimos como calcular el momento y el centro de masa con ayuda de la integral, en esta sección revisaremos el concepto de trabajo en el área de la física como una aplicación más de la integración.

Trabajo

Consideremos una partícula $P$ en un plano, que se mueve una distancia $d$ a lo largo de una curva $C$ como resultado de la aplicación de una fuerza externa $F$, que es función de la posición de la partícula en el espacio, es decir, $F=F(x)$ y sea $dx$ un desplazamiento infinitesimal experimentado por la partícula en un intervalo de tiempo $dt$, se define el trabajo infinitesimal $dW$ a la fuerza $F$ durante el desplazamiento infinitesimal $dx$ al producto escalar $F \cdot dx$ esto es:

$$dW=F \cdot dx$$

Ahora, supongamos que la partícula $P$ recorre una trayectoria en el espacio a lo largo del eje $x$, para determinar el trabajo que se realiza sobre esta partícula en un desplazamiento a lo largo de las posiciones $a$ y $b$, hacemos una partición en el intervalo $[a, b]$ en $n$ subintervalos con puntos extremos $x_{0}, x_{1}, …., x_{n}$ e igual ancho $\Delta x$. Sea $x^{*}_{i^{}}$ un punto en el subintervalo $[x_{i-1}, x_{i}]$, si $F$ es continua en el intervalo $[a,b]$ entonces podemos aproximar el trabajo como una suma dada como:

$$Trabajo \approx \sum_{i=1}^{n}F(x^{*}_{i^{}})\Delta x$$

Por tanto, se define el trabajo efectuado al mover una partícula u objeto en el intervalo $[a, b]$ como el límite cuando $n \to \infty$ como:

$$W=\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^{n}F(x^{*}_{i^{}})\Delta x=\int_{a}^{b}F(x)dx \tag{1}$$

En el sistema internacional de unidades $(SI)$, el trabajo se mide en Joules $(J)$.

Ley de Hooke

La ley de Hooke nos dice que la fuerza necesaria para estirar o comprimir un resorte a una cierta longitud a partir de su estado de equilibrio, es proporcional a $x$, es decir:

$$F=-kx \tag{2}$$

Donde $k$ es la constante del resorte o constante de fuerza del resorte, esta constante $k$ es una característica propia del resorte. Nótese que $k$ es positiva.

Figura 1: Estiramiento del resorte a partir de su estado de equilibrio $o$.

Ejemplos

  • Cuando una partícula se ubica una distancia $x$ pies del origen, una fuerza de $x^{2}+2x$ libras actúa sobre ella. ¿Cuánto trabajo se efectúa al moverla desde $x=1$ hasta $x=3$?

De la definición del trabajo $(1)$, tenemos que:

$$W=\int_{1}^{3}(x^{2}+2x)dx=\left [ \frac{x^{3}}{3}+x^{2} \right ]\bigg|_{1}^{3}=\frac{3^{3}}{3}+3^{2}-\frac{1}{3}-1=\frac{50}{3}$$

Por tanto, el trabajo realizado es: $16.6 Ib.pie.$

  • Una partícula eléctrica $q_{1}$ está en reposo con una carga de $2C$ efectúa un trabajo sobre otra partícula eléctrica $q_{2}$ a una distancia de $20$ cm. con carga $1C$. ¿Cuánto trabajo se efectúa al moverla a $40$ cm.?

En este caso, la fuerza de la particula $q_{1}$ que actua sobre la particula $q_{2}$ es la fuerza de Coulomb, que se define como:

$$F=k\frac{q_{1}q_{2}}{r^{2}}$$

Donde $k$ es la constante de Coulomb.

Para calcular el trabajo efectuado tenemos que:

$$W=\int_{a}^{b}F(x)dx=\int_{0.2}^{0.4}k\frac{q_{1}q_{2}}{r^{2}}dr=\int_{0.2}^{0.4}k\frac{(2C)(1C)}{r^{2}}dr=2C^{2}k\int_{0.2}^{0.4}\frac{dr}{r^{2}}$$

$$=2C^{2}k\left [ -\frac{1}{r} \right ]\bigg|_{0.2}^{0.4}=2C^{2}k \left(2.5 \frac{1}{m} \right)$$

Como $k=9\cdot 10^{9}\frac{Nm^{2}}{C^{2}}$, entonces:

$$W=4.5\cdot 10^{10}J$$

  • Una fuerza de $40N$ se requiere para retener un resorte desde su longitud natural de 10 cm. a una longitud de 15 cm. ¿Cuánto trabajo se hace al estirar el resorte de 15 a 18 cm.?

Tenemos un resorte, de acuerdo con la ley de Hooke $(2)$ que nos dice que $F=-kx$ donde $k$ se denomina constante del resorte, la fuerza que se requiere para mantener el resorte estirado $x$ metros más allá de su longitud natural es $f(x)=-kx$.

Primero calculamos $k$, vemos que cuando el resorte se pasa de $10$ a $15$ cm, la cantidad estirada es $5 cm =0.05m$ lo que quiere decir que: $f(0.05)=40$, de modo que:

$$ f(0.05)=0.05k=40 \Rightarrow k=\frac{40}{0.05}=800$$

El trabajo hecho para estirar el resorte de 15 a 18 cm es:

$$W=\int_{0.05}^{0.08} (800)xdx=800\left [ \frac{x^{2}}{2} \right ]\bigg|_{0.05}^{0.08}=400\left [ (0.08)^{2}-(0.05)^{2} \right ]=1.56J$$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Un resorte tiene una longitud natural de 1m. una fuerza de 24N lo estira hasta una longitud de 1.8m.
    1. a Determinar la constante $k$ del resorte.
    2. ¿Cuánto trabajo se requerirá para estirar el resorte hasta 2m mas que su longitud natural?
    3. ¿Hasta que longitud se estirara el resorte si le aplicamos una fuerza de 45?
  2. Una cubeta de 5 Ib se eleva desde el piso, jalándola con una cuerda de 20 pies a una velocidad constante. La cuerda pesa 0.08 $ib/pie$. ¿Cuánto trabajo se realiza al subir la cubeta y la cuerda?
  3. Una partícula se desplaza a lo largo del eje x impulsada por una fuerza que mide $\frac{10}{(1+x)^{2}}$ libras en un punto a x pies del origen. Calcule el trabajo realizado al mover la partícula desde el origen a una distancia de 9 pies.
  4. Una fuerza de 2N estirara una banda elástica 2 cm (0.02m. Suponiendo que en este caso se cumple la ley de Hooke, ¿Cuánto se estirara la banda al aplicarle una fuerza de 4N? ¿Cuánto trabajo se realizara para estirar la banda esa longitud?
  5. Cuando una partícula de masa m esta en $(x,0)$, es estirada hacia el origen con una fuerza de magnitud $\frac{k}{x^{2}}$. Si la partícula parte del reposo en $x=b$ y no actúa sobre ella ninguna otra fuerza, determine el trabajo realizado sobre ella cuando llega a $x=a, 0< a<b$.

Más adelante…

En esta entrada vimos la aplicación de la integral en el área de la física con ejemplos sencillos, dando la definición de trabajo y la definición de la ley de Hooke, en la siguiente entrada veremos otra aplicación en la física que es la definición de fuerza y presión en la hidrostática.

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Cálculo Diferencial e Integral II: Centro de masa y momentos

Por Miguel Ángel Rodríguez García

1 respuesta

Introducción

En la sección anterior vimos el teorema de Pappus-Guldin el cual nos permite calcular el centroide, área y volumen de un sólido de revolución, en esta sección veremos una aplicación en el área de la física como aplicación de la integración para el cálculo de centro de masas y momentos. Cabe destacar que estudiaremos objetos unidimensionales y bidimensionales, ya que para objetos en el espacio se necesitan integrales múltiples, lo cual, no estudiaremos en este curso.

Centro de masas y momentos (unidimensional)

Figura 1: Varilla con dos pesas en sus extremos.

Comencemos con el caso de una varilla balanceada en un punto sobre el eje $x$ y en sus extremos una masa $m_{1}$ en $x_{1}$ y $m_{2}$ en $x_{2}$ como se muestra en la figura $(1)$. Sea $\bar{x}$ el centro de masa, la varilla se balanceara si:

$$m_{1}d_{1}=m_{2}d_{2}$$

Donde $d_{1}=\bar{x}-x_{1}$ y $d_{2}=x_{2}-\bar{x}$, sustituyendo esto en la ecuación anterior, tenemos que:

$$m_{1}(\bar{x}-x_{1})=m_{2}(x_{2}-\bar{x})$$

$$\Rightarrow m_{1}\bar{x}-m_{1}x_{1}=m_{2}x_{2}-m_{2}\bar{x}$$

$$\Rightarrow \bar{x}=\frac{m_{1}x_{1}+m_{2}x_{2}}{m_{1}+m_{2}}$$

Por lo que, podemos calcular el centro de masa $\bar{x}$ del sistema con la relación anterior.

Se define a $m_{i}x_{i}$ el momento de la masa $m_{i}$, en este caso, tenemos dos momentos $m_{1}$ y $m_{2}$ con respecto al origen.

En general, si tenemos un sistema de $n$ partículas con sus respectivas masas $m_{1},\space m_{2}, \space …., \space m_{n}$ respectivamente localizadas en los puntos $x_{1},\space x_{2}, \space …., \space x_{n}$ sobre el eje $x$ y análogamente al estudio anterior, se puede demostrar que el centro de masa se puede calcular como:

$$\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^{n}m_{i}x_{i}}{\sum_{i=1}^{n}m_{i}}=\frac{M}{m}$$

Donde $m$ es la suma de las $n$ masas y $M$ es la suma de los $n$ momentos.

Centro de masas y momentos (bidimensional)

Consideremos ahora un sistema de $n$ partículas con masas $m_{1},\space m_{2}, \space …., \space m_{n}$ localizadas en los puntos $(x_{1},\space y_{1}),\space (x_{2},\space y_{2}), \space …., \space (x_{n},\space y_{n})$ en el plano $xy$ como se muestra en la figura $(2)$.

Figura 2: Sistema de $4$ partículas con masa $m$.

Análogamente al caso unidimensional, se define el momento del sistema respecto del eje $y$ como:

$$M_{y}=\sum_{i=1}^{n}m_{i}x_{i} \tag{1}$$

Y el momento del sistema respecto del eje $x$ como:

$$M_{x}=\sum_{i=1}^{n}m_{i}y_{i} \tag{2}$$

Por lo que el centro de masa $(\bar{x}, \bar{y})$ está dado como:

$$\bar{x}=\frac{M_{y}}{m} \space \space \space \space \space \space \bar{y}=\frac{M_{x}}{m}$$

Consideremos una placa con densidad uniforme $\rho$, se desea localizar su centro de masa, para esto, supongamos que esta región está en el intervalo $[a, b]$, dividimos este intervalo en $n$ subintervalos con puntos extremos $x_{0}, \space x_{1}, \space…., \space x_{n}$ e igual amplitud $\Delta x$. Sea $\bar{x_{i}}$ el punto medio del intervalo $[x_{i-1}, \space x_{i}]$, por lo que $\bar{x_{i}}=(x_{i-1}+x_{i})/2$, así, tendremos $n$ polígonos o $R_{i}$ rectángulos, aproximando a la placa como se muestra en la figura $(3)$.

Figura 3: Placa de densidad $\rho$.

El área del i-esimo rectángulo es:

$$A_{i}=f(\bar{x_{i}}) \Delta x_{i}$$

Como estamos en el caso bidimensional, recordemos que la densidad es una densidad superficial dada como:

$$\rho = \frac{M}{A}$$

Por lo que, para la masa:

$$M=\rho f(\bar{x_{i}}) \Delta x_{i}$$

El momento del rectángulo $R_{i}$ respecto del eje $y$ es el producto de su masa y la distancia del centroide del i-esimo rectángulo $R_{i}$ que es $C_{i}(\bar{x_{i}}, \frac{1}{2}f(\bar{x_{i}}))$ como se muestra en la figura $(3)$, por la definición de $M_{y}$ $(1)$, se tiene que:

$$M_{y}(R_{i})=(\rho f(\bar{x_{i}}) \Delta x_{i})\bar{x_{i}}$$

Al sumar estos momentos y tender $n \to \infty$ tenemos que:

$$M_{y}=\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^{n}(\rho f(\bar{x_{i}}) \Delta x_{i})\bar{x_{i}}=\rho \int_{a}^{b}xf(x)dx $$

Del modo similar, el momento del rectángulo $R_{i}$ respecto del eje $x$ está dado como el producto de su masa por la distancia $C_{i} (\bar{x_{i}}, \frac{1}{2}f(\bar{x_{i}})) $ al eje $x$, por la definición de $M_{x}$ $(2)$, se tiene que:

$$M_{x}(R_{i})=(\rho f(\bar{x_{i}}) \Delta x_{i})\frac{1}{2}f(\bar{x_{i}})=\rho \frac{1}{2}[f(\bar{x_{i}}]^{2} \Delta x$$

Tomando el límite:

$$M_{x}=\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^{n}\rho \frac{1}{2}[f(\bar{x_{i}}]^{2} \Delta x= \int_{a}^{b} \rho \frac{1}{2}[f(\bar{x_{i}}]^{2} dx $$

El centro de masa de la placa se define análogamente al sistema de $n$ partículas como:

$$\bar{x}=\frac{M_{y}}{m}$$

$$\bar{y}=\frac{M_{x}}{m}$$

Pero la masa de la placa es el producto de su densidad y su área, la cual podemos calcularla por medio de una integral:

$$m=\rho A=\rho \int_{a}^{b}f(x)dx$$

Por tanto, para calcular el centroide $(\bar{x},\bar{y})$ de esta placa se tiene que:

$$\bar{x}=\frac{M_{y}}{m}=\frac{\rho \int_{a}^{b}xf(x)dx}{\rho \int_{a}^{b}f(x)dx}=\frac{\int_{a}^{b}xf(x)dx}{\int_{a}^{b}f(x)dx}=\frac{1}{A}\int_{a}^{b}xf(x)dx \tag{3}$$

$$\bar{y}=\frac{M_{x}}{m}=\frac{\rho \int_{a}^{b}\frac{1}{2}[f(x)]^{2}dx}{\rho \int_{a}^{b}f(x)dx}=\frac{\int_{a}^{b}\frac{1}{2}[f(x)]^{2}dx}{\int_{a}^{b}f(x)dx}=\frac{1}{A}\int_{a}^{b}\frac{1}{2}[f(x)]^{2}dx \tag{4}$$

Si la región se encuentra entre dos curvas $y=f(x)$ y $y=g(x)$ donde $f(x)\geq g(x)$ podemos utilizar el mismo método anterior para encontrar el centroide $(\bar{x},\bar{y})$ como:

$$\bar{x}=\frac{\int_{a}^{b}x[f(x)-g(x)]dx}{\int_{a}^{b}(f(x)-g(x))dx}$$

$$\bar{y}=\frac{\int_{a}^{b}[f^{2}(x)-g^{2}(x)]dx}{2\int_{a}^{b}(f(x)-g(x))dx}$$

Veamos los siguientes ejemplos.

Ejemplos

  • Suponga que se colocan tres masas puntuales en el plano $xy$ de la siguiente manera: $m_{1}=2 kg$ en la coordenada $(-1,3)$, $m_{2}= 6 kg$ en la coordenada $(1,1)$ y $m_{3}=4kg$ en la coordenada $(2,-2)$. Encuentre el centro de masa del sistema.

Calculamos la masa total como:

$$m=\sum_{i=1}^{3}m_{i}=2+6+4=12 kg$$

Ahora, encontrando los momentos respectivos en el eje $x$ y $y$:

$$M_{y}=\sum_{i=1}^{3}m_{i}x_{i}=-2+6+8=12$$

$$M_{x}=\sum_{i=1}^{3}m_{i}y_{i}=6+6-8=4$$

Calculando el centro de masas:

$$\bar{x}=\frac{M_{y}}{m}=\frac{12}{12}=1$$

$$\bar{y}=\frac{M_{x}}{m}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$$

Por lo que el centro de masas de este sistema es:

$$(\bar{x},\bar{y})=(1, \frac{1}{3})$$

  • Encuentre el centroide de la región acotada por las curvas $y=\cos(x)$,$y=0$, $x=0$ y $x=\pi/2$.

El área de la región es:

$$A=\int_{0}^{\pi /2}\cos(x)dx=\sin(x) \bigg|_{0}^{\pi /2}=1$$

Así, calculando el centroide se tiene que, para $\bar{x}$ $(3)$:

$$\bar{x}=\frac{1}{A}\int_{0}^{\pi /2}xf(x)dx=\int_{0}^{\pi /2}x\cos(x)dx=x\sin(x)\bigg|_{0}^{\pi /2}-\int_{0}^{\pi /2}\sin(x)dx$$

$$=\frac{\pi}{2}-1$$

Para $\bar{y}$ $(4)$:

$$\bar{y}=\frac{1}{A}\int_{0}^{\pi /2}\frac{1}{2}(f(x))^{2}dx=\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi /2}\cos^{2}(x)dx$$

$$=\frac{1}{4}\int_{0}^{\pi /2}(1+\cos(2x))dx=\frac{1}{4}\left [ x+\frac{1}{2}\sin(2x) \right ]\bigg|_{0}^{\pi /2}=\frac{\pi}{8}$$

Por tanto, el centroide es: $$(\bar{x},\bar{y})=(\frac{\pi}{2}-1,\frac{\pi}{8})$$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Encuentre los momentos del centro de masas cuyas masas son 3, 4 y 8 con coordenadas $(-1, 1)$, $(2, -1)$ y $(3, 2)$ respectivamente.
  2. Demuestre que el centro de masas de una varilla o de una franja recta y delgada de densidad constante se encuentra en su punto medio.
  3. Una varilla de longitud de 10cm. aumenta su grosor de izquierda a derecha en función de $f(x)=1+(x/10) kg/m$. Determinar el centro de masas de la varilla.
  4. Encuentre el centro de masas de una placa semicircular de radio $r$.
  5. Encuentre el centroide de la región acotada por la recta $y=x$ y la parábola $y=x^{2}$.

Más adelante…

En esta sección vimos como calcular el centro de masas y el momento de un sistema, en la siguiente sección veremos otra la aplicación de la integral en el área de la física, y es la aplicación de la integración al concepto de trabajo.

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Cálculo Diferencial e Integral II: Área de una superficie de revolución

Por Miguel Ángel Rodríguez García

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Introducción

En la sección anterior vimos como calcular el volumen de una superficie de revolución por el método de capas cilíndricas, ahora, en esta entrada veremos como calcular el área de una superficie de revolución.

Área de una superficie de revolución

Consideremos una región delimitada por el eje $x$, las rectas $x=a$ y $x=b$ y la curva que tiene como función $y=f(x)$, continua en el intervalo $[a , b]$, giramos esta región alrededor del eje $x$ obteniendo una superficie de revolución como en la figura $(1)$.

Figura 1: Aproximación de un cono al area $\Delta S_{i}$

Dividimos el intervalo $[a , b]$ en $n$ subintervalos en donde el i-ésimo subintervalo es $[x_{i-1}, x_{i}]$ y sea $\Delta S_{i}$ el valor del área superficial del i-ésimo subintervalo $[x_{i-1}, x_{i}]$ lo podemos calcular viéndolo como un tronco cónico (encerrado en líneas puntuadas, figura $(1)$) en donde su área de superficial es:

$$S=\pi (r_{1}+r_{2})g \tag{1}$$

Donde $g$ es la generatriz del tronco cónico, $r_{1}$ y $r_{2}$ son los radios respecto al eje de rotación.

Para dar correspondencia a la figura $(1)$, sea $g_{i}= \Delta L_{i}$ la generatriz del i-esimo tronco cónico, que se aproxima a la gráfica $y=f(x)$ como se muestra en la figura $(1)$ en el intervalo $[x_{i-1}, x_{i}]$, por lo que el área superficial del i-esimo tronco cónico designado como $\Delta S_{i}$, lo podemos aproximar mediante la relación $(1)$ como:

$$\Delta S_{i}\approx \pi (f(x_{i-1})+f(x_{i}))\Delta L_{i}$$

Pero $\Delta L_{i}$ lo podemos aproximar por la definición de la longitud de arco en el intervalo $[x_{i-1}, x_{i}]$, así:

$$\Delta L_{i}\approx \sqrt{1+(f'(x_{i})^{2})}\Delta x$$

Con $\Delta x=x_{i}-x_{i-1}$, por tanto:

$$\Delta S_{i}\approx \pi (f(x_{i-1})+f(x_{i}))\sqrt{1+(f'(x_{i})^{2})}\Delta x \tag{2}$$

Por otro lado, en el curso de Cálculo I, se vio el desarrollo de Taylor de una función $f(x)$, por lo que la definición del desarrollo en Taylor está dado de la forma:

$$y(x+h)\approx y(x)+hy'(x)+\frac{h^{2}y^{\prime \prime}(x)}{2!}+….$$

Aplicando lo anterior para $f(x_{i-1})$ suponiendo que $\Delta^{n} x$ es pequeño respecto al término $\Delta x$, se tiene que:

$$f(x_{i-1})=f(x_{i-1}+x_{i}-x_{i})=f(x_{i}-\Delta x) \approx f(x_{i})-f'(x_{i})\Delta x$$

Substituyendo en $\Delta S_{i}$ $(2)$, tenemos que:

$$\Delta S_{i}\approx \pi \sqrt{1+(f'(x_{i})^{2})} (f(x_{i-1})+f(x_{i}))\Delta x=\pi \sqrt{1+(f'(x_{i})^{2})}\Delta x (f(x_{i})-f'(x_{i})\Delta x+f(x_{i}))$$

$$=\pi \sqrt{1+(f'(x_{i})^{2})}\Delta x (2f(x_{i})-f'(x_{i})\Delta x)=\pi \sqrt{1+(f'(x_{i})^{2})}\Delta x 2f(x_{i})-\pi \sqrt{1+(f'(x_{i})^{2})}\Delta^{2} x f'(x_{i})$$

Observemos que cuando $n$ es demasiado grande el termino $\Delta^{2} x$ es pequeño respecto al término $\Delta x$, por lo que para $n$ lo suficientemente grande podemos despreciar el termino $\Delta^{2}x$, así:

$$\Delta S_{i}\approx 2 \pi f(x_{i}) \sqrt{1+(f'(x_{i})^{2})}\Delta x$$

Sumando todas las $n$ áreas superficiales y tendiendo $n \to \infty$ tenemos que el área de superficie $A_{s}$ es:

$$A_{s}=\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} \Delta S_{i}=\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} 2 \pi f(x_{i}) \sqrt{1+(f'(x_{i})^{2})}\Delta x$$

Se define el área superficial de un sólido de revolución si una función $f(x)\geq 0$ es continua en el intervalo $[a, b]$ y gira alrededor del eje $x$ como:

$$A_{s}=\int_{a}^{b} 2 \pi y \sqrt{1+\left ( \frac{dy}{dx} \right )^{2}}dx =\int_{a}^{b} 2 \pi f(x) \sqrt{1+(f'(x)^{2})}dx \tag{3}$$

Análogamente, se define el área superficial de un sólido de revolución alrededor del eje $y$ como:

$$A_{s}=\int_{c}^{d} 2 \pi x \sqrt{1+\left ( \frac{dx}{dy} \right )^{2}}dy =\int_{c}^{d} 2 \pi f(y) \sqrt{1+(f'(y)^{2})}dy \tag{4}$$

Ejemplos

  • Determinar el área de la superficie generada al hacer girar la curva $2\sqrt{x}$, donde $1 \leq x \leq 2$ alrededor del eje x.
Figura 2: Grafica de la función $f(x)=2\sqrt{x}$ y su correspondiente superficie de revolución.

Tenemos que $a=1$, $b=2$ y la curva que tiene como función $f(x)=2\sqrt{x}$, derivando obtenemos:

$$\frac{dy}{dx}f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$$

La gráfica la vemos en la figura $(2)$, así, utilizamos la relación $(3)$ y calculamos el área como:

$$S=\int_{1}^{2} 2\pi (2\sqrt{x}) \sqrt{1+\left ( \frac{1}{\sqrt{x}} \right )^{2}}dx$$

Vemos que:

$$\sqrt{1+\left ( \frac{1}{\sqrt{x}} \right )^{2}}=\sqrt{1+\frac{1}{x}}=\sqrt{\frac{x+1}{x}}=\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x}}$$

Sustituyendo esta expresión:

$$S=\int_{1}^{2} 2\pi (2\sqrt{x}) \frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x}} dx= \int_{1}^{2} 4\pi \sqrt{x+1} dx$$

Utilizando el método de sustitución tenemos que esta integral nos da por resultado:

$$S=4\pi \frac{2}{3}\left [ (x+1)^{2/3} \right ]\bigg|_{1}^{2}=\frac{8 \pi}{3}(3\sqrt{3}-2\sqrt{2})$$

  • El segmento de recta $x=1-y$, $0 \leq y \leq 1$ se hace girar alrededor del eje $y$ para generar el cono de la figura $(3)$, determinar el área de su superficie lateral (la cual excluye el área de la base).
Figura 3: Grafica de la recta $x=1-y$ y su correspondiente superficie de revolución.

Tenemos que $c=0$, $d=1$ y la función de la curva:

$$x=1-y \Rightarrow \frac{dx}{dy}=-1 \Rightarrow \sqrt{1+\left ( \frac{dx}{dy} \right )^{2}}=\sqrt{1+(-1)^{2}}=\sqrt{2}$$

Utilizamos la relación $(4)$ y calculamos el área superficial como:

$$S= \int_{0}^{1} 2\pi f(y) \sqrt{2}dy=\int_{0}^{1} 2\pi (1-y) \sqrt{2}dy=2\pi \sqrt{2}\left [ y-\frac{y^{2}}{2} \right ]\bigg|_{0}^{1}=2\pi \sqrt{2}(1-\frac{1}{2})=\pi \sqrt{2}$$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. El segmento de recta $y=\frac{x}{2}$, $0 \leq x \leq 4$ se hace girar alrededor del eje x para generar un cono, determinar el área de su superficie lateral.
  2. Un segmento de recta $y=\sqrt{2}$, $\frac{3}{4} \leq x \leq \frac{15}{4}$ se hace girar alrededor del eje x determinar el área de su superficie.
  3. El segmento de recta $x=\frac{y^{3}}{3}$, $0 \leq y \leq 1$ se hace girar alrededor del eje y determinar el área de su superficie.
  4. Un segmento de recta $x=2 \sqrt{4-y}$, $0 \leq y \leq \frac{15}{4}$ se hace girar alrededor del eje y determinar el área de su superficie.
  5. El segmento de recta $y= \sqrt{x+1}$, $1 \leq x \leq 5$ se hace girar alrededor del eje x determinar el área de su superficie.

Más adelante…

En esta entrada vimos como calcular el área de superficie de un sólido generado a partir de una curva respecto de un eje. En la siguiente sección trabajaremos con un teorema relacionado con el cálculo de estas áreas llamado el teorema de Pappus-Guldinus.

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Cálculo Diferencial e Integral II: Teorema de Pappus-Guldinus

Por Miguel Ángel Rodríguez García

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Introducción

En las secciones anteriores vimos como calcular tanto el volumen como el área de un sólido de revolución, en esta entrada veremos un teorema en el que podemos calcular áreas y volúmenes de sólidos de revolución con sus respectivos centroides, es decir, su centro de simetría, a este teorema se le conoce como teorema del centroide de Pappus que se divide a su vez en dos teoremas y aunque no es una aplicación directa de las integrales, podemos calcular el volumen o el área de estos sólidos de una manera más sencilla, veamos el primer teorema.

Teorema de Pappus (Volúmenes)

El volumen $V$ de un sólido de revolución generado mediante la rotación de una curva plana $C$ alrededor de un eje externo, de manera que, esta última no corte el interior de la región, es igual al producto del área $A$ por la distancia $2\pi d$ recorrida por su centroide en una rotación completa alrededor del eje:

$$V=2\pi A d$$

Demostración:

Sea un área $A$ generada mediante la rotación de una curva plana $C$ alrededor del eje $x$, consideremos un elemento $dA$ de dicha área, el volumen $dV$ generado por el elemento $dA$ es igual a:

$$dV=2 \pi ydA$$

Donde $y$ es la distancia entre el eje $x$ y el elemento $dA$, por tanto:

$$V=\int 2 \pi y dA=2 \pi \bar{y} A$$

Con $\bar{y}=d$ y $2\pi \bar{y}$ es la distancia recorrida por el centroide de $A$.

$\square$

Teorema 2 de Pappus (Áreas)

El área $A$ de una superficie de revolución generada mediante la rotación de una curva plana $C$ alrededor de un eje externo, es igual a su longitud $L$, multiplicada por la distancia $2\pi d$ recorrida por su centroide en una rotación completa alrededor del eje, entonces:

$$A=2\pi L d$$

Demostración:

Sea $L$ la longitud de una curva plana $C$ que rota alrededor del eje $x$ y consideremos un elemento $dL$ de dicha longitud. El área $dA$ generada por el elemento $dL$ es igual a:

$$dA= 2 \pi y dL$$

Donde $y$ es la distancia del elemento $dL$ al eje $x$, por tanto:

$$A=\int 2 \pi y dL=2 \pi \bar{y} L$$

Con $\bar{y}=d$ y $2\pi \bar{y}$ es la distancia recorrida por el centroide $L$.

$\square$

Veamos unos ejemplos de como aplicar el teorema de Pappus-Guldinus.

Ejemplos

  • Un toroide se forma al hacer girar un círculo de radio $r$ respecto a una recta en el plano del círculo que es la distancia $R>r$ desde el centro del círculo. Encuentre el volumen del toroide.

El círculo tiene área $A=\pi r^{2}$, por simetría su centroide es su centro, por tanto, la distancia recorrida por el centroide durante una rotación está dada como $d=2\pi R$.

Por el teorema de Pappus (volumen), el volumen del toroide es:

$$V=Ad=(\pi r^{2})(2\pi R)=2\pi ^{2}r^{2}R$$

  • Calcule el área de la superficie del toro del ejercicio anterior.

Del segundo teorema de Pappus (Área) tenemos que:

$$A=2\pi L d=2 \pi (r)(2\pi R)=4\pi ^{2} rR$$

  • Calcula el área de la superficie generada por una circunferencia cuyo radio es de $3m$, girando $2\pi$ alrededor de una recta tangente.

Tenemos que la longitud es $L=2 \pi (3)=6 \pi$

Por el segundo teorema de Pappus calculamos el área de la superficie como:

$$A=2 \pi L d=2 \pi (6 \pi) (3)=36 \pi ^{2}$$

  • Calcula el centroide de un alambre semicircular de radio $R$, que gira alrededor del eje $x$.

Para calcular el centroide podemos utilizar cualquiera de los dos teoremas de Pappus, en este caso, es fácil calcular el centroide por el teorema de Pappus de áreas, veamos:

Sabemos que el área generada es:

$$A=4 \pi R^{2}$$

Y la longitud es:

$$L=\pi R$$

Por el teorema de Pappus (áreas), tenemos que:

$$4 \pi R^{2}=2 \pi \bar{y} (\pi R) \Rightarrow \bar{y}=\frac{2R}{\pi}$$

  • Calcule el volumen del sólido generado por un cuadrado de lado $a=3$ que gira alrededor del eje $y$.

Sabemos que el área lo calculamos como:

$$A=a^{2}=3^{2}=9$$

Sabemos que el centroide de un cuadrado está justo en el centro, o a la mitad de cada cara, por lo que:

$$\bar{y}=1.5$$

Así, calculando el volumen por el teorema de Pappus para volúmenes, tenemos que:

$$V=2\pi A \bar{y}=2\pi (9)(1.5)=27 \pi$$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Hallar el volumen y el área de la superficie de un solido de una esfera de radio r.
  2. Hallar el volumen de un solido de un cono con altura h y radio r.
  3. Calcule el volumen del solido obtenido al hacer girar el triangulo con vértices $(2, 3)$, $(2, 5)$ y $(5, 4)$ respecto al eje x.
  4. La región cuadrada con vértices $(0, 2)$, $(2, 0)$, $(4, 2)$ y $(2, 4)$ se hace girar alrededor del eje $x$ para generar un solido. Determine el volumen y el área de la superficie del sólido.
  5. Localice el centroide de una región semicircular entre la semicircunferencia $y=\sqrt{a^{2}-x^{2}}$ y el eje x.

Más adelante…

Vimos en esta sección el teorema de Pappus con el que se puede calcular el volumen, centroide y el área de un solio de revolución, en la siguiente sección veremos una aplicación más de la integral, en este caso, en el área de la física, que es cálculo de momentos y centros de masa.

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Cálculo Diferencial e Integral II: Cálculo de volúmenes por medio de casquillos cilíndricos

Por Miguel Ángel Rodríguez García

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Introducción

En la entrada anterior aprendimos a calcular el volumen de un sólido generado por rotación alrededor de un eje a través del método de los discos y el método de las arandelas, en esta entrada ahora veremos como calcular el volumen de un sólido por el método de casquillos cilíndricos o capas cilíndricas.

Método de casquillos cilíndricos o capas cilíndricas

Supongamos que tenemos una curva dada por $f(x)$ en un intervalo $[a.b]$, dividiendo este intervalo en subintervalos $[x_{i-1}, x_{i}]$ y para aproximarse a esta curva lo aproximamos por un polígono a una distancia $r_{1}$ y $r_{2}$ del eje $y$ y ancho $\Delta x$ como se muestra en la figura $(1)$.

Figura 1: Un cascarón cilíndrico por superficie de revolución generado por el polígono rojo para aproximar a $f(x)$.

Giramos estas figuras alrededor del eje $y$, la superficie de revolución generado por el polígono es un cascarón cilíndrico de radio exterior $r_{2}$ y radio interior $r_{1}$ como se muestra en la figura $(2)$ (puedes ver mejor la figura haciendo clic sobre la imagen), el volumen $V$ se calcula restando el volumen $V_{2}$ que corresponde al cilindro exterior y $V_{1}$ correspondiente al cilindro interior, por lo que se obtiene que:

$$V=V_{2}-V_{1}=\pi r_{2}^{2}h-\pi r_{1}^{2}h=\pi (r_{2}^{2}-r_{1}^{2})h=\pi (r_{2}+r_{1})(r_{2}-r_{1})h$$

Multiplicamos $\frac{2}{2}$, entonces:

$$V=2\pi \frac{r_{2}+r_{1}}{2}h(r_{2}-r_{1})$$

Sea $r=\frac{r_{2}+r_{1}}{2}$ que es el radio del cascarón cilíndrico y sea $\Delta x=r_{2}-r_{1}$ su grosor, entonces el volumen del cascarón cilíndrico se obtiene como:

$V=2\pi hr \Delta x$

Figura 2: Aproximación de un cascarón cilíndrico al volumen de una superficie de revolución generado por $f(x)$.

Dividimos el intervalo $[a, b]$ en $n$ subintervalos $[x_{i-1},x_{i}]$ con anchura $\Delta x$ y sea $\bar{x_{i}}$ el punto medio del i-ésimo subintervalo, el sólido generado por el i-ésimo polígono es un cascarón cilíndrico cuyo radio promedio es $\bar{x_{i}}$, altura $f(\bar{x_{i}})$ y espesor $\Delta x$ de modo que el volumen es:

$$V_{i}=2\pi \bar{x_{i}}f(\bar{x_{i}}) \Delta x$$

Un volumen aproximado de $S$ se obtiene al sumar los volúmenes de $n$ cascarones cilíndricos, así:

$$V\approx \sum_{i=1}^{n}V_{i}=\sum_{i=1}^{n}2\pi \bar{x_{i}}f(\bar{x_{i}}) \Delta x$$

Si tenemos que $n \to \infty$ entonces el volumen del sólido que se obtiene al girar alrededor del eje $y$, la región bajo la curva $f(x)$ desde $a$ hasta $b$ está dada como:

$$V=\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^{n}2\pi \bar{x_{i}}f(\bar{x_{i}}) \Delta x=\int_{a}^{b}2\pi xf(x)dx$$

con $0\leq a\leq b$, a veces, el volumen $V$ se suele escribir como:

$$V=2\pi \int_{a}^{b}R(x)h(x)dx \tag{1}$$

Donde $R(x)$ es la distancia al eje de rotación y $h(x)$ es la altura de corte.

Análogamente, se puede definir el volumen del sólido que se obtiene al girar alrededor del eje $x$, la región bajo la curva $f(y)$ dentro del intervalo $c$ hasta $d$ como:

$$V=2\pi \int_{c}^{d}R(y)h(y)dy \tag{1}$$

Veamos unos ejemplos.

Ejemplos

  • Encuentra el volumen del sólido de revolución respecto al eje $y$ de la región acotada debajo de la grafica $f(x)=1-2x+3x^{2}-2x^{3}$ en $[0, 1]$
Figura 3: Grafica de la función $f(x)$ (figura de la izquierda), superficie de revolución generada por $f(x)$ (figura de la derecha).

Graficamos la función $f(x)$ en la figura $(3)$ (figura de la izquierda), y la figura de la derecha es el sólido de revolución que es generado por esta función, vemos que la altura está dada por la función $h(x)=f(x)=1-2x+3x^{2}-2x^{3}$ en $[0, 1]$ y el radio $R(x)$ es $x$ por lo que utilizamos la relación $(1)$ para calcular el volumen como:

$$V=2\pi \int_{0}^{1}x(1-2x+3x^{2}-2x^{3})dx=2\pi \int_{0}^{1}(x-2x^{2}+3x^{3}-2x^{4})dx$$

$$=2\pi \left ( \frac{x^{2}}{2}-\frac{2}{3}x^{3}+\frac{3}{4}x^{4}-\frac{2}{5}x^{5} \right )\bigg|_{0}^{1}=2\pi (\frac{1}{2}-\frac{2}{3}+\frac{3}{4}-\frac{2}{5})=\frac{11\pi}{20}$$

  • Encuentra el volumen del sólido de revolución respecto al eje $y$ de la región acotada debajo de las graficas $f(x)=x(5-x)$ y $g(x)=8-x(5-x)$

Veamos donde se intersecan estas funciones, para esto igualamos las funciones:

$x(5-x)=8-5x-x^{2} \Rightarrow 2x^{2}-10x+8=0 \Rightarrow x^{2}-5x+4=0 \Rightarrow (x-4)(x-1)=0$

Por lo que vamos a integrar de $x=1$ a $x=4$.

Figura 3: Grafica de la función $f(x)$ (figura de la izquierda), superficie de revolución generada por $f(x)$ (figura de la derecha).

Graficamos las dos gráficas como se ve en la figura $(4)$ (figura de la izquierda), y la figura de la derecha es el sólido generado por estas gráficas, vemos que en el sólido generado se tiene una especie de cono en el centro, el volumen que nos interesa es lo que está afuera de ese cono. La altura de este sólido de revolución es:

$$h(x)=f(x)-g(x)=x(5-x)-8+5x-x^{2}=5x-x^{2}- -8+5x-x^{2}=-8+10x-2x^{2}$$

y

$$R(x)=x$$

Así el volumen la calculamos como:

$$V=2\pi \int_{1}^{4}x(-2x^{2}+10x-8)dx=2\pi \int_{1}^{4}(-2x^{3}+10x^{2}-8x)dx$$

$$=2\pi \left [ -\frac{1}{2}x^{4}+\frac{10}{4}x^{3}-4x^{2} \right ]\bigg|_{1}^{4}=2\pi \left [-128+\frac{640}{3}-64 \right ]-\left [-\frac{1}{2}+\frac{10}{3}-4 \right ]=45\pi$$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Encuentra el volumen del solido de revolución respecto al eje $y$ de la región acotada debajo de la grafica $f(x)=2x^{2}-x^{3}$ y $y=0$
  2. Encuentre el volumen del solido de revolución respecto al eje $x$ de la región acotada debajo de la grafica $f(x)=9-x^{2}$ en $[0, 3]$
  3. Encuentra el volumen del solido de revolución respecto al eje $y$ de la región acotada debajo de la grafica $f(x)=x^{2}+1$ y las rectas $x=0$ y $x=1$
  4. Encuentre el volumen del solido de revolución respecto al eje $y$ de la región acotada debajo de las graficas $y=x$ y $y=x^{2}$
  5. Encuentra el volumen del solido de revolución que se obtiene al girar alrededor de la recta $x=2$ la región definida por $y=x-x^{2}$ y $y=0$

Más adelante…

En esta entrada aprendimos a calcular el volumen de un sólido de revolución por el método de capas cilíndricas generado alrededor de un eje o una recta específica, en la siguiente sección veremos como calcular el área de una superficie de revolución.

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