En las secciones anteriores vimos como calcular tanto el volumen como el área de un sólido de revolución, en esta entrada veremos un teorema en el que podemos calcular áreas y volúmenes de sólidos de revolución con sus respectivos centroides, es decir, su centro de simetría, a este teorema se le conoce como teorema del centroide de Pappus que se divide a su vez en dos teoremas y aunque no es una aplicación directa de las integrales, podemos calcular el volumen o el área de estos sólidos de una manera más sencilla, veamos el primer teorema.
Teorema de Pappus (Volúmenes)
El volumen $V$ de un sólido de revolución generado mediante la rotación de una curva plana $C$ alrededor de un eje externo, de manera que, esta última no corte el interior de la región, es igual al producto del área $A$ por la distancia $2\pi d$ recorrida por su centroide en una rotación completa alrededor del eje:
$$V=2\pi A d$$
Demostración:
Sea un área $A$ generada mediante la rotación de una curva plana $C$ alrededor del eje $x$, consideremos un elemento $dA$ de dicha área, el volumen $dV$ generado por el elemento $dA$ es igual a:
$$dV=2 \pi ydA$$
Donde $y$ es la distancia entre el eje $x$ y el elemento $dA$, por tanto:
$$V=\int 2 \pi y dA=2 \pi \bar{y} A$$
Con $\bar{y}=d$ y $2\pi \bar{y}$ es la distancia recorrida por el centroide de $A$.
$\square$
Teorema 2 de Pappus (Áreas)
El área $A$ de una superficie de revolución generada mediante la rotación de una curva plana $C$ alrededor de un eje externo, es igual a su longitud $L$, multiplicada por la distancia $2\pi d$ recorrida por su centroide en una rotación completa alrededor del eje, entonces:
$$A=2\pi L d$$
Demostración:
Sea $L$ la longitud de una curva plana $C$ que rota alrededor del eje $x$ y consideremos un elemento $dL$ de dicha longitud. El área $dA$ generada por el elemento $dL$ es igual a:
$$dA= 2 \pi y dL$$
Donde $y$ es la distancia del elemento $dL$ al eje $x$, por tanto:
$$A=\int 2 \pi y dL=2 \pi \bar{y} L$$
Con $\bar{y}=d$ y $2\pi \bar{y}$ es la distancia recorrida por el centroide $L$.
$\square$
Veamos unos ejemplos de como aplicar el teorema de Pappus-Guldinus.
Ejemplos
Un toroide se forma al hacer girar un círculo de radio $r$ respecto a una recta en el plano del círculo que es la distancia $R>r$ desde el centro del círculo. Encuentre el volumen del toroide.
El círculo tiene área $A=\pi r^{2}$, por simetría su centroide es su centro, por tanto, la distancia recorrida por el centroide durante una rotación está dada como $d=2\pi R$.
Por el teorema de Pappus (volumen), el volumen del toroide es:
$$V=Ad=(\pi r^{2})(2\pi R)=2\pi ^{2}r^{2}R$$
Calcule el área de la superficie del toro del ejercicio anterior.
Del segundo teorema de Pappus (Área) tenemos que:
$$A=2\pi L d=2 \pi (r)(2\pi R)=4\pi ^{2} rR$$
Calcula el área de la superficie generada por una circunferencia cuyo radio es de $3m$, girando $2\pi$ alrededor de una recta tangente.
Tenemos que la longitud es $L=2 \pi (3)=6 \pi$
Por el segundo teorema de Pappus calculamos el área de la superficie como:
$$A=2 \pi L d=2 \pi (6 \pi) (3)=36 \pi ^{2}$$
Calcula el centroide de un alambre semicircular de radio $R$, que gira alrededor del eje $x$.
Para calcular el centroide podemos utilizar cualquiera de los dos teoremas de Pappus, en este caso, es fácil calcular el centroide por el teorema de Pappus de áreas, veamos:
Calcule el volumen del sólido generado por un cuadrado de lado $a=3$ que gira alrededor del eje $y$.
Sabemos que el área lo calculamos como:
$$A=a^{2}=3^{2}=9$$
Sabemos que el centroide de un cuadrado está justo en el centro, o a la mitad de cada cara, por lo que:
$$\bar{y}=1.5$$
Así, calculando el volumen por el teorema de Pappus para volúmenes, tenemos que:
$$V=2\pi A \bar{y}=2\pi (9)(1.5)=27 \pi$$
Tarea moral
Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.
A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.
Hallar el volumen y el área de la superficie de un solido de una esfera de radio r.
Hallar el volumen de un solido de un cono con altura h y radio r.
Calcule el volumen del solido obtenido al hacer girar el triangulo con vértices $(2, 3)$, $(2, 5)$ y $(5, 4)$ respecto al eje x.
La región cuadrada con vértices $(0, 2)$, $(2, 0)$, $(4, 2)$ y $(2, 4)$ se hace girar alrededor del eje $x$ para generar un solido. Determine el volumen y el área de la superficie del sólido.
Localice el centroide de una región semicircular entre la semicircunferencia $y=\sqrt{a^{2}-x^{2}}$ y el eje x.
Más adelante…
Vimos en esta sección el teorema de Pappus con el que se puede calcular el volumen, centroide y el área de un solio de revolución, en la siguiente sección veremos una aplicación más de la integral, en este caso, en el área de la física, que es cálculo de momentos y centros de masa.
En la entrada anterior aprendimos a calcular el volumen de un sólido generado por rotación alrededor de un eje a través del método de los discos y el método de las arandelas, en esta entrada ahora veremos como calcular el volumen de un sólido por el método de casquillos cilíndricos o capas cilíndricas.
Método de casquillos cilíndricos o capas cilíndricas
Supongamos que tenemos una curva dada por $f(x)$ en un intervalo $[a.b]$, dividiendo este intervalo en subintervalos $[x_{i-1}, x_{i}]$ y para aproximarse a esta curva lo aproximamos por un polígono a una distancia $r_{1}$ y $r_{2}$ del eje $y$ y ancho $\Delta x$ como se muestra en la figura $(1)$.
Figura 1: Un cascarón cilíndrico por superficie de revolución generado por el polígono rojo para aproximar a $f(x)$.
Giramos estas figuras alrededor del eje $y$, la superficie de revolución generado por el polígono es un cascarón cilíndrico de radio exterior $r_{2}$ y radio interior $r_{1}$ como se muestra en la figura $(2)$ (puedes ver mejor la figura haciendo clic sobre la imagen), el volumen $V$ se calcula restando el volumen $V_{2}$ que corresponde al cilindro exterior y $V_{1}$ correspondiente al cilindro interior, por lo que se obtiene que:
Sea $r=\frac{r_{2}+r_{1}}{2}$ que es el radio del cascarón cilíndrico y sea $\Delta x=r_{2}-r_{1}$ su grosor, entonces el volumen del cascarón cilíndrico se obtiene como:
$V=2\pi hr \Delta x$
Figura 2: Aproximación de un cascarón cilíndrico al volumen de una superficie de revolución generado por $f(x)$.
Dividimos el intervalo $[a, b]$ en $n$ subintervalos $[x_{i-1},x_{i}]$ con anchura $\Delta x$ y sea $\bar{x_{i}}$ el punto medio del i-ésimo subintervalo, el sólido generado por el i-ésimo polígono es un cascarón cilíndrico cuyo radio promedio es $\bar{x_{i}}$, altura $f(\bar{x_{i}})$ y espesor $\Delta x$ de modo que el volumen es:
$$V_{i}=2\pi \bar{x_{i}}f(\bar{x_{i}}) \Delta x$$
Un volumen aproximado de $S$ se obtiene al sumar los volúmenes de $n$ cascarones cilíndricos, así:
Si tenemos que $n \to \infty$ entonces el volumen del sólido que se obtiene al girar alrededor del eje $y$, la región bajo la curva $f(x)$ desde $a$ hasta $b$ está dada como:
con $0\leq a\leq b$, a veces, el volumen $V$ se suele escribir como:
$$V=2\pi \int_{a}^{b}R(x)h(x)dx \tag{1}$$
Donde $R(x)$ es la distancia al eje de rotación y $h(x)$ es la altura de corte.
Análogamente, se puede definir el volumen del sólido que se obtiene al girar alrededor del eje $x$, la región bajo la curva $f(y)$ dentro del intervalo $c$ hasta $d$ como:
$$V=2\pi \int_{c}^{d}R(y)h(y)dy \tag{1}$$
Veamos unos ejemplos.
Ejemplos
Encuentra el volumen del sólido de revolución respecto al eje $y$ de la región acotada debajo de la grafica $f(x)=1-2x+3x^{2}-2x^{3}$ en $[0, 1]$
Figura 3: Grafica de la función $f(x)$ (figura de la izquierda), superficie de revolución generada por $f(x)$ (figura de la derecha).
Graficamos la función $f(x)$ en la figura $(3)$ (figura de la izquierda), y la figura de la derecha es el sólido de revolución que es generado por esta función, vemos que la altura está dada por la función $h(x)=f(x)=1-2x+3x^{2}-2x^{3}$ en $[0, 1]$ y el radio $R(x)$ es $x$ por lo que utilizamos la relación $(1)$ para calcular el volumen como:
Figura 3: Grafica de la función $f(x)$ (figura de la izquierda), superficie de revolución generada por $f(x)$ (figura de la derecha).
Graficamos las dos gráficas como se ve en la figura $(4)$ (figura de la izquierda), y la figura de la derecha es el sólido generado por estas gráficas, vemos que en el sólido generado se tiene una especie de cono en el centro, el volumen que nos interesa es lo que está afuera de ese cono. La altura de este sólido de revolución es:
Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.
A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.
Encuentra el volumen del solido de revolución respecto al eje $y$ de la región acotada debajo de la grafica $f(x)=2x^{2}-x^{3}$ y $y=0$
Encuentre el volumen del solido de revolución respecto al eje $x$ de la región acotada debajo de la grafica $f(x)=9-x^{2}$ en $[0, 3]$
Encuentra el volumen del solido de revolución respecto al eje $y$ de la región acotada debajo de la grafica $f(x)=x^{2}+1$ y las rectas $x=0$ y $x=1$
Encuentre el volumen del solido de revolución respecto al eje $y$ de la región acotada debajo de las graficas $y=x$ y $y=x^{2}$
Encuentra el volumen del solido de revolución que se obtiene al girar alrededor de la recta $x=2$ la región definida por $y=x-x^{2}$ y $y=0$
Más adelante…
En esta entrada aprendimos a calcular el volumen de un sólido de revolución por el método de capas cilíndricas generado alrededor de un eje o una recta específica, en la siguiente sección veremos como calcular el área de una superficie de revolución.
Imaginemos que una empresa refresquera produce $x$ botellas de bebida hidratante en total y que $a$ es el precio de venta de cada una de ellas. Si nos pidieran obtener el ingreso bastaría considerar el producto: $$ax.$$ Por lo que la función de ingreso para $x$ número de unidades producidas está definida como: $$I(x)= ax.$$
Ahora si consideramos que el precio de venta al público tiene una dependencia lineal con las unidades producidas. Es decir, si tomamos $a=bx+c$ una recta, tenemos que la función de ingreso $I_{1}(x)$ es: \begin{align*} I_{1}(x)&=(bx+c)x\\ &=bx^{2}+cx \end{align*}
Observamos así que la función $I_{1}(x)$ es una parábola.
Si la empresa refresquera sabe que el costo por producir $x$ botellas de bebida hidratante está dado por la función $C(x)$, la función que nos daría el costo medio de cada botella es:
Además si queremos obtener la función que nos daría su utilidad, bastaría con restarle a los ingresos los costos de producción: $$U(x)=I(x)-C(x), \quad \text{con} \quad x\geq 0.$$
Ya que hemos visto una idea general de las funciones que utilizaremos para resolver los problemas de carácter económico de esta entrada. Comencemos con ejemplos donde se nos pide realizar la optimización de dichas funciones, para concluir revisando los conceptos: Costo marginal, Ingreso marginal y Utilidad marginal.
Problema 1
Una pequeña compañía de alimentos conoce que las funciones de ingreso y costo (en pesos) de su famosa mermelada son: \begin{align*} I(x)&= -4x^{2}+400x & C(x)&=x^{2}+20x+12 \end{align*} Donde $x$ representa los frascos fabricados.
Te solicitan encontrar:
El costo fijo de producción.
El ingreso máximo.
La máxima utilidad.
El costo medio de cada frasco.
Solución:
$1.$ El costo fijo de producción
Ya que el costo fijo de producción es aquel que permanece constante sin importar del volumen de producción, para obtenerlo bastará con evaluar la función $C(x)$ cuando no se produce ningún frasco, es decir, cuando $x=0$: \begin{align*} C(0)&= 0^{2}+20(0)+12\\ &=12 \end{align*} Por lo que el costo fijo de producción para esta mermelada es de $12$ pesos.
$2.$ El ingreso máximo
Como nos están solicitando encontrar el ingreso máximo, aplicaremos el análisis para hallar el máximo de la función $I(x)$ apoyándonos del Criterio de la segunda derivada. Comenzamos obteniendo la primera derivada e igualando a cero para obtener los puntos críticos: $$I’ (x)= -8x+400.$$ \begin{align*} I'(x)=0 &\Leftrightarrow 8x=400\\ &\Leftrightarrow x=\frac{400}{8}\\ &\Leftrightarrow x=50 \end{align*} Queremos ver que $x=50$, al obtener la segunda derivada notamos que: $$I \dquote (x)=-8 \tag{ que es menor que $0$}$$ Concluyendo así que cuando $x=50$ la función $I$ tiene un máximo y que el ingreso máximo de esta mermelada se obtiene al sustituir dicho valor: \begin{align*} I(50)&=-4(50)^{2}+400(50)\\ &=-10000+20000\\ &=10000 \end{align*} Por lo que es de $10,000$ pesos.
$3.$ La máxima utilidad
Primero necesitamos definir a la función de la utilidad, para ello usaremos la igualdad siguiente sustituyendo la función del ingreso y la del costo: \begin{align*} U(x)&=I(x)-C(x)\\ &= -4x^{2}+400-x^{2}-20x-12\\ &=-5x^{2}+388x-12\\ \therefore U(x)&= 5x^{2}+388x-12 . \end{align*}
Derivamos la función $U$: $$U'(x)=-10x+388.$$ La igualamos a cero y obtenemos los puntos críticos: \begin{align*} -10x+388=0 &\Leftrightarrow 388=10x\\ &\Leftrightarrow x=\frac{388}{10} \end{align*} Al volver a derivar la función vemos que: $$U\dquote (x)=-10 \tag{que es negativo}$$ por lo que aplicando el Criterio de la segunda derivada nos indica que $U$ tiene un máximo cuando $x=\frac{388}{10}$.
Sustituimos el valor para $x$ obtenido en la función: \begin{align*} U\left(\frac{388}{10}\right)&=-5\left(\frac{388}{10}\right)^{2}+388\left(\frac{388}{10}\right)-12\\ &\approx 7515.2 \end{align*} Concluyendo así que la utilidad máxima es de $7,515.2$ pesos.
$4.$ El costo medio de cada frasco
Obtengamos la función de costo medio: \begin{align*} C_m(x)&= \frac{C(x)}{x}\\ &= \frac{x^{2}+20x+12}{x}\\ \therefore C_m(x)&=x+20+\frac{12}{x}. \end{align*} Del mismo modo que en los incisos anteriores, debemos derivar la función: $$C_m’ (x)=1-\frac{12}{x^{2}}.$$ Y analizar los valores que obtengamos al igualar la derivada a cero: \begin{align*} C_m(x)=0 &\Leftrightarrow 1=\frac{12}{x^{2}}\\ &\Leftrightarrow \frac{1}{12}=\frac{1}{x^{2}}\\ &\Leftrightarrow 12=x^{2}\\ &\therefore x=\sqrt{12}. \end{align*} Queremos ver que el valor $x=\sqrt{12}$ es un mínimo para la función del costo medio, aplicando el criterio: $$C_m \dquote (x)=\frac{24}{x^{3}}.$$ Debido a que $C_m(\sqrt{12})>0$ confirmamos que se trata de un mínimo. Finalmente sustituimos: \begin{align*} C_m(\sqrt{12})&=\sqrt{12}+20+\frac{12}{\sqrt{12}}\\ &\approx 26.92 \end{align*}
En resumen, el costo medio de cada frasco es de $26.92$ pesos.
Hablemos del costo marginal
Recordemos un poco lo visto en la entrada Razón de cambio aplicándolo ahora a la función del costo $C(x)$. Imaginemos que la compañía decide aumentar el número de artículos producidos de $x_1$ a $x_2$, por lo que el costo tendría un incremento de $C(x_1)$ a $C(x_2)$. Con lo anterior, la razón de cambio del costo quedaría: \begin{align*} \dfrac{\varDelta C}{\varDelta x}&=\frac{C(x_2)-C(x_1)}{x_2-x_1}.\\ \end{align*}
Cabe aclarar que escribimos $\varDelta x = x_2-x_1$ para referimos al «incremento de $x$».
Observación: Como sabemos que $x_1 < x_2$, una forma de reescribir a $x_2$ haciendo uso de la notación anterior sería: $$x_2= x_1+ \varDelta x.$$
Por lo que concluimos que: \begin{align*} \dfrac{\varDelta C}{\varDelta x}&=\frac{C(x_1+\varDelta x)-C(x_1)}{\varDelta x}. \end{align*}
Si consideramos el límite cuando el incremento $\varDelta x \to 0$, es decir, $$\lim_{\varDelta x \to 0} \frac{C(x_1+\varDelta x)-C(x_1)}{\varDelta x}.$$
vemos que es justo la derivada de la función $C(x)$ por definición. En Economía a dicha derivada $C'(x)$ se le conoce como Costo marginal.
Una relación entre el Costo promedio y el Costo marginal
Ya vimos que la función de costo promedio está dada por: $$C_m(x)=\frac{C(x)}{x}.$$ ¿Qué pasaría si decidimos hallar el mínimo de $C_m(x)$? Aplicando las reglas de derivación correspondientes tenemos: $$C_m’ (x)=\frac{x C'(x)- C(x)}{x^{2}}.$$
Procedemos a igualar la derivada a cero: \begin{align*} C_m’ (x) = 0 &\Leftrightarrow \frac{x C'(x)- C(x)}{x^{2}} =0\\ &\Leftrightarrow x C'(x)- C(x)=0\\ &\Leftrightarrow x C'(x) =C(x)\\ &\Leftrightarrow C’ (x)=\frac{C(x)}{x} \end{align*}
Por lo que vemos que el costo marginal es igual al costo promedio siempre que verifiquemos que $x$ es un mínimo de $C_m$. Esta relación es quizás una de las más interesantes, revisemos como utilizarla en el siguiente problema.
Problema 2
Una franquicia de panaderías conoce que la función de costo por elaborar $x$ donas es: $$C(x)=\frac{x^{2}}{500}+2x+3000.$$
Se requiere obtener el nivel de producción para el cual el costo promedio es el más bajo.
Solución: Como ya vimos, si queremos minimizar el costo promedio basta con igualarlo al costo marginal y verificar que el valor $x$ obtenido es un mínimo. Para ello procedemos con: \begin{align*} C'(x)&= \frac{x}{250}+2 & C_m(x)&=\frac{x}{500}+2+\frac{3000}{x} \end{align*}
Verifiquemos que $x=1224.7448$ es un mínimo observando la segunda derivada de $C_m(x)$: $$ C_m’ (x)= \frac{1}{500}-\frac{3000}{x^{2}} \Rightarrow C_m \dquote (x)=\frac{6000}{x^{3}}$$
Al evaluarla vemos que cumple ser mayor que cero $C_m(1224.7448)>0$, que sabemos nos indica que se trata de un mínimo. Por lo tanto, el nivel buscado es el de producir $1,225$ donas con costo medio de $C_m(1225)=6.89$ por pieza.
Análogamente…
Si realizamos un desarrollo similar al revisado en la sección anterior para el costo $C(x)$ aplicado ahora a las funciones de ingreso $I$ y de utilidad $U$, tenemos que las derivadas de ellas son conocidas en Economía como:
Ingreso marginal $$I'(x)$$
Utilidad marginal $$U'(x)$$
En los ejercicios de Tarea moral se proponen algunos ejercicios donde podrás aplicar estos conceptos, al igual que los revisados durante toda la sesión.
Más adelante
Ya que hemos concluido de revisar algunas aplicaciones de la derivada relacionadas ahora en el ámbito de la Economía, en la siguiente entrada estudiaremos el último tema de nuestro temario para Cálculo Diferencial e Integral I: las diferenciales.
Tarea moral
Dadas las funciones de ingreso y costo siguientes: \begin{align*} I(x)&=-x^{2}+170 & C(x)&=\frac{3}{2}x^{2}+300 \end{align*} Obtén lo siguiente:
El costo fijo de producción.
El ingreso máximo.
La máxima utilidad.
El costo medio de cada frasco.
Con el planteamiento del Problema 1. Determina cuando se producen $20$ frascos de mermelada:
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»
En esta ocasión presentamos el teorema de Menelao, una herramienta muy útil que nos da condiciones necesarias y suficientes para que tres puntos, cada uno sobre los lados de un triángulo, sean colineales.
Teorema de Menelao
Teorema 1, de Menelao. Sean $\triangle ABC$ y $X$, $Y$, $Z$ puntos en los lados $BC$, $CA$ y $AB$ respectivamente, tal que uno o los tres puntos se encuentran en la extensión de los lados de $\triangle ABC$, entonces $X$, $Y$ y $Z$ son colineales si y solo si $\dfrac{AZ}{ZB} \dfrac{BX}{XC} \dfrac{CY}{YA} = – 1$.
Demostración. Supongamos que $X$, $Y$ y $Z$ son colineales, sea $D \in XYZ$ tal que $CD \parallel AB$ entonces $\triangle XZB \sim \triangle XDC$ y $\triangle YAZ \sim \triangle YCD$, esto es
$\dfrac{DC}{ZB} = \dfrac{XC}{XB} \Leftrightarrow DC = \dfrac{ZB \times XC}{XB}$,
$\dfrac{DC}{ZA} = \dfrac{YC}{YA} \Leftrightarrow DC = \dfrac{ZA \times YC}{YA}$.
Figura 1
Por lo tanto, $ \dfrac{ZA}{YA} \dfrac{YC}{ZB} \dfrac{XB}{XC} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{AZ}{ZB} \dfrac{BX}{XC} \dfrac{CY}{YA} = – 1$.
Conversamente, ahora supongamos sin pérdida de generalidad que $Z$ e $Y$ se encuentran en $AB$ y $CA$ respectivamente y $X$ en la extensión de $BC$ (izquierda figura 1), el caso en que los tres puntos están en las extensiones de los lados es análogo, y supongamos que $\dfrac{AZ}{ZB} \dfrac{BX}{XC} \dfrac{CY}{YA} = – 1$.
Sea $X’ = YZ \cap BC$, entonces por la implicación que ya probamos tenemos que $\dfrac{AZ}{ZB} \dfrac{BX’}{X’C} \dfrac{CY}{YA} = – 1$.
Esto, junto con nuestra hipótesis nos dice que $\dfrac{BX’}{X’C} = \dfrac{BX}{XC}$, es decir $BC$ es dividido exteriormente por $X$ y $X’$ en la misma razón.
Por lo tanto, $X = X’$, entonces $X$, $Y$ y $Z$ son colineales.
$\blacksquare$
Forma trigonométrica del teorema de Menelao
Lema de la razón. Considera $\triangle ABC$ y sea $X$ un punto en $BC$ o su extensión, entonces $\begin{equation} \dfrac{BX}{XC} = \dfrac{AB}{CA} \dfrac{\sin \angle BAX}{\sin \angle CAX}. \end{equation}$.
Demostración. Aplicamos la ley de los senos a los triángulos $\triangle BAX$ y $\triangle XAC$ (figura 1), $\begin{equation} \dfrac{BX}{\sin \angle BAX} = \dfrac{AB}{\sin \angle AXB}, \end{equation}$
Notemos que $\sin \angle AXB = \sin \angle AXC$, pues si $X$ está en la extensión de $BC$ entonces $\angle AXB = \angle AXC$ o si $X$ está en el segmento $BC$ entonces $\angle AXB$ y $\angle AXC$ son suplementarios.
Por lo tanto, haciendo el cociente de $(2)$ entre $(3)$ obtenemos $(1)$.
$\blacksquare$
Forma trigonométrica del teorema de Menelao. Sea $\triangle ABC$ y $X$, $Y$, $Z$ puntos en los lados $BC$, $CA$ y $AB$ respectivamente, tal que uno o los tres puntos se encuentran en la extensión de los lados de $\triangle ABC$, entonces $X$, $Y$ y $Z$ son colineales si y solo si
En consecuencia, por el teorema de Menelao la igualdad es cierta si y solo si $X$, $Y$ y $Z$ son colineales.
$\blacksquare$
Bisectrices
Proposición 1. $i)$ Dos bisectrices internas y la bisectriz externa del tercer ángulo de un triángulo intersecan a los lados opuestos del triángulo en tres puntos colineales, $ii)$ las tres bisectrices externas de un triángulo intersecan a los lados opuestos del triángulo en tres puntos colineales.
Demostración. Sean $\triangle ABC$, $X’$, la intersección de la bisectriz externa de $\angle A$ con $BC$, $Y$ y $Z$ las intersecciones de las bisectrices internas de $\angle B$ y $\angle C$ con $CA$ y $AB$ respectivamente.
Figura 2
Por el teorema de la bisectriz tenemos las siguientes igualdades $\dfrac{BX’}{X’C} = \dfrac{AB}{AC}$, $\dfrac{CY}{YA} = \dfrac{BC}{BA}$, $\dfrac{AZ}{ZB} = \dfrac{CA}{CB}$.
Análogamente, si $Y’$ y $Z’$ son las intersecciones de las bisectrices externas de $\angle B$ y $\angle C$ con $CA$ y $AB$ respectivamente, entonces por el teorema de la bisectriz $\dfrac{CY’}{Y’A} = \dfrac{BC}{BA}$, $\dfrac{AZ’}{Z’B} = \dfrac{CA}{CB}$.
Por lo tanto $\dfrac{AZ’}{Z’B} \dfrac{BX’}{X’C} \dfrac{CY’}{Y’A} = \dfrac{CA}{CB} \dfrac{AB}{AC} \dfrac{BC}{BA} = -1$.
Por lo tanto, por el teorema de Menelao, $X’$, $Y’$ y $Z’$ son colineales.
$\blacksquare$
Recta de Lemoine y recta de Gergonne
Teorema 2. Las rectas tangentes al circuncírculo de un triángulo a través de sus vértices intersecan a los lados opuestos del triángulo en tres puntos colineales.
Demostración. Sean $\triangle ABC$ y $\triangle DEF$ su triángulo tangencial, sean $X = EF \cap BC$, $Y = DF \cap CA$ y $Z = DE \cap AB$.
Figura 3
Como el ángulo semiinscrito $\angle XAB$ abarca el mismo arco que el ángulo inscrito $\angle ACB$ entonces son iguales, por criterio de semejanza AA, $\triangle AXB \sim \triangle CXA$, por lo tanto, $\dfrac{AX}{CX} = \dfrac{AB}{CA}$ $\Leftrightarrow \dfrac{AX^2}{CX^2} = \dfrac{AB^2}{CA^2}$.
Por otro lado, la potencia de $X$ respecto al circuncírculo de $\triangle ABC $ es $AX^2 = XB \times XC$.
Por lo tanto, $\begin{equation} \dfrac{XB}{XC} = \dfrac{AB^2}{CA^2}. \end{equation}$
Igualmente podemos encontrar, $\dfrac{YC}{YA} = \dfrac{BC^2}{BA^2}$ y $\dfrac{ZB}{ZA} = \dfrac{CB^2}{CA^2}$.
Por lo tanto, $\dfrac{XB}{XC} \dfrac{YC}{YA} \dfrac{ZA}{ZB} = \dfrac{AB^2}{CA^2} \dfrac{BC^2}{BA^2} \dfrac{CA^2}{CB^2} = 1$.
Como resultado, por el teorema de Menelao, $X$, $Y$ y $Z$ son colineales.
A la recta $XYZ$ se le conoce como recta de Lemoine de $\triangle ABC$.
$\blacksquare$
Observación 1. Notemos que $X$, $Y$ y $Z$ son los centros de las circunferencias de Apolonio de $\triangle ABC$.
Observación 2. También hemos mostrado que la tangente al circuncírculo de un triangulo por uno de sus vértices divide al lado opuesto al vértice, en la razón de los cuadrados de los lados que concurren en el vértice, ecuación $(4)$.
Corolario. Los lados del triángulo cuyos vértices son los puntos de tangencia del incírculo de un triángulo dado con sus lados, intersecan a los lados opuestos del triángulo dado en tres puntos colineales.
Demostración. Notemos que en el teorema anterior si el triángulo dado es $\triangle DEF$, entonces su incírculo es el circuncírculo de $\triangle ABC$.
Por lo tanto, se tiene el resultado.
A la recta $XYZ$ se le conoce como recta de Gergonne de $\triangle DEF$.
$\blacksquare$
Teorema de Monge
Teorema 3. Las tangentes externas comunes a tres circunferencias, tales que ninguna esta completamente contenida en las otras dos, se intersecan dos a dos en tres puntos colineales.
Demostración. Sean $\Gamma(A)$, $\Gamma(B)$ y $\Gamma(C)$, tres circunferencias que cumplen las hipótesis. Sean $X = X_bX_c \cap X’_bX’_c$, $Y = Y_aY_c \cap Y’_aY’_c$ y $Z = Z_aZ_b \cap Z’_aZ’_b$, las intersecciones de las tangentes comunes a $\Gamma(B)$, $\Gamma(C)$; $\Gamma(A)$, $\Gamma(C)$ y $\Gamma(A)$, $\Gamma(B)$ respectivamente (figura 4).
Figura 4
Recordemos que la intersección de dos tangentes externas comunes a dos circunferencias es un centro de homotecia entre dichas circunferencias.
Entonces $X$ es un centro de homotecia para $\Gamma(B)$ y $\Gamma(C)$, por lo tanto $\dfrac{XB}{XC} = \dfrac{BX_b}{CX_c}$.
Igualmente vemos que $\dfrac{YC}{YA} = \dfrac{CY_c}{AY_a}$ y $\dfrac{ZB}{ZA} = \dfrac{BZ_b}{AZ_a}$.
Tomando en cuenta que $AZ_a = AY_a$, $BZ_b = BX_b$ y $CX_c = CY_c$, tenemos $\dfrac{AZ}{ZB} \dfrac{BX}{XC} \dfrac{CY}{YA} = \dfrac{- AZ_a}{BZ_b} \dfrac{- BX_b}{CX_c} \dfrac{- CY_c}{AY_a} = – 1$.
Por lo tanto, por el teorema de Menelao $X$, $Y$ y $Z$ son colineales.
$\blacksquare$
Puntos isotómicos
Proposición 2. Los puntos isotómicos de tres puntos colineales son colineales.
Demostración. Recordemos que dos puntos en uno de los lados de un triángulo son isotómicos si equidistan al punto medio de ese lado.
Sean $\triangle ABC$ y $X$, $Y$, $Z$ en los lados $BC$, $CA$ y $AB$ respectivamente tal que $XYZ$ es una recta, consideremos $X’$, $Y’$ y $Z’$ sus correspondientes puntos isotómicos.
Por lo tanto, por el teorema de Menelao $X’$, $Y’$ y $Z’$ son colineales.
$\blacksquare$
Proposición 3. Si sobre los lados de $\triangle ABC$ tenemos pares de puntos isotómicos $X$, $X’ \in BC$, $Y$, $Y’ \in CA$ y $Z$, $Z’ \in AB$ entonces las áreas de los triángulos $\triangle XYZ$ y $\triangle X’Y’Z’$ coinciden.
Demostración. Sean $U = ZY \cap BC$ y $U’ = Z’Y’ \cap BC$, consideremos $D$ y $F$ las proyecciones de $X$ y $C$ en $ZU$, entonces $\triangle XDU \sim \triangle CEU$.
Igualmente vemos que, $\dfrac{(\triangle X’Y’Z’)}{(\triangle BY’Z’)} = \dfrac{X’U’}{BU’}$.
Por la proposición anterior, el punto isotómico de $U$ debe ser colineal con $Y’$ y $Z’$, por lo tanto, $U$ y $U’$ son isotómicos $\Rightarrow CU = U’B$ y $XU = U’X’$.
Por lo tanto $\dfrac{(\triangle XYZ)}{( \triangle CYZ)} = \dfrac{(\triangle X’Y’Z’)}{( \triangle BY’Z’)}$.
Pero $(\triangle CYZ) = (\triangle AY’Z) = (\triangle BY’Z’)$.
Por lo tanto, $\triangle XYZ$ y $\triangle X’Y’Z’$ tienen la misma área.
$\blacksquare$
Más adelante…
Con la ayuda del teorema de Menelao, en la próxima entrada definiremos y estableceremos algunos resultados sobre triángulos en perspectiva. También mostraremos el teorema de Pascal.
Tarea moral
A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.
Prueba que si una recta que pasa por el centroide $G$ de un triangulo $\triangle ABC$ interseca a $AB$ y $AC$ en $Z$ e $Y$ respectivamente, entonces $AZ \times YC + AY \times ZB = AZ \times AY$.
Una recta interseca los lados de un cuadrilátero $\square ABCD$, $BC$, $CD$, $DA$ y $AB$ en $X$, $Y$, $Z$ y $W$ respectivamente, muestra que $\dfrac{BX}{XC} \dfrac{CY}{YD} \dfrac{DZ}{ZA} \dfrac{AW}{WB} = 1$.
Una circunferencia cuyo centro es equidistante a los vértices $B$ y $C$ de un triángulo $\triangle ABC$ interseca a $AB$ en $P$ y $P’$ y a $AC$ en $Q’$ y $Q$, las rectas $PQ$ y $P’Q’$ intersecan a $BC$ en $X$ y $X’$ respectivamente, muestra que: $i)$ $BX \times BX’ = CX \times CX’$, $ii)$ $X$ y $X’$ son puntos isotómicos.
Sean $\triangle ABC$ y $B’$ el punto medio de $CA$, considera $G$ el centroide de $\triangle ABC$, sea $P$ tal que $B’$ es el punto medio de $GP$, la paralela a $AC$ por $P$ interseca a $BC$ en $X$, la paralela a $AB$ por $P$ corta a $AC$ en $Y$, la paralela a $BC$ por $P$ interseca a $AB$ en $Z$ (figura 7), muestra que $X$, $Y$ y $Z$ son colineales.
Figura 7
Demuestra que las mediatrices de las bisectrices de los ángulos internos de un triángulo, intersecan a los lados opuestos a los ángulos desde donde se trazo la bisectriz, en tres puntos colineales. Considera el segmento de bisectriz formado por el vértice y el punto de intersección con el lado opuesto.
Considera $XYZ$ y $X’Y’Z’$ dos rectas transversales a los lados de un triángulo $\triangle ABC$, tales que $X$, $X’ \in BC$, $Y$, $Y’ \in CA$ y $Z$, $Z’ \in AB$, sean $D = Z’Y \cap BC$, $E = X’Z \cap CA$ y $F = Y’X \cap AB$, prueba que $D$, $E$ y $F$ son colineales.
Demuestra el teorema de la recta de Simson usando el teorema de Menelao.
Dadas tres circunferencias tales que dos a dos sus interiores son ajenos, muestra que las tangentes comunes externas de dos de ellas se intersecan en un punto colineal con las intersecciones de las tangentes comunes internas de esas dos circunferencias con la tercera.
Altshiller, N., College Geometry. New York: Dover, 2007, pp 153-158.
Andreescu, T., Korsky, S. y Pohoata, C., Lemmas in Olympiad Geometry. USA: XYZ Press, 2016, pp 57-68.
Posamentier, A. y Salkind, C; Challenging Problems in Geometry. New York: Dover, 1996, pp 36-42.
Cárdenas, S., Notas de Geometría. México: Ed. Prensas de Ciencias, 2013, pp 85-88.
Agradecimientos
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»
En la entrada anterior vimos como calcular la longitud de arco de una curva. Otra aplicación de las integrales es calcular el volumen de sólidos de revolución, por lo que en esta entrada se aprenderá a calcular el volumen de un sólido $S$ mediante secciones transversales o también llamado el método de los discos, además, veremos el método de las arandelas o también llamado el método de los anillos.
Superficies de revolución
Antes de comenzar a estudiar el método de los discos, definiremos lo que es una superficie de revolución.
Una superficie de revolución es una figura sólida que se obtiene al girar una curva plana alrededor de un eje que se encuentra en el mismo plano, a este eje se le conoce como eje de revolución. Veamos unos ejemplos.
Figura 1: Rectángulo (Figura de la izquierda) y el cilindro de revolución (figura de la derecha).
En la figura $(1)$ tenemos un rectángulo con altura y ancho, variables (figura de la izquierda), obsérvese que está en un plano, es decir, es una figura en 2 dimensiones, si nosotros hacemos girar esta figura alrededor del eje $x$ obtenemos un cilindro como en la figura de la derecha.
En la siguiente figura $(2)$ tenemos un triángulo rectángulo isósceles (figura de la izquierda), si nosotros hacemos girar este triángulo alrededor del eje $y$ lo que obtendremos es una pirámide como el lado derecho de la figura 2.
Figura 2: Triangulo iscóceles (figura de la izquierda) y pirámide (figura de la derecha).
A estas figuras «creadas» se les conoce como superficies de revolución, a continuación veremos como calcular su volumen por el método de los discos.
Método de los discos
Supongamos que tenemos una función $f(x)$ en un intervalo $[a, b]$ y que cortamos una «rebanada» con un ancho $\Delta x$ de la función $f(x)$ como se muestra en la figura $(3)$.
Figura 3: Aproximación con un polígono regular a $f(x)$.
Al hacer girar esta función alrededor del eje $x$ obtendremos una superficie de revolución (figura $(4)$), la «rebanada» que tomamos al girarlo alrededor del eje obtendremos un cilindro de radio $r$ y ancho $\Delta x$.
Figura 4: Superficie de revolución
Para calcular el volumen de esta superficie de revolución la «rebanamos» $n$ veces y sumamos estos pedazos, es decir:
Volumen de la superficie de revolución $\approx \sum_{i=1}^{n}$ volúmenes de los cilindros
Recordemos que el volumen de un cilindro está dado como $V=\pi r^{2}h$, entonces el volumen de nuestra superficie de revolución es:
Análogamente, se puede deducir lo mismo para una superficie de revolución generado por una curva plana alrededor del eje $y$. Se define el volumen de una superficie de revolución alrededor del eje $y$ como:
$$V=\pi \int_{c}^{d}[R(y)]^{2}dy \tag{2}$$
Observación: Para el método de los discos el corte siempre debe ser perpendicular al eje de rotación.
Método de las arandelas
Si la región que se hace girar para generar el sólido de revolución no se acerca al eje de rotación, ni está en él, tendremos que al girarlo sobre el eje se obtendrá un agujero en su centro, es decir, un sólido de revolución con un agujero alrededor del eje de rotación. Si utilizamos el mismo método visto anteriormente para calcular su volumen, en vez de discos, tendremos que las secciones transversales perpendiculares al eje de rotación son arandelas, el área de la arandela está dada como:
Donde $R(x)$ es el radio mayor y $r(x)$ es el radio menor de la arandela como se muestra en la figura $(5)$, por lo que nos interesa el volumen entre $R(x)$ y $r(x)$.
Figura 5: Solido de revolución generado por las funciones $R(x)$ y $r(x)$ alrededor del eje $x$.
Por consecuencia, el volumen lo podemos calcular como:
Calcula el volumen del sólido de revolución formado al hacer girar la región acotada por la grafica $f(x)=\sqrt{\sin(x)}$, alrededor del eje $x$ y acotadas por las rectas $x=0$ y $x=\pi$.
En este caso obtenemos la siguiente figura $(6)$.
Figura 6: Función $f(x)=\sqrt{\sin(x)}$ (figura de la izquierda) y la superficie de revolución alrededor del eje x (figura derecha).
Utilizamos la relación $(1)$, ya que la función gira alrededor del eje $x$, por lo que el volumen de este sólido de revolución es:
Del eje de rotación, sea el radio menor $r(x)=x^{2}+1$ por estar más próximo a este eje en este intervalo, y sea el radio mayor $R(x)=-x+3$, como se muestra en la figura $(8)$.
Figura 8: Área de interés entre las curvas (figura de la izquierda) con su respectivo solido de revolución (figura de la derecha).
Para calcular el volumen de este sólido, utilizamos la relación $(3)$, por lo que:
Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.
A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.
Determine el volumen del solido resultante al hacer girar la región comprendida entre el eje $y$ y la curva $x=2/y$, donde $1\leq y \leq 4$, alrededor del eje y.
Encuentre el volumen del solido generado al giran la región acotada por las graficas $y=\sqrt{x}$, $y=x^{2}$ en torno al eje x.
Encuentre el volumen del solido generado al giran la región acotada por las graficas $y=x^{2}+1$, $y=0$, $x=0$ y $x=1$ en torno al eje y.
La circunferencia $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ se hace girar alrededor del eje y, calcular su volumen.
Un fabricante diseña un objeto en forma de esfera con un radio de 5 pulgadas y con un orificio cilíndrico en su interior. El hueco tiene un radio de 3 pulgadas ¿Cuál es el volumen del objeto resultante?
Más adelante…
En esta entrada deducimos las relaciones para calcular el volumen de un sólido generado por rotación alrededor de un eje por el método del disco y también deducimos la relación para calcular el volumen de un sólido generado por rotación entre dos curvas dadas por el método del anillo, en la siguiente entrada veremos otro método para calcular el volumen de un sólido generado llamado el método de las capas cilíndricas.
