En la sección anterior vimos unas series especiales llamadas series geométricas, donde, dependiendo del valor de $r$ la serie converge o diverge, además, vimos algunas propiedades de las series, lo cual usaremos en adelante. En esta sección veremos algunos teoremas sobre los criterios de divergencia o convergencia de series. Comencemos con anunciando el teorema del criterio de Cauchy.

Criterios de convergencia

Teorema. (Criterio de Cauchy)

La sucesión $\left \{a_{n} \right \}$ es sumable (convergente) si y solo si $\forall \space m, \space n \space \epsilon \space \mathbb{N}$

$$\lim_{m, n \to \infty}(a_{m+1}+a_{m+2}+….+a_{n})=0$$

Para $n>m \geq N$

Demostración:

Utilizando el criterio de Cauchy para sucesiones, como $\left \{a_{n} \right \}$ es sumable $\Leftrightarrow \lim_{n \to \infty} S_{n}$ converge $\Leftrightarrow \forall \space \epsilon >0, \space \exists \space N \space \epsilon \space \mathbb{N}$ tal que si $m, \space n \geq N \Rightarrow |S_{n}-S_{m}|<\varepsilon$

$$\Leftrightarrow |(a_{1}+a_{2}+….+a_{n})-(a_{1}+a_{2}+….+a_{m})|<\varepsilon$$

Como $n>m$, entonces:

$$ =|(a_{1}+a_{2}+….+a_{m}+a_{m+1}+….+a_{n})-(a_{1}+a_{2}+….+a_{m})|\Leftrightarrow |a_{m+1}+….+a_{n}|<\varepsilon$$

$\forall \space n>m$

En particular:

$$\Leftrightarrow |a_{m+1}+….+a_{n}-0|<\varepsilon \Leftrightarrow \lim_{m, n \to \infty}(a_{m+1}+….+a_{n})=0$$

Por tanto, la serie $a_{n}$ es convergente.

$\square$

Teorema. Si la serie $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ es convergente, entonces $\lim_{n \to \infty}a_{n}=0$.

Demostración:

Puesto que la serie $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ es convergente, la sucesión $\left \{ a_{n} \right \}$ es convergente $\Rightarrow \lim_{n \to \infty}S_{n}$ converge a un numero $L$.

$$\Rightarrow \lim_{n \to \infty}S_{n+1}=L$$

Pero: $$\lim_{n \to \infty}a_{n+1}=\lim_{n \to \infty}\left [ (a_{1}+a_{2}+….+a_{n+1})-(a_{1}+a_{2}+….+a_{n}) \right ]=\lim_{n \to \infty}(S_{n+1}-S_{n})$$

$$\lim_{n \to \infty}(S_{n+1})-\lim_{n \to \infty}(S_{n})=L-L=0$$

$$\therefore \lim_{n \to \infty}a_{n+1}=0$$

Como $a_{n+1}$ converge, entonces también lo hace $a_{n}$.

$$\therefore \lim_{n \to \infty}a_{n} =0$$

$\square$

Nota: En general, el inverso de este teorema no es valido, si $lim_{n \to \infty}a_{n}=0$ no se puede concluir que $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ es convergente.

Criterio de la divergencia

Teorema. (La prueba o criterio de la divergencia):

Si $\lim_{n \to \infty}a_{n}$ no existe o si $\lim_{n \to \infty}a_{n}\neq 0$ entonces la serie $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ diverge.

La demostración se infiere del teorema anterior porque si la serie no es divergente, entonces es convergente y, por tanto, $\lim_{n \to \infty}a_{n}= 0$.

$\square$

Veamos unos ejemplos.

Ejemplos

• $$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n}{4n+1}$$

Tomando el límite, obtenemos lo siguiente:

$$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{4+\frac{1}{n}}=\frac{1}{4}\neq 0$$

Por el criterio de la divergencia:

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{4n+1} \space diverge$$

• $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{2n!+1}$$

Tomamos el límite y multiplicamos por el factor $\frac{\frac{1}{n!}}{\frac{1}{n!}}$, por lo que se tiene que:

$$\lim_{n \to \infty} \frac{n!}{2n!+1}=\lim_{n \to \infty } \frac{\frac{n!}{n!}}{2\frac{n!}{n!}+\frac{1}{n!}}=\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2+\frac{1}{n!}}=\frac{1}{2}\neq 0$$

$$\therefore \sum_{i=1}^{\infty}\frac{n!}{2n!+1} \space diverge$$

Existe otro criterio de convergencia llamado el criterio de acotación

Series con términos no negativos

Teorema. (Criterio de acotación)

Una sucesión no negativa $\left \{ a_{n} \right \}$ es sumable, $\Leftrightarrow$ sus sumas parciales $\left \{S_{n} \right \}$ está acotada.

Demostración:

$\Rightarrow \lrcorner $

Si $\left \{ a_{n} \right \}$ es sumable $\Leftrightarrow \lim_{n \to \infty } S_{n}=L$ converge por el teorema visto anteriormente.

Habiamos visto en cálculo 1 que si, converge $S_{n}$ $\Rightarrow S_{n}$ esta acotada.

$\Leftarrow \lrcorner$

Supongamos que $\left \{ S_{n} \right \}$ está acotado, observemos que:

$$S_{n+1}=S_{n}+a_{n+1} \geq S_{n}$$

Ya que:

$$a_{n+1}\geq 0$$

$$\Rightarrow S_{n} \leq S_{n+1} \space\forall \space n \space \epsilon \space \mathbb{N}$$

$\therefore S_{n}$ es creciente y además, está acotado por hipótesis, por cálculo I, si una sucesión es creciente y acotada, entonces se tiene que:

$\Rightarrow \left \{ S_{n} \right \}$ es convergente $\Rightarrow \left \{ a_{n} \right \}$ es sumable.

$\square$

Teorema. Sea $k \space \epsilon \space \mathbb{N}$ fijo. La serie$\sum_{n=k}^{\infty}a_{n}$ converge$\space \Leftrightarrow\sum_{n=0}^{\infty } a_{n}$ converge.

Demostración:

Como la serie converge por hipótesis, entonces:

$$\sum_{n=k}^{\infty }a_{n} \Leftrightarrow \lim_{n \to \infty }(a_{k}+a_{k+1}+…+a_{n}) \Leftrightarrow$$

$$a_{0}+a_{1}+…+a_{k-1}+\lim_{k \to \infty }(a_{k}+a_{k+1}+…+a_{n}) \Leftrightarrow$$

$$\lim_{n \to \infty }(a_{0}+a_{1}+…+a_{k}+a_{k+1}+…a_{n}) \space \space converge$$

$$\Leftrightarrow \sum_{n=0}^{\infty }a_{n} \space \space converge$$

$\square$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Diga si la siguientes series convergen o divergen.

1. $$\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}$$
2. $$\sum_{i=1}^{\infty}\frac{n^{2}}{5n^{2}+4}$$
3. $$\sum_{i=1}^{\infty} \frac{-n}{2n+5}$$
4. $$\sum_{n=0}^{\infty}e^{-2n}$$
5. $$\sum_{n=1}^{\infty}ln\left ( \frac{1}{n} \right )$$

Más adelante…

En esta sección vimos dos teoremas importantes de criterios de convergencia, el criterio de la divergencia, en el cual nos dice que si el límite de la sucesión es diferente de cero o no existe, entonces la serie diverge, y el criterio de acotación que nos dice la reciprocidad entre una sucesión convergente y la acotación de sus sumas parciales. En la siguiente sección veremos otros dos criterios de acotación, el criterio de comparación y comparación del límite.

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