Introducción
En la unidad anterior desarrollamos todo lo concerniente a los números reales, ahora comenzaremos a ver funciones. Para ello recordemos de nuestros cursos de álgebra cómo se define el producto cartesiano de un par de conjuntos
así vemos que sus elementos son pares ordenados.
Por lo que decimos que cualquier subconjunto
Basándonos en este par de conceptos daremos la definición formal de función entre un par de conjuntos.
Definición de función
Definición (función): Una función
- Para todo
existe donde . - Si
entonces .
Notación:
es una función con dominio y codominio . es llamada la regla de correspondencia de f.
En resumen, a una función
- Su dominio.
- Su codominio.
- Su regla de correspondencia.
El conjunto imagen de una función
Definición (Conjunto imagen): Sea
Simplificado sería:
Ejemplo: Sea
Demostración:
Sea
Ejemplo
Encuentra el dominio y la imagen de la siguiente función:
Dominio:
Vemos que
Así concluimos que el dominio es el conjunto:
Imagen:
Como
Por lo anterior tenemos:
Ejercicio 1
Encuentra el dominio de la siguiente función:
Vemos que la función está bien definido si y sólo si:
Por lo que su dominio sería:
es decir, todos los reales quitando el
Ejercicio 2
Encuentra el dominio de la siguiente función:
Dominio:
Vemos ahora que para
De las condiciones anteriores vemos que tenemos los siguientes posibles intervalos que cumplen la desigualdad inicial:
Vemos que al sustituir tenemos que:
por lo que se cumple la desigualdad .
Tomando vemos que:
Por lo que no se cumple ser mayor o igual que cero.
Ahora si tomamos observamos:
por lo que cumple la desigualdad.
Por último si consideramos ocurre que:
que no cumple la desigualdad.
Del análisis anterior vemos que los intervalos que cumplen con
Por lo que el dominio de la función sería:
Gráfica de una función
Definición (gráfica): Sea
que es equivalente a decir:
Ejemplos
- Para la función constante tenemos:
donde y .
Por lo que su gráfica se vería como:
- Para la función identidad tenemos:
donde y .
Así su gráfica se vería:
Más adelante
En la próxima entrada veremos las definiciones relacionadas con las operaciones entre funciones: suma, producto, cociente y composición.
Tarea moral
A continuación encontrarás una serie de ejercicios que te ayudarán a repasar los conceptos antes vistos:
- Sea
. Demuestra que si entonces - Encuentra el dominio de las siguientes funciones:
Entradas relacionadas
- Ir a: Cálculo Diferencial e Integral I
- Entrada anterior del curso: Cálculo Diferencial e Integral I: Conjuntos Infinitos (Adicional).
- Entrada siguiente del curso: Cálculo Diferencial e Integral I: Suma, producto, cociente y composición de funciones.
- Resto de cursos: Cursos
Agradecimientos
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»