Cálculo Diferencial e Integral I: Concepto de función

Por Karen González Cárdenas

Introducción

En la unidad anterior desarrollamos todo lo concerniente a los números reales, ahora comenzaremos a ver funciones. Para ello recordemos de nuestros cursos de álgebra cómo se define el producto cartesiano de un par de conjuntos A y B:
A×B:={(a,b):aA,bB},
así vemos que sus elementos son pares ordenados.

Por lo que decimos que cualquier subconjunto RA×B, es llamado una relación entre A y B.

Basándonos en este par de conceptos daremos la definición formal de función entre un par de conjuntos.

Definición de función

Definición (función): Una función f entre los conjuntos A y B es una relación tal que:

  • Para todo aA existe bB donde (a,b)f.
  • Si (a,b1),(a,b2) entonces b1=b2.

Notación:

  • f:AB es una función con dominio A y codominio B.
  • f(a)=b es llamada la regla de correspondencia de f.

En resumen, a una función f:AB la conforman tres cosas:

  • Su dominio.
  • Su codominio.
  • Su regla de correspondencia.

El conjunto imagen de una función

Definición (Conjunto imagen): Sea f:AB una función. La imagen de f se define como:
Imf:={bB:aA(f(a)=b)}.
Simplificado sería:
Imf:={f(a)B:aA}.

Ejemplo: Sea f:RR. Si f(x)=|x| entonces Imf=[0,).

Demostración:
) Sea xR. Vemos que f(x)=|x|0 por lo que f(x)[0,).

) Tomemos y[0,). Debemos probar que existe xR tal que f(x)=y.
Sea x=yR con y0. Así se sigue que f(y)=|y|=y por lo que f(y)=x.

◻

Ejemplo

Encuentra el dominio y la imagen de la siguiente función:
f(x)=1x2.

Dominio:
Vemos que y=1x2 está bien definido
1x201x21|x|
Así concluimos que el dominio es el conjunto:
Df=[1,1].
Imagen:
Como x[1,1] entonces
1x10x210x2111x21111x2011x20

Por lo anterior tenemos:
Imf=[0,1].

Ejercicio 1

Encuentra el dominio de la siguiente función:
f(x)=14x2

Vemos que la función está bien definido si y sólo si:
4x20(2x)(2+x)0x2yx2
Por lo que su dominio sería:
Df=R{2,2}.
es decir, todos los reales quitando el 2 y el 2.

Ejercicio 2

Encuentra el dominio de la siguiente función:
f(x)=xx3.

Dominio:
Vemos ahora que para y=xx3 está bien definido
xx30x(1x2)0x(1x)(1+x)0x0,x1,x1

De las condiciones anteriores vemos que tenemos los siguientes posibles intervalos que cumplen la desigualdad inicial:

  • (,1]
    Vemos que al sustituir x=1(,1] tenemos que:
    1(1)3=1(1)=00
    por lo que se cumple la desigualdad xx30.
  • (1,0)
    Tomando x=12 vemos que:
    12(12)3=12+18=38
    Por lo que no se cumple ser mayor o igual que cero.
  • [1,0]
    Ahora si tomamos x=1 observamos:
    113=11=0
    por lo que cumple la desigualdad.
  • (1,)
    Por último si consideramos x=2 ocurre que:
    2(2)3=28=6
    que no cumple la desigualdad.

Del análisis anterior vemos que los intervalos que cumplen con xx30 son:
(,1][1,0].
Por lo que el dominio de la función sería:
Df=(,1][1,0].

Gráfica de una función

Definición (gráfica): Sea f:DfRR Definimos a la gráfica de f como el conjunto:
Graf(f)={(x,y)R2:xDf,y=f(x)},
que es equivalente a decir:
Graf(f)={(x,f(x)):xDf}.

Ejemplos

  • Para la función constante tenemos:
    f(x)=c,
    donde Df=R y Imf=c.

    Por lo que su gráfica se vería como:
  • Para la función identidad tenemos:
    Id(x)=x,
    donde Df=R y Imf=R.

    Así su gráfica se vería:

Más adelante

En la próxima entrada veremos las definiciones relacionadas con las operaciones entre funciones: suma, producto, cociente y composición.

Tarea moral

A continuación encontrarás una serie de ejercicios que te ayudarán a repasar los conceptos antes vistos:

  • Sea f:RR. Demuestra que si f(x)=x2 entonces Imf=[0,).
  • Encuentra el dominio de las siguientes funciones:
    • f(x)=x+1
    • f(x)=xx22
    • f(x)=x+1x+2
    • f(x)=2+xx2

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

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