Introducción
Mucho hemos hablado, a lo largo de las entradas anteriores, sobre las soluciones de las ecuaciones resultantes de la forma con matriz y vector; sin embargo, aún no nos hemos dedicado a resolver este tipo de ecuaciones. En esta entrada, hablaremos de las soluciones de estas ecuaciones que se llaman valores propios y que tienen un vector propio asociado.
¿Qué son?
Si tienes una matriz cuadrada , vamos a decir que un vector es vector propio de con valor propio , si y . A la pareja , la vamos a llamar pareja propia de A y el principal problema de estudio de esta entrada será encontrar a estas parejas.
Implicaciones importantes
Lema 4.7: Si y son vectores propios de con el mismo valor , entonces cualquier combinación lineal no trivial de ellos también es vector propio de .
Demostración
Si tenemos dos parejas de , , que cumplen y , entonces, para cualquier par de coeficientes se tiene que, la combinación lineal de y con estos vectores, se cumple:
Lo que significa que, si , entonces es vector propio de con valor propio .
Con lo que hemos terminado la demostración.
El siguiente lema es muy importante para realizar los cálculos.
Lema 4.8: Para cualquier matriz A cuadrada, se cumple: es un valor propio de si y solo si,
Demostración
Sabemos que, como es valor propio de , entonces tiene a su vector propio correspondiente que cumple que: .
Y, como , entonces:
Fin de la demostración.
Observa que, con los conocimientos que tenemos hasta el momento, ya puedes demostrar fácilmente el siguiente Lema y Corolario.
Lema 4.9: Si A es una matriz simétrica de , entonces tiene dos valores propios y en .
Corolario 4.10: Sea una matriz simétrica de , con valores propios y . Entonces, sus valores propios coinciden () si y solo si, . En este caso, cualquier vector es vector propio.
Corolario 4.11: Considera una matriz simétrica de . Entonces, existe una base , donde y son vectores propios de .
Demostración
Por el Lema 4.9, sabemos que tiene dos valores propios y .
Caso 1,
Por el Corolario 4.10, cualquier base funciona.
Caso 2,
Por la definición de valor propio, existen , vectores distintos de que corresponden a los valores propios y respectivamente.
Estos vectores no pueden ser paralelos porque por el Lema 4.8, esto implicaría que .
Entonces, y forman una base de .
Terminamos la demostración.
Ejemplo
Calculemos los valores y vectores propios de la siguiente matriz simétrica:
Valores propios
Recordemos que, para encontrar los valores propios, debemos resolver su polinomio característico que está dado por :
Si continuamos con el desarrollo de la expresión anterior, comprueba que llegamos al siguiente polinomio característico:
Para resolver el polinomio anterior, debemos igualarlo a , de donde vamos a obtener que, las raíces del polinomio son: y
Vectores propios
Para encontrar los vectores propios correspondientes a y , debemos encontrar una solución no trivial para los sistemas con
Para
De donde obtenemos el siguiente sistema:
Donde, una de sus soluciones no triviales es
Para
De donde obtenemos el siguiente sistema:
Donde, una de sus soluciones no triviales es
Observa que estos vectores y son ortogonales, ¿será coincidencia? Lo veremos más adelante.
Tarea moral
- Comprueba que, para los vectores propios obtenidos en los sistemas de ecuaciones y , se cumple que y que .
- Demuestra, con un argumento algebraico y uno geométrico, que la matriz no tiene vectores propios.
- Demuestra que la matriz no tiene vectores propios para .
- Usa el Lema 4.9 para demostrar el Corolario 4.10.
- Demuestra el Lema 4.9. Hint: usa que, al ser matriz simétrica, entonces , después, expresa a de la siguiente forma y desarrolla:
Más adelante…
En la siguiente entrada, concluiremos nuestro estudio de los valores y vectores propios, analizando la diagonalización ortogonal de matrices simétricas.