(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

Esta entrada es el inicio de la última unidad del curso de Álgebra Moderna I, uno de los temas centrales que estudiaremos en esta unidad es el Teorema Fundamental de los Grupos Abelianos Finitos. Como es costumbre, para poder sumergirnos en el teorema, primero tenemos que construir algunos cimientos.

Seguramente a lo largo de tu estudio de las matemáticas te has encontrado con la notación $\r^2 = \r \times \r$ y otras similares. $\r^2$ se usa para denotar al plano cartesiano y rápidamente entendemos que sus elementos tienen la forma de pares ordenados $(x, y)$ donde $x,y\in \r$. Esto mismo sucede con potencias mayores, como por ejemplo $(x,y,z)\in \r^3 = \r \times \r \times \r$ y $(x_1,\dots,x_n)\in \r^n = \r\times\cdots\times\r$ ($n$ veces).

De la misma manera, podríamos hacer $\z \times \r$ y obtener objetos de la forma $(z, r)$ donde $z$ es un entero y $r$ un real. Es decir, podemos usar a la operación $\times$ entre dos grupos completamente distintos. Pero más allá de poder, ¿esto es algo que podamos estudiar? En pocas palabras, sí, resulta que la operación $\times$ es una manera práctica de construir grupos más grandes a partir de otros grupos.

Hablemos del producto de grupos

Comencemos definiendo formalmente al producto de grupos.

Definición. Sean $(G_1, *_1), \cdots, (G_n, *_n)$ grupos. El producto directo externo de $G_1, \dots, G_n$ es
\begin{align*}
G_1\times\cdots\times G_n = \{(g_1,\dots,g_n)\;|\; g_i\in G \; \forall i \in \{1,\dots,n\}\}
\end{align*}
con la operación
\begin{align*}
(g_1,\dots,g_n) * (h_1,\dots,h_n) = (g_1*_1h_1, \dots, g_n*_nh_n).
\end{align*}

Observación. $G_1\times\cdots\times G_n$ es un grupo con neutro $(e_{G_1},\dots, e_{G_n})$ y $(g_1^{-1},\dots, g^{-1}_n)$ es el inverso de cada $(g_1,\dots,g_n)\in G_1\times\cdots\times G_n$.

Ejemplo 1. Consideremos $G = S_3\times\z_2 \times D_{2(4)}.$
Un elemento es $((1\;2\;3), \,\bar{1}, \,a^2b)$.
Dados $(\alpha, \bar{a}, f), (\beta,\bar{b}, g)\in G$ se tiene que
\begin{align*}
(\alpha, \,\bar{a}, \,f)*(\beta,\,\bar{b}, \,g) = (\alpha\circ\beta, \,\bar{a}+\bar{b}, \,f\circ g).
\end{align*}

Ejemplo 2. Tomemos el producto $\z_2\times\z_2 = \{(\bar{0}, \bar{0}), (\bar{0},\bar{1}), (\bar{1}, \bar{0}), (\bar{1}, \bar{1})\}$.
Observemos que $o(\bar{0}, \bar{0}) = 1$, $o(\bar{0}, \bar{1}) = o(\bar{1}, \bar{0}) = o(\bar{1}, \bar{1}) = 2.$
La suma de dos elementos en $\{(\bar{0}, \bar{1}), (\bar{1}, \bar{0}), (\bar{1}, \bar{1})\}$ nos da el tercero. Entonces, $\z_2\times\z_2$ es isomorfo al grupo de Klein.

Ejemplo 3. Por último, tomemos $\z_2\times\z_3 = \{(\bar{0}, \bar{0}), (\bar{0}, \bar{1}), (\bar{0}, \bar{2}), (\bar{1}, \bar{0}), (\bar{1}, \bar{1}), (\bar{1}, \bar{2})\}$.
Observemos que $o(\bar{1}, \bar{1}) = 6.$
Tenemos que $\z_2\times\z_3 = \left< (\bar{1}, \bar{1}) \right>$ y así $\z_2\times\z_3 \cong \z_6$.

Dos funciones naturales

Definición. Sean $G_1,\dots, G_n $ grupos, $G = G_1\times\cdots\times G_n$. Para cada $i\in\{1,\dots,n\}$ definimos la inclusión natural
\begin{align*}
\text{inc}_i : G_i\to G \text{ como } \text{inc}_i(g_i) = (e_{G_1},\dots,g_i, \dots, e_{G_n}),
\end{align*}
donde $g_i$ está en la $i$-ésima posición.

Definición. Sean $G_1,\dots, G_n $ grupos, $G = G_1\times\cdots\times G_n$. Para cada $i\in\{1,\dots,n\}$ definimos la proyección natural
\begin{align*}
\pi_i : G\to G_i \text{ con } \pi_i(g_1,\dots,g_n) = g_i.
\end{align*}

Observación 1 . $\text{inc}_i$ es un monomorfismo.

Observación 2 . $\pi_i$ es un epimorfismo.

Notación. $G_i^* = \text{inc}_i\lceil G_i\rceil = \{e_{G_1}\}\times \cdots \times G_i \times\cdots\{e_{G_n}\}.$

Observación 3. Para $G = G_1\times\cdots\times G_n$, los siguientes incisos son ciertos:

1. $G_i\cong G_i^*$,
2. $G_i^* \unlhd G$ y
3. $G/G_i^* \cong G_1\times \cdots \times G_{i-1}\times G_{i+1} \times\cdots G_n.$

Demostración.
$\text{inc}_i$ es un monomorfismo y si restringimos a su imagen $G_i^*$ obtenemos un epimorfismo, dando un isomorfismo de $G_i$ a $G_i^*$.

Ahora $\varphi: G \to G_1\times \cdots \times G_{i-1}\times G_{i+1} \times \cdots \times G_n$ con $\varphi(g_1,\dots, g_n) = (g_1, \dots, g_{i-1}, g_{i+1},\dots, g_n)$ es un epimorfismo y $\text{Núc }\varphi = G_i^*$, probando con ello que $G_i^* \unlhd G$. Además, por el 1er teorema de isomorfía
\begin{align*}
G/G_i^* \cong G_1 \times \cdots \times G_{i-1} \times G_{i+1} \times\cdots G_n.
\end{align*}

$\blacksquare$

Observación 4. Sean $i\neq j$, $x\in G_i^*$, $y\in G_j^*$. Entonces $x*_ny = y*_nx$.

¿Y si ahora recuperamos $G$ a partir de los $G_i^*$?

En la entrada Producto de subgrupos y clases laterales, definimos el producto de dos subgrupos. Generalicemos esta idea para una cantidad finita de subgrupos:

Definición. Sea $G$ un grupo. Dados $H_1,\dots,H_n$ subgrupos de $G$, el producto de $H_1,\dots, H_n$ es
\begin{align*}
\prod_{i = i}^n H_i = H_1\cdots H_n = \{h_1h_2\cdots h_n\;|\; h_i \in H_i ;\forall i\in \{1,\dots,n\} \}.
\end{align*}

Observemos que para realizar el producto de $h_1h_2\cdots h_n$ sólo usamos la operación del grupo $G$ porque todas las $H_i$ son subgrupos de $G$. Sin embargo, como estudiamos en la entrada Producto de subgrupos y clases laterales, el conjunto $ H_1\cdots H_n$ no necesariamente es un subgrupo ya que la operación no siempre es cerrada. En la siguiente entrada agregaremos condiciones a los subgrupos $H_i$ para que $ H_1\cdots H_n$ sí sea un subgrupo de $G$.

Relacionemos ahora el producto directo externo con el producto de los subgrupos $G_i^*$ antes definidos:

Proposición. Sean $G_1,\dots, G_n$ grupos, $G = G_1\times\cdots\times G_n.$

1. $G_i^* \unlhd G \quad \forall i\in\{1,\dots,n\}$.
2. $\displaystyle G_i^* \cap \left( \prod_{j\neq i} G_j^*\right) = \{e_G\} \text{ para toda }i\in\{1,\dots,n\}$.
3. $\displaystyle G = \prod_{i = 1}^n G_i^*$.

Demostración.
Sean $G_1,\dots, G_n$ grupos, $G = G_1\times\cdots\times G_n$.

1. Por la observación 3: $G_i^* \unlhd G$, para toda $i\in\{1,\dots, n\}$.
2. La contención $\displaystyle \{e_G\} \subseteq G_i^* \cap \left( \prod_{j\neq i} G_j^*\right) $, donde $e_G = (e_{G_1},\dots, e_{G_n})$, es clara. Así que probaremos la otra.
   Sea $\displaystyle g = (g_{1}, \dots, g_n) \in G_i^* \cap \left(\prod_{j\neq i}G_j^*\right)$.
   Como $g\in G_i^* = \{e_{G_1}\}\times\cdots\times G_i\times \cdots \times \{e_{G_n}\}$, entonces la $j$-ésima entrada de $g $ es $g_j = e_{G_j}$ para toda $j\neq i$.
   Como $\displaystyle g \in \prod_{j\neq i} G_j^*$, $g = h_1 \cdots h_{i-1}\,h_{i+1} \cdots h_n$ con $h_j \in G_j^*$ para toda $j\neq i$.
   Dado que cada $h_j \in G_j^*$ y $j\neq i$, la entrada $i$ de cada $h_j$ es $e_{G_i}$, por lo tanto la entrada $i$ de $g$ es $e_{G_i}$.
   Por lo tanto $g = (e_{G_1},\dots, e_{G_n}) = e_G$.
3. Como $G_i^*\subseteq G$ para toda $i \in \{1,\dots,n\}$, entonces $\displaystyle \prod_{i = 1}^n G_i \subseteq G.$
   Ahora, si $g\in G$,
   \begin{align*}
   g = (g_1,\dots, g_n) = (g_1,e_{G_2},\dots, e_{G_n})(e_{G_1}, g_2,e_{G_3},\dots,e_{G_n}) \cdots (e_{G1},\dots, e_{G_{n-1}}, g_n).
   \end{align*}
   Entonces $\displaystyle g\in \prod_{i = 1}^n G_i^*.$
   Por lo tanto $\displaystyle G = \prod_{i= 1}^n G_i^*$.

$\blacksquare$

Lo anterior muestra que un producto directo externo es un producto de subgrupos normales que cumple el inciso 2 de la proposición.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

1. Demuestra las observaciones 1, 2 y 4:
   • $\text{inc}_i$ es un monomorfismo.
   • $\pi_i$ es un epimorfismo.
   • Sean $i\neq j$, $x\in G_i^*$, $y\in G_j^*$. Entonces $x*_ny = y*_nx$.
2. Sean $G_1, \dots, G_n$ grupos finitos, demuestra que el orden de su producto directo externo es $|G_1||G_2|\dots |G_n|.$
3. Prueba que el centro de un producto externo es el producto externo de los centros, esto es: $$Z(G_1\times G_2 \times \dots \times G_n) = Z(G_1) \times Z(G_2) \times \dots \times Z(G_n).$$ Deduce que el producto directo externo de grupos abelianos es abeliano.
4. Sea $G = A_1 \times A_2 \dots \times A_n$ y para cada $i\in\{1,\dots,n\}$ sea $B_i \unlhd A_i$. Prueba que $B_1 \times B_2 \times \dots \times B_n \unlhd G$ y que $$(A_1 \times A_2 \dots \times A_n) / (B_1 \times B_2 \times \dots \times B_n) \cong (A_1/B_1) \times (A_2/B_2) \times \dots \times (A_n/B_n).$$
5. Sean $A$ y $B$ dos grupos finitos y sea $p$ un primo.
   • Prueba que cualquier $p$-subgrupo de Sylow de $A\times B$ es de la forma $P\times Q$, donde $P$ es un $p$-subgrupo de Sylow de $A$ y $Q$ es un $p$-subgrupo de Sylow de $B$.
   • Prueba que además, la cantidad de $p$-subgrupos de Sylow de $A\times B$ es igual a la cantidad de $p$-subgrupos de Sylow de $A$ por la cantidad de $p$-subgrupos de Sylow de $B$, es decir: $$r_p(A\times B) = r_p(A)r_p(B).$$
   • Generaliza este resultado para el producto directo externo de una cantidad finita de grupos, es decir, para $A_1 \times A_2 \times \dots \times A_n$ determina que sus $p$-subgrupos de Sylow son el producto directo externo de $p$-subgrupos de Sylow de sus factores.

Más adelante…

La última proposición es prácticamente la conclusión de esta entrada, porque iniciamos definiendo a $G$ como el producto de grupos externos a él y terminamos describiendo a $G$ como producto de subgrupos específicos de él mismo. ¿Habrá alguna manera de generalizar esto, es decir, cuándo un grupo $G$ se podrá expresar como un producto de subgrupos específicos de él mismo? Esta pregunta nos lleva a la definición del producto directo interno que se dará en la siguiente entrada.

Entradas relacionadas

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