Introducción

Ya analizadas en el tema anterior la inversión de rectas y circunferencias, es momento de ver cómo la inversión conserva ángulos. En esta entrada estudiaremos la propiedad de conservación de ángulos, veremos cómo se relaciona con distancias, y finalmente presentaremos dos aplicaciones importantes: el teorema de Ptolomeo y el teorema de Feuerbach.

Conservación de ángulos

El siguiente resultado es fundamental para entender la inversión como transformación geométrica.

Teorema. La inversión es una transformación que preserva ángulos e invierte orientación.

Demostración. Presentaremos dos demostraciones distintas de este resultado.

Primera demostración:

Sea $\mathcal{C}(O,r)$ la circunferencia de inversión. Sean $A$ y $B$ dos circunferencias que se intersecan, y sea $P$ uno de los puntos de intersección. Sea $P’$ el inverso de $P$.

Construyamos la circunferencia $C$ tangente a $A$ en $P$ y que pase por $P’$. De igual forma, construyamos $D$ tangente a $B$ en $P$ y que pase por $P’$. Sea $L_1$ la recta tangente a $A$ en $P$, la cual también es tangente a $C$ en $P$. Sea $L_2$ la recta tangente a $B$ en $P$, la cual es tangente a $D$ en $P$. Entonces el ángulo entre $A$ y $B$ es el mismo que el ángulo entre $C$ y $D$.

Como $C$ y $D$ pasan por puntos inversos $P$ y $P’$, entonces son ortogonales a $\mathcal{C}$, la circunferencia de inversión. Sean $A’$ y $B’$ las circunferencias inversas de $A$ y $B$ respectivamente. Dado que $P$ y $P’$ son inversos, se tiene que el ángulo entre $A’$ y $B’$ es el mismo que el ángulo entre $C$ y $D$, y por lo tanto es el mismo que el ángulo entre $A$ y $B$.

Por lo tanto, la inversión preserva ángulos e invierte orientación.

$\square$

Segunda demostración:

Sean dos curvas que se intersecan en $P$, con $P\neq O$. Tracemos una línea por $OP$ y otra por $O$ que corte a las curvas en $Q$ y $R$, con $O$, $Q$ y $R$ colineales.

Los puntos $P$, $Q$ y $R$ tienen inversos $P’$, $Q’$ y $R’$ respectivamente. Las inversas de las curvas que pasan por $P$, $Q$ y $P$, $R$ tendrán que intersecarse en $P’$, $Q’$ y $P’$, $R’$ respectivamente. Por definición de inversión: $$OP\cdot OP’=OQ\cdot OQ’=OR\cdot OR’=r^2.$$

Por lo tanto, $\triangle OPQ \sim \triangle OQ’P’$ y también $\triangle OPR \sim \triangle OR’P’$. Si trazamos las secantes que corten a las curvas en $P$ y que pasen por $Q$ y $R$, y análogamente en $P’$ que pasen por $Q’$ y $R’$, entonces $$\angle OPQ = \angle P’Q’O \quad \text{y} \quad \angle OPR = \angle P’R’O.$$

Por lo cual, $\angle QPR= \angle R’P’Q’$ y $\angle RPQ= – \angle R’P’Q’$. Ahora, si tomamos el límite cuando $Q$ y $R$ tienden a $P$, entonces $Q’$ y $R’$ tienden a $P’$. Por lo tanto, $\angle RPQ$ y $\angle R’P’Q’$ tienden a ser los ángulos límite de la intersección de las curvas.

Por lo tanto, los ángulos bajo inversión se preservan en magnitud pero son opuestos en signo.

$\square$

Observación. Es por esto que se dice que la inversión es una transformación isogonal.

Consecuencias de la conservación de ángulos

El teorema anterior tiene varias consecuencias importantes que enunciaremos a continuación.

Corolario. Si dos curvas son tangentes una a la otra en $P$, sus inversas son tangentes una a la otra en $P’$.

Corolario. Objetos ortogonales se invierten en objetos ortogonales.

Corolario. Rectas paralelas se invierten en circunferencias tangentes en el centro de inversión.

Teorema. Sea $A$ una circunferencia y $A’$ su inversa. Entonces son homotéticas desde el centro de inversión.

Inversión y distancias

Aunque la inversión no preserva distancias, podemos relacionar las distancias antes y después de una inversión mediante las siguientes fórmulas.

Teorema. Sean $P$ y $P’$ puntos inversos con respecto a una circunferencia de inversión de radio $r$. Sea $B$ un punto colineal a $P$ y $P’$ que intersecta a la circunferencia de inversión. Entonces: $$BP’ = \frac{BP}{1+BP/r} \quad \text{y} \quad BP=\frac{BP’}{1-BP’/r}.$$

Demostración. Tenemos que $BP’=r-OP’$. Por definición de inversión, $OP\cdot OP’=r^2$, de modo que $OP’= \frac{r^2}{OP}$. Entonces:

\begin{align*} BP’ & =r- \frac{r^2}{OP} \\ & =r- \frac{r^2}{r+BP} \\ & =\frac{r(r+BP) – r^2}{r+BP} \\ & =\frac{r \cdot BP}{r+BP} \\ & =\frac{BP}{1+BP/r}. \end{align*}

Así, $BP’= \frac{BP}{1+BP/r}$. Ahora veamos la otra fórmula:

\begin{align*} BP & =OP-r \\ & =\frac{OP’ \cdot OP}{OP’} -r \\ & =\frac{r^2}{OP’} -r \\ & =\frac{r^2}{r-BP’} -r \\ & =\frac{r^2 – r(r-BP’)}{r-BP’} \\ & =\frac{r \cdot BP’}{r-BP’} \\ & =\frac{BP’}{1-BP’/r}. \end{align*}

$\square$

El siguiente resultado es más general y no requiere que los puntos sean colineales con el centro.

Teorema. Sea $\mathcal{C}(O,r)$ una circunferencia de inversión. Sean $P$ y $Q$ dos puntos con inversos $P’$ y $Q’$ respectivamente. Entonces: $$P’Q’= \frac{r^2 \cdot PQ}{OP \cdot OQ}.$$

Demostración. Por definición de inversión: $$OP \cdot OP’=r^2 \quad \text{y} \quad OQ \cdot OQ’=r^2.$$

De aquí tenemos que:

\begin{align*} & OP \cdot OP’ = OQ \cdot OQ’ \\ &\Rightarrow \frac{OP}{OQ’} = \frac{OQ}{OP’} \\ & \Rightarrow \triangle OQP \sim \triangle OP’Q’ \\ & \Rightarrow \frac{OP}{OQ’} = \frac{OQ}{OP’} = \frac{PQ}{P’Q’} \\ & \Rightarrow \frac{OQ}{OP’} = \frac{PQ}{P’Q’} \\ & \Rightarrow P’Q’ = \frac{PQ \cdot OP’}{OQ} \\ & \Rightarrow P’Q’ = \frac{PQ \cdot OP’ \cdot OP}{OQ \cdot OP} \\ & \Rightarrow P’Q’ = \frac{r^2 \cdot PQ }{OP \cdot OQ}. \end{align*}

$\square$

Si $P$, $Q$ y $O$ son colineales, asumiendo $OP < OQ$, tenemos el siguiente resultado.

Proposición. Si $P$, $Q$ y $O$ son colineales con $OP

Demostración. Por definición de inversión, $OP \cdot OP’ = OQ \cdot OQ’=r^2$. Además, $P’Q’=OP’-OQ’$. Entonces:

\begin{align*} P’Q’ & =OP’ – OQ’ \\ & =\frac{r^2}{OP} – \frac{r^2}{OQ} \\ & =r^2\left(\frac{1}{OP} – \frac{1}{OQ}\right) \\ & =r^2\left(\frac{OQ-OP}{OP \cdot OQ}\right) \\ & =\frac{r^2 \cdot PQ}{OP \cdot OQ}. \end{align*}

$\square$

Aplicación: Teorema de Ptolomeo

Veamos una primera aplicación importante de la teoría de inversión.

Teorema de Ptolomeo. Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico convexo. Entonces: $$AC \cdot BD = BC \cdot AD + CD \cdot AB.$$

Demostración. Sea $\mathcal{C}(A,r)$ una circunferencia de inversión con centro en $A$. Consideremos la circunferencia circunscrita del cuadrilátero cíclico. La inversión transforma esta circunferencia (que pasa por $A$) en una línea recta $L$. Sean $B’$, $C’$ y $D’$ los inversos de $B$, $C$ y $D$ respectivamente. Estos puntos forman la línea $L$, como se muestra en la siguiente figura:

En la línea $L$ se tiene que $B’D’=B’C’+C’D’$. Por el teorema anterior sobre distancias bajo inversión:

\begin{align*} B’D’&= \frac{BD \cdot r^2}{AB \cdot AD}, \\ B’C’&= \frac{BC \cdot r^2}{AB \cdot AC}, \\ C’D’&= \frac{CD \cdot r^2}{AC \cdot AD}. \end{align*}

Sustituyendo en $B’D’=B’C’+C’D’$:

$$\frac{BD \cdot r^2}{AB \cdot AD}= \frac{BC \cdot r^2}{AB \cdot AC}+ \frac{CD \cdot r^2}{AC \cdot AD}.$$

Cancelando $r^2$ y multiplicando por $AB \cdot AC \cdot AD$:

$$BD \cdot AC = BC \cdot AD + CD \cdot AB.$$

Por lo tanto, $AC \cdot BD = BC \cdot AD + CD \cdot AB$.

$\square$

Aplicación: Teorema de Feuerbach

Veamos otra aplicación notable de la inversión: el teorema de Feuerbach, que relaciona la circunferencia de los nueve puntos con los círculos asociados a un triángulo.

Teorema de Feuerbach. La circunferencia de los nueve puntos de un triángulo es tangente al incírculo y a los tres excírculos.

Demostración. Sea $\triangle ABC$ un triángulo con incírculo $C_I$ y excírculo $C_E$ (el excírculo correspondiente a $A$). Sea $BC$ la tangente común a $C_I$ y $C_E$. Tracemos otra tangente $B’C’$ simétrica a $BC$ con respecto a la bisectriz $AI$. De lo anterior, tenemos que $C \in AB$, $B’ \in AC$ y $A’=BC \cap B’C’$.

Los puntos $A$ y $A’$ son centros de homotecia de $C_I$ y $C_E$ respectivamente. Entonces el segmento $IE$ es dividido por $A’$ y $A$ interna y externamente en la razón de sus radios. Sea $r$ el radio de $C_I$ y $r_A$ el radio de $C_E$. Entonces: $$\frac{IA’}{A’E}=-\frac{IA}{AE}=\frac{r}{r_A}.$$

Por lo tanto, $A$ y $A’$ son conjugados armónicos respecto a $I$ y $E$. Tracemos perpendiculares desde $E$, $I$ y $A$ sobre la recta $BC$, y llamemos $P_e$, $P_i$ y $P_a$ a sus respectivos pies. Los triángulos $\triangle EP_eA’$, $\triangle IP_iA’$ y $\triangle AP_aA’$ son semejantes. Por lo tanto, $P_a$ y $A’$ son conjugados armónicos respecto a $P_i$ y $P_e$.

Sea $M_A$ el punto medio de $BC$. Entonces también es punto medio de $P_i$ y $P_e$. Tracemos la circunferencia $Z$ con centro $M_A$ y radio $M_AP_i$. Entonces $A’$ y $P_a$ son inversos respecto a $Z$.

Calculemos el radio de $Z$. Sean $a$, $b$, $c$ las longitudes de los lados opuestos a $A$, $B$, $C$ respectivamente, y sea $s$ el semiperímetro. Entonces:

$$P_eP_i=BC-2P_iC=a-2(s-c)=c-b.$$

Por lo tanto, el radio de $Z$ es $\frac{c-b}{2}$ y $M_AM_B=\frac{c}{2}$.

Sea $S=B’C’ \cap M_AM_B$. Entonces:

$$M_AS=M_AM_B – M_BS.$$

Como $M_AM_B$ es paralela a $BA$, entonces $\triangle B’SM_B \sim \triangle B’C’A$. Por lo tanto, sus lados son proporcionales: $$\frac{SM_B}{C’A}=\frac{M_BB’}{AB’}.$$

De aquí, $$SM_B =\frac{C’A\cdot B’M_B}{B’A}.$$

Como $CA=C’A$ y $B’A=BA$ por simetría, entonces:

$$SM_B=\frac{CA\cdot (BA-M_BA)}{BA}=\frac{b\cdot(c – \frac{b}{2})}{c}=\frac{2bc-b^2}{2c}.$$

Por lo tanto:

$$M_AS=M_AM_B-SM_B=\frac{c}{2} – \frac{2bc-b^2}{2c} = \frac{c^2 – 2bc + b^2}{2c} = \frac{(c-b)^2}{2c}.$$

Así,

$$M_AS \cdot M_AM_B = \frac{(c-b)^2}{2c} \cdot \frac{c}{2} = \left(\frac{c-b}{2}\right)^2.$$

Por lo tanto, $S$ y $M_B$ son inversos respecto a la circunferencia $Z$ con diámetro $P_iP_e$. La inversa de la recta $B’C’$ es una circunferencia que pasa por $M_A$ (el centro de inversión), por $P_a$ y por $M_B$. Como una circunferencia está determinada por tres puntos y la circunferencia de los nueve puntos cumple esto, entonces $C_N$ (la circunferencia de los nueve puntos) es la inversa de la recta $B’C’$ con respecto a la circunferencia $Z$.

El inverso de $C_I$ con respecto a $Z$ es $C_I$ mismo, ya que $C_I$ es ortogonal a $Z$. De igual forma, el inverso de $C_E$ con respecto a $Z$ es $C_E$. Como $B’C’$ es tangente a $C_I$ y $C_E$, y la inversión conserva ángulos, se sigue que la circunferencia $C_N$ es tangente a las circunferencias $C_I$ y $C_E$. El mismo razonamiento aplica para los otros dos excírculos.

$\square$

Invarianza de la razón cruzada bajo inversión

Finalmente, veamos una propiedad proyectiva importante que se preserva bajo inversión.

Teorema. La razón cruzada es invariante bajo inversiones.

Demostración. Este resultado debe interpretarse tanto para la razón cruzada entre puntos colineales como para rectas concurrentes.

Sea $\mathcal{C}(O, r)$ una circunferencia de inversión. Sean $A$, $B$, $C$ y $D$ cuatro puntos colineales distintos de $O$, con inversos $A’$, $B’$, $C’$ y $D’$ con respecto a $\mathcal{C}$. Denotemos $a’=OA’$, $b’=OB’$, $c’=OC’$ y $d’=OD’$.

Queremos demostrar que las razones cruzadas coinciden: $$O(A’B’, C’D’)=O(AB, CD).$$

Como la razón cruzada es una propiedad proyectiva y las inversiones preservan ángulos e invierten orientación, tenemos:

\begin{align*} O(AB, CD)&=\frac{\sin \angle AOC}{\sin \angle AOD} \cdot \frac{\sin \angle DOB}{\sin \angle COB}\\ &=\frac{-\sin \angle A’OC’}{-\sin \angle A’OD’} \cdot \frac{-\sin \angle D’OB’}{-\sin \angle C’OB’}\\ &=\frac{\sin \angle A’OC’}{\sin \angle A’OD’} \cdot \frac{\sin \angle D’OB’}{\sin \angle C’OB’}\\ &=O(A’B’, C’D’). \end{align*}

$\square$

Más adelante…

Veremos cómo la inversión es una forma alternativa de resolver problemas ya demostrados, facilitando su comprensión. Además, revisaremos un tema de gran importancia: la circunferencia de antisimilitud.

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