Una vez analizado y visto el tema de Inversión es momentos de dejar algunos ejercicios para reforzar los temas vistos, así como practicar e investigar más por nuestra parte.
Ejercicios
1.- Los 4 puntos armónicos se invierten en 4 puntos armónicos con respecto a una circunferencia cuyo centro sea otro punto en la misma recta que los primeros.
2.- ¿Cuál es el inverso de una línea al infinito?
3.- Una circunferencia, su inverso y la circunferencia de inversión son coaxiales.
4.- Si una circunferencia es invertida en una circunferencia, ¿El centro de la primera es invertido en el centro de la segunda?
5.- Identifique el inverso de una circunferencia circunscrita con respecto a la circunferencia inscrita como circunferencia de inversión.
6.- Probar que 3 puntos no colineales pueden ser invertidos en los vértices de un triángulo equilátero de tamaño dado.
7.- Si 2 curvas son mutuamente inversas, una tangente a una de ellas desde el centro de inversión es también tangente a la otra.
8.- Invierta el Teorema siguiente: Un ángulo inscrito en una semicircunferencia es un ángulo recto, tomando uno de los extremos del diámetro que subtiende el ángulo recto como centro de inversión.
9.- Encontrar la circunferencia de antisimilitud de dos circunferencias concéntricas.
10.- Usando inversión construir una circunferencia que pase por un punto dado y que sea tangente a dos circunferencias dadas.
A lo largo de los temas hemos visto definiciones de inversión junto con teoremas, pero también podemos verlo a través de construcciones a la inversión usando regla y compas.
Construcciones
Construcción. Dada una línea que pasa por $A$ y $B$, encontrar el punto medio del segmento $AB$ usando únicamente compas.
Solución. Podemos construir una circunferencia con centro $A$ y radio $AB=r$ se tiene $C(A,r)$ y con esta localizamos $P$ en la línea $AB$ talque $B$ es el punto medio de $AP$. Usando $P$ como centro y radio $AP$ trazamos la circunferencia $C(P,AP)$ la cual interseca a la primera circunferencia $C(A,r)$ en un punto $C$. Por último dibujamos la circunferencia $C(C,r=AB)$ donde intersecamos a $AB$ en $P’$, entonces $P’$ es punto medio de $AB$.
Notemos que $\triangle AP’C \approx \triangle ACP$, ya que son triángulos semejantes isósceles, puesto que comparten un mismo ángulo con vértice $A$, tal que
Por lo cual $AP =2r$ y $AP’=\frac{1}{2} r$, entonces $AP \times AP’ =2r \times \frac{1}{2} r =r^2$, esta relación entre $P’$ y $P$ es la que llamamos inversión.
$\square$
La construcción anterior nos sirve para encontrar el inverso, entonces analicemos otras construcciones para encontrar el inverso con compas.
Construcción. Sea $C(O,r)$ y $P$ un punto externo, tracemos la recta $OP$. Ahora con centro $P$ y radio $OP$ dibujamos el arco que interseque a $C(O,r)$ en $Q$. Con centro $Q$ y radio $OQ$, dibujamos un arco que interseque a $OP$ en $P’$.
Entonces $P’$ es el inverso de $P$ y como $\triangle OQP \approx \triangle OP’Q$ por triángulos isósceles con ángulo en común $O$ entonces
$\frac{OP}{OQ}=\frac{OQ}{OP’} \Rightarrow OP \times OP’ =r^2.$
$\square$
Construcción. (Método de la tangente) Otra construcción del inverso es de la siguiente forma, dada una circunferencia $C(O,r)$ y un punto $P$ externo a la circunferencia, trazamos el segmento $OP$, y trazamos las tangentes desde $P$ a la circunferencia $C(O,r)$ que son $PQ$ y $PR$ con $Q$ y $R$ los puntos de tangencia, la figura es la siguiente:
Sea $P’=QR \cap OP$ entonces $P’$ es inverso de $P$. Sean los $\triangle OQP’$ y $\triangle OPQ$ comparten el angulo $O$, el lado $OQ$ y $\angle OP’Q = \angle OQP$ entonces
Construcción. (Método de la perpendicular) Otro método para ver el inverso cuando $P$ está dentro o fuera de la circunferencia, es de la siguiente forma.
Sea la circunferencia $C(O,r)$ trazamos el diámetro con puntos en los extremos $ST$, donde el diámetro es perpendicular a $OP$. Unimos $S$ con $P$ y la intersección con la circunferencia es $Q$, se une $T$ con $Q$ y esta recta $TQ$ interseca a $OP$ en $P’$, entonces $P’$ es inverso de $P$.
$\square$
Construcción. Dado un punto $P$ fuera de la circunferencia $\alpha$ con centro $O$, construir el inverso de $P$ con respecto a $\alpha$.
Solución. Dibujamos el arco con centro $P$ que pase por $O$ y corte a la circunferencia $\alpha$ en 2 puntos $B$ y $C$; Ahora dibujamos los arcos con centros $B$ y $C$ y que pase por $O$, la intersección la llamaremos $P’$ y será el inverso de $P$.
$\square$
Construcción. Dado un punto $A$ y $B$, construir el punto $C$ tal que $B$ es el punto medio de $AC$.
Solución. Trazamos la circunferencia $\alpha$ con centro $B$ y radio $A$, trazamos el arco con centro $A$ y radio $B$ que corte a la circunferencia $\alpha$ en $D$, trazamos el arco con centro $D$ y radio $AB$ que corte a $\alpha $ en $E$ y por último dibujamos el arco con centro $E$ con radio $AB$ que corte a $\alpha$ en $C$.
Los triángulos $\triangle ABD$, $\triangle EBC$ y $\triangle DBE$ son equiláteros, entonces $\angle ABD = \angle EBC =\angle DBE = 60°$. Esto significa que $ABC$ es una línea recta, y $AC$ es el diámetro de$\alpha$. Por lo tanto, $B$ es el punto medio de $AC$.
$\square$
Construcción. Dada una circunferencia $\alpha$ con centro $A$ y radio $r$, y dado un punto $P$ dentro de $\alpha$, construir el inverso de $P$ con respecto a $\alpha$.
Solución. Para esta se usarán distintas construcciones, es por ello que usando la construcción 5 se pueden construir puntos $P_1$, $P_2$, $P_3$,…, $P_i$ tal que $P_i$ este fuera de $\alpha$, entonces:
Usando la construcción 4 se puede encontrar el inverso de $P_i$ lo llamaremos $S$, entonces $AS \times AP_i =r^2$. De igual forma, aplicando la construcción 5 a $S$ se pueden generar puntos $S_1$, $S_2$,…, $S_i$ tal que
$AS_i \times AP = 2^i AS \times AP= AS \times 2^i AP =AS \times AP_i =r^2.$
$\square$
Construcción. Dada una circunferencia $\alpha$ con centro desconocido $A$, construir este centro.
Solución. Con un punto $P$ en $\alpha$, construimos un círculo $\omega$ que interseca a $\alpha$ en $C$ y $D$, radio de $\omega $ es menor al radio de $\alpha$. Dibujar los arcos de $C$ y $D$ con radio $CP$ y se intercepta en $Q$. Y por la construcción 6 se encuentra $Q’$ el inverso de $Q$ con respecto a $\omega$, por lo tanto, $Q’$ es el centro de $\alpha$ y $Q’=A$.
$\square$
Más adelante…
Con esto concluye la unidad de Inversión, es por ello que ahora es necesario dejar algunos problemas para reforzar e investigar más sobre la Inversión.
A lo largo de los teoremas vistos en geometría moderna se han demostrado y visto propiedades, pero gracias a la inversión se pueden deducir y demostrar nuevos teoremas de los ya vistos. A esto se le denomina Inversión de un Teorema.
Inversión de un Teorema y circunferencia de antisimilitud
Ejemplo. Dado un teorema referente a las alturas de un triángulo, se puede demostrar usando inversión y referente a circunferencias. Sean $Z$ y $Z’$ dos circunferencias que se intersecan en $A$ y $O$, de $O$ se tiene los diámetros $OE$ de $Z’$ y $OF$ de $Z$ donde intersecan a $Z$ en $B$ y $Z’$ en $C$; Por lo cual el eje radical $AO$ pasa por el centro de la circunferencia de los puntos $O$, $B$ y $C$ la cual llamaremos $Z’$$’$.
Usando el Teorema. El inverso de una circunferencia que pasa por el centro de inversión es una recta que no pasa por el centro de inversión: Por lo cual, usando $O$ como centro de inversión, se tiene que los inversos de $A$, $B$ y $C$ son $A’$, $B’$ y $C’$ respectivamente. Las circunferencias $Z$, $Z’$ y $Z’$$’$ se invierten en $A’B’$, $A’C’$ y $B’C’$ correspondientemente. Y las líneas $AO$, $FO$ y $EO$ se invierten en sí mismas por Teorema de inversión de línea que pasa por el centro de inversión. Se tiene la inversión:
Ahora como un diámetro interseca su circunferencia ortogonalmente, entonces $B’O$ y $C’O$ por la propiedad de conservación de ángulos en la inversión son las alturas del triángulo $A’B’C’$, entonces $A’O \perp B’C’$. Por lo tanto, $AO \perp $ $Z’$$’$ entonces $AO$ pasa por el centro de $Z’$$’.$
$\triangle$
Circunferencia de Antisimilitud
Definición. La circunferencia de antisimilitud es una circunferencia respecto a la cual dos circunferencias son mutuamente inversas.
Recordemos dos propiedades:
El centro de inversión de dos circunferencias inversas es el centro de similitud.
Dado un par de puntos inversos son antihomologos con respecto al centro de similitud.
Teorema. Sean dos circunferencias de las cuales existen tres posibles casos ($O$ y $O’$ centros de similitud).
Caso 1. Si se intersecan, entonces tienen dos circunferencias de antisimilitud tal que sus centros son los centros de similitud de las circunferencias dadas y que pasan por sus puntos de intersección.
Caso 2. Si no se intersecan (o son tangentes), entonces solo tienen una circunferencia de antisimilitud cuyo centro está en el centro de similitud exterior si las circunferencias son mutuamente excluyentes.
Caso 3. Si no se intersecan, entonces solo tiene una circunferencia de antisimilitud cuyo centro está en el centro de similitud interior si las circunferencias son internas una a la otra.
Lema. Una circunferencia $C_1$ y dos puntos inversos respecto a ella los llamaremos $S$ y $S’$ los cuales se invierten en una recta $C’_1$ y en dos puntos simétricos $P$ y $Q$ respecto a $C_1$, cuando el centro de inversión es un punto $A$ en $C_1$.
Teorema. Dos circunferencias que no se intersecan se pueden invertir en dos circunferencias iguales.
Demostración. Sean $C_1$ y $C’_1$ circunferencias y $C$ la circunferencia de antisimilitud de dichas circunferencias. Sea $A \in C$ y sea $C_2$ con centro $A$. Las inversas de $C_1$ y $C’_1$ respecto a $C_2$ son dos circunferencias simétricas respecto al inverso de $C$ (Por el Lema anterior).
$\square$
Más adelante…
Es hora de ver algunas construcciones respecto a la inversión.
Ya analizado en el anterior tema, la inversión de rectas y circunferencias, es momento de ver como la inversión hace conservación de ángulos.
Conservación de ángulos y razón cruzada
Teorema. La inversión es una transformación, que preserva ángulos e invierte orientación.
Demostración. Para ello lo demostraré de dos maneras distintas:
1.º Forma
Se tiene una circunferencia de inversión $C_o(O,r)$, $A$ y $B$ circunferencias que se intersecan, y sea $P$ uno de los puntos de intersección, además se tiene $P’$ inversa de $P$. Ahora construyamos la circunferencia $C$ tangente a $A$ en $P$ y que pase por $P’$, de igual forma se construye $D$ tangente a $B$ en $P$ y que pase por $P’$. Sea $L_1$ recta tangente a $A$ en $P$ y de igual forma tangente a $C$ en $P$, sea $L_2$ recta tangente a $B$ en $P$ y es tangente a $D$ en $P$, entonces el ángulo entre $A$ y $B$ es el mismo entre $C$ y $D$. Como $C$ y $D$ pasan por puntos inversos, entonces son ortogonales a $C_o$ la circunferencia de inversión, $P$ y $P’$ son ortogonales entre $A’$ y $B’$ dos circunferencias inversas a $A$ y $B$ respectivamente, entonces se tiene que el ángulo entre $A’$ y $B’$ es el mismo entre $A$ y $B$. Por lo tanto, la inversión preserva ángulos e invierte orientación.
$\square$
2.º Forma
Sean 2 curvas que se intersecan en $P$ y $P\neq O$. Tracemos una línea por $OP$ y otra por $O$ que corte a las curvas en $Q$ y $R$, $OQR$ colineales. Se tiene que $P$, $Q$ y $R$ tienen inversos $P’$, $Q’$ y $R’$ respectivamente, entonces las inversas de dichas curvas $PQ$ y $PR$ tendrán que intersecarse en $P’$, $Q’$ y $R’$ respectivamente, ahora por definición de inversión $OP\times OP’=OQ\times OQ’=OR\times OR’$, por lo cual $\triangle OPQ \approx \triangle OQ’P’$ y también $\triangle OPR \approx \triangle OR’P’$, y si trazamos las secantes que corten a las curvas en $P$ y $P’$, y que pase por $Q$, $R$, $Q’$ y $R’$, entonces
Y por lo cual $\angle QPR= \angle R’P’Q’$ y $\angle RPQ= – \angle R’P’Q’$, ahora si se tiene el límite cuando $Q$ y $R$ tienden a $P$, entonces $Q’$ y $R’$ tienden a $P’$, por lo cual $\angle RPQ$ y $ \angle R’P’Q’$ tienden a ser los angulos límite de la intersección de las curvas. Por lo tanto, los ángulos preservan la inversión en magnitud pero opuestos en signo.
$\square$
Observación.Es por ello que se dice que la inversión es una transformación isogonal.
Corolario. Si dos curvas son tangente una a la otra en $P$, sus inversas son tangentes una a la otra en $P’$.
Corolario. Objetos ortogonales se invierten en objetos ortogonales.
Corolario. Rectas paralelas se invierten en circunferencias tangentes en el centro de inversión.
Teorema. Sea $A$ una circunferencia y $A’$ su inversa, entonces son homotéticas desde el centro de inversión.
Inversión y Distancias
Teorema. Sean $P$ y $P’$ puntos inversos y $B$ un punto colineal a $PP’$ y que corta al círculo de inversión, entonces
$BP’ = \frac{BP}{1+BP/r}$ y $BP=\frac{BP’}{1-BP’/r}.$
Demostración. Se tiene que $BP’=r-OP’=r- \frac{OP’ \times OP}{OP}$, entonces por definición de inversión:
Teorema de Ptolomeo. Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico convexo, entonces
$BC \times BD = BC \times AD + CD \times AB.$
Demostración. Sea una circunferencia de inversión $C(A,r)$ y se tiene una circunferencia circunscrita del cuadrilátero cíclico. La circunferencia invierte los puntos en una línea, es decir, se tiene $B’$ inverso de $B$, $C’$ inverso de $C$ y $D’$ inverso de $D$, los cuales forman la línea «$L$», se muestra:
Entonces se maneja las distancias de la línea «L$, se tiene $B’D’=B’C’+C’D’$ y por el teorema anterior:
Entonces se cancelan las $r^2$ y si nos fijamos en el denominador tenemos en comun $AB$, $AD$ y $AC$. Por lo cual multiplicamos por $AB \times AD \times AC$
$\Rightarrow \frac{BD \times AB \times AD \times AC}{AB \times AD}= \frac{BC \times AB \times AD \times AC}{AB \times AC}= \frac{CD \times AB \times AD \times AC}{AC \times AD}$
Por lo tanto, $AC \times BD = BC \times AD + CD \times AB .$
$\square$
Teorema de Feuerbach
Teorema. La circunferencia de los nueve puntos del triángulo es tangente al incirculo y a los tres excirculos.
Demostración. Sea el triángulo $\triangle ABC$ con $C_I$ el incirculo y $C_E$ el excirculo, sea $BC$ la tangente a $C_1$ y $C_E$, se tiene otra tangente $B’C’$ la cual es simétrica a $BC$ con respecto a la bisectriz $AI$, de lo anterior se tienen tres cosas: $C \in AB$, $B’ \in AC$ y $A’=BC \cap B’C’$.
Por otra parte, los puntos $A$ y $A’$ son centros de homotecia de $C_I$ y $C_E$ respectivamente, entonces $I_E$ es dividido por $A’$ y $A$ interna y externamente en razón de sus radios.
Entonces $A$ y $A’$ son armónicos respecto a $I$ y $E$. Trazamos perpendiculares $E$, $I$ y $A$ sobre $BC$ y sus pies los llamamos $P_e$, $P_i$ y $P_a$ respectivamente, entonces los triángulos $\triangle EP_eA’ \approx \triangle IP_iA’ \approx AP_aA’$, entonces $P_a$ y $A’$ son armonicos respecto a $P_i$ y $P_e$. Ahora sea $M_A$ punto medio de $BC$ entonces también lo es de $P_i$ y $P_e$, trazamos la circunferencia $Z$ con centro $M_A$ y radio $M_AP_i$, entonces $A’$ y $P_a$ son inversos respecto a $Z$
Por lo cual
$P_eP_i=BC-2P_iC=a-2(s-c)=c-b.$
Donde $a$ es el lado opuesto al vértice $A$, de igual forma $b$ es de $B$, $c$ es de $C$ y $s$ es el semiperímetro.
Entonces el radio de $z$ es de $\frac{c-b}{2}$ y $M_AM_B=c/2.$
Por lo cual $S=B’C’ \cap M_AM_B.$
$\Rightarrow M_AS=M_AM_B + M_BS=M_AM_B -SM_B$, y $M_AM_B$ paralelo a $BA$ entonces $\triangle B’SM_B \approx \triangle B’C’A $ por lo cual sus lados son proporcionales $\frac{SM_B}{C’A}=\frac{M_BB’}{AB’}.$.
Y por lo cual $S$ y $M_B$ son inversos respecto a la circunferencia $Z$ con diámetro $P_iP_e$. El inverso de $B’C’$ es una circunferencia que pasa por $M_A$ el centro de inversión y por $P_a$ y $M_B$. Como una circunferencia está determinada por tres puntos y la circunferencia de los nueve puntos cumple esto, entonces $C_N$ es la inversa de la recta $B’C’$ con respecto a la circunferencia $Z$. Pero el inverso de $C_I$ con respecto a $Z$ es $C_I$, al igual $C_E$ su inverso con respecto a $Z$ es $C_E$, ya que son ortogonales a $Z$; $B’C’$ es tangente a $C_I$ y $C_E$ y como la inversión conserva ángulos se sigue que la circunferencia $C_N$ será tangente a las circunferencias $C_I$ y $C_E$ (De igual forma para los otros 2 excirculos).
$\square$
Teorema. La razón cruzada es invariante bajo inversiones.
Demostración. (Se debe de interpretar como la razón cruzada entre puntos colineales y rectas concurrentes).
Sea, $C(O, r)$ circunferencia, $A$, $B$, $C$ y $D$ cuatro puntos colineales distintos de $O$, sus inversos $A’$, $B’$, $C’$ y $D’$ con respecto a $C$ y $a’=OA’$, $b’=OB’$, $c’=OC’$ y $d’=OD’.$
Ahora las razones cruzadas coinciden: $O(a’b’, c’d’)=o(AB, CD).$
Como la razón cruzada es una propiedad proyectiva y las inversiones respeten ángulos e invierten orientación.
Se verá como la inversión es una forma alterna de resolver problemas ya demostrados y más fáciles de ver, además se revisará un tema de importante, la circunferencia de antisimilitud.
De la definición de Inversión se tiene la siguiente propiedad, se tienen $P$ y $P’$ dos puntos inversos respecto a la circunferencia $C(O,r)$, y cada uno de estos describe una curva, $P$ describe a $C$ y $P’$ describe a $C’$. Estas curvas son inversas una de la otra, se les llama mutuamente inversas.
Inversión de Rectas y Circunferencias
Se tienen 2 curvas $C$ y $C’$ inversas una de la otra, las cuales se intersecan, esto lo hacen sobre la circunferencia de Inversión, debido a que el punto en común debe ser su propio inverso, y el inverso de un punto en la $C(O,r)$ es el propio punto en la circunferencia de inversión. Dado lo anterior se puede ver la inversión aplicada a 2 objetos geométricos: Rectas y Circunferencias.
Teorema. Sea $C(O,r)$ una circunferencia de inversión y $L$ una recta que pasa por $O$, entonces el inverso de $L$ respecto a $C(O,r)$ es el mismo $L$.
Demostración. Tenemos una circunferencia $C(O,r)$ y $L$ una recta por $O$, además todo punto $P$ en $L$ tiene su inverso $P’$ tal que $O,P$ y $P’$ son colineales entonces $OP \times OP’ =r^2$.
Por lo cual los inversos de los puntos de $L$, también están en la misma recta $L$. Por lo tanto, $L$ su inverso es el mismo $L$.
$\square$
Teorema. Sea $C(O,r)$ una circunferencia de inversión y $L$ una recta que no pasa por $O$, entonces el inverso de $L$ respecto a $C$ es una circunferencia que pasa por $O$. Recíprocamente, el inverso de una circunferencia que pasa por el centro de inversión es una recta que no pasa por el centro de inversión.
Demostración. Sea $P$ el pie de la perpendicular desde $O$ a $L$ y sea $Q \neq P$, donde $Q \in L$ y de estos obtenemos $P’$ y $Q’$ los inversos respecto a $C$ de $P$ y $Q$ respectivamente.
$\Rightarrow OP \times OP’ =r^2$ y $OQ \times OQ’=r^2$
Esto ya que comparten 2 lados proporcionales y un ángulo en común $\angle O$. Ahora $\triangle OPQ$ es rectángulo, entonces $\triangle OQ’P’$ es rectángulo, por lo cual $OP’$ es un diámetro de una circunferencia que pasa por $Q’$.
Análogamente, si tuviéramos un $R \in L$, $R \neq P$ y $R \neq Q$, su inverso $R’$ cumplirá $\frac{OP}{OR’} = \frac{OR}{OP’}$, con lo que $\triangle OPR \approx \triangle OR’P’$, por lo cual $\triangle OR’P’ $ es rectángulo, como $OP’$ es fijo se sigue que la circunferencia del diámetro $OP’$ que pasa por $Q’$ también pasa por $R’$. Por lo tanto, el inverso de $L$ respecto a $C$ es $C_1$ una circunferencia que pasa por $O$.
$\square$
Inversamente, si $Q’$ es un punto de $C_1$ circunferencia, recorriendo al revés los pasos de la demostración anterior, que $Q$ está en la perpendicular a la línea del diámetro $OP’$ que pasa por el inverso de $P’$.
$\square$
Teorema. Sea $C(O,r)$ una circunferencia de inversión y sea $C_1$ una circunferencia ortogonal a $C$, el inverso de $C_1$ es $C_1$.
Demostración. Se traza una recta que pase por $O$ y $O_1$, la cual nos genere intersecciones en $C$ las cuales son $A$ y $B$, de igual forma en $C_1$ se genera $P$ y $P’$.
Sea $C \perp C_1$ ortogonal, entonces $P$ y $P’$ son armónicos respecto a $A$ y $B$.
$\Leftrightarrow P$ y $P’$ son inversos respecto a $C$.
Tracemos una recta que pase por $O$ y corte a $C_1$ en $Q$ y $Q’ \in C_1$, y a $C$ en $A’$ y $B’ \in C$, tales que $Q$ y $Q’$ son armónicos respecto a $A’$ y $B’$
$\Leftrightarrow P$ y $P’$ son inversos respecto a $C$.
Todo punto en una circunferencia ortogonal a la de inversión tiene su inverso en ella misma. Por lo tanto, $C_1$ es su propia inversa.
$\square$
Tenemos observaciones que nos indica que los siguientes son sus propios inversos con respecto a la circunferencia de Inversión:
La propia circunferencia de Inversión
Rectas por el centro de Inversión
Circunferencias ortogonales a la circunferencia de Inversión
Teorema. El inverso de una circunferencia que no pasa por el centro de inversión, es otra circunferencia que tampoco pasa por el centro de Inversión.
Demostración. Tenemos $C_1$ una circunferencia con centro $A$, tomemos un punto $P$ sobre la circunferencia $C_1$, también tenemos $C(O,r)$ una circunferencia con centro de Inversión $O$.
Tracemos una recta $OP$, genera un punto de intersección $Q$, y se genera $P’$ inverso de $P$. Ahora tracemos la recta $OA$ y $QA$, además tracemos una paralela a $QA$ que interseque a $OA$ en $B$
Por definición de Inversión $OP \times OP’=r^2$ y $OQ \times OP = w$, ahora como los triángulos $\triangle OBP’$ y $\triangle OAQ$ son semejantes, entonces
Entonces $OB$ es constante, $B$ es un punto fijo y $BP’$ es finita y constante, entonces el lugar geometrico de $P’$ es una circunferencia $C’_1$, por lo cual el punto $P’$ no pasa por $O$.
Por lo tanto, el Inverso de $C_1$ es $C’_1$.
$\square$
Observación. Note que $P$ y $P’$ son puntos antihomologos, $Q$ y $P’$ son homólogos y $O$ es el centro de homotecia de las circunferencias $C_1$ con centro $A$ y $C’_1$ con centro $B$.
Teorema. El inverso de una circunferencia concéntrica con la circunferencia de inversión, es otra circunferencia concéntrica con la circunferencia de inversión.
Demostración. Sea $C(O,r)$ nuestra circunferencia de Inversión y $C_1$ una circunferencia concéntrica a $C$
Tomemos un punto en $C_1$ el cual es $P$, del cual su inverso es $P’$ con respecto a $C(O,r)$, entonces la distancia $OP$ es constante, al igual $r$ es constante y por definición de inversión $OP \times OP’ =r^2$ entonces $OP’=r^2/OP$ por lo cual $OP’$ es constante.
Por lo tanto, el inverso de $C_1$ es una circunferencia $C’_1$ con centro $O$ y radio $OP’$.
$\square$
Más adelante…
Otro aspecto a analizar de la inversión será la conservación de ángulos.
