Se tiene una correspondencia geométrica fundamental, la cual implica la transformación de cada punto del plano en una línea recta única y viceversa, mediante el uso de una circunferencia. La línea recta vinculada a un punto se denomina la polar de dicho punto, mientras que el punto mismo recibe el nombre de polo de la línea, es por ello que estudiaremos el tema de Polos y Polares.
Definición (Polos y Polares)
Dada una circunferencia $C(O,r)$, dos puntos inversos $P$ y $Q$ respecto a $C(O,r)$. Sea $p$ la perpendicular a $OQ$ y que pasa por $Q$, y sea $q$ la perpendicular a $OP$ y pasa por $P$.
Entonces se dirá que «$p$ es la recta polar de $P$» y «$q$ es la recta polar de $Q$» ambas respecto a $C$. De igual forma se dirá que «$Q$ es el polo de $q$» y «$P$ es el polo de $p$» ambos respecto a $C$.
Se cumplen varias propiedades:
1.- Si $P$ es un punto exterior a la circunferencia, entonces $p$ es secante a la circunferencia $C$.
2.- Si $P$ es un punto de $C$, entonces $p$ es tangente a la circunferencia $C$.
3.- Si $P$ es un punto interior a $C$, entonces $p$ es ajena a la circunferencia $C$.
4.- La polar del centro de la circunferencia es la línea al infinito, y el polo de un diámetro de circunferencia $C$ es un punto al infinito.
Teorema (Fundamental de Polos y Polares)
Si respecto a una circunferencia dada $C(O,r)$, la polar de $P$ pasa por $Q$ entonces la polar de $Q$ pasa por $P$. A las rectas $p$ y $q$, se les llama conjugadas polares y, a los puntos $P$ y $Q$ se les denomina conjugados polares.
Demostración
Se tiene que $p$ es la polar de $P$ y $Q$ pertenece a $p$, ahora se tiene que $Q’$ es el inverso de $Q$ entonces $OP \times OP’ = r^2 = OQ \times OQ’$, por lo cual se tiene un cuadrilátero cíclico $PP’QQ’$, entonces $Q’P$ es perpendicular a $OQ$.
Por lo tanto, $Q’P=q$ es polar de $Q$. $_\blacksquare$
Corolario (Polos y Polares)
Sean $p$ y $q$ líneas tales que, con respecto a una circunferencia $C$ dada, se dice que el polo de $p$ está en $q$, entonces el polo de $q$ está en $p$.
Demostración
Dadas $p$ y $q$ dos rectas y $P$ el polo de $p$, supongamos que $P$ está en $q$.
Sea $P’$ el inverso de $P$ y $P’$ perteneciente a $p$. Sean $OQ’$ perpendicular a $q$ y $Q$ es $OQ’$ intersección con $p$, pero $PQ’QP$ es un cuadrilatero ciclico, la circunferencia que lo contiene es ortogonal a $C$ y su inversa respecto a $C$ es ella misma, también $OP \times OP’ = OQ \times OQ’ = r^2$
Entonces $Q$ y $Q’$ son inversas, por lo tanto, $Q$ es polo de $q$. $_\blacksquare$
«Se puede decir que las polares de una hilera son las líneas de un haz y que los polos de las líneas de un haz son los puntos de una hilera.»
Definición (Puntos Conjugados)
Dados dos puntos $P$ y $Q$ con respecto a una circunferencia, tales que la polar de uno pasa por el otro, diremos que $P$ y $Q$ son puntos conjugados respecto a la circunferencia $C$.
Definición (Líneas Conjugadas)
Respecto a una circunferencia $C$, se tienen dos líneas $p$ y $q$ tales que el polo de una está en el otro, se dirá que $p$ y $q$ son rectas conjugadas respecto a la circunferencia $C$.
Se tienen las siguientes propiedades:
1.- De dos puntos conjugados distintos en una línea que interseque la circunferencia, uno está dentro y el otro fuera de la circunferencia.
Demostración
Sea $r$ la línea que contiene a $P$ y $Q$, sea $R$ el polo de $r$ por lo cual la polar de $R$ es $r$ y pasa por $P$, entonces la polar de $P$ pasa por $R$, ahora como $P$ y $Q$ son conjugados entonces la polar de $P$ pasa por $Q$, por lo cual la polar de $P$ es la línea $RQ$ !
Por lo tanto, uno de los dos puntos conjugados está dentro y el otro afuera de la circunferencia. $_\blacksquare$
2.- Dadas dos líneas distintas conjugadas que se intersecan fuera de la circunferencia, una corta la circunferencia y la otra no.
3.- Cualquier punto en la circunferencia es conjugado a todos los puntos de la tangente en ese punto.
4.- Cualquier tangente a la circunferencia es conjugada a todas las líneas por su punto de contacto.
Más adelante…
La relación armónica está relacionada con respecto a lo hablado de polos y polares, por lo cual más adelante se hablara sobre teoremas relacionados con ambos temas.
Una vez analizado y visto el tema de Inversión es momentos de dejar algunos ejercicios para reforzar los temas vistos, así como practicar e investigar más por nuestra parte.
Ejercicios
1.- Los 4 puntos armónicos se invierten en 4 puntos armónicos con respecto a una circunferencia cuyo centro sea otro punto en la misma recta que los primeros.
2.- ¿Cuál es el inverso de una línea al infinito?
3.- Una circunferencia, su inverso y la circunferencia de inversión son coaxiales.
4.- Si una circunferencia es invertida en una circunferencia, ¿El centro de la primera es invertido en el centro de la segunda?
5.- Identifique el inverso de una circunferencia circunscrita con respecto a la circunferencia inscrita como circunferencia de inversión.
6.- Probar que 3 puntos no colineales pueden ser invertidos en los vértices de un triángulo equilátero de tamaño dado.
7.- Si 2 curvas son mutuamente inversas, una tangente a una de ellas desde el centro de inversión es también tangente a la otra.
8.- Invierta el Teorema siguiente: Un ángulo inscrito en una semicircunferencia es un ángulo recto, tomando uno de los extremos del diámetro que subtiende el ángulo recto como centro de inversión.
9.- Encontrar la circunferencia de antisimilitud de dos circunferencias concéntricas.
10.- Usando inversión construir una circunferencia que pase por un punto dado y que sea tangente a dos circunferencias dadas.
A lo largo de los temas hemos visto definiciones de inversión junto con teoremas, pero también podemos verlo a través de construcciones a la inversión usando regla y compas.
Construcciones
Construcción 0
Dada una línea que pasa por $A$ y $B$, encontrar el punto medio del segmento $AB$ usando únicamente compas.
Solución
Podemos construir una circunferencia con centro $A$ y radio $AB=r$ se tiene $C(A,r)$ y con esta localizamos $P$ en la línea $AB$ talque $B$ es el punto medio de $AP$. Usando $P$ como centro y radio $AP$ trazamos la circunferencia $C(P,AP)$ la cual interseca a la primera circunferencia $C(A,r)$ en un punto $C$. Por último dibujamos la circunferencia $C(C,r=AB)$ donde intersecamos a $AB$ en $P’$, entonces $P’$ es punto medio de $AB$.
Notemos que $\triangle AP’C \approx \triangle ACP$, ya que son triángulos semejantes isósceles, puesto que comparten un mismo ángulo con vértice $A$, tal que
Por lo cual $AP =2r$ y $AP’=\frac{1}{2} r$, entonces $AP \times AP’ =2r \times \frac{1}{2} r =r^2$, esta relación entre $P’$ y $P$ es la que llamamos inversión. $_\blacksquare$
La construcción anterior nos sirve para encontrar el inverso, entonces analicemos otras construcciones para encontrar el inverso con compas.
Construcción 1
Sea $C(O,r)$ y $P$ un punto externo, tracemos la recta $OP$. Ahora con centro $P$ y radio $OP$ dibujamos el arco que interseque a $C(O,r)$ en $Q$. Con centro $Q$ y radio $OQ$, dibujamos un arco que interseque a $OP$ en $P’$.
Entonces $P’$ es el inverso de $P$ y como $\triangle OQP \approx \triangle OP’Q$ por triángulos isósceles con ángulo en común $O$ entonces
$\frac{OP}{OQ}=\frac{OQ}{OP’} \Rightarrow OP \times OP’ =r^2$ $_\blacksquare$
Construcción 2 Método de la tangente
Otra construcción del inverso es de la siguiente forma, dada una circunferencia $C(O,r)$ y un punto $P$ externo a la circunferencia, trazamos el segmento $OP$, y trazamos las tangentes desde $P$ a la circunferencia $C(O,r)$ que son $PQ$ y $PR$ con $Q$ y $R$ los puntos de tangencia, la figura es la siguiente:
Sea $P’=QR \cap OP$ entonces $P’$ es inverso de $P$. Sean los $\triangle OQP’$ y $\triangle OPQ$ comparten el angulo $O$, el lado $OQ$ y $\angle OP’Q = \angle OQP$ entonces
Otro método para ver el inverso cuando $P$ está dentro o fuera de la circunferencia, es de la siguiente forma:
Sea la circunferencia $C(O,r)$ trazamos el diámetro con puntos en los extremos $ST$, donde el diámetro es perpendicular a $OP$. Unimos $S$ con $P$ y la intersección con la circunferencia es $Q$, se une $T$ con $Q$ y esta recta $TQ$ interseca a $OP$ en $P’$, entonces $P’$ es inverso de $P$.
Construcción 4
Dado un punto $P$ fuera de la circunferencia $\alpha$ con centro $O$, construir el inverso de $P$ con respecto a $\alpha$.
Solución
Dibujamos el arco con centro $P$ que pase por $O$ y corte a la circunferencia $\alpha$ en 2 puntos $B$ y $C$; Ahora dibujamos los arcos con centros $B$ y $C$ y que pase por $O$, la intersección la llamaremos $P’$ y será el inverso de $P$.
Construcción 5
Dado un punto $A$ y $B$, construir el punto $C$ tal que $B$ es el punto medio de $AC$.
Solución
Trazamos la circunferencia $\alpha$ con centro $B$ y radio $A$, trazamos el arco con centro $A$ y radio $B$ que corte a la circunferencia $\alpha$ en $D$, trazamos el arco con centro $D$ y radio $AB$ que corte a $\alpha $en $E$ y por último dibujamos el arco con centro $E$ con radio $AB$ que corte a $\alpha$ en $C$.
Los triangulos $\triangle ABD$, $\triangle EBC$ y $\triangle DBE$ son equilateros, entonces $\angle ABD = \angle EBC =\angle DBE = 60°$. Esto significa que $ABC$ es una línea recta, y $AC$ es el diametro de$\alpha$. Por lo tanto, $B$ es el punto medio de $AC$. $_\blacksquare$
Construcción 6
Dada una circunferencia $\alpha$ con centro $A$ y radio $r$, y dado un punto $P$ dentro de $\alpha$, construir el inverso de $P$ con respecto a $\alpha$.
Solución
Para esta se usarán distintas construcciones, es por ello que usando la construcción 5 se pueden construir puntos $P_1$, $P_2$, $P_3$,…, $P_i$ tal que $P_i$ este fuera de $\alpha$, entonces:
Usando la construcción 4 se puede encontrar el inverso de $P_i$ lo llamaremos $S$, entonces $AS \times AP_i =r^2$. De igual forma, aplicando la construcción 5 a $S$ se pueden generar puntos $S_1$, $S_2$,…, $S_i$ tal que
$AS_i \times AP = 2^i AS \times AP= AS \times 2^i AP =AS \times AP_i =r^2$ $_\blacksquare$
Construcción 7
Dada una circunferencia $\alpha$ con centro desconocido $A$, construir este centro.
Solución
Con un punto $P$ en $\alpha$, construimos un círculo $\omega$ que intersecta a $\alpha$ en $C$ y $D$, radio de $\omega $ es menor al radio de $\alpha$. Dibujar los arcos de $C$ y $D$ con radio $CP$ y se intercepta en $Q$. Y por la construcción 6 se encuentra $Q’$ el inverso de $Q$ con respecto a $\omega$, por lo tanto, $Q’$ es el centro de $\alpha$ y $Q’=A$ $_\blacksquare$
Más adelante…
Con esto concluye la unidad de Inversión, es por ello que ahora es necesario dejar algunos problemas para reforzar e investigar más sobre la Inversión
2.4 Inversión de un Teorema y circunferencia de antisimilitud
Introducción
A lo largo de los teoremas vistos en geometría moderna se han demostrado y visto propiedades, pero gracias a la inversión se pueden deducir y demostrar nuevos teoremas de los ya vistos. A esto se le denomina Inversión de un Teorema.
Ejemplo dado un teorema referente a las alturas de un triángulo, se puede demostrar usando inversión y referente a circunferencias. Sean $Z$ y $Z’$ dos circunferencias que se intersecan en $A$ y $O$, de $O$ se tiene los diámetros $OE$ de $Z’$ y $OF$ de $Z$ donde intersecan a $Z$ en $B$ y $Z’$ en $C$; Por lo cual el eje radical $AO$ pasa por el centro de la circunferencia de los puntos $O$, $B$ y $C$ la cual llamaremos $Z’$$’$.
Usando el Teorema: El inverso de una circunferencia que pasa por el centro de inversión es una recta que no pasa por el centro de inversión: Por lo cual, usando $O$ como centro de inversión, se tiene que los inversos de $A$, $B$ y $C$ son $A’$, $B’$ y $C’$ respectivamente. Las circunferencias $Z$, $Z’$ y $Z’$$’$ se invierten en $A’B’$, $A’C’$ y $B’C’$ correspondientemente. Y las líneas $AO$, $FO$ y $EO$ se invierten en sí mismas por Teorema de inversión de línea que pasa por el centro de inversión. Se tiene la inversión:
Ahora como un diámetro interseca su circunferencia ortogonalmente, entonces $B’O$ y $C’O$ por la propiedad de conservación de ángulos en la inversión son las alturas del triángulo $A’B’C’$, entonces $A’O \perp B’C’$. Por lo tanto, $AO \perp $ $Z’$$’$ entonces $AO$ pasa por el centro de $Z’$$’$ $_ \blacksquare$
Circunferencia de Antisimilitud
Definición de circunferencia de antisimilitud
La circunferencia de antisimilitus es una circunferencia respecto a la cual dos circunferencias son mutuamente inversas
Recordemos dos propiedades:
El centro de inversión de dos circunferencias inversas es el centro de similitud.
Dado un par de puntos inversos son antihomologos con respecto al centro de similitud.
Teorema Circunferencias de Antisimilitud
Sean dos circunferencias de las cuales existen tres posibles casos ($O$ y $O’$ centros de similitud):
Caso 1.-
Si se intersecan, entonces tienen dos circunferencias de antisimilitud tal que sus centros son los centros de similitud de las circunferencias dadas y que pasan por sus puntos de intersección.
Caso 2.-
Si no se intersecan (o son tangentes), entonces solo tienen una circunferencia de antisimilitud cuyo centro está en el centro de similitud exterior si las circunferencias son mutuamente excluyentes.
Caso 3.-
Si no se intersecan, entonces solo tiene una circunferencia de antisimilitud cuyo centro está en el centro de similitud interior si las circunferencias son internas una a la otra.
Lema
Una circunferencia $C_1$ y dos puntos inversos respecto a ella los llamaremos $S$ y $S’$ los cuales se invierten en una recta $C’_1$ y en dos puntos simétricos $P$ y $Q$ respecto a $C_1$, cuando el centro de inversión es un punto $A$ en $C_1$.
Teorema
Dos circunferencias que no se intersecan se pueden invertir en dos circunferencias iguales.
Demostración
Sean $C_1$ y $C’_1$ circunferencias y $C$ la circunferencia de antisimilitud de dichas circunferencias. Sea $A \in C$ y sea $C_2$ con centro $A$. Las inversas de $C_1$ y $C’_1$ respecto a $C_2$ son dos circunferencias simétricas respecto al inverso de $C$ (Por el Lema anterior). $_\blacksquare$
Más adelante…
Es hora de ver algunas construcciones respecto a la inversión.
Ya analizado en el anterior tema, la inversión de rectas y circunferencias, es momento de ver como la inversión hace conservación de ángulos.
Teorema (Conservación de ángulos)
La inversión es una transformación, que preserva ángulos e invierte orientación.
Demostración
Para ello lo demostraré de dos maneras distintas:
1.º Forma
Se tiene una circunferencia de inversión $C_o(O,r)$, $A$ y $B$ circunferencias que se intersecan, y sea $P$ uno de los puntos de intersección, además se tiene $P’$ inversa de $P$. Ahora construyamos la circunferencia $C$ tangente a $A$ en $P$ y que pase por $P’$, de igual forma se construye $D$ tangente a $B$ en $P$ y que pase por $P’$. Sea $L_1$ recta tangente a $A$ en $P$ y de igual forma tangente a $C$ en $P$, sea $L_2$ recta tangente a $B$ en $P$ y es tangente a $D$ en $P$, entonces el ángulo entre $A$ y $B$ es el mismo entre $C$ y $D$. Como $C$ y $D$ pasan por puntos inversos, entonces son ortogonales a $C_o$ la circunferencia de inversión, $P$ y $P’$ son ortogonales entre $A’$ y $B’$ dos circunferencias inversas a $A$ y $B$ respectivamente, entonces se tiene que el ángulo entre $A’$ y $B’$ es el mismo entre $A$ y $B$. Por lo tanto, la inversión preserva ángulos e invierte orientación $_\blacksquare$
2.º Forma
Sean 2 curvas que se intersecan en $P$ y $P\neq O$. Tracemos una línea por $OP$ y otra por $O$ que corte a las curvas en $Q$ y $R$, $OQR$ colineales. Se tiene que $P$, $Q$ y $R$ tienen inversos $P’$, $Q’$ y $R’$ respectivamente, entonces las inversas de dichas curvas $PQ$ y $PR$ tendrán que intersecarse en $P’$, $Q’$ y $R’$ respectivamente, ahora por definición de inversión $OP\times OP’=OQ\times OQ’=OR\times OR’$, por lo cual $\triangle OPQ \approx \triangle OQ’P’$ y también $\triangle OPR \approx \triangle OR’P’$, y si trazamos las secantes que corten a las curvas en $P$ y $P’$, y que pase por $Q$, $R$, $Q’$ y $R’$, entonces
Y por lo cual $\angle QPR= \angle R’P’Q’$ y $\angle RPQ= – \angle R’P’Q’$, ahora si se tiene el límite cuando $Q$ y $R$ tienden a $P$, entonces $Q’$ y $R’$ tienden a $P’$, por lo cual $\angle RPQ$ y $ \angle R’P’Q’$ tienden a ser los angulos límite de la intersección de las curvas. Por lo tanto, los ángulos preservan la inversión en magnitud pero opuestos en signo $_\blacksquare$
Observación: Es por ello que se dice que la inversión es una transformación isogonal.
Corolario 1 (Conservación de ángulos)
Si dos curvas son tangente una a la otra en $P$, sus inversas son tangentes una a la otra en $P’$.
Corolario 2 (Conservación de ángulos)
Objetos ortogonales se invierten en objetos ortogonales.
Corolario 3 (Conservación de ángulos)
Rectas paralelas se invierten en circunferencias tangentes en el centro de inversión.
Teorema (Homotecia desde el centro de inversión)
Sea $A$ una circunferencia y $A’$ su inversa, entonces son homotéticas desde el centro de inversión.
Inversión y Distancias
Teorema
Sean $P$ y $P’$ puntos inversos y $B$ un punto colineal a $PP’$ y que corta al círculo de inversión, entonces
$BP’ = \frac{BP}{1+BP/r}$ y $BP=\frac{BP’}{1-BP’/r}$
Demostración
Se tiene que $BP’=r-OP’=r- \frac{OP’ \times OP}{OP}$, entonces por definición de inversión:
Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico convexo, entonces
$BC \times BD = BC \times AD + CD \times AB$
Demostración
Sea una circunferencia de inversión $C(A,r)$ y se tiene una circunferencia circunscrita del cuadrilátero cíclico. La circunferencia invierte los puntos en una línea, es decir, se tiene $B’$ inverso de $B$, $C’$ inverso de $C$ y $D’$ inverso de $D$, los cuales forman la línea «$L$», se muestra:
Entonces se maneja las distancias de la línea «L$, se tiene $B’D’=B’C’+C’D’$ y por el teorema anterior:
Entonces se cancelan las $r^2$ y si nos fijamos en el denominador tenemos en comun $AB$, $AD$ y $AC$. Por lo cual multiplicamos por $AB \times AD \times AC$
$\Rightarrow \frac{BD \times AB \times AD \times AC}{AB \times AD}= \frac{BC \times AB \times AD \times AC}{AB \times AC}= \frac{CD \times AB \times AD \times AC}{AC \times AD}$
Por lo tanto, $AC \times BD = BC \times AD + CD \times AB _\blacksquare$
Teorema de Feuerbach
La circunferencia de los nueve puntos del triángulo es tangente al incirculo y a los tres excirculos.
Demostración
Sea el triángulo $\triangle ABC$ con $C_I$ el incirculo y $C_E$ el excirculo, sea $BC$ la tangente a $C_1$ y $C_E$, se tiene otra tangente $B’C’$ la cual es simétrica a $BC$ con respecto a la bisectriz $AI$, de lo anterior se tienen tres cosas: $C \in AB$, $B’ \in AC$ y $A’=BC \cap B’C’$.
Por otra parte, los puntos $A$ y $A’$ son centros de homotecia de $C_I$ y $C_E$ respectivamente, entonces $I_E$ es dividido por $A’$ y $A$ interna y externamente en razón de sus radios.
Entonces $A$ y $A’$ son armónicos respecto a $I$ y $E$. Trazamos perpendiculares $E$, $I$ y $A$ sobre $BC$ y sus pies los llamamos $P_e$, $P_i$ y $P_a$ respectivamente, entonces los triángulos $\triangle EP_eA’ \approx \triangle IP_iA’ \approx AP_aA’$, entonces $P_a$ y $A’$ son armonicos respecto a $P_i$ y $P_e$. Ahora sea $M_A$ punto medio de $BC$ entonces también lo es de $P_i$ y $P_e$, trazamos la circunferencia $Z$ con centro $M_A$ y radio $M_AP_i$, entonces $A’$ y $P_a$ son inversos respecto a $Z$
Por lo cual
$P_eP_i=BC-2P_iC=a-2(s-c)=c-b$
Donde $a$ es el lado opuesto al vértice $A$, de igual forma $b$ es de $B$, $c$ es de $C$ y $s$ es el semiperímetro.
Entonces el radio de $z$ es de $\frac{c-b}{2}$ y $M_AM_B=c/2$
Por lo cual $S=B’C’ \cap M_AM_B$
$\Rightarrow M_AS=M_AM_B + M_BS=M_AM_B -SM_B$, y $M_AM_B$ paralelo a $BA$ entonces $\triangle B’SM_B \approx \triangle B’C’A $ por lo cual sus lados son proporcionales $\frac{SM_B}{C’A}=\frac{M_BB’}{AB’}$.
Y por lo cual $S$ y $M_B$ son inversos respecto a la circunferencia $Z$ con diámetro $P_iP_e$. El inverso de $B’C’$ es una circunferencia que pasa por $M_A$ el centro de inversión y por $P_a$ y $M_B$. Como una circunferencia está determinada por tres puntos y la circunferencia de los nueve puntos cumple esto, entonces $C_N$ es la inversa de la recta $B’C’$ con respecto a la circunferencia $Z$. Pero el inverso de $C_I$ con respecto a $Z$ es $C_I$, al igual $C_E$ su inverso con respecto a $Z$ es $C_E$, ya que son ortogonales a $Z$; $B’C’$ es tangente a $C_I$ y $C_E$ y como la inversión conserva ángulos se sigue que la circunferencia $C_N$ será tangente a las circunferencias $C_I$ y $C_E$ (De igual forma para los otros 2 excirculos) $_\blacksquare$
Teorema (Inversión Razón Cruzada)
La razón cruzada es invariante bajo inversiones.
Demostración
(Se debe de interpretar como la razón cruzada entre puntos colineales y rectas concurrentes)
Sea, $C(O, r)$ circunferencia, $A$, $B$, $C$ y $D$ cuatro puntos colineales distintos de $O$, sus inversos $A’$, $B’$, $C’$ y $D’$ con respecto a $C$ y $a’=OA’$, $b’=OB’$, $c’=OC’$ y $d’=OD’$.
Ahora las razones cruzadas coinciden: $O(a’b’, c’d’)=o(AB, CD)$
Como la razón cruzada es una propiedad proyectiva y las inversiones respeten ángulos e invierten orientación.
Se verá como la inversión es una forma alterna de resolver problemas ya demostrados y más fáciles de ver, además se revisará un tema de importante, la circunferencia de antisimilitud.
