Introducción
Antes de entrar de lleno a lo que será una parte importante en tu carrera en las matemáticas, vamos a establecer algunas definiciones que nos permiten aterrizar un poco la idea de usar una serie de proposiciones para ‘demostrar’ otras cosas. En esta entrada veremos algo llamado inferencias matemáticas.
La implicación para deducir verdades
Pensemos un momento en las siguientes dos expresiones:
¿Qué sucedería si acordamos o sabemos por cualquier razón, que
El único renglón en donde
Pensemos ahora en la siguiente fórmula proposicional:
Por lo que entendemos del
Por el momento, puedes tomar el siguiente ejemplo. Imagina que sabes que las siguientes dos cosas son ciertas simultáneamente:
- Si
es un entero impar, entonces es un entero par. es un entero impar.
¿Qué podrías concluir a partir de la veracidad de estas dos oraciones? Que
Inferencias matemáticas: premisas y conclusiones
Lo que hicimos en el ejemplo de la sección anterior fue tomar dos proposiciones
Más formalmente, una regla de inferencia está conformada por unas premisas
La forma en que escribiremos las reglas de inferencia es la siguiente:
El símbolo
Hasta aquí hemos definido qué es una regla de inferencia. Pero hay reglas de inferencia válidas y otras que no lo son. Es decir, hay algunas inferencias matemáticas que son válidas: a partir de la veracidad de las premisas se puede obtener la veracidad de la conclusión (como en el ejemplo que discutimos en la sección anterior). Y hay otras que no, que son inválidas. Es decir, son inferencias matemáticas en las que aunque las premisas sean verdaderas, no podemos concluir nada de la veracidad de la conclusión. ¿Cómo saber cuáles reglas de inferencia son válidas y cuáles no?
Volvamos de nuevo a nuestro ejemplo. Las premisas en este caso son
0 | 0 | 1 | ||
0 | 0 | 1 | ||
1 | 0 | 1 | ||
1 | 1 | 1 |
¿Notas algo peculiar? ¡Pues resulta que la regla de inferencia que dijimos es una tatuología!
En el caso en donde una regla de inferencia sea una tautología, diremos que es una regla de inferencia válida .
Los ingredientes de la validez
Ahora que tenemos las partes de las inferencias matemáticas, veamos un poco su comportamiento para ver cuándo en efecto es verdadera. Esto a la vez nos ayudará a entender la noción de «de la veracidad de las premisas sale la veracidad de la conclusión».
Supongamos que tenemos una regla de inferencia
y queremos ver si es válida, pero no queremos hacer todos los renglones de la tabla de verdad. Podemos ahorrarnos mucho trabajo como sigue.
En el lado izquierdo tenemos la conjunción
Nos quedan los casos en los que todas las premisas son verdaderas. En ellos, tenemos que ver que la conclusión
Y al revés también se vale. Imagina que sabes que la regla de inferencia es válida y que sabes la veracidad de todas las premisas. Entonces, la conjunción
«Si una regla de inferencia es válida (es una tautología), y sus premisas son verdaderas, entonces la conclusión es verdadera. Y viceversa, una regla de inferencia es válida cuando hemos visto que en todas las situaciones que las premisas son verdaderas, la conclusión también».
Algunos ejemplos sencillos de inferencias matemáticas válidas
A continuación vamos a ver algunos ejemplos de algunas inferencias matemáticas válidas.
La regla de inferencia válida más simple que se nos puede ocurrir es la siguiente:
En donde básicamente estamos diciendo que si tenemos la premisa
Veamos otro ejemplo. Considera que tenemos como premisas a
Esto claramente es válido, pues la proposición
Nota que para que una regla de inferencia no sea válida, se tenga que tener ‘un caso’ en que las premisas sean ciertas y la conclusión no. Por ejemplo, considera la siguiente regla de inferencia que nos diría algo así como que «de cualquier cosa
Esta regla de inferencia no es válida (¡qué bueno!). La razón es que la implicación
Un ejemplo más complicado de inferencia válida
Ahora hagamos un ejemplo más elaborado, en el que aprovecharemos lo que platicamos sobre «pensar que las premisas son verdaderas». Imaginemos que queremos pensar que la siguiente inferencia es válida:
Si alguna premisa fuera falsa, entonces el antecedente de la conjunción de las premisas es falso, y así la implicación de la inferencia sería verdadera: en los casos en los que alguna premisa es falsa, entonces no hay nada que hacer. Así, pensemos, ¿qué pasa si todas las premisas son verdaderas?
Como
Como tenemos que
Un poco de esto se va a tratar la matemática que sigue. A partir de ahora vamos a empezar a usar esta forma de pensar, estamos rascando la fibra de la matemática y con ello empieza el viaje hacia un bosque lleno de distintas áreas, desde el álgebra y el cálculo, pasando por la geometría y la probabilidad. Todas ellas llevan la capa de la matemática porque partirán de un tronco común que nosotros estamos sentando en estas entradas. Dentro de poco verás cómo todo esto se relaciona al quehacer matemático.
Más adelante…
Acabamos de establecer uno de los cimientos sobre el cuál se sustenta el pensamiento deductivo: realizar inferencias matemáticas. Es como pensaremos de ahora en adelante. No te preocupes si aún no puedes expresar bien la lógica detrás de las reglas de inferencia o sus trucos. Esto apenas comienza, pues en las siguientes entradas relacionaremos lo visto ahora con los bloques que construirán a la matemática: las demostraciones. Y por ahí conocerás un cuento que te introducirá a esta idea.
Tarea moral
A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.
- Prueba que
es una regla de inferencia válida. - Verifica que las siguientes reglas de inferencia son válidas con tablas de verdad:
Ahora haz lo mismo pero da un razonamiento «deductivo» (supón que todas las premisas y explica por qué la conclusión es cierta) de porqué es válida la siguiente regla de inferencia:
- Revisa la Tabla de reglas de inferencia en la página de Wikipedia para conocer más reglas de inferencia válidas. Muestra que en efecto son reglas de inferencia válidas haciendo las tablas que verifiquen la tautología requerida.
- Cuando estamos viendo si una regla de inferencia es válida, podemos «ir agregando cosas verdaderas que vayamos deduciendo a las premisas» y usarlas a su vez para seguir deduciendo nuevas cosas. El objetivo de este ejercicio es que demuestres esto. Muestra que si
es una inferencia válida y es una inferencia válida, entonces es una inferencia válida. En otras palabras, ¡prueba que la siguiente inferencia es válida!
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- Entrada anterior del curso: Problemas de negaciones de proposiciones con conectores y cuantificadores
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Agradecimientos
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»
Buenos temas , para comprender las matematicas.
Hola Omar. Gracias por la lectura y el comentario.