Álgebra Moderna I: Propiedades de grupos y Definición débil de grupo

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

Cuando se estudian campos vectoriales u otras estructuras algebraicas primero se definen ciertas propiedades básicas y después, otras propiedades importantes que se desprenden de las primeras. Ahora, vamos a ver propiedades de los grupos. Dentro de los grupos mencionamos la existencia de un neutro, asociatividad e inverso. Pero de ahí se desprenden otras propiedades que vamos a usar como la cancelación, la unicidad de los neutros, etc.

Propiedades de grupos

Propiedades. Sea (G,) un grupo, entonces

  1. Para cualesquiera x,a,bG, se tiene que xa=xba=b, también se vale cancelar por la derecha, ax=bxa=b. Estas propiedades son conocidas como las leyes de cancelación.
  2. El neutro en (G,) es único.
  3. Cada aG tiene un único inverso y se denota por a1.
  4. Para toda aG, (a1)1=a.

Demostración. 1. Sean x,a,bG.
Supongamos que xb=xb. Sea x~G inverso de x. Tenemos que

 

x~(xa)=x~(xb) (x~x)a=(x~x)bpor la asociatividadea=ebpor ser x~ el inverso de xa=bpor ser e el neutro

La cancelación por la derecha es análoga y se deja como ejercicio.

2. Sean e,eG neutros

e=ee por ser e un neutro=e por ser e un neutro

e=e

3. Sea aG. Supongamos que a^,a~G son inversos de a, entonces:

a^=ea^ por ser e el neutro=(a~a)a^ por ser a~ un inverso de a=a~(aa^) por la asociatividad=a~epor ser a^ un inverso de a=a~ por ser e el neutro

a^=a~

4. Sea aG.
Como (a1)1 es el inverso de a1 tenemos que

a1(a1)1=e

Como a1 es el inverso de a tenemos que

a1a=e

Así a1(a1)1=a1a, entonces por la propiedad 1 podemos cancelar el elemento a1 por la izquierda y concluir que (a1)1=a.

◼

Definición débil de grupo

Teorema. Sea G un conjunto, una operación binaria en G. Supongamos que

  1. es asociativa,
  2. existe eG tal que ea=a para toda aG y
  3. aG existe a~G tal que a~a=e,

entonces (G,) es un grupo. A partir de ahora, a las propiedades 2 y 3 de la definición débil de grupo las denotaremos como 2 y 3 respectivamente para dejar que los números 2 y 3 denoten las propiedades de la definición de grupo.

Demostración. Supongamos que (G,) cumple 1,2 y 3.
Sea aG, por 3, existe a~G tal que a~a=e.
Tenemos que a~ es un inverso izquierdo de a. Veamos primero que a~ es también un inverso derecho de a, es decir que aa~=e.

a~(aa~)=(a~a)a~por la asociatividad=ea~por la propiedad 3=a~ por la propiedad 2

a~(aa~)=a~.

Por 3 existe bG tal que ba~=e. Multiplicando a~(aa~)=a~ a la izquierda por b tenemos que

 

b(a~(aa~))=ba~ (ba~)(aa~)=ba~por la asociatividade(aa~)=eya que b es un inverso izquierdo de a~aa~=eya que e es un neutro izquierdo.

Así, a~ es también un inverso derecho de a.

Por 2, ea=a para toda aG, es decir e es un neutro izquierdo. Veamos ahora que e también es un neutro derecho probando que ae=a para toda aG.

Sea aG, por 3 existe a~G tal que a~a=e, y por lo que acabamos de probar aa~=e. Usando estas igualdades y la propiedad asociativa tenemos que

ae=a(a~a)=(aa~)a=ea

y como e es un neutro por la izquierda, ea=a. Así ae=a.

Por lo tanto (G,) es un grupo.

◼

Tarea moral

  1. Usando la Definición débil de grupo, determina cuáles de estos conjuntos son un grupo.
    • G=R{1}, ab:=a+b+ab.
    • G=R, ab=|a|b.
    • G={rQ|r=pq con (p,q)=1 y q impar}, ab=a+b (la adición usual).
    • Sea X un conjunto. Considera G=P(X) el conjunto potencia de X con la operación binaria AB=(AB)(AB) para todo A,BP(X).
  2. Muestra que G=R con la operación ab=|a|b, tiene un neutro izquierdo e y para cada elemento a existe a~ tal que aa~=e ¿qué puedes concluir con respecto a la definición débil de un grupo?
  3. Para el conjunto S:={,,,}, considera las operaciones que creaste en la tarea moral de una entrada anterior.
    • Si definiste una operación tal que (S,) es un grupo, comprueba las propiedades vistas en esta entrada y verifica la definición débil.
    • Si no, observa si alguna de las propiedades analizadas se cumplen con tu operación.
  4. Si quieres conocer el grupo de transformaciones lee la sección 3.1.1 del libro Introducción analítica a la geometría de Javier Bracho (página 112 a la 115).
  5. Si quieres conocer el grupo diédrico puedes ver el video Dihedral Group de Socratica. El video está en inglés. De todas maneras, después usaremos el grupo diédrico, así que lo definiremos más adelante.

Más adelante…

En la siguiente entrada generalizaremos la propiedad de la asociatividad porque hasta ahora sólo la manejamos con tres elementos. Además, seguiremos formalizando conceptos que ya conocemos intuitivamente: definiremos qué es una potencia, escribiremos las leyes de los exponentes y las demostraremos.

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