(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)
Introducción
Cuando se estudian campos vectoriales u otras estructuras algebraicas primero se definen ciertas propiedades básicas y después, otras propiedades importantes que se desprenden de las primeras. Ahora, vamos a ver propiedades de los grupos. Dentro de los grupos mencionamos la existencia de un neutro, asociatividad e inverso. Pero de ahí se desprenden otras propiedades que vamos a usar como la cancelación, la unicidad de los neutros, etc.
Propiedades de grupos
Propiedades. Sea
- Para cualesquiera
, se tiene que también se vale cancelar por la derecha, Estas propiedades son conocidas como las leyes de cancelación. - El neutro en
es único. - Cada
tiene un único inverso y se denota por . - Para toda
, .
Demostración. 1. Sean
Supongamos que
La cancelación por la derecha es análoga y se deja como ejercicio.
2. Sean
3. Sea
4. Sea
Como
Como
Así
Definición débil de grupo
Teorema. Sea
es asociativa,- existe
tal que para toda y existe tal que ,
entonces
Demostración. Supongamos que
Sea
Tenemos que
Por
Así,
Por
Sea
y como
Por lo tanto
Tarea moral
- Usando la Definición débil de grupo, determina cuáles de estos conjuntos son un grupo.
, . , . , (la adición usual).- Sea
un conjunto. Considera el conjunto potencia de con la operación binaria para todo .
- Muestra que
con la operación , tiene un neutro izquierdo y para cada elemento existe tal que ¿qué puedes concluir con respecto a la definición débil de un grupo? - Para el conjunto
, considera las operaciones que creaste en la tarea moral de una entrada anterior.- Si definiste una operación tal que
es un grupo, comprueba las propiedades vistas en esta entrada y verifica la definición débil. - Si no, observa si alguna de las propiedades analizadas se cumplen con tu operación.
- Si definiste una operación tal que
- Si quieres conocer el grupo de transformaciones lee la sección 3.1.1 del libro Introducción analítica a la geometría de Javier Bracho (página 112 a la 115).
- Si quieres conocer el grupo diédrico puedes ver el video Dihedral Group de Socratica. El video está en inglés. De todas maneras, después usaremos el grupo diédrico, así que lo definiremos más adelante.
Más adelante…
En la siguiente entrada generalizaremos la propiedad de la asociatividad porque hasta ahora sólo la manejamos con tres elementos. Además, seguiremos formalizando conceptos que ya conocemos intuitivamente: definiremos qué es una potencia, escribiremos las leyes de los exponentes y las demostraremos.
Entradas relacionadas
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