Introducción

En este curso se desarrollarán varias de las habilidades matemáticas fundamentales a nivel superior. Trabajaremos en lo siguiente:

• Conocer a detalle las reglas lógicas que usamos en matemáticas y cómo nos permiten demostrar resultados a partir de pequeños bloques.
• Definir de manera formal qué son los conjuntos, las relaciones y las funciones y aprender a justificar mediante argumentos formales las propiedades que tienen.
• Construir el conjunto de los números naturales y aprovecharlo para poner en práctica todo lo aprendido anteriormente.
• Desarrollar habilidades fuertes para responder preguntas del estilo «¿De cuántas formas puede ocurrir cierta cosa?» «¿Cuántos objetos matemáticos hay tales que tengan ciertas propiedades?»
• Introducir los conceptos de espacio vectorial, vectores y matrices y ver cómo nos ayudan para entender a los sistemas de ecuaciones lineales.

La primera parte del curso es fundamental, pues en todas las demás asignaturas de matemáticas a nivel superior se usan argumentos formales una y otra vez. En esta primera parte comenzarás a entender qué es el «pensamiento matemático» y conocerás la estructura lema-proposición-teorema-corolario que es muy usada a través de diferentes áreas.

Falso y verdadero

Nuestra experiencia con la vida cotidiana nos da una intuición de qué significa que algo sea verdadero o falso. Entendemos por verdadero algo que es verificable o que coincide con la realidad, por ejemplo: «Marte es un planeta».

Algo falso es lo contrario: una cosa que es posible verificar que no es cierta, o que no coincide con lo que experimentamos. Un ejemplo sería «El sol es de color azul».

En el mundo real, a veces estos conceptos de veracidad pueden tener muchos matices. En el caso del pensamiento matemático esto no es así. Lo que se hace en matemáticas es acordar (o dar por hecho) que ciertos enunciados son verdaderos y, a partir de ellos ver cuáles muchos otros enunciados verdaderos y enunciados falsos se pueden obtener como conclusión.

De esta forma, entenderemos a verdadero y falso como propiedades que puede tener un enunciado. Daremos reglas que nos permiten combinar enunciados de diferentes formas para obtener un «enunciado compuesto» y deducir su veracidad. A la larga, lo que nos interesa es poder deducir que una afirmación es verdadera a partir de la veracidad de afirmaciones más chicas y simples. Es como armar un castillo con pequeños bloques.

Proposiciones

Entenderemos por una proposición a un enunciado que se puede decir si es verdadero o falso, pero no ambas a la vez. Algunos ejemplos de proposiciones de la vida real serían las siguientes:

• «La tierra gira alrededor del sol».
• «Los tacos más ricos son los del señor de los tacos de canasta de la esquina».
• «Un kilómetro es igual a 100 metros».
• «La receta sale mejor si se le pone el doble de leche».

Observa que para que algo sea una proposición no es necesario que sea verdadero. Sólo basta con que se pueda decir si es verdadero o no. Así, «Un kilómetro es igual a 100 metros» es una proposición porque se puede decidir si es falsa o verdadera. Y es falsa. También observa que algunas proposiciones necesitan más contexto para poder decir si son verdaderas o falsas. Considera la oración «La receta sale mejor si se le pone el doble de leche». Por supuesto, tendríamos que saber de qué receta hablamos o qué quiere decir que «salga mejor», para poder decidir si es verdadera o falsa. Posteriormente formalizaremos a estas «proposiciones que pueden ser más específicas».

Sin embargo, los siguientes enunciados no son proposiciones.

• «¡Feliz cumpleaños!»
• «Este enunciado es falso».
• «¿Es cierto que $7$ es un número primo?»

El primero no está afirmando la veracidad de nada, sólo expresa un sentimiento. El problema con el segundo enunciado es que si es verdadero, entonces es falso y viceversa. El tercero parecería sí ser algo que podemos decir si es verdadero o falso. Pero ten mucho cuidado. Compara los siguientes dos:

• «¿Es cierto que $7$ es un número primo?»
• «El número $7$ es primo.»

El primer enunciado es una pregunta y no está afirmando nada, sólo está preguntando. El segundo sí está afirmando algo y podemos decir si es verdadero o falso. ¿Cómo le hacemos para saber si es verdadero o falso? En la vida cotidiana puede ser muy fácil de responder a partir de la experiencia. Pero en el contexto matemático será fundamental primero definir qué quiere decir «primo» e incluso definir qué quiere decir «7» para que podamos responder la pregunta.

El enunciado «El número $7$ es primo» es un ejemplo de una proposición matemática, es decir, una proposición en la que se habla de objetos matemáticos y sus relaciones entre sí. Es posible que simplemente les llamemos «proposiciones», pues será claro que estaremos en el contexto matemáticos. Otros ejemplos de proposiciones matemáticas son las siguientes:

• El valor de la integral $\int_0 ^1 x^2\, dx$ es $\frac{1}{5}$.
• Existen $10$ formas de elegir dos vocales distintas sin que se repitan y sin que nos importe el orden de elección.
• Si $x>0$, entonces $x+1\geq 2\sqrt{x}$.

¿Puedes decir cuáles de estas proposiciones matemáticas son falsas y cuáles son verdaderas?

Proposiciones matemáticas en símbolos

En cursos de álgebra en la educación media superior nos enseñan la utilidad de introducir variables para referirnos a las cosas. Cuando ponemos $x^2+x+1$ estamos pensando en que $x$ es un número que podría tomar cualquier valor del sistema que estemos usando (por ejemplo, los números reales). Los símbolos matemáticos son muy útiles pues nos ayudan a cubrir muchos casos de manera simultánea y a escribir de manera abreviada nuestros resultados.

Aplicaremos todas estas ideas para estudiar a las proposiciones matemáticas. Así, cuando estemos hablando de una proposición indeterminada, la llamaremos mediante una letra a la que llamaremos variable proposicional, por ejemplo $P$, $Q$, $R$, $p$, $q$, $r$, etc. Así, podemos hacer cosas como decir lo siguiente:

• $P=$ «Todos los múltiplos de cuatro son números pares».
• Para cualquier proposición $P$, tenemos que con $P$ se puede deducir $P$.

Observa que en el primer caso se está tomando un valor de $P$ específico, pero en el segundo estamos aprovechando la letra para hablar de algo así como «todas» las proposiciones de una manera práctica.

Proposiciones matemáticas en tablas de verdad

Una proposición tiene únicamente dos opciones: ser verdadera o ser falsa. Conforme combinemos variables proposicionales con otros símbolos lógicos, obtendremos fórmulas proposicionales, que serán como la siguiente expresión:

$$(\neg P \land Q \Rightarrow \neg Q)\lor (\neg R \land \neg P).$$

En general, nos conviene tener una tabla en donde reflejemos todas las posibilidades de veracidad que puede tener una fórmula proposicional dada la veracidad de todas las variables proposicionales que la conforman. Esto lo haremos mediante una tabla de verdad.

En una tabla de verdad tenemos dos tipos de columnas. Las que están a la izquierda, en donde consideramos todas las posibilidades de veracidad para nuestras variables proposicionales y las que están a la derecha, en donde escribimos fórmulas proposicionales que queremos saber si son falsas o verdaderas de acuerdo a cómo fueron las proposiciones iniciales. Para simplificar la presentación, en las tablas de verdad usaremos $0$ como falso y $1$ como verdadero.

El siguiente es un ejemplo muy sencillo. Para una proposición $P$ arbitraria tenemos dos opciones: que sea falsa ($0$) o que sea verdadera ($1$). Esto lo ponemos en la primera columna, que está en gris. A la derecha ponemos $P$ hasta arriba.

$P$	$P$
$0$
$1$

Para llenar la tabla nos preguntamos, ¿qué podemos decir de $P$ conociendo la información que tenemos de $P$? Por supuesto, la pregunta es muy simple: cuando $P$ es falso, $P$ es falso. Cuando $P$ es verdadero, $P$ es verdadero. Así, la forma de llenar la tabla de verdad sería la siguiente:

$P$	$P$
$0$	$0$
$1$	$1$

Este fue un ejemplo muy sencillo. Lo que nos gustaría hacer en esta primera parte del curso es aprender a combinar más de una proposición para fórmulas proposicionales más interesantes. Dentro de algunas entradas habrás conocido símbolos suficientes y adquirido habilidades para llenar tablas de verdad como la siguiente:

$P$	$Q$	$\neg P$	$\neg Q$	$\neg P \land Q$	$(\neg P \land Q \Rightarrow \neg Q)$
$0$	$0$
$0$	$1$
$1$	$0$
$1$	$1$

Más adelante…

En la siguiente entrada platicaremos de los tipos de enunciados matemáticos que existen, y con los cuales te encontrarás muy frecuentemente en el transcurso de tu formación matemática. Hablaremos de axiomas, definiciones, lemas, proposiciones, teoremas, corolarios y otros. Platicaremos acerca de ellos de manera un poco informal y veremos en dónde entran en los conceptos que estamos platicando.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

1. Piensa en $5$ enunciados que sean proposiciones. Intenta ser variado con tus ejemplos.
2. Piensa en $5$ enunciados que no sean proposiciones.
3. Escribe $5$ proposiciones matemáticas.
4. Piensa en $5$ enunciados que son proposiciones, pero que es muy muy difícil decir si son ciertos o no. Por ejemplo «En el mundo hay una persona con 12548 cabellos».
5. Escribe $5$ proposiciones matemáticas que te parezcan «obvias» o muy directas. Por ejemplo, «La suma $2+2$ es igual a $4$». Identifica en ellas los términos que aparecen y pregúntate si realmente sabes cómo está definido ese término. Por ejemplo, ¿qué es $2$? ¿qué es $4$? ¿qué es el símbolo $+$?

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»