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Álgebra Moderna I: Orden de un grupo

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

Introducción

Ya vimos qué es el orden de un elemento y el grupo cíclico generado por ese elemento. En esta entrada veremos a qué se le denomina el orden de un grupo, que en realidad es un concepto que ya conoces.

Primero repasemos cómo es el conjunto generado por a, éste se puede describir así:

{,a2,a1,e,a1,a2,}.

En esa sucesión de potencias de a, si el elemento a tiene orden finito, eventualmente encontraremos ao(a). Por la entrada anterior sabemos que o(a) es el mínimo entero positivo tal que ao(a)=e. Entonces, ao(a)+1=ea=a. Esto nos puede indicar que en algún momento la sucesión se volverá a repetir. Entonces el rango que no tiene repeticiones sería el siguiente:

e,a,a2,,ao(a)1.

A continuación formalizaremos esta idea, definiremos el orden de un grupo y relacionaremos el orden de un elemento con el orden del grupo generado por éste.

Definición de orden de un grupo

Definición: Sea G un grupo. El orden de G es la cardinalidad del conjunto G y se denota por |G|.

Teorema: Sean G un grupo y aG un elemento de orden finito. Entonces

|a|=o(a).

Demostración.
Sea G un grupo y aG de orden finito.

Considera que e es el neutro en G. Primero veamos que

a={e,a,a2,,ao(a)1}.

]
Sea xa, entonces existe algún kZ tal que x=ak.
Por el algoritmo de la división existen q,rZ tales que

k=o(a)q+r con 0r<o(a).

Entonces, sustituyendo el valor de k,

x=ak=ao(a)q+r.

Si seguimos realizando operaciones con los exponentes, obtenemos:

ao(a)q+r=(ao(a))qar=eqar por la definición de orden=earya que e es el neutro=arya que e es el neutro

es decir, x=ar para algún rZ, con 0r<o(a). Entonces

x{e,a,a2,,ao(a)1}.

Hemos demostrado así la primera contención.

]

Esta contención es más sencilla porque claramente

{e,a,a2,,ao(a)1}{,a2,a1,e,a,a2,}.

Y como a={akkZ}={,a2,a1,e,a,a2,}, se cumple la segunda contención y con ella la igualdad de conjuntos.

Todavía nos falta un detalle. Hasta ahora sabemos que

a={e,a,a2,,ao(a)1}

pero nada nos asegura que |{e,a,a2,,ao(a)1}|=o(a), es decir que tenga tantos elementos como el orden de a. Esto lo probaremos viendo que no existen elementos repetidos.

Supongamos que ai=aj para i,j{0,1,,o(a)1}, supongamos sin pérdida de generalidad que ij.

Multiplicando ambos lados por (ai)1 obtenemos,

ai(ai)1=aj(ai)1e=aji.

Entonces, e=aji, pero, por la elección de i y de j sabemos que 0ji<o(a). Entonces, debido a la definición de o(a) esto sólo es posible si ji=0, es decir j=i.

Así a={e,a,a2,,ao(a)1} tiene o(a) elementos. Por lo tanto

|a|=o(a).

◼

Un pequeño ejemplo

Ejemplo.
Recordemos que de acuerdo a lo que se definió en un ejemplo de la entrada anterior tenemos que U(Z7) consiste de todas las clases módulo 7 que tienen inverso multiplicativo, es decir U(Z7)={n¯Z7(n,7)=1}. Tenemos que U(Z7)={1¯,2¯,3¯,4¯,5¯,6¯}. Sabemos que este conjunto es un grupo con la multiplicación. Observemos que en los enteros módulo 7 no todas las clases tienen inverso multiplicativo, sólo aquellas representadas por primos relativos con 7, por eso 0¯ no está en nuestro conjunto U(Z7).

Podemos hacer algunas operaciones:

  • (4¯)2=42=16=2¯, en este caso (4¯)2 no es el neutro, entonces intentemos lo siguiente:
  • (4¯)3=(4¯)24¯=2¯4¯=8¯=1¯, así o(4¯)=3.

Por lo tanto, 4¯={1¯,4¯,(4¯)2}={1¯,4¯,2¯} , así |4¯|=3.

Consecuencias

Hasta ahora hemos visto que la cantidad de elementos que hay en el generado por a, es decir a, está definido por el orden de a, denotado por (o(a)). En consecuencia tenemos el siguiente corolario.

Corolario. Sea G un grupo y aG. Tenemos que a es de orden finito si y sólo si a es un conjunto finito.

Demostración.
Sea G un grupo y aG.

|) Si a es de orden finito, por el primer teorema que probamos en esta entrada,

|a|=o(a)Z+

|a| es finito.

|) Si a es un conjunto finito, entonces
{,a1,e,a1,a2,} tiene repeticiones.

Sean i,jZ con ij tales que ai=aj.
Sin pérdida de generalidad supongamos que i<j. Multiplicando por (ai)1 en ambos lados,

ai(ai)1=aj(ai)1e=aji

con jiZ+. Por lo tanto a es de orden finito.

◼

Corolario. Todo elemento de un grupo finito es de orden finito.

Demostración.
Sea G un grupo finito y aG.

Como aG y G es finito, entonces a también es finito por el corolario anterior a es de orden finito.

◼

Tarea moral

  1. Considera G=a un grupo cíclico infinito:
    1. Encuentra el subgrupo de G con la menor cantidad de elementos posible, que tenga como elemento a a4.
    2. Encuentra el subgrupo de G con la menor cantidad de elementos posible, que tenga como elementos a a4 y a a6.
    3. Encuentra el subgrupo de G con la menor cantidad de elementos posible, que tenga como elementos a a4 y a a9.
    4. ¿Son cíclicos? Si lo son, encuentra un generador.
  2. Sea G un grupo finito. Sea S el subgrupo de elementos g tales que g5=e, donde e es el elemento neutro de G. Prueba que el orden de S es impar.
    Hint: si G es un grupo, aG y existe pZ primo tal que ap=e, entonces o(a)=p.
  3. ¿Es posible que exista un grupo infinito tal que cada elemento sea de orden finito? De ser cierto, da un ejemplo. En caso contrario prueba que. no existe tal grupo.

Más adelante…

En las siguientes entradas estudiaremos más resultados y consecuencias que se derivan de todas las definiciones que hemos dado.

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Álgebra Moderna I: Orden de un elemento y Grupo cíclico

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En la entrada anterior aprendimos qué es un subgrupo, sus características y hablamos de los subgrupos finitos. Pero en general, si tenemos un conjunto G y escogemos un subconjunto X de G, X no tendría por qué ser un subgrupo. A partir de esta entrada comenzaremos a estudiar qué necesitamos agregarle a X para que se vuelva un subgrupo.

Particularmente, ahora hablaremos sobre el orden de un elemento y de cómo este orden puede inducir ciertos grupos y subgrupos. Por ejemplo, definiremos qué es un subconjunto generado por a, con aG.

El orden de un elemento

Definición. (Orden de un elemento)
Sea G un grupo, aG. Si ak=e para algún kZ+ decimos que a es de orden finito y en ese caso definimos el orden de a como

o(a)=mín{kZ+|ak=e}.

En caso contrario decimos que a es de orden infinito.

Ejemplos.

  1. Γ8={ξk|0k<8} con ξ=eπi4. Entonces o(ξ2)=4.
  2. Consideremos el conjunto V={(0,0),(1,0),(0,1)(1,1)} con la suma entrada a entrada módulo 2. Éste se conoce como el grupo de Klein. Tenemos que
    • o((1,0))=2 ya que (1,0)(0,0) pero 2(1,0)=(1,0)+(1,0)=(0,0).
    • o((0,0))=1, o((1,0))=o((0,1))=o((1,1))=2.
  3. Consideremos Z, o(0)=1 y para toda aZ{0}, a es de orden infinito.

Lema. Sea G un grupo, aG de orden finito. Si ak=e para alguna kZ, entonces o(a) divide a k.

Demostración.
Sea aG de orden finito. Supongamos que ak=e para algún kZ.

P.D. o(a)|k
Por el algoritmo de la división en Z existen q,rZ tales que

k=o(a)q+rcon 0r<o(a)

Entonces

e=ak=ao(a)q+r=(ao(a))qar=eqar=ear=ar

Así e=ar, con 0r<o(a). Pero o(a) es el mínimo entero positivo tal que al colocarlo como exponente en a da e, entonces r=0. Por lo tanto o(a)|k.

◼

Lema. Sea G un grupo, aG de orden finito. Sea nZ+. Si se cumple que

  1. an=e
  2. ak=e con kZ implica que n|k

entonces n=o(a).

Demostración.
Sea G un grupo, aG de orden finito. Sea nZ+ tal que cumple los incisos 1 y 2.

P.D. n=o(a)
Como se cumple el inciso 1, an=e. Entonces

n{kZ+|ak=e}.


Veamos que n es el elemento mínimo.
Sea kZ+ tal que ak=e. Por el inciso 2, se tiene que n|k, entonces |n||k| pero n,kZ+ entonces nk.

Por lo tanto n=mín{kZ+|ak=e}=o(a).

◼

El subgrupo cíclico

Proposición. Sea G un grupo y aG. El conjunto {an|nZ} es un subgrupo de G.

Notación. A partir de ahora, al conjunto anterior lo denotaremos como a={an|nZ}

Demostración de la proposición.
Sean G un grupo y aG.

P.D. aG
e=a0a
Sean x,ya, entonces x=an, y=bm con n,mZ.
Tenemos que xy1=an(am)1=anam=anma.
Por lo tanto aG.

◼

Definición. Sean G un grupo y aG,

a={an|nZ}

se llama el subgrupo cíclico de G generado por a. Decidimos que G es un grupo cíclico si G=a para alguna aG y en ese caso decimos que a es un generador de G.

Ejemplo.

  1. G={ξk|0k<8} con ξ=eπi4.
    G es un grupo cíclico, pues G=ξ y ξ es un generador de G.
    El conjugado de ξ, ξ¯, es otro generador de G.
    {1,i,1,i}=ξ2 es el subgrupo cíclico de G generado por i.
  2. Z=1 es un grupo cíclico, 1 y 1 son generadores de Z.
  3. Sea V={(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)} el grupo de Klein definido al inicio de esta entrada. Tenemos que (1,0)={(1,0),(0,0)} es un subgrupo cíclico de V generado por (1,0). Se puede verificar que los elementos de V generan subgrupos de uno o dos elementos. Por lo tanto V no es cíclico.
  4. Sea mZ+. El conjunto de unidades de Zm se define como las clases módulo m que tienen inverso multiplicativo, o bien {nZm|(n;m)=1} y se denota por U(Zm). Se puede probar que éste es un grupo con el producto. Consideremos ahora el grupo U(Z10)={nZ10|(n;10)=1}.
    Tenemos que U(Z10)={1,3,7,9}.
    Como 32=9, 33=27=7,
    34=333=73=21=1, entonces U(Z10)=3 y U(Z10) es cíclico.

Tarea moral

  1. Sea G=GL(2,Q) (recuerda las definiciones en los ejemplos importantes de matrices). Considera las matrices
    A=(0110), B=(0111)
    Muestra que A y B tienen orden finito pero AB no.
  2. Prueba que las siguientes 4 matrices forman un grupo multiplicativo y encuentra el orden de cada elemento.
    (1001), (1001), (1001), (1001)
  3. Prueba o da un contraejemplo: Si ak=e, entonces k es el orden de a.
  4. Considera el grupo diédrico formado por las simetrías de un hexágono. Sea R la rotación de 2π3.
    • Determina el orden de R.
    • Encientra otros cincos valores k enteros tales que Rk=id y analiza si existe alguna relación entre o(a) y estos valores de k.

Más adelante…

Ahora ya conocemos el subgrupo generado por a. En las siguientes entradas profundizaremos en las características de éste, definiremos el orden de un grupo y la relación que podemos encontrar entre ambos.

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