Introducción
Ya vimos qué es el orden de un elemento y el grupo cíclico generado por ese elemento. En esta entrada veremos a qué se le denomina el orden de un grupo, que en realidad es un concepto que ya conoces.
Primero repasemos cómo es el conjunto generado por
En esa sucesión de potencias de
A continuación formalizaremos esta idea, definiremos el orden de un grupo y relacionaremos el orden de un elemento con el orden del grupo generado por éste.
Definición de orden de un grupo
Definición: Sea
Teorema: Sean
Demostración.
Sea
Considera que
Sea
Por el algoritmo de la división existen
Entonces, sustituyendo el valor de
Si seguimos realizando operaciones con los exponentes, obtenemos:
es decir,
Hemos demostrado así la primera contención.
Esta contención es más sencilla porque claramente
Y como
Todavía nos falta un detalle. Hasta ahora sabemos que
pero nada nos asegura que
Supongamos que
Multiplicando ambos lados por
Entonces,
Así
Un pequeño ejemplo
Ejemplo.
Recordemos que de acuerdo a lo que se definió en un ejemplo de la entrada anterior tenemos que
Podemos hacer algunas operaciones:
, en este caso no es el neutro, entonces intentemos lo siguiente: , así .
Por lo tanto,
Consecuencias
Hasta ahora hemos visto que la cantidad de elementos que hay en el generado por
Corolario. Sea
Demostración.
Sea
Sean
Sin pérdida de generalidad supongamos que
con
Corolario. Todo elemento de un grupo finito es de orden finito.
Demostración.
Sea
Como
Tarea moral
- Considera
un grupo cíclico infinito:- Encuentra el subgrupo de
con la menor cantidad de elementos posible, que tenga como elemento a . - Encuentra el subgrupo de
con la menor cantidad de elementos posible, que tenga como elementos a y a . - Encuentra el subgrupo de
con la menor cantidad de elementos posible, que tenga como elementos a y a . - ¿Son cíclicos? Si lo son, encuentra un generador.
- Encuentra el subgrupo de
- Sea
un grupo finito. Sea el subgrupo de elementos tales que , donde es el elemento neutro de . Prueba que el orden de es impar.
Hint: si es un grupo, y existe primo tal que , entonces . - ¿Es posible que exista un grupo infinito tal que cada elemento sea de orden finito? De ser cierto, da un ejemplo. En caso contrario prueba que. no existe tal grupo.
Más adelante…
En las siguientes entradas estudiaremos más resultados y consecuencias que se derivan de todas las definiciones que hemos dado.
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