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Álgebra Superior II: Teorema chino del residuo

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

3 respuestas

Introducción

En entradas anteriores platicamos de congruencias y de algunos teoremas que se pueden usar para trabajar con potencias y factoriales módulo un entero. También, aprendimos a resolver una ecuación lineal módulo $n$. El resultado principal fue el siguiente:

Teorema 1. Sean $a,b$ enteros y $n$ un entero positivo. La ecuación $ax\equiv b\pmod n$ tiene solución si y sólo si $M:=\text{MCD}(a,n)$ divide a $b$. Cuando sí hay solución, ésta se puede expresar de manera única en módulo $n’:=n/M$.

Ya que sabemos resolver una ecuación lineal, el siguiente paso es aprender a resolver sistemas que involucren dos o más ecuaciones lineales. En esta entrada veremos primero cómo resolver un sistema de dos ecuaciones lineales.

Luego, veremos cómo resolver un sistema con más ecuaciones y demostraremos un resultado clásico: el teorema chino del residuo. Pero para eso necesitaremos el resultado para dos ecuaciones lineales. Vamos poco a poco.

Sistemas de dos ecuaciones lineales

Supongamos que queremos entender por completo el sistema de ecuaciones
\begin{align*}
ax&\equiv b \pmod m\\
cx&\equiv d \pmod n,
\end{align*}

es decir, determinar cuándo existe una $x$ que satisfaga ambas ecuaciones y, si existe, determinar cómo se ven todas las soluciones. Por lo primero que nos tenemos que preocupar es por que cada una de las ecuaciones tenga solución: si alguna no tiene, entonces no hay solución para el sistema.

Así, lo primero que tiene que pasar es que $\text{MCD}(a,m)$ divida a $b$ y que $\text{MCD}(c,n)$ divida a $d$. Cuando sí tienen solución, entonces podemos intercambiar a las ecuaciones por sus ecuaciones reducidas y obtener el sistema de ecuaciones lineales equivalente
\begin{align*}
a’x&\equiv b’ \pmod {m’}\\
c’x&\equiv d’ \pmod {n’}.
\end{align*}

La primera ecuación tiene una única solución módulo $m’$ y la segunda una única solución módulo $n’$, así que este sistema es equivalente al sistema
\begin{align*}
x&\equiv e \pmod {m’}\\
x&\equiv f \pmod {n’},
\end{align*}

en donde $e$ y $f$ son las soluciones a cada una de las ecuaciones lineales reducidas por separado. Ahora sí podemos combinar ambas ecuaciones. Lo único que nos falta es entender cuándo los sistemas de esta forma tienen solución.

Ejemplo 1. El sistema lineal de ecuaciones
\begin{align*}
x&\equiv 2 \pmod 6\\
x&\equiv 4 \pmod {15}
\end{align*}
no tiene solución.

Solución. La primera ecuación implica que $6\mid x-2$. Como $3\mid 6$, por transitividad tenemos $3\mid x-2$, así que la primera ecuación implica que $x$ deja residuo $2$ al dividirse entre $3$.

La segunda ecuación implica que $15\mid x-4$. Como $3\mid 15$, por transitividad $3\mid x-4$, o bien $x\equiv 4 \equiv 1 \pmod 3$. Es decir, la segunda ecuación implica que $x$ deja residuo $1$ al dividirse entre $3$. De esta forma, es imposible satisfacer simultáneamente ambas ecuaciones.

$\triangle$

En el ejemplo anterior, $3$ es el máximo común divisor de $6$ y $15$ y por eso convino estudiar la divisibilidad entre $3$. La siguiente proposición justo dice cuándo el sistema tiene solución en términos de cierta divisibilidad por el máximo común divisor de los módulos.

Proposición 4. Sean $a$ y $b$ enteros y $m$ y $n$ enteros positivos. El sistema lineal de ecuaciones en congruencias
\begin{align*}
x&\equiv a \pmod m\\
x&\equiv b \pmod n
\end{align*}

tiene solución si y sólo si $M:=\text{MCD}(m,n)$ divide a $a-b$. En este caso, la solución se puede expresar de manera única módulo $N:=\text{mcm}(m,n)$, el mínimo común múltiplo de $m$ y $n$.

Demostración. Supongamos que $x$ es solución. Por la primera ecuación, $m\mid x-a$ y como $M\mid m$, entonces $M\mid x-a$. De manera análoga, $M\mid x-b$. Así, $M\mid (x-b)-(x-a)=a-b$, lo cual prueba una implicación de la proposición.

Por otro lado, si $M$ divide a $a-b$, entonces existe una combinación lineal de $m$ y $n$ que da $a-b$, digamos $ym+zn=a-b$, que podemos reescribir como $b+zn=a-ym$. Tomemos $x=b+zn=a-ym$. Notemos que
\begin{align*}
x&=a-ym\equiv a\pmod m\\
x&= b+zn \equiv b \pmod n,
\end{align*}

de modo que $x$ es solución para el sistema. Notemos que $x+rN$ para cualquier $r$ entero y $N$ el mínimo común múltiplo de $m$ y $n$ también es solución pues $N\equiv 0 \pmod m$ y $N\equiv 0 \pmod n$.

Veamos que la solución es única módulo $N$. Si tenemos $x$ y $y$ que son soluciones al sistema, entonces tenemos
\begin{align*}
x&\equiv a \equiv y\pmod m\\
x&\equiv b \equiv y\pmod n,
\end{align*}

lo cual implica $m\mid x-y$ y $n\mid x-y$. Como $N$ es el mínimo común múltiplo, $N\mid x-y$, de modo que $x\equiv y \pmod N$.

$\square$

Terminamos esta sección con un teorema que recopila todo lo que hemos mostrado para dos ecuaciones lineales.

Teorema 2. Consideremos el sistema de ecuaciones
\begin{align*}
ax&\equiv b \pmod m\\
cx&\equiv d \pmod n.
\end{align*}

Si $\text{MCD}(a,m)$ no divide a $b$ o $\text{MCD}(c,n)$ no divide a $d$, entonces el sistema no tiene solución. Si tenemos ambas divisibilidades, entonces el sistema original es equivalente al sistema
\begin{align*}
x&\equiv e \pmod {m’}\\
x&\equiv f \pmod {n’},
\end{align*}

donde $e$ y $f$ son las soluciones únicas a las reducciones de la primer y segunda congruencia respectivamente. Si $\text{MCD}(m’,n’)$ no divide a $e-f$, entonces el sistema original no tiene solución. Si sí, entonces el sistema original tiene una única solución módulo $\text{mcm}(m’,n’)$.

Ejemplo 2. Determina las soluciones al siguiente sistema lineal de ecuaciones:
\begin{align*}
4x&\equiv 12 \pmod {24}\\
10x&\equiv 5 \pmod {75}.
\end{align*}

Solución. Para la primera ecuación, notamos que $\text{MCD}(4,24)=4$ sí divide a $12$ así que la ecuación sí tiene solución, y su conjunto solución es el mismo que el de $x\equiv 3\pmod 6$.

Para la segunda ecuación, notamos que $\text{MCD}(10,75)=5$ sí divide a $5$ así que la ecuación sí tiene solución, y su conjunto solución es el mismo que el de $2x\equiv 1\pmod {15}$. La solución de esta ecuación es $x\equiv 8 \pmod {15}$. De este modo, el sistema original es equivalente al sistema:

\begin{align*}
x&\equiv 3 \pmod {6}\\
x&\equiv 8 \pmod {15}.
\end{align*}

Tenemos que $\text{MCD}(6,15)=3$. Pero $3$ no divide a $3-8=-5$. Entonces este sistema no tiene solución, y por lo tanto el original tampoco.

$\triangle$

Hagamos un ligero cambio en el sistema de ecuaciones.

Ejemplo 3. Determina las soluciones al siguiente sistema lineal de ecuaciones:
\begin{align*}
4x&\equiv 20 \pmod {24}\\
10x&\equiv 5 \pmod {75}.
\end{align*}

Solución. Para la primera ecuación, notamos que $\text{MCD}(4,24)=4$ sí divide a $20$ así que la ecuación sí tiene solución, y su conjunto solución es el mismo que el de $x\equiv 5\pmod 6$.

Para la segunda ecuación, notamos que $\text{MCD}(10,75)=5$ sí divide a $5$ así que la ecuación sí tiene solución, y su conjunto solución es el mismo que el de $2x\equiv 1\pmod {15}$. La solución de esta ecuación es $x\equiv 8 \pmod {15}$. De este modo, el sistema original es equivalente al sistema:
\begin{align*}
x&\equiv 5 \pmod {6}\\
x&\equiv 8 \pmod {15}.
\end{align*}

Tenemos que $\text{MCD}(6,15)=3$ y que $3$ sí divide a $5-8=-3$, de modo que sí hay solución. Para encontrarla, expresamos a $-3$ como combinación lineal de $6$ y $15$: $$5-8= -3 = (-3)\cdot 6 + 1\cdot 15.$$

De aquí, $x=8+15=23$ es una solución, y por lo tanto el conjunto de soluciones queda descrito módulo $\text{mcm}(6,15)=30$ de manera única como $$x\equiv 23 \pmod {30}$$.

$\triangle$

El teorema chino del residuo

Varias de las ideas que usamos para un sistema de dos ecuaciones lineales las podemos reciclar para cuando queremos encontrar una $x$ que satisfaga simultáneamente el sistema de ecuaciones lineales en congruencias
\begin{align*}
a_1x&\equiv b_1\pmod {m_1}\\
a_2x&\equiv b_2\pmod {m_2}\\
&\vdots\\
a_nx&\equiv b_n\pmod {m_n}
\end{align*}

Si este sistema tiene solución, entonces claramente:

  • Cada una de las ecuaciones debe tener solución y,
  • cada par de ellas debe tener solución.

Lo impresionante del siguiente teorema es que estas dos condiciones son las únicas que tenemos que verificar para que el sistema tenga solución. Y afortunadamente ya estudiamos cuándo dos ecuaciones lineales en congruencias tienen una solución simultánea.

Si cada una de las ecuaciones del sistema tiene solución, entonces es única, así que podemos remplazar cada ecuación por su solución y obtener un sistema de ecuaciones en donde todos los coeficientes de $x$ son $1$ (como le hicimos en el caso de dos ecuaciones). El siguiente resultado estudia estos sistemas.

Teorema 3. Sea $n\geq 2$ un entero, $b_i$ enteros para $i\in \{1,\ldots,n\}$ y $m_i$ enteros positivos para $i\in \{1,\ldots,n\}$. El sistema de ecuaciones en congruencias
\begin{align*}
x&\equiv b_1\pmod {m_1}\\
x&\equiv b_2\pmod {m_2}\\
&\vdots\\
x&\equiv b_n\pmod {m_n}
\end{align*}
tiene solución si y sólo si para cada par de índices $i$ y $j$ en $\{1,2,\ldots,n\}$ se tiene que la ecuación $i$ y la ecuación $j$ tienen solución, es decir, si y sólo si $\text{MCD}(m_i,m_j)\mid b_i-b_j$. En este caso, la solución es única módulo $\text{mcd}(m_1,\ldots,m_n)$.

Demostración. Si el sistema completo tiene solución, entonces claramente cualquier par de ecuaciones tiene solución. Para demostrar la afirmación inversa, procederemos por inducción. Para $n=2$ la afirmación es directa, pues justo la hipótesis es que ese par de ecuaciones tiene solución.

Supongamos entonces el resultado cierto para cuando tenemos $n$ ecuaciones y consideremos un sistema con $n+1$ ecuaciones
\begin{align*}
x&\equiv b_1\pmod {m_1}\\
x&\equiv b_2\pmod {m_2}\\
&\vdots\\
x&\equiv b_n\pmod {m_n}\\
x&\equiv b_{n+1}\pmod {m_{n+1}}.
\end{align*}

Supongamos que cualquier par de ellas tienen solución. Tenemos que mostrar que todo el sistema tiene solución y que es única módulo $\text{mcm}(m_1,\ldots,m_{n+1})$. Como cualquier par tienen solución, entonces cualquier par de las primeras $n$ tienen solución. Por hipótesis inductiva, entonces podemos reemplazar a las primeras ecuaciones por una ecuación módulo $N=\text{mcm}(m_1,\ldots,m_{n})$, que es única por la unicidad en la hipótesis inductiva. En otras palabras, existe un entero $c$ tal que el sistema de ecuaciones original es equivalente al sistema de ecuaciones
\begin{align*}
x&\equiv c \pmod N\\
x&\equiv b_{n+1} \pmod {m_{n+1}}
\end{align*}

Mostraremos ahora que este sistema tiene solución. Para esto, basta mostrar que $\text{MCD}(N,m_{n+1})$ divide a $c-b_{n+1}$.

Como $c$ es solución del sistema para las primeras $n$ ecuaciones, tenemos que $c\equiv b_i\pmod {m_i}$ para toda $i=1,\ldots, n$, es decir, $m_i\mid c-b_i$. Por transitividad, $\text{MCD}(m_{n+1},m_i)\mid c-b_i$.

Como cualquier par de ecuaciones de las originales tenía solución, tenemos que $\text{MCD}(m_{n+1},m_i)\mid b_i-b_{n+1}$. De esta forma, $$\text{MCD}(m_{n+1},m_i)\mid -(c-b_i)-(b_i-b_{n+1})=b_{n+1}-c.$$

Con esto mostramos que cada $\text{MCD}(m_{n+1},m_i)$ divide a $b_{n+1}-c$, de modo que el mínimo común múltiplo de estos números también divide a $b_{n+1}-c$. Pero el mínimo común múltiplo de estos números precisamente $\text{MCD}(N,m_{n+1})$.

En otras palabras, el sistema
\begin{align*}
x&\equiv c \pmod N\\
x&\equiv b_{n+1} \pmod {m_{n+1}},
\end{align*}

que es esquivalente al original, tiene una solución, y esta es única módulo $$\text{mcm}(N,m_{n+1})=\text{mcm}(m_1,\ldots,m_n,m_{n+1}).$$

Esto es justo lo que queríamos para dar el paso inductivo.

$\square$

Como corolario, obtenemos el teorema chino del residuo, que habla acerca de soluciones a sistemas de ecuaciones en los cuales los módulos que tomamos son primos relativos entre sí.

Teorema 4 (teorema chino del residuo). Sea $n\geq 2$ un entero, $b_i$ enteros para $i\in\{1,2,\ldots,n\}$ y $m_i$ enteros positivos para $i\in\{1,\ldots,n\}$. Supongamos además que cada par $m_i, m_j$ de enteros ($i\neq j$) son primos relativos. Entonces el sistema lineal de congruencias
\begin{align*}
x&\equiv b_1\pmod {m_1}\\
x&\equiv b_2\pmod {m_2}\\
&\vdots\\
x&\equiv b_n\pmod {m_n}
\end{align*}
tiene una y sólo una solución módulo $m_1m_2\ldots m_n$.

Demostración. Como cada pareja de módulos son primos relativos, tenemos que $\text{MCD}(m_i,m_j)=1$ y entonces claramente cada par de ecuaciones tiene solución. Por el Teorema 3, el sistema tiene solución y esta es única módulo el mínimo común múltiplo de $m_1,\ldots,m_n$, que como son primos relativos dos a dos, es $m_1m_2\ldots m_n$.

$\square$

La demostración del Teorema 3 también nos da un procedimiento para resolver de manera práctica los sistemas de ecuaciones lineales en congruencias:

  • Si los coeficientes de $x$ del sistema no son $1$, entonces primero resolvemos todas las ecuaciones con coeficiente distinto de $1$ para transformarla en una del estilo de las del Teorema 3. Si alguna no se puede, entonces el sistema no tiene solución.
  • Una vez que el sistema está en la forma del Teorema 3, verificamos si cada par de ecuaciones tienen solución calculando los máximos comunes divisores de dos en dos y viendo que dividen a las restas respectivas. Si alguno de estos pares falla, entonces el sistema no tiene solución.
  • Si todos los pares cumplen la hipótesis, entonces resolvemos las primeras dos ecuaciones para remplazarlas por otra módulo su mínimo común múltiplo. Luego, usamos esa que obtuvimos y la tercera para remplazarlas por otra. Seguimos así hasta que sólo nos queden dos ecuaciones. La solución a esas será la solución al sistema original.

Ejemplo. Resolvamos el siguiente sistema de congruencias:

\begin{align*}
x&\equiv 11 \pmod{5}\\
x&\equiv 5 \pmod{7}\\
x&\equiv 7 \pmod{11}
\end{align*}

Solución. Los números $5$, $7$ y $11$ son primos relativos por parejas, de modo que la solución existe y es única módulo $5\cdot 7 \cdot 11= 385$. Para encontrarla, primero resolvemos las primeras dos ecuaciones. Estas corresponden al sistema
\begin{align*}
x&\equiv 11\equiv 1 \pmod{5}\\
x&\equiv 5 \pmod{7}
\end{align*}

Para encontrar la solución, ponemos a $1-5=-4$ como combinación lineal de $5$ y $7$, que tras explorar un poco, se puede hacer así: $1-5=-4=2\cdot 5 + (-2)\cdot 7$. De este modo, la solución es $x\equiv 5-14 \equiv -9 \equiv 26 \pmod{35}$ (este es un buen momento para substituir en las dos ecuaciones originales y ver que todo vaya bien).

Así, el sistema original es equivalente al sistema
\begin{align*}
x&\equiv 26 \pmod{35}\\
x&\equiv 7 \pmod{11}
\end{align*}

Ahora lo que tenemos que hacer es expresar a $26-7=19$ como combinación lineal de $35$ y $11$. Es difícil encontrar una combinación «al tanteo», así que aquí es mejor usar el algoritmo de la división de Euclides:
\begin{align*}
35&=3\cdot 11 + 2\\
11&=2\cdot 5 + 1
\end{align*}

De aquí, $$1=11-2\cdot 5=11-(35-3\cdot 11)\cdot 5 = (-5)\cdot 35 +
16\cdot 11,$$ por lo que $$19=(-5\cdot 19)\cdot 35 + (19\cdot 16)\cdot 11=(-95)\cdot 35 + (304)\cdot 11.$$

Así, la solución al sistema está dada por $x=7+304\cdot 11=3351\equiv 271 \pmod {385}$.

$\square$

Más adelante…

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Verifica que, en efecto, las soluciones que obtuvimos en el ejemplo después del Teorema 2 sí son soluciones de la ecuación original.
  2. Cuando un sistema de dos ecuaciones en módulos $m$ y $n$ sí tiene solución, ¿cuántas soluciones módulo $mn$ tiene?
  3. Usando $(\ldots)$ para máximo común divisor y $[\ldots]$ para mínimo común múltiplo, demuestra que para cualesquiera enteros $m_1,m_2,\ldots,m_n$ se tiene que $$([m_1,\ldots,m_n],m_{n+1})=[(m_1,m_{n+1}),\ldots,(m_n,m_{n+1})].$$
  4. Verifica que las soluciones del último ejemplo en efecto satisfacen el sistema de ecuaciones inicial.
  5. Demuestra que para cualquier entero $n\geq 1$ existen $n$ enteros consecutivos tal que la factorización en primos de cada uno de ellos usa al menos dos primos diferentes.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Seminario de Resolución de Problemas: Máximo común divisor

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

5 respuestas

Con esta entrada comenzamos a tratar los temas de números enteros y su aritmética. Varios de los temas que se ven aquí se estudian a profundidad en un curso de Álgebra Superior, así que varios de los resultados los enunciaremos sin demostración. Lo que nos interesa es cómo se pueden utilizar los resultados principales de la teoría de números enteros para la resolución de problemas matemáticos.

Divisibilidad y máximo común divisor

Trabajaremos todo el tiempo con números enteros, a menos que digamos lo contrario.

Decimos que $a$ divide a $b$ si $b$ es un mútiplo de $a$, es decir, si existe un $r$ tal que $b=ra$. Lo escribimos en símbolos como $a\mid b$. También decimos que $a$ es divisor de $b$.

Proposición 1. La relación de divisibilidad es reflexiva y transitiva, pero no es simétrica. Si $a\mid b$ y $b\mid a$, entonces $|a|=|b|$, es decir $a=b$ o $a=-b$.

Si tenemos varios números $a_1,\ldots,a_n$, el máximo común divisor es el mayor número que divide a todos. El mínimo común múltiplo es el menor entero positivo que es múltiplo de todos. Los denotamos respectivamente por $\MCD{a_1,\ldots,a_n}$ y $\mcm{a_1,\ldots,a_n}$.

Proposición 2. Si $n$ divide a $a$ y a $b$, entonces divide a cualquier combinación lineal entera $ra+sb$ de ellos. En particular, si $n$ divide a dos términos de la igualdad $a+b=c$, entonces divide al tercero.

Notemos que $a+(b-a)=b$. Por la Proposición 2, un divisor de $a$ y $b$ será divisor de $b-a$, y uno de $b-a$ y de $a$ será divisor de $b$. De aquí sale que $\MCD{a,b}=\MCD{a,b-a}$

Problema. Determina todas las funciones $f:\mathbb{Z}^+\times \mathbb{Z}^+ \to \mathbb{Z}^+$ tales que cumplen las siguientes tres propiedades simultáneamente:

  1. $f(a,a)=a$ para todo entero positivo $a$.
  2. $f(a,b)=f(b,a)$ para todo par de enteros positivos $a$ y $b$.
  3. $f(a,b)=f(a,a+b)$ para todo par de enteros positivos $a$ y $b$.

Sugerencia pre-solución. Haz casos particulares que puedas obtener a partir de esas propiedades para conjeturar el valor de $f(a,b)$ para todos $a$ y $b$ enteros positivos. Intenta probar tu conjetura por inducción fuerte.

Solución. Vamos a mostrar que $f(a,b)=\MCD{a,b}$ para todo par de enteros positivos $a$ y $b$. Vamos a probarlo por inducción sobre la suma $a+b$. Como $a$ y $b$ son enteros positivos, la menor suma que pueden tener es $2$ y en este caso $a+b=2$ implica $a=b=1$. Por la hipótesis 1, tenemos $f(1,1)=1$, que coincide con $\MCD{1,1}$.

Supongamos que el resultado es cierto cuando $a+b=k$ para todo entero $k=1,\ldots,n$ y tomemos $a$ y $b$ enteros de suma $n+1$. Si $a=b$, entonces $$f(a,b)=f(a,a)=a=\MCD{a,a}=\MCD{a,b},$$ como queremos. Si $a\neq b$, por la simetría que nos da la hipótesis 2 podemos suponer $b>a$. Por la hipótesis 3, $$f(a,b)=f(a,a+(b-a))=f(a,b-a).$$ En la expresión de la derecha, tenemos que sus entradas suman $a+(b-a)=b<a+b=n+1$, de modo que podemos aplicar la hipótesis inductiva para obtener que $f(a,b-a)=\MCD{a,b-a}$. Por la discusión antes de este problema, $\MCD{a,b-a}=\MCD{a,b}$. Así, concluimos que $f(a,b)=\MCD{a,b}$, como queríamos.

$\square$

El máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de un número son especiales. No sólo son el divisor más grande y el múltiplo más chico, sino que además si hay otro divisor de todos los números (o múltiplo de todos los números), además se cumplen ciertas divisibilidades.

Proposición 3. Si tenemos otro número $d$ que sea divisor de $a_1,\ldots,a_n$, entonces $$d\mid \MCD{a_1,\ldots,a_n}.$$ Si tenemos otro número $M$ que sea múltiplo de $a_1,\ldots,a_n$, entonces $$\mcm{a_1,\ldots,a_n}\mid M.$$

Problema. Sean $a$ y $b$ enteros positivos. Muestra que $$\MCD{a,b}\mcm{a,b}=ab.$$

Sugerencia pre-solución: Intenta resolver el problema antes de ver la solución. Para ello, necesitarás la Proposición 1 y la Proposición 3.

Solución. Para simplificar la notación, tomamos $D=\MCD{a,b}$ y $m=\mcm{a,b}$.

Como $D$ divide a $a$ y $b$, existen enteros $r$ y $s$ tales que $a=rD$ y $b=sD$. Notemos que $rsD=as=br$, así que $rsD$ es un múltiplo de $a$ y $b$, y por la Proposición 3, tenemos que $m\mid rsD$. Multiplicando por $D$ esta divisibilidad, tenemos que $Dm\mid rsD^2=ab$.

Como $ab$ es múltiplo de $a$ y de $b$, por la Proposición $3$ es múltiplo de $m$, digamos $ab=km$. Notemos que de aquí, tenemos $a=k(m/b)$ con $m/b$ entero y $b=k(m/a)$ con $m/a$ entero, de modo que $k$ divide a $a$ y a $b$. Como $D$ es máximo común divisor, por la Proposición 3 tenemos que $k\mid D$. Multiplicando por $m$ esta divisibilidad, tenemos que $km\mid DM$, es decir, $ab\mid Dm$.

Con esto logramos conseguir que $ab\mid Dm$ y $Dm\mid ab$. Por la Proposición $1$, tenemos que $|ab|=|Dm|$, pero como $a$, $b$, $D$, $m$ son positivos, entonces $ab=Dm$.

$\square$

Algoritmo de la división y algoritmo de Euclides

Tomemos $a$ y $b$ enteros. Si intentamos expresar a $a$ como múltiplo de $b$, puede que no lo logremos. Pero podemos acercarnos lo más posible y dejar un residuo «pequeño». Esto es lo que dice el algoritmo de la división.

Teorema 1 (Algoritmo de la división). Para enteros $a$ y $b\neq 0$, existen únicos enteros $q$ y $r$ tales que $0\leq r < |b|$ y $a=bq+r$.

Consideremos la igualdad $a=bq+r$ en el algoritmo de la división y apliquemos la Proposición 2. Si $d$ divide a $a$ y $b$, entonces divide a $r$. Si $d$ divide a $r$ y a $b$, entonces divide a $a$. Así, $\MCD{a,b}=\MCD{b,r}$, en donde $b$ y $r$ ahora son números más chicos que $a$ y $b$. De este modo, podemos hacer varias veces el algoritmo de la división para obtener igualdades
\begin{align*}
a&=bq_1+r_1\\
b&=r_1 q_2 + r_2\\
r_1&= r_2q_3 + r_3\\
&\vdots\\
r_{n-2}&= r_{n-1}q_n + r_n\\
r_{n-1}&= r_nq_{n+1} + 0\\
\end{align*}

de las que obtenemos $$\MCD{a,b}=\MCD{b,r_1}=\ldots=\MCD{r_n,0}=r_n.$$
En las igualdades llegamos a un residuo $0$ pues $b>r_1>r_2>r_3>\ldots\geq 0$ es una sucesión estrictamente decreciente de enteros no negativos.

En particular, obtenemos $$\MCD{a,b}=r_n.$$ A esto se le conoce como el algoritmo de Euclides, que enunciamos en otras palabras a continuación.

Teorema 2 (Algoritmo de Euclides). Podemos obtener el máximo común divisor de $a$ y $b$ aplicando el algoritmo de la división a $a$ y $b$, a $b$ y el residuo obtenido y luego repetidamente a los residuos que se van obteniendo. El último residuo no cero es $\MCD{a,b}$.

Hay todavía una conclusión adicional muy importante que podemos obtener a partir del algoritmo de Euclides.

Problema. Sean $a\geq b$ enteros. Sean $q_i$ y los $r_i$ los números obtenidos en el algoritmo de Euclides. Definimos recursivamente una sucesión de $n+1$ vectores en $\mathbb{R}^3$ como sigue:

\begin{align*}
v_1&=(a,1,0)\\
v_2&=(b,0,2)\\
v_{i+2}&=v_{i}-q_iv_{i+1}\quad \text{para $i=1,\ldots,n-1$}
\end{align*}

Sean $r_{-1}=a$ y $r_{0}=b$. Muestra que para $i=1,2,3,\ldots,n+1$ se tiene que $v_i=(x_i,y_i,z_i)$, en donde:

  • $x_i=r_{i-2}$
  • $x_i=ay_i+bz_i$

Sugerencia pre-solución. Intenta resolver el problema haciendo inducción sobre el índice. Los casos $i=1,2$ son inmediatos.

Solución. Procedemos por inducción fuerte en el subíndice $i$. Para $i=1,2$, el resultado es cierto pues $x_1=a=r_{-1}$, $x_2=b=r_0$, $a=1\cdot a + 0 \cdot b$ y $b=0 \cdot a + 1\cdot b$. Supongamos el resultado cierto para los índices $1,2,\ldots, k$ para algún $2\leq k\leq n$. Tomemos el índice $k+1$.

Estudiemos primero la entrada $x_{k+1}$. Por definición de la recursión e hipótesis inductiva
\begin{align*}
x_{k+1}&=x_{k-1}-q_{k-1}x_{k}\\
&=r_{k-3}-q_{k-1}r_{k-2}\\
&=r_{k-1},
\end{align*}

que es lo que queríamos mostrar para la entrada $x_{k+1}$. Para la segunda parte, de nuevo usando la recursión e hipótesis inductiva, tenemos que
\begin{align*}
x_{k+1}&=x_{k-1}-q_{k-1}x_{k}\\
&=ay_{k-1}+bz_{k-1} – q_{k-1} (ay_{k}+bz_{k})\\
&=a(y_{k-1}-q_{k-1}y_k) + b(z_{k-1}-q_{k-1}z_k)\\
&=ay_{k+1}+bz_{k+1}.
\end{align*}

Con esto terminamos la inducción.

$\square$

El problema anterior nos dice que, en particular, $r_n=ay_n+bx_n$. Esta conclusión es muy importante y la enunciamos como teorema.

Teorema 3. El máximo común divisor de enteros $a$ y $b$ se puede escribir como combinación lineal entera de $a$ y $b$, es decir, existen enteros $m$ y $n$ tales que $\MCD{a,b}=am+bn$.

Veamos un ejemplo concreto de cómo podemos usar el problema para encontrar la combinación lineal que da el máximo común.

Problema. Expresa al máximo común divisor de $754$ y $221$ como combinación lineal entera de estos números.

Solución. Hacemos la siguiente tabla, en donde ponemos a los vectores del problema como vectores columna (en los renglones $2,3,4$). En el primer rengón vamos apuntando las $q_i$.

3223
7542219139130
101-25-17
01-37-1758

Explicamos un poco más de donde sale la tabla. Las primeras dos columnas son los vectores $v_1$ y $v_2$ del problema, que son $(754,1,0)$ y $(221,0,1)$. Para la tercer columna, nos preguntamos ¿cuántas veces cabe $221$ en $754$? La respuesta es $3$, así que ponemos un $3$ arriba (para acordarnos) y hacemos la resta de la primera columna menos tres veces la segunda. Eso va en la tercer columna.

Para la cuarta columna, nos preguntamos ¿cuántas veces cabe $91$ en $221$? La respuesta es $2$, así que lo apuntamos arriba, y la cuarta columna es la segunda, menos dos veces la tercera. Continuamos así hasta que obtengamos un $0$. La columna anterior nos dice que $13$ es el máximo común divisor, y que la combinación lineal es $$13=754\cdot 5 + 221 \cdot 58.$$

$\square$

Aquí hay otros dos problemas con aplicaciones de las ideas que vimos en esta entrada.

Problema. Muestra que para todo entero $n$ se tiene que la fracción $\frac{41-6n}{9n-61}$ es irreducible.

Sugerencia pre-solución. Intenta resolver el problema. Lo que quieres mostrar es que $41-6n$ y $9n-61$ nunca tienen divisores en común.

Solución. Notemos que $41-6n$ y $9n-61$ tienen una combinación lineal que da $1$. En efecto, $$3\cdot (41-6n) + 2\cdot (9n-61) = 123-18n+18n-122=1.$$

Cualquier entero $d$ que divida a $41-6n$ y a $9n-61$ tiene entonces que dividir a $1$, lo cual muestra que $\MCD{41-6n,9n-61}=1$, y por lo tanto la fracción siempre es irreducible.

$\square$

Problema. Se tiene un número irracional $\alpha$ para el cual $\alpha^{91}$ y $\alpha^{119}$ son números racionales. Muestra que $\alpha^{14}$ es un número racional.

Sugerencia pre-solución. Encuentra el máximo común divisor de $91$ y $119$. Recuerda que las potencias de racionales son racionales, y productos de racionales también.

Solución. Como $91=7\cdot 13$ y $119=7\cdot 13$, tenemos que $\MCD{91,119}=7$. De esta forma, existen enteros $m$ y $n$ tales que $7=91m+119n$, de donde $14=91 \cdot (2m)+119 \cdot(2n)$.

Sabemos que $\alpha^{91}$ es racional, así que $(\alpha^{91})^{2m}$ también. Análogamente, $(\alpha^{119})^{2n}$ es racional. De esta forma, el número $$\alpha^{14}=(\alpha^{91})^{2m}\cdot (\alpha^{119})^{2n}$$ también lo es.

$\square$

Más ejemplos

Puedes ver más ejemplos del uso de esta teoría en la Sección 3.1 del libro Problem Solving through Problems de Loren Larson.

El Teorema 3 es fundamental para cuando se quieren determinar inversos multiplicativos trabajando módulo $n$.