(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)
Introducción
La definición de subgrupos normales fue motivada porque queremos extraer las propiedades de los enteros a grupos más generales. Recordemos que en los enteros se define una relación de equivalencia (módulo
Grupo cociente módulo
Teorema. Sea
El conjunto
con la operación
es un grupo de orden
Definición. Al conjunto
Demostración del teorema.
Sea
En
Primero veamos que está bien definida.
Sean
P.D.
Como
Como
Sustituyendo
Como
Entonces
Por lo tanto
Veamos ahora que con esta operación,
P.D. La operación es asociativa.
Sean
Por lo tanto la operación en
P.D. El neutro de la operación existe y está en
Sea
Por lo tanto
P.D. Para cada elemento en
Dado
Así
Finalmente,
Notemos que en la demostración de que
Primer y segundo ejemplo
Ahora veremos algunos ejemplos de grupo cociente.
El primer ejemplo es justo el que motivó la idea de grupo cociente.
Tomemos
Entonces, vamos describiendo el grupo cociente paso por paso:
Ahora, para el segundo ejemplo, consideremos
De nuevo, vamos describiendo el grupo cociente.
En la tabla se muestra el resultado del producto de los elementos de
Así, estamos partiendo a
Tercer y cuarto ejemplo
A continuación, para nuestro tercer ejemplo, tomamos
Para obtener una nueva clase lateral, escogemos un elemento de los cuaternios que no esté en
De nuevo, en las imágenes podemos ver una tabla que expresa el resultado de multiplicar distintas clases y una representación gráfica de las clases que obtenemos en el cociente.
Podemos verificar algunas de las operaciones de la tabla, hacemos el producto de
Si ahora consideramos
Entonces
Así
Para nuestro último ejemplo, consideremos
Sea
Recordemos que
Así,
En particular
Tomemos los puntos enteros del eje
Tarea moral
A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.
- Sea
un grupo, un subgrupo de tal que el producto de dos clases laterales izquierdas de en es de nuevo una clase lateral izquierda de en ¿es entonces normal en ? - Sea
un grupo, un subgrupo normal de de índice finito con . Dada ¿qué podemos decir del elemento ? ¿Y si no es normal en ? - Sea
un grupo finito, un subgrupo normal de . Dada . Analiza cómo es el orden de en relación al orden de . - Considera el grupo aditivo
y el subgrupo- Determina qué deben cumplir
para que . - Describe al grupo
.
- Determina qué deben cumplir
- Sea
un grupo, un subgrupo normal de de índice finito con primo. Dada ¿qué podemos decir de y de ? - Si quieres profundizar un poco más sobre Grupos cocientes, puedes revisar el video de Mathemaniac sobre el tema. El video está en inglés.
Más adelante…
En pocas palabras, un subgrupo normal induce una partición del grupo y ésta es el grupo cociente. Esta idea surge de lo que ocurre en los enteros. En la siguiente entrada usaremos el grupo cociente para crear, a partir de un grupo no abeliano, otro que sea abeliano.
Entradas relacionadas
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- Entrada anterior del curso: Teoremas y Proposiciones relacionadas con subgrupos Normal y grupo Alternante.
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