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Cálculo Diferencial e Integral I: Derivadas de las funciones exponencial y logarítmica

Por Juan Manuel Naranjo Jurado

Introducción

En esta entrada revisaremos la derivada de dos funciones populares dentro de las matemáticas: las funciones exponencial y logarítmica. Para ello, será de gran utilidad tener presente lo que se revisó previamente respecto a estas funciones debido a que usaremos varias de sus propiedades.

Función logarítmica

Comenzaremos probando que la función logaritmo es derivable en todo su dominio, una vez lo hayamos probado, se tiene en automático que la función es continua por la relación existente entre derivabilidad y continuidad.

Teorema. Sea $f: (0, \infty) \to \RR$ definida como $f(x) = ln(x)$. Para todo $x > 0$ se tiene que $f'(x) = \frac{1}{x}.$

Demostración.

Veamos el siguiente límite

\begin{align*}
\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} & = \lim_{h \to 0} \frac{ln(x_0+h)-ln(x_0)}{h} \\ \\
& = \lim_{h \to 0} \frac{ln \left( \frac{x_0+h}{x_0} \right) }{h} \\ \\
& = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \cdot ln \left( 1+\frac{h}{x_0} \right) \\ \\
& = \lim_{h \to 0} ln \left( 1+\frac{h}{x_0} \right)^{\frac{1}{h}}.
\end{align*}

Consideremos $t = \frac{h}{x_0}$. Notemos que cuando $h \to 0,$ se tiene que $t \to 0$. Además, se sigue que $\frac{1}{h} = \frac{1}{x_0} \cdot \frac{1}{t}$. Así, podemos sustituir el límite anterior de la siguiente forma

\begin{align*}
\lim_{h \to 0} ln \left( 1+\frac{h}{x_0} \right)^{\frac{1}{h}} & = \lim_{t \to 0} ln \left( 1+t \right)^{\frac{1}{x_0} \cdot \frac{1}{t}} \\ \\
& = \lim_{t \to 0} ln \left( \left( 1+t \right)^{\frac{1}{t}} \right)^{\frac{1}{x_0}} \\ \\ 
& = \lim_{t \to 0} \frac{1}{x_0} \cdot ln \left( 1+t \right)^{\frac{1}{t}}. \\ \\
\end{align*}

Tomemos $n = \frac{1}{t}$. Cuando $t \to 0$, se tiene que $n \to \infty$. Además, $t = \frac{1}{n}$. De la expresión anterior se sigue que

\begin{align*}
\lim_{t \to 0} \frac{1}{x_0} \cdot ln \left( 1+t \right)^{\frac{1}{t}} & = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{x_0} \cdot ln \left( 1+\frac{1}{n} \right)^{n} \\ \\
& = \frac{1}{x_0} \cdot \lim_{n \to \infty} ln \left( 1+\frac{1}{n} \right)^{n} \\ \\ 
& = \frac{1}{x_0} \cdot ln(e) \\ \\
& = \frac{1}{x_0}.
\end{align*}

$$\therefore ln'(x_0) = \frac{1}{x_0}.$$

$\square$

Corolario. La función $f(x) = ln(x)$ es continua.

Función exponencial

Ahora probaremos que la función exponencial es derivable en todo su dominio y, por tanto, también es continua.

Teorema. La función $f: \RR \to \RR$ definida como $f(x) = e^x$ es derivable para todo $x \in \RR$, y su derivada es $f'(x) = e^{x}.$

Demostración.

Veamos el siguiente límite

\begin{align*}
\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} & = \lim_{h \to 0} \frac{e^{x_0+h}-e^{x_0}}{h} \\ \\
& = \lim_{h \to 0} \frac{e^{x_0}e^{h}-e^{x_0}}{h} \\ \\
& = \lim_{h \to 0} e^{x_0} \cdot \frac{e^{h}-1}{h}. \\ \\
\end{align*}

Consideremos $t = e^{h}-1$, se sigue que $h = ln(t+1)$, además cuando $h \to 0$, se tiene que $t \to 0$. Así, de la expresión anterior tenemos

\begin{align*}
\lim_{h \to 0} e^{x_0} \cdot \frac{e^{h}-1}{h} & = \lim_{t \to 0} e^{x_0} \cdot \frac{t}{ln(t+1)} \\ \\
& = e^{x_0} \cdot \lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{t}}{\frac{1}{t}} \cdot \frac{t}{ln(t+1)} \\ \\
& = e^{x_0} \cdot \lim_{t \to 0} \frac{1}{\frac{1}{t} ln(t+1)} \\ \\
& = e^{x_0} \cdot \lim_{t \to 0} \frac{1}{ln(t+1)^{\frac{1}{t}}} \\ \\
& = e^{x_0} \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1}{ln(1+\frac{1}{n})^n}, \text{ considerando } n =\frac{1}{t} \\ \\
& = e^{x_0} \cdot \frac{1}{ln(e)} \\ \\
& = e^{x_0}.
\end{align*}

$$\therefore f'(x_0) = e^{x_0}.$$

$\square$

Corolario. La función $f(x) = e^x$ es continua.

Algunos ejemplos

Para los siguientes ejemplos haremos uso de las reglas de la derivada que conocemos hasta ahora, incluyendo la derivada de las funciones revisadas en esta entrada.

Ejemplo 1. Encuentra la derivada de $f(x) = ln \left( x+\sqrt{x^2+1} \right)$.

\begin{align*}
f'(x) & = \left( ln \left( x+\sqrt{x^2+1} \right) \right)’ \\ \\
& = ln’\left( x+\sqrt{x^2+1} \right) \cdot \left( x+\sqrt{x^2+1} \right)’ \text{, por la regla de la cadena} \\ \\
& = \frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}} \cdot \left( (x)’+(\sqrt{x^2+1})’ \right) \\ \\
& = \frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}} \cdot \left( 1+ \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot (x^2+1)’ \right) \\ \\
& = \frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}} \cdot \left( 1+ \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot 2x \right) \\ \\
& = \frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}} \cdot \left( 1+ \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \right) \\ \\
& = \frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}} \cdot \left( \frac{\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}} \right) \\ \\
& = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}.
\end{align*}

$$\therefore f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}.$$

Ejemplo 2. Encuentra la derivada de la función $f(x) = x^6e^{\sqrt{x}}.$

\begin{align*}
f'(x) & = x^6 (e^{\sqrt{x}})’+e^{\sqrt{x}} (x^6)’ \\ 
& = x^6 ( e^{\sqrt{x}} \cdot (\sqrt{x})’)+6x^5e^{\sqrt{x}} \\
& = x^6 (e^{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}})+6x^5e^{\sqrt{x}} \\
& = \frac{x^6e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}+6x^5e^{\sqrt{x}}.
\end{align*}

$$\therefore f'(x) = \frac{x^6e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}+6x^5e^{\sqrt{x}}.$$

Más adelante…

Antes de continuar con el estudio de la derivada de funciones trigonométricas, deberemos desarrollar otra herramienta que nos será muy útil: la derivada de las funciones inversas. En la siguiente entrada veremos cómo derivar la inversa de una función, así como las restricciones existentes para que esto sea posible.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  • Prueba que la derivada de $f(x)=a^x$ con $a>0$, es $f'(x) = ln(a) a^x$. Sugerencia: Considera que $f(x) = a^x =e^{xln(a)}$ y emplea la regla de la cadena.
  • Sea $c \in \RR$ un real fijo y consideremos $f: A \subset (0, \infty) \to \RR$, tal que $f(x) = x^c$. Prueba que $f$ es derivable en todo su dominio y su derivada es $f'(x) = cx^{c-1}$. Sugerencia: Considera que $f(x) = x^c = e^{cln(x)}$ y emplea la regla de la cadena.
  • Encuentra la derivada de la función $f(x) = e^{x^2}+ln(x^2)$.
  • Encuentra la derivada de la función $f(x) = ln(x+\sqrt{x^2+x})$.
  • Encuentra la derivada de la función $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}e^{x^2}$.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Cálculo Diferencial e Integral I: Reglas de derivación

Por Juan Manuel Naranjo Jurado

Introducción

Anteriormente habíamos revisado algunos teoremas relacionados con la derivada de funciones. Esta entrada tiene como objetivo mostrar un resumen de las reglas de derivación que hemos estudiado hasta ahora y agregar algunas reglas nuevas; éstas seguro te harán recordar las clases de cálculo del bachillerato, tal como la derivada de una constante o la derivada de $x^n$.

Reglas de derivación para la suma, el producto, el cociente y la composición de funciones

Previamente revisamos algunas reglas que son fundamentales para el cálculo de las derivadas, tal como que la derivada de una suma de funciones es la suma de sus respectivas derivadas o que la derivada de una función que está siendo multiplicada por una constante es igual a la derivada de la función multiplicada por la constante. Procederemos a enlistarlas pues será importante tenerlas muy presentes:

Sean $A \subset \RR$, $f: A \to \RR$, $g: A \to \RR$ y $x_0 \in A$ tales que $f$ y $g$ son derivables en $x_0$, es decir, $f'(x_0)$ y $g'(x_0)$ sí existen. Entonces

  1. $f+g$ es derivable en $x_0$, además $$(f+g)'(x_0) = f'(x_0) + g'(x_0).$$
  2. Si $c \in \RR$ es una constante, $cf$ es derivable en $x_0$, además $$(cf)'(x_0) = cf'(x_0).$$
  3. $f \cdot g$ es derivable en $x_0$, además $$(f \cdot g)'(x_0) = f(x_0)g'(x_0) + f'(x_0) g(x_0).$$
  4. Si $g(x_0) \neq 0$, entonces $\frac{f}{g}$ es derivable en $x_0$, además $$\left( \frac{f}{g} \right)’ (x_0) = \frac{-f(x_0)g'(x_0) + g(x_0)f'(x_0)}{(g(x_0))^2}.$$

Teorema. Sean $A$, $B \subset \RR$, $g: A \to \RR$, $f: B \to \RR$ y $x_0 \in A$ tales que

  1. Para todo $x \in A$, $g(x) \in B$.
  2. $g$ es derivable en $x_0$, es decir $$\lim_{x \to x_0} \frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0} = g'(x_0).$$
  3. $f$ es derivable en $g(x_0)$, es decir $$\lim_{t \to x_0} \frac{f(t)-f(g(x_0))}{t-g(x_0)} = f'(g(x_0)).$$

Entonces $f \circ g$ es derivable en $x_0$, además $$(f \circ g)'(x_0) = f'(g(x_0))g'(x_0).$$

Algunas reglas adicionales

Notemos que las reglas de la lista anterior se enfocan en encontrar la derivada de diversas operaciones que se pueden hacer con las funciones. Pero también es relevante tener presentes algunas derivadas de funciones específicas que suelen aparecer con mucha frecuencia. Algunas de ellas ya las probamos en una entrada anterior y solo las mencionaremos.

Proposición (Derivada de una constante). Sea $f: \RR \to \RR$, donde $f(x) = c$, entonces $f'(x)=0$ para todo $x \in \RR.$

Proposición (Derivada de la función identidad). Sea $f: \RR \to \RR$, donde $f(x) = x$, entonces $f'(x)=1$ para todo $x \in \RR.$

Demostración.

Sea $x_0 \in \RR$, entonces

\begin{align*}
f'(x_0) & = \lim_{ x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \\ \\
& = \lim_{x \to x_0} \frac{x-x_0}{x-x_0} \\ \\
& = \lim_{x \to x_0} 1 \\ \\
& = 1.
\end{align*}

$$\therefore f'(x_0) = 1.$$

$\square$

Proposición. Sea $f: \RR \to \RR$, donde $f(x) = x^n$, entonces $f'(x)=nx^{n-1}$ para todo $x \in \RR.$

Demostración.

Procederemos a hacer la demostración por inducción. Sea $x_0 \in \RR.$

Caso base: n = 1. Sea $g(x) = x$, entonces $g'(x_0) = 1$. Esto se comprueba directamente de la proposición anterior.

Hipótesis de inducción: Para $h(x) = x^n$, se tiene que $h'(x_0) = n x^{n-1}$.

Sea $f(x) = x^{n+1}$. Notemos que $f(x) = (h \cdot g) (x)$, por la regla de la derivada del producto tenemos que

\begin{align*}
f'(x_0) & = h'(x_0)g(x_0)+h(x_0)g'(x_0) \\ \\
& = nx_0^{n-1} \cdot x_0 + x_0^n \cdot 1 \\ \\
& = nx_0^n + x_0^n \\ \\
& = (n+1)x_0^n.
\end{align*}

$$\therefore f'(x_0)=(n+1)x_0^n.$$

Por tanto, podemos concluir que para todo $n \in \mathbb{N}$ se tiene que si $f(x) = x^n$, entonces $f'(x)=nx^{n-1}.$

$\square$

La proposición anterior la probamos para todo $n$ en los naturales, sin embargo, esto también es cierto para cualquier valor real. Pero será en la siguiente entrada donde obtengamos las herramientas que nos permitirán probarlo.

Proposición. Sea $f: A \subset (0, \infty) \to \RR$, donde $f(x) = \sqrt{x}$, entonces $f'(x)=\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ para todo $x \in A.$

Proposición. Sea $f: A \subset \RR – \{0\} \to \RR$, donde $f(x) = \frac{1}{x}$, entonces $f'(x)=-\frac{1}{x^2}$ para todo $x \in A.$

Demostración.

Sea $x_0 \in A$, entonces

\begin{align*}
f'(x_0) & = \lim_{ x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \\ \\
& = \lim_{x \to x_0} \frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{x_0}}{x-x_0} \\ \\
& = \lim_{x \to x_0} \frac{\frac{x_0-x}{xx_0}}{x-x_0} \\ \\
& = \lim_{x \to x_0} \frac{x_0-x}{(x-x_0)(xx_0)} \\ \\
& = \lim_{x \to x_0} \frac{-(x-x_0)}{(x-x_0)(xx_0)} \\ \\
& = \lim_{x \to x_0} \frac{-1}{xx_0} \\ \\
& = -\frac{1}{x_0^2}.
\end{align*}

$$\therefore f'(x_0) = -\frac{1}{x_0^2}.$$

$\square$

Más adelante…

En las siguientes entradas se hará un estudio particular de la derivada de algunas funciones especiales como lo son las funciones trigonométricas, la función exponencial y la función logarítmica.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  • Para cada una de las siguientes funciones $f$, halle $f'(f(x))$:
    • $f(x)=\frac{1}{1+x}.$
    • $f(x)=x^2.$
    • $f(x)=17.$
  • Para cada una de las siguientes funciones $f$, halle $f(f'(x))$
    • $f(x)=\frac{1}{x}.$
    • $f(x)=x^2.$
    • $f(x)=17x.$
  • Para cada una de las siguientes funciones halle $f’$ en función de $g’$
    • $f(x)=g(x+g(x_0)).$$f(x)=g(x+g(x)).$
    • $f(x)=g(x)(x-x_0).$
    • $f(x)=g(x \cdot g(x_0)).$
    • $f(x+3)=g(x^2).$

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Cálculo Diferencial e Integral I: La regla de la cadena

Por Juan Manuel Naranjo Jurado

Introducción

Anteriormente revisamos, entre otras cosas, cómo derivar la suma, el producto y el cociente de funciones. La siguiente operación a analizar es la composición de funciones, tema del cual tratará esta entrada.

Demostración de la regla de la cadena

Teorema. Sean $A$, $B \subset \RR$, $g: A \to \RR$, $f: B \to \RR$ y $x_0 \in A$ tales que

  1. Para todo $x \in A$, $g(x) \in B$.
  2. $g$ es derivable en $x_0$, es decir $$\lim_{x \to x_0} \frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0} = g'(x_0).$$
  3. $f$ es derivable en $g(x_0)$, es decir $$\lim_{t \to x_0} \frac{f(t)-f(g(x_0))}{t-g(x_0)} = f'(g(x_0)).$$

Entonces $f \circ g$ es derivable en $x_0$, además $$(f \circ g)'(x_0) = f'(g(x_0))g'(x_0).$$

Demostración.

Para realizar esta demostración haremos uso de una función auxiliar de la que probaremos propiedades específicas.

$$\rho (t) = \begin{cases}
\frac{f(t)-f(g(x_0))}{t-g(x_0)}-f'(g(x_0)), & \text{ si $t \neq g(x_0)$} \\
0, & \text{ si $t = g(x_0)$.}
\end{cases}$$

Podemos observar que la función $\rho$ está «inspirada» en la definición de derivada de $f$ en el punto $g(x_0)$. Procederemos a puntualizar 5 observaciones de nuestra función auxiliar.

  1. Como $f: B \to \RR$, entonces $\rho: B \to \RR$.
  2. El límite de $\rho$ en $g(x_0)$ es cero, puesto que
    \begin{align*}
    \lim_{t \to g(x_0)} \rho (t) & = \lim_{t \to g(x_0)} \left( \frac{f(t)-f(g(x_0))}{t-g(x_0)} – f'(g(x_0)) \right) \\ \\
    & = \lim_{t \to g(x_0)} \frac{f(t)-f(g(x_0))}{t-g(x_0)} – \lim_{t \to g(x_0)} f'(g(x_0)) \\ \\
    & =f'(g(x_0))-f'(g(x_0)) \text{, por el supuesto 3} \\ \\
    & = 0.
    \end{align*}

    $$\therefore \lim_{t \to g(x_0)} \rho (t) = 0.$$
  3. $\rho$ es continua en $g(x_0)$, puesto que $$\lim_{t \to g(x_0)} \rho(t) = 0 = \rho (g(x_0)).$$
  4. Para todo $t \in B$, se sigue de la definición de $\rho$ que $$f(t)-f(g(x_0)) = (\rho(t)+f'(g(x_0)) (t-g(x_0)).$$
  5. Por el supuesto 2, $g$ es derivable en $x_0$ lo que implica que también es continua en tal punto, además por la observación 3, sabemos que $\rho$ es continua en $g(x_0).$ Por tanto, se tiene que
    \begin{gather*}
    \lim_{x \to x_0} \rho (g(x)) = \rho (g(x_0)) = 0. \\
    \therefore \rho \circ g \text{ es continua en } x_0.
    \end{gather*}

Ahora que establecimos las 5 observaciones, estamos listos para calcular la derivada de la composición:

\begin{align*}
(f \circ g)'(x_0) & = \lim_{x \to x_0} \frac{ f(g(x))-f(g(x_0)) }{x – x_0} \\ \\
& = \lim_{x \to x_0} \frac{ ( \rho(g(x))+f'(g(x_0)) )( g(x)-g(x_0) ) }{x-x_0} \text{, por la obs 4} \\ \\
&= \lim_{x \to x_0} \left( ( \rho(g(x))+f'(g(x_0)) ) \cdot \frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0} \right) \\ \\
& =\lim_{x \to x_0} ( \rho(g(x))+f'(g(x_0)) ) \cdot \lim_{x \to x_0} \frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0} \\ \\
& =(0+f'(g(x_0))) \cdot g'(x_0) \text{, por la obs 3 y el supuesto 2} \\ \\
& = f'(g(x_0)) g'(x_0).
\end{align*}

$$\therefore (f \circ g)'(x_0) = f'(g(x_0))g'(x_0).$$

$\square$

Aplicando la regla de la cadena

A continuación revisaremos algunos ejemplos donde aplicaremos la proposición anterior. La idea general de los ejercicios será expresar una función en términos de la composición de otras dos.

Ejemplo 1. Encuentra la derivada de la función $F(x) = (3x+1)^2$.

Notemos que podemos ver a $F$ como la composición de las siguientes dos funciones
$$ f(x) = x^2, \qquad g(x) = 3x + 1.$$

Así, $F(x) = f(g(x))$. Y empleando la regla de la cadena se tiene que

\begin{align*}
F'(x) & = f'(g(x)) g'(x) \\
& = 2g(x)g'(x) \\
& =2 (3x+1)(3) \\
& = 6(3x+1) \\
& = 18x+6.
\end{align*}

Ejemplo 2. Deriva la función $F(x) = \sqrt{\frac{x^2+1}{x^3+3}}$.

Definimos las funciones

$f(x) = \sqrt{x}$ con derivada $f'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ y $g(x) = \frac{x^2+1}{x^3+3}$ con derivada
\begin{align*}
g'(x) & = \frac{ (x^3+3)(2x)-(x^2+1)(3x^2) }{ (x^3+3)^2 } \\
& = \frac{ -x^4-3x^2+6x }{ (x^3+3)^2 }.
\end{align*}

Con lo anterior, se tiene que $F(x) = f(g(x))$, y empleando la regla de la cadena tenemos

\begin{align*}
F'(x) & = f'(g(x)) g'(x) \\
& =\frac{1}{ 2\sqrt{g(x)} } \cdot \frac{ -x^4-3x^2+6x }{ (x^3+3)^2 } \\
& = \frac{1}{ 2\sqrt{ \frac{ x^2+1 }{ x^3+3 } } } \cdot \frac{ -x^4-3x^2+6x }{ (x^3+3)^2 }\\
& = \frac{ \sqrt{x^3+3} }{2 \sqrt{x^2+1} } \cdot \frac{ -x^4-3x^2+6x }{ (x^3+3)^2 }.
\end{align*}

Más adelante…

En las siguientes entradas haremos un resumen de las «reglas de derivación» que hemos visto hasta ahora y probaremos algunas más; particularmente se hará la revisión de las derivadas para las funciones trigonométricas.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  • Teorema de Carathéodory. Sea $f$ definida en un intervalo $A$ y sea $a \in A$. Entonces $f$ es derivable en $a$ si y solo si existe una función $\rho$ en $A$ que es continua en $a$ y satisface:
    $$f(x) – f(a) = \rho (x) (x-a) \text{ para } x \in A.$$
    En este caso, se tiene que $\rho(a) = f'(a)$.
  • Deriva la función $f(x) = \sqrt{5-2x+x^2}$.
  • Si $f: \RR \to \RR$ es derivable en $x_0$ y $f(x_0) = 0$. Prueba que $g(x) := |f(x)|$ es derivable en $x_0$ si y solo si $f'(x_0) = 0$.
  • Determina en dónde es derivable cada una de las siguientes funciones de $\RR \to \RR$ y encontrar la derivada:
    • $f(x) = |x|+|x+1|.$
    • $g(x) = 2x + |x|.$
    • $h(x) = x|x|.$

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Cálculo Diferencial e Integral I: Derivabilidad y continuidad

Por Juan Manuel Naranjo Jurado

Introducción

En esta sección ligaremos el concepto de continuidad con el de derivabilidad; tal relación no presentará ninguna sorpresa considerando el ejemplo de la función valor absoluto revisada en la entrada anterior. Adicionalmente, nos enfocaremos en la demostración de algunas propiedades básicas de la derivada.

Relación entre derivabilidad y continuidad

Proposición. Sean $A \subset \RR$, $f: A \to \RR$ y $x_0 \in A$, si $f$ es derivable en $x_0$, entonces $f$ es continua en $x_0$.

Demostración.

\begin{align*}
\lim_{x \to x_0} f(x) & = \lim_{x \to x_0} \left( f(x) – f(x_0) + f(x_0) \right) \\ \\
& = \lim_{x \to x_0} \left[ \left( \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \right) (x-x_0)+f(x_0) \right] \\ \\
& = f'(x_0) \cdot 0+f(x_0) \text{, pues }f \text{ es derivable}\\ \\
& = f(x_0).
\end{align*}

$$\therefore \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0).$$

Por tanto, $f$ es continua en $x_0$.

$\square$

Veremos que el regreso no es cierto, es decir, si $f$ es continua en $x_0$ no necesariamente es derivable en $x_0$.

Ejemplo 1. Consideremos $f: \RR \to \RR$, $f(x) = |x|.$

Primero probaremos que $f$ es continua en $x_0 = 0$.

Demostración.

Sea $\varepsilon > 0$.

Consideremos $\delta = \varepsilon$.

Si $|x-0| < \delta$, entonces

\begin{align*}
|f(x)-0| & = |f(x)| \\
& = ||x|| \\
& = |x| \\
& < \delta \\
& = \varepsilon.
\end{align*}

$$\therefore |f(x)-0| < \varepsilon.$$

Con esto, hemos probado que $f$ es continua en $x_0 = 0$, sin embargo, en la entrada anterior vimos que no era derivable en tal punto.

$\square$

Para continuar, revisaremos algunas propiedades básicas de la derivada, tal como qué sucede con la derivada de la suma o producto de funciones, y sus demostraciones se obtienen directamente de la definición, razón por la cual será conveniente tenerla presente.

Derivada de la suma de funciones

Proposición. Sean $A \subset \RR$, $f: A \to \RR$, $g: A \to \RR$ y $x_0 \in A$ tales que $f$ y $g$ son derivables en $x_0$, es decir, $f'(x_0)$ y $g'(x_0)$ sí existen. Entonces

  1. $f+g$ es derivable en $x_0$, además $$(f+g)'(x_0) = f'(x_0) + g'(x_0).$$
  2. Si $c \in \RR$ es una constante, $cf$ es derivable en $x_0$, además $$(cf)'(x_0) = cf'(x_0).$$
  3. $f-g$ es derivable en $x_0$, además $$(f-g)'(x_0) = f'(x_0) – g'(x_0).$$

Demostración.

$(1)$

\begin{align*}
(f+g)'(x_0) & = \lim_{x \to x_0} \frac{(f(x)+g(x))-(f(x_0)+g(x_0))}{x-x_0} \\ \\
& = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)+g(x)-f(x_0)-g(x_0)}{x-x_0} \\ \\
& = \lim_{x \to x_0} \frac{ ( f(x)-f(x_0) ) + ( g(x)-g(x_0) )}{x-x_0} \\ \\
& = \lim_{x \to x_0} \left( \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} + \frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0} \right) \\ \\
& = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} + \lim_{x \to x_0} \frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0} \\ \\
& = f'(x_0) + g'(x_0) \text{, pues $f$ y $g$ son derivables en $x_0$}.
\end{align*}

$$\therefore (f+g)'(x_0) = f'(x_0) + g'(x_0).$$

$(2) \text{ y } (3)$ quedarán como tarea moral.

$\square$

Derivada del producto de funciones

Proposición. Sean $A \subset \RR$, $f: A \to \RR$, $g: A \to \RR$ y $x_0 \in A$ tales que $f$ y $g$ son derivables en $x_0$, es decir, $f'(x_0)$ y $g'(x_0)$ sí existen. Entonces

  1. $f \cdot g$ es derivable en $x_0$, además $$(f \cdot g)'(x_0) = f(x_0)g'(x_0) + f'(x_0) g(x_0).$$
  2. Si $g(x_0) \neq 0$, entonces $\frac{1}{g}$ es derivable en $x_0$, además $$\left( \frac{1}{g} \right)’ (x_0) = -g(x_0) \left( \frac{1}{(g(x_0))^2} \right).$$
  3. Si $g(x_0) \neq 0$, entonces $\frac{f}{g}$ es derivable en $x_0$, además $$\left( \frac{f}{g} \right)’ (x_0) = \frac{-f(x_0)g'(x_0) + g(x_0)f'(x_0)}{(g(x_0))^2}.$$

Demostración.

$(1)$

\begin{align*}
(f\cdot g)’ (x_0) & = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)g(x)-f(x_0)g(x_0)}{x-x_0} \\ \\
& = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)g(x)-f(x_0)g(x)+f(x_0)g(x)-f(x_0)g(x_0)}{x-x_0} \\ \\
& = \lim_{x \to x_0} \left( \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \cdot g(x) + f(x_0) \cdot \frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0} \right) \\ \\
& = f'(x_0)g(x_0) + f(x_0)g'(x_0).
\end{align*}

Notemos que en el último paso se utiliza que $f$ y $g$ son derivables, y eso en particular implica que $g$ es continua por lo cual podemos aplicar el límite.

$$\therefore (f \cdot g)'(x_0) = f(x_0)g'(x_0) + f'(x_0) g(x_0).$$

$(2)$

\begin{align*}
\left(\frac{1}{g}\right)’ (x_0) & = \lim_{x \to x_0} \frac{ \left( \frac{1}{g} \right) (x) – \left( \frac{1}{g} \right) (x_0) }{x- x_0} \\ \\
& = \lim_{x \to x_0} \frac{\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{g(x_0)}}{x-x_0} \\ \\
& = \lim_{x \to x_0} \frac{\frac{g(x_0)-g(x)}{g(x) \cdot g(x_0)}}{x-x_0} \\ \\
& = \lim_{x \to x_0} \left( -\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0} \right) \cdot \left( \frac{1}{g(x) \cdot g(x_0)} \right) \\ \\
& = -g(x_0) \left( \frac{1}{(g(x_0))^2} \right) \text{, pues $g$ es derivable (y continua).}
\end{align*}

$$\therefore \left( \frac{1}{g} \right)’ (x_0) = -g(x_0) \left( \frac{1}{(g(x_0))^2} \right).$$

$(3)$

\begin{align*}
\left( \frac{f}{g} \right)’ (x_0) & = \left( f \cdot \left( \frac{1}{g} \right) \right)’ (x_0) \\ \\
& = f(x_0) \left( \frac{1}{g} \right)’ (x_0) + f'(x_0) \left( \frac{1}{g} \right) (x_0) \text{, por (1)}\\ \\
& = f(x_0) \left( \frac{-g'(x_0)}{(g(x_0))^2} \right) + \frac{f'(x_0)}{g(x_0)} \text{, por (2)} \\ \\
& = \frac{-f(x_0)g'(x_0) + g(x_0)f'(x_0)}{(g(x_0))^2}.
\end{align*}

$$\therefore \left( \frac{f}{g} \right)’ (x_0) = \frac{-f(x_0)g'(x_0) + g(x_0)f'(x_0)}{(g(x_0))^2}.$$

$\square$

Un par de ejemplos

Lo siguiente será revisar un par de ejemplos para aplicar las propiedades revisadas. Recordemos que gracias a la entrada anterior ya conocemos la derivada de algunas funciones:

\begin{gather*}
f_1(x) = ax+b, &\qquad f’_1(x) = a.\\
f_2(x) = x^2, & \qquad f’_2(x) = 2x. \\
f_3(x) = c, & \qquad f’_3(x) = 0. \\
f_4(x) = \sqrt{x}, & \qquad f’_4(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}.
\end{gather*}

Ejemplo 2. Encuentra la derivada de la función $f(x)=\sqrt{x}+x^2-10$.

Notemos que $f(x) = f_4(x) + f_2(x) – f_3(x)$. Sabemos que la derivada de una suma (resta) de funciones es la suma (resta) de sus respectivas derivadas, así tenemos que

\begin{align*}
f'(x) & = f’_4(x) + f’_2(x) – f’_3(x) \\
& = \frac{1}{2\sqrt{x}} + 2x.
\end{align*}

Ejemplo 3. Encuentra la derivada de la función $f(x)=\frac{\sqrt{x}}{5x+30}$.

Notemos que $f(x)=\frac{f_4(x)}{f_1(x)}$. Usando la propiedad de la derivada del cociente de funciones, tenemos que

\begin{align*}
f'(x) & = \frac{-f_4(x_0)f’_1(x_0) + f_1(x_0)f’_4(x_0)}{(f_1(x_0))^2} \\ \\
& = \frac{-\sqrt{x} \cdot 5 + (5x+30) (\frac{1}{2\sqrt{x}})}{ (5x+30)^2} \\
& = \frac{- 5 \sqrt{x} + (\frac{5x+30}{2\sqrt{x}})}{ (5x+30)^2} \\ \\
& = \frac{ \frac{-10x+ 5x+30}{2 \sqrt{x}} }{ 25\cdot (x+6)^2} \\ \\
& = \frac{5(6-x)}{50 \sqrt{x} (x+6)^2} \\ \\
& = \frac{6-x}{10 \sqrt{x} (x+6)^2}.
\end{align*}

Más adelante…

Después de haber revisado qué sucede cuando se deriva la suma, el producto y el cociente de funciones surge una pregunta natural en términos de las operaciones disponibles para las funciones: ¿qué pasa con la composición de funciones?

En la siguiente entrada responderemos esta pregunta y estudiaremos la famosa Regla de la Cadena.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  • Sean $A \subset \RR$, $f: A \to \RR$, $g: A \to \RR$ y $x_0 \in A$ tales que $f$ y $g$ son derivables en $x_0$, es decir, $f'(x_0)$ y $g'(x_0)$ sí existen. Prueba que:
    • Si $c \in \RR$ es una constante, $cf$ es derivable en $x_0$, además $$(cf)'(x_0) = cf'(x_0).$$
    • $f-g$ es derivable en $x_0$, además $$(f-g)'(x_0) = f'(x_0) – g'(x_0).$$
  • Prueba que si $f_1$, $f_2$, $\ldots$, $f_n$ son funciones derivables en $x_0 \in A \subset \RR$, entonces
    • La función $f_1+f_2+\ldots+f_n$ es derivable en $x_0$ y $(f_1+f_2+\ldots+f_n)'(x_0) = f’_1(x_0)+f_2′(x_0)+\ldots+f_n'(x_0).$
    • La función $f_1 \cdot f_2 \cdot \ldots \cdot f_n$ es derivable en $x_0$ y
      \begin{align*}
      (f_1 \cdot f_2 \cdot \ldots \cdot f_n)'(x_0) = & f_1′(x_0) \cdot f_2(x_0) \cdot \ldots \cdot f_n(x_0)+f_1(x_0) \cdot f_2′(x_0) \cdot \ldots \cdot f_n(x_0) \\
      & + \ldots + f_1(x_0) \cdot f_2(x_0) \cdot \ldots \cdot f_n'(x_0).
      \end{align*}
  • Empleando las propiedades revisadas en esta entrada, encuentra la derivada de las siguientes funciones:
    • $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}.$
    • $g(x) = \frac{x-1}{5-2x+x^2}.$

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Cálculo Diferencial e Integral I: La derivada

Por Juan Manuel Naranjo Jurado

Introducción

Anteriormente se revisó el concepto de continuidad, característica de la cual emanaban diversas propiedades útiles tal como el teorema del valor intermedio. En esta ocasión, daremos inicio con la séptima unidad que estará enfocada al aspecto teórico de uno de los conceptos más conocidos dentro de las matemáticas: la derivada.

El objetivo de esta entrada es entender este nuevo concepto para que posteriormente podamos analizar las propiedades y aplicaciones que posee.

Interpretación geométrica

Comenzaremos estudiando la interpretación geométrica para construir la definición formal. Pensemos en la siguiente función y notemos los dos puntos marcados.

Considerando que el punto gris está dado por $P = (x, f(x))$ y el punto negro por $P_0 = (x_0, f(x_0))$, podríamos obtener fácilmente la pendiente de la recta que pasa por ambos puntos.

$$m = \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}. \tag{1}$$

¿Qué sucede si dejamos a $P_0$ como un punto fijo y «movemos» el punto $P$ de tal forma que estos puntos comienzan a estar cada vez más cerca? (En la gráfica, el «movimiento» de $P$ se plasma mediante los puntos $P_1$, $P_2$, y $P_3$)

Si tales puntos están cada vez están más cerca, el concepto de límite entra en juego, pues estaríamos buscando $P \to P_0$. Así, podríamos calcular la pendiente de la recta tangente en el punto $P_0$. De esta forma, el límite deseado es el siguiente:

$$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$$

La derivada

Definición. La función $f$ es derivable en $x_0$ si el siguiente límite existe

$$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$$

En este caso, denotaremos al límite anterior como $f'(x_0)$ y le llamaremos derivada de $f$ en $x_0.$

También es común encontrar la siguiente definición de derivada.

Definición. La función $f$ es derivable en $x_0$ si el siguiente límite existe

$$\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.$$

Quedará como tarea moral probar que ambas definiciones son equivalentes.

Ahora que conocemos la definición de derivada, es momento de ponerla en práctica y revisar algunas funciones que sean derivables.

Ejemplo 1. Prueba que la función $f(x) = c$, con $c \in \RR$, es derivable para cualquier $x_0 \in \mathbb{R}.$

Demostración

Sea $x_0 \in \RR$. Veremos que $$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$ sí existe.

Notemos que

\begin{align*}
\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} & = \frac{c-c}{x-x_0} \\
& = \frac{0}{x-x_0} \\
& = 0.
\end{align*}

Por lo anterior, se sigue que

$$ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = 0.$$

Por lo tanto, $f$ es derivable en $\mathbb{R}$ y $f'(x) = 0$.

$\square$

Ejemplo 2. Prueba que la función $f(x) = ax+b$ es derivable para cualquier $x_0 \in \mathbb{R}.$

Demostración

Sea $x_0 \in \RR$. Bastará probar que el límite $$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$ sí existe.

Para ello, primero veamos que

\begin{align*}
\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} & = \frac{ax+b – (ax_0+b)}{x-x_0} \\
& = \frac{ax-ax_0}{x-x_0} \\
& = \frac{a(x-x_0)}{x-x_0} \\
& = a.
\end{align*}

Por lo anterior, se sigue que

$$ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = a.$$

Por lo tanto, $f$ es derivable en $\mathbb{R}$ y $f'(x) = a$.

$\square$

Continuemos con un segundo ejemplo sencillo para acostumbrarnos a este nuevo concepto.

Ejemplo 3. Prueba que la función $f(x) = x^2$ es derivable para cualquier $x \in \mathbb{R}.$

Demostración.

Sea $x_0 \in \RR.$
Procederemos a calcular el límite directamente.

\begin{align*}
\lim_{x \to x_0} \frac{ f(x)-f(x_0) }{ x-x_0 } & = \lim_{x \to x_0} \frac{x^2 – x_0^2}{x-x_0} \\
& = \lim_{x \to x_0} \frac{ (x-x_0)(x+x_0) }{ x-x_0 } \\
& = \lim_{x \to x_0} x+x_0 \\
& = 2x_0.
\end{align*}

Por lo tanto, $f$ es derivable para cualquier $x \in \RR$ y $f'(x) = 2x$.

$\square$

Ejemplo 4. Prueba que la función $f(x) = \sqrt{x}$ es derivable para cualquier $x_0 > 0.$

Demostración

Sea $x_0 > 0$. Para esta demostración, usaremos la segunda definición de límite.

Notemos que

\begin{align*}
\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} & = \frac{\sqrt{x_0+h}-\sqrt{x_0}}{h} \\
& = \frac{\sqrt{x_0+h}-\sqrt{x_0}}{h} \cdot \frac{\sqrt{x_0+h}+\sqrt{x_0}}{\sqrt{x_0+h}+\sqrt{x_0}} \\
& = \frac{x_0+h-x_0}{h \left( \sqrt{x_0+h}+\sqrt{x_0} \right)} \\
& = \frac{h}{h \left( \sqrt{x_0+h}+\sqrt{x_0} \right)} \\
& = \frac{1}{ \sqrt{x_0+h}+\sqrt{x_0} }.
\end{align*}

Por lo anterior, se sigue que

$$ \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{x-x_0} = \frac{1}{2 \sqrt{x_0}}.$$

Por lo tanto, $f$ es derivable para cualquier $x > 0$ y $f'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$.

$\square$

Es momento de revisar una función que no sea derivable. Para este propósito, emplearemos la función valor absoluto, la cual hemos revisado anteriormente y será conveniente que tengas presente su gráfica, pues este tipo de funciones que generan un «pico» en su gráfica, no son derivables en tal punto.

Ejemplo 5. Sea $f: \RR \to \RR$, $f(x) = |x|$. Prueba que $f$ no es derivable en $x_0 = 0.$

Demostración.

Notemos que $$\lim_{x \to x_0} \frac{|x|-0}{x-0} = \lim_{x \to x_0} \frac{|x|}{x}.$$

Consideremos las sucesiones $\{a_n\}$, $\{b_n\}$ donde $a_n = \frac{1}{n}$ y $b_n = -\frac{1}{n}$. Tenemos que $a_n$, $b_n \in \RR$ para todo $n \in \mathbb{N}$. Además, $a_n$, $b_n \neq 0$ para todo $n \in \mathbb{N}$ y $$\lim_{n \to \infty} a_n = 0 = \lim_{n \to \infty} b_n.$$

Pero se tiene que

\begin{align*}
\lim_{n \to \infty} \frac{|a_n|}{a_n} & = \lim_{n \to \infty} \frac{|\frac{1}{n}|}{\frac{1}{n}} \\
& = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}} \\
& = 1.
\end{align*}

Además
\begin{align*}
\lim_{n \to \infty} \frac{|b_n|}{b_n} & = \lim_{n \to \infty} \frac{|-\frac{1}{n}|}{-\frac{1}{n}} \\
& = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}}{-\frac{1}{n}} \\
& = -1.
\end{align*}

De lo que se concluye que el límite $$\lim_{x \to x_0} \frac{|x|-0}{x-0}$$ no existe.

Por tanto, $f$ no es derivable en $x_0= 0$.

$\square$

Intuitivamente, podemos notar que si tratáramos de encontrar una «recta tangente» en $x_0 = 0$ moviéndonos por la derecha, será distinta a la «recta tangente» a generada por la izquierda. Esto hace que el límite no exista, sin embargo, podemos ser menos restrictivos en la definición.

Derivadas laterales

De forma complementaria, podemos definir la derivada en términos de la forma en que $x \to x_0$, es decir, a través de los límites laterales. Así, tenemos las siguientes definiciones.

Definición.

  1. La función $f$ es derivable por la derecha en $x_0$ si el siguiente límite existe

    $$\lim_{x \to x_0^+} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$$

    En este caso, denotaremos al límite anterior como $f'(x_0^+)$ y le llamaremos derivada por la derecha de $f$ en $x_0$.
  2. La función $f$ es derivable por la derecha en $x_0$ si el siguiente límite existe

    $$\lim_{x \to x_0^-} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$$

    En este caso, denotaremos al límite anterior como $f'(x_0^-)$ y le llamaremos derivada por la derecha de $f$ en $x_0$.

Más adelante…

En la siguiente entrada revisaremos la relación existente entre la derivabilidad y la continuidad. Además, revisaremos algunas propiedades que nos permitirán obtener la derivada de una función con mayor facilidad.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  • Da un ejemplo de función que no sea derivable en un punto $x_0$.
  • Prueba que la función $f: \RR \to \RR$ definida por $f(x) = ax^2+bx+c$ es derivable en todo $\RR$.
  • Prueba que la función $f: \RR \to \RR$ definida por $f(x) = x^3-8$ es derivable en todo $\RR$.
  • Demuestra que $f(x) = |x|$ es derivable para todo $x \neq 0$.
  • Prueba que $$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = L \iff \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} = L.$$

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