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Cálculo Diferencial e Integral I: Derivada de las funciones exponencial y logarítmica

Por Juan Manuel Naranjo Jurado

Introducción

En esta entrada revisaremos la derivada de dos funciones populares dentro de las matemáticas: las funciones exponencial y logarítmica. Para ello, será de gran utilidad tener presente lo que se revisó previamente respecto a estas funciones debido a que usaremos varias de sus propiedades.

Función logarímica

Comenzaremos probando que la función logaritmo es derivable en todo su dominio, una vez lo hayamos probado, se tiene en automático que la función es continua por la relación existente entre derivabilidad y continuidad.

Teorema. Para todo $x_0 > 0$ se tiene que $ln'(x_0) = \frac{1}{x_0}$.

Demostración.

En una entrada anterior, se dejó como tarea moral demostrar la siguiente equivalencia:

$$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = L \iff \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} = L$$

En este caso, haremos uso de tal resultado, es decir, probaremos que

$$\lim_{h \to 0} \frac{ln(x_0+h)-ln(x_0)}{h} = \frac{1}{x_0}$$

Entonces se tiene que

\begin{align*}
\lim_{h \to 0} \frac{ln(x_0+h)-ln(x_0)}{h} & = \lim_{h \to 0} \frac{ln \left( \frac{x_0+h}{x_0} \right) }{h} \\ \\
& = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \cdot ln \left( 1+\frac{h}{x_0} \right) \\ \\
& = \lim_{h \to 0} ln \left( 1+\frac{h}{x_0} \right)^{\frac{1}{h}}
\end{align*}

Consideremos $t = \frac{h}{x_0}$, entonces se sigue que $\frac{1}{h} = \frac{1}{x_0} \cdot \frac{1}{t}$. Además notemos que cuando $h \to 0,$ se tiene que $t \to 0$. Así, podemos sustituir el límite anterior de la siguiente forma

\begin{align*}
\lim_{h \to 0} ln \left( 1+\frac{h}{x_0} \right)^{\frac{1}{h}} & = \lim_{t \to 0} ln \left( 1+t \right)^{\frac{1}{x_0} \cdot \frac{1}{t}} \\ \\
& = \lim_{t \to 0} ln \left( \left( 1+t \right)^{\frac{1}{t}} \right)^{\frac{1}{x_0}} \\ \\ 
& = \lim_{t \to 0} \frac{1}{x_0} \cdot ln \left( 1+t \right)^{\frac{1}{t}} \\ \\
\end{align*}

Ahora tomemos $n = \frac{1}{t}$, entonces $t = \frac{1}{n}$, y cuando $t \to 0$, se tiene que $n \to \infty$, de la expresión anterior se sigue que

\begin{align*}
\lim_{t \to 0} \frac{1}{x_0} \cdot ln \left( 1+t \right)^{\frac{1}{t}} & = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{x_0} \cdot ln \left( 1+\frac{1}{n} \right)^{n} \\ \\
& = \frac{1}{x_0} \cdot \lim_{n \to \infty} ln \left( 1+\frac{1}{n} \right)^{n} \\ \\ 
& = \frac{1}{x_0} \cdot ln(e) \\ \\
& = \frac{1}{x_0}
\end{align*}

$$\therefore ln'(x_0) = \frac{1}{x_0}$$

$\square$

Corolario. La función $ln(x)$ es continua.

Función exponencial

Ahora probaremos que la función exponencial es derivable en todo su dominio y, por tanto, también es continua.

Teorema. La función $f(x) = e^x$ es derivable para todo $x_0 \in \RR$, y su derivada es $f'(x_0) = e^{x_0}$

Demostración.

Nuevamente, haremos uso de la equivalencia de la definición de derivada.

\begin{align*}
\lim_{h \to 0} \frac{e^{x_0+h}-e^{x_0}}{h} & = \lim_{h \to 0} \frac{e^{x_0}e^{h}-e^{x_0}}{h} \\ \\
& = \lim_{h \to 0} e^{x_0} \cdot \frac{e^{h}-1}{h} \\ \\
\end{align*}

Consideremos $t = e^{h}-1$, se sigue que $h = ln(t+1)$, además cuando $h \to 0$, se tiene que $t \to 0$. Así, de la expresión anterior tenemos

\begin{align*}
\lim_{h \to 0} e^{x_0} \cdot \frac{e^{h}-1}{h} & = \lim_{t \to 0} e^{x_0} \cdot \frac{t}{ln(t+1)} \\ \\
& = e^{x_0} \cdot \lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{t}}{\frac{1}{t}} \cdot \frac{t}{ln(t+1)} \\ \\
& = e^{x_0} \cdot \lim_{t \to 0} \frac{1}{\frac{1}{t} ln(t+1)} \\ \\
& = e^{x_0} \cdot \lim_{t \to 0} \frac{1}{ln(t+1)^{\frac{1}{t}}} \\ \\
& = e^{x_0} \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1}{ln(1+\frac{1}{n})^n}, \text{ considerando } n =\frac{1}{t} \\ \\
& = e^{x_0} \cdot \frac{1}{ln(e)} \\ \\
& = e^{x_0}
\end{align*}

$$\therefore f'(x_0) = e^{x_0}$$

$\square$

Corolario. La función $f(x) = e^x$ es continua.

Algunos ejemplos

Para los siguientes ejemplos haremos uso de las reglas de la derivada que conocemos hasta ahora, incluyendo la derivada de las funciones revisadas en esta entrada.

Ejemplo. Encuentra la derivada de $f(x) = ln \left( x+\sqrt{x^2+1} \right)$.

\begin{align*}
f'(x) & = \left( ln \left( x+\sqrt{x^2+1} \right) \right)’ \\ \\
& = ln’\left( x+\sqrt{x^2+1} \right) \cdot \left( x+\sqrt{x^2+1} \right)’ \text{, por la regla de la cadena} \\ \\
& = \frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}} \cdot \left( (x)’+(\sqrt{x^2+1})’ \right) \\ \\
& = \frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}} \cdot \left( 1+ \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot (x^2+1)’ \right) \\ \\
& = \frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}} \cdot \left( 1+ \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot 2x \right) \\ \\
& = \frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}} \cdot \left( 1+ \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \right) \\ \\
& = \frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}} \cdot \left( \frac{\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}} \right) \\ \\
& = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}
\end{align*}

$$\therefore f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$$

Ejemplo. Encuentra la derivada de la función $f(x) = x^6e^{\sqrt{x}}$

\begin{align*}
f'(x) & = x^6 (e^{\sqrt{x}})’+e^{\sqrt{x}} (x^6)’ \\ 
& = x^6 ( e^{\sqrt{x}} \cdot (\sqrt{x})’)+6x^5e^{\sqrt{x}} \\
& = x^6 (e^{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}})+6x^5e^{\sqrt{x}} \\
& = \frac{x^6e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}+6x^5e^{\sqrt{x}}
\end{align*}

$$\therefore f'(x) = \frac{x^6e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}+6x^5e^{\sqrt{x}}$$

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más a profundidad la teoría vista.

  • Prueba que la derivada de $f(x)=a^x$ con $a>0$, es $f'(x) = ln(a) a^x$. Hint: Considera que $f(x) = a^x =e^{xln(a)}$ y emplea la regla de la cadena.
  • Sea $c \in \RR$ un real fijo y consideremos $f: A \subseteq (0, \infty) \to \RR$, tal que $f(x) = x^c$. Prueba que $f$ es derivable en todo su dominio y su derivada es $f'(x) = cx^{c-1}$.
  • Encuentra la derivada de la función $f(x) = ln(x+\sqrt{x^2+x})$.
  • Encuentra la derivada de la función $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}e^{x^2}$.

Más adelante…

Antes de continuar con el estudio de la derivada de funciones trigonométricas, deberemos desarrollar otra herramienta que nos será muy útil: la derivada de las funciones inversas. En la siguiente entrada veremos cómo derivar la inversa de una función así como las restricciones existentes para que esto sea posible.

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Introducción

Anteriormente habíamos revisado algunos teoremas relacionados con la derivada de funciones. Es momento de hacer un resumen de las mismas y proceder a agregar algunas reglas nuevas que nos facilitarán el cálculo de derivadas; éstas seguro te harán recordar las clases de cálculo del bachillerato, tal como la derivada de una constante o la derivada de $x^n$.

Reglas de derivación para suma, producto, cociente y composición de funciones

Previamente revisamos algunas reglas que son fundamentales para el cálculo de las derivadas, tal como que la derivada de una suma de funciones es la suma de sus respectivas derivadas o que la derivada de una función que está siendo multiplicada por una constante es igual a la derivada por la constante. Procederemos a enlistarlas pues será importante tenerlas muy presentes:

Sean $f: A \subseteq \RR \to \RR$ y $g: A \subseteq \RR \to \RR$, $x_0 \in A$ tales que $f$ y $g$ son derivables en $x_0$, es decir, $f'(x_0)$ y $g'(x_0)$ sí existen. Entonces

  1. $f+g$ es derivable en $x_0$, además $$(f+g)'(x_0) = f'(x_0) + g'(x_0)$$
  2. Si $c \in \RR$ es una constante, $cf$ es derivable en $x_0$, además $$(cf)'(x_0) = cf'(x_0)$$
  3. $f \cdot g$ es derivable en $x_0$, además $$(f \cdot g)'(x_0) = f(x_0)g'(x_0) + f'(x_0) g(x_0)$$
  4. Si $g(x_0) \neq 0$, entonces $\frac{f}{g}$ es derivable en $x_0$, además $$\left( \frac{f}{g} \right)’ (x_0) = \frac{-f(x_0)g'(x_0) + g(x_0)f'(x_0)}{(g(x_0))^2}$$

Teorema. Sean $g: A \subseteq \RR \to \RR$, $f: B \subseteq \RR \to \RR$ y $x_0 \in A$ tales que

  1. Para toda $x \in A$, $g(x) \in B$.
  2. $g$ es derivable en $x_0$, es decir $$\lim_{x \to x_0} \frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0} = g'(x_0).$$
  3. $f$ es derivable en $g(x_0)$, es decir $$\lim_{t \to x_0} \frac{f(t)-f(g(x_0))}{t-g(x_0)} = f'(g(x_0)).$$

Entonces $f \circ g$ es derivable en $x_0$, además $$(f \circ g)'(x_0) = f'(g(x_0))g'(x_0).$$

Algunas reglas adicionales

Notemos que las reglas de la lista anterior se enfocan en encontrar la derivada de diversas operaciones que se pueden hacer con las funciones. En esta ocasión nos enfocaremos en demostrar algunas derivadas de funciones específicas que suelen aparecer con mucha frecuencia.

Proposición (Derivada de una constante). Sea $f: \RR \to \RR$, donde $f(x) = c$, entonces $f'(x_0)=0$ para todo $x_0 \in \RR$.

Demostración.

Sea $x_0 \in \RR$, entonces

\begin{align*}
f'(x_0) & = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \\ \\ 
& = \lim_{x \to x_0} \frac{c-c}{x-x_0} \\ \\
& = \lim_{x \to x_0} 0 \\ \\
& = 0
\end{align*}

$$\therefore f'(x_0) = 0$$

$\square$

Proposición (Derivada de la función identidad). Sea $f: \RR \to \RR$, donde $f(x) = x$, entonces $f'(x_0)=1$ para todo $x_0 \in \RR$.

Demostración.

Sea $x_0 \in \RR$, entonces

\begin{align*}
f'(x_0) & = \lim_{ x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \\ \\
& = \lim_{x \to x_0} \frac{x-x_0}{x-x_0} \\ \\
& = \lim_{x \to x_0} 1 \\ \\
& = 1
\end{align*}

$$\therefore f'(x_0) = 1$$

$\square$

Proposición. Sea $f: \RR \to \RR$, donde $f(x) = x^n$, entonces $f'(x_0)=nx^{n-1}$ para todo $x_0 \in \RR$.

Demostración.

Procederemos a hacer la demostración por inducción. Sea $x_0 \in \RR$

Caso base: n = 1. Sea $g(x) = x$, entonces $g'(x_0) = 1$. Esto se comprueba directamente de la proposición anterior.

Hipótesis de inducción: Para $h(x) = x^n$, se tiene que $h'(x_0) = n x^{n-1}$.

Sea $f(x) = x^{n+1}$. Notemos que $f(x) = (h \cdot g) (x)$, por la regla de la derivada del producto tenemos que

\begin{align*}
f'(x_0) & = h'(x_0)g(x_0)+h(x_0)g'(x_0) \\ \\
& = nx_0^{n-1} \cdot x_0 + x_0^n \cdot 1 \\ \\
& = nx_0^n + x_0^n \\ \\
& = (n+1)x_0^n
\end{align*}

$$\therefore f'(x_0)=(n+1)x_0^n$$

Por tanto, podemos concluir que para todo $n \in \mathbb{N}$ se tiene que si $f(x) = x^n$, entonces $f'(x_0)=nx^{n-1}$.

$\square$

La proposición anterior la probamos para todo $n$ en los naturales, sin embargo, esto también es cierto para cualquier valor real; probaremos un caso más generalizado en una entrada posterior.

Proposición. Sea $f: A \subseteq [0, \infty) \to \RR$, donde $f(x) = \sqrt{x}$, entonces $f'(x_0)=\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ para todo $x_0 \in A$.

Demostración.

Sea $x_0 \in \RR$, entonces

\begin{align*}
f'(x_0) & = \lim_{ x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \\ \\
& = \lim_{x \to x_0} \frac{\sqrt{x}-\sqrt{x_0}}{x-x_0} \\ \\
& = \lim_{x \to x_0} \frac{\sqrt{x}-\sqrt{x_0}}{x-x_0} \cdot \frac{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}}{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}}\\ \\
& = \lim_{x \to x_0} \frac{x-x_0}{(x-x_0)(\sqrt{x}+\sqrt{x_0})} \\ \\
& = \lim_{x \to x_0} \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}} \\ \\
& = \frac{1}{2\sqrt{x_0}}
\end{align*}

$$\therefore f'(x_0)=\frac{1}{2\sqrt{x_0}}$$

$\square$

Proposición. Sea $f: A \subseteq \RR – \{0\} \to \RR$, donde $f(x) = \frac{1}{x}$, entonces $f'(x_0)=-\frac{1}{x^2}$ para todo $x_0 \in A$.

Demostración.

Sea $x_0 \in A$, entonces

\begin{align*}
f'(x_0) & = \lim_{ x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \\ \\
& = \lim_{x \to x_0} \frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{x_0}}{x-x_0} \\ \\
& = \lim_{x \to x_0} \frac{\frac{x_0-x}{xx_0}}{x-x_0} \\ \\
& = \lim_{x \to x_0} \frac{x_0-x}{(x-x_0)(xx_0)} \\ \\
& = \lim_{x \to x_0} \frac{-(x-x_0)}{(x-x_0)(xx_0)} \\ \\
& = \lim_{x \to x_0} \frac{-1}{xx_0} \\ \\
& = -\frac{1}{x_0^2}
\end{align*}

$$\therefore f'(x_0) = -\frac{1}{x_0^2}$$

$\square$

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más a profundidad la teoría vista.

  • Para cada una de las siguientes funciones $f$, halle $f'(f(x))$:
    • $f(x)=\frac{1}{1+x}$
    • $f(x)=x^2$
    • $f(x)=17$
  • Para cada una de las siguientes funciones $f$, halle $f(f'(x))$
    • $f(x)=\frac{1}{x}$
    • $f(x)=x^2$
    • $f(x)=17x$
  • Para cada una de las siguientes funciones halle$f’$ en función de $g’$
    • $f(x)=g(x+g(x_0))$
    • $f(x)=g(x+g(x))$
    • $f(x)=g(x)(x-x_0)$
    • $f(x)=g(x \cdot g(x_0))$
    • $f(x+3)=g(x^2)$

Más adelante…

En las siguientes entradas se hará un estudio particular de la derivada de algunas funciones especiales como lo son las funciones trigonométricas, la función exponencial y la función logarítmica.

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Cálculo Diferencial e Integral I: Regla de la cadena

Por Juan Manuel Naranjo Jurado

Introducción

Anteriormente revisamos, entre otras cosas, cómo derivar la suma y producto de funciones. La siguiente operación a analizar hablando de funciones es la composición, tema del cual tratará esta entrada; este tema es bastante popular y ha sido bautizado como regla de la cadena.

Demostración de la regla de la cadena

Teorema. Sean $g: A \subseteq \RR \to \RR$, $f: B \subseteq \RR \to \RR$ y $x_0 \in A$ tales que

  1. Para toda $x \in A$, $g(x) \in B$.
  2. $g$ es derivable en $x_0$, es decir $$\lim_{x \to x_0} \frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0} = g'(x_0).$$
  3. $f$ es derivable en $g(x_0)$, es decir $$\lim_{t \to x_0} \frac{f(t)-f(g(x_0))}{t-g(x_0)} = f'(g(x_0)).$$

Entonces $f \circ g$ es derivable en $x_0$, además $$(f \circ g)'(x_0) = f'(g(x_0))g'(x_0).$$

Demostración.

Para realizar esta demostración haremos uso de una función auxiliar de la que probaremos propiedades específicas.

$$\rho (t) = \begin{cases}
\frac{f(t)-f(g(x_0))}{t-g(x_0)}-f'(g(x_0)), & \text{ si $t \neq g(x_0)$} \\
0, & \text{ si $t = g(x_0)$}
\end{cases}$$

Podemos observar que la función $\rho$ está «inspirada» en el límite $f$ en el punto $g(x_0)$. Procederemos a puntualizar 5 observaciones de nuestra función auxiliar.

  1. La función $f$ está definida de $B$ a $\RR$, es decir, $\rho: B \subseteq \RR \to \RR$.
  2. El límite de $\rho$ en $g(x_0)$ es cero, puesto que
    \begin{align*}
    \lim_{t \to g(x_0)} \rho (t) & = \lim_{t \to g(x_0)} \left( \frac{f(t)-f(g(x_0))}{t-g(x_0)} – f'(g(x_0)) \right) \\ \\
    & = \lim_{t \to g(x_0)} \frac{f(t)-f(g(x_0))}{t-g(x_0)} – \lim_{t \to g(x_0)} f'(g(x_0)) \\ \\
    & =f'(g(x_0))-f'(g(x_0)) \text{, por la hipótesis 3} \\ \\
    & = 0
    \end{align*}

    $$\therefore \lim_{t \to g(x_0)} \rho (t) = 0$$
  3. $\rho$ es continua en $g(x_0)$, puesto que $$\lim_{t \to g(x_0)} \rho(t) = 0 = \rho (g(x_0))$$
  4. Para todo $t \in B$, se sigue de la definición de $\rho$ que $$f(t)-f(g(x_0)) = (\rho(t)+f'(g(x_0)) (t-g(x_0)).$$
  5. Por la hipótesis 2, $g$ es derivable en $x_0$ lo que implica que también es continua en tal punto, además por la observación 3, sabemos que $\rho$ es continua en $g(x_0)$. Por tanto, se tiene que
    \begin{gather*}
    \lim_{x \to x_0} \rho (g(x)) = \rho (g(x_0)) = 0 \\
    \therefore \rho \circ g \text{ es continua en } x_0
    \end{gather*}

Ahora que probamos las 5 observaciones, estamos listos para calcular la derivada de la composición:

\begin{align*}
(f \circ g)'(x_0) & = \lim_{x \to x_0} \frac{ f(g(x))-f(g(x_0)) }{x – x_0} \\ \\
& = \lim_{x \to x_0} \frac{ ( \rho(g(x))+f'(g(x_0)) )( g(x)-g(x_0) ) }{x-x_0} \text{, por la observación 4} \\ \\
&= \lim_{x \to x_0} \left( ( \rho(g(x))+f'(g(x_0)) ) \cdot \frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0} \right) \\ \\
& =\lim_{x \to x_0} ( \rho(g(x))+f'(g(x_0)) ) \cdot \lim_{x \to x_0} \frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0} \\ \\
& =(0+f'(g(x_0))) \cdot g'(x_0) \text{, por la obs 3 y la hipótesis 2} \\ \\
& = f'(g(x_0)) g'(x_0)
\end{align*}

$$\therefore (f \circ g)'(x_0) = f'(g(x_0))g'(x_0)$$

$\square$

Aplicando la regla de la cadena

A continuación revisaremos algunos ejemplos donde aplicaremos la proposición anterior. La idea general de los ejercicios será expresar una función en términos de la composición de otras dos.

Ejemplo. Encuentra la derivada de la función $F(x) = (3x+1)^2$.

Notemos que podemos ver a $F$ como la composición de las siguientes dos funciones
$$ f(x) = x^2, \qquad g(x) = 3x + 1$$

Así $F(x) = f(g(x))$. Y empleando la regla de la cadena se tiene que

\begin{align*}
F'(x) & = f'(g(x)) g'(x) \\
& = 2g(x)g'(x) \\
& =2 (3x+1)(3) \\
& = 6(3x+1) \\
& = 18x+6
\end{align*}

Ejemplo. Deriva la función $F(x) = \sqrt{\frac{x^2+1}{x^3+3}}$.

Definimos las funciones

$f(x) = \sqrt{x}$ con derivada $f'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ y $g(x) = \frac{x^2+1}{x^3+3}$ con derivada
\begin{align*}
g'(x) & = \frac{ (x^3+3)(2x)-(x^2+1)(3x^2) }{ (x^3+3)^2 } \\
& = \frac{ -x^4-3x^2+6x }{ (x^3+3)^2 }
\end{align*}

Con lo anterior, se tiene que $F(x) = f(g(x))$, y empleando la regla de la cadena tenemos

\begin{align*}
F'(x) & = f'(g(x)) g'(x) \\
& =\frac{1}{ 2\sqrt{g(x)} } \cdot \frac{ -x^4-3x^2+6x }{ (x^3+3)^2 } \\
& = \frac{1}{ 2\sqrt{ \frac{ x^2+1 }{ x^3+3 } } } \cdot \frac{ -x^4-3x^2+6x }{ (x^3+3)^2 }\\
& = \frac{ \sqrt{x^3+3} }{2 \sqrt{x^2+1} } \cdot \frac{ -x^4-3x^2+6x }{ (x^3+3)^2 }
\end{align*}

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más a profundidad la teoría vista.

  • Teorema de Carathéodory. Sea $f$ definida en un intervalo $A$ y sea $a \in A$. Entonces $f$ es derivable en $a$ si y solo si existe una función $\rho$ en $A$ que es continua en $a$ y satisface:
    $$f(x) – f(c) = \rho (x) (x-a) \text{ para } a \in A.$$
    En este caso, se tiene que $\rho(a) = f'(c)$.
  • Deriva la función $f(x) = \sqrt{5-2x+x^2}$.
  • Si $f: \RR \to \RR$ es derivable en $x_0$ y $f(x_0) = 0$. Prueba que $g(x) := |f(x)|$ es derivable en $x_0$ si y sólo si $f'(x_0) = 0$
  • Determina en dónde es derivable cada una de las siguientes funciones de $\RR \to \RR$ y encontrar la derivada:
    • f(x) = |x|+|x+1|
    • g(x) = 2x + |x|
    • h(x) = x|x|

Más adelante…

En las siguientes entradas haremos una resumen de las «reglas de derivación» que hemos visto hasta ahora y probaremos algunas más; particularmente se hará la revisión de las derivadas para las funciones trigonométricas.

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Introducción

En esta sección ligaremos el concepto de continuidad con el de derivabilidad; tal relación no presentará ninguna sorpresa considerando el ejemplo de la función valor absoluto revisada en la entrada anterior. Adicionalmente, nos enfocaremos en la demostración de algunas propiedades básicas de la derivada.

Relación entre derivabilidad y continuidad

Proposición. Sea $f: A \subseteq \RR \to \RR$, $x_0 \in A$, si $f$ es derivable en $x_0$, entonces $f$ es continua en $x_0$.

Demostración.

\begin{align*}
\lim_{x \to x_0} f(x) & = \lim_{x \to x_0} \left( f(x) – f(x_0) + f(x_0) \right) \\ \\
& = \lim_{x \to x_0} \left[ \left( \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \right) (x-x_0)+f(x_0) \right] \\ \\
& = f'(x_0) \cdot 0+f(x_0) \text{, pues }f \text{ es derivable}\\ \\
& = f(x_0)
\end{align*}

$$\therefore \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$$

Por tanto, $f$ es continua en $x_0$.

$\square$

Veremos que el regreso no es cierto, es decir, si $f$ es continua en $x_0$ no necesariamente es derivable en $x_0$.

Ejemplo. Consideremos $f: \RR \to \RR$, $f(x) = |x|$

Primero probaremos que $f$ es continua en $x_0 = 0$.

Demostración.

Sea $\varepsilon > 0$.

Consideremos $\delta = \varepsilon$

Si $|x-0| < \delta$, entonces

\begin{align*}
|f(x)-0| & = |f(x)| \\
& = ||x|| \\
& = |x| \\
& < \delta \\
& = \varepsilon
\end{align*}

$$\therefore |f(x)-0| < \varepsilon$$

Con esto, hemos probado que $f$ es continua en $x_0 = 0$, sin embargo, en la entrada anterior vimos que no era derivable en tal punto.

$\square$

Para continuar, revisaremos algunas propiedades básicas de la derivada, tal como qué sucede con la derivada de la suma o producto de funciones, y sus demostraciones se obtienen directamente de la definición, razón por la cual será conveniente tenerla presente.

Derivada de la suma de funciones

Proposición. Sean $f: A \subseteq \RR \to \RR$ y $g: A \subseteq \RR \to \RR$, $x_0 \in A$ tales que $f$ y $g$ son derivables en $x_0$, es decir, $f'(x_0)$ y $g'(x_0)$ sí existen. Entonces

  1. $f+g$ es derivable en $x_0$, además $$(f+g)'(x_0) = f'(x_0) + g'(x_0)$$
  2. Si $c \in \RR$ es una constante, $cf$ es derivable en $x_0$, además $$(cf)'(x_0) = cf'(x_0)$$
  3. $f-g$ es derivable en $x_0$, además $$(f-g)'(x_0) = f'(x_0) – g'(x_0)$$

Demostración.

$(1)$

\begin{align*}
(f+g)'(x_0) & = \lim_{x \to x_0} \frac{(f(x)+g(x))-(f(x_0)+g(x_0))}{x-x_0} \\ \\
& = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)+g(x)-f(x_0)-g(x_0)}{x-x_0} \\ \\
& = \lim_{x \to x_0} \frac{ ( f(x)-f(x_0) ) + ( g(x)-g(x_0) )}{x-x_0} \\ \\
& = \lim_{x \to x_0} \left( \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} + \frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0} \right) \\ \\
& = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} + \lim_{x \to x_0} \frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0} \\ \\
& = f'(x_0) + g'(x_0) \text{, pues $f$ y $g$ son derivables en $x_0$}
\end{align*}

$$\therefore (f+g)'(x_0) = f'(x_0) + g'(x_0)$$

$(2) \text{ y } (3)$ quedarán como tarea moral.

$\square$

Derivada del producto de funciones

Proposición. Sean $f: A \subseteq \RR \to \RR$ y $g: A \subseteq \RR \to \RR$, $x_0 \in A$ tales que $f$ y $g$ son derivables en $x_0$, es decir, $f'(x_0)$ y $g'(x_0)$ sí existen. Entonces

  1. $f \cdot g$ es derivable en $x_0$, además $$(f \cdot g)'(x_0) = f(x_0)g'(x_0) + f'(x_0) g(x_0)$$
  2. Si $g(x_0) \neq 0$, entonces $\frac{1}{g}$ es derivable en $x_0$, además $$\left( \frac{1}{g} \right)’ (x_0) = -g(x_0) \left( \frac{1}{(g(x_0))^2} \right)$$
  3. Si $g(x_0) \neq 0$, entonces $\frac{f}{g}$ es derivable en $x_0$, además $$\left( \frac{f}{g} \right)’ (x_0) = \frac{-f(x_0)g'(x_0) + g(x_0)f'(x_0)}{(g(x_0))^2}$$

Demostración.

$(1)$

\begin{align*}
(f\cdot g)’ (x_0) & = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)g(x)-f(x_0)g(x_0)}{x-x_0} \\ \\
& = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)g(x)-f(x_0)g(x)+f(x_0)g(x)-f(x_0)g(x_0)}{x-x_0} \\ \\
& = \lim_{x \to x_0} \left( \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \cdot g(x) + f(x_0) \cdot \frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0} \right) \\ \\
& = f'(x_0)g(x_0) + f(x_0)g'(x_0)
\end{align*}

Notemos que en el último paso se utiliza que $f$ y $g$ son derivables, y eso en particular implica que $g$ es continua por lo cual podemos aplicar el límite.

$$\therefore (f \cdot g)'(x_0) = f(x_0)g'(x_0) + f'(x_0) g(x_0)$$

$(2)$

\begin{align*}
\left(\frac{1}{g}\right)’ (x_0) & = \lim_{x \to x_0} \frac{ \left( \frac{1}{g} \right) (x) – \left( \frac{1}{g} \right) (x_0) }{x- x_0} \\ \\
& = \lim_{x \to x_0} \frac{\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{g(x_0)}}{x-x_0} \\ \\
& = \lim_{x \to x_0} \frac{\frac{g(x_0)-g(x)}{g(x) \cdot g(x_0)}}{x-x_0} \\ \\
& = \lim_{x \to x_0} \left( -\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0} \right) \cdot \left( \frac{1}{g(x) \cdot g(x_0)} \right) \\ \\
& = -g(x_0) \left( \frac{1}{(g(x_0))^2} \right) \text{, pues $g$ es derivable (y continua)}
\end{align*}

$$\therefore \left( \frac{1}{g} \right)’ (x_0) = -g(x_0) \left( \frac{1}{(g(x_0))^2} \right)$$

$(3)$

\begin{align*}
\left( \frac{f}{g} \right)’ (x_0) & = \left( f \cdot \left( \frac{1}{g} \right) \right)’ (x_0) \\ \\
& = f(x_0) \left( \frac{1}{g} \right)’ (x_0) + f'(x_0) \left( \frac{1}{g} \right) (x_0) \tag{por (1)}\\ \\
& = f(x_0) \left( \frac{-g'(x_0)}{(g(x_0))^2} \right) + \frac{f'(x_0)}{g(x_0)} \tag{por (2)} \\ \\
& = \frac{-f(x_0)g'(x_0) + g(x_0)f'(x_0)}{(g(x_0))^2}
\end{align*}

$$\therefore \left( \frac{f}{g} \right)’ (x_0) = \frac{-f(x_0)g'(x_0) + g(x_0)f'(x_0)}{(g(x_0))^2}$$

Un par de ejemplos

Lo siguiente será revisar un par de ejemplos para aplicar las propiedades anteriores, para ello recordemos que gracias a la entrada anterior (usando también los resultados de la tarea moral) ya conocemos la derivada de algunas de las funciones:

\begin{gather*}
f_1(x) = ax+b &\qquad f’_1(x) = a\\
f_2(x) = x^2 & \qquad f’_2(x) = 2x \\
f_3(x) = c & \qquad f’_3(x) = 0 \\
f_4(x) = \sqrt{x} & \qquad f’_4(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}
\end{gather*}

Ejemplo. Encuentra la derivada de la función $f(x)=\sqrt{x}+x^2-10$.

Notemos que $f(x) = f_4(x) + f_2(x) – f_3(x)$. Sabemos que la derivada de una suma (resta) de funciones es la suma (resta) de sus respectivas derivadas, así tenemos que

\begin{align*}
f'(x) & = f’_4(x) + f’_2(x) – f’_3(x) \\
& = \frac{1}{2\sqrt{x}} + 2x
\end{align*}

Ejemplo. Encuentra la derivada de la función $f(x)=\frac{\sqrt{x}}{5x+30}$.

Notemos que $f(x)=\frac{f_4(x)}{f_1(x)}$. Usando la propiedad de la derivada del cociente de funciones, tenemos que

\begin{align*}
f'(x) & = \frac{-f_4(x_0)f’_1(x_0) + f_1(x_0)f’_4(x_0)}{(f_1(x_0))^2} \\ \\
& = \frac{-\sqrt{x} \cdot 5 + (5x+30) (\frac{1}{2\sqrt{x}})}{ (5x+30)^2} \\
& = \frac{- 5 \sqrt{x} + (\frac{5x+30}{2\sqrt{x}})}{ (5x+30)^2} \\ \\
& = \frac{ \frac{-10x+ 5x+30}{50 \sqrt{x}} }{ 25\cdot (x+6)^2} \\ \\
& = \frac{5(6-x)}{50 \sqrt{x} (x+6)^2} \\ \\
& = \frac{6-x}{10 \sqrt{x} (x+6)^2}
\end{align*}

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más a profundidad la teoría vista.

  • Sean $f: A \subseteq \RR \to \RR$ y $g: A \subseteq \RR \to \RR$, $x_0 \in A$ tales que $f$ y $g$ son derivables en $x_0$, es decir, $f'(x_0)$ y $g'(x_0)$ sí existen. Prueba que:
    • Si $c \in \RR$ es una constante, $cf$ es derivable en $x_0$, además $$(cf)'(x_0) = cf'(x_0)$$
    • $f-g$ es derivable en $x_0$, además $$(f-g)'(x_0) = f'(x_0) – g'(x_0)$$
  • Prueba que si $f_1$, $f_2$, $\cdots$, $f_n$ son funciones derivables en $x_0 \in A \subseteq \RR$, entonces
    • La función $f_1+f_2+\cdots+f_n$ es derivable en $x_0$ y $(f_1+f_2+\cdots+f_n)'(x_0) = f’_1(x_0)+f_2′(x_0)+\cdots+f_n'(x_0)$
    • La función $f_1 \cdot f_2 \cdots f_n$ es derivable en $x_0$ y
      \begin{align*}
      (f_1 \cdot f_2 \cdots f_n)'(x_0) = & f_1′(x_0) \cdot f_2(x_0) \cdots f_n(x_0)+f_1(x_0) \cdot f_2′(x_0) \cdots f_n(x_0) \\
      & + \cdots + f_1(x_0) \cdot f_2(x_0) \cdots f_n'(x_0)
      \end{align*}
  • Empleando las propiedades revisadas en esta entrada, encuentra la derivada de las siguientes funciones:
    • $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$
    • $g(x) = \frac{x-1}{5-2x+x^2}$

Más adelante…

Después de haber revisado qué sucede cuando se deriva la suma, producto y cociente de funciones surge una pregunta natural en términos de las operaciones disponibles para las funciones: ¿qué sucede con la composición?

En la siguiente entrada responderemos esta pregunta para lo cual revisaremos la famosa Regla de la Cadena.

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Cálculo Diferencial e Integral I: La derivada

Por Juan Manuel Naranjo Jurado

Introducción

Anteriormente se revisó el concepto de continuidad, encontrando así un subconjunto de funciones con una característica particular de la cual emanaban diversas propiedades útiles tal como el Teorema del Valor Intermedio. En esta ocasión, daremos inicio con la séptima unidad la cual estará enfocada en el aspecto teórico de uno de los conceptos más conocidos dentro de las matemáticas: la derivada.

El objetivo de esta entrada es entender este nuevo concepto para posteriormente poder analizar las propiedades y aplicaciones que posee.

Interpretación geométrica

Comenzaremos estudiando la interpretación geométrica para construir la definición formal; para ello, pensemos en la siguiente función y notemos los dos puntos marcados.

Considerando que el punto gris está dado por $(x, f(x))$ y el punto negro por $(x_0, f(x_0))$, podríamos obtener fácilmente la pendiente de la recta que pasa por ambos puntos.

$$m = \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \tag{1}$$

¿Qué sucede si dejamos a $P_0$ como un punto fijo y «movemos» el punto $P$ de tal forma que estos puntos comienzan a estar arbitrariamente más cerca?

Sucede que si tales puntos están cada vez están más cerca, el concepto de límite entra en juego, pues estaríamos buscando $P \to P_0$, así podríamos calcular la pendiente de la recta tangente en el punto $P_0$, con lo cual el límite deseado es el siguiente:

$$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$

La derivada

Definición. La función $f$ es derivable en $x_0$ si el siguiente límite existe

$$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$

En este casos, denotaremos al límite anterior como $f'(x_0)$ y le llamaremos derivada de $f$ en $x_0.$

Ahora que conocemos la definición de derivada, es momento de ponerla en práctica y revisar algunas funciones que sean derivables.

Ejemplo.

Prueba que la función $f(x) = ax+b$ es derivable para cualquier $x \in \mathbb{R}$.

Demostración

Sea $x_0 \in \RR$. Bastará probar que el límite $$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$ sí existe.

Para ello, primero veamos que

\begin{align*}
\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = & \frac{ax+b – (ax_0+b)}{x-x_0} \\
= & \frac{ax-ax_0}{x-x_0} \\
= & \frac{a(x-x_0)}{x-x_0} \\
= & a
\end{align*}

Por lo anterior, se sigue que

$$ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = a$$

Por lo tanto, $f$ es derivable en $\mathbb{R}$ y $f'(x) = a$.

$\square$

Continuemos con un segundo ejemplo sencillo para acostumbrarnos a este nuevo concepto.

Ejemplo.

Prueba que la función $f(x) = x^2$ es derivable para cualquier $x \in \mathbb{R}$.

Demostración.

Sea $x_0 \in \RR$
Procederemos a calcular el límite directamente.

\begin{align*}
\lim_{x \to x_0} \frac{ f(x)-f(x_0) }{ x-x_0 } = & \lim_{x \to x_0} \frac{x^2 – x_0^2}{x-x_0} \\
= & \lim_{x \to x_0} \frac{ (x-x_0)(x+x_0) }{ x-x_0 } \\
= & \lim_{x \to x_0} x+x_0 \\
= & 2x_0
\end{align*}

$\square$

Es momento de revisar una función que no sea derivable. Para este propósito, emplearemos la función valor absoluto, la cual hemos revisado anteriormente y será conveniente que tengas presente su gráfica, pues este tipo de funciones que generan un «pico» en su gráfica, no son derivables en tal punto.

Ejemplo. Sea $f: \RR \to \RR$, $f(x) = |x|$. Prueba que $f$ no es derivable en $x_0 = 0$.

Demostración.

Notemos que $$\lim_{x \to x_0} \frac{|x|-0}{x-0} = \lim_{x \to x_0} \frac{|x|}{x}$$

Consideremos las sucesiones $\{a_n\}$, $\{b_n\}$ donde $a_n = \frac{1}{n}$ y $b_n = -\frac{1}{n}$. Tenemos que $a_n$, $b_n \in Dom_f$ para todo $n \in \mathbb{N}$. Además, $a_n$, $b_n \neq 0$ para todo $n \in \mathbb{N}$ y $$\lim_{n \to \infty} a_n = 0 = \lim_{n \to \infty} b_n$$

Pero se tiene que

\begin{align*}
\lim_{n \to \infty} \frac{|a_n|}{a_n} & = \lim_{n \to \infty} \frac{|\frac{1}{n}|}{\frac{1}{n}} \\
& = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}} \\
& = 1
\end{align*}

Además
\begin{align*}
\lim_{n \to \infty} \frac{|b_n|}{b_n} & = \lim_{n \to \infty} \frac{|-\frac{1}{n}|}{-\frac{1}{n}} \\
& = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}}{-\frac{1}{n}} \\
& = -1
\end{align*}

De lo que se concluye que el límite $$\lim_{x \to x_0} \frac{|x|-0}{x-0}$$ no existe.

Por tanto, $f$ no es derivable en $x_0= 0$.

$\square$

Intuitivamente, podemos notar que si tratáramos de encontrar una «recta tangente» a $0$ moviéndonos por la derecha, será distinta a la «recta tangente» a generada por la izquierda. Esto hace que el límite no exista, sin embargo, podemos ser menos restrictivos en la definición.

Derivadas laterales

De forma complementaria, podemos definir la derivada en términos de la forma en que $x \to x_0$, es decir, a través de los límites laterales. Así, tenemos las siguientes definiciones.

Definición.

  1. La función $f$ es derivable por la derecha en $x_0$ si el siguiente límite existe

    $$\lim_{x \to x_0^+} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$

    En este caso, denotaremos al límite anterior como $f'(x_0^+)$ y le llamaremos derivada por la derecha de $f$ en $x_0$.
  2. La función $f$ es derivable por la derecha en $x_0$ si el siguiente límite existe

    $$\lim_{x \to x_0^-} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$

    En este caso, denotaremos al límite anterior como $f'(x_0^-)$ y le llamaremos derivada por la derecha de $f$ en $x_0$.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más a profundidad la teoría vista.

  • Prueba que toda función constante es derivable en $x \in \RR$.
  • Prueba que la función $f: \RR \to \RR$ definida por $f(x) = ax^2+bx+c$ es derivable en todo $\RR$.
  • Demuestra que $f(x) = |x|$ es derivable para todo $x \neq 0$.
  • Prueba que $$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = L \iff \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} = L$$
    Nota que al probarlo, se tiene una definición alternativa de la derivada.

Más adelante…

En la siguiente entrada revisaremos la relación existente entre la derivabilidad y la continuidad; adicionalmente, revisaremos algunas propiedades que nos permitirán obtener la derivada de una función con mayor facilidad.

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