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Cálculo Diferencial e Integral I: La derivada

Introducción

Anteriormente se revisó el concepto de continuidad, encontrando así un subconjunto de funciones con una característica particular de la cual emanaban diversas propiedades útiles tal como el Teorema del Valor Intermedio. En esta ocasión, daremos inicio con la séptima unidad la cual estará enfocada en el aspecto teórico de uno de los conceptos más conocidos dentro de las matemáticas: la derivada.

El objetivo de esta entrada es entender este nuevo concepto para posteriormente poder analizar las propiedades y aplicaciones que posee.

Interpretación geométrica

Comenzaremos estudiando la interpretación geométrica para construir la definición formal; para ello, pensemos en la siguiente función y notemos los dos puntos marcados.

Considerando que el punto gris está dado por $(x, f(x))$ y el punto negro por $(x_0, f(x_0))$, podríamos obtener fácilmente la pendiente de la recta que pasa por ambos puntos.

$$m = \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \tag{1}$$

¿Qué sucede si dejamos a $P_0$ como un punto fijo y «movemos» el punto $P$ de tal forma que estos puntos comienzan a estar arbitrariamente más cerca?

Sucede que si tales puntos están cada vez están más cerca, el concepto de límite entra en juego, pues estaríamos buscando $P \to P_0$, así podríamos calcular la pendiente de la recta tangente en el punto $P_0$, con lo cual el límite deseado es el siguiente:

$$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$

La derivada

Definición. La función $f$ es derivable en $x_0$ si el siguiente límite existe

$$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$

En este casos, denotaremos al límite anterior como $f'(x_0)$ y le llamaremos derivada de $f$ en $x_0.$

Ahora que conocemos la definición de derivada, es momento de ponerla en práctica y revisar algunas funciones que sean derivables.

Ejemplo.

Prueba que la función $f(x) = ax+b$ es derivable para cualquier $x \in \mathbb{R}$.

Demostración

Sea $x_0 \in \RR$. Bastará probar que el límite $$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$ sí existe.

Para ello, primero veamos que

\begin{align*}
\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = & \frac{ax+b – (ax_0+b)}{x-x_0} \\
= & \frac{ax-ax_0}{x-x_0} \\
= & \frac{a(x-x_0)}{x-x_0} \\
= & a
\end{align*}

Por lo anterior, se sigue que

$$ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = a$$

Por lo tanto, $f$ es derivable en $\mathbb{R}$ y $f'(x) = a$.

$\square$

Continuemos con un segundo ejemplo sencillo para acostumbrarnos a este nuevo concepto.

Ejemplo.

Prueba que la función $f(x) = x^2$ es derivable para cualquier $x \in \mathbb{R}$.

Demostración.

Sea $x_0 \in \RR$
Procederemos a calcular el límite directamente.

\begin{align*}
\lim_{x \to x_0} \frac{ f(x)-f(x_0) }{ x-x_0 } = & \lim_{x \to x_0} \frac{x^2 – x_0^2}{x-x_0} \\
= & \lim_{x \to x_0} \frac{ (x-x_0)(x+x_0) }{ x-x_0 } \\
= & \lim_{x \to x_0} x+x_0 \\
= & 2x_0
\end{align*}

$\square$

Es momento de revisar una función que no sea derivable. Para este propósito, emplearemos la función valor absoluto, la cual hemos revisado anteriormente y será conveniente que tengas presente su gráfica, pues este tipo de funciones que generan un «pico» en su gráfica, no son derivables en tal punto.

Ejemplo. Sea $f: \RR \to \RR$, $f(x) = |x|$. Prueba que $f$ no es derivable en $x_0 = 0$.

Demostración.

Notemos que $$\lim_{x \to x_0} \frac{|x|-0}{x-0} = \lim_{x \to x_0} \frac{|x|}{x}$$

Consideremos las sucesiones $\{a_n\}$, $\{b_n\}$ donde $a_n = \frac{1}{n}$ y $b_n = -\frac{1}{n}$. Tenemos que $a_n$, $b_n \in Dom_f$ para todo $n \in \mathbb{N}$. Además, $a_n$, $b_n \neq 0$ para todo $n \in \mathbb{N}$ y $$\lim_{n \to \infty} a_n = 0 = \lim_{n \to \infty} b_n$$

Pero se tiene que

\begin{align*}
\lim_{n \to \infty} \frac{|a_n|}{a_n} & = \lim_{n \to \infty} \frac{|\frac{1}{n}|}{\frac{1}{n}} \\
& = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}} \\
& = 1
\end{align*}

Además
\begin{align*}
\lim_{n \to \infty} \frac{|b_n|}{b_n} & = \lim_{n \to \infty} \frac{|-\frac{1}{n}|}{-\frac{1}{n}} \\
& = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}}{-\frac{1}{n}} \\
& = -1
\end{align*}

De lo que se concluye que el límite $$\lim_{x \to x_0} \frac{|x|-0}{x-0}$$ no existe.

Por tanto, $f$ no es derivable en $x_0= 0$.

$\square$

Intuitivamente, podemos notar que si tratáramos de encontrar una «recta tangente» a $0$ moviéndonos por la derecha, será distinta a la «recta tangente» a generada por la izquierda. Esto hace que el límite no exista, sin embargo, podemos ser menos restrictivos en la definición.

Derivadas laterales

De forma complementaria, podemos definir la derivada en términos de la forma en que $x \to x_0$, es decir, a través de los límites laterales. Así, tenemos las siguientes definiciones.

Definición.

  1. La función $f$ es derivable por la derecha en $x_0$ si el siguiente límite existe

    $$\lim_{x \to x_0^+} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$

    En este caso, denotaremos al límite anterior como $f'(x_0^+)$ y le llamaremos derivada por la derecha de $f$ en $x_0$.
  2. La función $f$ es derivable por la derecha en $x_0$ si el siguiente límite existe

    $$\lim_{x \to x_0^-} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$

    En este caso, denotaremos al límite anterior como $f'(x_0^-)$ y le llamaremos derivada por la derecha de $f$ en $x_0$.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más a profundidad la teoría vista.

  • Prueba que toda función constante es derivable en $x \in \RR$.
  • Prueba que la función $f: \RR \to \RR$ definida por $f(x) = ax^2+bx+c$ es derivable en todo $\RR$.
  • Demuestra que $f(x) = |x|$ es derivable para todo $x \neq 0$.
  • Prueba que $$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = L \iff \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} = L$$
    Nota que al probarlo, se tiene una definición alternativa de la derivada.

Más adelante…

En la siguiente entrada revisaremos la relación existente entre la derivabilidad y la continuidad; adicionalmente, revisaremos algunas propiedades que nos permitirán obtener la derivada de una función con mayor facilidad.

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