Cálculo Diferencial e Integral I: Derivada de las funciones exponencial y logarítmica

Introducción

En esta entrada revisaremos la derivada de dos funciones populares dentro de las matemáticas: las funciones exponencial y logarítmica. Para ello, será de gran utilidad tener presente lo que se revisó previamente respecto a estas funciones debido a que usaremos varias de sus propiedades.

Función logarímica

Comenzaremos probando que la función logaritmo es derivable en todo su dominio, una vez lo hayamos probado, se tiene en automático que la función es continua por la relación existente entre derivabilidad y continuidad.

Teorema. Para todo $x_0 > 0$ se tiene que $ln'(x_0) = \frac{1}{x_0}$.

Demostración.

En una entrada anterior, se dejó como tarea moral demostrar la siguiente equivalencia:

$$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = L \iff \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} = L$$

En este caso, haremos uso de tal resultado, es decir, probaremos que

$$\lim_{h \to 0} \frac{ln(x_0+h)-ln(x_0)}{h} = \frac{1}{x_0}$$

Entonces se tiene que

\begin{align*}
\lim_{h \to 0} \frac{ln(x_0+h)-ln(x_0)}{h} & = \lim_{h \to 0} \frac{ln \left( \frac{x_0+h}{x_0} \right) }{h} \\ \\
& = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \cdot ln \left( 1+\frac{h}{x_0} \right) \\ \\
& = \lim_{h \to 0} ln \left( 1+\frac{h}{x_0} \right)^{\frac{1}{h}}
\end{align*}

Consideremos $t = \frac{h}{x_0}$, entonces se sigue que $\frac{1}{h} = \frac{1}{x_0} \cdot \frac{1}{t}$. Además notemos que cuando $h \to 0,$ se tiene que $t \to 0$. Así, podemos sustituir el límite anterior de la siguiente forma

\begin{align*}
\lim_{h \to 0} ln \left( 1+\frac{h}{x_0} \right)^{\frac{1}{h}} & = \lim_{t \to 0} ln \left( 1+t \right)^{\frac{1}{x_0} \cdot \frac{1}{t}} \\ \\
& = \lim_{t \to 0} ln \left( \left( 1+t \right)^{\frac{1}{t}} \right)^{\frac{1}{x_0}} \\ \\ 
& = \lim_{t \to 0} \frac{1}{x_0} \cdot ln \left( 1+t \right)^{\frac{1}{t}} \\ \\
\end{align*}

Ahora tomemos $n = \frac{1}{t}$, entonces $t = \frac{1}{n}$, y cuando $t \to 0$, se tiene que $n \to \infty$, de la expresión anterior se sigue que

\begin{align*}
\lim_{t \to 0} \frac{1}{x_0} \cdot ln \left( 1+t \right)^{\frac{1}{t}} & = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{x_0} \cdot ln \left( 1+\frac{1}{n} \right)^{n} \\ \\
& = \frac{1}{x_0} \cdot \lim_{n \to \infty} ln \left( 1+\frac{1}{n} \right)^{n} \\ \\ 
& = \frac{1}{x_0} \cdot ln(e) \\ \\
& = \frac{1}{x_0}
\end{align*}

$$\therefore ln'(x_0) = \frac{1}{x_0}$$

$\square$

Corolario. La función $ln(x)$ es continua.

Función exponencial

Ahora probaremos que la función exponencial es derivable en todo su dominio y, por tanto, también es continua.

Teorema. La función $f(x) = e^x$ es derivable para todo $x_0 \in \RR$, y su derivada es $f'(x_0) = e^{x_0}$

Demostración.

Nuevamente, haremos uso de la equivalencia de la definición de derivada.

\begin{align*}
\lim_{h \to 0} \frac{e^{x_0+h}-e^{x_0}}{h} & = \lim_{h \to 0} \frac{e^{x_0}e^{h}-e^{x_0}}{h} \\ \\
& = \lim_{h \to 0} e^{x_0} \cdot \frac{e^{h}-1}{h} \\ \\
\end{align*}

Consideremos $t = e^{h}-1$, se sigue que $h = ln(t+1)$, además cuando $h \to 0$, se tiene que $t \to 0$. Así, de la expresión anterior tenemos

\begin{align*}
\lim_{h \to 0} e^{x_0} \cdot \frac{e^{h}-1}{h} & = \lim_{t \to 0} e^{x_0} \cdot \frac{t}{ln(t+1)} \\ \\
& = e^{x_0} \cdot \lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{t}}{\frac{1}{t}} \cdot \frac{t}{ln(t+1)} \\ \\
& = e^{x_0} \cdot \lim_{t \to 0} \frac{1}{\frac{1}{t} ln(t+1)} \\ \\
& = e^{x_0} \cdot \lim_{t \to 0} \frac{1}{ln(t+1)^{\frac{1}{t}}} \\ \\
& = e^{x_0} \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1}{ln(1+\frac{1}{n})^n}, \text{ considerando } n =\frac{1}{t} \\ \\
& = e^{x_0} \cdot \frac{1}{ln(e)} \\ \\
& = e^{x_0}
\end{align*}

$$\therefore f'(x_0) = e^{x_0}$$

$\square$

Corolario. La función $f(x) = e^x$ es continua.

Algunos ejemplos

Para los siguientes ejemplos haremos uso de las reglas de la derivada que conocemos hasta ahora, incluyendo la derivada de las funciones revisadas en esta entrada.

Ejemplo. Encuentra la derivada de $f(x) = ln \left( x+\sqrt{x^2+1} \right)$.

\begin{align*}
f'(x) & = \left( ln \left( x+\sqrt{x^2+1} \right) \right)’ \\ \\
& = ln’\left( x+\sqrt{x^2+1} \right) \cdot \left( x+\sqrt{x^2+1} \right)’ \text{, por la regla de la cadena} \\ \\
& = \frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}} \cdot \left( (x)’+(\sqrt{x^2+1})’ \right) \\ \\
& = \frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}} \cdot \left( 1+ \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot (x^2+1)’ \right) \\ \\
& = \frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}} \cdot \left( 1+ \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot 2x \right) \\ \\
& = \frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}} \cdot \left( 1+ \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \right) \\ \\
& = \frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}} \cdot \left( \frac{\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}} \right) \\ \\
& = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}
\end{align*}

$$\therefore f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$$

Ejemplo. Encuentra la derivada de la función $f(x) = x^6e^{\sqrt{x}}$

\begin{align*}
f'(x) & = x^6 (e^{\sqrt{x}})’+e^{\sqrt{x}} (x^6)’ \\ 
& = x^6 ( e^{\sqrt{x}} \cdot (\sqrt{x})’)+6x^5e^{\sqrt{x}} \\
& = x^6 (e^{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}})+6x^5e^{\sqrt{x}} \\
& = \frac{x^6e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}+6x^5e^{\sqrt{x}}
\end{align*}

$$\therefore f'(x) = \frac{x^6e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}+6x^5e^{\sqrt{x}}$$

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más a profundidad la teoría vista.

  • Prueba que la derivada de $f(x)=a^x$ con $a>0$, es $f'(x) = ln(a) a^x$. Hint: Considera que $f(x) = a^x =e^{xln(a)}$ y emplea la regla de la cadena.
  • Sea $c \in \RR$ un real fijo y consideremos $f: A \subseteq (0, \infty) \to \RR$, tal que $f(x) = x^c$. Prueba que $f$ es derivable en todo su dominio y su derivada es $f'(x) = cx^{c-1}$.
  • Encuentra la derivada de la función $f(x) = ln(x+\sqrt{x^2+x})$.
  • Encuentra la derivada de la función $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}e^{x^2}$.

Más adelante…

Antes de continuar con el estudio de la derivada de funciones trigonométricas, deberemos desarrollar otra herramienta que nos será muy útil: la derivada de las funciones inversas. En la siguiente entrada veremos cómo derivar la inversa de una función así como las restricciones existentes para que esto sea posible.

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