Cálculo Diferencial e Integral I: Reglas de derivación

Introducción

Anteriormente habíamos revisado algunos teoremas relacionados con la derivada de funciones. Es momento de hacer un resumen de las mismas y proceder a agregar algunas reglas nuevas que nos facilitarán el cálculo de derivadas; éstas seguro te harán recordar las clases de cálculo del bachillerato, tal como la derivada de una constante o la derivada de $x^n$.

Reglas de derivación para suma, producto, cociente y composición de funciones

Previamente revisamos algunas reglas que son fundamentales para el cálculo de las derivadas, tal como que la derivada de una suma de funciones es la suma de sus respectivas derivadas o que la derivada de una función que está siendo multiplicada por una constante es igual a la derivada por la constante. Procederemos a enlistarlas pues será importante tenerlas muy presentes:

Sean $f: A \subseteq \RR \to \RR$ y $g: A \subseteq \RR \to \RR$, $x_0 \in A$ tales que $f$ y $g$ son derivables en $x_0$, es decir, $f'(x_0)$ y $g'(x_0)$ sí existen. Entonces

  1. $f+g$ es derivable en $x_0$, además $$(f+g)'(x_0) = f'(x_0) + g'(x_0)$$
  2. Si $c \in \RR$ es una constante, $cf$ es derivable en $x_0$, además $$(cf)'(x_0) = cf'(x_0)$$
  3. $f \cdot g$ es derivable en $x_0$, además $$(f \cdot g)'(x_0) = f(x_0)g'(x_0) + f'(x_0) g(x_0)$$
  4. Si $g(x_0) \neq 0$, entonces $\frac{f}{g}$ es derivable en $x_0$, además $$\left( \frac{f}{g} \right)’ (x_0) = \frac{-f(x_0)g'(x_0) + g(x_0)f'(x_0)}{(g(x_0))^2}$$

Teorema. Sean $g: A \subseteq \RR \to \RR$, $f: B \subseteq \RR \to \RR$ y $x_0 \in A$ tales que

  1. Para toda $x \in A$, $g(x) \in B$.
  2. $g$ es derivable en $x_0$, es decir $$\lim_{x \to x_0} \frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0} = g'(x_0).$$
  3. $f$ es derivable en $g(x_0)$, es decir $$\lim_{t \to x_0} \frac{f(t)-f(g(x_0))}{t-g(x_0)} = f'(g(x_0)).$$

Entonces $f \circ g$ es derivable en $x_0$, además $$(f \circ g)'(x_0) = f'(g(x_0))g'(x_0).$$

Algunas reglas adicionales

Notemos que las reglas de la lista anterior se enfocan en encontrar la derivada de diversas operaciones que se pueden hacer con las funciones. En esta ocasión nos enfocaremos en demostrar algunas derivadas de funciones específicas que suelen aparecer con mucha frecuencia.

Proposición (Derivada de una constante). Sea $f: \RR \to \RR$, donde $f(x) = c$, entonces $f'(x_0)=0$ para todo $x_0 \in \RR$.

Demostración.

Sea $x_0 \in \RR$, entonces

\begin{align*}
f'(x_0) & = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \\ \\ 
& = \lim_{x \to x_0} \frac{c-c}{x-x_0} \\ \\
& = \lim_{x \to x_0} 0 \\ \\
& = 0
\end{align*}

$$\therefore f'(x_0) = 0$$

$\square$

Proposición (Derivada de la función identidad). Sea $f: \RR \to \RR$, donde $f(x) = x$, entonces $f'(x_0)=1$ para todo $x_0 \in \RR$.

Demostración.

Sea $x_0 \in \RR$, entonces

\begin{align*}
f'(x_0) & = \lim_{ x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \\ \\
& = \lim_{x \to x_0} \frac{x-x_0}{x-x_0} \\ \\
& = \lim_{x \to x_0} 1 \\ \\
& = 1
\end{align*}

$$\therefore f'(x_0) = 1$$

$\square$

Proposición. Sea $f: \RR \to \RR$, donde $f(x) = x^n$, entonces $f'(x_0)=nx^{n-1}$ para todo $x_0 \in \RR$.

Demostración.

Procederemos a hacer la demostración por inducción. Sea $x_0 \in \RR$

Caso base: n = 1. Sea $g(x) = x$, entonces $g'(x_0) = 1$. Esto se comprueba directamente de la proposición anterior.

Hipótesis de inducción: Para $h(x) = x^n$, se tiene que $h'(x_0) = n x^{n-1}$.

Sea $f(x) = x^{n+1}$. Notemos que $f(x) = (h \cdot g) (x)$, por la regla de la derivada del producto tenemos que

\begin{align*}
f'(x_0) & = h'(x_0)g(x_0)+h(x_0)g'(x_0) \\ \\
& = nx_0^{n-1} \cdot x_0 + x_0^n \cdot 1 \\ \\
& = nx_0^n + x_0^n \\ \\
& = (n+1)x_0^n
\end{align*}

$$\therefore f'(x_0)=(n+1)x_0^n$$

Por tanto, podemos concluir que para todo $n \in \mathbb{N}$ se tiene que si $f(x) = x^n$, entonces $f'(x_0)=nx^{n-1}$.

$\square$

La proposición anterior la probamos para todo $n$ en los naturales, sin embargo, esto también es cierto para cualquier valor real; probaremos un caso más generalizado en una entrada posterior.

Proposición. Sea $f: A \subseteq [0, \infty) \to \RR$, donde $f(x) = \sqrt{x}$, entonces $f'(x_0)=\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ para todo $x_0 \in A$.

Demostración.

Sea $x_0 \in \RR$, entonces

\begin{align*}
f'(x_0) & = \lim_{ x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \\ \\
& = \lim_{x \to x_0} \frac{\sqrt{x}-\sqrt{x_0}}{x-x_0} \\ \\
& = \lim_{x \to x_0} \frac{\sqrt{x}-\sqrt{x_0}}{x-x_0} \cdot \frac{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}}{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}}\\ \\
& = \lim_{x \to x_0} \frac{x-x_0}{(x-x_0)(\sqrt{x}+\sqrt{x_0})} \\ \\
& = \lim_{x \to x_0} \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}} \\ \\
& = \frac{1}{2\sqrt{x_0}}
\end{align*}

$$\therefore f'(x_0)=\frac{1}{2\sqrt{x_0}}$$

$\square$

Proposición. Sea $f: A \subseteq \RR – \{0\} \to \RR$, donde $f(x) = \frac{1}{x}$, entonces $f'(x_0)=-\frac{1}{x^2}$ para todo $x_0 \in A$.

Demostración.

Sea $x_0 \in A$, entonces

\begin{align*}
f'(x_0) & = \lim_{ x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \\ \\
& = \lim_{x \to x_0} \frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{x_0}}{x-x_0} \\ \\
& = \lim_{x \to x_0} \frac{\frac{x_0-x}{xx_0}}{x-x_0} \\ \\
& = \lim_{x \to x_0} \frac{x_0-x}{(x-x_0)(xx_0)} \\ \\
& = \lim_{x \to x_0} \frac{-(x-x_0)}{(x-x_0)(xx_0)} \\ \\
& = \lim_{x \to x_0} \frac{-1}{xx_0} \\ \\
& = -\frac{1}{x_0^2}
\end{align*}

$$\therefore f'(x_0) = -\frac{1}{x_0^2}$$

$\square$

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más a profundidad la teoría vista.

  • Para cada una de las siguientes funciones $f$, halle $f'(f(x))$:
    • $f(x)=\frac{1}{1+x}$
    • $f(x)=x^2$
    • $f(x)=17$
  • Para cada una de las siguientes funciones $f$, halle $f(f'(x))$
    • $f(x)=\frac{1}{x}$
    • $f(x)=x^2$
    • $f(x)=17x$
  • Para cada una de las siguientes funciones halle$f’$ en función de $g’$
    • $f(x)=g(x+g(x_0))$
    • $f(x)=g(x+g(x))$
    • $f(x)=g(x)(x-x_0)$
    • $f(x)=g(x \cdot g(x_0))$
    • $f(x+3)=g(x^2)$

Más adelante…

En las siguientes entradas se hará un estudio particular de la derivada de algunas funciones especiales como lo son las funciones trigonométricas, la función exponencial y la función logarítmica.

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