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Cálculo Diferencial e Integral I: Derivadas de las funciones exponencial y logarítmica

Por Juan Manuel Naranjo Jurado

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Introducción

En esta entrada revisaremos la derivada de dos funciones populares dentro de las matemáticas: las funciones exponencial y logarítmica. Para ello, será de gran utilidad tener presente lo que se revisó previamente respecto a estas funciones debido a que usaremos varias de sus propiedades.

Función logarítmica

Comenzaremos probando que la función logaritmo es derivable en todo su dominio, una vez lo hayamos probado, se tiene en automático que la función es continua por la relación existente entre derivabilidad y continuidad.

Teorema. Sea $f: (0, \infty) \to \RR$ definida como $f(x) = ln(x)$. Para todo $x > 0$ se tiene que $f'(x) = \frac{1}{x}.$

Demostración.

Veamos el siguiente límite

\begin{align*}
\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} & = \lim_{h \to 0} \frac{ln(x_0+h)-ln(x_0)}{h} \\ \\
& = \lim_{h \to 0} \frac{ln \left( \frac{x_0+h}{x_0} \right) }{h} \\ \\
& = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \cdot ln \left( 1+\frac{h}{x_0} \right) \\ \\
& = \lim_{h \to 0} ln \left( 1+\frac{h}{x_0} \right)^{\frac{1}{h}}.
\end{align*}

Consideremos $t = \frac{h}{x_0}$. Notemos que cuando $h \to 0,$ se tiene que $t \to 0$. Además, se sigue que $\frac{1}{h} = \frac{1}{x_0} \cdot \frac{1}{t}$. Así, podemos sustituir el límite anterior de la siguiente forma

\begin{align*}
\lim_{h \to 0} ln \left( 1+\frac{h}{x_0} \right)^{\frac{1}{h}} & = \lim_{t \to 0} ln \left( 1+t \right)^{\frac{1}{x_0} \cdot \frac{1}{t}} \\ \\
& = \lim_{t \to 0} ln \left( \left( 1+t \right)^{\frac{1}{t}} \right)^{\frac{1}{x_0}} \\ \\ 
& = \lim_{t \to 0} \frac{1}{x_0} \cdot ln \left( 1+t \right)^{\frac{1}{t}}. \\ \\
\end{align*}

Tomemos $n = \frac{1}{t}$. Cuando $t \to 0$, se tiene que $n \to \infty$. Además, $t = \frac{1}{n}$. De la expresión anterior se sigue que

\begin{align*}
\lim_{t \to 0} \frac{1}{x_0} \cdot ln \left( 1+t \right)^{\frac{1}{t}} & = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{x_0} \cdot ln \left( 1+\frac{1}{n} \right)^{n} \\ \\
& = \frac{1}{x_0} \cdot \lim_{n \to \infty} ln \left( 1+\frac{1}{n} \right)^{n} \\ \\ 
& = \frac{1}{x_0} \cdot ln(e) \\ \\
& = \frac{1}{x_0}.
\end{align*}

$$\therefore ln'(x_0) = \frac{1}{x_0}.$$

$\square$

Corolario. La función $f(x) = ln(x)$ es continua.

Función exponencial

Ahora probaremos que la función exponencial es derivable en todo su dominio y, por tanto, también es continua.

Teorema. La función $f: \RR \to \RR$ definida como $f(x) = e^x$ es derivable para todo $x \in \RR$, y su derivada es $f'(x) = e^{x}.$

Demostración.

Veamos el siguiente límite

\begin{align*}
\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} & = \lim_{h \to 0} \frac{e^{x_0+h}-e^{x_0}}{h} \\ \\
& = \lim_{h \to 0} \frac{e^{x_0}e^{h}-e^{x_0}}{h} \\ \\
& = \lim_{h \to 0} e^{x_0} \cdot \frac{e^{h}-1}{h}. \\ \\
\end{align*}

Consideremos $t = e^{h}-1$, se sigue que $h = ln(t+1)$, además cuando $h \to 0$, se tiene que $t \to 0$. Así, de la expresión anterior tenemos

\begin{align*}
\lim_{h \to 0} e^{x_0} \cdot \frac{e^{h}-1}{h} & = \lim_{t \to 0} e^{x_0} \cdot \frac{t}{ln(t+1)} \\ \\
& = e^{x_0} \cdot \lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{t}}{\frac{1}{t}} \cdot \frac{t}{ln(t+1)} \\ \\
& = e^{x_0} \cdot \lim_{t \to 0} \frac{1}{\frac{1}{t} ln(t+1)} \\ \\
& = e^{x_0} \cdot \lim_{t \to 0} \frac{1}{ln(t+1)^{\frac{1}{t}}} \\ \\
& = e^{x_0} \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1}{ln(1+\frac{1}{n})^n}, \text{ considerando } n =\frac{1}{t} \\ \\
& = e^{x_0} \cdot \frac{1}{ln(e)} \\ \\
& = e^{x_0}.
\end{align*}

$$\therefore f'(x_0) = e^{x_0}.$$

$\square$

Corolario. La función $f(x) = e^x$ es continua.

Algunos ejemplos

Para los siguientes ejemplos haremos uso de las reglas de la derivada que conocemos hasta ahora, incluyendo la derivada de las funciones revisadas en esta entrada.

Ejemplo 1. Encuentra la derivada de $f(x) = ln \left( x+\sqrt{x^2+1} \right)$.

\begin{align*}
f'(x) & = \left( ln \left( x+\sqrt{x^2+1} \right) \right)’ \\ \\
& = ln’\left( x+\sqrt{x^2+1} \right) \cdot \left( x+\sqrt{x^2+1} \right)’ \text{, por la regla de la cadena} \\ \\
& = \frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}} \cdot \left( (x)’+(\sqrt{x^2+1})’ \right) \\ \\
& = \frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}} \cdot \left( 1+ \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot (x^2+1)’ \right) \\ \\
& = \frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}} \cdot \left( 1+ \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot 2x \right) \\ \\
& = \frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}} \cdot \left( 1+ \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \right) \\ \\
& = \frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}} \cdot \left( \frac{\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}} \right) \\ \\
& = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}.
\end{align*}

$$\therefore f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}.$$

Ejemplo 2. Encuentra la derivada de la función $f(x) = x^6e^{\sqrt{x}}.$

\begin{align*}
f'(x) & = x^6 (e^{\sqrt{x}})’+e^{\sqrt{x}} (x^6)’ \\ 
& = x^6 ( e^{\sqrt{x}} \cdot (\sqrt{x})’)+6x^5e^{\sqrt{x}} \\
& = x^6 (e^{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}})+6x^5e^{\sqrt{x}} \\
& = \frac{x^6e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}+6x^5e^{\sqrt{x}}.
\end{align*}

$$\therefore f'(x) = \frac{x^6e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}+6x^5e^{\sqrt{x}}.$$

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  • Prueba que la derivada de $f(x)=a^x$ con $a>0$, es $f'(x) = ln(a) a^x$. Sugerencia: Considera que $f(x) = a^x =e^{xln(a)}$ y emplea la regla de la cadena.
  • Sea $c \in \RR$ un real fijo y consideremos $f: A \subset (0, \infty) \to \RR$, tal que $f(x) = x^c$. Prueba que $f$ es derivable en todo su dominio y su derivada es $f'(x) = cx^{c-1}$. Sugerencia: Considera que $f(x) = x^c = e^{cln(x)}$ y emplea la regla de la cadena.
  • Encuentra la derivada de la función $f(x) = e^{x^2}+ln(x^2)$.
  • Encuentra la derivada de la función $f(x) = ln(x+\sqrt{x^2+x})$.
  • Encuentra la derivada de la función $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}e^{x^2}$.

Más adelante…

Antes de continuar con el estudio de la derivada de funciones trigonométricas, deberemos desarrollar otra herramienta que nos será muy útil: la derivada de las funciones inversas. En la siguiente entrada veremos cómo derivar la inversa de una función, así como las restricciones existentes para que esto sea posible.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»