Introducción

En esta entrada hablaremos sobre un par de puntos conjugados isogonales del triángulo, los puntos de Brocard, que surgen de una construcción particular de circunferencias tangentes a los lados del triángulo.

Puntos de Brocard

Definición y notación. Dado un triángulo $\mathrm{△}ABC$, considera $\mathrm{\Gamma }(BC)$ la circunferencia tangente a $BC$ en $B$ que pasa por $A$, $\mathrm{\Gamma }(CA)$ la circunferencia tangente a $CA$ en $C$ que pasa por $B$, $\mathrm{\Gamma }(AB)$ la circunferencia tangente a $AB$ en $A$ que pasa por $C$. Llamaremos a este conjunto de circunferencias, grupo directo de circunferencias.

De manera análoga, la circunferencia $\mathrm{\Gamma }(CB)$ tangente a $BC$ en $C$ que pasa por $A$, la circunferencia $\mathrm{\Gamma }(AC)$ tangente a $CA$ en $A$ que pasa por $B$ y la circunferencia $\mathrm{\Gamma }(BA)$ tangente a $AB$ en $B$ que pasa por $C$, seran referidas como grupo indirecto de circunferencias.

Teorema 1. Las tres circunferencias del grupo directo (indirecto) asociado a un triángulo tienen un punto en común, al punto de concurrencia $\mathrm{\Omega }$ $({\mathrm{\Omega }}^{\prime })$ se le conoce como primer (segundo) punto de Brocard.

Demostración. Sean $\mathrm{△}ABC$ y $\mathrm{\Omega }=\mathrm{\Gamma }(BC)\cap \mathrm{\Gamma }(CA)$, considera $D\in \stackrel{⌢}{AB}$ arco de $\mathrm{\Gamma }(BC)$, recorrido en ese sentido.

Como $\mathrm{\angle }CBA$ es un ángulo semiinscrito de $\mathrm{\Gamma }(BC)$ entonces $\mathrm{\angle }BDA=\mathrm{\angle }CBA$, por lo tanto, $\mathrm{\angle }A\mathrm{\Omega }B=\pi –\mathrm{\angle }B$.

De manera análoga vemos que $\mathrm{\angle }B\mathrm{\Omega }C=\pi –\mathrm{\angle }C$.

En consecuencia,
$\mathrm{\angle }C\mathrm{\Omega }A=2\pi –(\mathrm{\angle }A\mathrm{\Omega }B)–(\mathrm{\angle }B\mathrm{\Omega }C)$
$=2\pi –(\pi –\mathrm{\angle }B)–(\pi –\mathrm{\angle }C)=\mathrm{\angle }B+\mathrm{\angle }C$
$=\pi –\mathrm{\angle }A$.

Por otra parte, como $\mathrm{\angle }BAC$ es un ángulo semiinscrito de $\mathrm{\Gamma }(AB)$, entonces todos los puntos en el arco $\stackrel{⌢}{CA}$, recorrido en ese sentido, subtienden un ángulo $\mathrm{\angle }A$ con la cuerda $CA$, por lo tanto, el arco $\stackrel{⌢}{AC}$ es el lugar geométrico de los puntos que subtienden con la cuerda $CA$ un ángulo igual a $\pi –\mathrm{\angle }A$.

En conclusión $\mathrm{\Omega }\in \mathrm{\Gamma }(AB)$.

La demostración es análoga para el caso del grupo indirecto.

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Corolario 1. Los dos puntos de Brocard son los únicos puntos dentro de un triángulo $\mathrm{△}ABC$ que tienen la siguiente propiedad:
$i)$ $\mathrm{\angle }BA\mathrm{\Omega }=\mathrm{\angle }CB\mathrm{\Omega }=\mathrm{\angle }AC\mathrm{\Omega }$,
$ii)$ $\mathrm{\angle }{\mathrm{\Omega }}^{\prime }AC=\mathrm{\angle }{\mathrm{\Omega }}^{\prime }CB=\mathrm{\angle }{\mathrm{\Omega }}^{\prime }BA$.

Demostración. $i)$ $\mathrm{\angle }BA\mathrm{\Omega }$ y $\mathrm{\angle }CB\mathrm{\Omega }$ son ángulos inscrito y semiinscrito respectivamente de $\mathrm{\Gamma }(BC)$ que abarcan el mismo arco, por lo tanto son iguales.

De manera análoga vemos que $\mathrm{\angle }CB\mathrm{\Omega }=\mathrm{\angle }AC\mathrm{\Omega }$.

Por otro lado supongamos que existe un punto $F$ dentro de $\mathrm{△}ABC$ tal que $\mathrm{\angle }BAF=\mathrm{\angle }CBF=\mathrm{\angle }ACF$, considera el circuncírculo de $\mathrm{△}ABF$, como $\mathrm{\angle }CBF$ es igual al ángulo inscrito $\mathrm{\angle }BAF$, entonces $BC$ debe ser tangente al circuncírculo de $\mathrm{△}ABF$ en $B$, por lo tanto, $F\in \mathrm{\Gamma }(BC)$.

De manera análoga vemos que $F\in \mathrm{\Gamma }(CA)$ y $F\in \mathrm{\Gamma }(AB)$ por lo tanto $F$ coincide con $\mathrm{\Omega }$.

$ii)$ Se muestra de manera similar.

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Ángulo de Brocard

Corolario 2. Los puntos de Brocard son puntos conjugados isogonales.

Demostración. Si $X$ es el conjugado isogonal de $\mathrm{\Omega }$ entonces (figura 1)
$\mathrm{\angle }BA\mathrm{\Omega }=\mathrm{\angle }XAC$,
$\mathrm{\angle }CB\mathrm{\Omega }=\mathrm{\angle }XBA$,
$\mathrm{\angle }AC\mathrm{\Omega }=\mathrm{\angle }XCB$.

Pero $\mathrm{\angle }BA\mathrm{\Omega }=\mathrm{\angle }CB\mathrm{\Omega }=\mathrm{\angle }AC\mathrm{\Omega }=\omega$, por lo tanto, el conjugado isogonal de $\mathrm{\Omega }$ respecto a $\mathrm{△}ABC$ cumple que $\mathrm{\angle }XAC=\mathrm{\angle }XBA=\mathrm{\angle }XCB$.

Como ${\mathrm{\Omega }}^{\prime }$ es el único punto que tiene esa propiedad dentro de $\mathrm{△}ABC$ entonces $X={\mathrm{\Omega }}^{\prime }$.

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Definición 2. Los segmentos $A\mathrm{\Omega }$, $A{\mathrm{\Omega }}^{\prime }$; $B\mathrm{\Omega }$, $B{\mathrm{\Omega }}^{\prime }$; $C\mathrm{\Omega }$, $C{\mathrm{\Omega }}^{\prime }$, se conocen como rayos de Brocard y el ángulo $\mathrm{\angle }BA\mathrm{\Omega }=\mathrm{\angle }{\mathrm{\Omega }}^{\prime }AC=\omega$ se conoce como ángulo de Brocard.

Definición 3. Los lados del triángulo anticomplementario de un triángulo dado (las rectas paralelas a los lados de un triángulo por los vértices opuestos), se llaman exmedianas del triángulo dado.

Teorema 2. Una exsimediana, una exmediana y un rayo de Brocard, cada una por un vértice distinto de un triángulo dado, son concurrentes.

Demostración. En $\mathrm{△}ABC$ sea $B\mathrm{\Omega }$ el rayo de Brocard que pasa por el primer punto de Brocard y $D$ la intersección de este rayo con la exmediana por $A$.

Como $AD\parallel BC$ entonces $\mathrm{\angle }CAD=\mathrm{\angle }C$ y $\mathrm{\angle }ADB=\mathrm{\angle }CB\mathrm{\Omega }=\omega =\mathrm{\angle }AC\mathrm{\Omega }$, por lo tanto, $\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}A\mathrm{\Omega }CD$ está inscrito en $\mathrm{\Gamma }(AB)$.

Por el corolario 1, $\mathrm{\angle }C\mathrm{\Omega }A=\mathrm{\angle }B+\mathrm{\angle }C$, esto implica que $\mathrm{\angle }ADC=\mathrm{\angle }A$, por lo tanto, $\mathrm{\angle }DCA=\mathrm{\angle }B$.

Como resultado $CD$ es exsimediana de $\mathrm{△}ABC$, es decir, es tangente al circuncírculo de $\mathrm{△}ABC$ en $C$.

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Corolario 3. El ángulo de Brocard $\omega$ de un triángulo $\mathrm{△}ABC$ satisface la siguiente igualdad $\cot \omega =\cot \mathrm{\angle }A+\cot \mathrm{\angle }B+\cot \mathrm{\angle }C$

Demostración. En la figura anterior sean $H_a$, $H_d$ las proyecciones de $A$ y $D$ en $BC$, como $\mathrm{\angle }DCA=\mathrm{\angle }B$ entonces $\mathrm{\angle }{H}_{d}CD=\mathrm{\angle }A$, por lo tanto,
$\cot \omega ={\displaystyle \frac{B{H}_d}{D{H}_d}}$
$={\displaystyle \frac{B{H}_a}{D{H}_d}}+{\displaystyle \frac{H_{a}C}{D{H}_d}}+{\displaystyle \frac{C{H}_d}{D{H}_d}}$
$={\displaystyle \frac{B{H}_a}{A{H}_a}}+{\displaystyle \frac{H_{a}C}{A{H}_a}}+{\displaystyle \frac{C{H}_d}{D{H}_d}}$
$=\cot \mathrm{\angle }B+\cot \mathrm{\angle }C+\cot \mathrm{\angle }A$.

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Construcción de un triángulo dado su ángulo de Brocard

Problema. Construye un triángulo, dados un lado, un ángulo y $\omega$, su ángulo de Brocard.

Solución. Sea $\mathrm{\angle }{B}^{\prime }A{C}^{\prime }$ el ángulo dado, en $A{C}^{\prime }$ tomamos un punto $C$ arbitrario, sobre $CA$ y con vértice en $C$ abrimos un ángulo igual a $\omega$ en el sentido contrario al de las manecillas del reloj, hacemos lo mismo pero esta vez sobre $AB$ en y vértice en $A$.

La intersección de los segundos lados de los ángulos construidos será $\mathrm{\Omega }$, el primer punto de Brocard, ahora sobre $\mathrm{\Omega }C$ construimos el lugar geométrico de los puntos que subtienden un ángulo igual a $\omega$ con los puntos $\mathrm{\Omega }$ y $C$, el cual es un arco de circunferencia.

Este arco puede intersecar a $A{B}^{\prime }$ en dos puntos $B$ y $B^{″}$, entonces obtenemos $\mathrm{△}ABC$ y $\mathrm{△}AC{B}^{″}$, sin embargo, estos dos triángulos son semejantes, si este arco no interseca a $AB$ entonces no hay solución.

$\mathrm{△}ABC$ es semejante al triangulo requerido, el cual puede ser construido a partir del lado dado.

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Triángulo circunscrito de ceva de los puntos de Brocard

Teorema 3.
$i)$ Los rayos de Brocard intersecan otra vez al circuncírculo del triángulo, en tres puntos que forman un triángulo congruente con el triángulo original,
$ii)$ este triángulo puede ser obtenido rotando el triángulo original un ángulo igual a dos veces su ángulo de Brocard con centro en el circuncentro,
$iii)$ el primer (segundo) punto de Brocard del triángulo original es el segundo (primer) punto de Brocard del triángulo rotado.

Demostración. Sea $\mathrm{\Omega }$ el punto positivo de Brocard de $\mathrm{△}ABC$, consideremos $B^{\prime }$, $C^{\prime }$, $A^{\prime }$ las segundas intersecciones de $A\mathrm{\Omega }$, $B\mathrm{\Omega }$, $C\mathrm{\Omega }$ con el circuncírculo de $\mathrm{△}ABC$.

Entonces,
$\mathrm{\angle }{B}^{\prime }{A}^{\prime }{C}^{\prime }=\mathrm{\angle }{B}^{\prime }{A}^{\prime }C+\mathrm{\angle }C{A}^{\prime }{C}^{\prime }=\mathrm{\angle }{B}^{\prime }AC+\mathrm{\angle }CB{C}^{\prime }=\mathrm{\angle }{B}^{\prime }AC+\omega =\mathrm{\angle }BAC$.

Igualmente vemos que $\mathrm{\angle }B=\mathrm{\angle }{B}^{\prime }$ y $\mathrm{\angle }{C}^{\prime }=\mathrm{\angle }C$.

Como $\mathrm{△}ABC$ y $\mathrm{△}{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ son semejantes y están inscritos en el mismo circulo, entonces son congruentes.

Por otro lado, $\mathrm{\angle }AO{A}^{\prime }=2\mathrm{\angle }AC{A}^{\prime }=2\omega$.

Finalmente $\mathrm{\angle }\mathrm{\Omega }{A}^{\prime }{C}^{\prime }=\mathrm{\angle }C{A}^{\prime }{C}^{\prime }=\mathrm{\angle }CB{C}^{\prime }=\omega$.

Similarmente, $\mathrm{\angle }\mathrm{\Omega }{C}^{\prime }{B}^{\prime }=\omega =\mathrm{\angle }\mathrm{\Omega }{B}^{\prime }{A}^{\prime }$.

Por lo tanto $\mathrm{\Omega }$ es el segundo punto de Brocard de $\mathrm{△}{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$.

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Corolario 4. Los dos puntos de Brocard de un triángulo son equidistantes del circuncentro del triángulo.

Demostración. Si partimos esta vez del triángulo $\mathrm{△}{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ y hacemos una rotación un ángulo igual a $2\omega$ con centro en $O$ en el sentido de las manecillas del reloj, entonces su segundo punto de Brocard coincidirá con el segundo punto de Brocard de $\mathrm{△}ABC$.

Ya que el segundo punto de Brocard de $\mathrm{△}{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, es el primer punto de Brocard de $\mathrm{△}ABC$, entonces estos puntos son equidistantes a $O$.

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Triángulo pedal de los puntos de Brocard

Corolario 5. El triángulo pedal del primer (segundo) punto de Brocard es semejante a su triángulo de referencia, además el primer (segundo) punto de Brocard es el mismo para ambos triángulos.

Demostración. En la figura anterior, sean ${\mathrm{\Omega }}_a$, ${\mathrm{\Omega }}_b$, ${\mathrm{\Omega }}_c$, las proyecciones de $\mathrm{\Omega }$ en $BC$, $CA$, $AB$, respectivamente.

En la entrada anterior mostramos que para cualquier punto $\omega$, su triángulo pedal $\mathrm{△}{\mathrm{\Omega }}_a{\mathrm{\Omega }}_b{\mathrm{\Omega }}_c$, es semejante a su triángulo circunscrito de Ceva respecto de $\mathrm{△}{B}^{\prime }{C}^{\prime }{A}^{\prime }$.

Por el teorema anterior, $\mathrm{△}ABC\cong \mathrm{△}{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, por lo tanto $\mathrm{△}{\mathrm{\Omega }}_c{\mathrm{\Omega }}_a{\mathrm{\Omega }}_b\sim \mathrm{△}ABC$.

Por otro lado, como $\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}{\mathrm{\Omega }}_{c}B{\mathrm{\Omega }}_a\mathrm{\Omega }$ es cíclico entonces
$\mathrm{\angle }\mathrm{\Omega }{\mathrm{\Omega }}_c{\mathrm{\Omega }}_a=\mathrm{\angle }\mathrm{\Omega }B{\mathrm{\Omega }}_a=\omega$.

Igualmente vemos que $\mathrm{\angle }\mathrm{\Omega }{\mathrm{\Omega }}_a{\mathrm{\Omega }}_b=\omega =\mathrm{\angle }\mathrm{\Omega }{\mathrm{\Omega }}_b{\mathrm{\Omega }}_c$.

La prueba es análoga para el caso del segundo punto de Brocard.

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Corolario 6. Los triángulos pedales de los dos puntos de Brocard de un triángulo son congruentes.

Demostración. Como los dos puntos de Brocard de un triángulo son conjugados isogonales, entonces sus triangulo pedales tienen el mismo circuncírculo y como son semejantes, entonces son congruentes.

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Más adelante…

Continuando con el tema de geometría de Brocard, en la siguiente entrada hablaremos de la circunferencia de Brocard, veremos que los puntos de Brocard están en esta circunferencia y que estos permiten la construcción de un triángulo que es semejante y esta en perspectiva con el triángulo original.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

1. Prueba que $\cot \omega ={\displaystyle \frac{a^2+b^2+c^2}{4(\mathrm{△}ABC)}}$.
2. Muestra que el valor del ángulo de Brocard $\omega$ de un triángulo es a lo mas ${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$.
3. Muestra que los triángulos antipedales de los puntos de Brocard son semejantes a su triangulo de referencia.
4. Construye un triángulo dados dos lados indefinidos y un punto de Brocard.
5. Muestra que un rayo de Brocard, una mediana y una simediana, cada uno por un vértice distinto de un triángulo, son concurrentes.

Entradas relacionadas

• Ir a Geometría Moderna I.
• Entrada anterior del curso: Rectas isogonales.
• Siguiente entrada del curso: Circunferencia de Brocard.
• Otros cursos.

Fuentes

• Altshiller, N., College Geometry. New York: Dover, 2007, pp 274-278.
• Johnson, R., Advanced Euclidean Geometry. New York: Dover, 2007, pp 263-270.
• Honsberger, R., Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Washington: The Mathematical Association of America, 1995, pp 99-106.
• Shively, L., Introducción a la Geómetra Moderna. México: Ed. Continental, 1961, pp 71-73.
• Aref, M. y Wernick, W., Problems and Solutions in Euclidean Geometry. New York: Dover, 2010, pp 188-191.

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»