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Probabilidad I-Videos: Distribución Bernoulli

Por Aurora Martínez Rivas

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Introducción

En esta ocasión estudiaremos una distribución de probabilidad discreta que resulta ser un bloque de construcción básico para otras distribuciones del mismo tipo. Se trata de la distribución Bernoulli, la cual obtiene su nombre por el matemático suizo Jacob Bernoulli (1654-1705), quien fue el primero en formalizar este modelo.

Distribución Bernoulli

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE 104721: “Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM”. Sitio web del proyecto: https://www.matematicasadistancia.com.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  • Sea $X$ una variable aleatoria tal que $X\sim Bernoulli\left ( p\right ) $. Encuentra la distribución de probabilidad de la variable $1-X$.
  • Sea $X$ una variable aleatoria tal que $X\sim Bernoulli\left ( \theta\right ) $. Encuentra la distribución de probabilidad de la variable $$\begin{array}{ll} a) & X^{n} \\ b) & \left ( 1-X\right ) ^{n} \end{array}$$
  • Sea $X$ una variable aleatoria tal que $X\sim Bernoulli\left ( p\right ) $  y sean $a$ y $b$ constantes con $a\neq 0$. Sea $Y$ la variable aleatoria definida como $Y=aX+ b$. Encuentra la distribución de probabilidad de $Y$.
  • Considera el experimento en el que se prueba un medicamento en personas que contraen cierta enfermedad para ver si funciona y se recuperan. La probabilidad de que un paciente se recupere es .7. Si se sabe tres personas han contraído dicha enfermedad, ¿Cuál sería la función de masa de probabilidad asociada a este experimento?
  • Tomando en cuenta el ejercicio anterior, ¿Cuál sería la función de masa de probabilidad si son $n$ las personas que se han enfermado?, explica tu respuesta.

Más adelante…

Los ensayos Bernoulli conforman un modelo teórico que solo con experiencia se puede determinar si es apropiado para describir observaciones específicas. Asegurar que un experimento, se ajusta a un ensayo Bernoulli se deriva casi siempre de evidencia experimental y en muchas ocasiones puede servir como un indicador de problemas que en cierto proceso pudieran presentarse.

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L

Probabilidad I-Videos: Variables aleatorias discretas

Por Aurora Martínez Rivas

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Introducción

Una vez que se realiza un experimento y se conoce un resultado particular de nuestro espacio muestral, una variable aleatoria toma algún valor numérico. En general, es más probable que este valor numérico se encuentre en ciertos subconjuntos de los números reales. La naturaleza de estos subconjuntos es de lo que depende el cálculo de las probabilidades asociadas a cada variable aleatoria.

En este video estudiaremos aquellas variables aleatorias que toman sus posibles valores de un subconjunto a lo más numerable de números reales.

Variables aleatorias discretas

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE 104721: “Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM”. Sitio web del proyecto: https://www.matematicasadistancia.com.

Tarea moral

  • Demuestra que si $X$ y $Y$ son variables aleatorias tal que $Y=g\left ( x\right )$, entonces $Y$ tiene función de masa de probabilidad igual a $\displaystyle \sum_{x:g\left ( x\right ) =y} {f_X(x)}$.
  • Para que valores de la constante $k$ ,las siguientes definen funciones de masa de probabilidad sobre el conjunto de los números naturales? $$\begin{array}{ll} i) & f\left ( x\right ) =k2^{-x} \\ ii) & f\left ( x\right ) =\frac{k2^x} {x!} \end{array}$$
  • Si $X$ y $Y$ son variables aleatorias con función de masa de probabilidad igual a la dada en el ejercicio anterior, inciso $i$ y $ii$ respectivamente, encuentra: $$\begin{array}{ll} I) & P\left ( X>1\right ) \\ & P\left ( Y>1\right ) \\ II) & La\ probabilidad\ de\ que\ X\ sea\ par. \\ & La\ probabilidad\ de\ que\ Y\ sea\ par. \end{array}$$
  • Si la función de distribución de $X$ está dada por $$F\left ( x\right ) = \left \{ \begin{array}{ll} 0 & para\ x<0 \\ \frac{1} {16} & para\ 0\le x<1 \\ \frac{5} {16} & para\ 1\le x<2 \\ \frac{11} {16} & para\ 2\le x<1 \\ \frac{15} {16} & para\ 3\le x<4 \\ 1 & para\ x\geq 4 \end{array} \right.$$ encuentra la distribución de probabilidad de $X$.
  • Si la función de distribución de $X$ está dada por $$F\left ( x\right ) = \left \{ \begin{array}{ll} 0 & para\ x<1 \\ \frac{1} {3} & para\ 1\le x<4 \\ \frac{1} {2} & para\ 4\le x<6 \\ \frac{5} {6} & para\ 6\le x<10 \ 1 & para\ x\geq 1 \end{array} \right.$$ encuentra: $$\begin{array}{ll} i) & P\left ( 2<X\le 6\right ) \\ ii) & P\left ( X=4\right ) \end{array}$$

Más adelante…

Es importante ahora estudiar algunos casos particulares de distribuciones de probabilidad, para variables aleatorias discretas que surgen de tipos comunes de experimentos, pues el conocimiento de estas, elimina la necesidad de resolver los mismos problemas de probabilidad una y otra vez.

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