Introducción

Ya analizado en el anterior tema, la inversión de rectas y circunferencias, es momento de ver como la inversión hace conservación de ángulos.

Conservación de ángulos y razón cruzada

Teorema. La inversión es una transformación, que preserva ángulos e invierte orientación.

Demostración. Para ello lo demostraré de dos maneras distintas:

1.º Forma

Se tiene una circunferencia de inversión $C_o(O,r)$, $A$ y $B$ circunferencias que se intersecan, y sea $P$ uno de los puntos de intersección, además se tiene $P^{\prime }$ inversa de $P$.
Ahora construyamos la circunferencia $C$ tangente a $A$ en $P$ y que pase por $P^{\prime }$, de igual forma se construye $D$ tangente a $B$ en $P$ y que pase por $P^{\prime }$. Sea $L_1$ recta tangente a $A$ en $P$ y de igual forma tangente a $C$ en $P$, sea $L_2$ recta tangente a $B$ en $P$ y es tangente a $D$ en $P$, entonces el ángulo entre $A$ y $B$ es el mismo entre $C$ y $D$.
Como $C$ y $D$ pasan por puntos inversos, entonces son ortogonales a $C_o$ la circunferencia de inversión, $P$ y $P^{\prime }$ son ortogonales entre $A^{\prime }$ y $B^{\prime }$ dos circunferencias inversas a $A$ y $B$ respectivamente, entonces se tiene que el ángulo entre $A^{\prime }$ y $B^{\prime }$ es el mismo entre $A$ y $B$.
Por lo tanto, la inversión preserva ángulos e invierte orientación.

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2.º Forma

Sean 2 curvas que se intersecan en $P$ y $P\ne O$. Tracemos una línea por $OP$ y otra por $O$ que corte a las curvas en $Q$ y $R$, $OQR$ colineales.
Se tiene que $P$, $Q$ y $R$ tienen inversos $P^{\prime }$, $Q^{\prime }$ y $R^{\prime }$ respectivamente, entonces las inversas de dichas curvas $PQ$ y $PR$ tendrán que intersecarse en $P^{\prime }$, $Q^{\prime }$ y $R^{\prime }$ respectivamente, ahora por definición de inversión $OP\times O{P}^{\prime }=OQ\times O{Q}^{\prime }=OR\times O{R}^{\prime }$, por lo cual $\mathrm{△}OPQ\approx \mathrm{△}O{Q}^{\prime }{P}^{\prime }$ y también $\mathrm{△}OPR\approx \mathrm{△}O{R}^{\prime }{P}^{\prime }$, y si trazamos las secantes que corten a las curvas en $P$ y $P^{\prime }$, y que pase por $Q$, $R$, $Q^{\prime }$ y $R^{\prime }$, entonces

$\mathrm{\angle }OPQ=\mathrm{\angle }{P}^{\prime }{Q}^{\prime }O$, $\mathrm{\angle }OPR=\mathrm{\angle }{P}^{\prime }{R}^{\prime }O.$

Y por lo cual $\mathrm{\angle }QPR=\mathrm{\angle }{R}^{\prime }{P}^{\prime }{Q}^{\prime }$ y $\mathrm{\angle }RPQ=–\mathrm{\angle }{R}^{\prime }{P}^{\prime }{Q}^{\prime }$, ahora si se tiene el límite cuando $Q$ y $R$ tienden a $P$, entonces $Q^{\prime }$ y $R^{\prime }$ tienden a $P^{\prime }$, por lo cual $\mathrm{\angle }RPQ$ y $\mathrm{\angle }{R}^{\prime }{P}^{\prime }{Q}^{\prime }$ tienden a ser los angulos límite de la intersección de las curvas.
Por lo tanto, los ángulos preservan la inversión en magnitud pero opuestos en signo.

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Observación. Es por ello que se dice que la inversión es una transformación isogonal.

Corolario. Si dos curvas son tangente una a la otra en $P$, sus inversas son tangentes una a la otra en $P^{\prime }$.

Corolario. Objetos ortogonales se invierten en objetos ortogonales.

Corolario. Rectas paralelas se invierten en circunferencias tangentes en el centro de inversión.

Teorema. Sea $A$ una circunferencia y $A^{\prime }$ su inversa, entonces son homotéticas desde el centro de inversión.

Inversión y Distancias

Teorema. Sean $P$ y $P^{\prime }$ puntos inversos y $B$ un punto colineal a $P{P}^{\prime }$ y que corta al círculo de inversión, entonces

$B{P}^{\prime }=\frac{BP}{1+BP/r}$ y $BP=\frac{B{P}^{\prime }}{1-B{P}^{\prime }/r}.$

Demostración. Se tiene que $B{P}^{\prime }=r-O{P}^{\prime }=r-\frac{O{P}^{\prime }\times OP}{OP}$, entonces por definición de inversión:

$\begin{array}{rl}B{P}^{\prime }& =r-\frac{r^2}{OP}\\ & =r-\frac{r^2}{r+BP}\\ & =\frac{r\times BP}{r+BP}\\ & =\frac{BP}{1+BP/r}\end{array}$

$\Rightarrow B{P}^{\prime }=\frac{BP}{1+BP/r}$

Ahora

$\begin{array}{rl}BP& =OP-r\\ & =\frac{O{P}^{\prime }\times OP}{O{P}^{\prime }}-r\\ & =\frac{r^2}{O{P}^{\prime }}-r\\ & =\frac{r^2}{r-B{P}^{\prime }}-r\\ & =\frac{r\times B{P}^{\prime }}{r-B{P}^{\prime }}\\ & =\frac{B{P}^{\prime }}{1-B{P}^{\prime }/r}.\end{array}$

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Teorema. Sea $C(O,r)$ una circunferencia de inversión y $P$ y $Q$ dos puntos con inversos $P^{\prime }$ y $Q^{\prime }$ respectivamente, entonces

$P^{\prime }{Q}^{\prime }=\frac{r^2\times QP}{OP\times OQ}.$

Demostración. Se tiene por definición de inversión: $OP\times O{P}^{\prime }=r^2$ y $OQ\times O{Q}^{\prime }=r^2.$

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow OP\times O{P}^{\prime }=OQ\times O{Q}^{\prime }\\ & \Rightarrow \frac{OP}{O{Q}^{\prime }}=\frac{OQ}{O{P}^{\prime }}\\ & \Rightarrow \mathrm{△}OQP\approx \mathrm{△}O{P}^{\prime }{Q}^{\prime }\\ & \Rightarrow \frac{OP}{O{Q}^{\prime }}=\frac{OQ}{O{P}^{\prime }}=\frac{QP}{P^{\prime }{Q}^{\prime }}\\ & \Rightarrow \frac{OQ}{O{P}^{\prime }}=\frac{QP}{P^{\prime }{Q}^{\prime }}\\ & \Rightarrow P^{\prime }{Q}^{\prime }=\frac{QP\times O{P}^{\prime }}{OQ}\\ & \Rightarrow P^{\prime }{Q}^{\prime }=\frac{QP\times O{P}^{\prime }\times OP}{OQ\times OP}\\ & \Rightarrow P^{\prime }{Q}^{\prime }=\frac{r^2\times QP}{OQ\times OP}.\end{array}$

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Si $P$, $Q$ y $O$ son colineales, asumiendo $OP<OQ$.

Entonces $OP\times O{P}^{\prime }=OQ\times O{Q}^{\prime }$ y $P^{\prime }{Q}^{\prime }=O{P}^{\prime }-O{Q}^{\prime }$

$\begin{array}{rl}\Rightarrow P^{\prime }{Q}^{\prime }& =\frac{OP\times O{P}^{\prime }}{OP}\\ & =\frac{r^2}{OP}–\frac{r^2}{OQ}\\ & =r^2(\frac{OQ-OP}{OP\times OQ})\\ & =\frac{r^2\times PQ}{OP\times OQ}.\end{array}$

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Teorema de Ptolomeo. Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico convexo, entonces

$BC\times BD=BC\times AD+CD\times AB.$

Demostración. Sea una circunferencia de inversión $C(A,r)$ y se tiene una circunferencia circunscrita del cuadrilátero cíclico. La circunferencia invierte los puntos en una línea, es decir, se tiene $B^{\prime }$ inverso de $B$, $C^{\prime }$ inverso de $C$ y $D^{\prime }$ inverso de $D$, los cuales forman la línea «$L$», se muestra:

Entonces se maneja las distancias de la línea «L$,setiene$B’D’=B’C’+C’D’$ y por el teorema anterior:

$B^{\prime }{D}^{\prime }=\frac{BD\times r^2}{AB\times AD}$, $B^{\prime }{C}^{\prime }=\frac{BC\times r^2}{AB\times AC}$ y $C^{\prime }{D}^{\prime }=\frac{CD\times r^2}{AC\times AD}$

$\Rightarrow \frac{BD\times r^2}{AB\times AD}=\frac{BC\times r^2}{AB\times AC}=\frac{CD\times r^2}{AC\times AD}$

Entonces se cancelan las $r^2$ y si nos fijamos en el denominador tenemos en comun $AB$, $AD$ y $AC$. Por lo cual multiplicamos por $AB\times AD\times AC$

$\Rightarrow \frac{BD\times AB\times AD\times AC}{AB\times AD}=\frac{BC\times AB\times AD\times AC}{AB\times AC}=\frac{CD\times AB\times AD\times AC}{AC\times AD}$

Por lo tanto, $AC\times BD=BC\times AD+CD\times AB.$

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Teorema de Feuerbach

Teorema. La circunferencia de los nueve puntos del triángulo es tangente al incirculo y a los tres excirculos.

Demostración. Sea el triángulo $\mathrm{△}ABC$ con $C_I$ el incirculo y $C_E$ el excirculo, sea $BC$ la tangente a $C_1$ y $C_E$, se tiene otra tangente $B^{\prime }{C}^{\prime }$ la cual es simétrica a $BC$ con respecto a la bisectriz $AI$, de lo anterior se tienen tres cosas: $C\in AB$, $B^{\prime }\in AC$ y $A^{\prime }=BC\cap B^{\prime }{C}^{\prime }$.

Por otra parte, los puntos $A$ y $A^{\prime }$ son centros de homotecia de $C_I$ y $C_E$ respectivamente, entonces $I_E$ es dividido por $A^{\prime }$ y $A$ interna y externamente en razón de sus radios.

$\Rightarrow \frac{I{A}^{\prime }}{A^{\prime }E}=-\frac{IA}{AE}=\frac{r}{rA}$

Entonces $A$ y $A^{\prime }$ son armónicos respecto a $I$ y $E$. Trazamos perpendiculares $E$, $I$ y $A$ sobre $BC$ y sus pies los llamamos $P_e$, $P_i$ y $P_a$ respectivamente, entonces los triángulos $\mathrm{△}E{P}_e{A}^{\prime }\approx \mathrm{△}I{P}_i{A}^{\prime }\approx A{P}_a{A}^{\prime }$, entonces $P_a$ y $A^{\prime }$ son armonicos respecto a $P_i$ y $P_e$.
Ahora sea $M_A$ punto medio de $BC$ entonces también lo es de $P_i$ y $P_e$, trazamos la circunferencia $Z$ con centro $M_A$ y radio $M_A{P}_i$, entonces $A^{\prime }$ y $P_a$ son inversos respecto a $Z$

Por lo cual

$P_e{P}_i=BC-2P_{i}C=a-2(s-c)=c-b.$

Donde $a$ es el lado opuesto al vértice $A$, de igual forma $b$ es de $B$, $c$ es de $C$ y $s$ es el semiperímetro.

Entonces el radio de $z$ es de $\frac{c-b}{2}$ y $M_A{M}_B=c/2.$

Por lo cual $S=B^{\prime }{C}^{\prime }\cap M_A{M}_B.$

$\Rightarrow M_{A}S=M_A{M}_B+M_{B}S=M_A{M}_B-S{M}_B$, y $M_A{M}_B$ paralelo a $BA$ entonces $\mathrm{△}{B}^{\prime }S{M}_B\approx \mathrm{△}{B}^{\prime }{C}^{\prime }A$ por lo cual sus lados son proporcionales $\frac{S{M}_B}{C^{\prime }A}=\frac{M_B{B}^{\prime }}{A{B}^{\prime }}.$.

$\Rightarrow S{M}_B=\frac{C^{\prime }A\times B^{\prime }{M}_B}{B^{\prime }A}$

Y como $CA=C^{\prime }A$ y $B^{\prime }A=BA$ entonces

$S{M}_B=\frac{C^{\prime }A\times B^{\prime }{M}_B}{B^{\prime }A}=\frac{CA(BA-M_{B}A)}{BA}=\frac{2bc-b^2}{2c}$

$\Rightarrow M_{A}S=M_A{M}_B-S{M}_B=\frac{c}{2}–\frac{2bc-b^2}{2c}=\frac{(c-b{)}^2}{2c}.$

Así,

$M_{A}S\times M_A{M}_B=\frac{(c-b{)}^2}{2c}\times \frac{c}{2}=(\frac{c-b}{2}{)}^2.$

Y por lo cual $S$ y $M_B$ son inversos respecto a la circunferencia $Z$ con diámetro $P_i{P}_e$. El inverso de $B^{\prime }{C}^{\prime }$ es una circunferencia que pasa por $M_A$ el centro de inversión y por $P_a$ y $M_B$. Como una circunferencia está determinada por tres puntos y la circunferencia de los nueve puntos cumple esto, entonces $C_N$ es la inversa de la recta $B^{\prime }{C}^{\prime }$ con respecto a la circunferencia $Z$.
Pero el inverso de $C_I$ con respecto a $Z$ es $C_I$, al igual $C_E$ su inverso con respecto a $Z$ es $C_E$, ya que son ortogonales a $Z$; $B^{\prime }{C}^{\prime }$ es tangente a $C_I$ y $C_E$ y como la inversión conserva ángulos se sigue que la circunferencia $C_N$ será tangente a las circunferencias $C_I$ y $C_E$ (De igual forma para los otros 2 excirculos).

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Teorema. La razón cruzada es invariante bajo inversiones.

Demostración. (Se debe de interpretar como la razón cruzada entre puntos colineales y rectas concurrentes).

Sea, $C(O,r)$ circunferencia, $A$, $B$, $C$ y $D$ cuatro puntos colineales distintos de $O$, sus inversos $A^{\prime }$, $B^{\prime }$, $C^{\prime }$ y $D^{\prime }$ con respecto a $C$ y $a^{\prime }=O{A}^{\prime }$, $b^{\prime }=O{B}^{\prime }$, $c^{\prime }=O{C}^{\prime }$ y $d^{\prime }=O{D}^{\prime }.$

Ahora las razones cruzadas coinciden: $O(a^{\prime }{b}^{\prime },c^{\prime }{d}^{\prime })=o(AB,CD).$

Como la razón cruzada es una propiedad proyectiva y las inversiones respeten ángulos e invierten orientación.

$o(AB,CD)=\frac{sen\mathrm{\angle }AOC}{sen\mathrm{\angle }AOD}\times \frac{sen\mathrm{\angle }DOB}{sen\mathrm{\angle }COB}=\frac{-sen\mathrm{\angle }{A}^{\prime }O{C}^{\prime }}{-sen\mathrm{\angle }{A}^{\prime }O{D}^{\prime }}\times \frac{-sen\mathrm{\angle }{D}^{\prime }O{B}^{\prime }}{-sen\mathrm{\angle }{C}^{\prime }O{B}^{\prime }}=O(a^{\prime }{b}^{\prime },c^{\prime }{d}^{\prime }).$

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Más adelante…

Se verá como la inversión es una forma alterna de resolver problemas ya demostrados y más fáciles de ver, además se revisará un tema de importante, la circunferencia de antisimilitud.

Entradas relacionadas

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