Introducción

En esta sección mostraremos los fundamentos de uno de los términos más importantes de las matemáticas. Una descripción histórica la presenta Yanina del Carmen Rodríguez Reyes, en la tesis «Desarrollo histórico-pedagógico del concepto de compacidad» en la Universidad de Panamá, República de Panamá 2018.

«La compacidad surgió de uno de los periodos más productivos de la actividad matemática. En la segunda mitad del siglo XIX en Europa las matemáticas avanzadas comenzaron a tomar la forma que conocemos actualmente. Muchos matemáticos, incluyendo Weierstrass, Hausdorff y Dedekind estaban preocupados por los fundamentos de las matemáticas y comenzaron a hacer muchas rigurosidades de las ideas que durante siglos habían sido dadas por sentado. Mientras que algunos de los trabajos del siglo XIX se pueden remontar a las preocupaciones matemáticas de los antiguos griegos, el nivel de rigor y la abstracción refleja una revolución en el pensamiento matemático. Fréchet fue influenciado por muchos contemporáneos y predecesores pero parece que merece el crédito como el padre de la compacidad. Fue Fréchet quien dio el nombre al concepto en un documento que conduce a su tesis doctoral de 1906. Fréchet también define por primera vez espacios métricos aunque no usando ese término y de hecho incursiona en el análisis funcional proporcionando así un contexto para el cual la importancia de la compacidad se hizo indiscutible”. (Rodríguez, 2018).

Conjuntos compactos

Sea $(X,d)$ un espacio métrico y $A \subset X$. Podemos pensar en «cubrir» este subconjunto a través de otros a modo de la siguiente imagen, es decir, conjuntos cuya unión logre contener a $A.$

La cantidad de subconjuntos que forman parte de la cubierta elegida puede ser finita, numerable o no numerable, entonces, para ser formales, cada subconjunto se puede indexar con los elementos de algún conjunto $\mathcal{I}$. Así tenemos la siguiente:

Definición. Cubierta de un conjunto: Sea $A \subset X$. Decimos que una familia de subconjuntos $\mathcal{C} = \{A_{i} \subset X : i \in \mathcal{I} \}$ es una cubierta de $A$ en $X$ si
$$A \subset \underset{i \in \mathcal{I}}{\cup} \, A_{i} \,$$

Definición. Cubierta abierta: Si para toda $i \in \mathcal{I}$ se cumple que el conjunto $A_i$ es abierto, diremos que $\mathcal{C}$ es una cubierta abierta de $A$ en $X$.

Definición. Subcubierta: Si tomamos conjuntos de una cubierta $\mathcal{C}$, digamos, una familia $\mathcal{C’} \subset \mathcal{C} \, $ y $\, \mathcal{C’}$ es también una cubierta de $A$ diremos que $\mathcal{C’}$ es una subcubierta de $\mathcal{C}$.

Definición. Conjunto compacto: Sea $A$ un conjunto de un espacio métrico $(X,d)$. Decimos que $A$ es un conjunto compacto si dada cualquier cubierta abierta $\mathcal{C}$ de $A$, existe una subcubierta finita de $\mathcal{C}.$

El concepto de compacidad suele tomar mayor relevancia cuando en un espacio topológico se considera el subespacio generado por el conjunto compacto. En estos casos se le denomina espacio topológico compacto.

Según la definición, para demostrar que un conjunto $A$ no es compacto, bastará con identificar una cubierta de la cual no sea posible extraer una subcubierta finita (conjuntos cuya unión logre contener el conjunto $A$).

Ejemplos

El conjunto $\mathbb{R}$ con la métrica euclidiana no es compacto.

Demostración:
El conjunto de intervalos abiertos con centro en $0$ y radio $n, \, n \in \mathbb{N}$ es decir, $\mathcal{C}=\{(-n,n):n \in \mathbb{N}\}$ es una cubierta abierta de $\mathbb{R}.$ Pero si consideramos un subconjunto finito $\mathcal{C’} \subset \mathcal{C}$ entonces $\mathcal{C’} = \{(-k_1,k_1),(-k_2,k_2),…,(-k_m,k_m)\}$ con $k_1,k_2,…,k_m \in \mathbb{N}.$ Sea $k=máx\{k_1,k_2,…,k_m\}$ podemos ver que la unión de los elementos en $\mathcal{C’}$ es el intervalo $(-k,k)$ que claramente, no contiene a $\mathbb{R}$, por lo tanto $\mathbb{R}$ no es compacto.

Un espacio discreto es compacto si y solo si es finito

Considera un conjunto $X$ con la métrica discreta. Entonces, para cada $x \in X$ el conjunto $\{ x \}$ es abierto, así $\mathcal{C}=\{\{x\}:x \in X\}$ es una cubierta abierta de $X.$ Un subconjunto finito de esta cubierta estaría dada por $\mathcal{C’}=\{\{x_1\},\{x_2\},…,\{x_k\}\}, \, k \in \mathbb{N}$ cuya unión de conjuntos contiene $k$ elementos. Por lo tanto, si $X$ es infinito no es compacto con la métrica discreta. La prueba de que si $X$ es finito entonces es compacto se deja como ejercicio al final de esta sección.

Proposición. Si $A$ es un conjunto compacto en $(X,d)$, entonces toda sucesión en $A$ tiene una subsucesión que converge en $A$.

Demostración:
Sea $A \subset X$ compacto y $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ una sucesión en $A$. Demostraremos primero que existe un punto $x \in A$ tal que toda bola abierta con centro en $x$ tiene una subsucesión de $(x_n)$. Supón por el contrario que no es así, es decir, para todo punto $x \in A$ existe $\varepsilon_x >0$ y existe $k_x \in \mathbb{N}$ tal que para toda $k \geq k_x, \, x_k \, \notin \, B(x,\varepsilon_x).$

Proposición: Si $A \subset X$ es compacto entonces es cerrado y acotado.

Ejemplos

A continuación recordamos un resultado conocido de los cursos de cálculo:

Teorema de Heine Borel: Considera $\mathbb{R}^n$ con la métrica euclidiana y $A \subset \mathbb{R}^n.$ Entonces $A$ es un conjunto compacto si y solo si es cerrado y acotado.

No obstante, hay espacios métricos en los que no es suficiente que un conjunto sea cerrado y acotado para que sea compacto:

Ejercicio: Considera el conjunto $\mathbb{R}$ y $d$ definida como $d(x,y)=min\{1, |x-y|\}, \, x,y \in \mathbb{R}$ entonces tenemos lo siguiente:

1. $d$ es una métrica en $\mathbb{R}.$
2. $d$ induce en $\mathbb{R}$ los mismos conjuntos abiertos que la métrica usual. Entonces un conjunto es compacto en $(\mathbb{R},d)$ si y solo si lo es en $(\mathbb{R},d_2).$
3. El conjunto $[0,\infty)$ es cerrado y acotado en $(\mathbb{R},d),$ pero no es compacto, pues no lo es en $(\mathbb{R},d_2).$

Veamos una propiedad que hereda la compacidad a un subconjunto de un conjunto compacto:

Proposición: Un subconjunto cerrado $B$ de un conjunto compacto $A$ también es compacto.

Demostración:

Finalizamos esta sección con los siguientes resultados para así cumplir con una deuda pendiente.

Teorema: Considera $ \{ A_{\alpha} : \alpha \in \mathcal{A} \}$ una colección de subconjuntos compactos de un espacio métrico $(X,d).$ Si ocurre que cualquier intersección finita de elementos de $\{A_{\alpha}\}$ es no vacía, entonces la intersección de todos los elementos también es no vacía. Es decir:
$$\underset{\alpha \in \mathcal{A}}{\bigcap} \, A_{\alpha} \, \neq \emptyset$$

Demostración:
Supón por el contrario que la intersección es vacía. Sea $A_1 \in \{A_{\alpha}\}$ entonces no existe punto de $A_1$ que pertenezca al mismo tiempo, a todos los elementos de $\{A_{\alpha}\}$
Sea $C_{\alpha} := X \setminus A_{\alpha}.$ Entonces $ \{ C_{\alpha} : \alpha \in \mathcal{A} \}$ es una cubierta abierta de $A_1$ que, por ser compacto, tiene una subcubierta finita, así:
$A_1 \subset (C_{\alpha_1} \cup … \cup C_{\alpha_n})$ p.a. ${\alpha_1},…{\alpha_n}, \in \mathcal{A}$
En consecuencia $A_{\alpha_1} \cap … \cap A_{\alpha_n} = \emptyset$ lo cual no es cierto, por lo tanto
$$\underset{\alpha \in \mathcal{A}}{\bigcap} \, A_{\alpha} \, \neq \emptyset$$

Corolario: Si $ \{ A_{n} : n \in \mathbb{N} \}$ es una colección de subconjuntos compactos no vacíos de un espacio métrico $(X,d)$ tales que para cada $n \in \mathbb{N} , \, A_n \supset A_{n+1}$ se cumple que $\underset{n \in \mathbb{N}}{\bigcap} \, A_n \neq \emptyset .$

En la entrada Convergencia uniforme y continuidad se enunció el siguiente resultado. Vamos a retomarla ahora con demostración.

Proposición: Sea $A$ un espacio métrico compacto, $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ una sucesión de funciones continuas con $f_n:A \to \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}$ tal que $(f_n)$ converge puntualmente a una función continua $f$. Si para cada $x \in A$ y $n \in \mathbb{N} \, f_n(x) \geq f_{n+1}(x),$ entonces $(f_n)$ converge a $f$ uniformemente en $A.$

Demostración:
Para cada $n \in \mathbb{N}$ definimos $g_n := f_n – f.$ Entonces $(g_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ es una sucesión de funciones continuas en $A.$ Es sencillo probar que $(g_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ converge puntualmente a $0.$

Sea $\varepsilon >0.$ Ahora, para cada $n \in \mathbb{N}$ definimos un conjunto con los puntos de $A$ que bajo la función $g_n \,$ quedan fuera de la bola de radio $\varepsilon$ con centro en $0.$ Formalmente:

$A_n:= \{a \in A: g_n(a) \notin \, B(0,\varepsilon)\}$

Nota que este conjunto es complemento de la imagen inversa de la función continua $g_n \,$ en la bola abierta $B(0,\varepsilon).$ Por lo tanto $A_n$ es cerrado en $A.$ Esa propiedad se vio en Funciones continuas en espacios métricos. Arriba vimos que cada conjunto cerrado de un compacto hereda la compacidad, en consecuencia cada $A_n$ es compacto.

Nota además que para cada $n \in \mathbb{N}, \, A_{n+1} \subset A_n.$ La intersección de todos estos conjuntos es vacía, pues si existe $x_0 \in \underset{\n \in \mathbb{N}}{\cap} \, A_n$ entonces para toda $n \in \mathbb{N}, \, g_n(a) \notin \, B(0,\varepsilon)$ lo cual no puede ser, pues $g_n(x_0) \to 0.$ A partir del corolario visto un par de lineas arriba se sigue que existe $N \in \mathbb{N}$ tal que $A_N$ es vacío. Entonces, para todo $k \geq N, \, A_k = \emptyset.$ Así para cada $a \in A$ se cumple que $0 \leq g_n(a) < \varepsilon.$ Por lo tanto $(f_n)$ converge a $f$ uniformemente en $A.$

Más adelante…

Conoceremos los efectos que producen algunas funciones al ser aplicadas en conjuntos compactos. ¿Será posible conservar la compacidad al enviar conjuntos de un espacio métrico a otro? ¿Qué propiedades tendrá la imagen de una función continua?

Tarea moral

1. Resuelve el ejercicio planteado arriba.
2. Prueba que un espacio discreto finito es compacto. ¿Es necesario que tenga asociada la métrica discreta?
3. Demuestra que cada subconjunto infinito de un conjunto compacto posee un punto de acumulación en el conjunto compacto.
4. Da un ejemplo de un conjunto $A$ que sea cerrado pero no acotado y una cubierta abierta y numerable de $A$ que no tenga una subcubierta finita.
5. Prueba que si $A$ es cerrado y $B$ es compacto, entonces $A \cap B$ es compacto.
6. Prueba que la intersección arbitraria de conjuntos compactos es compacta.
7. Demuestra que una sucesión de Cauchy en un conjunto compacto es convergente.
8. Sea $(X,d)$ un espacio métrico y $A \subset X$ un conjunto compacto. Demuestra que el subespacio $(A,d)$ es completo.

Enlaces

• Análisis Matemático.
• Enlace a entrada anterior.
• Enlace a entrada siguiente.

Introducción:

En esta ocasión nos vamos a fijar en colecciones de conjuntos que están contenidos unos en otros. Vamos a suponer que es una cantidad numerable de conjuntos. El primer conjunto contiene al segundo, que a su vez contiene a un tercero y así, sucesivamente.

Ahora pensemos en la intersección de todos esos conjuntos. Intuitivamente podemos visualizar que se tratará de un conjunto muy pequeño, que estará contenido en todos los demás.

Aquí tenemos un ejemplo de una sucesión de conjuntos donde los últimos términos corresponden al mismo conjunto. La intersección de todos los conjuntos es, evidentemente, ese último conjunto

Observemos la sucesión de intervalos $[-\frac{1}{n},\frac{1}{n}]_{n \in \mathbb{N}}.$

Nota que todos tienen como elemento al cero. Además es el único elemento que pertenece a la intersección de todos los intervalos, pues si suponemos que hay otro más, dado que $\frac{1}{n} \to 0$ es posible encontrar un intervalo suficientemente pequeño, que deje fuera este elemento.

Ahora consideremos el subespacio $\mathbb{Q}$ con la métrica usual. En esta ocasión los intervalos serán $(\sqrt{2}-\frac{1}{n},\sqrt{2}+\frac{1}{n}), \, n \in \mathbb{N}.$ Queda como ejercicio al lector demostrar que la intersección de estos conjuntos es vacía en $\mathbb{Q}$.

Entonces, ¿bajo qué condiciones podremos asegurar que la intersección no es vacía pese a que los conjuntos se hagan «cada vez más pequeños» y estén contenidos unos en otros? Veamos la siguiente definición:

Definición bolas encajadas: Sea $(X,d)$ un espacio métrico y $(\overline{B}(x_n,\varepsilon_n))_{n \in \mathbb{N}} \,$ una sucesión de bolas cerradas en $X$. Si $\forall n \in \mathbb{N}$ se cumple que $\overline{B}(x_{n+1},\varepsilon_{n+1}) \subset \overline{B}(x_{n},\varepsilon_{n})$ diremos que la sucesión $(\overline{B}(x_n,\varepsilon_n))_{n \in \mathbb{N}}$ es de bolas encajadas.

Proposición principio de bolas encajadas: $(X,d)$ es un espacio métrico completo si y solo si para cualquier sucesión de bolas cerradas encajadas $(\overline{B}(x_n,\varepsilon_n))_{n \in \mathbb{N}}$ cuyos radios tienden a cero, es decir $\varepsilon_n \to 0,$ se cumple que la intersección de todas las bolas cerradas es no vacía. Además $\underset{n \in \mathbb{N}}{\cap} \, \overline{B}(x_n,\varepsilon_n) = \{x\}$ para algún $x \in X.$

Demostración:
Supongamos que $(X,d)$ es completo. Sea $(\overline{B}(x_n,\varepsilon_n))_{n \in \mathbb{N}} \,$ una sucesión de bolas encajadas. Vamos a probar primero que la sucesión de los centros de las bolas cerradas $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ es de Cauchy. Sea $\varepsilon > 0,$ como $\varepsilon_n \to 0,$ existe $N \in \mathbb{N}$ tal que $\forall \, n \geq N, \, \varepsilon_n < \frac{\varepsilon}{2}.$ Como la sucesión es de bolas encajadas, tenemos que $\forall \, l,m \geq N, \, \overline{B}(x_l,\varepsilon_l) \subset \overline{B}(x_N,\varepsilon_N)$ y $\overline{B}(x_m,\varepsilon_m) \subset \overline{B}(x_N,\varepsilon_N)$ entonces $d(x_l,x_m) \leq d(x_l,x_N) + d(x_N,x_m) \leq \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon.$ Por lo tanto $(x_n)$ es de Cauchy. Como $X$ es completo, se sigue que $x_n \to x$ para algún $x \in X$

Vamos a demostrar que $x \in \underset{n \in \mathbb{N}}{\cap} \, \overline{B}(x_n,\varepsilon_n).$ Sea $n \in \mathbb{N}.$ Como las bolas son encajadas, tenemos que $\forall k \geq n, \, B(x_k,\varepsilon_k) \subset B(x_n,\varepsilon_n)$ en consecuencia $\forall k \geq n,$ el término de la sucesión $x_k$ es elemento de $B(x_n,\varepsilon_n),$ que es un conjunto cerrado. Ya que la subsucesión formada por estos últimos términos converge en $x$ se sigue de lo que vimos en Convergencia que $x \in B(x_n,\varepsilon_n).$ Como esto ocurre $\forall n \in \mathbb{N},$ concluimos que $x \in \underset{n \in \mathbb{N}}{\cap} \, \overline{B}(x_n,\varepsilon_n).$

Para el regreso buscamos demostrar que $(X,d)$ es completo. Sea $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ una sucesión de Cauchy.

Así, la sucesión $(B(x_{N_n},\frac{1}{2^{n-1}}))_{n \in \mathbb{N}}$ es de bolas encajadas y sus radios tienden a cero. Por hipótesis sabemos que la intersección de estos conjuntos es $\{x\},$ para algún $x \in X.$ Es sencillo probar que la sucesión de centros $(x_{N_n})_{n \in \mathbb{N}}$ converge en $x$ (se dejará como ejercicio). Entonces tenemos una subsucesión de la sucesión de Cauchy $(x_n)$ que es convergente y, como vimos en entrada anterior, esto demuestra que $(x_n) \to x$ por lo que $X$ es completo.

Notemos que para asegurar la contención de un conjunto en otro, necesitamos obtener información acerca de las distancias entre sus elementos. Esto motiva una definición para conjuntos más generales que una bola cerrada:

Cuando el conjunto $\{d(x_1,x_2): x_1,x_2 \in A \}$ no es acotado, diremos que el diámetro es $\infty.$

Proposición: Sea $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ una sucesión en $(X,d)$ y para cada $N \in \mathbb{N}, \, X_N=\{x_k:k\geq N\}$ el conjunto de los términos de la sucesión que van a partir de $x_N.$ Entonces $(x_n)$ es una sucesión de Cauchy si y solo si
$$\underset{N \to \infty}{lim}\, diam \, (X_N)=0$$

Demostración:
Supón que $(x_n)$ es una sucesión de Cauchy en $X$ y sea $\varepsilon>0$. Entonces existe $K \in \mathbb{N}$ tal que $\forall \, l,m \geq K, \, d(x_l,x_m)<\varepsilon$. En consecuencia $diam\,(X_K) \leq \varepsilon.$ Como para todo $L \geq K, \, (X_L) \subset (X_K)$ se sigue que para todo $L \geq K, \, diam(X_L) \leq diam(X_K) \leq \varepsilon.$ Por lo tanto $\underset{N \to \infty}{lim}\, diam \, (X_N)=0$

Ahora supongamos que $\underset{N \to \infty}{lim}\, diam \, (X_N)=0.$ Buscamos demostrar que $(x_n)$ es de Cauchy. Sea $\varepsilon >0$, como los diámetros tienden a cero, existe $K \in \mathbb{N}$ tal que en particular $(X_K)$ satisface que $diam \, (X_K) < \varepsilon.$ Entonces $\forall \, l,m \geq K, \, d(x_l,x_m) < \varepsilon$ lo cual demuestra que $(x_n)$ es de Cauchy.

Terminemos con la siguiente:

Proposición: Sean $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}\,$ una sucesión de subconjuntos cerrados de un espacio métrico completo $(X,d)$ tales que para todo $n \in \mathbb{N}, \, A_{n+1} \subset A_{n}$ y además $\underset{n \to \infty}{lim} \, diam(A_n) \to 0.$ Entonces $\underset{n \in \mathbb{N}}{\cap}A_n=\{x\}$ para algún $x \in X$).

Demostración:
Para cada $n \in \mathbb{N}$ elegimos $x_n \in A_n.$ Entonces para cada $N \in \mathbb{N}$ el conjunto $X_N$ definido en la proposición anterior está contenido en $A_N$, pues los conjuntos están anidados. En consecuencia, $diam(X_N) \leq diam(A_n) \to 0.$ La proposición anterior nos permite concluir que $(x_n)$ es una sucesión de Cauchy. Como $X$ es completo, se sigue que $(x_n) \to x$ para algún $x \in X.$ Dejamos como ejercicio demostrar que $\underset{n \in \mathbb{N}}{\cap}A_n=\{x\}$.

¿Recuerdas la distancia de Hausdorff vista en La métrica de Hausdorff? Nota que si $A$ y $B$ son subconjuntos de $X$ entonces $d_H(A,B)\leq diam(A \cup B).$ En esa misma entrada vimos que conjuntos anidados convergen a la intersección de todos ellos, y que este conjunto está formado por los puntos de convergencia de sucesiones que tienen elementos en los conjuntos anidados. En entradas futuras veremos que los espacios compactos son cerrados. ¿Cómo justificarías las proposiciones vistas en esta entrada a partir de los resultados presentados en la métrica de Hausdorff?

Más adelante…

Veremos los conceptos de conjunto denso y conjunto nunca denso. Descubriremos un resultado que ha sido muy importante en el estudio de los espacios métricos completos: El teorema de Baire.

Tarea moral

1. Sea $\mathbb{Q}$ el subespacio de $\mathbb{R}$ con la métrica usual. Demuestra que la intersección de los intervalos $[\sqrt{2}-\frac{1}{n},\sqrt{2}+\frac{1}{n}], \, n \in \mathbb{N}$ es vacía.
2. Demuestra que si $x$ está en la intersección de bolas encajadas $\underset{n \in \mathbb{N}}{\cap} \, \overline{B}(x_n,\varepsilon_n)$ entonces es único.
3. Demuestra que la sucesión de centros $(x_{N_n})_{n \in \mathbb{N}}$ de la proposición converge en $x$.
4. Sea $A \subset X.$ Demuestra que $diam(A)=diam(\overline{A}).$
5. Da un ejemplo de un espacio métrico completo y de una sucesión de bolas cerradas en este espacio, encajadas unas en otras que tenga intersección vacía.

Enlaces

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Introducción

En la entrada anterior vimos que no es suficiente que una sucesión sea de Cauchy para asegurar que sea convergente. Hay espacios donde sí lo es y serán llamados «completos». Contar con este recurso nos permite solo tener que justificar que una sucesión satisface la condición de Cauchy cuando esto resulte ser más sencillo que demostrar su convergencia en un punto. Comencemos con la definición:

Definición espacio métrico completo y espacio de Banach: Sea $(X,d)$ un espacio métrico. Decimos que $X$ es un espacio métrico completo si toda sucesión de Cauchy $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ es convergente en $X$.
A un espacio normado que es completo con la métrica inducida por su norma le llamaremos espacio de Banach.

Ejemplos:

1. El espacio métrico euclideano $\mathbb{R}^n$ es completo. La demostración la vimos en la sección anterior. (Sucesiones de Cauchy).
2. Sea $X$ un conjunto no vacío con la métrica discreta. Entonces $X$ es completo. La demostración se propondrá como ejercicio.
3. $\mathbb{R}^n$ con la métrica $d_\infty(x,y)=máx \{ |x_1-y_1|,…,|x_n-y_n| \}$ donde $x=(x_1,…,x_n)$ y $y=(y_1,…,y_n)$ es completo.

Demostración:
Sea $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ una sucesión de Cauchy en $\mathbb{R}^n$. En la sección anterior vimos que $(x_n)$ converge en la métrica euclidiana $d_2$. Sea $x$ el punto de convergencia. En la entrada Más conceptos de continuidad vimos que $d_\infty$ y $d_2$ son métricas equivalentes, entonces para todo $\varepsilon >0$ existe $N \in \mathbb{N}$ y $c>0$ tales que para todo $n \geq N$:
$d_\infty(x_n,x)\leq c\,d_{2}(x_n,x) \leq c \frac{\varepsilon}{c}=\varepsilon$
Por lo tanto $x_n \to x$ en $(\mathbb{R}^n, d_\infty),$ lo cual demuestra que es un espacio métrico completo.

En general, la completitud no es una propiedad invariante bajo homeomorfismos. Esto es, un espacio completo puede ser homeomorfo a otro que no lo sea.

Ejemplo: El espacio euclidiano $\mathbb{R}$ es homeomorfo al subespacio $(-1,1).$

Por otro lado, la completitud sí se conserva bajo equivalencias. (Concepto visto en Más conceptos de continuidad):

Proposición: Sean $(X,d_X)$ y $(Y,d_Y)$ espacios métricos con $\phi: X \to Y$ una equivalencia entre ellos. Entonces $X$ es completo si y solo si $Y$ lo es.

Demostración:
Supongamos que $X$ es completo. Buscamos demostrar que $Y$ también lo es. Sea $(y_n)_{n \in \mathbb{N}}$ una sucesión de Cauchy en $Y$. Como $\phi$ es equivalencia entonces $\phi^{-1}$ es lipschitz continua. Considera la sucesión $\phi^{-1}(y_n)_{n \in \mathbb{N}}$ en $X$. Dadas las hipótesis, para toda $\varepsilon >0$ existe $N \in \mathbb{N}$ y $c>0$ tales que si $n,m \geq N$ entonces:
$d_X(\phi^{-1}(y_n),\phi^{-1}(y_m))\leq c\, d_Y(y_n,y_m) \leq c \, \frac{\varepsilon}{c} = \varepsilon$ lo cual prueba que la sucesión $\phi^{-1}(y_n)_{n \in \mathbb{N}}$ es de Cauchy en $X$, espacio que es completo, en consecuencia $\phi^{-1}(y_n) \to x$ en $X$ para algún $x \in X.$

Finalizamos aplicando $\phi$ a la última sucesión. En la entrada de Funciones continuas en espacios métricos vimos que podemos concluir que $\phi(\phi^{-1}(y_n)) \to \phi(x)$ en $Y$. Por lo tanto $(y_n)$ es una sucesión convergente lo cual demuestra que $Y$ es un espacio métrico completo.
El regreso es análogo y se propondrá como ejercicio al final de esta sección.

Proposición: Todo espacio normado de dimensión finita es de Banach.

Demostración:
Sea $V$ un espacio con norma asociada $\norm{\cdot}_V$ con dimensión finita $n$. En la entrada anterior probamos que el espacio euclideano $\mathbb{R}^n$ es de Banach. En la entrada Más conceptos de continuidad probamos que la norma $\norm{\cdot}_2$ es equivalente a $\norm{\cdot}_1$. De acuerdo a la proposición anterior, bastará con encontrar una equivalencia entre $(\mathbb{R}^n,\norm{\cdot}_1)$ y $(V, \norm{\cdot}_V)$.
Sea $\{e_1,…,e_n\}$ la base canónica de $\mathbb{R}^n,$ $\{v_1,…,v_n\},$ una base ordenada de $V$ y $\mathcal{L}: \mathbb{R}^n \to V$ tal que para cada $i=1,…,n, \, \mathcal{L}(e_i)=v_i.$ Es sencillo demostrar que $\mathcal{L}$ es una transformación lineal y que es también una función biyectiva. Esta afirmación se propondrá como ejercicio.
Sean $a,b \in \mathbb{R}^n$ tales que $a=\sum_{i=1}^{n}a_i e_i$ y $b=\sum_{i=1}^{n}b_i e_i$ con $a_i,b_i \in \mathbb{R}, 1\leq i\leq n.$ Sea $c=\underset{1 \leq i \leq n}{máx} \, \{ \norm{v_i}_V\},$ entonces:

\begin{align*}
\norm{\mathcal{L}(\sum_{i=1}^{n}a_i e_i) -\mathcal{L}(\sum_{i=1}^{n}b_i e_i)}_V&=\norm{\sum_{i=1}^{n}a_i \mathcal{L}(e_i)-\sum_{i=1}^{n}b_i \mathcal{L}(e_i)}_V\\
&=\norm{\sum_{i=1}^{n}a_i v_i-\sum_{i=1}^{n}b_i v_i}_V\\
&=\norm{\sum_{i=1}^{n}(a_i-b_i) v_i}_V \\
&\leq \sum_{i=1}^{n}|a_i-b_i| \norm{v_i}_V \\
&\leq \underset{1 \leq i \leq n}{máx} \, \{ \norm{v_i}_V\}\sum_{i=1}^{n}|a_i-b_i|\\
&=c \sum_{i=1}^{n}|a_i-b_i| \\
&=c \norm{a-b}_1
\end{align*}

Entonces $\mathcal{L}$ es una función Lipschitz continua. La prueba de que la inversa es Lipschitz continua se deja como ejercicio. Esto demostraría que $V$ también es un espacio de Banach.

La completitud no siempre se hereda a los subespacios de un espacio métrico completo. La siguiente proposición nos muestra las condiciones requeridas para que esto ocurra:

Proposición: Sea $(X,d)$ un espacio métrico completo y $A \subset X.$ Entonces el subespacio $(A,d)$ es completo si solo si $A$ es cerrado en $X.$

Demostración:

Ahora partamos de suponer que $A \subset X$ es cerrado. Sea $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ una sucesión de Cauchy en $A.$ Como $X$ es completo, se sigue que $x_n \to x$ en $X$ para algún $x \in X.$ Por el mismo resultado de la entrada de Convergencia concluimos que $x \in A.$ por lo tanto $x_n \to x$ en $A$ lo cual demuestra que $A$ es completo.

Ya que sabemos que un espacio normado de dimensión finita es de Banach, es natural preguntarse qué ocurre con los de dimensión infinita. Como ejemplo tenemos al espacio de los polinomios $\mathcal{P}[0,1].$ Visto como subespacio del espacio de funciones continuas $C^0[0,1]$ es de dimensión infinita pero no es cerrado. La proposición anterior nos permite concluir que $\mathcal{P}[0,1]$ no es completo. La demostración del ejemplo se puede consultar en las notas de Luis O. Manuel. El documento se encuentra en este link.

Más adelante…

Buscaremos aplicar estos resultados en conjuntos anidados, unos dentro de otros. Partir de una sucesión de Cauchy nos permitirá asegurar la existencia de un punto de convergencia, cuando estemos en un espacio completo. Conoceremos condiciones en las que dicho punto existe y pertenece a la intersección de los conjuntos anidados.

Tarea moral

1. Demuestra que si $X$ es un conjunto no vacío con la métrica discreta entonces $X$ es completo.
2. Sean $(X,d_X)$ y $(Y,d_Y)$ espacios métricos con $\phi: X \to Y$ una equivalencia entre ellos. Prueba que si $Y$ es completo entonces $X$ lo es.
3. Sea $V$ un espacio con norma asociada $\norm{\cdot}_V$ con dimensión finita $n$ y $\{v_1,…,v_n\},$ una base ordenada de $V.$ Sea $\{e_1,…,e_n\}$ la base canónica de $\mathbb{R}^n,$ y $\mathcal{L}: \mathbb{R}^n \to V$ tal que para cada $i=1,…,n, \, \mathcal{L}(e_i)=v_i.$ Demuestra que $\mathcal{L}$ es una transformación lineal y que es también una función biyectiva.
4. Prueba que la función inversa de la función del ejercicio anterior es Lipschitz continua.
5. Sea $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ una sucesión creciente y acotada en $\mathbb{R}.$ Concluye que $(x_n)$ es convergente en $\mathbb{R}$ demostrando que es de Cauchy.

Enlaces

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Introducción

En otros cursos, donde el conjunto de los números reales es el protagonista, se suele hablar de una propiedad: El conjunto $\mathbb{R}$ es completo. Esto puede concluirse a partir de 3 situaciones que son válidas en $\mathbb{R}:$

1. El axioma del supremo o de completitud.
2. La intersección de intervalos cerrados encajados cuya longitud tiende a cero es no vacía.
3. Las sucesiones de Cauchy son convergentes en $\mathbb{R}$.

En las siguientes entradas veremos cómo las propiedades $2$ y $3$ son generalizadas a los espacios métricos. La primera no es posible, por ejemplo, en conjuntos métricos que no están ordenados. Pero tampoco basta que un conjunto tenga un orden en sus elementos para que todos sus subconjuntos acotados tengan un supremo en el conjunto. Este es el caso de algunos conjuntos acotados en el subespacio $\mathbb{Q}$ que tendrán supremo en $\mathbb{R}$ pero no en $\mathbb{Q}.$ ¿Puedes dar un ejemplo?

Recordemos que en la entrada de Convergencia vista anteriormente, hablamos de sucesiones $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}\,$ que se aproximan a un punto $x$ en un espacio métrico $(X,d)$. Según la definición, $x_n \to x$ significa que dado $\varepsilon >0$ existe $N \in \mathbb{N}$ que cumple para cada $n \geq N, \, d(x_n,x)< \varepsilon.$ Esta definición compara la distancia entre cada punto de la sucesión con un punto fijo $x$. Sin embargo, ¿qué podemos decir de la distancia entre cualesquiera dos puntos de la sucesión?

Sea $\varepsilon>0$. En una sucesión convergente $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}\,$ ocurrirá que para algún $N \in \mathbb{N}$ si $n \geq N$ entonces $d(x_n,x)< \frac{\varepsilon}{2}.$

Podemos ver que mientras más se aproximan los puntos de la sucesión al punto de convergencia $x$, los puntos de la sucesión se acercan cada vez más entre ellos también.

Más aún, la desigualdad del triángulo garantiza que si $n,m \geq N$ entonces:
$$d(x_n,x_m) \leq d(x_n,x) + d(x,x_m) < \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon.$$ como lo expresa la siguiente imagen:

Esto indica que es posible identificar un término de la sucesión, a partir del cual las distancias entre cualesquiera dos de ellos será arbitrariamente pequeña. Aunque ya vimos que esto pasa en sucesiones convergentes también puede ocurrir en algunas que no lo son. Cuando las sucesiones tienen esta característica son denominadas como sigue:

Definición sucesión de Cauchy: Sea $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ una sucesión de un espacio métrico $(X,d).$ Decimos que es una sucesión de Cauchy si satisface la condición de Cauchy que es que:
$\forall \, \varepsilon>0,$ existe $N \in \mathbb{N}$ tal que $\forall \, n,m \geq N$ ocurre que $d(x_n,x_m)< \varepsilon.$

Proposición: Si una sucesión es de Cauchy entonces es acotada.

Demostración:
Sea $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ una sucesión de Cauchy. Entonces para $\varepsilon=1$ existe $N \in \mathbb{N}$ tal que $\forall \, n,m>N$ se cumple que $d(x_n,x_m)<1$ Entonces, $\forall \, m \geq N, d(x_N,x_m)< 1.$ Si definimos las distancias faltantes en los términos de la sucesión, es decir, las distancias $d_i= d(x_N,x_i)$ con $i=1,…,N-1$ y hacemos $M = máx \{ d_i,1 \} , i=1,…,N-1$ se concluye que existe una bola abierta que contiene todos los términos de la sucesión, la bola $B(x_N,M)$.

A pesar de que una sucesión convergente es de Cauchy, no toda sucesión de Cauchy es convergente.

Ejemplo: La sucesión $(\frac{1}{n})_{n \in \mathbb{N}}$ en el subespacio euclideano $(0,1]$ es de Cauchy, pero no es convergente en $(0,1].$ La demostración se deja como ejercicio.

No obstante tenemos el siguiente resultado:

Proposición: Sea $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ una sucesión de Cauchy en el espacio euclidiano $\mathbb{R}^n$, entonces la sucesión también es convergente.

Demostración:
Si el conjunto de términos de la sucesión dado por $\{ x_n \} :=\{x_n:n \in \mathbb{N}\}$ es finito entonces es convergente. (Ejercicio de la tarea moral de la entrada de Convergencia). Pero si es infinito entonces, al ser también acotado (por la proposición anterior) se sigue que el conjunto de los términos de la sucesión tiene un punto de acumulación $x \in \mathbb{R}^n$. Esto es resultado del teorema de Bolzano-Weierstrass, que se ve en los cursos de cálculo y dice que todo conjunto infinito acotado en $\mathbb{R}^n$ tiene un punto de acumulación. (La demostración puede consultarse en el libro «Análisis Matemático, Introducción Moderna al Cálculo Superior» de Tom. M. Apóstol).

Sea $\varepsilon >0$. Como $(x_n)$ es de Cauchy entonces existe $N \in \mathbb{N}$ tal que $\forall \, n,m \geq N$ ocurre que $d(x_n,x_m)<\frac{\varepsilon}{2}$.

Finalizamos esta sección con la siguiente:

Proposición: Sea $(X,d)$ un espacio métrico y $(x_n)_{n \mathbb{N}}$ una sucesión de Cauchy en $X$. Entonces $(x_n)$ es convergente si y solo si tiene una subsucesión convergente.

Demostración: Queda como ejercicio.

Más adelante…

Ya que conocemos el concepto de las sucesiones de Cauchy procederemos a explorar espacios donde este tipo de sucesiones sí es convergente. Esto motiva la definición de espacio métrico completo que conoceremos en la siguiente entrada.

Tarea moral

1. Demuestra que la sucesión $(\frac{1}{n})_{n \in \mathbb{N}}$ en el subespacio euclideano $(0,1]$ es de Cauchy, pero no es convergente en $(0,1].$
2. En la demostración de la proposición anterior, prueba que que existe un término de la sucesión $(x_n)$ de $\mathbb{R}^n$, digamos $x_k$ tal que $x_k \in B(x,\frac{\varepsilon}{2})$ con $k \geq N.$
3. Demuestra que si $(x_n)_{n \mathbb{N}}$ es una sucesión de Cauchy en un espacio $X$, entonces $(x_n)$ es convergente si y solo si tiene una subsucesión convergente.
4. Sea $X = [1,\infty)$ y sea $d(x,y)=|\frac{1}{x}-\frac{1}{y}|$. Demuestra que $d$ es una métrica en $X.$
5. Para cada $n \in \mathbb{N}$ definimos $x_n=n+1$. Prueba que la sucesión $(x_n)$ es de Cauchy en el espacio métrico del ejercicio anterior.

Enlaces

• Análisis Matemático.
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Introducción

En las ideas más abstractas de espacios métricos, se relacionan dos puntos con un número mayor o igual que cero en los reales. Si bien, este número representa la distancia entre dos puntos, puede que en principio no esté muy claro cómo se originó esa distancia, o bien, qué camino se recorrió para llegar de un punto al otro y entonces sí, justificar de alguna forma, qué tan cerca o lejos están los puntos entre sí.
No obstante, hemos visto ejemplos de espacios métricos en los que sí fue un desplazamiento lo que inspiró la métrica definida, (como en la métrica del taxista, la del ascensor o la de las piezas de ajedrez). En esta sección observaremos que es posible definir una métrica en un conjunto a partir de la existencia de caminos que «conecten» a sus puntos. Comenzamos presentando una definición más general que la de los abiertos generados por una métrica:

Definición topología: Sea $X$ un conjunto, diremos que $\tau$ es una topología de $X$ si es una familia de subconjuntos de $X$ (que llamaremos abiertos) que satisface lo siguiente:
1) Los conjuntos $X$ y $\emptyset$ son abiertos.
2) La unión arbitraria de conjuntos abiertos $\underset{\alpha \in \mathbb{A}} {\cup} \, U_{\alpha}$ es un conjunto abierto.
3) La intersección finita de conjuntos abiertos $\underset{1\leq i \leq n}{\cap}U_i$ es un conjunto abierto.
Al conjunto $(X,\tau)$ lo llamaremos espacio topológico.
Ya que los abiertos de un espacio métrico satisfacen las condiciones anteriores, se puede concluir que un espacio métrico es también un espacio topológico.

Definición camino: Un camino en un espacio topológico $(X, \tau)$ es una función continua $\gamma: I \to X$ donde $I=[a,b] \subset \mathbb{R}$.

Definición estructura por caminos: Sea $(X, \tau)$ un espacio topológico. Una estructura por caminos $(\mathcal{C},L)$ en $X$ es una clase $\mathcal{C}$ de caminos en $X$, que llamaremos admisibles. Se les asocia una función $L: \mathcal{C} \to [0, \infty]$ que llamaremos longitud de caminos.

La clase $\mathcal{C}$ satisface las siguientes condiciones:

Mientras que la función $L$ cumple que:

Ahora definamos una distancia en el conjunto $X$ a partir de una estructura por caminos $(\mathcal{C},L)$. Para cualesquiera dos puntos $x,y \in X$ consideremos la longitud de todos los caminos que conectan a $x$ con $y$. El ínfimo de esas longitudes será la distancia entre ambos puntos, es decir:
$$d_L(x,y):=inf\{L(\gamma): \gamma:[a,b] \to X, \gamma \in \mathcal{C}, \gamma (a)=x , \gamma (b) =y \}$$
Si no existe un camino que conecte a $x$ con $y$ se define $d_L(x,y) = \infty$

Entonces $(X,d_L)$ es un espacio métrico, siendo $d_L$ la métrica inducida por la estructura por caminos $(\mathcal{C},L)$.

Definición espacio métrico de caminos: Un espacio métrico cuya métrica puede ser obtenida como la función distancia de una estructura por caminos es llamado espacio métrico de caminos. La distancia asociada recibe el nombre de métrica intrínseca.

Ejemplos

En el conjunto $\mathbb{R}^2$ considera los caminos que unen a cualesquiera dos puntos $x,y \in \mathbb{R}^2$ a través de la concatenación de segmentos que son paralelos a los ejes coordenados. Como ejemplo presentamos la siguiente imagen:

Eso significa que la distancia $d_L(x,y)$ corresponderá al ínfimo de las longitudes de estos caminos. En este caso, el valor del ínfimo coincide con la longitud de los caminos que son de este estilo:

En la entrada Otros ejemplos de espacios métricos vimos que esta métrica es conocida como métrica del taxista.

No todos los espacios métricos de caminos tendrán siempre un camino cuya longitud coincida con la distancia de los puntos que une. Por ejemplo, considera el espacio $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$ Si los caminos que conectan a los puntos $(-1,0)$ y $(1,0)$ están dados por la unión de los segmentos $\overline{(-1,0),(0,b)}$ y $\overline{(0,b),(1,0)}$ como muestra la siguiente imagen:

Es posible probar que el ínfimo de estas longitudes es $2$, sin embargo, no existe un camino que tenga a $2$ como longitud. La justificación de esta conclusión se deja como ejercicio al final de esta sección.

Definición estructura por caminos completa: Cuando para cualesquiera puntos $x,y \in X$ sí existe un camino admisible cuya longitud coincide con $d_L(x,y)$ diremos que tenemos una estructura por caminos completa. La métrica que induce recibe el nombre de métrica estrictamente intrínseca.

Un subespacio que es posible deducir de un espacio métrico de caminos es uno restringido a los caminos en un conjunto. Lo expresamos en la siguiente:

Definición estructura restringida: Sea $(\mathcal{C},L)$ una estructura por caminos de $X,$ entonces induce una estructura por caminos $(\mathcal{C}|_A,L|_A)$ en un conjunto $A \subset X$ donde $\mathcal{C}|_A$ consiste de todos los caminos de $\mathcal{C}$ cuya imagen está totalmente contenida en $A$ y la función $L|_A$ es la restricción de de $L$ en $\mathcal{C}|_A$.

Es posible que en la estructura restringida las distancias entre dos puntos no se preserven.

Ejemplo
La distancia usual $\mathbb{R}^3$ puede verse como un espacio métrico de caminos donde la distancia entre dos puntos $p$ y $q$ está dada por la longitud del segmento que los une.

Más adelante…

Conoceremos sucesiones cuyos elementos se van aproximando de manera arbitraria pero que no necesariamente convergen. Veremos bajo qué condiciones sí se puede asegurar la convergencia. Esto incentivará un nuevo concepto, el de los espacios métricos completos.

Tarea moral

1. En el espacio $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$ del ejemplo anterior, donde los caminos que conectan a los puntos $(-1,0)$ y $(1,0)$ están dados por la unión de los segmentos $\overline{(-1,0),(0,b)}$ y $\overline{(0,b),(1,0)}$. Prueba que el ínfimo de las longitudes de estos caminos es $2$ y que no existe un camino que cuya longitud sea $2.$
2. Demuestra que las piezas de ajedrez vista en la entrada Otros ejemplos de espacios métricos inducen una métrica de caminos.
3. ¿Es la métrica del ascensor, vista en Otros ejemplos de espacios métricos, una métrica de caminos?

Enlaces

• Análisis Matemático.
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