$ \textit{ MATERIAL EN REVISIÓN}$

Introducción

En secciones anteriores vimos que las sucesiones de Cauchy no siempre son convergentes en un espacio métrico, pero cuando todas lo son decimos que el espacio es completo.

Si tenemos un espacio que no es completo, intuitivamente podemos pensar en agregar puntos a los que las sucesiones de Cauchy converjan, produciendo así, un espacio métrico más grande que sí sea completo. Habrá que tener cuidado en definir adecuadamente las distancias con los nuevos elementos. Podríamos preguntarnos entonces si dicha completación es posible, y más aún, si es única.

Comencemos con la siguiente:

Definición. Completación de un espacio métrico: Sea $(X,d)$ un espacio métrico. Diremos que un espacio métrico completo $(X^*,d^*)$ es una completación del espacio $X$ si cumple que:

1. $X$ es subespacio métrico de $X^*.$ Así $d$ es la métrica restringida en $X.$
2. $X$ es denso en $X^*,$ es decir $\overline{X}=X^*.$

Ejemplo: El espacio métrico $(\mathbb{R},|\cdot|)$ es una completación de $(\mathbb{Q},|\cdot|).$

Proposición: Todo espacio métrico $(X,d)$ tiene una completación y esta completación es única, salvo una aplicación isométrica que envía los puntos de $X$ en sí mismos. (Aquí vimos la definición de isometría).

Prueba unicidad

Considera $X$ un espacio métrico y dos completaciones $(X^*,d^*)$ y $(X^{**},d^{**})$ de este espacio. Para probar que son iguales salvo isometrías debemos demostrar que existe una isometría biyectiva entre ambas completaciones. La isometría se construye como sigue:

Sea $x^* \in X^*,$ como $X^*$ es completación de $X$ entonces, de acuerdo con la definición $\overline{X}=X^*,$ en consecuencia $x^* \in \overline{X}$ y existe una sucesión $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de puntos en $X,$ que converge a $x^*.$ (Resultado visto en Convergencia). Nota que la convergencia permite concluir que $(x_n)$ es de Cauchy en $X^*$ (pues $X \subset X^*$) y por tanto también lo es en $X,$ debido a que la completación debe preservar las distancias para cualesquiera dos puntos de $X.$

Como también $X \subset X^{**}$ se sigue que los términos de $(x_n)$ también pertenecen a $X^{**}$ que, al ser completo, implica que $x_n \to x^{**}$ para algún $x^{**} \in X^{**},$ (pues si la sucesión es de Cauchy en $X$ también lo es en la completación $X^{**}$).

Afirmación: El punto $x^{**}$ no depende de la sucesión elegida $(x_n)$ que converge en $x^*.$ Esto es, cualquier otra que también converja en $x^*$ en el espacio $X^*,$ igualmente convergerá a $x^{**}$ en el espacio $X^{**}.$ ¿Por qué? $\textcolor{orange}{\text{(Ejercicio como tarea moral).}}$
Para cada $x^* \in X^*$ sea $\phi(x^*)=x^{**}.$ Demostraremos que $\phi$ es la isometría buscada:

Se cumple que para todo $x \in X, \, \phi(x)=x.$ ¿Por qué? $\textcolor{orange}{\text{(Ejercicio como tarea moral).}}$ Por otra parte, si suponemos que tenemos sucesiones $(x_n), (y_n)$ cuyos términos están en $X,$ tales que:

$x_n \to x^*$ en $X^*\, $ y $\, x_n \to x^{**}$ en $X^{**};$
$y_n \to y^*$ en $X^*\, $ y $\, y_n \to y^{**}$ en $X^{**}$

entonces:

$d^*(x^*,y^*)=\underset{n \to \infty}{lim}\, d^*(x_n,y_n)=\underset{n \to \infty}{lim}\, d(x_n,y_n)$

así mismo

$d^{**}(x^{**},y^{**})=\underset{n \to \infty}{lim}\, d^{**}(x_n,y_n)=\underset{n \to \infty}{lim}\, d(x_n,y_n)$ ¿Por qué? $\textcolor{orange}{\text{(Ejercicio como tarea moral).}}$

Por lo tanto,

\begin{align*}
d^*(x^*,y^*)&=d^{**}(x^{**},y^{**})\\
&=d^{**}(\phi(x^*),\phi(y^*)).
\end{align*}

Lo cual demuestra que $\phi$ es una isometría. ¿Por qué se le puede considerar biyectiva? $\textcolor{orange}{\text{(Ejercicio como tarea moral).}}$

Prueba existencia

Antes de probar la existencia veamos la siguiente:

Definición. Sucesiones equivalentes: Sean $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}\,$ y $\,(x’_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sucesiones de Cauchy en el espacio métrico $X.$ Si ocurre que $\underset{n \to \infty}{lim} \, d(x_n,x’_n)=0$ diremos que las sucesiones son equivalentes y lo denotaremos como:
$$(x_n)\sim (x’_n)$$

Se deja como $\textcolor{orange}{\text{ejercicio como tarea moral}}$ probar que esta relación es de equivalencia (reflexiva, simétrica y transitiva). Para recordar, te recomendamos visitar Álgebra Superior I: Relaciones de equivalencia y clases de equivalencia.

Con esto se define un conjunto de clases de equivalencia, agrupando según la relación, las sucesiones de Cauchy en $X.$ Veremos que es una completación de $X.$ Probablemente esto cause confusión en este momento, pues mientras $X$ es un conjunto de puntos, la completación que proponemos tiene como elementos conjuntos de sucesiones de Cauchy. No obstante, aunque el tipo de elementos entre ambos conjuntos parezcan muy diferentes, en las próximas líneas veremos que la magia del isomorfismo admitirá considerarlos equivalentes.

Sean $[(x_n)] \,$ y $\, [(y_n)]$ dos clases de equivalencia y sean $(x_n)$ y $(y_n)$, respectivamente, representantes de clase. Definimos la distancia entre ambas clases como:
$$d^*([(x_n)],[(y_n)])=\underset{n \to \infty}{lim} \, d(x_n,y_n).$$

Entonces se considera la distancia entre un término de la sucesión $(x_n)$ y el término correspondiente en $(y_n).$ Hablar de que existe el límite de las distancias cuando $n \to \infty$ indica que en algún momento, la distancia entre pares de términos se estabiliza.

Por supuesto que habrá que demostrar que este límite existe y que esta distancia es invariante, no depende del representante de clase elegido en cada clase de equivalencia.

Probemos primero que la sucesión dada por $(d(x_n,y_n))_{n \in \mathbb{N}}$ es convergente en $\mathbb{R}$. Bastará con demostrar que es de Cauchy.

Sea $\varepsilon >0.$ Como $(x_n),(y_n)$ son de Cauchy, existen $N_1$ y $N_2 \in \mathbb{N}$ tales que

\begin{align}
\text{si } \, n,m \geq N_1 \text{ entonces } d(x_n,x_m) < \dfrac{\varepsilon}{2}\\
\text{si } \, n,m \geq N_2 \text{ entonces } d(y_n,y_m) < \dfrac{\varepsilon}{2}.
\end{align}

Sea $N=\text{máx} \, \{N_1,N_2\}.$ Se sigue que $\forall \, n,m \geq N$ se cumple que:
\begin{align*}
|d(x_n,y_n)-d(x_m,y_m)|&=|d(x_n,y_n) \textcolor{magenta}{- d(x_n,y_m)+ d(x_n,y_m)}-d(x_m,y_m)| &\textcolor{gray}{\text{(sumando un cero estratégico)}}\\
&\leq |d(x_n,y_n)- d(x_n,y_m)|+ |d(x_n,y_m)-d(x_m,y_m)| &\textcolor{gray}{\text{(desigualdad del triángulo)}}
\end{align*}

Es sencillo probar que si $u,v,w$ son elementos de un espacio métrico $(Y,d_Y)$ se satisface que

\begin{align}
|d_Y(u,v)-d_Y(u,w)|\leq d_Y(v,w). \, \textcolor{orange}{\text{ (Ejercicio como tarea moral).}}
\end{align}

Con este resultado es posible continuar con la cadena de igualdades:

\begin{align*}
|d(x_n,y_n)- d(x_n,y_m)|+ |d(x_n,y_m)-d(x_m,y_m)|&\leq d(y_n,y_m) + d(x_n,x_m) \\
&\leq \frac{\varepsilon}{2}+ \frac{\varepsilon}{2} &\textcolor{gray}{\text{(desigualdades (1) y (2) )}}\\
&= \varepsilon
\end{align*}

Entonces la sucesión $(d(x_n,y_n))_{n \in \mathbb{N}}$ es de Cauchy en $\mathbb{R}$ y converge cuando $n \to \infty.$

Ahora demostremos que la distancia entre clases no depende del representante elegido. Sean $(x_n) \sim (x’_n)$ y sean $(y_n) \sim (y’_n)$. En efecto
$$d^*([(x_n)],[(y_n)])\, \textbf{=} \, d^*([(x’_n)],[(y’_n)])$$
pues al calcular la diferencia entre estas magnitudes tenemos:

\begin{align*}
|d^*([(x_n)],[(y_n)]) \, \textbf{-} \, d^*([(x’_n)],[(y’_n)])|&=|\underset{n \to \infty}{lim} \, d(x_n,y_n)-\underset{n \to \infty}{lim} \,d(x’_n,y’_n)| &\textcolor{gray}{\text{(por definición)}}\\
&=|\underset{n \to \infty}{lim} \, (d(x_n,y_n)- \,d(x’_n,y’_n))| &\textcolor{gray}{\text{(propiedad de límites)}}\\
&=|\underset{n \to \infty}{lim}(d(x_n,y_n)\textcolor{magenta}{- d(x_n,y’_n)+ d(x_n,y’_n)}-d(x’_n,y’_n))|&\textcolor{gray}{\text{(sumando un cero estratégico)}} \\
&=|\underset{\textcolor{ForestGreen}{n \to \infty}}{\textcolor{ForestGreen}{lim}}(d(x_n,y_n)- d(x_n,y’_n))+ \underset{\textcolor{RoyalBlue}{n \to \infty}}{\textcolor{RoyalBlue}{lim}}(d(x_n,y’_n)-d(x’_n,y’_n))| &\textcolor{gray}{\text{(propiedad de límites)}}\\
&\leq |\underset{\textcolor{ForestGreen}{n \to \infty}}{\textcolor{ForestGreen}{lim}} (d(x_n,y_n)- d(x_n,y’_n))| + |\underset{\textcolor{RoyalBlue}{n \to \infty}}{\textcolor{RoyalBlue}{lim}} (d(x_n,y’_n)-d(x’_n,y’_n))| &\textcolor{gray}{\text{(desigualdad del triángulo)}}\\
&\leq \underset{\textcolor{ForestGreen}{n \to \infty}}{\textcolor{ForestGreen}{lim}} |(d(x_n,y_n)- d(x_n,y’_n))| + \underset{\textcolor{RoyalBlue}{n \to \infty}}{\textcolor{RoyalBlue}{lim}} |(d(x_n,y’_n)-d(x’_n,y’_n))| &\textcolor{gray}{\text{(propiedad de límites y $|\cdot|$)}}\\
&\leq \underset{\textcolor{ForestGreen}{n \to \infty}}{\textcolor{ForestGreen}{lim}} d(y_n,y’_n) + \underset{\textcolor{RoyalBlue}{n \to \infty}}{\textcolor{RoyalBlue}{lim}} d(x_n,x’_n) &\textcolor{gray}{\text{(desigualdad (3) )}}\\
&= 0+0 &\textcolor{gray}{\text{(por ser sucesiones equivalentes)}}\\
&= 0
\end{align*}

Por lo tanto la distancia entre clases está bien definida.

El conjunto de clases de equivalencias de sucesiones es un espacio métrico

Sean $[(x_n)], [(y_n)], [(z_n)]$ clases de equivalencia de la relación descrita arriba. Se satisfacen los axiomas:

1. $d^*([(x_n)], [(y_n)])=0$ si y solo si $[(x_n)]= [(y_n)]$
2. $d^*([(x_n)], [(y_n)])=d^*([(y_n)], [(x_n)])$
3. $d^*([(x_n)], [(y_n)]) \leq d^*([(x_n)], [(z_n)]) +d^*([(z_n)], [(y_n)])$

Dejaremos como $\textcolor{orange}{\text{ejercicio como tarea moral}}$ probar $1)$ y $2)$
Para probar $3)$ partimos de tomar representantes de clase $(x_n) \in [(x_n)], \, (y_n) \in [(y_n)] \text{ y } \,(z_n) \in [(z_n)].$ Lo siguiente es consecuencia de la desigualdad del triángulo en $d$ y la distancia entre clases definida.

\begin{align*}
&&d(x_n,y_n) &\leq d(x_n,z_n) + d(z_n,y_n)\\
&\Rightarrow & \underset{n \to \infty}{lim}d(x_n,y_n) &\leq \underset{n \to \infty}{lim}d(x_n,z_n) + \underset{n \to \infty}{lim}d(z_n,y_n)\\
&\Rightarrow& d^*([(x_n)], [(y_n)]) &\leq d^*([(x_n)], [(z_n)]) +d^*([(z_n)], [(y_n)]).
\end{align*}

Que es lo que queríamos demostrar.

o bien, si no convergen en $X$ lo harán en un punto “afuerita” de $X,$ (en la cerradura respecto al espacio completo que lo contiene). Esta misma idea nos deja imaginar la distancia entre clases como la distancia entre esos “puntos de convergencia.”

El conjunto de clases de equivalencia es una completación de $X$

Sea $X^*$ el conjunto de clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy en $X.$ Definimos $\phi:X \to X^*$ tal que para cada punto $x \in X, \,$ $\phi(x)$ es la clase de sucesiones de Cauchy que convengen en $x.$

Sean $x,y \in X$ y dos sucesiones $(x_n), (y_n)$ en $X$ tales que:
$$\underset{n \to \infty}{lim}x_n=x \, \text{ y } \, \underset{n \to \infty}{lim}y_n =y.$$
Entonces se cumple que:
\begin{align*}
d(x,y)&=\underset{n \to \infty}{lim}d(x_n,y_n) &\textcolor{orange}{\text{(ejercicio)}}\\
&=d^*([(x_n)], [(y_n)]).
\end{align*}

Por lo tanto $\phi$ es una isometría entre $X$ y $X^*$

Ahora que podemos considerar a $X$ como $\phi(X),$ demostremos que $\overline{\phi(X)}=X^*.$ En consecuencia, el espacio métrico $(X^*, d^*)$ será isométrico al espacio métrico $(\overline{\phi(X)}, d^*).$

Sea $[(x_n)] \in X^*$ y sea $\varepsilon>0.$
Buscamos demostrar que existe un elemento de $\phi(X)$ en la bola de radio $\varepsilon$ con centro en $[(x_n)],$ es decir, que su distancia a $[(x_n)]$ sea menor que $\varepsilon.$

Sea $(x_n)$ un representante de clase de $[(x_n)]$. Como es de Cauchy, existe $N \in \mathbb{N}$ tal que $\forall \, n,m \geq N$ se cumple que
$$d(x_n,x_m)< \varepsilon.$$

Entonces si consideramos la sucesión constante $(x_N),$ donde todos sus términos son $x_N,$ se sigue:
$$d^*([(x_N)],[(x_n)])= \underset{k \to \infty}{lim} \, d(x_N,x_k)< \varepsilon$$
Lo cual demuestra que $[(x_N)] \in \phi(X)$ está en la bola de radio $\varepsilon$ con centro en $[(x_n)].$ Por lo tanto $\overline{\phi(X)}$ es denso en $X^*.$

$X^*$ es completo

Sea $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ una sucesión de Cauchy en $X^*.$ Si todos los términos de la sucesión están en $\phi(X)$ entonces cada una de las clases, términos de $(x_n),$ converge en puntos de $X$ formando así una sucesión de Cauchy en $X.$

Luego, por como fue construido $X^*,$ la sucesión converge a su clase de equivalencia $[(x_n)]$ en $X^*.$
En el caso general, si la sucesión en $X^*$ es de la forma $(x^*_n)_{n \in \mathbb{N}}$ donde cada $(x^*_n)$ es una clase de equivalencia que no necesariamente tiene una sucesión constante de puntos en $X$, dada la densidad de $X$ (visto como $\phi(X)),$ para cada $n \in \mathbb{N}$ es posible elegir $x_n \in X$ tal que $x_n \in B(x^*_n,\frac{1}{n}).$ Queda como $\textcolor{orange}{\text{ ejercicio }}$ argumentar que la sucesión $(x_n)$ es de Cauchy y por tanto, vista como sucesión de clases, converge a algún $x^* \in X^*$. $\textcolor{orange}{\text{ Argumenta también }}$ por qué podemos concluir que $(x^*_n)$ también converge a $x^*.$

Con esto queda demostrada la proposición.

Más adelante…

Seguiremos trabajando con la convergencia de sucesiones, pero ahora tendrán, como términos, los valores asignados en un punto por una sucesión de funciones. Hablaremos de los valores a los que una sucesión de funciones converge y veremos los términos de límite puntual y límite uniforme.

Tarea moral

1. Argumenta los detalles que quedaron pendientes en la demostración de la completación de un espacio métrico.

Enlaces

• Análisis Matemático.
• Enlace a entrada anterior.
• Enlace a entrada siguiente.

$ \textit{ MATERIAL EN REVISIÓN}$

Introducción

Dedicaremos esta entrada a la presentación de un teorema que ha dado resultados importantes en el estudio de los espacios métricos completos. Para comenzar, necesitamos imaginar la pertenencia de los elementos de un conjunto cuando seleccionamos, arbitrariamente, bolas abiertas en el espacio métrico. El primer concepto dice lo siguiente:

Definición. Conjunto denso. Sean $(X,d)$ un espacio métrico y $A \subset X.$ Decimos que $A$ es un conjunto denso en $X$ si $\overline{A}=X.$

Nota que esto es equivalente a decir que todas las bolas abiertas de $X$ tienen puntos en $A.$

Ejemplo: En el espacio métrico euclidiano de los números reales, el conjunto $\mathbb{Q}$ es denso.

Aunque basta con encontrar una bola abierta en $X$ ajena al conjunto $A$ para demostrar que $A$ no es denso, presentamos un tipo de conjunto que no solo no lo es sino que no lo es en «ninguna parte» de $A.$

Definición. Conjunto nunca denso. Sean $(X,d)$ un espacio métrico y $A \subset X.$ Si para toda bola abierta $B \subset X$ existe una bola abierta contenida $B’ \subset B$ que no tiene puntos de $A$ diremos que $A$ es un conjunto nunca denso (o denso en ninguna parte).

Con estos conceptos ya podemos entender el teorema prometido.

Teorema de Baire. Si $(X,d)$ es un espacio métrico completo, entonces no puede representarse como la unión numerable de conjuntos nunca densos.

Demostración:
Sea $X$ un espacio métrico completo. Considera el conjunto $\underset{n \in \mathbb{N}}{\bigcup} \, A_n,$ donde para cada $n \in \mathbb{N}$ el conjunto $A_n \subset X$ es nunca denso en $X.$ Construiremos una sucesión de bolas cerradas encajadas como sigue: (Concepto visto en entrada anterior).
Sea $B_0$ una bola cerrada de radio $1.$ Como $A_1$ es nunca denso, existe una bola cerrada $B_1$ de radio menor que $\frac{1}{2}$ tal que $B_1 \subset B_0$ y $B_1 \cap A_1= \emptyset.$ Proponemos como ejercicio al lector argumentar por qué seleccionar dicha bola es posible.
De igual manera, como $A_2$ es nunca denso existe una bola cerrada $B_2$ de radio menor que $\frac{1}{3}$ tal que $B_2 \subset B_1$ y $B_2 \cap A_2= \emptyset.$

Si continuamos recursivamente, terminaremos construyendo una sucesión de bolas cerradas encajadas $(B_n)_{n \in \mathbb{N}}$ cuyos radios tienden a $0$. En la entrada anterior vimos que, al ser $X$ completo la intersección de estas bolas tiene un punto, de hecho $\underset{n \in \mathbb{N}}{\bigcap}A_n= \{x\}$ para algún $x \in X.$ Este punto no pertenece a ningún conjunto $A_k, \, k \in \mathbb{N},$ pues al estar en la intersección de todas las bolas cerradas, particularmente $x \in B_k$ que, recordemos es ajeno a $A_k,$ por lo tanto $x \notin A_k.$ Entonces tenemos un punto $x \in X$ tal que $x \notin \underset{n \in \mathbb{N}}{\bigcap}A_n$ concluyendo así que $X \neq \underset{n \in \mathbb{N}}{\bigcap}A_n.$

A partir de este teorema podemos concluir la siguiente:

Proposición: Todo espacio métrico completo $X$ sin puntos aislados es no numerable.

Demostración:
Recordemos que un punto aislado $x \in X$ es aquel que tiene una bola abierta cuyo único elemento de $X$ es $x.$ Si $X$ no tiene puntos aislados, entonces todos sus puntos son de acumulación. Es sencillo probar que para cada $x \in X$ el conjunto $\{x\}$ es nunca denso (ejercicio).

Si la unión de todos los conjuntos de puntos $\underset{x \in X}{\bigcup}\{x\}=X \,$ fuera numerable tendríamos un espacio completo que contradiga el teorema de Baire. Por lo tanto, si $X$ es completo y sin puntos aislados, entonces es no numerable.

Ejemplo: El espacio euclidiano $\mathbb{R}$ es completo y sin puntos aislados, por lo tanto es no numerable.

El teorema de Baire ha dado resultados fundamentales en el análisis. Los siguientes tres teoremas pueden consultarse en:
Kesavan, S., Functional Analysis (2a ed.). Chennai, India: Editorial Springer, 1996. Pág. 99 y 106.

Teorema de Banach-Steinhaus o de acotación uniforme. Sea $V$ un espacio de Banach y $W$ un espacio lineal normado. Sea $I$ un conjunto indexado para cada $i \in I$ sea $T_i \in \mathcal{L}(V,W).$ Entonces existe $M>0$ tal que

$\norm{T_i} \leq M$, para todo $i \in I$

o bien $\underset{i \in I}{sup} \, \norm{T_i(x)} = \infty$ para todo $x \in G_\delta \subset V.$

Teorema de la función abierta. Sean $V,W$ espacios de Banach y sea $T \in \mathcal{L}(V,W)$ suprayectivo. Entonces $T$ es una función abierta, esto es, si $A \subset V$ es abierto en $V$ entonces $T(A) \subset W$ es abierto en $W.$

Corolario. (También llamado teorema de la función inversa). Sean $V,W$ espacios de Banach y sea $T \in \mathcal{L}(V,W)$ biyectivo, entonces $T$ tiene inversa $T^{-1}$ y esta es continua.

El teorema de la función inversa también es conocido como el teorema de Banach sobre el operador inverso como puede observarse en el problema 3 de Kolmogorov, A.N., Fomin, S.V., Introductory Real Analysis. New York: Dover Publications Inc, 1975. Pág 238. En la página 229 del libro mencionado encontraremos también el:

Teorema Banach: Sea $A$ un operador lineal invertible y acotado que hace un mapeo de un espacio de Banach $E$ en otro espacio de Banach $E_1,$ entonces el operador inverso $A^{-1}$ también es acotado.

También recomendamos visualizar la conferencia
Pichardo, Roberto. «¿Teoría de Conjuntos?, ¡Pero si es bien fácil!». Instituto de Matemáticas de la UNAM. Publicado el 24 de marzo del 2017. YouTube video 59:57
https://www.youtube.com/watch?v=hLFit88zTYk

Roberto Pichardo comienza a describir la Hipótesis del Continuo en el minuto 14 hasta contarnos que esta es equivalente a la igualdad $c:=|\mathbb{R}| = \mathcal{N_1}.$ El teorema de Baire permite mostrar que

\begin{align*}
\mathcal{N_1} \leq cov(\mathcal{M}) \leq c \\
\mathcal{N_1} \leq non(\mathcal{M}) \leq c\\
\mathcal{N_1} \leq add(\mathcal{M}) \leq c
\end{align*}

Y en consecuencia, esos tres cardinales son iguales.

Más adelante…

Descubriremos que aunque un espacio no sea completo, es posible extenderlo a uno donde sí lo sea. tendremos así la llamada «completación de un espacio métrico.»

Tarea moral

1. ¿Es un conjunto nunca denso un conjunto denso?
2. Da un ejemplo de un conjunto denso que no sea nunca denso.
3. En la demostración del teorema de Baire, argumenta por qué es posible elegir las bolas con el radio indicado.
4. Demuestra que un conjunto $A$ es nunca denso, si y solo si $Int(\overline{A}) = \emptyset .$
5. Prueba que si $x \in X$ con $X$ espacio métrico es un punto de acumulación, entonces $\{x\}$ es nunca denso.

Enlaces

• Análisis Matemático.
• Enlace a entrada anterior.
• Enlace a entrada siguiente.

Introducción

En esta sección mostraremos los fundamentos de uno de los términos más importantes de las matemáticas. Una descripción histórica la presenta Yanina del Carmen Rodríguez Reyes, en la tesis «Desarrollo histórico-pedagógico del concepto de compacidad» en la Universidad de Panamá, República de Panamá 2018.

«La compacidad surgió de uno de los periodos más productivos de la actividad matemática. En la segunda mitad del siglo XIX en Europa las matemáticas avanzadas comenzaron a tomar la forma que conocemos actualmente. Muchos matemáticos, incluyendo Weierstrass, Hausdorff y Dedekind estaban preocupados por los fundamentos de las matemáticas y comenzaron a hacer muchas rigurosidades de las ideas que durante siglos habían sido dadas por sentado. Mientras que algunos de los trabajos del siglo XIX se pueden remontar a las preocupaciones matemáticas de los antiguos griegos, el nivel de rigor y la abstracción refleja una revolución en el pensamiento matemático. Fréchet fue influenciado por muchos contemporáneos y predecesores pero parece que merece el crédito como el padre de la compacidad. Fue Fréchet quien dio el nombre al concepto en un documento que conduce a su tesis doctoral de 1906. Fréchet también define por primera vez espacios métricos aunque no usando ese término y de hecho incursiona en el análisis funcional proporcionando así un contexto para el cual la importancia de la compacidad se hizo indiscutible”. (Rodríguez, 2018).

Conjuntos compactos

Sea $(X,d)$ un espacio métrico y $A \subset X$. Podemos pensar en «cubrir» este subconjunto a través de otros a modo de la siguiente imagen, es decir, conjuntos cuya unión logre contener a $A.$

La cantidad de subconjuntos que forman parte de la cubierta elegida puede ser finita, numerable o no numerable, entonces, para ser formales, cada subconjunto se puede indexar con los elementos de algún conjunto $\mathcal{I}$. Así tenemos la siguiente:

Definición. Cubierta de un conjunto: Sea $A \subset X$. Decimos que una familia de subconjuntos $\mathcal{C} = \{A_{i} \subset X : i \in \mathcal{I} \}$ es una cubierta de $A$ en $X$ si
$$A \subset \underset{i \in \mathcal{I}}{\cup} \, A_{i} \,$$

Definición. Cubierta abierta: Si para toda $i \in \mathcal{I}$ se cumple que el conjunto $A_i$ es abierto, diremos que $\mathcal{C}$ es una cubierta abierta de $A$ en $X$.

Definición. Subcubierta: Si tomamos conjuntos de una cubierta $\mathcal{C}$, digamos, una familia $\mathcal{C’} \subset \mathcal{C} \, $ y $\, \mathcal{C’}$ es también una cubierta de $A$ diremos que $\mathcal{C’}$ es una subcubierta de $\mathcal{C}$.

Definición. Conjunto compacto: Sea $A$ un conjunto de un espacio métrico $(X,d)$. Decimos que $A$ es un conjunto compacto si dada cualquier cubierta abierta $\mathcal{C}$ de $A$, existe una subcubierta finita de $\mathcal{C}.$

El concepto de compacidad suele tomar mayor relevancia cuando en un espacio topológico se considera el subespacio generado por el conjunto compacto. En estos casos se le denomina espacio topológico compacto.

Según la definición, para demostrar que un conjunto $A$ no es compacto, bastará con identificar una cubierta de la cual no sea posible extraer una subcubierta finita (conjuntos cuya unión logre contener el conjunto $A$).

Ejemplos

El conjunto $\mathbb{R}$ con la métrica euclidiana no es compacto.

Demostración:
El conjunto de intervalos abiertos con centro en $0$ y radio $n, \, n \in \mathbb{N}$ es decir, $\mathcal{C}=\{(-n,n):n \in \mathbb{N}\}$ es una cubierta abierta de $\mathbb{R}.$ Pero si consideramos un subconjunto finito $\mathcal{C’} \subset \mathcal{C}$ entonces $\mathcal{C’} = \{(-k_1,k_1),(-k_2,k_2),…,(-k_m,k_m)\}$ con $k_1,k_2,…,k_m \in \mathbb{N}.$ Sea $k=máx\{k_1,k_2,…,k_m\}$ podemos ver que la unión de los elementos en $\mathcal{C’}$ es el intervalo $(-k,k)$ que claramente, no contiene a $\mathbb{R}$, por lo tanto $\mathbb{R}$ no es compacto.

Un espacio discreto es compacto si y solo si es finito

Considera un conjunto $X$ con la métrica discreta. Entonces, para cada $x \in X$ el conjunto $\{ x \}$ es abierto, así $\mathcal{C}=\{\{x\}:x \in X\}$ es una cubierta abierta de $X.$ Un subconjunto finito de esta cubierta estaría dada por $\mathcal{C’}=\{\{x_1\},\{x_2\},…,\{x_k\}\}, \, k \in \mathbb{N}$ cuya unión de conjuntos contiene $k$ elementos. Por lo tanto, si $X$ es infinito no es compacto con la métrica discreta. La prueba de que si $X$ es finito entonces es compacto se deja como ejercicio al final de esta sección.

Proposición. Si $A$ es un conjunto compacto en $(X,d)$, entonces toda sucesión en $A$ tiene una subsucesión que converge en $A$.

Demostración:
Sea $A \subset X$ compacto y $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ una sucesión en $A$. Demostraremos primero que existe un punto $x \in A$ tal que toda bola abierta con centro en $x$ tiene una subsucesión de $(x_n)$. Supón por el contrario que no es así, es decir, para todo punto $x \in A$ existe $\varepsilon_x >0$ y existe $k_x \in \mathbb{N}$ tal que para toda $k \geq k_x, \, x_k \, \notin \, B(x,\varepsilon_x).$

Proposición: Si $A \subset X$ es compacto entonces es cerrado y acotado.

Ejemplos

A continuación recordamos un resultado conocido de los cursos de cálculo:

Teorema de Heine Borel: Considera $\mathbb{R}^n$ con la métrica euclidiana y $A \subset \mathbb{R}^n.$ Entonces $A$ es un conjunto compacto si y solo si es cerrado y acotado.

No obstante, hay espacios métricos en los que no es suficiente que un conjunto sea cerrado y acotado para que sea compacto:

Ejercicio: Considera el conjunto $\mathbb{R}$ y $d$ definida como $d(x,y)=min\{1, |x-y|\}, \, x,y \in \mathbb{R}$ entonces tenemos lo siguiente:

1. $d$ es una métrica en $\mathbb{R}.$
2. $d$ induce en $\mathbb{R}$ los mismos conjuntos abiertos que la métrica usual. Entonces un conjunto es compacto en $(\mathbb{R},d)$ si y solo si lo es en $(\mathbb{R},d_2).$
3. El conjunto $[0,\infty)$ es cerrado y acotado en $(\mathbb{R},d),$ pero no es compacto, pues no lo es en $(\mathbb{R},d_2).$

Veamos una propiedad que hereda la compacidad a un subconjunto de un conjunto compacto:

Proposición: Un subconjunto cerrado $B$ de un conjunto compacto $A$ también es compacto.

Demostración:

Finalizamos esta sección con los siguientes resultados para así cumplir con una deuda pendiente.

Teorema: Considera $ \{ A_{\alpha} : \alpha \in \mathcal{A} \}$ una colección de subconjuntos compactos de un espacio métrico $(X,d).$ Si ocurre que cualquier intersección finita de elementos de $\{A_{\alpha}\}$ es no vacía, entonces la intersección de todos los elementos también es no vacía. Es decir:
$$\underset{\alpha \in \mathcal{A}}{\bigcap} \, A_{\alpha} \, \neq \emptyset$$

Demostración:
Supón por el contrario que la intersección es vacía. Sea $A_1 \in \{A_{\alpha}\}$ entonces no existe punto de $A_1$ que pertenezca al mismo tiempo, a todos los elementos de $\{A_{\alpha}\}$
Sea $C_{\alpha} := X \setminus A_{\alpha}.$ Entonces $ \{ C_{\alpha} : \alpha \in \mathcal{A} \}$ es una cubierta abierta de $A_1$ que, por ser compacto, tiene una subcubierta finita, así:
$A_1 \subset (C_{\alpha_1} \cup … \cup C_{\alpha_n})$ p.a. ${\alpha_1},…{\alpha_n}, \in \mathcal{A}$
En consecuencia $A_{\alpha_1} \cap … \cap A_{\alpha_n} = \emptyset$ lo cual no es cierto, por lo tanto
$$\underset{\alpha \in \mathcal{A}}{\bigcap} \, A_{\alpha} \, \neq \emptyset$$

Corolario: Si $ \{ A_{n} : n \in \mathbb{N} \}$ es una colección de subconjuntos compactos no vacíos de un espacio métrico $(X,d)$ tales que para cada $n \in \mathbb{N} , \, A_n \supset A_{n+1}$ se cumple que $\underset{n \in \mathbb{N}}{\bigcap} \, A_n \neq \emptyset .$

En la entrada Convergencia uniforme y continuidad se enunció el siguiente resultado. Vamos a retomarla ahora con demostración.

Proposición: Sea $A$ un espacio métrico compacto, $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ una sucesión de funciones continuas con $f_n:A \to \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}$ tal que $(f_n)$ converge puntualmente a una función continua $f$. Si para cada $x \in A$ y $n \in \mathbb{N} \, f_n(x) \geq f_{n+1}(x),$ entonces $(f_n)$ converge a $f$ uniformemente en $A.$

Demostración:
Para cada $n \in \mathbb{N}$ definimos $g_n := f_n – f.$ Entonces $(g_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ es una sucesión de funciones continuas en $A.$ Es sencillo probar que $(g_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ converge puntualmente a $0.$

Sea $\varepsilon >0.$ Ahora, para cada $n \in \mathbb{N}$ definimos un conjunto con los puntos de $A$ que bajo la función $g_n \,$ quedan fuera de la bola de radio $\varepsilon$ con centro en $0.$ Formalmente:

$A_n:= \{a \in A: g_n(a) \notin \, B(0,\varepsilon)\}$

Nota que este conjunto es complemento de la imagen inversa de la función continua $g_n \,$ en la bola abierta $B(0,\varepsilon).$ Por lo tanto $A_n$ es cerrado en $A.$ Esa propiedad se vio en Funciones continuas en espacios métricos. Arriba vimos que cada conjunto cerrado de un compacto hereda la compacidad, en consecuencia cada $A_n$ es compacto.

Nota además que para cada $n \in \mathbb{N}, \, A_{n+1} \subset A_n.$ La intersección de todos estos conjuntos es vacía, pues si existe $x_0 \in \underset{\n \in \mathbb{N}}{\cap} \, A_n$ entonces para toda $n \in \mathbb{N}, \, g_n(a) \notin \, B(0,\varepsilon)$ lo cual no puede ser, pues $g_n(x_0) \to 0.$ A partir del corolario visto un par de lineas arriba se sigue que existe $N \in \mathbb{N}$ tal que $A_N$ es vacío. Entonces, para todo $k \geq N, \, A_k = \emptyset.$ Así para cada $a \in A$ se cumple que $0 \leq g_n(a) < \varepsilon.$ Por lo tanto $(f_n)$ converge a $f$ uniformemente en $A.$

Más adelante…

Conoceremos los efectos que producen algunas funciones al ser aplicadas en conjuntos compactos. ¿Será posible conservar la compacidad al enviar conjuntos de un espacio métrico a otro? ¿Qué propiedades tendrá la imagen de una función continua?

Tarea moral

1. Resuelve el ejercicio planteado arriba.
2. Prueba que un espacio discreto finito es compacto. ¿Es necesario que tenga asociada la métrica discreta?
3. Demuestra que cada subconjunto infinito de un conjunto compacto posee un punto de acumulación en el conjunto compacto.
4. Da un ejemplo de un conjunto $A$ que sea cerrado pero no acotado y una cubierta abierta y numerable de $A$ que no tenga una subcubierta finita.
5. Prueba que si $A$ es cerrado y $B$ es compacto, entonces $A \cap B$ es compacto.
6. Prueba que la intersección arbitraria de conjuntos compactos es compacta.
7. Demuestra que una sucesión de Cauchy en un conjunto compacto es convergente.
8. Sea $(X,d)$ un espacio métrico y $A \subset X$ un conjunto compacto. Demuestra que el subespacio $(A,d)$ es completo.

Enlaces

• Análisis Matemático.
• Enlace a entrada anterior.
• Enlace a entrada siguiente.

$ \textit{ MATERIAL EN REVISIÓN}$

Introducción:

En esta ocasión nos vamos a fijar en colecciones de conjuntos que están contenidos unos en otros. Vamos a suponer que es una cantidad numerable de conjuntos. El primer conjunto contiene al segundo, que a su vez contiene a un tercero y así, sucesivamente.

Ahora pensemos en la intersección de todos esos conjuntos. Intuitivamente podemos visualizar que se tratará de un conjunto muy pequeño, que estará contenido en todos los demás.

Aquí tenemos un ejemplo de una sucesión de conjuntos donde los últimos términos corresponden al mismo conjunto. La intersección de todos los conjuntos es, evidentemente, ese último conjunto

Observemos la sucesión de intervalos $[-\frac{1}{n},\frac{1}{n}]_{n \in \mathbb{N}}.$

Nota que todos tienen como elemento al cero. Además es el único elemento que pertenece a la intersección de todos los intervalos, pues si suponemos que hay otro más, dado que $\frac{1}{n} \to 0$ es posible encontrar un intervalo suficientemente pequeño, que deje fuera este elemento.

Ahora consideremos el subespacio $\mathbb{Q}$ con la métrica usual. En esta ocasión los intervalos serán $(\sqrt{2}-\frac{1}{n},\sqrt{2}+\frac{1}{n}), \, n \in \mathbb{N}.$ Queda como ejercicio al lector demostrar que la intersección de estos conjuntos es vacía en $\mathbb{Q}$.

Entonces, ¿bajo qué condiciones podremos asegurar que la intersección no es vacía pese a que los conjuntos se hagan «cada vez más pequeños» y estén contenidos unos en otros? Veamos la siguiente definición:

Definición bolas encajadas: Sea $(X,d)$ un espacio métrico y $(\overline{B}(x_n,\varepsilon_n))_{n \in \mathbb{N}} \,$ una sucesión de bolas cerradas en $X$. Si $\forall n \in \mathbb{N}$ se cumple que $\overline{B}(x_{n+1},\varepsilon_{n+1}) \subset \overline{B}(x_{n},\varepsilon_{n})$ diremos que la sucesión $(\overline{B}(x_n,\varepsilon_n))_{n \in \mathbb{N}}$ es de bolas encajadas.

Proposición principio de bolas encajadas: $(X,d)$ es un espacio métrico completo si y solo si para cualquier sucesión de bolas cerradas encajadas $(\overline{B}(x_n,\varepsilon_n))_{n \in \mathbb{N}}$ cuyos radios tienden a cero, es decir $\varepsilon_n \to 0,$ se cumple que la intersección de todas las bolas cerradas es no vacía. Además $\underset{n \in \mathbb{N}}{\cap} \, \overline{B}(x_n,\varepsilon_n) = \{x\}$ para algún $x \in X.$

Demostración:
Supongamos que $(X,d)$ es completo. Sea $(\overline{B}(x_n,\varepsilon_n))_{n \in \mathbb{N}} \,$ una sucesión de bolas encajadas. Vamos a probar primero que la sucesión de los centros de las bolas cerradas $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ es de Cauchy. Sea $\varepsilon > 0,$ como $\varepsilon_n \to 0,$ existe $N \in \mathbb{N}$ tal que $\forall \, n \geq N, \, \varepsilon_n < \frac{\varepsilon}{2}.$ Como la sucesión es de bolas encajadas, tenemos que $\forall \, l,m \geq N, \, \overline{B}(x_l,\varepsilon_l) \subset \overline{B}(x_N,\varepsilon_N)$ y $\overline{B}(x_m,\varepsilon_m) \subset \overline{B}(x_N,\varepsilon_N)$ entonces $d(x_l,x_m) \leq d(x_l,x_N) + d(x_N,x_m) \leq \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon.$ Por lo tanto $(x_n)$ es de Cauchy. Como $X$ es completo, se sigue que $x_n \to x$ para algún $x \in X$

Vamos a demostrar que $x \in \underset{n \in \mathbb{N}}{\cap} \, \overline{B}(x_n,\varepsilon_n).$ Sea $n \in \mathbb{N}.$ Como las bolas son encajadas, tenemos que $\forall k \geq n, \, B(x_k,\varepsilon_k) \subset B(x_n,\varepsilon_n)$ en consecuencia $\forall k \geq n,$ el término de la sucesión $x_k$ es elemento de $B(x_n,\varepsilon_n),$ que es un conjunto cerrado. Ya que la subsucesión formada por estos últimos términos converge en $x$ se sigue de lo que vimos en Convergencia que $x \in B(x_n,\varepsilon_n).$ Como esto ocurre $\forall n \in \mathbb{N},$ concluimos que $x \in \underset{n \in \mathbb{N}}{\cap} \, \overline{B}(x_n,\varepsilon_n).$

Para el regreso buscamos demostrar que $(X,d)$ es completo. Sea $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ una sucesión de Cauchy.

Así, la sucesión $(B(x_{N_n},\frac{1}{2^{n-1}}))_{n \in \mathbb{N}}$ es de bolas encajadas y sus radios tienden a cero. Por hipótesis sabemos que la intersección de estos conjuntos es $\{x\},$ para algún $x \in X.$ Es sencillo probar que la sucesión de centros $(x_{N_n})_{n \in \mathbb{N}}$ converge en $x$ (se dejará como ejercicio). Entonces tenemos una subsucesión de la sucesión de Cauchy $(x_n)$ que es convergente y, como vimos en entrada anterior, esto demuestra que $(x_n) \to x$ por lo que $X$ es completo.

Notemos que para asegurar la contención de un conjunto en otro, necesitamos obtener información acerca de las distancias entre sus elementos. Esto motiva una definición para conjuntos más generales que una bola cerrada:

Cuando el conjunto $\{d(x_1,x_2): x_1,x_2 \in A \}$ no es acotado, diremos que el diámetro es $\infty.$

Proposición: Sea $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ una sucesión en $(X,d)$ y para cada $N \in \mathbb{N}, \, X_N=\{x_k:k\geq N\}$ el conjunto de los términos de la sucesión que van a partir de $x_N.$ Entonces $(x_n)$ es una sucesión de Cauchy si y solo si
$$\underset{N \to \infty}{lim}\, diam \, (X_N)=0$$

Demostración:
Supón que $(x_n)$ es una sucesión de Cauchy en $X$ y sea $\varepsilon>0$. Entonces existe $K \in \mathbb{N}$ tal que $\forall \, l,m \geq K, \, d(x_l,x_m)<\varepsilon$. En consecuencia $diam\,(X_K) \leq \varepsilon.$ Como para todo $L \geq K, \, (X_L) \subset (X_K)$ se sigue que para todo $L \geq K, \, diam(X_L) \leq diam(X_K) \leq \varepsilon.$ Por lo tanto $\underset{N \to \infty}{lim}\, diam \, (X_N)=0$

Ahora supongamos que $\underset{N \to \infty}{lim}\, diam \, (X_N)=0.$ Buscamos demostrar que $(x_n)$ es de Cauchy. Sea $\varepsilon >0$, como los diámetros tienden a cero, existe $K \in \mathbb{N}$ tal que en particular $(X_K)$ satisface que $diam \, (X_K) < \varepsilon.$ Entonces $\forall \, l,m \geq K, \, d(x_l,x_m) < \varepsilon$ lo cual demuestra que $(x_n)$ es de Cauchy.

Terminemos con la siguiente:

Proposición: Sean $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}\,$ una sucesión de subconjuntos cerrados de un espacio métrico completo $(X,d)$ tales que para todo $n \in \mathbb{N}, \, A_{n+1} \subset A_{n}$ y además $\underset{n \to \infty}{lim} \, diam(A_n) \to 0.$ Entonces $\underset{n \in \mathbb{N}}{\cap}A_n=\{x\}$ para algún $x \in X$).

Demostración:
Para cada $n \in \mathbb{N}$ elegimos $x_n \in A_n.$ Entonces para cada $N \in \mathbb{N}$ el conjunto $X_N$ definido en la proposición anterior está contenido en $A_N$, pues los conjuntos están anidados. En consecuencia, $diam(X_N) \leq diam(A_n) \to 0.$ La proposición anterior nos permite concluir que $(x_n)$ es una sucesión de Cauchy. Como $X$ es completo, se sigue que $(x_n) \to x$ para algún $x \in X.$ Dejamos como ejercicio demostrar que $\underset{n \in \mathbb{N}}{\cap}A_n=\{x\}$.

¿Recuerdas la distancia de Hausdorff vista en La métrica de Hausdorff? Nota que si $A$ y $B$ son subconjuntos de $X$ entonces $d_H(A,B)\leq diam(A \cup B).$ En esa misma entrada vimos que conjuntos anidados convergen a la intersección de todos ellos, y que este conjunto está formado por los puntos de convergencia de sucesiones que tienen elementos en los conjuntos anidados. En entradas futuras veremos que los espacios compactos son cerrados. ¿Cómo justificarías las proposiciones vistas en esta entrada a partir de los resultados presentados en la métrica de Hausdorff?

Más adelante…

Veremos los conceptos de conjunto denso y conjunto nunca denso. Descubriremos un resultado que ha sido muy importante en el estudio de los espacios métricos completos: El teorema de Baire.

Tarea moral

1. Sea $\mathbb{Q}$ el subespacio de $\mathbb{R}$ con la métrica usual. Demuestra que la intersección de los intervalos $[\sqrt{2}-\frac{1}{n},\sqrt{2}+\frac{1}{n}], \, n \in \mathbb{N}$ es vacía.
2. Demuestra que si $x$ está en la intersección de bolas encajadas $\underset{n \in \mathbb{N}}{\cap} \, \overline{B}(x_n,\varepsilon_n)$ entonces es único.
3. Demuestra que la sucesión de centros $(x_{N_n})_{n \in \mathbb{N}}$ de la proposición converge en $x$.
4. Sea $A \subset X.$ Demuestra que $diam(A)=diam(\overline{A}).$
5. Da un ejemplo de un espacio métrico completo y de una sucesión de bolas cerradas en este espacio, encajadas unas en otras que tenga intersección vacía.

Enlaces

• Análisis Matemático.
• Enlace a entrada anterior.
• Enlace a entrada siguiente.

$ \textit{ MATERIAL EN REVISIÓN}$

Introducción

En la entrada anterior vimos que no es suficiente que una sucesión sea de Cauchy para asegurar que sea convergente. Hay espacios donde sí lo es y serán llamados «completos». Contar con este recurso nos permite solo tener que justificar que una sucesión satisface la condición de Cauchy cuando esto resulte ser más sencillo que demostrar su convergencia en un punto. Comencemos con la definición:

Definición espacio métrico completo y espacio de Banach: Sea $(X,d)$ un espacio métrico. Decimos que $X$ es un espacio métrico completo si toda sucesión de Cauchy $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ es convergente en $X$.
A un espacio normado que es completo con la métrica inducida por su norma le llamaremos espacio de Banach.

Ejemplos:

1. El espacio métrico euclideano $\mathbb{R}^n$ es completo. La demostración la vimos en la sección anterior. (Sucesiones de Cauchy).
2. Sea $X$ un conjunto no vacío con la métrica discreta. Entonces $X$ es completo. La demostración se propondrá como ejercicio.
3. $\mathbb{R}^n$ con la métrica $d_\infty(x,y)=máx \{ |x_1-y_1|,…,|x_n-y_n| \}$ donde $x=(x_1,…,x_n)$ y $y=(y_1,…,y_n)$ es completo.

Demostración:
Sea $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ una sucesión de Cauchy en $\mathbb{R}^n$. En la sección anterior vimos que $(x_n)$ converge en la métrica euclidiana $d_2$. Sea $x$ el punto de convergencia. En la entrada Más conceptos de continuidad vimos que $d_\infty$ y $d_2$ son métricas equivalentes, entonces para todo $\varepsilon >0$ existe $N \in \mathbb{N}$ y $c>0$ tales que para todo $n \geq N$:
$d_\infty(x_n,x)\leq c\,d_{2}(x_n,x) \leq c \frac{\varepsilon}{c}=\varepsilon$
Por lo tanto $x_n \to x$ en $(\mathbb{R}^n, d_\infty),$ lo cual demuestra que es un espacio métrico completo.

En general, la completitud no es una propiedad invariante bajo homeomorfismos. Esto es, un espacio completo puede ser homeomorfo a otro que no lo sea.

Ejemplo: El espacio euclidiano $\mathbb{R}$ es homeomorfo al subespacio $(-1,1).$

Por otro lado, la completitud sí se conserva bajo equivalencias. (Concepto visto en Más conceptos de continuidad):

Proposición: Sean $(X,d_X)$ y $(Y,d_Y)$ espacios métricos con $\phi: X \to Y$ una equivalencia entre ellos. Entonces $X$ es completo si y solo si $Y$ lo es.

Demostración:
Supongamos que $X$ es completo. Buscamos demostrar que $Y$ también lo es. Sea $(y_n)_{n \in \mathbb{N}}$ una sucesión de Cauchy en $Y$. Como $\phi$ es equivalencia entonces $\phi^{-1}$ es lipschitz continua. Considera la sucesión $\phi^{-1}(y_n)_{n \in \mathbb{N}}$ en $X$. Dadas las hipótesis, para toda $\varepsilon >0$ existe $N \in \mathbb{N}$ y $c>0$ tales que si $n,m \geq N$ entonces:
$d_X(\phi^{-1}(y_n),\phi^{-1}(y_m))\leq c\, d_Y(y_n,y_m) \leq c \, \frac{\varepsilon}{c} = \varepsilon$ lo cual prueba que la sucesión $\phi^{-1}(y_n)_{n \in \mathbb{N}}$ es de Cauchy en $X$, espacio que es completo, en consecuencia $\phi^{-1}(y_n) \to x$ en $X$ para algún $x \in X.$

Finalizamos aplicando $\phi$ a la última sucesión. En la entrada de Funciones continuas en espacios métricos vimos que podemos concluir que $\phi(\phi^{-1}(y_n)) \to \phi(x)$ en $Y$. Por lo tanto $(y_n)$ es una sucesión convergente lo cual demuestra que $Y$ es un espacio métrico completo.
El regreso es análogo y se propondrá como ejercicio al final de esta sección.

Proposición: Todo espacio normado de dimensión finita es de Banach.

Demostración:
Sea $V$ un espacio con norma asociada $\norm{\cdot}_V$ con dimensión finita $n$. En la entrada anterior probamos que el espacio euclideano $\mathbb{R}^n$ es de Banach. En la entrada Más conceptos de continuidad probamos que la norma $\norm{\cdot}_2$ es equivalente a $\norm{\cdot}_1$. De acuerdo a la proposición anterior, bastará con encontrar una equivalencia entre $(\mathbb{R}^n,\norm{\cdot}_1)$ y $(V, \norm{\cdot}_V)$.
Sea $\{e_1,…,e_n\}$ la base canónica de $\mathbb{R}^n,$ $\{v_1,…,v_n\},$ una base ordenada de $V$ y $\mathcal{L}: \mathbb{R}^n \to V$ tal que para cada $i=1,…,n, \, \mathcal{L}(e_i)=v_i.$ Es sencillo demostrar que $\mathcal{L}$ es una transformación lineal y que es también una función biyectiva. Esta afirmación se propondrá como ejercicio.
Sean $a,b \in \mathbb{R}^n$ tales que $a=\sum_{i=1}^{n}a_i e_i$ y $b=\sum_{i=1}^{n}b_i e_i$ con $a_i,b_i \in \mathbb{R}, 1\leq i\leq n.$ Sea $c=\underset{1 \leq i \leq n}{máx} \, \{ \norm{v_i}_V\},$ entonces:

\begin{align*}
\norm{\mathcal{L}(\sum_{i=1}^{n}a_i e_i) -\mathcal{L}(\sum_{i=1}^{n}b_i e_i)}_V&=\norm{\sum_{i=1}^{n}a_i \mathcal{L}(e_i)-\sum_{i=1}^{n}b_i \mathcal{L}(e_i)}_V\\
&=\norm{\sum_{i=1}^{n}a_i v_i-\sum_{i=1}^{n}b_i v_i}_V\\
&=\norm{\sum_{i=1}^{n}(a_i-b_i) v_i}_V \\
&\leq \sum_{i=1}^{n}|a_i-b_i| \norm{v_i}_V \\
&\leq \underset{1 \leq i \leq n}{máx} \, \{ \norm{v_i}_V\}\sum_{i=1}^{n}|a_i-b_i|\\
&=c \sum_{i=1}^{n}|a_i-b_i| \\
&=c \norm{a-b}_1
\end{align*}

Entonces $\mathcal{L}$ es una función Lipschitz continua. La prueba de que la inversa es Lipschitz continua se deja como ejercicio. Esto demostraría que $V$ también es un espacio de Banach.

La completitud no siempre se hereda a los subespacios de un espacio métrico completo. La siguiente proposición nos muestra las condiciones requeridas para que esto ocurra:

Proposición: Sea $(X,d)$ un espacio métrico completo y $A \subset X.$ Entonces el subespacio $(A,d)$ es completo si solo si $A$ es cerrado en $X.$

Demostración:

Ahora partamos de suponer que $A \subset X$ es cerrado. Sea $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ una sucesión de Cauchy en $A.$ Como $X$ es completo, se sigue que $x_n \to x$ en $X$ para algún $x \in X.$ Por el mismo resultado de la entrada de Convergencia concluimos que $x \in A.$ por lo tanto $x_n \to x$ en $A$ lo cual demuestra que $A$ es completo.

Ya que sabemos que un espacio normado de dimensión finita es de Banach, es natural preguntarse qué ocurre con los de dimensión infinita. Como ejemplo tenemos al espacio de los polinomios $\mathcal{P}[0,1].$ Visto como subespacio del espacio de funciones continuas $C^0[0,1]$ es de dimensión infinita pero no es cerrado. La proposición anterior nos permite concluir que $\mathcal{P}[0,1]$ no es completo. La demostración del ejemplo se puede consultar en las notas de Luis O. Manuel. El documento se encuentra en este link.

Más adelante…

Buscaremos aplicar estos resultados en conjuntos anidados, unos dentro de otros. Partir de una sucesión de Cauchy nos permitirá asegurar la existencia de un punto de convergencia, cuando estemos en un espacio completo. Conoceremos condiciones en las que dicho punto existe y pertenece a la intersección de los conjuntos anidados.

Tarea moral

1. Demuestra que si $X$ es un conjunto no vacío con la métrica discreta entonces $X$ es completo.
2. Sean $(X,d_X)$ y $(Y,d_Y)$ espacios métricos con $\phi: X \to Y$ una equivalencia entre ellos. Prueba que si $Y$ es completo entonces $X$ lo es.
3. Sea $V$ un espacio con norma asociada $\norm{\cdot}_V$ con dimensión finita $n$ y $\{v_1,…,v_n\},$ una base ordenada de $V.$ Sea $\{e_1,…,e_n\}$ la base canónica de $\mathbb{R}^n,$ y $\mathcal{L}: \mathbb{R}^n \to V$ tal que para cada $i=1,…,n, \, \mathcal{L}(e_i)=v_i.$ Demuestra que $\mathcal{L}$ es una transformación lineal y que es también una función biyectiva.
4. Prueba que la función inversa de la función del ejercicio anterior es Lipschitz continua.
5. Sea $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ una sucesión creciente y acotada en $\mathbb{R}.$ Concluye que $(x_n)$ es convergente en $\mathbb{R}$ demostrando que es de Cauchy.

Enlaces

• Análisis Matemático.
• Enlace a entrada anterior.
• Enlace a entrada siguiente.