(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)
Introducción
Antes de comenzar conviene que recordemos que estamos trabajando con grupos. Un conjunto con una operación da lugar a un grupo si cumple ciertas condiciones, entre ellas tener un neutro y ser cerrado bajo su operación. Ahora nos interesamos por los subconjuntos cualquiera del grupo, no necesariamente subgrupos. Esta entrada está dedicada al estudio del producto de dichos subconjuntos.
La primera parte comienza definiendo a nuestro producto y lo ilustramos con unos ejemplos. La segunda parte pretende responder a la pregunta ¿cuándo es el producto de dos subconjuntos un subgrupo? En la tercera parte, nos imaginamos un caso particular, ¿qué pasa cuando uno de los subconjuntos elegidos es unitario? Es decir, estamos multiplicando un subgrupo de $G$ por un solo elemento de $G$.
Producto de $S$ con $T$
Definición. Sea $G$ un grupo, $S,T$ subconjuntos no vacíos de $G$. El producto de $S$ con $T$ es el conjunto
$$ST = \{st|s\in S, t\in T\}.$$
El orden de los elementos de $ST$ es importante, recordemos que $G$ no es necesariamente abeliano. Más adelante analizaremos más al respecto.
Nota: Cuando escribimos $st$ nos referimos a la operación que pertenece al grupo $(G, \cdot)$. Por ejemplo, si tomamos a $\z$, la operación sería la suma $+$ usual.
Tomamos dos subgrupos $S$ y $T$ de $G$. Si multiplicamos sus elementos, el resultado queda en $G$
Ejemplos.
Tomemos las permutaciones de $S_3 = \{(1), (1\;2), (1 \;3), (2 \; 3), (1 \; 2 \; 3), (1\;3\;2)\}$. Consideramos a $S$ como $S=\{(1\;2)\}$ y a $T$ como $T=\{(1\;2\;3), (1\;3\;2)\}$. Entonces, su producto queda \begin{align*} ST &= \{(1\;2) (1\;2\;3), (1\;2)(1\;3\;2)\}\\ &= \{(2\;3), (1\;3)\}. \end{align*}
Si consideramos $(\z, +)$, podemos tomar a $S$ y a $T$ como \begin{align*} S &= 2\z = \{2n|n\in \z\},\\ T &= 3\z = \{3m|m\in\z\}. \end{align*} En este caso, el producto se denota como $S+T$ y este conjunto es \begin{align*} S+T = 2\z + 3\z = \{2n+3m|n,m\in\z\} = \z. \end{align*} Donde la última igualdad se da porque $(2,3) = 1$ (es decir, $2$ y $3$ son primos relativos).
¿Cuándo es el producto un subgrupo de $G$?
Vamos a ver qué pasa ahora a la hora de multiplicar subgrupos. Durante la demostración del siguiente teorema, observaremos que en general, el producto no es un subgrupo debido a un detalle de la conmutatividad de los elementos. El siguiente se trata de un resultado clásico que aparece por ejemplo en el texto de Dummit mencionado en la bibliografía, Proposición 14:
Teorema. Sea $G$ un grupo, $H$, $K$ subgrupos de $G$. Entonces, \begin{align*} HK \leq G \; \text{ si y sólo si } \; HK = KH. \end{align*}
Demostración. Sea $G$ un grupo, $H,K$ subgrupos de $G$.
$|\Rightarrow)$ Supongamos que $HK \leq G$. P.D. $KH=HK$
Procedemos por doble contención. $\subseteq]$ Sea $x\in KH$, entonces existen $k \in K$ y $h \in H$ tales que $x = kh$.
Como $HK$ es subgrupo de $G$, entonces $h^{-1}k^{-1} \in HK$, así \begin{align*} x^{-1} = (kh)^{-1} = h^{-1}k^{-1} \in HK. \end{align*}
Entonces, $x^{-1} \in HK$, y como $HK$ es subgrupo, $x \in HK$. Por lo tanto $KH \subseteq HK$.
$\supseteq]$ Sea $x \in HK$.
Observación: Si intentamos hacer lo mismo de antes, tomaríamos $h \in H$ y $k \in K$ tales que $x = hk$, así $x^{-1} = k^{-1}h^{-1}$ ya que en el inverso se invierte el orden, es decir $x^{-1} \in KH$. Pero como no sabemos nada de $KH$, nos atoramos aquí. Por lo tanto, tomaremos un camino un tanto diferente.
Sabemos que $HK\leq G$, entonces sabemos que $x^{-1} \in HK$. Entonces existen $h \in H$ y $k\in K$ tales que $x^{-1}=hk$. Así,
\begin{align*} &x = (x^{-1})^{-1} = (hk)^{-1} = k^{-1}h^{-1} \in KH \end{align*} Por lo tanto $HK \subseteq KH$.
Así, $HK = KH$.
$\Leftarrow|)$ Supongamos que $HK = KH$. P.D. $HK \leq G$.
Observemos primero que $e = ee \in HK$.
Ahora consideremos $x,y \in HK$, entonces \begin{align*} x = hk && h, \overline{h} \in H \\ y = \bar{h} \bar{k} && k,\overline{k} \in K. \end{align*}
Entonces \begin{align*} xy^{-1} = (hk)(\bar{h} \bar{k})^{-1} &= (hk)(\bar{k}^{-1} \bar{h}^{-1})\\ &= h \left( (k\bar{k}^{-1})\bar{h}^{-1} \right). \end{align*}
Pero \begin{align*} &(k\bar{k}^{-1}) \bar{h}^{-1} \in KH = HK &\text{Por la hipótesis} \\ \Rightarrow &\,(k \bar{k}^{-1})\bar{h}^{-1} =\hat{h}\hat{k} & \text{ con } \hat{h}\in H,\hat{k}\in K. \end{align*}
Sustituyendo los valores $$xy^{-1} = h(\hat{h}\hat{k}) = (h\hat{h})\hat{k} \in HK.$$
Por lo tanto $HK \leq G$.
$\blacksquare$
Del teorema anterior se sigue este corolario:
Corolario. Sea $G$ un grupo abeliano, $H,K$ subgrupos de $G$. Tenemos que $HK$ es un subgrupo de $G$.
Clases Laterales
Ahora, tomemos $T = \{a\}$ con $a \in G$. De esta manera $TH = \{a\}H$, pero para simplificar la notación, usaremos $\{a\}H = aH$. A este caso específico, lo llamaremos clase lateral. A continuación lo definiremos de una manera más formal.
Definición. Sean $G$ un grupo, $H$ un subgrupo de $G$, $a\in G$. La clase lateral izquierda de $H$ en $G$ con representante $a$ es $$ aH = \{ah | h\in H\}. $$ La clase lateral derecha de $H$ en $G$ con representante $a$ es $$Ha = \{ha|h\in H\}.$$
Ambas clases son análogas, aunque como veremos más adelante no necesariamente iguales, y para fines prácticos trabajaremos sólo con una, pero es importante definir ambas.
Sea $G=\r^2$ con la suma usual, \begin{align*} H &= \{(x,x) \,|\, x\in\r\}\\ &\text{y }(a,b) \in\r^2 \\ \text{Entonces, } \\ (a,b) + H &= \{(a,b) +(x,x) \,|\, x\in \r\}, \end{align*} que geométricamente es la diagonal trasladada por el vector $(a,b).$
Representación de $(a,b) + H$.
Tarea moral
Prueba o da un contraejemplo: Si $G$ es un grupo y $S$ y $T$ son subconjuntos de $G$ tales que $ST$ es un subgrupo de $G$, entonces $S$ y $T$ son subgrupos de $G$.
Sea $D_{2(6)} = \{\text{id}, a, \dots, a^5, b, ab, \dots, a^5b \}$ el grupo diédrico formado por las simetrías de un hexágono, con $a$ la rotación de $\frac{\pi}{3}$ y $b$ la reflexión con respecto al eje $x$. Calcula las clases laterales izquierdas y derechas de $\left< a \right>$ en $D_{2(6)}$.
En cada inciso calcula $HK$ y determina si es un subgrupo de $S_4$.
$H = \{(1), (1\;2)\}$ y $K = \{(1), (1\;3)\}$.
$H = \{(1), (1\;2)\}$ y $K = \{(1), (3\;4)\}$.
Más adelante…
En la siguiente entrada definiremos una relación de equivalencia y, al tratar de describir las clases de equivalencias inducidas, podremos relacionar las clases laterales con los elementos de $H$. Además, continuaremos respondiendo a las preguntas: ¿qué relación existe entre el número de elementos de las clases laterales derechas e izquierdas? y ¿qué es el índice de $H$ en $G$?
(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)
Introducción
Anteriormente en nuestro curso, definimos una caracterización única para las permutaciones, aprendimos que la factorización completa es única salvo por el orden de los factores. Ahora, podemos analizar a los ciclos que aparecen en dicha factorización completa.
La unicidad de la factorización completa nos asegura que la cantidad de ciclos que la conforman y la longitud de éstos no van a cambiar sin importar la factorización que escojamos. Estudiar estas propiedades de la factorización completa motiva la definición de estructura cíclica y de permutación conjugada, dos definiciones centrales de esta entrada.
Además de la factorización completa, existen otras maneras de descomponer a las permutaciones. Intuitivamente, podemos pensar a las permutaciones como reacomodos, entonces es posible llegar a cualquier acomodo intercambiando elementos de dos en dos, es decir podemos reacomodar los números de $1$ a $n$ como queramos mediante intercambios dos a dos.
Se verá que toda permutación se descompone siempre como un producto de una cantidad par de intercambios, o siempre con una cantidad impar de intercambios. Para ello seguiremos el enfoque presentado en el libro de Herstein, al igual que en el libro de Avella, Mendoza, Sáenz y Souto, y en el libro de Dummit mencionados en la bibliografía, en los que se introduce un polinomio en varias indeterminadas llamado el polinomio de Vandermonde.
Misma Estructura Cíclica
Recordemos que toda permutación se puede factorizar en una factorización completa y que toda factorización completa es única salvo por el orden de sus productos. Entonces la cantidad de ciclos y su longitud no va a cambiar, independientemente de la factorizacoón completa que escojamos. Esto motiva la siguiente definición.
Definición. Sean $\alpha, \beta \in S_n$. Decimos que $\alpha$ y $\beta$ tienen la misma estructura cíclica si su factorización completa tiene el mismo número de $r-$ciclos para toda $r \in \z^+$.
Claramente, $\alpha$ y $\beta$ tienen la misma estructura cíclica, ya que ambas están formadas por un $4-$ciclo, dos transposiciones y un uno ciclo.
Permutación Conjugada
Definición. Sean $\alpha, \beta \in S_n$. Decimos que $\beta$ es conjugada de $\alpha$ si existe $\gamma \in S_n$ tal que $\beta = \gamma \alpha \gamma^{-1}$.
Ejemplo.
Tomemos $\gamma = (1 \; 2 \; 3)$, entonces $\gamma = (1\;2\;4)$ y $\alpha = (3 \; 5 \; 6 \; 8)$. Entonces podemos calcular a $\beta$ como sigue,
Podemos observar que si consideramos la relación en $S_n$ dada por $\alpha \sim \beta$ si y sólo si $\alpha$ es conjugada de $\beta$, es una relación de equivalencia. Aquí no lo demostraremos, pero queda como tarea moral. Aunque no es evidente en primera instancia, el hecho de que dos permutaciones sean conjugadas puede analizarse a partir de la estructura cíclica que tienen. En la tarea moral hay ejercicios relacionados con ello.
¿A qué nos referimos con reacomodos?
Vimos que toda permutación se puede descomponer en ciclos disjuntos y, bajo condiciones específicas, esta descomposición es única salvo por orden de factores. Sin embargo, hay otras maneras de descomponer a una permutación, las podemos pensar a las permutaciones como reacomodos. Es claro que podemos llegar a cualquier reacomodo intercambiando los elementos de 2 en 2.
A continuación, ilustramos esto con un ejemplo.
Tomemos $\sigma = (1 \; 2 \; 3 \; 4 \; 5)$, en esta permutación los números $1,2,3,4$ y $5$ cambian ya que el $1$ va a dar a $2$, el $2$ al $3$, etc., así que si reacomodamos los números $1,2,3,4,5$ de acuerdo a lo que nos indica $\sigma,$ en vez la lista $1\;2\;3\;4\;5$ tendremos ahora la lista $2\;3\;4,5\;1.$ Entonces nos preguntamos, ¿cómo podemos llegar de la lista $1\;2\;3\;4\;5$ a la lista $2\;3\;4\;5\;1$ sólo mediante intercambios dos a dos?
Primero, observemos que lo único que tenemos que hacer es pasar el 1 hasta el final. Luego, tomemos en cuenta que nuestra propuesta es intercambiar los elementos de dos en dos. Así, el proceso es el siguiente:
Referencia visual del reacomodo.
Intercambiamos 1 y 2, así nuestra lista quedaría $2 \; 1 \; 3 \; 4 \; 5.$ Observemos que el 2 ya queda en la posición deseada.
Sobre el resultado anterior, intercambiamos 1 y 3. Hasta el momento tenemos el reacomodo $2 \; 3 \; 1 \; 4 \; 5$.
Ahora, nos toca intercambiar 1 y 4. Así obtenemos $2 \; 3 \; 4 \; 1 \;5$
Por último, nos queda acomodar el último número, así que intercambiamos 1 y 5.
Al final, llegamos al reacomodo buscado. Esto nos indica que para permutar los números $1,2,3,4$ y $5$ de acuerdo a $\sigma$ basta con intercambiar el uno con el dos, luego el uno con el tres, después el uno con el cuatro y finalmente el uno con el cinco. En otras palabras, la permutación sigma se obtiene de aplicar sucesivamente las transposiciones $(1 \; 2)$, $(1 \; 3)$, $(1 \; 4)$ y $(1 \; 5)$. Debido a que escribimos la composición de permutaciones de derecha a izquierda, nuestra sigma quedaría de la siguiente manera:
Este ejemplo nos ilustra cómo podemos descomponer un ciclo como producto de transposiciones. Probaremos esto en el caso general, y dado que toda permutación es un producto de ciclos y cada ciclo se puede descomponer en producto de transposiciones, entonces podremos concluir que toda permutación es un producto de transposiciones.
Teorema. La siguiente igualdad de conjuntos se cumple,
$S_n = \left< \{\tau \in S_n | \tau \text{ es una transposición} \} \right>$.
Demostración.
Como toda permutación es un producto de ciclos, basta ver que todo ciclo es un producto de transposiciones. Así,
Por lo tanto $S_n = \left< \{ \tau \in S_n | \tau \text{ es una transposición} \}\right>$.
$\square$
El polinomio de Vandermonde
Hemos probado que toda permutación se puede expresar como un producto de transposiciones, esto es importante porque las transposiciones son permutaciones muy sencillas, sin embargo estas descomposiciones no son únicas, pueden cambiar los factores que aparecen, su orden e incluso en el número de factores que presentan. A pesar de ello siempre tienen un número par o siempre un número impar de transposiciones. Con el fin probar este resultado introduciremos un polinomio con distintas indeterminadas que permutaremos usando permutaciones, para lo cual consideraremos polinomios en varias indeterminadas, que serán permutadas por los elementos del grupo simétrico.
Definición. Sea $P(x_1, \dots, x_n)$ un polinomio en las indeterminadas $x_1, \dots, x_n$ con coeficientes enteros y $\alpha \in S_n$. El polinomio $\alpha P$ se define como
Calculemos ahora $(2 \; 4) \, V(x_1,x_2,x_3,x_4)$. Observemos que los únicos factores de $V$ que cambian son aquellos donde aparece el subíndice $2$ o el $4$, y éstos se intercambian, por ejemplo el factor $ (x_1 – x_2)$ cambiará al factor $ (x_1 – x_4)$. Así
Observación 1. Dado que cada factor del polinomio de Vandermonde se queda igual o cambia de signo, sólo pueden suceder dos cosas, $\alpha V = V$ ó $\alpha V = – V$ para todo $\alpha \in S_n$, de acuerdo a si hay un número impar de cambios de signo o si hay un número par de cambio de signo.
Veamos cuál es el efecto que tienen dos permutaciones sobre un polinomio. Primero analizaremos qué efecto tienen las transposiciones en el polinomio de Vandermonde. Seguiremos para ello la idea del libro de Dummit que se menciona en la bibliografía, veremos primero qué efecto tiene la transposición $(1\; 2)$, y con ello entenderemos qué efecto tienen el resto de las transposiciones.
Lema. Sea $\tau \in S_n$ una transposición. Entonces $\tau V = -V$.
Demostración.
Caso 1 $\tau=(1\; 2)$
Al aplicar $\tau$ a $V$ los factores $x_i-x_j$ con $i,j\notin \{1,2\}$ se preservan, mientras que el factor $x_1-x_2$ cambia a $x_2-x_1$ provocando un cambio de signo. Por otro lado los factores $x_1-x_j$ con $j\in\{3,\dots ,n\}$ y los factores $x_2-x_j$ con $j\in\{3,\dots ,n\}$ no producen cambios de signo. Concluimos entonces que sólo un factor produce un cambio de signo y así $(1\; 2) V=-V.$
Caso 2 $\tau\neq(1\; 2)$, es decir $\tau =(1\; l)$ con $l\in\{3,\dots ,n\}$, o $\tau =(2\; l)$ con $j\in\{3,\dots ,n\}$, o bien $\tau =(k\; l)$ con $k,j\notin\{1,2\}.$
Notemos que \begin{align*}(2\; l)(1\; 2)(2\; l)&=(1\, l)\text{ , para } l\in\{3,\dots ,n\},\\ (1\; l)(1\; 2)(1\; l)&=(2\, l)\text{ , para } l\in\{3,\dots ,n\},\\(1\; k)(2\; l)(1\; 2)(1\;k)(2\; l)&=(k\, l)\text{ , para } k,j\notin\{1,2\}.\end{align*} Así, siempre existe $\alpha \in S_n$ tal que $\alpha (1\; 2) \alpha =\tau$.
Si $\alpha V=V$, tenemos que $\tau V=(\alpha(1\; 2)\alpha)V=(\alpha ((1\; 2)(\alpha V)))=(\alpha ((1\; 2) V))=\alpha (-V)=-\alpha V=-V.$
Si $\alpha V=-V$, tenemos que $\tau V=(\alpha(1\; 2)\alpha)V=(\alpha ((1\; 2)(\alpha V)))=(\alpha ((1\; 2) (-V))=\alpha V=-V.$
Ahora, como $\tau_2 \cdots \tau_r$ tiene $r-1$ transposiciones, podemos aplicar la hipótesis de inducción y continuar con las igualdades.
\begin{align*} -(\tau_2 \cdots \tau_r) V = -(-1)^{r-1} V = (-1)^r \,V. \end{align*}
Así, demostramos lo deseado.
$\square$
Teorema. Sea $\alpha = \tau_1 \cdots \tau_r = \rho_1 \cdots \rho_t \in S_n$, con $\tau_1, \cdots, \tau_r$, $\rho_1, \cdots, \rho_t$ transposiciones. Entonces $r$ y $t$ tienen la misma paridad.
Demostración. Por el teorema anterior, obtenemos:
\begin{align*} \alpha V = (\rho_1 \cdots \rho_t) V = (-1)^t \,V. \end{align*}
Por otro lado, por el teorema anterior también obtenemos:
\begin{align*} \alpha V = (\tau_1 \cdots \tau_r) V = (-1)^r \,V. \end{align*}
Entonces $(-1)^t V = (-1)^r V$. Por lo tanto $t$ y $r$ tienen la misma paridad.
$\square$
Tarea moral
Prueba que la relación en $S_n$ dada por $\alpha \sim \beta$ si y sólo si $\beta$ es conjugada de $\alpha$, es una relación de equivalencia.
Encuentra $\sigma\alpha\sigma^{-1}$ en cada inciso:
Escribe a $\alpha$ como un producto de transposiciones de al menos tres formas distintas y compara la cantidad de transposiciones que se usan en cada caso.
Con lo anterior, determina quién es $\alpha V$.
¿Qué forma cíclica tiene $\alpha\sigma\alpha^{-1}$?
¿Cómo podemos describir a la permutación $\alpha\sigma\alpha^{-1}$ a partir de cómo son $\alpha$ y $\sigma$ sin necesidad de hacer paso a paso la composición? ¿puedes encontrar una fórmula que lo describa?
Más adelante…
Todavía nos quedan propiedades del polinomio de Vandermonde que estudiar. En la siguiente entrada profundizaremos en ellas. Por ejemplo, ¿existe una manera de determinar el signo que tendrá el $\alpha-$polinomio de Vandermonde? ¿Cómo se relaciona con la descomposición de la permutación $\alpha$? ¿Hay manera de relacionar las permutaciones que dan lugar a polinomios con el mismo signo? Éstas y otras preguntas las responderemos a continuación.
(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)
Introducción
Consideremos $\alpha \in S_7$ como $\alpha = (1\,3\,2)(6\,4)$, esta permutación fija a $5$ y a $7$. Entonces también podemos escribirla como $\alpha = (1\,3\,2)(6\,4)(5)(7)$. Notamos que una de las cosas en las que difieren es que en la segunda descomposición estamos agregando uno ciclos, pero también $\alpha = (1 \, 3 \, 2) (7) (6 \, 4)(5)$ es otra forma diferente de expresar a la permutación escribiendo a los uno ciclos. En esta entrada nos planteamos la posibilidad de escribir a $\alpha$ como un producto de ciclos distintos incluyendo a todos los uno ciclos y analizamos en qué difieren todas las distintas maneras de hacerlo.
Antes de empezar, podrías intentar escribir todas las maneras posibles de describir a $\alpha$ escribiendo a los uno ciclos. ¿Notas algo en común entre todas? Al final de esta entrada, tendremos la respuesta más clara.
Definición de una factorización completa
Para empezar, necesitamos definir un nuevo concepto.
Definición. Sea $\alpha \in S_n$. Una factorización completa de $\alpha$ es una descomposición de $\alpha$ en ciclos disjuntos con un $1-$ciclo por cada elemento fijado por $\alpha$.
Entonces $\alpha = (1 \; 3)\,(4 \; 5 \; 7)$ es una factorización de $\alpha$ en ciclos distintos pero no es una factorización completa de $\alpha$. Por otro lado $\alpha = (1 \; 3)\,(4 \; 5 \; 7)\,(2) \,(6) \,(8)$ sí es una factorización completa de $\alpha$.
Esa es una factorización completa de $\beta \in S_8$, pero no en $S_{10}$, en $S_{10}$ una factorización completa de de $\beta$ sería \begin{align*} \beta = (2 \; 4 \; 6 \; 8) \, (1 \; 3 \; 5)\,(7)\, (9) \, (10). \end{align*}
No es UNA factorización completa, es LA factorización completa
Recortemos la pregunta de la introducción ¿qué tienen en común todas las formas de describir a $\alpha$ como un producto de ciclos distintos en el que se incluyen todos los uno ciclos? He aquí la respuesta.
Teorema. Una factorización completa es única salvo por el orden de los factores.
Demostración.
Supongamos por reducción al absurdo que existe $\alpha\in S_n$ con dos factorizaciones completas distintas, no sólo por el orden de sus factores. Dado que en una factorización completa los $1-$ciclos corresponden a los elementos que quedan fijos, éstos coinciden en ambas factorizaciones. Igualando ambas factorizaciones y cancelando los $1-$ciclos y el resto de los factores comunes de ambas factorizaciones obtenemos $$\beta_1 \cdots \beta_r = \delta_1 \cdots \delta_s,$$ con $r,s \in \n^+.$ Notemos que $\alpha=\beta_1 \cdots \beta_r= \delta_1 \cdots \delta_s$.
Por la hipótesis de reducción al absurdo, alguno de los factores de la primera expresión de $\alpha$ no aparece como factor en la segunda expresión de $\alpha$ o viceversa. Sin pérdida de generalidad supongamos que $\beta_1\notin \{ \gamma_1, \dots , \gamma_s\}.$
Sea $i\in\{1,\dots , n\}$ un elemento movido por $\beta_1$, entonces, de acuerdo a lo que hemos estudiado, $\beta_1$ es de la forma $$\beta_1= (i \; \beta_1(i) \; \cdots \;\beta_1 ^{t-1}( i)),$$ con $t$ el menor natural positivo tal que $\beta_1 ^{t}( i)=i$. Dado que $\beta_1 ,\dots , \beta_r $ son disjuntos, $\alpha$ mueve a $i$, y como $\delta_1, \dots , \delta_s$ también son disjuntos, exactamente un factor $\delta_1, \dots , \delta_s$ mueve a $i$. Sin pérdida de generalidad supongamos que $\delta_1$ mueve a $i$, entonces $\delta_1$ es de la forma $$\delta_1= (i \;\delta_1(i) \; \cdots \;\delta_1 ^{k-1}( i)),$$ con $k$ el menor natural positivo tal que $\delta_1 ^{k}( i)=i$.
Pero, debido a que $\beta_1 ,\dots , \beta_r $ son disjuntos, conmutan, y entonces $$\alpha ^j (i)=(\beta_1 \cdots \beta_t)^j(i)=\beta_1^j \cdots \beta_t^j(i)=\beta_1^j (i)$$ para toda $j\in\mathbb{N}^+$. Análogamente $\alpha ^j (i)=\delta_1^j (i)$ para toda $j\in\mathbb{N}^+$. Concluimos con ello que $\beta_1 ^j (i)=\delta_1^j (i)$ para toda $j\in\mathbb{N}^+$ y en consecuencia $t=k$ y $\beta_1=\delta_1$, contradiciendo la elección de $\beta_1$.
Así, toda factorización completa es única salvo por el orden de los factores.
Entonces ya sabemos que existe una factorización única para cada permutación. La usaremos para definir el concepto de estructura cíclica en la siguiente entrada.
(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)
Introducción
Repasemos un poco el último ejemplo de la entrada anterior. En $S_5$ teníamos la composición $(1 \; 2 \; 3 \; 4)(2 \; 4 \; 5)$ y fijándonos en qué ocurre con cada elemento, concluimos que esta composición es igual a $(1 \; 2)(3 \; 4 \; 5)$. Entonces obtuvimos dos composiciones distintas para escribir a esa permutación. En el dibujo, es más claro que en la primera los dos ciclos se están entrelazando entonces es más difícil entender qué es lo que hace la permutación. Pero cuando vemos la representación de $(1 \; 2)(3 \; 4 \; 5)$ es más fácil entender qué es lo que está haciendo nuestra permutación. Así, es más conveniente trabajar con la segunda notación.
A simple vista podemos observar que $(1 \; 2 \; 3 \; 4)$ y $(2 \; 4 \; 5)$ comparten el 2, pero $(1 \; 2)$ y $(3 \; 4 \; 5)$ no comparten ningún elemento. En este caso, se dice que $(1 \; 2)$ y $(3 \; 4 \; 5)$ son ciclos disjuntos. Más aún, ¿será que cualquier permutación se puede descomponer en ciclos disjuntos? la respuesta es que sí, esto lo demostraremos también en esta entrada.
Definición de permutaciones disjuntas
Antes de definir lo que significa que dos permutaciones sean disjuntas, nos gustaría recordar la última observación de la entrada anterior. Observación. Si $n \geq 3$, entonces $S_n$ no es abeliano. Esto nos sirve para establecer que, en general, trabajaremos con grupos no abelianos.
Ahora sí definamos lo que son permutaciones disjuntas. Definición. Sean $\alpha, \beta \in S_n$. Decimos que $\alpha$ y $\beta$ son disjuntas o ajenas si sop$\,\alpha \,\cap $ sop$\,\beta = \emptyset$, es decir, dado $i\in \{1,2,\dots, n\}$ se tiene que
\begin{align*} \alpha(i) \neq i &\Rightarrow \beta(i) = i .\\ \end{align*}
En consecuencia también ocurre que si $\beta(i) \neq i$, entonces $\alpha(i) = i.$
Observación. Si $\alpha$ y $\beta$ son disjuntas, pueden fijar a un mismo elemento pero no mover a un mismo elemento.
En particular, si tenemos dos ciclos de longitud mayor a uno, podemos obtener la siguiente equivalencia. Observación. Sean $\alpha = (i_1 \dots i_r)$ y $\beta = (j_1 \dots j_t)$ con $r,t > 1$. Entonces $\alpha$ y $\beta$ son disjuntas si y sólo si $\{i_1, \dots, i_r\} \cap \{j_1, \dots, j_t\} = \emptyset$.
Ejemplos.
$(1 \; 2 \; 3 \; 4)$ y $(2 \; 4 \; 5)$ no son disjuntas.
$(1 \; 2)$ y $(3 \; 4 \; 5)$ sí son disjuntas.
Las permutaciones disjuntas conmutan
Lema. Sean $\alpha, \beta \in S_n$. Si $\alpha$ y $\beta$ son disjuntas, entonces conmutan.
Caso 1. Cuando $\alpha(i) = i$, $\beta(i) = i$. Ambas fijan al mismo elemento, esto es posible en permutaciones disjuntas. Entonces, al componer, no importará que permutación se aplique primero. \begin{align*} \alpha\beta(i) = \alpha(i) = i = \beta(i) = \beta\alpha(i). \end{align*}
Caso 2. Cuando $\alpha(i) = i$, $\beta(i) \neq i$. Si componemos, obtenemos $\beta\alpha(i) = \beta(i)$. Como $\beta$ es inyectiva y $\beta(i) \neq i$, entonces $\beta(\beta(i)) \neq \beta(i)$. Así $\beta$ mueve a $\beta(i)$ y como $\alpha$ y $\beta$ son disjuntas $\alpha$ fija a $\beta(i)$. Entonces \begin{align*} \alpha\beta(i) = \alpha(\beta(i)) = \beta(i). \end{align*} Por lo tanto $\beta\alpha(i) = \alpha\beta(i)$.
Caso 3. Cuando $\alpha(i) \neq i$, $\beta(i) = i$. Este es análogo al caso 2.
El caso $\alpha(i) \neq i$, $\beta(i) \neq i$ no se da pues $\alpha$ y $\beta$ son disjuntas. Por lo tanto $\alpha\beta = \beta\alpha$.
$\blacksquare$
Toda permutación se puede descomponer en ciclos disjuntos
Comencemos como un ejemplo. Consideremos a la permutación $\alpha \in S_9$
El 1 va al 3 y el 3 regresa al 1, entonces tenemos una transposición $(1 \; 3)$.
Luego, observemos que el 2 va al 4, el 4 al 7 y el 7 al 4. Así tenemos un $3-$ciclo, $(2 \; 4 \; 7)$.
De los números que no han aparecido hasta ahora, podemos tomar el 5, este va al 8, el 8 al 9 y el 9 regresa al 5. Entonces tenemos otro $3-$ciclo $(5 \; 8 \; 9)$.
Por último, el 6 queda fijo.
Esto se puede dibujar de la siguiente manera:
Representación gráfica de $\alpha$.
Pero también se puede escribir algebraicamente como:
Ahora veremos que cualquier permutación se puede descomponer en un producto de ciclos disjuntos.
Analicemos primero cómo se construyen los ciclos a partir de un número en su soporte.
Observación 1. Sean $t\in\mathbb{N}^+$, $\sigma\in S_n$ un $t$-ciclo e $i\in \text{sop } \sigma$. Entonces $$\sigma=(i\; \sigma(i) \;\sigma^2(i)\dots \sigma^{t-1}(i))$$ con $t=\text{mín}\{j\in \mathbb{N}^+| \sigma^{j}(i)=i\}.$
Demostración.
Sean $t\in\mathbb{N}^+$, $\sigma\in S_n$ un $t$-ciclo e $i\in \text{sop } \sigma$. Sabemos que $\sigma$ es de la forma $$\sigma=(i_0\; i_1 \cdots i_{t-1})$$ con $i_0, i_1, \dots , i_{t-1}$ distintos. Como $i\in \text{sop } \sigma=\{i_0, i_1, \dots , i_{t-1}\}$ podemos suponer sin pérdida de generalidad que $i=i_0$ por lo que $\sigma=(i\; i_1 \cdots i_{t-1})$. Entonces
\begin{align*}\sigma(i)&=i_1, \\\sigma^2(i)&=\sigma(\sigma(i))=\sigma(i_1)=i_2\end{align*} y en general $\sigma^j(i)=i_{j}$ para toda $1\leq j<t$ por lo que $$\sigma=(i\; \sigma(i) \;\sigma^2(i)\cdots \sigma^{t-1}(i))$$ con $i,\sigma(i) ,\sigma^2(i),\dots , \sigma^{t-1}(i)$ distintos. En particular $\sigma(i) ,\sigma^2(i),\dots , \sigma^{t-1}(i)$ son distintos de $i$ y además $\sigma^t(i)=\sigma(\sigma^{t-1}(i))=\sigma(i_{t-1})=i$ por lo que $t=\text{mín}\{j\in \mathbb{N}^+| \sigma^{j}(i)=i\}.$
Veamos ahora qué ocurre si la permutación no es necesariamente un ciclo. Probemos que cada número movido por la permutación da lugar a un ciclo.
Lema 1. Sea $\alpha\in S_n$, $i\in\{1,\dots , n\}$. Para cada $i\in\text{sop }\alpha$ existe $j\in\mathbb{N}^+$ tal que $\alpha ^{j}(i)=i$, más aún, si $t_i=\text{mín}\{j\in\mathbb{N}^+\mid \alpha ^{j}(i)=i\}$ se tiene que $i , \alpha(i), \alpha^2(i), \dots ,\alpha^{t_i-1}(i)$ son distintos.
Sabemos que esta lista tiene elementos repetidos ya que consiste de números en el conjunto finito $\{1,2,\dots,n\}$. Existen entonces $r,s\in\mathbb{N}$ distintos tales que $\alpha^r(i) = \alpha^s(i)$, sin pérdida de generalidad $s < r,$ por lo cual $ \alpha^{r-s}(i) = i$ con $ r-s\in\mathbb{N}^+$ como se quería demostrar.
Así, el conjunto $\{j\in\mathbb{N}^+\mid \alpha ^{j}(i)=i\}$ es no vacío, y por el principio del buen orden tiene un elemento mínimo, digamos $t_i$. Veamos ahora que $i , \alpha(i), \alpha^2(i), \dots ,\alpha^{t_i-1}(i)$ son distintos. Supongamos que $\alpha^q(i) = \alpha^l(i)$ para algunos $0\leq q\leq l < t_i$, entonces $\alpha^{l-q}(i) = i$ con $ 0\leq l-q<t_i$ y por la elección de $t_i$ esto implica que $l-q=0$, es decir que $q=l$. Por lo tanto $i , \alpha(i), \alpha^2(i), \dots ,\alpha^{t_i-1}(i)$ son distintos.
$\blacksquare$
Gracias al lema anterior podemos considerar el ciclo $(i\; \alpha (i)\cdots \alpha ^{t_i-1}(i))$:
Definición. Sea $\alpha\in S_n$, $i\in\text{sop }\alpha$ . El ciclo definido por $\alpha$ y por $i$ es
$$\sigma_{\alpha,i}=(i\; \alpha (i)\cdots \alpha ^{t_i-1}(i))\text{ con }t_i=\text{mín}\{j\in\mathbb{N}^+\mid \alpha ^{j}(i)=i\}.$$
Notemos que si $i\in\text{sop }\alpha$, entonces $$\sigma_{\alpha,i}=(i\; \alpha (i)\cdots \alpha ^{t_i-1}(i))= (\alpha (i)\cdots \alpha ^{t_i-1}(i)\;i)= (\alpha^2 (i)\cdots \alpha ^{t_i-1}(i)\;i\;\alpha(i))= \dots, \text{ etc.},$$ por lo que toda $k\in \{i, \alpha (i),\dots , \alpha ^{t_i-1}(i)\}$ define el mismo ciclo que $i$, es decir:
Observación 2. Si $i\in\text{sop }\alpha$, entonces para toda $k\in \{i, \alpha (i),\dots , \alpha ^{t_i-1}(i)\}$ se tiene que $\sigma_{\alpha,k}=\sigma_{\alpha,i}$ y $t_k=t_i.$
En consecuencia tenemos el siguiente resultado:
Lema 2. Sea $\alpha\in S_n$, $i,j\in\text{sop }\alpha$, y consideremos $\sigma_{\alpha,i},\sigma_{\alpha,j}$ como en la definición anterior. Si $\sigma_{\alpha,i}\neq \sigma_{\alpha,j},$ entonces $\sigma_{\alpha,i}$ y $\sigma_{\alpha,j}$ son disjuntos.
Demostración.
Sea $\alpha \in S_n$, $i,j\in\text{sop }\alpha$, $\sigma_{\alpha,i}\neq \sigma_{\alpha,j},$ como en la definición anterior. Probemos el lema por contrapuesta. Supongamos que $\sigma_{\alpha,i}$ y $ \sigma_{\alpha,j},$ no son disjuntos. Existe entonces $k$ movido por ambos ciclos, es decir $k\in\{i, \alpha (i),\cdots \alpha ^{t_i-1}(i)\}\cap\{j, \alpha (j),\cdots ,\alpha ^{t_j-1}(j)\}.$ Por la observación previa tenemos que $\sigma_{\alpha,k}=\sigma_{\alpha,i}$ y $\sigma_{\alpha,k}=\sigma_{\alpha,j}$, de donde concluimos que $\sigma_{\alpha,i}=\sigma_{\alpha,j}$.
$\blacksquare$
Ahora veremos que al considerar todos los ciclos distintos del tipo $\gamma_i$ y componerlos, obtenemos una descomposición de la permutación inicial en ciclos disjuntos:
Teorema. Toda permutación en $S_n$ es un ciclo o un producto de ciclos disjuntos
Demostración.
Sea $\alpha\in S_n$. Consideremos todos los ciclos $\sigma_{\alpha,i}$ con $j\in\text{sop }\alpha$ y eliminemos los ciclos repetidos, llamemos $\gamma_1,\gamma_2,\dots ,\gamma_r$ a los ciclos restantes. Afirmamos que $\alpha=\gamma_1\gamma_2\cdots \gamma_r$ es una descomposición de $\alpha$ en ciclos disjuntos. Por construcción $\gamma_1\gamma_2\cdots \gamma_r$ es un producto de ciclos, y por el lema 2, dado que $\gamma_1,\gamma_2,\dots ,\gamma_r$ son distintos, entonces son también disjuntos. Así, basta convencerse de que $\alpha=\gamma_1\gamma_2\cdots \gamma_r$ para terminar la demostración.
Sea $i\in\{1,2,\dots ,n\}$. Si $i\in\text{sop }\alpha$ tenemos que $\sigma_{\alpha,i}\in\{\sigma_{\alpha,j}\mid j\in\text{sop }\alpha\}=\{\gamma_1,\gamma_2,\dots ,\gamma_r\}$ y entonces $\sigma_{\alpha,i}=\gamma_j$ para alguna $1\leq j\leq r$. Así, $\gamma_j=\sigma_{\alpha,i}=(i\; \alpha (i)\cdots \alpha ^{t_i-1}(i))$ y $$\gamma_1\gamma_2\cdots \gamma_r(i)=\gamma_j(i)=\alpha(i)$$ (donde la primera igualdad se debe a que $\gamma_1,\gamma_2,\dots ,\gamma_r$ son disjuntos). Si $i\notin\text{sop }\alpha$ tenemos que $i\notin\text{sop }\gamma_j$ para toda $j\in\{1,\dots ,r\}$ , por lo que $\gamma_1\gamma_2\cdots \gamma_r(i)=i=\alpha(i)$. Por lo tanto $\alpha=\gamma_1\gamma_2\cdots \gamma_r$ .
Entonces, nombremos $\gamma_1$ a ese $4-$ciclo, $\gamma_1 = (1 \; 4 \; 9 \; 2)$.
Ahora, tomemos un elemento que no esté en $\gamma_1$, digamos $3$. De nuevo, aplicamos $\alpha$ varias veces para descubrir el ciclo al que pertenece. \begin{align*} 3, \alpha(3) = 7, \alpha^2(3)=3. \end{align*}
Tenemos así una transposición $\gamma_2=(3\; 7).$
Volvemos a tomar un número que no haya aparecido hasta ahora, digamos $5$. Aplicando $\alpha$ varias veces, podemos descubrir el ciclo, \begin{align*} 5, \alpha(5) = 6, \alpha^2(5) = 8, \alpha^3(5) = 5, \end{align*}
Demuestra la observación: Si $n \geq 3$, entonces $S_n$ no es abeliano.
Encuentra dos permutaciones disjuntas $\alpha$ y $\beta$. Encuentra $\beta\alpha$ y $\alpha\beta$ ¿qué observas al comparar $\beta\alpha$? Intenta con otro ejemplo de dos permutaciones disjuntas $\alpha$ y $\beta$ y analiza lo que ocurre.
Sean $\alpha$ y $\beta$ dos permutaciones que conmutan ¿podemos concluir entonces $\alpha$ y $\beta$ son disjuntas?
Considera el siguiente elemento de $S_{11}$ \begin{align*} \alpha = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11\\ 5 & 8 & 2 & 6 & 4 & 1 & 3 & 7 & 9 & 11 & 10 \end{pmatrix}. \end{align*} Encuentra una factorización en ciclos disjuntos de $\alpha$, y de $\alpha^{-1}$.
Más adelante…
Ya conocemos qué son las permutaciones disjuntas y que cualquier permutación se puede ver como multiplicación de ciclos disjuntos. También, puede que hayas notado que comenzamos a escribir los $1-$ciclos de los elementos que se quedan fijos en las permutaciones. Esto nos encamina al tema principal de la siguiente entrada, la factorización completa, que no es más que la descomposición de una permutación en ciclos disjuntos incluyendo los $1-$ciclos.
(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)
Introducción
La Unidad 2 empieza con algunas definiciones nuevas. Veremos un ejemplo específico de grupo, primero definiremos qué es una permutación y luego, el conjunto de todas las permutaciones, al que llamaremos grupo simétrico junto con la composición. Este grupo es importante porque más adelante descubriremos que los grupos se pueden visualizar como subgrupos de grupos de permutaciones.
Primeras definiciones
Definición. Una permutación de un conjunto $X$ es una función biyectiva de $X$ en $X$.
Notación. Denotaremos por $S_X$ al conjunto
\begin{align*} S_X = \{\sigma: X \to X | \sigma \text{ es biyectiva}\}. \end{align*}
Si $X = \{1,…,n\}$, $S_X$ se denota por $S_n$. Si tomamos $\alpha, \beta \in S_X$ la composición de $\alpha$ seguida de $\beta$ se denota por $\beta\alpha$.
Observación 1. $S_X$ con la composición es un grupo, se llama el Grupo Simétrico.
La matriz es una manera de representar una permutación, la fila de arriba son todos los elementos de $X= \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$ y la fila de abajo está formada por las imágenes bajo $\alpha$ de cada elemento de la fila de arriba. Es decir, la matriz de $\alpha$ se puede leer como: «$\alpha$ manda al $1$ al $8$», «el $ 2 $ lo manda al $3$», etc. Entonces tenemos que, $\alpha$ mueve a $1,2,3,4,5,7,8$ y fija al $6,9,10$. Así
Definición. Sea $\alpha \in S_n$, $r\in\z$, $r>1$. Decimos que $\alpha$ es un ciclo de longitud $r$ o un $r$-ciclo si existen $i_1, \dots, i_r \in \{1, \dots, n\}$ distintos tales que $\text{sop }\alpha = \{i_1, \dots, i_r\}$ y
\begin{align*} \alpha(i_t) = \begin{cases} i_{t+1} & \text{si } t \in \{1, \dots, r-1\} \\ i_1 & \text{si } t = r \end{cases} \end{align*}
Figura para ilustrar la definición de un ciclo.
Diremos que la permutación $\text{id}\in S_n$ es un ciclo de longitud $1$ o un $1$-ciclo. Los ciclos de longitud dos se llaman transposiciones.
Las transposiciones son muy importantes porque, como veremos más adelante, nos permitirán describir a las demás permutaciones.
Notación.
Un $r$-ciclo $\alpha$, tal que cada $i_j$ va a $i_{j+1}$ para cada $j \in \{1,…,r-1\}$ y $i_r$ regresa a $i_1$ se denota como $\alpha = (i_1\; i_2 \; \dots \; i_r)$.
Además, denotamos como $r = \text{long } \alpha$ a la longitud de $\alpha$.
En este caso, $\alpha$ es un $5-$ciclo y $\text{long }\alpha = 5$. Observemos que el ciclo se puede comenzar a escribir con cualquier elemento de su soporte, siempre y cuando se cumpla la regla de correspondencia establecida.
2. Ahora, consideremos $\beta \in S_8$ como
Representación de $\beta$.
\begin{align*} \beta =\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 1 & 2 & 5 & 4 & 3 & 6 & 7 & 8\end{pmatrix}, \end{align*} entonces podemos decir que $\beta = (3 \; 5)$, porque a los otros elementos los deja fijos.
Si componemos $\beta$ con el $\alpha$ del ejemplo anterior obtenemos:
Para verificar qué ésta es efectivamente la composición de $\beta$ seguida de $\alpha$, tenemos que observar a dónde manda a cada elemento:
Comenzamos con el $2$ (esto es arbitrario, se puede comenzar con el número que sea), observamos que $\beta$ lo deja fijo, entonces nos fijamos a dónde lo manda $\alpha$, en este caso, el $2$ es mandado al $4$. Así, $\alpha\beta$ manda al $2$ en el $4$.
Repetimos el proceso con el $4$, $\beta$ lo deja fijo y $\alpha$ lo manda al $5$. Así, $\alpha\beta$ manda al $4$ en el $5$.
Ahora con el $5$, $\beta$ manda al $5$ en $3$, entonces ahora vemos a dónde manda $\alpha$ al $3$, en este caso lo deja fijo. Así, $\alpha\beta$ manda al $5$ en el $3$.
Entonces ahora tenemos que observar a dónde es mandado el $3$ después de la composición. Primero, $\beta$ manda el $3$ al $5$ y $\alpha$ manda el $5$ al $8$, por lo tanto $\alpha\beta$ manda el $3$ al $8$.
Así continuamos con todos los elementos que aparezcan en la composición hasta terminar.
Ahora, veamos qué sucede con $\beta\alpha$. El proceso es análogo: \begin{align*} \beta\alpha &= (3 \; 5) (2 \; 4 \; 5 \; 8 \; 6) = (3 \; 5 \; 8 \; 6 \; 2 \; 4). \end{align*} Por lo tanto $\alpha\beta \neq \beta\alpha$.
3. En $S_5$. Podemos considerar la siguiente permutación: $(1 \; 2 \; 3 \; 4)(2 \; 4 \; 5)$. A esta permutación la podemos simplificar usando el mismo procedimiento que en el ejemplo 2.
Observamos a dónde lleva cada uno de sus elementos:
Comencemos con el 2, la primera parte de la permutación, lleva el 2 al 4 y, la segunda parte lleva el 4 al 1.
Ahora veamos a dónde va el 1. La primera parte lo deja fijo y la segunda lo lleva al 2. Entonces obtenemos una permutación $(1\;2)$. Pero todavía falta ver el resto de elementos.
Ahora, veamos qué sucede con el 3. La primera parte lo deja fijo y la segunda lo manda al 4.
La primera parte de nuestra permutación manda el 4 al 5 y, el 5 se queda fijo.
Por último, el 5 es mandado al 2 por la primera parte de la permutación y, la segunda parte manda al 2 en el 3. Por lo tanto, el 5 regresa al 3. Esto se puede escribir como:
Este ejemplo nos permite intuir que en ocasiones las permutaciones se pueden simplificar.
Observación. Si $n \geq 3$, entonces $S_n$ no es abeliano.
Tarea moral
Demostrar la observación 1: $S_X$ con la composición es un grupo, se llama el Grupo Simétrico.
Sea $X$ un conjunto infinito, $H$ la colección de permutaciones de $S_X$ que mueven sólo un número finito de elementos y $K$ la colección de permutaciones que mueven a lo más $50$ elementos. ¿Son $H$ y $K$ subgrupos de $S_X$?
Sea $a \in S_n, $ con $n > 2$. Si $\alpha$ conmuta con toda permutación de $S_n$ ¿puedes decir quién debe ser $\alpha$?
Más adelante…
Por el momento continuaremos hablando de las permutaciones. El último ejemplo visto nos da la noción de permutaciones disjuntas, este tema es el que profundizaremos en la siguiente entrada, pero por el momento ¿puedes imaginarte de qué se trata?
