Definiciones: Sea $\big( X, d \big)$ un espacio métrico; en nuestro curso consideramos el espacio métrico$\big( \mathbb{R}^n, \| \; \|_2 \big)$:

Decimos que un punto $x$ es un punto de adherencia de un conjunto $A$ si cualquier vecindad (bola abierta) suya contiene al menos un punto de $A$. $$\forall \; r > 0, B_r (x) \cap A \neq \emptyset$$

El conjunto de puntos de acumulación de $A$ se denota por $A^{\prime}$.

Decimos que $x$ es un punto de acumulación de un conjunto $A$ si para todo $r > 0$ la bola perforada con centro en $x$ y radio $r$ contiene elementos de $A$. $$\mathring{B}_r (x) \cap A \neq \emptyset$$

El conjunto de los puntos de adherencia de $A$ se denota por $\big[ A \big]$.

Observación 1: Todo punto de acumulación de $A$ es un punto de adherencia de $A$.

Sea $x$ punto de acumulación de $A$, entonces $\forall \; r > 0 $ se tiene que $$\mathring{B}_r (x) \cap A \neq \emptyset \Longrightarrow B_r (x) \cap A \neq \emptyset$$

En consecuencia $A^{\prime} \subseteq \big[ A \big] \; _\blacksquare$.

Observación 2: Si $a$ es un punto aislado de $A$, $a$ es punto de adherencia de $A$ que NO es punto de acumulación de $A$.

¿Cuál es la diferencia entre $\overline{A}$ y $\big[ A \big]$?

• si $x \in \overline{A} \iff x \in A \lor x \in \partial A$ pero $\partial A \subseteq A$ y $A \subseteq \big[ A \big]$ por lo que $\overline{A} \subseteq \big[ A \big]$.
• si $x \in \big[ A \big] = A \cup \big( \big[ A \big] \setminus A \big)$ entonces $$x \in A \Longrightarrow x \in \overline{A}$$ o $$x \in \big[ A \big] \setminus A \Longrightarrow x \in \partial A \Longrightarrow x \in \overline{A}$$ $$ \therefore \overline{A} = \big[ A \big] \; _{\blacksquare}$$

Recordemos, en $\mathbb{R}$, sea $\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ una sucesión de números reales, es decir una función $$x : \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{R}.$$

Notación: $$x (1) = x_1$$ $$x (2) = x_2$$ $$x (3) = x_3$$ $$\vdots$$

Geométricamente, puntos en la recta $\mathbb{R}$.

Ejemplo: sucesión $\big\{ \frac{1}{n} \big\}$ para $n \in \mathbb{N}$.

https://www.geogebra.org/m/gwet39b2

https://www.geogebra.org/classic/jyzgsg63

Decimos que un número $L \in \mathbb{R}$ es el límite de la sucesión $\{x_n\}_{n \, \in \mathbb{N}}$, si $\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}$ tal que para toda $n > N$ se cumple que $\big|x_n – L \big| < \epsilon$.

Decimos que $\overrightarrow{L} \in \mathbb{R}^2$ es el límite de la sucesión $\Big\{\overrightarrow{x_n}\Big\}_{n \, \in \mathbb{N}}$, si $\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}$ tal que $\forall n > N$ se cumple que $\Big\| \overrightarrow{x_n} – \overrightarrow{L} \Big\| < \epsilon.$

Teorema: Si una sucesión tiene dos límites $\overrightarrow{L_1}$ y $\overrightarrow{L_2}$ entonces $\overrightarrow{L_1} = \overrightarrow{L_2}.$

Demostración:

Sea $\Big\{\overrightarrow{x_n} \Big\}_{n \in \mathbb{N}}$ una sucesión en $\mathbb{R}^2$ supongamos que tiene dos límites $\overrightarrow{L_1} \neq \overrightarrow{L_2}.$

Sea $\epsilon_0 = \frac{\overrightarrow{L_1}-\overrightarrow{L_2}}{2}$.

Como $\overrightarrow{L_1}$ es límite entonces a partir de un momento $N_1$ todos los $\overrightarrow{x_n} \in B_{\epsilon_0} \Big( \overrightarrow{L_1} \Big).$

De igual modo, $\overrightarrow{L_2}$ es límite entonces a partir de un momento $N_2$ todos los $\overrightarrow{x_n} \in B_{\epsilon_0} \Big( \overrightarrow{L_2} \Big).$ (CONTRADICCIÓN) ya que todas las bolas son ajenas.

$$\therefore \; \overrightarrow{L_1} = \overrightarrow{L_2} \; _{\blacksquare}$$

Teorema: Sea $\Big\{ \Big( \overrightarrow{x_n}, \overrightarrow{y_n} \Big) \Big\}_{n\, \in \mathbb{N}}$ una sucesión de puntos en $\mathbb{R}^2$. Esta sucesión converge a un punto $\Big( \overrightarrow{L}, \overrightarrow{M} \Big)$ si y sólo si los límites de las coordenadas convergen. Es decir, $$\Big\{\overrightarrow{x_n} \Big\}_{n\, \in \mathbb{N}} \longrightarrow \overrightarrow{L}$$ $$\Big\{\overrightarrow{y_n} \Big\}_{n\, \in \mathbb{N}} \longrightarrow \overrightarrow{M}$$

Demostración:

[$\Rightarrow$] Si $\Big(\overrightarrow{x_n}, \overrightarrow{y_n} \Big) \longrightarrow \Big(\overrightarrow{L}, \overrightarrow{M} \Big)$ entonces $$\overrightarrow{x_n} \longrightarrow \overrightarrow{L}$$ $$\overrightarrow{y_n} \longrightarrow \overrightarrow{M}$$

$\big[$ por demostrar: $\big\{\overrightarrow{x_n}\big\} \longrightarrow \overrightarrow{L} \; \big]$

Sea $\epsilon > 0.$

$\exists \, N > 0$ tal que $n \geq N \Rightarrow \Big|\overrightarrow{x_n} – \overrightarrow{L} \Big| < \epsilon$.

Como $\Big\{ \Big(\overrightarrow{x_n}, \overrightarrow{y_n} \Big) \Big\} \longrightarrow \Big(\overrightarrow{L}, \overrightarrow{M} \Big)$ para $\epsilon > 0$ dada existe $n \geq Ñ \Rightarrow \Big\| \Big(\overrightarrow{x_n}, \overrightarrow{y_n} \Big) \, – \, \Big( \overrightarrow{L}, \overrightarrow{M} \Big) \Big\| < \epsilon$ entonces $$\sqrt{ \Big( \overrightarrow{x_n} – \overrightarrow{L} \Big)^2 + \Big( \overrightarrow{y_n} – \overrightarrow{M} \Big)^2 \, } < \epsilon$$ $$\Big| \overrightarrow{x_n} \, – \, \overrightarrow{L} \Big| \leq \sqrt{\Big(\overrightarrow{x_n} \, – \, \overrightarrow{L} \Big)^2+ \Big(\overrightarrow{y_n} \, – \, \overrightarrow{M}\Big)^2 \, } < \epsilon$$ $$\Rightarrow \Big|\overrightarrow{x_n} \, – \, \overrightarrow{L} \Big| < \epsilon$$

Entonces $N =$ Ñ sirve.

Análogamente la sucesión de $\Big\{\overrightarrow{y_n} \Big\}_{n \, \in \mathbb{N}} \longrightarrow \overrightarrow{M}$.

[$\Leftarrow$] Si las sucesiones $\Big\{\overrightarrow{x_n} \Big\} \Longrightarrow \overrightarrow{L}$ y $\Big\{\overrightarrow{y_n}\Big\} \Longrightarrow \overrightarrow{M}$ entonces la sucesión $\Big\{ \Big(\overrightarrow{x_n}, \overrightarrow{y_n} \Big) \Big\}_{n\, \in \mathbb{N}} \longrightarrow \Big(\overrightarrow{L}, \overrightarrow{M} \Big)$.

Sea $\epsilon > 0$

$\big[$ por demostrar: existe $N$ tal que si $n > N$ entonces $\Big\| \Big(\overrightarrow{x_n}, \overrightarrow{y_n}\Big) \, – \, \Big(\overrightarrow{L}, \overrightarrow{M} \Big) \Big\| < \epsilon \big]$

Dada la circunferencia $\big(x-L\big)^2+\big(y-M\big)^2=\epsilon^2$, queremos saber cuales son las coordenadas del cuadrado con lados paralelos a los ejes coordenados que está inscrito en la circunferencia.

Como $\Big\{\overrightarrow{x_n}\Big\} \longrightarrow \overrightarrow{L}$ para $\delta = \frac{\epsilon}{\sqrt{2}}$ existe $N_1$ tal que $n \geq N_1 \rightarrow \Big|\overrightarrow{x_n} \, – \, \overrightarrow{L} \Big| < \delta$…..$(1)$

Como $\Big\{\overrightarrow{y_n} \Big\} \Longrightarrow \overrightarrow{M}$ para $\delta = \frac{\epsilon}{\sqrt{2}}$ existe $N_2$ tal que $n \geq N_2 \rightarrow \Big|\overrightarrow{y_n} \, – \, \overrightarrow{M}\Big| < \delta$…..$(2)$

Por $(1)$ y $(2)$, para $n \geq máx \big\{N_1, N_2 \big\}$ tenemos que $$\Big|\overrightarrow{x_n} \, – \, \overrightarrow{L}\Big| < \delta \wedge \Big|\overrightarrow{y_n} \, – \, \overrightarrow{M}\Big| < \delta \Longrightarrow \Big(\overrightarrow{x_n}, \overrightarrow{y_n} \Big) \text{ está en el cuadrado con vértices} \Big(\overrightarrow{L}\pm \delta , \overrightarrow{M} \pm \delta \Big)$$

Entonces $\Big(\overrightarrow{x_n}, \overrightarrow{y_n} \Big)$ está en el círculo.$_{\blacksquare}$

Dado un conjunto $A \subseteq \mathbb{R}^n$ decimos que un punto $x_0$ es punto interior de $A$ si $\exists \; r>0$ tal que la bola de radio $r$ con centro en $x_0$ está contenida en $A$. $$\big\{ x \in \mathbb{R}^n \; \big| \; \| x-x_0\| < r \big\} \subseteq A$$

https://www.geogebra.org/classic/frqfnkeq

Observación: esta definición vale en un espacio métrico $\big(X, d\big)$. $x_0$ es punto interior de $A$ si $\exists \; r\; >\; 0$ tal que $$\big\{ x \in X \; \big| \; d( x,x_0) < r \big\} \subseteq A$$

Decimos que un punto $x_0$ es punto exterior de $A$ si existe $r>0$ tal que la bola de radio $r$ con centro en $x_0$ está contenida en $A^c$. $$\big\{ x \in \mathbb{R}^n \; \big| \; \| x-x_0\| < r \big\} \subseteq \mathbb{R}^n \setminus A = A^c$$

https://www.geogebra.org/classic/bmvvkaqd

Observación: en un espacio métrico $\big(X, d \big)$,$x_0$ es punto exterior de $A$ si $\exists \; r\; >\; 0$ tal que $$\big\{x \in X \; \big| \; d(x,x_0) < r \big\} \subseteq X\setminus A$$

Decimos que un punto $x_0$ es un punto frontera de $A$ si $\forall r > 0$ la bola de radio $r$ con centro en $x_0$ tiene puntos tanto de $A$ como de $A^c.$ $$\big\{x \in \mathbb{R}^n \; \big| \; \| x-x_0\| < r \big\} \cap A \neq \emptyset $$ $$\land \big\{\| x-x_0\| < r \big\} \cap A^c \neq \emptyset $$

El conjunto cuyos elementos son los puntos interiores de $A$ recibe el nombre de interior de $A$. $$\{x \in \mathbb{R}^n \; \big| \; x \; \text{es punto interior de}\; A \}= int A = A^0$$

El conjunto de los puntos frontera de $A$ es la frontera de $A$. $$\big\{ x \in \mathbb{R}^n \; \big| \; x \; \text{es punto frontera de}\; A \big\} = \partial A = Fr A$$

Observación: int$A \subseteq A$ $$x \in \text{int} A \Rightarrow \exists B_r (x) \subseteq A$$ $$\Rightarrow x \in B_r(x) \subseteq A$$ $$\Rightarrow x \in A$$

Definición: decimos que un conjunto $A$ es abierto $\iff$ int$A=A$.

Definición: decimos que un conjunto $F$ es cerrado $\iff$ $F^c$ es abierto.

Definición: decimos la cerradura de $F$ es $\overline{F} = F \cup \partial F$.

Definición 1: (en términos de sucesiones)

Sea $f: A\subseteq \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^m$.

Sea $\overrightarrow{x_0}$ un punto de acumulación de $A$. Sea $\overrightarrow{L} \in \mathbb{R}^m.$

Decimos que $\overrightarrow{L}$ es el límite de $f$ cuando $\overrightarrow{x} \longrightarrow \overrightarrow{x_0}$ con $\overrightarrow{x} \in A$ si para toda sucesión $\Big\{ \overrightarrow{x_n} \Big\} \longrightarrow \overrightarrow{x_0}$ con puntos $\overrightarrow{x_n} \in A$, con $\overrightarrow{x_n} \neq \overrightarrow{x_0}$ resulta que la sucesión $\Big\{f \Big(\overrightarrow{x_n} \Big) \Big\} \longrightarrow \overrightarrow{L}$

Observación: como la noción de convergencia de una sucesión vale en espacios métricos, esta será nuestra definición de límite de una función $f : X \longrightarrow Y$ con $\Big(X, d_x\Big)$ y $\Big(Y, d_y\Big)$ espacios métricos.

El concepto de límite nos permite dar un concepto de continuidad de una función en un punto.

Sea $f : A \subseteq \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^m$.

Sea $\overrightarrow{x_0} \in A$.

Decimos que $f$ es continua en $\overrightarrow{x_0}$ si para toda sucesión $\Big\{ \overrightarrow{x_n}\Big\} \in A$ tal que $\Big\{ \overrightarrow{x_n} \Big\}$ converge a $\overrightarrow{x_0}$ resulta que $ \Big\{ f \Big( \overrightarrow{x_n} \Big) \Big\} \longrightarrow f \Big(\overrightarrow{x_0} \Big).$ En otras palabras, $f$ es continua $ \overrightarrow{x_0}$ si existe el límite de $f$ cuando $\overrightarrow{x}$ tiende a $\overrightarrow{x_0}$ y este límite es igual a $f \Big(\overrightarrow{x_0} \Big).$

Decimos que $f$ es continua en $\overrightarrow{x_0}$ si $\forall \, \epsilon > 0 \; \exists\, \delta > 0$ tal que $ \Big\|\overrightarrow{x}\, -\, \overrightarrow{x_0} \Big\| < \delta$ implica que $\Big\|f \Big( \overrightarrow{x} \Big) \, – \, f \Big(\overrightarrow{x_0} \Big) \Big\| < \epsilon.$

Definición 3: (en términos de bolas abiertas)

$\overrightarrow{L}$ es el límite de $f$ cuando $\overrightarrow{x} \longrightarrow \overrightarrow{x_0}$ si para toda bola de radio $\epsilon > 0$ centrada en $\overrightarrow{L}$ existe una bola perforada de radio $\delta > 0$ centrada en $\overrightarrow{x_0}$ tal que $\overrightarrow{x} \in \mathring{B}_{\delta} \Big(\overrightarrow{x_0} \Big)$implica que $f \Big(\overrightarrow{x} \Big) \in B_{\epsilon} \Big(\overrightarrow{L} \Big).$

Decimos que $f$ es continua en $\overrightarrow{x_0}$ $\iff$ para toda bola de radio $\epsilon > 0$ centrada en $\overrightarrow{L}$ existe una bola de radio $\delta > 0$ centrada en $\overrightarrow{x_0}$ tal que $\overrightarrow{x} \in B_{\delta} \Big( \overrightarrow{x_0} \Big) \Longrightarrow f \Big( \overrightarrow{x} \Big) \in B_{\epsilon} \Big( f \Big(\overrightarrow{x_0} \Big) \Big).$

Lema: definición (3) es equivalente a la definición (2).

Clave para la demostración:

$f \Big(\overrightarrow{x}\Big) \in B_{\epsilon} \Big(\overrightarrow{L} \Big) \iff \Big\|\, f \Big(\overrightarrow{x}\Big) \, – \, \overrightarrow{L}\Big\| < \epsilon$

$\overrightarrow{x} \in B_{\delta} \Big(\overrightarrow{x_0} \Big) \iff \, \Big\| \overrightarrow{x}\, – \, \overrightarrow{x_0} \Big\| < \delta$

Basta probar que la definición (1) es equivalente con la definición (3).

Teorema: la definición (1) es equivalente a la definición (3).

Demostración:

$\big[$ definición (1) $\longrightarrow$ definición (3) $\big]$

Hipótesis: $\forall \, \Big\{\overrightarrow{x_n} \Big\} \longrightarrow \overrightarrow{x_0} , \; \text{con } \overrightarrow{x_n} \neq \overrightarrow{x_0}$ se tiene que $\Big\{ f \Big( \overrightarrow{x_n} \Big) \Big\} \longrightarrow \overrightarrow{L}$

$\big[$ por demostrar: $\forall \, \epsilon > 0 \; \exists \, \delta > 0$ tal que si $\overrightarrow{x} \in \mathring{B}_{\delta} \Big(\overrightarrow{x_0} \Big), \text{ entonces } f \Big(\overrightarrow{x} \Big) \in B_{\epsilon} \Big(\overrightarrow{L} \Big) \big]$

Supongamos que $f$ no tiene límite $\overrightarrow{L}$ con la definición de bolas.

Vamos a tratar de contradecir el hecho de que cumpla la definición de sucesiones.

$\exists \; \epsilon_0 > 0$ tal que $\forall\, \delta > 0 \; \exists \, \overrightarrow{x} \in \mathring{B}_{\delta} \Big(\overrightarrow{x_0} \Big) \, \land \, f \Big(\overrightarrow{x} \Big) \notin B_{\epsilon} \Big(\overrightarrow{L}\Big)$

Esto sucede en particular para $\delta = \frac{1}{n}$, entonces $\exists \, \overrightarrow{x_n} \in \mathring{B}_{\frac{1}{n}} \Big(\overrightarrow{x_0} \Big) \, \land \, f \Big(\overrightarrow{x_n} \Big) \notin B_{\epsilon} \Big(\overrightarrow{L} \Big).$ Entonces existe una sucesión $\Big\{\overrightarrow{x_n}\Big\} \longrightarrow \overrightarrow{x_0}$ para la cual $\Big\{ f \Big(\overrightarrow{x_n}\Big) \Big\}$ no converge.

$\big[$ definición (3) $\longrightarrow$ definición (1) $\big]$

Hipótesis: $\forall \, \epsilon > 0 \; \exists \, \delta > 0$ tal que $\overrightarrow{x} \in \mathring{B}_{\delta} \Big(\overrightarrow{x_0} \Big) \Longrightarrow f \Big(\overrightarrow{x} \Big) \in B_{\epsilon} \Big(\overrightarrow{L} \Big)$

$\big[$ por demostrar: $\forall \, \Big\{\overrightarrow{x_n} \Big\} \longrightarrow \overrightarrow{x_0} , \; \text{con } \overrightarrow{x_n} \neq \overrightarrow{x_0}$ se cumple que $\Big\{ f \Big( \overrightarrow{x_n}\Big) \Big\} \longrightarrow \overrightarrow{L}\big]$

Sea $\Big\{\overrightarrow{x_n}\Big\} \longrightarrow \overrightarrow{x_0}$ con $\overrightarrow{x_n} \neq \overrightarrow{x_0}$

$\big[$por demostrar: $\Big\{f \Big(\overrightarrow{x_n}\Big)\Big\} \longrightarrow \overrightarrow{L} \big]$

Sea $\epsilon > 0$

$\big[$ por demostrar: $\exists \, N \in \mathbb{N}$ tal que $n \geq N \Rightarrow f \Big(\overrightarrow{x_n} \Big) \in B_{\epsilon} \Big(\overrightarrow{L} \Big) \big]$

Dada la $\epsilon > 0$ (por hipótesis), existe $\delta > 0$ tal que $\overrightarrow{x} \in \mathring{B}_{\delta} \Big(\overrightarrow{x_0} \Big) \Longrightarrow f \Big(\overrightarrow{x} \Big) \in B_{\epsilon} \Big(\overrightarrow{L} \Big).$

Luego la sucesión $\Big\{ \overrightarrow{x_n} \Big\} \longrightarrow \overrightarrow{x_0}$ entonces para la $\delta > 0$ recién dada $\exists \; Ñ \in \mathbb{N}$ tal que $n \geq Ñ \Rightarrow \overrightarrow{x_n} \in B_{\delta} \Big(\overrightarrow{x_0} \Big)$.

Más aún, como $\overrightarrow{x_n} \neq \overrightarrow{x_0}, \text{ se cumple que } \; \overrightarrow{x_n} \in \mathring{B}_{\delta} \Big(\overrightarrow{x_0} \Big) \text{ podemos concluir que } f \Big(\overrightarrow{x_n} \Big) \in B_{\epsilon} \Big(\overrightarrow{L} \Big).$

Sirve $N=Ñ$ por lo que $\exists \; N \in \mathbb{N}$ tal que para toda $n > N$ se cumple que $f \Big(\overrightarrow{x_n} \Big) \in B_{\epsilon} \Big(\overrightarrow{L} \Big).\; _{\blacksquare}$

• Sea $X$ un conjunto. La familia $\mathcal{T}_{ind}= \big\{ \emptyset, X \big\}$ es una topología. Se denomina topología indiscreta.

• La familia $\mathcal{T}_{disc} = \mathcal{P}(X)$, donde $\mathcal{P}$ es el conjunto potencia, también es una topología. Se denomina topología discreta.

• Consideremos la métrica Euclidiana y la métrica uniforme $( \infty )$ en $\mathbb{R}^2.$ Comparemos las topologías que inducen estas dos métricas. $$d_{\infty} (x,y) = \big\|x-y \big\|_{\infty}$$ $$d_2 (x, y) = \big\| x \, – \, y \big\|_2$$ $$_2B_1\big( (0, 0) \big) = \big\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \, \big| \, x^2+y^2 < 1 \big\}$$ $$_{\infty}B_1 \big( (0, 0) \big) = \big\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \, \big| \, máx \big\{ |x|, |y| \big\} < 1 \big\}$$

Comparemos $\mathcal{T}_2$ con $\mathcal{T}_{\infty}$. ¡Son la misma topología!

Porque $x$ es un punto interior de $A$ según $\mathcal{T}_2$ $\iff$ existe un círculo con centro en $x$ contenido en $A$ y dentro de ese círculo podemos inscribir un cuadrado. Entonces $x$ es punto interior de $A$ según $\mathcal{T}_{\infty}$.

Recíprocamente $x$ es un punto interior de $A$ según $\mathcal{T} _{\infty}$ $\iff$ existe un cuadrado con centro en $x$ contenido en $A$ y dentro de ese cuadrado podemos inscribir un círculo. Entonces $x$ es punto interior de $A$ según $\mathcal{T}_2$.

• $\mathbb{R}^2$ puede pensarse como un espacio de funciones.

$$f : \{1, 2\} \longrightarrow \mathbb{R}$$

Al punto $(x_1, x_2)$ le corresponde la función $f$ cuya regla de correspondencia es

$f(1) = x_1$ y $f(2) =x_2$

Entonces $d_{\infty} (f, g) = máx \big\{ \big|f(1) \, – \, g(1) \big|, \big|f(2) \, – \, g(2) \big| \big\}$

En el siguiente enlace puedes observar un dibujo interactivo del ejemplo anterior.

https://www.geogebra.org/classic/bwpxexhp