Matemáticas Financieras: Inflación

Por Erick de la Rosa

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Introducción

En muchos lugares del mundo ocurre el siguiente fenómeno: el día de hoy puedo comprar 10 productos, sin embargo, dentro de un año, por ejemplo, sólo me alcanza para comprar sólo 9 de esos mismo productos, esto se debe a diversas causas, sin embargo; el hecho innegable es que con el mismo dinero que se tenía un año atrás, al año siguiente con la misma cantidad ya no alcanza a comprar los mismos productos. A esto es a lo que se le conoce como inflación. Al incrementarse los precios de bienes y servicios, trae como consecuencia que ya no se puede adquirir las mismas cantidades de antes con los mismos recursos económicos, dicha situación se puede exhibe el cómo de cierta forma el dinero pierde valor, justamente ésta es la primera consecuencia que tiene el fenómeno de la inflación, la pérdida del poder adquisitivo o poder de compra de las personas.

Inflación

El concepto de inflación tiene una estrecha relación con el modelo de interés compuesto que se ha estado trabajando, y esto se debe a que, por un lado, se tiene a un inversionista que decide poner su dinero en un banco, para que éste luego de un tiempo pactado, le pague una determinada cantidad de intereses, de rendimientos, sin embargo; si dentro del país en que se lleva a cabo dicha operación, hubo algún fenómeno de inflación, por consiguiente, en cierta forma, no va a poder ganar los intereses generados, en otras palabras, al capital que le otorguen junto con los intereses o rendimientos, hay que quitarle cierto porcentaje que corresponde a la inflación, que se calcula con una tasa de inflación. En los casos que se han estado estudiando, hay un supuesto que no se ha considerado, el cual es que todos los cálculos que se han realizado, se han obtenido del supuesto de una tasa de inflación igual a cero.

En nuestro país, ésa tasa de inflación es un crecimiento generalizado de los precios, se calcula a partir de una «canasta» de bienes y servicios, que representan el consumo de los habitantes. Dentro de estos bienes y servicios, están contenidos alimentos, artículos electrodomésticos, autos, y en los servicios se consideran por ejemplo el transporte, consumo de luz, servicios de salud, educación, actividades de esparcimiento, etc. La institución encargada de realizar y llevar el control de ésta tasa de referencia, es el Banco de México y las calcula los días 15 y último del mes. A la variación porcentual de ésta tasa se le conoce también como índice de precios al consumidor o tasa de inflación. Por lo anterior, es importante señalar que dicha tasa se establece como un porcentaje que aplica durante un cierto periodo de tiempo.

De manera general, esto es una primera impresión que se tiene acerca del comportamiento de la tasa de inflación y algunos ejemplo del porqué afecta nuestro modelo de interés compuesto así como la forma de resolver las necesidades económicas de cada persona, al disminuir su poder de compra o poder adquisitivo.

Ejercicios resueltos

Suponiendo que la inflación de México fue del 8.4%, lo cual significa que los precios se elevaron 8.4% del 1 enero al 31 de diciembre del ése año, veamos los siguientes ejercicios:

La canasta de bienes y servicios al consumidor a nivel nacional, al día 30 de mayo, adquirió un precio de $\$2547$, y luego de haber transcurrido 15 días obtuvo un precio de $\$2597$.

Solución

A partir de éstos datos se puede construir el índice de precios al consumidor, para ello se hace uso de una regla de 3, de la siguiente manera:

$2547$ es a $100$
como $2597$ es a $X$
de donde se obtiene que el valor de $X=\frac{(2597)(100)}{2547}=101.96309.$
De lo anterior, se puede interpretar que el valor de $100$ y $101.96309$ representan el índice de precios al consumidor durante 15 días, concluyendo que los precios se elevaron un $1.96309\%$, mejor conocida como tasa de inflación.

Del resultado anterior se puede utilizar para obtener el valor de $i$, haciendo la sustitución de los valores obtenidos, en el modelo $M=K(1+i)^t$ igualando al valor que se obtuvo luego de haber transcurrido los 15 días, esto es:
$2597=2547(1+i)^t$, donde $t=1$ toda vez que sólo transcurrió un periodo
$i=\frac{2597}{2547}-1=0.0196309.$
Una importante observación es que es la misma tasa de que se obtuvo en el cálculo de la regla de 3, $i=1.96309\%.$

Este resultado también nos dice que el dinero ha perdido su valor, ya que ahora se necesita más para poder hacer la compra de la misma canasta de bienes y servicios. Una interpretación más simple es que ahora se necesitan $1.96309\%$ más para poder hacer la compra.

Otro ejemplo, si se tiene un capital de $\$300$ al día 30 de Mayo, y la inflación al 15 de junio es de $d=0.0980748\%$, el valor real del dinero sería obtenida realizando el siguiente cálculo:

Solución

\begin{align*}
&300(1-0.0098074)=300(0.990192)=297.057756\\
\end{align*}

Resultado que se interpreta como: el valor deflactado de los $\$300.$

Más adelante

Se hará uso de este concepto para poder obtener la tasa real de interés, la cual es interpretada como la tasa de interés que nos dice el verdadero rendimiento que se tuvo en una inversión, porque como ya se vio en este tema, la inflación afecta de forma general los rendimientos que una inversión puede dar, ya que al final de la operación hay que realizar alguna resta entre los montos obtenidos para obtener éste resultado, situación que será analizada a detalle más adelante.

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1.8. CONJUNTOS LINEALMENTE (IN)DEPENDIENTES Y CONJUNTOS GENERADORES: relación entre sí

Por Jennyfer Paulina Bennetts Castillo

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(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Nota: Dado $\{u_1,u_2,\dots ,u_t\}$ un conjunto finito de vectores denotaremos a $\langle\{u_1,u_2,\dots ,u_t\}\rangle$ por $\langle u_1,u_2,\dots ,u_t\rangle$.

Lema (Dependencia lineal): Sean $V$ un $K$ – espacio vectorial y $v_1,v_2,…,v_m$ una lista de vectores en $V$. Si $v_1,v_2,…,v_m$ es una lista l.d. y $v_1\not=\theta_V$, entonces existe $j\in\{2,3,…,m\}$ tal que
a) $v_j\in\langle v_1,v_2,…,v_{j-1}\rangle$ y
b) $\langle v_1,v_2,…,v_{j-1},v_{j+1},…,v_m\rangle=\langle v_1,v_2,…,v_m\rangle$

Nota: $\langle v_1,v_2,…,v_{j-1},v_{j+1},…,v_m\rangle$ lo denotamos por $\langle v_1,v_2,…,\widehat{v_j},…,v_m\rangle$

Demostración: Sean $V$ un $K$ – espacio vectorial y $v_1,v_2,…,v_m$ una lista l.d. con $v_1\not=\theta_V$.

Como la lista es l.d., entonces existen $\lambda_1,\lambda_2,…,\lambda_m\in K$ no todos nulos tales que

$\lambda_1v_1+\lambda_2v_2+…+\lambda_mv_m=\theta_V$. (*)

a) Dado que existe al menos un escalar no nulo en (*) tenemos dos casos:

Caso 1. Únicamente $\lambda_1\not=0_K$.
Así, \begin{align*}\theta_V&=\lambda_1v_1+\lambda_2v_2+…+\lambda_mv_m\\ &=\lambda_1v_1+0_Kv_2+…+0_Kv_m\\ &=\lambda_1v_1+\theta_V+…+\theta_V=\lambda_1v_1.\end{align*}
De donde, $\lambda_1v_1=\theta_V$ con $\lambda_1\not=0_K$, entonces $v_1=\lambda_1^{-1}\theta_V=\theta_V$ lo que contradice la hipótesis de que $v_1\not=\theta_V$.
Por lo tanto, este caso no es posible.

Caso 2. Existe al menos un $\lambda_i\not=0_K$ con $i\in\{2,3,…,m\}$.
Consideremos $j=\text{máx}\{i\in\{2,3,…,m\}|\lambda_i\not=0_K\}.$
Entonces $\lambda_{j+1}=\cdots =\lambda_m=0$ por lo cual \begin{align*}\theta_V&=\lambda_1v_1+\lambda_2v_2+…+\lambda_mv_m\\ &=\lambda_1v_1+\lambda_2v_2+\cdots+\lambda_jv_j+0_Kv_{j+1}+\cdots+0_Kv_m\\&=\lambda_1v_1+\lambda_2v_2+\cdots+\lambda_jv_j+\theta_V\\ &=\lambda_1v_1+\lambda_2v_2+\cdots+\lambda_jv_j.\end{align*}
Así, $\lambda_1v_1+\cdots+\lambda_jv_j=\theta_V$, en consecuencia $\lambda_jv_j=-\lambda_1v_1-\lambda_2v_2-\cdots -\lambda_{j-1}v_{j-1}.$

Además, dado que $\lambda_j\neq 0$ existe el inverso multiplicativo de $\lambda_j,$ entonces

$\begin{array}{ll}v_j&=\lambda_j^{-1}(-\lambda_1v_1-\lambda_2v_2-\cdots-\lambda_{j-1}v_{j-1})\\&=(-\lambda_j^{-1}\lambda_1)v_1+(-\lambda_j^{-1}\lambda_2)v_2+\cdots+(-\lambda_j^{-1}\lambda_{j-1})v_{j-1}\in\langle v_1,v_2,\dots,v_{j-1}\rangle\end{array}.$

$\therefore v_j\in\langle v_1,v_2,\dots,v_{j-1}\rangle$.

b) Veamos que se cumplen las dos contenciones entre los subconjuntos deseados, contemplando que la $j$ para este inciso debe ser la misma que en el inciso anterior.

En primer lugar:
Tenemos que $\{v_1,v_2,\dots,\widehat{v_j},…,v_m\}\subseteq \{v_1,v_2,\dots,v_j,\dots,v_m\}\subseteq\langle v_1,v_2,\dots,v_j,\dots,v_m\rangle$ y este último subconjunto es un subespacio de $V$.
Además, sabemos que si $S\subseteq W\subseteq V$ con $W$ un subespacio vectorial, entonces $\langle S\rangle\subseteq W$.
$\therefore\langle v_1,v_2,\dots,\widehat{v_j},\dots,v_m\rangle\subseteq\langle v_1,v_2,\dots,v_j,\dots,v_m\rangle$.

En segundo lugar:
Si $w\in\langle v_1,v_2,\dots,v_j,\dots,v_m\rangle$, entonces existen $\mu_1,\mu_2,\dots,\mu_j,\dots,\mu_m\in K$ tales que $w=\mu_1v_1+\mu_2v_2+\cdots+\mu_jv_j+\cdots+\mu_mv_m$.
Sabemos que $v_j=(-\lambda_j^{-1}\lambda_1)v_1+(-\lambda_j^{-1}\lambda_2)v_2+\cdots+(-\lambda_j^{-1}\lambda_{j-1})v_{j-1}$.
De donde,

\begin{array}{ll}w&=\mu_1v_1+\mu_2v_2+\cdots+\mu_{j-1}v_{j-1}+\\ &\phantom{=}\mu_j[(-\lambda_j^{-1}\lambda_1)v_1+(-\lambda_j^{-1}\lambda_2)v_2+…+(-\lambda_j^{-1}\lambda_{j-1})v_{j-1}]+\\ &\phantom{=}\mu_{j+1}v_{j+1}…+\mu_mv_m\\ &=(\mu_1-\mu_j\lambda_j^{-1}\lambda_1)v_1+(\mu_2-\mu_j\lambda_j^{-1}\lambda_2)v_2+\cdots \\ &\phantom{=}+(\mu_{j-1}-\mu_j\lambda_j^{-1}\lambda_{j-1})v_{j-1}+\mu_{j+1}v_{j+1}+\cdots+\mu_mv_m\\ &\in\langle v_1,v_2,\dots,\widehat{v_j},…,v_m\rangle\end{array}
Así, $w\in\langle v_1,v_2,\dots,\widehat{v_j},\dots,v_m\rangle$.
$\therefore \langle v_1,v_2,\dots,v_j,\dots,v_m\rangle\subseteq\langle v_1,v_2,\dots,\widehat{v_j},\dots,v_m\rangle .$

Teorema: Sea $V$ un $K$ – espacio vectorial. Si $v_1,v_2,…,v_m$ es una lista l.i. de vectores en $V$ con $m\in\mathbb{N}^+$, entonces todo conjunto generador de $V$ tiene al menos $m$ elementos.

Demostración: Sea $V$ un $K$ – espacio vectorial.
Sea $v_1,v_2,…,v_m$ es una lista l.i. de vectores en $V$, llamémosle $L$ a esta lista.
Sea $S$ tal que $\langle S\rangle = V$.

Caso 1. $S$ es infinito.
Entonces $S$ tiene más de $m$ elementos.

Caso 2. $S$ es finito.
Digamos que $S=\{w_1,w_2,…,w_k\}$ con $w_1,w_2,…,w_k$ distintos. Probemos que $m\leq k$.

Observemos que como $L$ es una lista l.i. de vectores en $V$, entonces para cada $i\in\{1,2,…,m\}$ tenemos que $v_i\not=\theta_V$.

(1) Como $ v_1\in V=\langle S\rangle$, entonces $v_1,w_1,w_2,…,w_k$ es una lista l.d.
Dado que $v_1\not= \theta_V$, por el lema podemos concluir que existe $j_1\in\{1,2,…,k\}$ tal que $\langle \{v_1,w_1,w_2,…,w_k\}\setminus\{w_{j_1}\}\rangle =\langle v_1,w_1,w_2,…,w_k\rangle =V.$

(2) Como $ v_2\in V=\langle \{v_1,w_1,w_2,…,w_k\}\setminus\{w_{j_1}\}\rangle$, entonces $v_2,v_1,w_1,w_2,…,\widehat{w_{j_1}},…,w_k$ es una lista l.d.
Dado que con $v_2\not= \theta_V$, por el lema podemos concluir que algún vector $v_1,w_1,w_2,…,\widehat{w_{j_1}},…,w_k$ es combinación lineal de los vectores que le anteceden en la lista $v_2,v_1,w_1,w_2,…,\widehat{w_{j_1}},…,w_k$, pero dicho vector no puede ser $v_1$ pues sabemos que $L$ es l.i., por lo que $v_1$ no puede ser combinación lineal de $v_2$. Así, existe algún vector $w_1,w_2,…,\widehat{w_{j_1}},…,w_k$, digamos $w_{j_2}$ con $j_2\in\{1,2,…,k\}\setminus\{j_1\}$, que es combinación lineal de los vectores que le anteceden en la lista $v_2,v_1,w_1,w_2,…,\widehat{w_{j_1}},…,w_{j_k}$ y tal que $\langle \{v_2,v_1,w_1,w_2,…,w_k\}\setminus\{w_{j_1},w_{j_2}\}\rangle$$=\langle \{v_2,v_1,w_1,w_2,…,w_k\}\setminus\{w_{j_1}\}\rangle =V.$

Continuando de este modo, en cada paso quitamos un vector $w_{j_t}$ del conjunto generador, y lo sustituimos por $v_t$, obteniendo de esta manera un nuevo conjunto generador. Observemos entonces que después de $t$ pasos hemos quitado $t$ vectores de $S$, y los hemos sustituido por $v_t,\dots ,v_2,v_1$.

Veamos que $k\geq m$. Supongamos por reducción al absurdo que $k< m$.

Continuando con el proceso anterior, después de $k$ pasos hemos quitado $k$ vectores de $S$, $w_{j_1},w_{j_2},…,w_{j_k}$ (que son entonces los $k$ vectores de $S$, es decir son precisamente $w_1,w_2,…,w_k$ sólo que quizás en otro orden) y los hemos sustituido por $v_k,\dots ,v_2,v_1$. Tenemos además que:
\begin{align*}V&=\langle \{v_{k-1},v_{k-2},…,v_2,v_1,w_1,w_2,…,w_k\}-\{w_{j_1},w_{j_2},…,w_{j_k}\}\rangle\\&=\langle \{v_{k-1},v_{k-2},…,v_2,v_1\}\rangle .\end{align*}
Pero si $V=\langle \{v_{k-1},…,v_2,v_1\}\rangle$, entonces $v_k\in \langle \{v_{k-1},…,v_2,v_1\}\rangle$ y por lo tanto $v_1,v_2,…,v_k$ sería l.d. y en consecuencia también $v_1,v_2,…,v_m$ sería l.d., lo cual contradice nuestra hipótesis.

Por lo tanto, $m\leq k$.

Corolario: Sea $V$ un $K$-espacio vectorial. Si existe $S$ un subconjunto finito de $V$ generador con $k$ elementos, entonces todo conjunto linealmente independiente es finito y tiene a lo más $k$ elementos.
En consecuencia, no existen conjuntos infinitos l.i. en $V$.

Demostración: Sea $V$ un $K$ – espacio vectorial.
Sea $S\subseteq V$ finito con $k$ elementos tal que $\langle S\rangle =V$.
Sea $T\subseteq V$ un subconjunto l.i. Supongamos por reducción al absurdo que $T$ es infinito, consideremos entonces $\hat{T}$ un subconjunto de $T$ con $k+1$ elementos. Tenemos que $\hat{T}$ es un conjunto l.i. con $k+1$ elementos y $S$ es un conjunto generador con $k$ elementos, lo que contradice el teorema anterior. Concluimos entonces que $T$ debe ser finito.
Nuevamente por el teorema anterior se cumple que $|T|\leq |S|$, y como $|S|=k$ entonces $|T|\leq k$.

Tarea Moral

  1. Demuestra que, dado $V$ un $K$ – espacio vectorial con $K$ un campo, sólo existe un subconjunto $S$ unitario linealmente dependiente y exhíbelo.
  2. Sea $S=\{v_1,v_2,…,v_m\}\subseteq V.$
    Demuestra que son equivalentes:
    • $S$ es l.d.
    • Existe $v_j\in S$ tal que $v_j\in \langle S-{v_j}\rangle$.
  3. Recordando que $\{e_1,e_2,e_3\}$ es linealmente independiente $\mathbb{R}^3$ y el teorema de esta entrada sabemos que cualquier conjunto de solo $1$ o $2$ elementos, no podrá generar a $\mathbb{R}^3$.
    • Describe qué subespacio(s) de $\mathbb{R}^3$ se puede(n) generar con un $S\subseteq\mathbb{R}^3$ si $|S|=1$.
    • Describe qué subespacio(s) de $\mathbb{R}^3$ se puede(n) generar con un $S\subseteq\mathbb{R}^3$ si $|S|=2$.

Más adelante…

Ahora que sabemos la relación de cardinalidad que existe entre los conjuntos linealmente independientes y los conjuntos generadores, nos damos cuenta de que, dicho muy informalmente, los conjuntos generadores de un espacio vectorial $V$ tienen una cardinalidad mayor o igual a los l.i. en $V$.
Nos enfocaremos en aquellos conjuntos que son generadores del espacio vectorial $V$ al que pertenecen y linealmente independientes. Veremos algunas propiedades de sus cardinalidades.

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1.7. (IN)DEPENDENCIA LINEAL: definición y ejemplos

Por Jennyfer Paulina Bennetts Castillo

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(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

INTRODUCCIÓN

En matemáticas es de mucho interés estudiar aquello que es único (por qué lo es, «quién» es y cómo encontrarlo). En este punto de la teoría, sabemos que el neutro aditivo de un campo $K$ cualquiera siempre existe y es único, al igual que el neutro de un $K$ – espacio vectorial $V$ cualquiera.

Sabemos que las combinaciones lineales son elementos del espacio vectorial donde estamos trabajando y ahora estudiaremos conjuntos de vectores y la(s) combinación(es) lineale(s) que podemos obtener igualadas al neutro de nuestro espacio vectorial. Este sutil detalle de que sea sólo una o resulten existir más combinaciones lineales que cumplan la igualdad será el centro del tema… al fin y al cabo, sí sabemos que al menos existe una: la trivial, obtenida si todos los escalares involucrados son el neutro aditivo del campo.

LISTA LINEALMENTE (IN)DEPENDIENTE

Definición: Sea $V$ un $K$ – espacio vectorial. Una lista $v_1,v_2,…,v_m$$\in V$ en una lista linealmente dependiente si existen $\lambda_1,\lambda_2,…,\lambda_m\in K$ NO TODOS NULOS tales que $\lambda_1v_1+\lambda_2v_2+…+\lambda_mv_m=\theta_V$.
Decimos que es una lista linealmente independiente en caso contrario. Es decir, si el hecho de que $\lambda_1v_1+\lambda_2v_2+…+\lambda_mv_m=\theta_V$ con $\lambda_1,\lambda_2,…,\lambda_m\in K$, implica que $\lambda_1=\lambda_2=\cdots =\lambda_m=0_K$.

Nota: Es común abreviar «linealmente dependiente» con l.d. y «linealmente independiente» con l.i.

Ejemplos

  • Sean $K=\mathbb{R}$, $V=\mathcal{P}_3[\mathbb{R}]$
    Sean $v_1=1+x-x^2+2x^3$, $v_2=2-3x+x^3$, $v_3=4-x-2x^2+5x^3$
    La lista $v_1,v_2,v_3$ es l.d.

Justificación. Se cumple que $2v_1+1v_2-1v_3=0x^3+0x^2+0x+0=\theta_V$

  • Sean $K=\mathbb{R}$, $V=\mathbb{R}^n$
    La lista $e_1,e_2,…,e_n$ es l.i.

Justificación. Tenemos que $e_i$ se define como el vector de $n$ entradas donde la $i$-ésima es $1$ y las demás son $0$. Así, $\lambda_1e_1+\lambda_2e_2+…+\lambda_ne_n=(\lambda_1,\lambda_2,…,\lambda_n)$. Por lo que, si $\lambda_1e_1+\lambda_2e_2+…+\lambda_ne_n=(0,0,…,0)=\theta_V$, entonces $(\lambda_1,\lambda_2,…,\lambda_n)=(0,0,…,0)$ y en consecuencia $\lambda_i=0$ para toda $i\in{1,2,…,n}.$

  • Sean $K=\mathbb{R}$, $V=\mathbb{R}^2$
    Sean $v_1=(x_1,0)$, $v_2=(x_2,0)$, $v_3=(x_3,y_3)$ con $x_i\not= 0$ para toda $i\in\{1,2,3\}$.
    La lista $v_1,v_2,v_3$ es l.d.

Justificación. Consideremos $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$ tales que
$\lambda_1v_1+\lambda_2v_2+\lambda_3v_3=(0,0).$
Entonces $\lambda_1(x_1,0)+\lambda_2(x_2,0)+\lambda_3(x_3,y_3)=(0,0).$
Desarrollando el lado izquierdo de esta igualdad tenemos que $(\lambda_1x_1+\lambda_2x_2+\lambda_3x_3,y_3)=(0,0).$ Por lo tanto $\lambda_1v_1+\lambda_2v_2+\lambda_3v_3=(0,0)$ si y sólo si
a) $\lambda_1x_1+\lambda_2x_2+\lambda_3x_3=0$ y b) $\lambda_3y_3=0$.
Si $\lambda_3=0$, b) se cumple para cualesquiera $\lambda_1,\lambda_2\in\mathbb{R}$. Veamos si se le puede asignar un valor distinto de cero a $\lambda_1$ o a $\lambda_2$ y que se cumpla a).
Tenemos que a) se cumple si y sólo si $\lambda_1x_1=-(\lambda_2x_2+\lambda_3x_3)$. Por lo tanto, si $\lambda_3=0$, tenemos que $\lambda_1x_1=-\lambda_2x_2$, y dado que $x_1$ es no nulo esto implica que $\lambda_1=-\lambda_2\frac{x_2}{x_1}$. Así, eligiendo $\lambda_2=1$, $\lambda_1=-\frac{x_2}{x_1}$ y $\lambda_3=0$ se cumplen a) y b), existiendo así una combinación lineal no trivial de $v_1,v_2$ y $v_3$ igualada al vector cero.

CONJUNTO LINEALMENTE (IN)DEPENDIENTE

Definición: Sea $V$ un $K$ – espacio vectorial. Un subconjunto $S$ de $V$ es un conjunto linealmente dependiente si existe $m\in\mathbb{N}^+$ tal que $S$ contiene $m$ elementos distintos que forman una lista dependiente.
Decimos que es un conjunto linealmente independiente en caso contrario. Es decir, si para cualquier $m\in\mathbb{N}^+$ todas las listas que se pueden formar con $m$ elementos distintos de $S$ son linealmente independientes.

Observación: Si $S$ es un conjunto finito con $m$ vectores distintos, digamos $\{v_1,v_2,…,v_m\}$, entonces:
i) Si se puede encontrar una combinación lineal $\lambda_1v_1+\lambda_2v_2+…+\lambda_mv_m=\theta_V$ donde $\lambda_1, \dots, \lambda_m\in \mathbb{R}$ con al menos una $\lambda_j$ distinta de $0_K$ para alguna $j\in\{1,2,…,m\}$, entonces $S$ es l.d.
ii) Si el hecho de que se tenga una combinación lineal $\lambda_1v_1+\lambda_2v_2+…+\lambda_mv_m=\theta_V$ donde $\lambda_1, \dots, \lambda_m\in \mathbb{R}$, implica que $\lambda_j$ debe ser $0_K$ para toda $j\in\{1,2,…,m\}$, entonces $S$ es l.i.

Ejemplos

  • Sean $K$ un campo y $V=\mathcal{P}_m(K)$
    $S=\{1,x,x^2,…,x^m\}$$\subseteq\mathcal{P}_m(K)$ es l.i.

Justificación. Sean $\lambda_0,\lambda_1,\lambda_2,…,\lambda_m\in\mathbb{R}$ tales que $\lambda_01+\lambda_1x+\lambda_2x^2+…+\lambda_mx^m=\theta_V$, es decir $\lambda_01+\lambda_1x+\lambda_2x^2+…+\lambda_mx^m=0+0x+0x^2+…+0x^m$.
Recordando que dos polinomios so iguales si y sólo si coinciden coeficiente a coeficiente concluimos que $\lambda_i=0$ para toda $i\in\{0,1,2,…,m\}.$

  • Sean $K=\mathbb{R}$ y $V=\mathbb{R}^3$
    $S=\{(1,3,-7),(2,1,-2),(5,10,-23)\}$$\subseteq\mathbb{R}^3$ es l.d.

Justificación. Sean $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\in\mathbb{R}$ tales que $\lambda_1(1,3,-7)+\lambda_2(2,1,-2)+\lambda_3(5,10,-23)=(0,0,0)$.
Entonces $(\lambda_1+2\lambda_2+5\lambda_3,3\lambda_1+\lambda_2+10\lambda_3,-7\lambda_1-2\lambda_2-23\lambda_3)=(0,0,0)$. De donde:
\begin{align*}
\lambda_1+2\lambda_2+5\lambda_3&=0…(1)\\
3\lambda_1+\lambda_2+10\lambda_3&=0…(2)\\
-7\lambda_1-2\lambda_2-23\lambda_3&=0…(3)\\
\end{align*}
De $(1)$: $\lambda_1=-2\lambda_2-5\lambda_3…(4)$
Sustituyendo $(4)$ en $(2)$: $3(-2\lambda_2-5\lambda_3)+\lambda_2+10\lambda_3=0$
$\Longrightarrow-5\lambda_2-5\lambda_3…(5)\Longrightarrow\lambda_2=-\lambda_3…(5)$
Sustituyendo $(5)$ en $(4)$: $\lambda_1=-2(-\lambda_3)-5\lambda_3$
$\Longrightarrow\lambda_1=-3\lambda_3…(6)$
En particular, si $\lambda_3=1$ tenemos que $\lambda_2=-1$ y $\lambda_1=-3$, y encontramos así una solución no trivial del sistema dado por $(1)$, $(2)$ y $(3)$.

  • Sean $K=\mathbb{R}$ y $V=\mathcal{M}_{2\times 2}(\mathbb{R})$
    $S=\left\{ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \right\}$$\subseteq\mathcal{M}_{2\times 2}(\mathbb{R})$ es l.i.

Justificación. Sean $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\in\mathbb{R}$ tales que $\lambda_1 \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} +\lambda_2 \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}+\lambda_3\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.

Entonces $\begin{pmatrix} \lambda_1 & \lambda_1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & \lambda_2 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ \lambda_3 & \lambda_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

Así, $\begin{pmatrix} \lambda_1 & \lambda_1+\lambda_2 \\ \lambda_3 & \lambda_2+\lambda_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$. De donde:
\begin{align*}
\lambda_1&=0…(1)\\
\lambda_1+\lambda_2&=0…(2)\\
\lambda_3&=0…(3)\\
\lambda_2+\lambda_3&=0…(4)\\
\end{align*}
Sustituyendo $(1)$ en $(2)$: $\lambda_2=0$
Por lo tanto, $\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0.$

  • Sean $K=\mathbb{R}$ y $V=\mathbb{R}^3$
    $S=\{(n,n,n)|n\in\mathbb{Z}\}$$\subseteq\mathbb{R}^3$ es l.d.

Justificación. La lista en $S$ dada por $(1,1,1),(5,5,5)$ es l.d. porque $-5(1,1,1)+(5,5,5)=(0,0,0)$.

Tarea Moral

Sean $K$ un campo y $V$ un $K$ – espacio vectorial.

  1. Sean $S,\tilde{S}\subseteq V$ tales que $S\subseteq\tilde{S}$.
    Para cada inciso, responde y justifica tu respuesta demostrándolo o dando un contraejemplo.
    • Si $S$ es l.d., ¿es posible determinar si $\tilde{S}$ es l.d. o l.i.?
    • Si $S$ es l.i., ¿es posible determinar si $\tilde{S}$ es l.d. o l.i.?
    • Si $\tilde{S}$ es l.d., ¿es posible determinar si $S$ es l.d. o l.i.?
    • Si $\tilde{S}$ es l.i., ¿es posible determinar si $S$ es l.d. o l.i.?
  2. Sea $S=\{v_1,v_2,…,v_m\}\subseteq V$
    Demuestra que son equivalentes:
    • $S$ es l.d.
    • Existe $v_j\in S$ tal que $\langle S\rangle=\langle S\setminus \{v_j\}\rangle$

Más adelante…

El segundo ejercicio de la tarea moral se refiere al subespacio generado por un conjunto linealmente dependiente.
Veamos ahora más relaciones que existen entre los conjuntos linealmente dependientes, los linealmente independientes y los espacios que estos conjuntos generan.

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Matemáticas Financieras: Tasas de interés instantáneas

Por Erick de la Rosa

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Introducción

Hasta este momento se han abordado los modelos de interés simple y compuesto, y dentro de éstos, se ha introducido el concepto de tasas de interés efectivas, y nominales pagaderas $m$ veces al año.

En este apartado se profundizará un poco más el modelo de interés compuesto a través del estudio de la tasa de instantánea de interés o también conocido como fuerza de interés, el cual nos dice la forma en que varía el capital a cada instante.

Tasa instantánea de interés o fuerza de interés


Figura 1.11. Representación gráfica de una tasa instantánea de interés. Elaboración propia, basado en Cánovas T. Matemáticas Financieras, fundamentos y aplicaciones, Ed. Trillas, pag. 50.

En la imagen anterior se describe el comportamiento de una tasa instantánea de interés, donde:

  • El eje de las $X$ representa el tiempo, mientras que el eje de las $Y$, es el monto.
  • $t$ es el tiempo que le corresponde un $f(t)$ el cual puede ser interpretado como capital inicial.
  • Después de un tiempo de tamaño $h$, $t+h$ es el capital que ha ganado intereses y que en ése momento se convierte en un monto $M$.

Por otra parte, si se quiere calcular los intereses que se generaron a través del tiempo, lo que se tiene que hacer es: $I=M-K$ lo que es equivalente a realizar con una notación de funciones: $I=f(t+h)-f(t)$.

Luego, para calcular la tasa de interés efectiva en el segmento de tiempo h es:

$i=\frac{M-K}{K}$, o su equivalente escrito como funciones: $\frac{f(t+h)-f(t)}{f(t)}.$

De esta forma, se ha denotado el monto con la expresión $f(t+h)$, expresión que puede ser interpretada como la cantidad de dinero inicial más el lo que se acumula luego de haber transcurrido un tiempo $h$. $h>0$. Debido a lo anterior es que no es posible igualar a $i$, de la misma forma en que se hizo con la expresión obtenida cuando se manejó una tasa efectiva por periodo, la cual es:

$$i=\frac{M-K}{K}.$$

Suponiendo $h=1$ se está analizando una situación en particular, en cuyo caso se tendría lo siguiente:

Habría que dividir la expresión $f(t+h)-f(t)$ entre $h$ con la finalidad de obtener la variación de la función por unidad de tiempo (esto por dividir haber divido entre $h$ así como por unidad de capital (por haber dividido también entre $f(t)$. De esta forma se obtiene:
$$\frac{f(t+h)-f(t)}{hf(t)}.$$

Al realizar un análisis puntual de éste fenómeno, es necesario hacer uso de las herramientas del cálculo diferencial e integral. Con esto el segmento obtenido $h$ para hacerlo infinitamente pequeño, para así conocer qué sucede en cada punto de la curva, dicha situación es lo que representa o modela cada instante. En términos de matemáticas financieras, se estaría obteniendo la tasa instantánea de interés también conocida como fuerza de interés, la que nos muestra la variación que tiene el capital invertido en un lapso muy pequeño.

Partiendo de lo anterior y usando el concepto de limite, se puede hacer que $h$ tienda a cero se tiene la siguiente expresión:
$$lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{hf(t)}.$$

Otra herramienta, que es necesaria para este tema es el concepto de derivada como límite, el cual está dada por la siguiente expresión:

$$\frac{df(x)}{dx}=lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$$

Al aplicar dicha definición da como resultado:


$$lim_{h \to 0}\frac{f(t+h)-f(t)}{hf(t)}=\frac{1}{f(t)}lim_{h \to 0}\frac{f(t+h)-f(t)}{h}$$
$$=\frac{1}{f(t)}\frac{df(t)}{dt}.$$

Se utiliza la siguiente propiedad al resultado anterior:
$$\frac{d lnU}{dx}=\frac{dU}{dx}\frac{1}{U}=\frac{D_xU}{U}$$
da como resultado:
$$\frac{1}{f(t)}lim_{h \to 0}\frac{f(t+h)-f(t)}{hf(t)}=\frac{1}{f(t)}\frac{df(t)}{dt}$$
$$=\frac{d ln f(t)}{dt}=\delta(t).$$

El resultado que se obtiene, es la función $\delta(t)$ la cual es la que va a denotar la tasa instantánea de interés.
$$\delta(t)=\frac{d ln f(t)}{dt}$$
de ésa expresión se despeja $dt$, lo cual resulta:
$$d ln f(t)=\delta(t) dt.$$

Al resolver ésta ecuación diferencial, se está considerando el momento en que el capital inicial $K$ no ha ganado intereses, a un momento en el que ha transcurrido un tiempo $t$, momento en el que ya ha ganado intereses y se convierte en la variable $M$.

Nótese que si se hace a $\delta(t)$ constante, ésta no depende de $t$, entonces al resolver la ecuación se tiene:
$$\int_0^{t}d lnf(t)=\delta\int_0^tdt.$$
Aplicando lo siguiente: $\int\frac{df(x)}{dx}=f(x)$ a la última expresión obtenida da como resultado:

$$lnf(t)|_0^t=\delta(t)|_0^t$$
$$lnf(t)-lnf(0)=\delta(t)-\delta(0).$$


Luego, por propiedades de los logaritmos:

$$ln(a)-ln(b)=ln\left(\frac{a}{b}\right)$$
se tiene:

$$ln\left(\frac{f(t)}{f(0)}\right)=\delta t.$$
Por último, recordemos que la función exponencial es la función inversa del logaritmo, aplicándola al último resultado, se tiene:

$$exp\left(ln\frac{f(t)}{f(0)}\right)=exp(\delta(t))$$
donde:

$$\frac{f(t)}{f(0)}=\exp^{\delta t}$$

despejando $f(t)$ queda:

$$f(t)=f(0)\exp^{\delta t}$$

donde:

  • $f(0)$ es el capital inicial, equivalente a la variable del modelo de interés compuesto $K$.
  • $f(t)$ vendría ser el monto $M$.

Ahora, se va a sustituir dichas variables en el modelo con las expresiones que se acaban de obtener, esto es: $M=K\exp^{\delta t}.$

Es importante señalar que, aunque el nombre de la tasa de interés instantánea, hace referencia que se paga cada instante, esto no funciona así. Para dar respuesta a éste dilema, es necesario hacer uso de lo que en matemáticas financieras se conoce como la triple igualdad, que consiste en la siguiente expresión:

$$M=K(1+i)^t=K\left(1+\frac{i^{(m)}}{m}\right)^{mt}=K\exp^{\delta t}.$$

Al hacer uso de esto, se pueden encontrar el valor de cualquiera de las tasas que se han trabado (efectivas, nominales e instantáneas), partiendo de conocer el valor de alguna de ellas.

Es necesario establecer algunas reglas para su correcta aplicación:

  • M y K se escriban en unidades monetarias.
  • El valor de $\exp=2.718282$ será tomado con 6 decimales.
  • El valor de $\delta$, se determina en tanto por ciento y su valor en la ecuación se maneja al tanto por uno.
  • $t$, se mide en años y con esas unidades se sustituye en el modelo.
  • La triple igualdad, también sirve para calcular tasas equivalentes de la misma temporalidad o periodicidad, esto es cualquier tasa efectiva a partir de una tasa efectiva, lo mismo para tasas nominales, sólo es necesario no olvidar que la periodicidad de la tasa indica la unidad en la que se va a trabajar $t$.

Cabe hacer mención que, la tasa instantánea de interés, no tiene aplicación en la vida real, sólo fue utilizada con fines didácticos, sobre para poder establecer la relación que existe entre todas las tasas de interés que hasta este momento se han revisado, tema que a continuación será abordado.

Relación entre las tasas efectivas de interés, nominales, instantáneas, tasas equivalentes.

Con la expresión de la triple igualdad, se puede calcular cualquier combinación posible entre las tasas que se han estudiado, se puede ver de forma más clara en la siguiente imagen:

Figura 1.12. Relación entre las Tasas de Interés. Elaboración propia, basado en Cánovas T. Matemáticas Financieras, fundamentos y aplicaciones, Ed. Trillas, pag. 54.

Cabe hacer mención que, la única forma en que no se puede calcular una tasa equivalente es en el caso de las tasas instantáneas, no es posible obtener equivalencia entre una tasa instantánea y otra, debido a que su periodicidad sería la misma.

Una tasa es equivalente a otra si produce el mismo resultado, sin importar que su periodicidad de pago no sea la misma, considerando claro un mismo capital, un mismo monto, y un mismo tiempo.

Ejercicios resueltos

Ejercicio. Calcule la tasa efectiva mensual equivalente a 10% anual.

Solución

Se toma un capital de $K=\$1$, el cual lo acumulamos durante un mes, esto es:
$M=1.00(1+i)=1+i.$
Al trabajar con un monto de $\$1$, simplifica las expresiones, sobre todo el álgebra utilizada. Se sabe que $M$ debe ser igual al monto que se obtenga a una tasa del 10% anual durante un mes, considerando que la tasa es anual, implica que la variable $t$ debe ser medida en años, lo cual significa que $t=\frac{1}{12}$, porque deben de tener el mismo periodo de acumulación.
$M=(1+0.1)^{\frac{1}{12}}=1.007974.$
Luego se igualan ambas expresiones obtenidas, esto es:
$1+i=(1+0.1)^{\frac{1}{12}}$
$1+i=1.007974$
despejando $i$ se tiene: $i=1-1.007974=0.007974$, lo cual nos dice que la tasa efectiva mensual es de 0.79% equivalente a una tasa efectiva anual del 10%.
Dicho resultado puede comprobarse de la siguiente forma:
$t$=1 año y medio $K=\$250$
$250(1+0.1)^{1.5}=288.422433$

$250(1+0.007974)^{18}=288.422433$
Como ambos resultados coinciden, eso demuestra que ambas tasas son equivalentes.

Ejercicio. Calcule la tasa nominal pagadera 3 veces al año, equivalente a una tasa efectiva anual del 20%.

Solución

De forma análoga al ejercicio anterior, tomando como monto \$1.00, luego sustituimos datos en nuestra ecuación ya conocida

$$M=1.00\left(1+\frac{i^{(3)}}{3}\right)^3=\left(1+\frac{i^{(3)}}{3}\right)^3$$
$$M=(1+0.2)=1.2.$$

Posteriormente igualamos con la ecuación:
$$\left(1+\frac{i^{(3)}}{3}\right)^3=1.2$$
$$\left(1+\frac{i^{(3)}}{3}\right)^{\frac{(3)}{3}}=(1.2)^{\frac{1}{3}}.$$

Despejando $i^{3}$ se tiene:
$$i^{3}=3((1.2)^{\frac{1}{3}}-1)=3(1.062658-1)$$
$$=3(0.062658)=0.187975$$

Eso es igual a 18.1879%

Es en este momento que se aplica el modelo de la triple igualdad, al relacionar las tasas efectivas con las tasas nominales. De esta forma se tiene la siguiente expresión:
$M=1(1+0.2)^t=1(i+\frac{i^{(3)}}{3})^{(3)(1)}$
al igual que hace un momento, se despeja $i^{(3)}$, donde al realizar los cálculos indicados, se llega al mismo resultado.

Ejercicio. Calcule la tasa instantánea equivalente de una tasa efectiva del 20% anual.

Solución

De igual forma se toma el capital de $\$1$ el cual se sustituye en los modelos que ya se han presentado, lo cual queda de la siguiente manera:
$M=\exp^{\delta(t)}$

En el otro modelo quedaría: $(1+i)=(1+.2)=1.2$
De esta forma se obtiene:

$\exp^{\delta}=1.2.$
Aplicando propiedades de los logaritmos
$\delta=ln 1.2=0.182321$
lo cual implica que $\delta=18.2321\%.$

Más adelante…

En temas posteriores, se irán describiendo temas que poco a poco van a hacer que los conceptos que se han estado trabajando comiencen a fusionarse, para comenzar a generar cálculos más sofisticados que son muy importantes en las Matemáticas Financieras, por su gran aplicación para poder resolver muchos problemas en la práctica, algunos de ellos son las tasas de descuento, las anualidades, el valor presente, el concepto de amortización etc.

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Matemáticas Financieras: Tasas de interés nominales

Por Erick de la Rosa

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Introducción

Son el tipo de tasas de interés que tienen una estrecha relación con los periodos anuales, ya que el periodo anual es de suma importancia en una gran variedad de fenómenos económicos, financieros, así como en muchas actividades del ser humano.

Tasas nominales de interés

Dichas tasas de interés se caracterizan por:

a) Hacen referencia al año, sin embargo no son tasas efectivas anuales
b) Permiten conocer cada cuándo, se van a pagar los intereses de dicha tasa y a cuánto ascienden dentro del periodo de un año.
c) Muestran la tasa de interés que se recibirá dentro del transcurso de un año, si los intereses no se reinvierten. (Esto aplica porque el inversionista puede decidir si retira sus intereses o los deja para que se reinviertan.
d) Se denotan como: $i^{(m)}$ y se lee «$i$ de $m$»para que no se confunda cuando se esté trabando con alguna potencia. En dicha expresión $m$ representa el apellido de la tasa, además de ser la variable que nos indicará el número de veces que se paga la tasa, (a este proceso será también mencionado como: pagadera, convertible o capitalizable) dentro del periodo de un año.

Por ejemplo, una tasa $i^{(2)}$ será pagadera semestralmente, una tasa $i^{(12)}$ será capitalizable mensualmente, $i^{(6)}$ bimestralmente, etc., todo dependerá del periodo que esté indicado. Nótese que $m$ puede tomar cualquier número entero. Éste tipo de tasas fueron creadas para hacer más fácil la comprensión de la forma en que se realiza el pago o cobro de los intereses dentro de una operación.

Ejemplo. Una persona desea invertir en un banco que le ofrece pagar una tasa del 24% pagadero 12 veces al año, lo que implica que los pagos serán de forma mensual.
Para poder saber cuál es la tasa mensual que le estará pagando el banco al inversionista se hace lo siguiente:
$\frac{i^{12}}{12}=\frac{24%}{12}=.02$.
lo cual implica que la tasa que el banco pagará de forma mensual es del 2%. Cabe hacer mención que con esto, no se debe interpretar que una tasa del 24%, con una tasa $i^{12}$, implica que el banco no va a pagar el 24% de interés cada mes, sino más bien el interés «real» que estará pagando el banco será del 2% mensual. Aunado a lo anterior si el inversionista desea al término de cada mes hacer el retiro de sus intereses, al término del año pactado el inversionista habrá recibido el 24% de intereses prometido por el banco. Y como es de esperarse, dicha operación que se acaba de calcular corresponde al modelo de interés simple, así tal cual estuvo descrita. Ahora bien, recordando que el modelo que se utiliza para hacer cualquier transacción es el modelo de interés compuesto, entonces se van a estar reinvirtiendo los intereses.
Por otra parte, para fines prácticos se estará manejando la siguiente notación:

$${\frac{i^{(m)}}{m}=i_{m}}.$$

Retomando el ejemplo anterior, si ahora el inversionista desea no retirar los intereses y reinvertirlos, en tal caso se estaría usando el modelo de interés compuesto, y la tasa se estaría tomando efectiva, por lo que tomando en cuenta un capital de \$3000, y reinvertir sus intereses por un periodo de 7 meses, entonces tendrá un capital acumulado de:

\begin{align*}
M&=3000\left(1+\frac{i^({12})}{12}\right)^7\\
&=3000\left(1+\frac{0.24}{12}\right)^7\\
&=3000(1+0.02)^7=3446.0570.
\end{align*}
Lo anterior, muestra que al estar utilizando el modelo de interés simple, si el inversionista tiene un capital de \$1, sólo obtendrá con una $i^{(12)}$ un rendimiento del 1% mensual, lo que vendría a ser la suma aritmética, sin embargo; al usar el modelo de interés compuesto, estará ganando un rendimiento de $12.68%$, éste resultado es obtenido de la siguiente forma:

\begin{align*}
M&=1.00\left(1+\frac{i^(12)}{12}\right)^{12}\\
&=1.00\left(1+\frac{0.01}{12}\right)^{12}\\
&=1.00(1+0.01)^{12}=1.1268.
\end{align*}
De esta forma, se está introduciendo un nuevo concepto, que se llama tasas de equivalencia, su nombre se debe a que a partir de una tasa nominal se puede obtener su tasa equivalente mensual, como fue calculado en el ejemplo anterior. Siguiendo ésta idea, se puede incorporar al modelo de interés compuesto las tasas nominales, proceso que será expuesto en el siguiente gráfico.

Fig. 1.9 Comportamiento del modelo de interés compuesto con tasas nominales durante el primer año. Elaboración propia, basado en Cánovas T. Matemáticas Financieras, fundamentos y aplicaciones, Ed. Trillas, pag. 44.

Tomando como base el modelo anterior, se obtiene el monto alcanzado del m-ésimo periodo, se calcula para el segundo año, los siguiente:

Fig. 1.10 Comportamiento del modelo de interés compuesto con tasas nominales durante el primer año. Elaboración propia, basado en Cánovas T. Matemáticas Financieras, fundamentos y aplicaciones, Ed. Trillas, pag. 44.

De forma análoga, observando el último término del primer año, con el último término del segundo año, se puede obtener la expresión para el periodo t-ésimo año, el cual queda:
$$M=K\left(1+\frac{i^{(m)}}{m}\right)^{mt}.$$

Para éste modelo es necesario establecer que la unidad de medición de $t$ es en años, debido a la forma en que se construyó, lo anterior es de suma importancia ya que recordemos que el modelo de interés compuesto, $t$ se medía de acuerdo al «apellido» de la tasa, el cual no necesariamente eran años.
$m$ indica el número de veces que la tasa se va a pagar durante el año.

Ejemplo. Suponga que en una operación se está trabajando con una tasa nominal $i^{12}=60\%$, lo que equivales a decir:
$i_{12}=\frac{i^{12}}{12}=\frac{0.60}{12}=0.05.$

Esto es una tasa efectiva mensual del 5%.
Por lo tanto, si tenemos un capital de \$1 y se quiere calcular el monto a dicha tasa, después de un año y 6 meses, esto es un plazo de 18 meses, el monto será de:
$M=1.00(1+i_m)^{18}=1.00(1+0.05)^{18}=\$2.4066.$
Es pertinente hacer mención que la tasa $i_m$ es mensual, por ése motivo $t$ debe de ser escrito de en meses, que en este caso son 18.

Ejercicios resueltos

Ejercicio. Un banco ofrece un rendimiento con una tasa de interés del 4.68% pagadera diariamente. Calcular el monto de que se obtendrá luego de haber transcurrido cinco meses, con un capital inicial de \$1500.

Solución

Como la tasa es pagadera diariamente, eso implica que se trata de una tasa nominal $i^{365}$, aplicando el modelo de tasa nominal se tiene:
$\frac{i^{365}}{365}=\frac{0.0468}{365}=0.0012821$,
esto es equivalente a una tasa efectiva $i_{365}$ de 0.12821%.
También es necesario tomar en cuenta que para fines prácticos, los meses se toman en general con 30 días, por lo que en 6 meses hay 180 días. Por consiguiente el valor de $t$ es el siguiente: $t=\frac{180}{365}.$
Sustituyendo cada variable en el modelo, se tiene:
\begin{align*}
M&=K\left(1+\frac{i^{(m)}}{m}\right)^{mt}\\
M&=1500\left(1+\frac{i^{(365)}}{365}\right)^{365(\frac{180}{365})}\\
&=1500\left(1+\frac{0.0468}{365}\right)^{180}\\
&=1500(1+0.0012821)^{180}\\
&=1500(1.259393)\\
&=1889.0901.
\end{align*}

Ejercicio. Una persona tiene 2 tarjetas de crédito; una bancaria con un saldo a la fecha de \$30,000 y la otra emitida por una tienda de ropa con un saldo de \$25,000. La tarjeta bancaria está cobrando comisión con una tasa de interés del 25% pagadero mensualmente, mientras que la tarjeta de ropa maneja una tasa del 4% efectivo mensual. Al día siguiente ésta persona se entera que una tienda de autoservicio está manejando una tarjeta de crédito con una tasa del 20% anual pagadero diariamente. Se desea saber si conviene o no adquirirla. Explique el ¿por qué?

Solución

Lo importante en ésta situación, es determinar cuál de las opciones tiene el menor costo, esto es la menor tasa de interés. Sin embargo, como todas tienen diferente periodicidad, no es posible realizar una comparación entre ellas de forma directa, luego entonces, se van a calcular las tasas equivalentes que permitan compararlas. Para ello se va a tomar como base, la tasa pagadera mensual del $25\%$ que pertenece al banco. Esto implica una tasa $i^{12}=\frac{0.25}{12}=0.02083$
lo que quiere decir que es una tasa efectiva mensual del $2.083\%$, cantidad que es mayor a la tasa de la tienda de ropa que es del $4\%$. Por lo tanto conviene más la tarjeta de la tienda de ropa que la bancaria.
Por último se calculará la tasa que ofrece la tienda de autoservicio que es de $20\%$ pagadero diariamente, la cual se representa: $i^{365}=20$
lo que es igual a una tasa efectiva diaria:
$i_{365}=\frac{20}{365}=0.0005479452$.
Lo que sería una tasa del $0.0547945\%$ pero como su periodicidad es diaria, es necesario convertirla a su tasa equivalente mensual. Esto se hace de la siguiente forma:
$M=1.00(1+0.0005479452)^{30}=1.016569$.
De ésta forma se acaba de calcular la tasa equivalente mensual, que es igual al $1.6569\%$ que resulta ser menor que la tarjeta de crédito bancaria y menor que la tarjeta de crédito de la tienda de ropa.
Por lo tanto, la tasa que más conviene es la de la tienda de autoservicio.

Es importante resaltar que las tasas pueden ser pactadas fijas durante la duración de la operación, sin embargo; también hay ocasiones en las que algunos contratos de crédito, por ejemplo, manejan tasas de referencias, en México, dichas tasas pueden ser la Tasa de Interés Interbancaria de Equilibrio (TIIE), la tasa que da los Certificados de la Tesorería (CETES), el Costo Porcentual Promedio (CPP), etc., todas ellas regularmente son tasas nominales pagaderas diariamente.

Más adelante…

Se abordarán temas en los que se analiza cómo se va dando la relación de las tasas de interés, incluso se estudiarán los métodos en que pueden ser equivalentes aunque sean de distinta periodicidad.

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