Comparar una curva parametrizada con una familia de curvas (círculos, rectas, …).
Círculos
para una función
Rectas
para una función
Sea una curva parametrizada
Sea una función
Consideremos un punto y supongamos que está en la curva de nivel cero de , es decir,
Sea la composición donde a cada
Decimos que la curva y la curva de nivel tienen un contacto de orden en si: pero
Apliquemos este concepto.
Sea un vector distinto de
Además , es decir, si el vector es ortogonal al vector tangente
y la curva y pasan por el punto y el círculo es tangente a la curva en el punto si y sólo si, céntro del círciño, está en la recta normal a la curva en el punto Es decir,
¿Cómo debe ser para que ? Además de que y
Luego
como para algún
Despejemos , entonces
de todos los círculos con centro en la recta normal a en que pasan por , el que tiene un orden de contacto mayor con la curva es el que tiene centro en el punto
es el CÍRCULO OSCULADOR.
Si pedimos nos quedamos con círculos que pasan por el punto
Si además pedimos que nos quedamos con círculos cuyos centros están en la recta normal a en el punto
Si también pedimos nos quedamos con círculos cuyo centro coincide con el círculo osculador. (esto ocurre si ) Si no existiría tal círculo.
Si además pedimos que ¿qué sucede?
Luego
Como
Entonces
Entonces tenemos que contacto de orden
Definición:
Sea un punto en una curva
Decimos que es un vértice si existe un círculo que tiene contacto de orden al menos 4 con la curva
Vértice Ordinario, si el contacto es de orden 4.
Vértice Degenerado, si el contacto es de orden mayor que 4.
Orden 4
Definición:
Sea un punto en una curva. Decimos que es un punto de inflexión si tiene contacto de orden al menos 3 con la recta tangente.
Punto de inflexión Ordinario, si el contacto es de orden 3.
Punto de inflexión Degenerado, si el contacto es de orden mayor que 3.
En la geometría elemental se tienen varias construcciones realizadas con únicamente regla y compas, esto nos parecerá algo limitante, pero es así como Platón lo plantea para la geometría. Pero son estas restricciones lo que hace interesante las construcciones, cabe aclarar que cuando se menciona regla es para únicamente trazar rectas sin distancia fija, y el compás para trazar circunferencias únicamente. Son estas limitaciones las que hacen que muchas construcciones no se puedan realizar, es en este punto donde hablaremos de ‘Los tres problemas famosos griegos’ los cuales son: La trisección del ángulo, la duplicación del cubo y la cuadratura del círculo.
Este grupo de problemas imposibles enunciados en el siglo V a.C. y hasta la demostración de que la solución es imposible en el siglo XIX, generaron que grandes matemáticos pensaran en su solución, así mismo se motivó al desarrollo de diversas áreas de las matemáticas. Como se mencionó, las restricciones de únicamente regla y compas son las que imposibilitan la solución, pero si se modificaran estas restricciones adecuadamente, estos problemas pueden ser resueltos. Es por ello que se mostrara la imposibilidad de resolver los tres problemas famosos.
Trisección del ángulo
Problema. Lograr trisecar un ángulo arbitrario con regla y compas. Se mostrará la imposibilidad de resolver este problema.
Demostración. Dado un ángulo, no siempre es posible construir solo con una regla y compas un ángulo cuya medida es un tercio del ángulo original. Tenemos que mostrar lo que significa construir un ángulo a números construibles, ya que un número construible es la longitud de un segmento, no una medida de un ángulo. Recordemos que si tenemos algún ángulo construido sin perdida de generalidad, se asume que este ángulo está en la posición estándar, de modo que su lado inicial este en el eje positivo.
Se puede asignar el vértice del ángulo con el origen de nuestro plano y luego construir un círculo unitario centrado en el origen, donde tendremos un punto de intersección que por trigonometría este punto es ( ) y si tomamos la perpendicular de este punto hasta el eje , nos dara un punto ( ) y por lo cual se tiene la distancia .
Entonces si el angulo theta es construible eso significa que la distancia es construible y este proceso es reversible, por lo que podemos construir el ángulo theta si y solo si podemos construir el coseno de distancia de theta . Por lo cual se querrá argumentar que el coseno de theta () no es un número construible para todos los theta .
Tenemos la siguiente identidad trigonométrica
Es importante recalcar que queremos , porque queremos ángulos de trisección. Si tomamos , entonces ingresándolo en la fórmula se tiene
Si definimos entonces se tiene que la igualdad queda
Multiplicamos por 2 en ambos lados
Entonces es una raíz del polinomio
Este es un polinomio de grado 3 si es irreducible, eso sucede si y solo si no tiene raíces, porque si es irreducible tiene un factor lineal, y si tiene un factor lineal tiene una raíz por el teorema de las raíces racionales, las únicas raíces racionales posibles de este polinomio son
Ninguno de estos ocho números son raíces de este polinomio, este polinomio por lo cual es irreducible porque no tiene raíces racionales, por lo tanto, este polinomio debe sé el polinomio mínimo para el coseno de . Ahora, ya que este es un polinomio de grado 3, si tomamos el conjunto de los racionales y vemos su grado sobre tenemos 3.
Pero una propiedad de los números construibles dice que
Esto es una potencia de 2, pero 3 no es potencia de 2,
Por lo tanto, esto no puede ser una extensión construible, por lo cual el no es un número construible, entonces un ángulo de no se puede construir y un ángulo de no se puede trisecar usando solo regla y compas.
Duplicación del cubo
Problema. Se demostrará que la duplicación del cubo es imposible. Duplicar el cubo nos dice que dada la arista de un cubo, es imposible construir con una regla y compas el borde de un cubo que tiene el doble del volumen del cubo original.
Demostración. Imaginemos el cubo con la longitud de un lado de y este es un número construible, el volumen de este cubo sería ; Por lo cual si tuviéramos que construir un cubo cuyo volumen sea el doble, entonces el volumen sería este cubo es más grande, y nos preguntaremos cuanto deben medir los lados de este nuevo cubo.
Entonces el cubo duplicado, su volumen debe ser , y sea la longitud de lado , entonces el , despejando se tiene
Ahora el cuerpo de números construibles es un campo, si podemos construir , entonces podemos dividir por , pero no es número construible, ya que
Pero una propiedad de los números construibles dice que ( es un número construible)
Pero , entonces no se puede construir y, por lo tanto, no podemos duplicar el cubo.
Cuadratura del círculo
Problema. Por demostrar la imposibilidad de la construcción geométrica clásica de cuadrar el círculo.
Demostración. Dado un círculo de diámetro construible, no siempre es posible construir solo con una regla y compas el borde de un cuadrado que tiene la misma área que el círculo original. El contraejemplo será que, se tome el círculo unitario, con radio número construible, el área es .
Se debe mostrar que no se puede construir un cuadrado cuya área sea y recordemos que si tenemos un cuadrado con lado y el área es . Ahora, si fuera igual a (), esto nos diría que si tomas la raíz cuadrada de ambos lados se tiene
Entonces se requiere construir un lado de longitud . Pero si fuera construible, entonces si elevamos al cuadrado y el campo de números construibles es un campo, por lo cual también es construible, pero es un número trascendental y ninguna extensión algebraica de contiene . El campo de números construibles es una extensión algebraica infinita de los números racionales y, por lo tanto, no contiene números trascendentales, y de ahí se tiene la contradicción no es un número construible. Por lo tanto, es imposible construir un cuadrado para cada círculo.
El contenido de esta sección corresponde al libro Wheeden, R.L., Zygmund, A., Measure and Integral. An Introduccion to Real Analysis. (2da ed.). New York: Marcel Dekker, 2015, págs 30-34.
Continuaremos viendo condiciones bajo las cuales sea posible afirmar la existencia de la integral Comencemos con la siguiente:
Proposición: Sean Si existe, entonces también existe y además
Demostración: Considera una partición de y sean Entonces se siguen las siguientes igualdades:
Nota que el lado derecho de la igualdad coincide con
donde
Por lo tanto
Observa que es una suma de Riemann-Stieltjes para Tomando el límite cuando en (2) vemos que existe si y solo si existe y que
que es lo que queríamos demostrar.
Ya que el valor de las sumas de Riemann-Stieltjes depende de los valores elegidos, cuando la función es acotada, podemos delimitar el valor de y, por tanto, acotar las sumas como muestra la siguiente:
Definición: Suma inferior y suma superior de Riemann-Stieltjes. Sea acotada, una función monótona creciente en y Definimos los términos:
í
Representación del ínfimo en un intervalo de
Representación del supremo en un intervalo de
Las siguientes sumas
reciben el nombre de suma inferior y suma superior de Riemann-Stieltjes, respectivamente.
Dado que y (pues es creciente), podemos ver que
Esta forma de definir sumas permite conocer el comportamiento de la función, como sugiere el siguiente:
Lema: Sea acotada y creciente. Se cumplen:
a) Si es un refinamiento de entonces
b) Si y son dos particiones, entonces es decir, cualquier suma inferior de Riemann-Stieltjes es menor igual que cualquier suma superior de Riemann-Stieltjes.
Demostración: a) Vamos a demostrar que El argumento para las sumas inferiores es análogo y lo dejaremos como ejercicio.
Sea y Para fines prácticos supongamos que tiene apenas un punto más que Sea ese punto. Entonces para algún
entonces
Representación de supremos.
en consecuencia
Este razonamiento se puede repetir añadiendo uno a uno cada punto de hasta obtener Finalmente,
b) Nota que es un refinamiento tanto de como de Aplicando a) obtenemos:
con lo cual terminamos la prueba.
El siguiente enunciado muestra condiciones suficientes para la existencia de la integral de Riemann-Stieltjes.
Proposición: Sea continua y de variación acotada en entonces existe. Más aún
Demostración: Para demostrar la existencia recordemos que el teorema de Jordan visto en la entrada Funciones de variación acotada dice que al ser de variación acotada, puede expresarse como con y funciones crecientes acotadas en Si probamos que existe tanto como entonces, por lo visto en la entrada anterior link también existe la integral buscada pues
Sin pérdida de generalidad, probemos que existe. Sea De acuerdo con la proposición que acabamos de ver
A continuación vamos a demostrar que y existen y son iguales. La condición es evidente si es constante así que supongamos que no lo es.
Sea Ya que es uniformemente continua en sabemos que existe tal que si entonces
Nota que es distinto de cero, pues es monótona no constante.
Si se sigue:
Por lo tanto
A continuación probaremos que existe en Si suponemos que no existe entonces, por el criterio de Cauchy visto en la entrada anterior link , existen y y sucesiones de particiones cuyas normas tienden a cero tales que
Por (6) sabemos que para suficientemente grande
lo que contradice el hecho de que para cualquier y
Por lo tanto existe y en consecuencia existe. Análogamente, existe, por lo tanto también existe.
Para terminar la prueba nota que la desigualdad
se sigue de una suma de Riemann-Stieltjes similar y haciendo tender el límite a cero. La prueba de este hecho se dejará como ejercicio.
Finalizaremos esta sección con un teorema conocido, pero ahora en la versión con la integral de Riemann-Stieltjes.
Teorema. Del valor medio para la integral de Riemann-Stieltjes. Sea continua y acotada y creciente. Entonces existe tal que
Demostración: Dado que es creciente, se satisface para cualquier
íá
El resultado anterior nos permite afirmar que existe, entonces también se cumple
íá
y como es continua en se sigue del teorema del valor intermedio que existe tal que
que es lo que queríamos demostrar.
Así como definimos la integral de Riemann-Stieltjes en intervalos cerrados, también podemos hacerlo en intervalos abiertos de esta forma: Si y existe haciendo y definimos
cuando el límite existe. Así mismo
cuando el límite existe.
Más adelante…
Hasta el momento no es muy evidente la relacion entre la existencia de la integral de Riemann-Stieltjes con los limites de las sumas inferior y superior de Riemann-Stieltjes, pese a que en Cálculo llegan incluso a considerarse equivalentes cuando coinciden. En la próxima entrada veremos bajo qué condiciones el resultado es válido en la integral que estamos estudiando.
Tarea moral
Sea acotada y creciente. Sea un refinamiento de Demuestra que
Demuestra la desigualdad pendiente donde es continua y es de variación acotada.
Sean Prueba que se cumplen: a) Si existe y no es constante en ningún subintervalo de muestra que es acotada en b) Si existe y es creciente, muestra que para cada tenemos