Introducción

En la entrada anterior comenzamos el estudio a algunas ecuaciones especiales de segundo orden que aparecen con frecuencia en otras áreas de estudio, principalmente en la física. En particular, encontramos soluciones por series a las ecuaciones de Hermite y Laguerre, y mencionamos cómo los polinomios de orden $n$ que llevan los mismos nombres son soluciones particulares a las ecuaciones diferenciales para $\lambda =n$, respectivamente.

Ahora es turno de revisar las ecuaciones de Bessel y Legendre, debidas a los matemáticos Friedrich Wilhelm Bessel y Adrien-Marie Legendre. Resolveremos la ecuación de Bessel alrededor del punto singular regular $t_0=0$ para algunos casos del valor $\lambda$. Por otra parte resolveremos la ecuación de Legendre alrededor del punto ordinario $t_0=0$, y mencionamos la relación de la ecuación de Legendre con los polinomios que llevan el mismo nombre.

Ecuación de Bessel

En el primer video hallamos la ecuación indicial para la ecuación de Bessel de orden $\lambda$ alrededor del punto singular regular $t_0=0$ $$t^2\frac{d^{2}y}{d{t}^2}+t\frac{dy}{dt}+(t^2-{\lambda }^2)y=0,t>0.$$ Posteriormente encontramos una solución a la misma ecuación cuando $\lambda =0$.

En el segundo video resolvemos la ecuación de Bessel de orden $\lambda =1$ bajo las mismas hipótesis del caso anterior.

Ecuación de Legendre

En el último video de la entrada resolvemos la ecuación de Legendre de forma general alrededor del punto ordinario $t_0=0$ y hacemos una importante observación acerca de las soluciones a dicha ecuación.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

• Encuentra una segunda solución a la ecuación de Bessel de orden cero $$t^2\frac{d^{2}y}{d{t}^2}+t\frac{dy}{dt}+t^{2}y=0$$ cerca del punto singular regular $t_0=0$, $t>0$.

• Encuentra una segunda solución a la ecuación de Bessel de orden uno $$t^2\frac{d^{2}y}{d{t}^2}+t\frac{dy}{dt}+(t^2-1)y=0$$ cerca del punto singular regular $t_0=0$, $t>0$.

• Halla una solución a la ecuación de Bessel de orden $\frac{1}{2}$ $$t^2\frac{d^{2}y}{d{t}^2}+t\frac{dy}{dt}+(t^2-\frac{1}{2})y=0$$ cerca del punto singular regular $t_0=0$, $t>0$.

• Investiga los primeros cuatro polinomios de Legendre. Prueba que son solución particular a la ecuación de Legendre $$(1-t^2)\frac{d^{2}y}{d{t}^2}-2t\frac{dy}{dt}+\lambda (\lambda +1)y=0$$ alrededor del punto ordinario $t_0=0$ para los valores $\lambda =0,1,2,3$, respectivamente.

• Mediante el método de soluciones por series de potencias, halla una solución a la ecuación de Legendre con $\lambda =4$ $$(1-t^2)\frac{d^{2}y}{d{t}^2}-2t\frac{dy}{dt}+20y=0.$$ En general, el $n$-ésimo polinomio de Legendre es solución a la ecuación de Legendre con $\lambda =n$.

• Verifica que $t_0=1$ es un punto singular regular para la ecuación de Legendre y encuentra una solución cerca de $t_0=1$, $t>0$.

Más adelante

Hasta el momento hemos revisado cuatro de las seis ecuaciones especiales de segundo orden que vamos a estudiar. Finalizaremos esta serie de entradas revisando la ecuación de Chebyshev y la ecuación hipergeométrica.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»