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Continuidad uniforme

Por Lizbeth Fernández Villegas

Introducción

Hasta este punto, ya hemos visto varias propiedades que las funciones continuas tienen entre espacios métricos. De acuerdo a la definición, la continuidad en un punto se da cuando los puntos cercanos a él, son enviados a puntos cercanos en el otro espacio métrico.

Dado $ε > 0$ , incluso cuando la función $ϕ : X \to Y$ es continua en todos los puntos $x_{0}$ de $X$ , el valor de una $δ_{x_{0}}$ que cumple que $ϕ (B_{X} (x_{0}, δ_{x_{0}})) \subset B_{Y} (ϕ (x_{0}), ε)$ podría ser diferente para cada punto.

Por ejemplo, sabemos que la función identidad $I : [0, 1] \to [0, 1]$ es continua en $[0, 1]$ . Si suponemos $ε = \frac{1}{3}$ podemos hablar más explícitamente de la continuidad en los puntos $\frac{1}{3}$ y $\frac{2}{3}$ asignando $δ_{1} = \frac{1}{3}$ y $δ_{2} = \frac{1}{6}$ , respectivamente.

Podemos comprobar que ambas deltas satisfacen la definición de continuidad y sin embargo son diferentes. No obstante, eligiendo $δ$ como la mínima entre las dos, podemos argumentar también la continuidad en ambos puntos con la misma $δ .$

En general, en una cantidad finita de puntos donde la función es continua, también es posible elegir el valor de $δ$ mínimo y este funciona para demostrar la continuidad en cada punto, pero si la continuidad es en un conjunto infinito no siempre existe una delta general .

En los ejemplos de continuidad que hemos visto, fijamos un punto en el espacio del dominio $X$ y observamos un conjunto en torno a él (la bola de radio $δ$ ).

¿Qué pasa si nos fijamos en bolas de radio $δ$ de manera arbitraria en el dominio? ¿Serán enviados a puntos cercanos en el espacio métrico $Y$ ?

Esta discusión incentiva la siguiente:

Definición. Función uniformemente continua: Sean $(X, d_{X})$ y $(Y, d_{Y})$ espacios métricos. Decimos que una función $ϕ : X \to Y$ es uniformemente continua en $X$ si dada $ε > 0$ existe $δ > 0$ tal que para cualesquiera $x_{1}, x_{2} \in X$ , si satisfacen que $d_{X} (x_{1}, x_{2}) < δ$ , entonces $d_{Y} (ϕ (x_{1}), ϕ (x_{2})) < ε$ .

Al final de esta sección se propone demostrar que toda función uniformemente continua es continua. No obstante, hay funciones continuas que no son uniformemente continuas.

Ejemplo: La función $f : (0, \infty) \to R, f (x) = \frac{1}{x}$ es continua en $(0, \infty)$ pero no es uniformemente continua, pues si consideramos $ε = 1$ y cualquier $δ > 0$ todos los pares de puntos en el intervalo $(0, δ)$ tienen distancia menor que $δ .$ Sea $x_{1} \in (0, δ) .$ Como $f$ es decreciente y tiende a $\infty$ en cero por la derecha entonces existe $x_{2} < x_{1}$ tal que $f (x_{2}) > 1 + f (x_{1})$ por lo tanto, aunque $| x_{2} - x_{1} | < δ$ se tiene que $| f (x_{2}) - f (x_{1}) | > 1 = ε$ y en consecuencia, la función no es uniformemente continua.

Pero hay una propiedad que hace equivalentes ambos tipos de funciones:

Proposición: Sea $A$ un espacio métrico compacto. Si $ϕ : A \to Y$ es una función continua, entonces $ϕ$ es uniformemente continua.
Demostración:
Supón por el contrario que $ϕ : A \to Y$ no es uniformemente continua. Entonces existe $ε > 0$ tal que $\forall δ > 0$ existen $a_{1}, a_{2}$ con distancia menor que $δ$ pero cuya distancia correspondiente en $Y$ para $ϕ (a_{1})$ y $ϕ (a_{2})$ es mayor igual que \varepsilon.

Particularmente, para cada $n \in N$ existen $x_{n}, x_{n}^{'} \in A$ tales que $d_{A} (x_{n}, x_{n}^{'}) < \frac{1}{n}$ y $d_{Y} (ϕ (x_{n}), ϕ (x_{n}^{'})) \geq ε .$

Entonces la sucesión $(x_{n})_{n \in N}$ que está en $A$ compacto, tiene una subsuseción $(x_{k_{j}})$ que converge en algún $x \in A .$ La sucesión correspondiente $(x_{k_{j}}^{'})$ también converge en $x,$ pues:

$d_{A} (x, x_{k_{j}}^{'}) \leq d_{A} (x, x_{k_{j}}) + d_{A} (x_{k_{j}}, x_{k_{j}}^{'}) \to 0$

Entonces, como $ϕ$ es continua se cumple que $ϕ (x_{k_{j}}) \to ϕ (x)$ y $ϕ (x_{k_{j}}^{'}) \to ϕ (x)$ de modo que existe $J \in N$ tal que.

$d_{Y} (ϕ (x_{k_{j}}), ϕ (x_{k_{j}}^{'})) \leq d_{Y} (ϕ (x_{k_{j}}), ϕ (x)) + d_{Y} (ϕ (x), ϕ (x_{k_{j}}^{'})) < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε .$

Pero esto es una contradicción, pues al principio se seleccionaron términos que satisfacen que $d_{Y} (ϕ (x_{k_{j}}), ϕ (x_{k_{j}}^{'})) \geq ε .$ Por lo tanto la función sí es uniformemente continua.

Más adelante…

Ya que conocemos algunos resultados de la compacidad en los conjuntos, mostraremos una herramienta para identificarla en espacios de funciones: el teorema de Arzelá-Azcoli. En la siguiente sección veremos las definiciones que nos llevarán a ella.

Tarea moral

Demuestra que toda función uniformemente continua es continua.
¿Es cierto que toda función Lipschitz continua es uniformemente continua?
¿Es cierto que toda función uniformemente continua es Lipschitz continua?
¿Es la función $f : [a, \infty) \to R, f (x) = \frac{1}{x}, a > 0,$ uniformemente continua?

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Matemáticas Financieras: Perpetuidades

Por Erick de la Rosa

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Introducción

Al momento se trabajó con el concepto general de anualidad, anualidad vencida, anticipada y diferida, así como algunas de sus combinaciones entre ellas, ejemplos de cómo se presentan en la vida cotidiana, y la forma en que resultan muy útiles, para poder encontrar una solución. Sin embargo, aún falta considerar el caso en el que los pagos pueden ser de forma ininterrumpida, por decirlo así: los pagos serían un tiempo «infinito», lo anterior, tiene efecto sobre el capital, el cual, bajo estas condiciones, provoca que nunca se acabe.

Definición del concepto de perpetuidad, descripción y valor presente

Éste concepto, se parece mucho a las anualidades, desde el punto de vista que consisten en una serie de pagos iguales, en los que, en teoría el tiempo tiende al infinito, esto es, la duración del plazo esta continua siempre, en otras palabras, no está definido el término del plazo, mientras la causa subsista, mientras alguna empresa continúe operando, dicha operación continuará existiendo. Un ejemplo de éste tipo de casos se da cuando quieren constituir un fondo, un premio como lo es el premio nobel, o podría ser el caso de los dividendos que otorgan las empresas cuya operación es indefinida, la asignación de becas, en todos esos casos la característica en las que coinciden es, que siempre haya recursos de los cuales disponer, para que nunca se quede en cero los fondos.

Comportamiento gráfico de una perpetuidad. Elaboración propia, basado en Matemáticas Financieras, fundamentos y aplicaciones, Cánovas T. Ed. Trillas, pag. 152

La forma en que será denotada una perpetuidad está dada por la expresión:

${}_{\infty}A_{i} .$

Por otra parte, la notación usada para los conceptos de las anualidades anticipadas, vencidas, y diferidas será el mismo con el cual se han venido representando cada una respectivamente, sin embargo; para fines prácticos de éste concepto, será incluido el símbolo $\infty$ como subíndice, que como ya se mencionó hace corresponde al uso de una perpetuidad. En lo que respecta a las demás variables permanecerán con la misma denotación. Es importante hacer mención que el concepto de perpetuidad, se puede combinar con los conceptos que ya se han estado trabajando, y que se desarrollarán más adelante, recordemos algunos conceptos que serán utilizados para su construcción.

El valor presente de una anualidad vencida se calcula con la siguiente expresión:

${}_{n}A_{i} = \frac{1 - v^{n}}{i}$

nos vamos a enfocar en la parte derecha de la igual, específicamente al que contiene a la $n$ , el cual corresponde al $v^{n}$ , analizando lo que le ocurre cuando se hace tender a $n$ a infinito. Partiendo de que:

$v^{n} = \frac{1}{(1 + i)^{n}} .$

Cuando $(1 + i)^{n}$ , si se hace tender $n$ a infinito, el comportamiento dicha expresión es de una progresión geométrica, por lo que el cociente que allí se expresa, al tener que el denominador se hace tender a infinito, entre algo pequeño, el resultado será cero. Esto hace transformar dicha expresión en:

${}_{\infty}A_{i} = \frac{1 - v^{\infty}}{i} = \frac{1 - 0}{i} = \frac{1}{i} .$

Ahora, si en vez de un peso, se cambia dicha cantidad por $X$ , la expresión queda:

${}_{\infty}A_{i} = \frac{X}{i}$

dicha ecuación representa el valor presente de una perpetuidad vencida.

De ésa ecuación que se acaba de obtener, se despeja $X$ , se obtiene la expresión para calcular el capital inicial, la cual queda denotada por:

$X = {}_{\infty}A_{i} i .$

Monto

De acuerdo con las características que tiene el concepto de perpetuidad, el monto de éste tiende a ser infinito, ya que realizando el siguiente proceso se tiene:

${}_{\infty}S_{i} = \frac{(1 + i)^{\infty} - 1}{i} = \frac{\infty - 1}{i} = \infty$

esto ocurre toda vez que $(1 + i)$ resulta ser siempre mayor que $1$ , para cualquier $i$ positiva, además de que está elevada a una potencia $\infty$ lo que hace que el resultado sea infinito. Aunado a lo anterior está el hecho de que cualquier cifra infinita, dividida entre cualquier número, el resultado continúa siendo infinito.

Ejercicios resueltos

Ejercicio. Una fundación desea crear un fondo que cuente con recursos suficientes para solventar los gastos de 3 becas que serán asignadas a 3 estudiantes, de manera tal que cuando ellos terminen sus estudios, siga habiendo fondos, para seguir beneficiando a otros 3 estudiantes más. La beca consiste en una cantidad $2,000 mensuales para cada uno. Se desea saber de ¿cuánto debe ser el capital que se requiere aportar para, si están considerando una cantidad de 8% efectiva anual?

Solución

De forma similar a la que se ha resuelto en otros ejercicios, lo primero que se va a realizar es obtener la tasa efectiva mensual equivalente al 8% efectivo anual.

$(i + i) = (1.08)^{\frac{1}{12}} = 0.006434 .$

Una vez hecho esto, la ecuación que se va a utilizar para resolverlo es la siguiente:

${}_{\infty}A_{0.006434} = X = \frac{3 (2000)}{0.006434} = $ 932, 545.8502 .$

Por tanto, la cantidad requerida para la constitución de dicho fondo es: $932,545.8502.

Ejercicio. La familia Godínez, quiere generar un fondo de un millón de pesos, que garantice la educación de su hijo, si al día que se decide crearlo, tiene una edad de 20 años, necesita saber ¿cuánto debería ahorrar semanalmente para asegurar el dinero suficiente para que garantice los gastos cuando su hijo ingrese a la universidad, él señor Godínez calcula hacer dicho ahorro por unos 20 años. La tasa que se estará invirtiendo dichas aportaciones será del 8% efectiva anual.

Solución

Recordemos primero que para fines prácticos, un año tiene 52 semanas, de allí se obtiene: $(52) (20) = 1040$ , que es la cantidad de semanas que deberá ahorrar durante 20 años.

Luego se debe obtener la tasa equivalente semanal, para ello se realiza lo siguiente:

$(i + i) = (1.08)^{\frac{1}{52}} = 0.001481 .$

Para calcular la cantidad que necesita ahorrar el señor Godínez, se requiere hacer uso de la siguiente ecuación:

$1, 000, 000 = X {}_{1040}S_{0.0014811} .$

Despejando la variable $X$ se tiene:

$X = \frac{1, 000, 000}{{}_{1040}S_{0.0014811}}$

$= \frac{1, 000, 000}{\frac{(1 + 0.001484)^{1040}}{0.001484}}$

$= \frac{1, 000, 000}{2, 471.897844} = $ 404.55 .$

La cantidad semanal que necesita ahorrar es de: $$ 404.55 .$

Más adelante…

Se continuará estudiando las variantes de las anualidades que aún faltan por ver, como lo son las anualidades crecientes, éstas son utilizadas cuando las empresas, deciden ir incrementando el capital que se va abonando para liquidar una deuda, con la finalidad de pagar menos intereses, por ejemplo.

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Matemáticas Financieras: Anualidades diferidas

Por Erick de la Rosa

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Introducción

Éste tipo de anualidades, se presentan cuando las personas hacen la solicitud de un crédito, y éste considera un periodo de «gracia», el cual es un tiempo considerable que les otorgan por ejemplo mientras se hacen de una buena cartera de clientes, considerando el hecho de que, al ser una nueva empresa, no va a ser posible generar ingresos desde el día uno. Sin embargo, dicho periodo, sí está generando intereses, pero aun con eso, le permite a la persona que adquirió el crédito el no tener que estar pagando de forma inmediata dicha deuda.

Descripción y valor presente

Las anualidades diferidas son al tipo de anualidades en las que no se realizan los pagos desde el primer periodo, sino después de haber transcurrido el periodo de gracia que se haya pactado, el cual puede ser un período o más. Un ejemplo de éste tipo de créditos, son las promociones que sacan en el buen fin, «disfrute hoy de su pantalla, coche, o lo que sea que estén vendiendo y pague hasta enero del siguiente año».

De acuerdo a lo anterior, una anualidad diferida, es la que establece un plazo en el que no se va a realizar ningún pago, a dicho periodo se le conoce como diferimiento, y una vez transcurrido éste, se da inicio a la realización de los pagos de la forma conocida como una anualidad.

Comportamiento de una anualidad diferida. Elaboración propia, basado en Matemáticas Financieras, fundamentos y aplicaciones, Cánovas T. Ed. Trillas, pag. 148.

Una anualidad diferida es denotada por:

${}_{m / n}A_{i} = v_{i}^{m + 1} + v_{i}^{m + 2} + \dots + v_{i}^{m + n - 2} + v_{i}^{m + n - 1} + v_{i}^{m + n}$

${}_{m / n}A_{i} = v_{i}^{m} (v_{i}^{1} + v_{i}^{2} + \dots + v_{i}^{n - 2} + v_{i}^{n - 1} + v_{i}^{n})$

${}_{m / n}A_{i} = v_{i}^{m} {}_{n}A_{i}$

$V = X {}_{m / n}A_{i}$

$V = X {}_{m / n}A_{i} = X v_{i}^{m} {}_{n}A_{i} .$

Reglas para su uso

$m$ y $n$ son número enteros y se miden en la misma temporalidad, esto es, si n son semanas, m serán también semanas
Los pagos se realizan de forma vencida, esto quiere decir que el primer pago se realizará al final del primer periodo que aparezca, una vez que haya concluido el periodo de gracia o periodo de diferimiento.
La tasa de interés deberá ser efectiva por periodo, para los $n$ pagos, así como los $m$ periodos que conformen el periodo de diferimiento.

Monto

Para obtener el monto de una anualidad diferida, de forma semejante a las dos anualidades vistas anteriormente (anticipadas y vencidas), se continua tomando como referencia para su valuación, la fecha en la que realizo el último pago.

En la siguiente imagen, se muestra lo que se acaba de mencionar:

Comportamiento del monto en una anualidad diferida. Elaboración propia, basado de Matemáticas Financieras, fundamentos y aplicaciones, Cánovas T. Ed. Trillas, pag. 150

La expresión con la que se va a denotar una anualidad diferida es:

${}_{n}S_{i} = (1 + i)^{n - 1} + (1 + i)^{n - 2} + \dots + 1$

de donde se obtiene:

${}_{n}S_{i} = \frac{(1 + i)^{n} - 1}{i} .$

De forma análoga a las anteriores anualidades, ésta expresión denota los pagos con valor de $1.00, para hacerlo de forma más general se considera pagos de cantidad $X, y la expresión queda:

$M = X {}_{n}S_{i} = X \frac{(1 + i)^{n} - 1}{i} .$

En este momento, ya se tienen 3 tipos de anualidades, por lo que ya se cuenta con el material necesario para resolver problemas que involucran combinaciones entre ellas.

Ejercicios resueltos

Ejercicio. Una persona necesita un crédito por $80,000 para reparar su vehículo, ya que es modelo antiguo y lo quiere volver un coche clásico. El banco decide otorgarle el crédito, y además le otorga un periodo de gracia por 4 meses, comenzando a pagar a partir del final del quinto mes. La deuda debe ser pagada en 24 mensualidades. Se desea saber la cantidad que tendrán dichas mensualidades, con una tasa del 1.5% efectivo mensual.

Solución

Ejercicio. Supongamos que una persona contrata un crédito por $100,000 y lo quiere liquidar en 10 mensualidades vencidas con pagos de $4000, posteriormente realizará pagos durante 8 mensualidades iguales, que serán pagadas luego de un periodo de gracia de 6 meses. Se necesita saber ¿Cuánto es el monto de las 8 mensualidades, a una tasa de interés del 1.3% mensual?

Solución

Más adelante…

En las siguientes secciones se continuará otros tipos de anualidades, su combinación entre ellas, la forma en que se aplican para la resolución de problemas.

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Matemáticas Financieras: Anualidades anticipadas y valor presente

Por Erick de la Rosa

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Introducción

Las anualidades anticipadas, se comportan de forma semejante a las anualidades vencidas. Dichas anualidades, tiene su uso principal en el ramo de los seguros, ya que la mayoría de las veces, los pagos que involucran las primas, se realizan de forma anticipada, en pocas palabras, éste tipo de anualidades se usan cuando se requieren al inicio de cada periodo.

Descripción de las anualidades anticipadas y valor presente

Se utilizan cuando se desean hacer pagos por adelantado, las reglas para su correcta aplicación son las mismas, que para las anualidades vencidas. Serán denotadas por:

${}_{n}{\ddot{A}}_{i} = 1 + v_{i}^{1} + v_{i}^{2} + \dots + v_{i}^{n - 2} + v_{i}^{n - 1}$

${}_{n}{\ddot{A}}_{i} = \frac{1 - v^{n}}{1 - v} .$

Observación. Las ecuaciones anteriores se pueden escribir como:

${}_{n}{\ddot{A}}_{i} = 1 + {}_{n - 1}{\ddot{A}}_{i}$

ésta expresión relaciona las anualidades anticipadas con las vencidas, ya que nos muestra como el valor presente de una anualidad vencida de n-1 pagos de un peso, se le suma el peso que debe pagarse en la fecha de valuación, y con esto se logra obtener el valor presente de una anualidad anticipada.

Ahora, si sustituimos el valor de la anualidad que se acaba de mostrar se tiene:

${}_{n}{\ddot{A}}_{i} = 1 + \frac{1 - v_{i}^{n - 1}}{i} .$

Generalizando los pagos a una cantidad $X, la expresión queda:

$V = X {}_{n}{\ddot{A}}_{i} = X (1 + {}_{n - 1}{\ddot{A}}_{i})$

$V = X (1 + \frac{1 - v_{i}^{n - 1}}{i}) .$

Comportamiento de una anualidad anticipada
Elaboración propia, basada en Matemáticas Financieras, fundamentos y aplicaciones, Cánovas T. Ed. Trillas, pag. 144.

Ejercicios resueltos

Ejercicio. La gerencia de una plaza de artesanías, quiere ampliar sus locales, y acepta un financiamiento por parte de unos inversionistas con una tasa de interés del 12%, para que los arrendatarios paguen por adelantado, a lo largo de un año. Uno de sus inversionistas decide comprar con un préstamo que le otorgó el banco a una tasa del 8.3%. Se desea saber la cantidad que se debe de pagar al arrendador si la renta de sus locales es de $14,700?.

Solución

La solución se obtiene calculando primero de la tasa anual, la tasa equivalente efectiva mensual, es decir:

$(1 + 0.12)^{\frac{1}{2}} = (1 + i)$

de donde se obtiene el valor de $i = 0.9489 .$

Cómo las rentas se pagan al inicio de mes, entonces se trata de una anualidad anticipada, por lo que se aplica el siguiente modelo:

$X = 14700 {}_{12}{\ddot{A}}_{0.009489} = 14700 (1 + \frac{1 - v_{0.009489}^{11}}{0.009489})$

$X = 14700 (10.398566) = 152858.92$

La cantidad que se debe pagar es de: $152,858.92.

Monto

El monto en una anualidad, es la suma de los pagos periódicos valuados, cada uno, en la fecha que fue realizado el último pago. El proceso para obtenerlo es análogo al que fue usado para obtener el cálculo de las anualidades vencidas, el cual consiste en «traer» todos los pagos a la fecha en la que fue realizado el último.

La fecha de valuación, se toma cuando se realiza el último pago porque no es necesario desarrollar una nueva ecuación, y también porque en la práctica real, difícilmente se encontrará algún caso en donde se tome en cuenta una fecha más allá de la última fecha de pago. De esta forma la expresión queda como sigue:

${}_{n}{\ddot{S}}_{i} = {}_{n}S_{i} (1 + i)$

${}_{n}S_{i} = 1 (1 + i)^{n - 1} + 1 (1 + i)^{n - 2} + 1 (1 + i)^{n - 3} + \dots + 1 (1 + i)^{2} + 1 (1 + i)^{1} + 1$

${}_{n}S_{i} = \frac{(1 + i)^{n} - 1}{i}$

$M = X .$

Se llegó a la misma expresión debido a que tomó la fecha del último pago, lo importante. En el caso de la anualidad vencida se hizo al final del periodo, mientras en el de la anticipada se hizo al principio, lo que importa destacar es que la operación que se está realizando, respecto al número de pagos, no es alterada ya que la fecha de valuación es la misma.

Ejercicio. En el mes de mayo de 2022 una empresa depositará cada mes una cantidad de dinero, con el fin de adquirir mercancía para vender en la temporada del buen fin. Situación que llevará a cabo desde el 31 de enero del siguiente año con una duración de 10 meses más. ¿Cuánto deberá ahorrar si las compras que desea hacer, ascienden a un valor de $35000, considerando que el banco le ofreció una tasa de interés del 7.75% nominal, pagadero mensualmente.

Solución

Tomando en consideración la fecha última en la que realizó su depósito, la cual viene a ser el 30 de noviembre. Luego el número de depósitos que realizará dan un total de 11, y la tasa que se va a utilizar es (0.0775)(12)=0.00645833. Una vez identificados éstos datos, se construye la ecuación de valor la cual nos queda:

$350, 000 = {}_{11}S_{0.00645833}$

de donde:

$X = \frac{350, 000}{{}_{11}S_{0.00645833}} = \frac{350000}{11.362123}$

$X = 30 804.10$

la empresa debe de ahorrar la cantidad de $30 804.10

Una persona comienza a ahorrar la cantidad de $300 pesos al inicio de cada mes, y quiere saber, cuál será la cantidad que tendrá ahorrada, luego de haber transcurrido 2 años, si la institución en la que la deja depositada le otorga una tasa de interés del 7% mensual.

Solución

Más adelante…

Se continuará trabajando con estos conceptos de anualidades, explorando otros tipos que existen, y no sólo eso, sino que se comenzarán a combinar cada una de ellas, pues nos daremos cuenta que la vida real, tiene una enorme cantidad de variantes para realizar operaciones comerciales, las cuales con el paso del tiempo han surgido como una forma de resolver dichos dilemas, que aparecen a la hora de hacer una operación financiera.

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Matemáticas Financieras: Definición de anualidades y tipos de anualidad

Por Erick de la Rosa

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Introducción

Las anualidades, son una herramienta de vital importancia dentro de las matemáticas financieras, ya que su uso está presente en la gran mayoría de operaciones o transacciones económicas, financieras y/o comerciales. En este apartado, se dará a conocer el concepto de anualidad, sus principales características, tipos de anualidades, así como algunas reglas elementales para su uso de forma correcta.

Definición de anualidad

Siempre que se quiera adquirir algún producto, algún bien como lo es una casa, y se quiera hacer dicha compra a crédito, va a ser necesario un contrato en el que quedaran especificados una serie de pagos, con cierta temporalidad, a una cierta tasa de interés, mediante los cuales se irá pagando dicha deuda, o dicho crédito.

En este apartado, se analizarán los modelos matemáticos más usados, mejor conocidos con el nombre de anualidades, las cuales se utilizan para poder resolver los problemas que acaban de mencionar.

Se entenderá por anualidad, al conjunto de pagos que se realizarán de forma periódica durante un cierto tiempo, que tendrá la misma periodicidad que los pagos, haciendo el uso del modelo de interés compuesto. Sin embargo, cabe hacer mención que el nombre de anualidades, no necesariamente va a implicar siempre que el pago va a ser anual (cada año), sino que también van a darse casos en los que los pagos serán semanales, diarios, mensuales, bimestrales, trimestrales, semestrales, etc.

Algunos ejemplos de anualidades son: los pagos a crédito de electrodomésticos, pagos de renta de una casa o departamento, pagos de crédito de un automóvil, pago de pensiones, pago de primas de algún tipo de seguro (vida, daños, de gastos médicos mayores, etc.)

Tipos de anualidades

Anualidades ciertas. Son aquellas en las que los pagos no tienen ningún tipo de restricción, condición u ocurrencia de evento para que se lleven a cabo los pagos. por tal motivo quedan establecidas los pagos y el plazo.
Anualidades contingentes. Son conocidas por que existe alguna condición o cierta contingencia o evento tenga que pasar, tenga que cumplirse para poder llevarse a cabo los pagos, un ejemplo que describe claramente ésta situación son los pagos generados por una renta vitalicia en la que sólo podrán hacerse los pagos, una vez que el cónyuge muera.
Anualidades ordinarias vencidas. En este tipo de anualidad, los pagos se realizan al final de cada periodo, durante el plazo que se haya pactado que duraría la operación, también es conocida como anualidad ordinaria.
Anualidades anticipadas. En ésta anualidad, es muy semejante a la anterior, la única diferencia es que los pagos se realizan al inicio de cada periodo, de cierta forma se entendería que los pagos se hacen por adelantado.
Anualidades diferidas. Son anualidades que se caracterizan por tener u otorgar un periodo de «gracia», que es un cierto tiempo que pasa antes de que comiencen a efectuarse los pagos.
Perpetuidad. Son anualidades en las que los pagos que en teoría, «nunca» dejan de hacerse, Un ejemplo que muestra más claramente su uso, es la creación de un fondo de una beca para un estudiante, la cual una vez que dicho alumno culmine sus estudios, siga habiendo recursos suficientes para que pueda ser asignada a otro estudiante, de manera tal que siempre existan fondos suficientes para seguir apoyando a estudiantes.
Anualidades crecientes. Su principal característica es que los pagos van incrementando una determinada cantidad cada periodo. Un ejemplo de su utilización se da cuando una empresa desea adquirir con el paso del tiempo, la modernización de su maquinaria, más actual y por ende más eficiente.
Anualidad decreciente. Es análoga a la anterior, solo que en lugar de aumentar una cierta cantidad cada periodo, ésta va disminuyendo.
Anualidad pagadera p-veces al año. Se caracterizan por fijar una cantidad que se pagará durante un año, o en su caso durante los años subsecuentes, hasta cubrir la totalidad de la deuda.
Anualidad continua. Se caracterizan por tener pagos muy pequeños, durante periodos muy pequeños, de forma continua, con el fin de liquidar un crédito o u acumular una cierta cantidad al término de un cierto lapso de tiempo.

Anualidades ordinarias vencidas

Como se mencionó, son el tipo de anualidad, en el que los pagos se realizan al final de cada periodo. Su construcción es realizada a partir del caso de $1.00, durante un tiempo de n-periodos, el cual queda descrito en la siguiente imagen:

Comportamiento de una anualidad vencida, elaboración propia basado en Matemáticas financieras, fundamentos y aplicaciones, Cánovas T. Ed. Trillas, pag. 116

Considerando la imagen anterior, se denotará una anualidad vencida como:

${}_{n}A_{i} = 1 v_{i}^{1} + 1 v_{i}^{2} + 1 v_{i}^{3} + \dots + 1 v_{i}^{n - 1} + 1 v_{i}^{n}$

${}_{n}A_{i} = 1 (v_{i}^{1} + v_{i}^{2} + v_{i}^{3} + \dots + v_{i}^{n - 1} + v_{i}^{n}) .$

Ésta expresión, puede ser vista como una progresión geométrica, tal como se muestra a continuación:

${}_{n}A_{i} = \frac{v_{i}^{1} - v_{i}^{n} v_{i}^{1}}{1 - v_{i}^{1}} = \frac{v_{i}^{1} - v_{i}^{n + 1}}{1 - v_{i}}$

$= \frac{v_{i} (1 - v_{i}^{n})}{1 - v_{i}} .$

Sustituyendo el valor de $v$ se tiene:

$= \frac{\frac{1}{(1 + i)} (1 - v_{i}^{n})}{1 - \frac{1}{(1 + i)}}$

$= \frac{\frac{1}{(1 + i)} (1 - v_{i}^{n})}{\frac{1 + i - 1}{(1 + i)}}$

$= \frac{\frac{1}{(1 + i)} (1 - v_{i}^{n})}{\frac{i}{(1 + i)}} .$

Cancelando la expresión $\frac{1}{(1 + i)}$ en el numerador como en el denominador, se tiene:

${}_{n}A_{i} = \frac{1 - v^{n}}{i} .$

Dicha expresión, es la que se va a estar utilizando para hacer el cálculo del valor presente de una anualidad vencida. Al igual que los modelos que anteriormente se han estado construyendo, obedece a las mismas reglas del modelo de interés compuesto.

Es necesario notar que, cuando en el modelo el valor de $n = 1$ se tiene el caso de una anualidad de un sólo pago, y al ser sólo un pago, no podría ser considerada como una anualidad, sin embargo, se sigue cumpliendo que el valor presente sea igual a $v$ . Generalizando la expresión anterior, dejando de considerar $1 como valor del capital que se está manejando, y asignando un valor $X, entonces la expresión queda de la siguiente forma:

$V = X v_{i}^{1} + X v_{i}^{2} + X v_{i}^{3} + \dots + X v_{i}^{n - 1} + X v_{i}^{n}$

$V = X (v_{i}^{1} + v_{i}^{2} + v_{i}^{3} + \dots + v_{i}^{n - 1} + v_{i}^{n}) .$

Como ya sabemos, la expresión entre paréntesis equivale a una anualidad vencida, entonces realizamos la sustitución de forma tal que nos queda:

$V = X {}_{n}A_{i} .$

Por otra parte, para calcular el monto de una anualidad vencida se hace lo siguiente:

${}_{n}S_{i} = 1 (1 + i)^{n - 1} + 1 (1 + i)^{n - 2} + \dots + 1 (1 + i)^{2} + 1 (1 + i)^{1} + 1$

${}_{n}S_{i} = \frac{1 - (1 + i)^{n - 1} (1 + i)}{1 - (1 + i)}$

lo anterior, es posible ya que, de forma análoga al valor presente, se está trabajando con progresiones geométricas, por lo que al aplicar sus propiedades se obtiene el siguiente resultado:

${}_{n}S_{i} = \frac{(1 + i)^{n} - 1}{i} .$

Es necesario mencionar que, la expresión anterior, considera con un capital de $1, aplicando de forma más general el modelo quedaría:

$M = X {}_{n}S_{i} = X (\frac{(1 + i)^{n} - 1}{i}) .$

Ejercicios resueltos

Ejercicio. Es muy común, en la práctica tener casos en los que combinen mensualidades con pagos anuales. Lo anterior es una práctica común que tiene la intención de reducir la cantidad de intereses que se está pagando. Por ejemplo, el siguiente ejercicio:

Don Raúl, desea adquirir un vehículo último modelo, motivo por el cual solicita un autofinanciamiento, el cual requiere que realice un pago del 30% de enganche. El valor total de la unidad cuesta $400,000. La forma en que Don Raúl desea pagarlo es cubrir el enganche, sacarlo a 60 mensualidades con una tasa del 20% pagadera mensualmente. Además, quiere aportar la cantidad de $20,000 cada cinco años de forma vencida. Ante este contexto, don Raúl desea saber ¿Cuánto va a tener que pagar de mensualidad?

Solución

Modelo de la ecuación de valor en un problema práctico.
Elaboración propia, basado en Fundamentos de Matemáticas Financieras, Cánovas T. Ed. Trillas, pag. 119.

$\frac{i^{12}}{12} = \frac{0.2}{12} = 0.016667 .$

Este resultado es el que va a ser utilizado para calcular: ${}_{60}A_{0.016} .$

Luego, para calcular ${}_{5}A_{i}$ , es necesario obtener la tasa efectiva anual denotada por $i^{'}$ , que al mismo tiempo es una tasa equivalente a la tasa equivalente efectiva mensual que se acaba de calcular.

$(1 + i^{'}) = (1 + 0.016667)^{12}$

$i^{'} = (1.016667)^{12} - 1 = 0.219391 .$

Calculamos el valor de $X$ , para hacerlo se despeja dicha variable de la ecuación de valor:

$X = \frac{400, 000 - 120, 000 - 20, 000 {}_{5}A_{0.219391}}{{}_{60}A_{0.0167}}$

$X = \frac{180, 000 - 20, 000 (2.867373)}{37.74424}$

$X = 3249.57 .$

Por lo tanto, la mensualidad le queda en $3249.57 durante 60 meses, con sus respectivas aportaciones de $20,000 al final de cada año, éstas realizadas de forma vencida, es decir, al final de cada año.

Ejercicio. Una empresa de hilos, compró maquinaria a crédito con un valor de $500,000, los pagos los va a realizar de forma mensual, con un valor de $4,000, la duración de la deuda fue de 18 meses, la tasa que están manejando es de 1.35% efectiva mensual. La empresa quiere liquidar dicha deuda lo antes posible. Dado que tiene en puerta un negocio de gran importancia, pretende pagar la totalidad del adeudo dentro de un mes, situación que comunica el vendedor de la maquinaria, para poder renegociar el monto que le resta y que no tenga que estar pagando tanto interés. Se requiere saber ¿cuál es la cantidad que hace falta por pagar dentro de un mes, para liquidar completamente la deuda?

Solución

Más adelante…

Se abordarán el tema de anualidades anticipadas, que como su nombre lo dice los pagos se harán al inicio de cada periodo, las cuales se verá que son de vital importancia, ya que muchas operaciones de seguros hacen uso de ellas. Su funcionamiento resultará de forma muy parecida a las anualidades anticipadas, pero de forma inversa.

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