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Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Introducción a sistemas de ecuaciones de primer orden

Por Eduardo Vera Rosales

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Introducción

Bienvenidos a la tercera unidad del curso de Ecuaciones diferenciales ordinarias, donde estudiaremos sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.

Un sistema de ecuaciones es una familia de ecuaciones diferenciales de la forma $$\begin{alignedat}{4} \dot{x}_{1} &= F_{1}(t,x_{1},x_{2},…,x_{n}) \\ \dot{x}_{2} &= F_{2}(t,x_{1},x_{2},…,x_{n}) \\ & \; \; \vdots \notag \\ \dot{x}_{n} &= F_{n}(t,x_{1},x_{2},…,x_{n}) \end{alignedat}$$ donde $t$ es la variable independiente, cada $x_{i}$ es una variable dependiente de $t$ y cada $F_{i}$ es una función que depende de las $n+1$ variables.

Los sistemas de ecuaciones aparecen con frecuencia en problemas de física o biología, en los que el fenómeno en cuestión involucra más de una variable. Estas variables interactúan entre sí, por lo que la razón de cambio de éstas depende tanto del tiempo como de las variables restantes.

Vamos a estudiar propiedades que cumple el conjunto de soluciones a un sistema lineal homogéneo, y posteriormente resolveremos estos sistemas desde un punto de vista matricial, por lo que tus conocimientos de Álgebra lineal serán de utilidad.

En esta entrada definiremos lo que es un sistema de ecuaciones de primer orden, así como también una solución. Hablaremos del problema de condición inicial y enunciaremos el teorema de existencia y unicidad, el cual es la base para desarrollar toda la teoría alrededor de los sistemas lineales. Escribiremos el sistema de ecuaciones en forma matricial, y finalizaremos haciendo un cambio de variable para transformar una ecuación de orden $n\geq 2$ en un sistema de $n$ ecuaciones diferenciales de primer orden. Con esta transformación podremos encontrar soluciones a ecuaciones de cualquier orden resolviendo su sistema de ecuaciones asociado.

Como te habrás dado cuenta, en el sistema de ecuaciones escrito al inicio, para denotar a la derivada de una función utilizaremos la siguiente notación: $$\dot{y}=y’=\frac{dy}{dt}.$$

Además, denotaremos por $x_{1}, x_{2},…,x_{n}$ a las variables dependientes de $t$. Para los sistemas de dos o tres ecuaciones diferenciales denotaremos $x$, $y$, $z$ a las variables dependientes de $t$, salvo que esta notación cause confusión.

Vamos a comenzar.

Sistemas de ecuaciones de primer orden y ejemplos

En el primer video de esta entrada damos las definiciones de un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden, una solución al sistema, diremos cuándo el sistema es lineal, no lineal, homogéneo o no homogéneo. Finalizamos dando dos ejemplos de problemas donde aparecen sistemas de ecuaciones de primer orden.

Problema de condición inicial y el teorema de existencia y unicidad

En el segundo video hablamos un poco de los problemas de condición inicial y enunciamos el teorema de existencia y unicidad para sistemas de ecuaciones de primer orden, tanto la versión general como la versión para sistemas lineales homogéneos. Mas adelante daremos una demostración de la segunda versión.

Sistemas de ecuaciones en forma matricial y transformación de una ecuación de orden superior en un sistema de ecuaciones de primer orden

En el último video, damos la notación matricial para los sistemas de ecuaciones de primer orden. Además, transformamos una ecuación de orden $n\geq 2$ en un sistema de $n$ ecuaciones diferenciales haciendo un sencillo cambio de variable.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Transforma las ecuaciones $a\ddot{y}+b\dot{y}+cy=0$ y $a\dddot{y}+b\ddot{y}+c\dot{y}+dy=0$, donde $a$,$b$,$c$,$d$ son constantes y $a\neq0$ en sistemas de ecuaciones de primer orden, y escribe el sistema en forma matricial.
  • Transforma la ecuación diferencial no lineal $$\ddot{y}+\cos{y}=t$$ en un sistema de ecuaciones de primer orden.
  • Considera la ecuación $$a\ddot{y}+b\dot{y}+cy=0.$$ Prueba que si $$\textbf{X}=\begin{pmatrix} x_{1}(t) \\ x_{2}(t) \end{pmatrix}$$ es solución al sistema de ecuaciones $$\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -\frac{c}{a} & -\frac{b}{a} \end{pmatrix} \textbf{X}$$ entonces $y(t)=x_{1}(t)$ es solución a la ecuación diferencial.
  • Prueba que si $y(t)$ es solución a la ecuación diferencial $$a\ddot{y}+b\dot{y}+cy=0$$ entonces $$\textbf{X}=\begin{pmatrix} y(t) \\ \dot{y}(t) \end{pmatrix}$$ es solución al sistema de ecuaciones $$\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -\frac{c}{a} & -\frac{b}{a} \end{pmatrix} \textbf{X}.$$

Más adelante

Una vez que hemos establecido las definiciones básicas, la notación y el teorema de existencia y unicidad, vamos a estudiar propiedades que cumple el conjunto de soluciones a un sistema lineal de ecuaciones. Estas propiedades son en su mayoría análogas a las que enunciamos y probamos para ecuaciones diferenciales de segundo orden, por lo que será fácil abordarlas.

¡Hasta la próxima!

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Álgebra Superior I: Negaciones de proposiciones con conectores y cuantificadores

Por Guillermo Oswaldo Cota Martínez

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Introducción

Ya hemos visto cómo podemos hacer uso de las proposiciones que usan conectores y algunos ejemplos de sus negaciones. Y también ya hemos visto sobre el significado de los cuantificadores así como su uso y ejemplos. Pues en esta entrada haremos uso del conector negación para entender qué significa negar una proposición con conector o cómo son las negaciones de los cuantificadores.

Conectores y su negación

Ya hemos repasado cuatro conectores binarios:

  • Conjunción
  • Disyunción
  • Implicación
  • Doble Implicación

Ahora veamos qué sucede cuando negamos cada uno de estos.

Conjunción y disyunción

Esta es una propiedad que ya visitamos con anterioridad cuando hablamos de la conjunción y disyunción, y que a la negación de estas dos se les conocen como Leyes de Demorgan y nos dicen que la negación de estas corresponden a:

  • $\neg (P \lor Q) = \neg P \land \neg Q$
  • $\neg (P \land Q) = \neg P \lor \neg Q$

Siendo que trabajemos con alguna de estas, solo es necesario recordar: La conjunción se niega con la disyunción y la disyunción se niega con la conjunción.

Implicación

Para ver cómo es que se niega este conector, recordemos su equivalencia lógica: $P \Rightarrow Q = \neg P \lor Q$. Lo siguiente que podemos hacer es aplicar las leyes de Demorgan para encontrar cómo es la negación de esta. Nota que $\neg (P \Rightarrow Q) = \neg(\neg P \lor Q) =P \land \neg Q $. Lo cuál nos quiere decir: «La negación de la implicación es que se cumpla la hipótesis y no la tesis», que es la única forma en que no se cumple la implicación.

Doble implicación

Ahora, recordemos que la doble implicación $P \Leftrightarrow Q$ es una equivalencia lógica a $(P\Rightarrow Q) \land (Q \Rightarrow P)$. De esta manera

$$ \begin{aligned} \neg(P \Leftrightarrow Q) &= \neg((P\Rightarrow Q) \land (Q \Rightarrow P))\\ &=\neg(P\Rightarrow Q) \lor \neg(Q \Rightarrow P) \\ &= (P \land \neg Q) \lor (Q \land \neg P)\end{aligned}$$

Esto es una equivalencia a decir «Las dos proposiciones deben tener valores de verdad distintos». Para que la negación de la doble implicación sea verdadera necesitamos que $P$ sea verdad y $Q$ falsa o $Q$ verdad y $P$ falsa.

Para recapitular esta parte, recuerda la siguiente tabla:

ConectorNegación
$P \lor Q$$\neg P \land \neg Q$
$P \land Q$$\neg P \lor \neg Q$
$P \Rightarrow Q$$P \land \neg Q $
$P \Leftrightarrow Q$$(P \land \neg Q) \lor (Q \land \neg P)$

Negando cuantificadores

Ahora que ya hemos visto sobre las negaciones de los conectores, es turno de que hablemos un poco de los cuantificadores. Y para esto recordemos que un cuantificador nos da información de cómo una proposición con término variable o también conocidas como predicados.

Negación de cuantificadores universales

Observa por un momento el siguiente predicado:

«Todos los números primos son impares»

Esta proposición la podemos ver de la forma $\forall x P(x)$ en el universo de discurso de los número enteros. Y la proposición nos dice que cada número primo que tomemos, será impar. ¿Esto es verdad? Pues resulta que no. Y de hecho el único número primo que no es impar es el 2. En este caso no podemos decir que sea verdad el cuantificador, esto pues existe al menos un número entero que no cumple la proposición. ¿Ves a dónde vamos con las palabras resaltadas?

Para negar el cuantificador $\forall$ usamos el cuantificador $\exists$ diciendo que existe un elemento que no cumple la propiedad:

$\neg(\forall x P(x)) = \exists x \neg P(x)$

Pensemos en el significado de la expresión. Si tenemos el esquema proposicional $\neg(\forall x P(x))$ significa que en el universo de discurso, existe una variable $a$ donde $P(a)$ es falsa, es decir $\neg P(a)$ es verdadera.

Negación de cuantificadores existenciales

Por otro lado, pensemos en el siguiente ejemplo:

«Existe un número entero mayor a 1 y menor a 2»

Para poder decir si es verdad o no, deberíamos ponernos de acuerdo en qué es un número entero o qué significa que sea menor o mayor que otro. Pero nuestra intuición nos dice que esto no es cierto (y estamos en lo correcto al pensar así). Ahora ¿Cómo se te ocurre que podríamos negar la expresión $\exists x P(x)$, donde nuestro universo de discurso son los números enteros y $P(x) : 1<x<2$? Pues necesitaríamos que no exista algún elemento que cumpla la condición, entonces podemos decir:

$\neg (\exists x P(x)) = \nexists x P(x)$

Pero podemos ir un poco más allá, y notar que lo que nos dice esta negación es que cualquier elemento que tomemos de nuestro universo de discurso, no cumplirá con la proposición. Es decir, «Para todo x en el universo de discurso, no se cumplirá el predicado». Dicho de otra forma:

$= \neg (\exists x P(x)) = \forall x \neg (P(x))$

Y por transitividad, ahora sabemos que $\nexists x P(x) = \forall x \neg (P(x))$. Y en nuestro ejemplo significa que «cada número entero no cumplirá que sea menor a 2 y mayor a 1».

Más adelante…

Llegando a este punto, ya tenemos el conocimiento necesario para hablar de una sustancia muy importante en la matemática: las demostraciones. Esto es, ¿Cómo podemos estar seguros de cuándo algo se cumple y cuándo no? ¿Qué significa que un enunciado se derive de otros enunciados? Y más importante: en lo que a partir de ahora estudiarás en las matemáticas, vamos a introducir algunas técnicas de demostración que te ayudarán a entender de qué estamos hablando en matemáticas cuando haya que verificar algo. Y para esto usaremos algo conocido como reglas de inferencia.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. ¿Cuál es la negación de las siguientes proposiciones?
    • $P\lor (Q \Rightarrow S)$
    • $(P \Leftrightarrow (Q\land \neg S))$
    • $P \land (Q\lor R)$
    • $P \Rightarrow(Q \Rightarrow P)$
  2. ¿Cuál es la negación de los siguientes predicados?
    • $\forall x (P(x)\Rightarrow Q(x))$
    • $\exists y (\forall x(P(x)\land Q(y)))$

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Ecuación diferencial de Euler

Por Eduardo Vera Rosales

3 respuestas

Introducción

En la entrada anterior desarrollamos la teoría de soluciones en series de potencias alrededor de un punto ordinario de la ecuación diferencial $$a_{0}(t)\frac{d^{2}{y}}{dt^{2}}+a_{1}(t)\frac{dy}{dt}+a_{2}(t)y=0.$$ En cierta forma el teorema de existencia de soluciones con desarrollo en series de potencias alrededor del punto ordinario que probamos nos facilitó las cosas.

Sin embargo, cuando tenemos puntos singulares la teoría falla. Es por eso que debemos encontrar un método alternativo para estudiar soluciones alrededor de puntos singulares a nuestra ecuación diferencial. Antes de comenzar de manera general, lo primero que haremos será considerar una ecuación diferencial en particular, con $t_{0}=0$ como punto singular, la cual es bastante sencilla de resolver: esta es la ecuación de Euler, debido al famoso matemático Leonhard Euler (si no lo conoces o quieres saber acerca de él, te dejo el siguiente enlace a su biografía), y que tiene la forma $$t^{2}\frac{d^{2}{y}}{dt^{2}}+\alpha t\frac{dy}{dt}+\beta y=0$$ donde $\alpha$ y $\beta$ son constantes.

Resolveremos esta ecuación y en la próxima entrada trataremos de generalizar este mismo resultado a una clase más general de ecuaciones con puntos singulares.

Vamos a comenzar!

Leonhard Euler
Leonhard Euler. Blog de matemática y TIC’s (2018).

Ecuación de Euler

En el primer video resolvemos de manera general la ecuación de Euler para cualquier intervalo que no contenga al punto singular $t_{0}=0$, y en el segundo video resolvemos un ejemplo particular de este tipo de ecuaciones.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Prueba que si $(\alpha -1)^{2}-4\beta=0$ entonces $W[t^{r_{1}}, t^{r_{1}}\ln{t}]\neq0$, donde $r_{1}$ es la única raíz de la ecuación cuadrática $r^{2}+(\alpha -1)r+\beta=0$. Por tanto, la solución general a la ecuación de Euler cuando $(\alpha -1)^{2}-4\beta=0$ y $t>0$ es $y(t)=c_{1}t^{r_{1}}+c_{2}t^{r_{1}}\ln{t}$.
  • Si $(\alpha -1)^{2}-4\beta<0$ entonces las raíces $r_{1}$ y $r_{2}$ a la ecuación $r^{2}+(\alpha -1)r+\beta=0$ son complejas. Prueba que $t^{r_{1}}$ y $t^{r_{2}}$ son efectivamente soluciones a la ecuación de Euler, y que además son linealmente independientes. Por tanto, la solución general a la ecuación de Euler cuando $(\alpha -1)^{2}-4\beta<0$ y $t>0$ es $y(t)=c_{1}t^{r_{1}}+c_{2}t^{r_{2}}$. (Sigue el hint dado en el video para hacer las cuentas más sencillas).
  • La solución general encontrada en el problema anterior es una función de variable compleja. Haz elecciones adecuadas de $c_{1}$ y $c_{2}$ para ver que si $r_{1}=a+bi$ y $r_{2}=a-bi$, entonces $t^{a}cos(b\ln{t})$ y $t^{a}sin(b\ln{t})$ son soluciones a la ecuación de Euler para el caso del ejercicio anterior. Prueba que éstas son soluciones linealmente independientes, y por tanto $y(t)=k_{1}t^{a}cos(b\ln{t})+k_{2}t^{a}sin(b\ln{t})$ es solución general a la ecuación de Euler, donde $y$ es una función de valores reales.
  • Resolver la ecuación $$t^{2}\frac{d^{2}{y}}{dt^{2}}+2t\frac{dy}{dt}+4y=0$$ tanto para $t>0$ como para $t<0$.
  • Resuelve el problema de condición inicial $$t^{2}\frac{d^{2}{y}}{dt^{2}}-7t\frac{dy}{dt}+9y=0; \,\,\,\,\, y((1)=0, \frac{dy}{dt}(1)=2, t>0.$$

Más adelante

Una vez que hemos encontrado la solución general a la ecuación de Euler, lo siguiente tratar de utilizar este mismo método para resolver una clase más general de ecuaciones diferenciales con puntos singulares. Dado que algunas de estas ecuaciones serán bastante complicadas de resolver, clasificaremos los puntos singulares en dos tipos: regulares e irregulares, y nos enfocaremos exclusivamente a resolver ecuaciones diferenciales alrededor de puntos singulares regulares.

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Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes variables. Solución por series de potencias cerca de un punto ordinario

Por Eduardo Vera Rosales

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Introducción

A lo largo de las entradas anteriores que forman parte de la segunda unidad hemos estudiado a detalle ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes constantes, es decir, ecuaciones de la forma $$a\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+b\frac{dy}{dt}+cy=g(t), \,\,\,\,\, a\neq 0$$ y hemos desarrollado diversos métodos para resolverlas. Es momento de revisar ecuaciones lineales de segundo orden, pero ahora con coeficientes variables, es decir, del tipo $$a_{0}(t)\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+a_{1}(t)\frac{dy}{dt}+a_{2}(t)y=g(t).$$

Hallar soluciones para este tipo de ecuaciones no resulta tan sencillo como para el caso con coeficientes constantes, y en ocasiones no podremos encontrar soluciones en términos de funciones elementales como polinomios, exponenciales, trigonométricas, etc., por lo que una manera de hallar soluciones es suponiendo que la solución puede escribirse como una serie de potencias alrededor de un punto dado.

Estudiaremos entonces soluciones por series de potencias en dos tipos de puntos: cuando los coeficientes tienen desarrollo en series de Taylor alrededor del punto dado, y cuando lo anterior no ocurre. En particular, en esta entrada revisaremos el primer caso. Definiremos los conceptos de puntos ordinarios y singulares, y demostraremos la existencia de soluciones en series de potencias cerca de un punto ordinario,.

¡Manos a la obra!

Soluciones en series de potencias cerca de un punto ordinario

En el primer video ofrecemos la definición de puntos ordinarios y puntos singulares, y probamos la existencia de soluciones en series de potencias cerca de un punto ordinario, a la ecuación diferencial $$a_{0}(t)\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+a_{1}(t)\frac{dy}{dt}+a_{2}(t)y=0.$$ La solución encontrada será, además, la solución general a la ecuación diferencial.

Radio de convergencia de la solución en serie de potencias cerca de un punto ordinario

En el segundo video de la entrada encontramos el radio de convergencia para la solución en serie de potencias cerca de un punto ordinario.

Ejemplos

En el último video de la entrada resolvemos un par de ejemplos de ecuaciones diferenciales con coeficientes variables, con el método desarrollado a lo largo de esta misma entrada.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • ¿Qué sucede si suponemos que $a_{0}=0$ en la demostración del primer video?
  • ¿Qué pasa si suponemos que $c=1$ en la demostración del primer video?
  • Prueba que las series de potencias que aparecen en la solución general a la ecuación diferencial $$\frac{d^{2}y}{dt^{2}}-ty=0$$ son soluciones particulares a la misma ecuación, y que estas son linealmente independientes. Por tanto, la solución general efectivamente lo es para la ecuación diferencial.
  • Encuentra la solución general a la ecuación $$\frac{d^{2}y}{dt^{2}}-y=0$$ usando series de potencias alrededor de $t_{0}=0$.
  • Encuentra la solución al problema de valor inicial $$\frac{d^{2}y}{dt^{2}}-ty=0$$ $$y(1)=0; \,\,\,\,\, \frac{dy}{dt}(1)=2$$ calculando una solución por serie de potencias alrededor de $t_{0}=1$.

Más adelante

Terminamos de estudiar las soluciones cerca de un punto ordinario. Lo siguientes será revisar el caso cuando el punto en cuestión no es un punto ordinario, es decir, es un punto singular de nuestra ecuación diferencial $$a_{0}(t)\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+a_{1}(t)\frac{dy}{dt}+a_{2}(t)y=0.$$

Pero antes analizaremos un caso particular sencillo de resolver: la ecuación de Euler que tiene la forma $$t^{2}\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+\alpha t\frac{dy}{dt}+\beta y=0.$$

A partir de la solución para esta ecuación podremos generalizar más adelante el método a una clase más general de ecuaciones diferenciales con puntos singulares.

¡No se lo pierdan!

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Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Ecuaciones lineales no homogéneas de segundo orden. Solución por coeficientes indeterminados

Por Eduardo Vera Rosales

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Introducción

En la entrada anterior resolvimos ecuaciones lineales no homogéneas de segundo orden por el método de variación de parámetros. Como pudiste advertir después de resolver algunas ecuaciones por dicho método, las integrales que se deben resolver para encontrar la solución particular $y_{P}$ a la ecuación diferencial no homogénea son, en muchos casos, bastante complicadas. Es por eso que debemos hallar otros métodos para solucionar este problema.

El método que presentaremos en esta entrada recurre a la forma que presenta la función $g(t)$ en la ecuación diferencial $$a\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+b\frac{dy}{dt}+cy=g(t)$$ donde $a$, $b$ y $c$ son constantes y $a\neq0$. Si $g(t)$ es el producto de funciones polinómicas, exponenciales, $\cos{\beta t}$ o $\sin{\beta t}$, entonces podremos conjeturar la forma de la solución particular gracias a que las derivadas de dichas funciones tienen la misma forma. A este método lo llamaremos coeficientes indeterminados.

Vamos a comenzar!

Consideraciones generales y caso cuando $g$ es un polinomio

En el video describimos de manera general el método de coeficientes indeterminados, y revisamos el caso cuando $g(t)$ es un polinomio de grado $n$. Finalizamos el video con un ejemplo.

Caso cuando $g$ es producto de un polinomio y una función exponencial

En el video encontramos una solución particular a la ecuación diferencial $$a\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+b\frac{dy}{dt}+cy=(\sum_{k=0}^{n} a_{k}t^{k})e^{rt}, \,\,\,\,\, r\neq0$$ y resolvemos un ejemplo referente al caso.

Caso cuando $g$ es producto de un polinomio y una función seno o coseno

Finalizamos el tema considerando el caso cuando la función $g(t)$ es el producto de un polinomio y una función $\sin{\beta t}$ o una función $\cos{\beta t}$. En el segundo video aplicamos el método de coeficientes indeterminados para resolver la ecuación diferencial $$m\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+ky=F_{0}\cos{\omega t}$$ donde $\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Muestra que si $$a\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+b\frac{dy}{dt}=\sum_{k=0}^{n} a_{k}t^{k}$$ entonces $$y_{P}(t)=t[\sum_{k=0}^{n} A_{k}t^{k}]$$ es solución particular a la ecuación diferencial, mostrando también que se pueden encontrar expresiones para cada $A_{k}$.
  • Encuentra una solución particular $y_{P}(t)$ para la ecuación $$\frac{d^{2}y}{dt^{2}}-5\frac{dy}{dt}=2t^{3}-4t^{2}-t+6$$ por el método de coeficientes indeterminados.

Considera la ecuación $$a\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+b\frac{dy}{dt}+cy=(\sum_{k=0}^{n} a_{k}t^{k})e^{rt}, r\neq0.$$ Muestra lo siguiente:

  • Si $$ar^{2}+br+c\neq0$$ entonces una solución particular a la ecuación es $$y_{P}(t)=(\sum_{k=0}^{n} A_{k}t^{k})e^{rt}.$$
  • Cuando $$ar^{2}+br+c=0, \,\,\,\,\, 2ar+b\neq0$$ entonces una solución particular a la ecuación es $$y_{P}(t)=t(\sum_{k=0}^{n} A_{k}t^{k})e^{rt}.$$
  • Si $$ar^{2}+br+c=0, \,\,\,\,\, 2ar+b=0$$ entonces una solución particular a la ecuación es $$y_{P}(t)=t^{2}(\sum_{k=0}^{n} A_{k}t^{k})e^{rt}.$$

Hint: Supón que $y_{P}(t)=e^{rt}u(t)$ es solución particular, y considera la ecuación $$a\frac{d^{2}u}{dt^{2}}+(2ar+b)\frac{du}{dt}+(ar^{2}+br+c)u=\sum_{k=0}^{n} a_{k}t^{k}$$ (revisa el segundo video para mayor detalle). Posteriormente recuerda cómo son las soluciones a la ecuación homogénea asociada (te sugiero revisar la siguiente entrada en caso necesario) y concluye la forma de $y_{P}$.

  • Encuentra una solución particular a la ecuación $$\frac{d^{2}y}{dt^{2}}-y=t^{2}e^{t}.$$
  • Encuentra la solución general a la ecuación diferencial $$4\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+16y=10\cos{2t}.$$

Más adelante

Hemos concluido el estudio a las ecuaciones lineales con coeficientes constantes, tanto homogéneas como no homogéneas. Es momento de revisar el caso cuando las funciones $a_{0}$, $a_{1}$ y $a_{2}$ de la ecuación $$a_{0}(t)\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+a_{1}(t)\frac{dy}{dt}+a_{2}(t)y=g(t)$$ son no constantes. A este tipo de ecuaciones les llamaremos ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes variables.

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