Introducción

El criterio de Cauchy es una herramienta bastante útil para demostrar convergencia en conjuntos compactos porque en estos conjuntos toda sucesión de Cauchy converge necesariamente.

Definición. Sea $\overline{x_k}$ una sucesión de puntos de ${\mathbb{R}}^n$. Se dice que $\overline{x_k}$ es una sucesión de Cauchy si dado $ϵ>0$ $\mathrm{\exists }{N}_0\in \mathbb{N}$ tal que $|\overline{x_k}-\overline{x_l}|<ϵ$ $\mathrm{\forall }k,l\ge N_0$

Teorema 1. Una sucesión $\overline{x_k}\in {\mathbb{R}}^n$ es convergente si y solo si cumple el criterio de Cauchy

Demostración. $\Rightarrow$ Suponemos que $\overline{x_k}\to \bar{x}$ $\therefore$ $|\overline{x_k}-\bar{x}|<ϵ$ $\mathrm{\forall }k>N_0$. Se tiene entonces que $$|\overline{x_k}-\overline{x_l}|=|\overline{x_k}-\bar{x}+\bar{x}-\overline{x_l}|\le |\overline{x_k}-\bar{x}|+|\bar{x}-\overline{x_l}|<\frac{ϵ}{2}+\frac{ϵ}{2}=ϵ$$ $\mathrm{\forall }k,l>N_0$ $\therefore$ $\overline{x_k}$

$\Leftarrow$ Supongamos que $\overline{x_k}$ cumple la condición de Cauchy por tanto se tiene que: $$|\overline{x_k}-\overline{x_l}|<ϵ\Rightarrow |x_{i,k}-x_{i,l}|<ϵ\mathrm{\forall }i\Rightarrow x_{i,k}cumpleCauchy$$ $\therefore$ $x_{i,k}$ es convergente $\mathrm{\forall }i$ $\therefore$ $\overline{x_k}$ es convergente. $\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}$

Teorema 2. (Bolzano-Wierstrass) Toda sucesión $\overline{x_k}$ en ${\mathbb{R}}^n$ acotada tiene un punto limite. Dicho de otro modo, toda sucesión en ${\mathbb{R}}^n$ tiene una subsucesión convergente

Demostración. Sea $\overline{x_k}$ en ${\mathbb{R}}^n$ suponiendo $\overline{x_k}$ es acotada, entonces cada $x_{i,k}$ es acotada $\therefore$ según el teorema de Bolzano-Wierstrass para sucesiones en $\mathbb{R}$, $x_{i,k}$ tiene una subsucesión convergente ${\alpha }_{i,k}$ la cual es una sucesión convergente, $\therefore$ podemos formar la sucesiòn $\overline{x_{\alpha ,k}}=x_{\alpha ,1,k},x_{\alpha ,2,k},\dots ,x_{\alpha ,n,k}$ la cual es una sucesión convergente, pero $\overline{x_{\alpha ,k}}$ es subsucesión de $\overline{x_k}$ $\therefore$ $\overline{x_k}$ tiene una subsucesión convergente. $\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}$

Criterio de Convergencia de Cauchy

Una colección $g$ de conjuntos abiertos cuya unión contiene a $K$ con frecuencia se llama cubierta de $K$. De modo que el requisito para que $K$ sea compacto es que toda cubierta $g$ de $K$ se pueda sustituir por una cubierta finita $g$ de $K$.

Ejemplo. Sea $k=x_1,x_2,\dots ,x_m$ un subconjunto finito de ${\mathbb{R}}^n$ si $G=G_{\alpha }$ es una colección de abiertos tal que $k\subset G_{\alpha }$ y si todo punto de k pertenece a algún subconjunto de $G_{\alpha }$ entonces cuando más m subconjuntos de $G_{\alpha }\supset k$ $\therefore$ k es un subconjunto compacto de ${\mathbb{R}}^n$.

Ejemplo. Considere al subconjunto $H=\{x\in \mathbb{R}|x\ge 0\}$. Sea $G_n=(-1,n)$ $n\in \mathbb{N}$ de tal manera que $G_n|n\in \mathbb{N}$ sea una colección de subconjuntos abiertos de $\mathbb{R}$ cuya union contenga a $H$. Si $G_{n_1},G_{n_2},\dots ,G_{n_k}$ es una subcolección finita de $G_n|n\in \mathbb{N}$. Sea $M=sup\{n_1,n_2,\dots ,n_k\}$ de tal manera que $G_{n_j}\subset G_{n_k}$ de aquí deducimos que $G_M$ es la unión de
$G_{n_1},G_{n_2},\dots ,G_{n_k}$. Sin embargo el número real $M$ no pertenece a $G_M$ y por lo tanto no pertenece a $\bigcup _{j=1}^k{G}_{n_j}$. En consecuencia, ninguna unión finita de $G_n|n\in \mathbb{N}$ puede contener a $H$.$\therefore$ $H$ no es compacto.

Ejemplo. Demuestrese que todo intervalo cerrado $[a,b]$ de $\mathbb{R}$ es compacto.
Demostración. Supongamos un recubrimiento abierto $[a,b]$ tal que no admite subrecubrimiento finito. Entonces tampoco existe un subrecubrimiento finito para

$[a,c]$ $[c;b]$ con $c$ punto medio. Sea $[a_1,b_1]=[a,c]$ el intervalo para el cual no existe el subrecubrimiento finito.

Sea $[a_1,b_1]=[a,c]$ el intervalo para el cual no existe el subrecubrimiento finito.

Sea $p$ el punto de intersección y sea $U$ el recubrimiento que contiene a $p$ y sea $[p-\epsilon ,p+\epsilon ]\subset U$. Entonces existe $r\in \mathbb{N}$ tal que $\mathrm{\forall }n>r$,$\frac{b-a}{2^n}<\epsilon$ y $\mathrm{\forall }n\ge r$ $[a_n,b_n]\subset U\underset{\circ }{▽}$ ya que ningun $[a_k,b_k]$ admitía un subrecubrimiento finito.

Ejemplo. Sea $H=(0,1)$ en $\mathbb{R}$. Si $G_n=\frac{1}{n},1-\frac{1}{n}$ para $n>0$ entonces la colección$G_{n_1},G_{n_2},\dots ,G_{n_k}$ es una subcolección finita de $G_n|n>2$. Sea $M=sup{n}_1,\dots ,n_k$ de tal manera que $G_{n_j}\subset G_M$ se ifiere que $G_M$ es la unión de $G_{n_1},G_{n_2},\dots ,G_{n_k}$ sin embargo el número real $\frac{1}{m}$ pertenece a $H$ pero no pertenece a $G_M$ $\therefore$ ninguna subcolecciónfinita de $\{G_n|n>2\}$ puede formar una subcolección finita para $H$ $\therefore$ $H$ no es compacto.

Compactos por Sucesiones

Teorema 3. Sea $A\subset {\mathbb{R}}^n$ tal que para todo recubrimiento abierto ${\left\{A_i\right\}}_{i\in I}$ admite un subrecubrimiento finito es decir ${\displaystyle A\subset \bigcup _i^n{A}_i}$ entonces toda sucesión de puntos de $A$ tiene una subsucesión convergente hacia un punto que pertenece a $A$

Demostración. Supongamos que exite una sucesión $\bar{x}n\in A$ que no tuviera una subsucesión convergente (en este caso ${\bar{x}}_n$ tiene infinitos elementos). Sea $\bar{x}\in A$ como $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\bar{x}n\ne \bar{x}$, existe $\delta x>0$ tal que en la bola abierta $B(\bar{x},{\delta }_x)$ solo hay a lo más un número finito de elementos de ${\bar{x}}_n$. Entonces la familia de abiertos $B(\bar{x},\delta x)$ es un recubrimiento abierto de A; por hipótesis este recubrimiento admite un subrecubrimiento finito $A_{x_1},A_{x_2},\dots ,A_{x_n}$ de estos abiertos. Por lo tanto los infinitos elementos de ${\bar{x}}_n$ que estan en $A$ pueden ser cubiertos por un número finito de conjuntos abiertos $\underset{\circ }{▽}$ pues cada $A{x}_i$ cubre a lo mas un número finito de elementos de $A$.

Teorema 4. Si toda sucesión de puntos de $A$ tiene una subsucesión convergente hacia un punto que pertenece a $A$ entonces $A$ es cerrado y acotado.

Demostración. A es cerrado. Sea $\bar{a}\in {\mathbb{R}}^n$ tal que $\bar{a}\in \partial A$ vamos a ver que $\bar{a}\in A$. Como $\bar{a}\in \partial A$ entonces $\mathrm{\forall }r>0$ $B(\bar{a},r)\bigcap A\ne \mathrm{\varnothing }$ consideremos ahora $r=\frac{1}{n}$ y en cada bola abierta ${\displaystyle (\bar{a},\frac{1}{n}}$ hay algún punto de $A$ al que podemos llamar $\bar{x}n$ de esta manera construimos una sucesión de puntos de $A$ que convergen a $\bar{a}$ por lo tanto por hipótesis $\bar{a}\in A$ por tanto $A$ es cerrado.

A es acotado. Si $A$ no fuera acotado, existiria una sucesión ${\bar{x}}_n$ de puntos de $A$ tal que $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\bar{x}}_n=\mathrm{\infty }$ y este límite no estaría en $A$ $\underset{\circ }{▽}$ por tanto $A$ es acotado.

Teorema. Heine-Borel. Todo subconjunto cerrado y acotado es compacto.

$1.-$ $K$ compacto implica que $K$ es cerrado.

Demostración. Sea $\overline{x}\in K^c$ y sea $G_m=\{y\in {\mathbb{R}}^n||y-x|>\frac{1}{m},m\in \mathbb{N}\}$ entonces $y\in ExtB(\overline{x},\frac{1}{m})$ cada $G_m$ es abierta, la unión de todas las $G_m$ consta de todos los puntos de ${\mathbb{R}}^n$ excepto $x$. Dado que $x\in K$ cada punto de $K$ pertenece a algún $G_m$. Debido a la compacidad de $K$, se infiere que existe $M\in \mathbb{N}$ tal que $K\subset \bigcup _1^m{G}_i$. Dado que los conjuntos $G_m$ incrementan con $m$, $K\subset G_m$ de donde la vecindad $z\in {\mathbb{R}}^n||z-x|<\frac{1}{m}$ no intercepta a $K$ demostrando que $K^c$ es abierto $\therefore$ $K$ es cerrado.

$2.-$ $K$ compacto implica que $K$ es acotado.

Demostración. Sea $H_m=\{x\in {\mathbb{R}}^n|\Vert x\Vert <m\}$ todo el espacio ${\mathbb{R}}^n$ y por tanto $K$ está contenido en la unión de los conjuntos crecientes, $H_m$ $m\in \mathbb{N}$. Dado que $K$ es compacto existe $M\in \mathbb{N}$ tal que $K\subset H_m$ por lo que $K$ esta acotado.

Para completar la demostración de este teorema se necesita probar que si $K$ es un subconjunto cerrado y acotado contenido en la unión de una colección $g{G}_{\alpha }$
de conjuntos abiertos en ${\mathbb{R}}^n$, entonces está contenido en la unión de
algún número finito de conjuntos de $g$.

Dado que $K$ esta acotado, encontramos un punto de acumulación de $K$, como $K$ es cerrado $y\in K$ y esta en alguna celda abierta, por lo tanto existe $\epsilon >0$ tal que para cada $w$ con $|y-w|<\epsilon$ en la celda abierta y si suponemos que $g=G_{\alpha }$ no admite un subrecubrimiento finito llegamos a una contradicción.

Teorema 6. Si $S$ es un conjunto cerrado y acotado en ${\mathbb{R}}^n$ entonces $S$ es compacto por sucesiones

Demostración. Suponga que $S$ es cerrado y acotado, sea $x_k$ una sucesión de puntos de $S$, se tiene entonces que $S$ es acotada y por el teorema de Bolzano- Weierstrass $x_k$ tiene una subsucesión convergente $x_{k_{\alpha }}$ tal que $x_{k_{\alpha }}\to x$ y como $S$ es cerrado $x\in S$. $\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}$

Más adelante

En la siguiente sección estudiaremos el cálculo diferencial en las funciones reales (${\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$). Notaremos como los conceptos definidos en esta sección son necesarios para la noción de derivada, entre otros temas

Tarea Moral

1.-Sea $\{{\hat{x}}_k=(x_k^{(1)},\dots ,x{{}^{(}n)}_k)\}$ una sucesión en ${\mathbb{R}}^n$. Pruebe que $\left\{{\hat{x}}_k\right\}$ está acotada si y sólo si $\left\{x_k^{(i)}\right\}$ está acotada para cada $i\in 1,\dots ,n$.

2.- Pruebe que si $\left\{{\hat{x}}_k\right\}$ es una sucesión de Cauchy en ${\mathbb{R}}^n$, entonces cualquier subsucesión también lo es.

3.- Sea $\left\{{\hat{x}}_k\right\}$ una sucesión de Cauchy en ${\mathbb{R}}^n$, prueba directamente de la definición la sucesión $\left\{{\hat{x}}_k\right\}$ está acotada.

4.- Sea $k\subset {\mathbb{R}}^n$. Prueba que el conjunto $K$ es compacto si y sólo si toda sucesión $\left\{{\hat{x}}_k\right\}\subset K$ tiene una subsucesión que converge a un punto ${\hat{x}}_0\in K$ .

5.- Prueba que ${\mathbb{R}}^n$ no es compacto.

Enlaces

Puntos Interiores y Cerradura de un Conjunto

Proposición. Para todo subconjunto $A$ de ${\mathbb{R}}^n$ se tiene:

$(1)$ $int(A)\subset A$

Demostración. Si $\overline{a}\in int(A)$ $\mathrm{\exists }$ $r>0$ tal que $B(\overline{a},r)\subset A$ $\therefore$ $int(A)\subset A$

$(2)$ $A\subset \overline{A}$

Demostración. Si $\overline{a}\in A$ $\mathrm{\forall }$ $B(\overline{a},r)$ se tiene que $B(\overline{a},r)\cap A\ne \mathrm{\varnothing }$ $\therefore$ $A\subset \overline{A}$

Lema. Sea $A$ un subconjunto de ${\mathbb{R}}^n$

(1) Si $v\subset A$ y $v$ es abierto entonces $v\subset A^o$

Demostración. Sea $\overline{x}\in v$, como $v$ es abierto $\mathrm{\exists }$ $r>0$ tal que $B(\overline{x},r)\subset v$ y como $v\subset A$ entonces $B(\overline{x},r)\subset A$ esto significa que $\overline{x}$ es un punto interior de $A$ es decir $\overline{x}\in A$.

(2) Si $A\subset F\subset {\mathbb{R}}^n$ y $F$ es cerrado, entonces $\overline{A}\subset F$

Demostración. Para probar que $\overline{A}\subset F$ mostraremos que el complemento de $F$, $F^c$ está contenido en el complemento de ${\overline{A}}^c$ de $\overline{A}$. Sea $\overline{x}\in F^c$ como $F$ es cerrado $F^c$ es abierto, luego $\mathrm{\exists }$ $r>0$ tal que $B(\overline{x},r)\subset F^c$ pero $A\subset F$

$\therefore$ $F^c\subset A^c$ de donde $B(\overline{x},r)\subset A^c$ o sea $B(\overline{x},r)\cap A=\mathrm{\varnothing }$ esto significa que
$\overline{x}$ no es punto adherente de $A$ es decir $\overline{x}\notin \overline{A}$ asi que $\overline{x}\in {\overline{A}}^c$.

Punto de Acumulación

Ejemplo. Sea $A$ un subconjunto arbitrario de ${\mathbb{R}}^n$. Se dice que $\bar{x}\in {\mathbb{R}}^{\mathbb{n}}$ es un punto de acumulación de A, si toda bola abierta con centro en $\bar{x}$ contiene un punto de A distinto de $\bar{x}$ es decir $$\mathrm{\forall }r>0(B(\bar{x},r)-\bar{x})\bigcap A\ne \mathrm{\varnothing }$$
Al conjunto de puntos de acumulación de A se le denomina el conjunto derivado de A y se le denota $A^a$

Sea $$A=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|x^2+y^2<1\}=B((0,0),1)$$
Probaremos que el punto $$(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})$$
que no pertenece a $A$, es punto de acumulación de $A$.

Dado $r>0$ se tiene que
$$(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{r}{\sqrt{2}(r+1)},\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{r}{\sqrt{2}(r+1)})=\frac{1}{\sqrt{2}(r+1)}(1,1)$$
es tal que
$$|\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{r}{\sqrt{2}(r+1)},\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{r}{\sqrt{2}(r+1)}|=\frac{1}{\sqrt{2}(r+1)}|(1,1)|$$
$$=\frac{1}{\sqrt{2}(r+1)}\sqrt{2}$$
$$=\frac{1}{r+1}$$
$$<1$$

y por lo tanto pertenece a $A$. Por otra parte, se tiene que
$$0<|(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})-(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{r}{\sqrt{2}(r+1)},\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{r}{\sqrt{2}(r+1)})|$$
$$=|\frac{r}{\sqrt{2}(r+1)},\frac{r}{\sqrt{2}(r+1)}|$$
$$=\frac{r}{\sqrt{2}(r+1)}|(1,1)|$$
$$=\frac{r}{\sqrt{2}(r+1)}\sqrt{2}$$
$$=\frac{r}{r+1}$$
$$<r$$

de donde concluimos que este punto también pertenece al conjunto

$$B(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},r)-(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})$$
y por lo tanto que
$$(B(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},r)-(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}))\bigcap A\ne \mathrm{\varnothing }$$
es decir, que
$$(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})$$
es un punto de acumulación de $A$.

Ejemplo. Tenemos
$$A=(a,b)\Rightarrow A^{\prime }=[a,b]$$
$$A=[0,1)-2\Rightarrow A^{\prime }=[0,1]$$
$$A=\{\frac{1}{k}|k\in \mathbb{N}\}\Rightarrow A^{\prime }=\left\{0\right\}$$

Tarea Moral

Sean $A$ y $B$ subconjuntos de ${\mathbb{R}}^n$.

Indica y prueba si las siguientes afirmaciónes son ciertas.

1.- Si $A\subset B$ entonces $\bar{A}\subset \bar{B}$

2.- $\overline{A\cup B}$ = $\bar{A}\cup \bar{B}$

3.- $A$ es cerrado si y sólo si $A\cup A´=\bar{A}$

Sea $A=\{(m,0)\in {\mathbb{R}}^2|m\in \mathbb{Z}\}$

4.- Indica quién es $A^{\prime }$

5.- Indica quién es $\bar{A}$

Introduccion

Diferenciales de funciones $f:A\subset {\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$

Tenemos que $f:A\subset {\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ es diferenciable si
$$f(x_o+h_1,y_0+h_2)=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)h_1+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)h_2+r(h_1,h_2)$$
cumple
$$\underset{(h_1,h_2)\to (0,0)}{lim}\frac{r(h_1,h_2)}{|(h_1,h_2)|}=0$$
Esto se puede escribir como
$$f(x_o+h_1,y_0+h_2)-f(x_0,y_0)=\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)h_1+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)h_2+r(h_1,h_2)$$

tomando
$$f(x_o+h_1,y_0+h_2)-f(x_0,y_0)=\mathrm{△}z$$
$$\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)h_1=\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)\mathrm{△}x$$
$$\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)h_2=\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\mathrm{△}y$$
tenemos que
$$\mathrm{△}z=\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)\mathrm{△}x+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\mathrm{△}y+r(\mathrm{△}x,\mathrm{△}y)$$
haciendo $\mathrm{△}x,\mathrm{△}y\to 0$ tenemos
$$dz=\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)dx+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)dy$$
$\mathbf{\text{Definición.}}$Si $z=f(x,y)$ es una función diferenciable, la diferencial de f denotada $dz$ se define
$$dz=\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)dx+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)dy$$

$\mathbf{\text{Ejemplo.}}$ Calcular la diferencial de $z=4x^2-xy$\En este caso
$$dz=\frac{\partial (4x^2-xy)}{\partial x}dx+\frac{\partial (4x^2-xy)}{\partial y}dy=(8x-y)dx-xdy$$

Ahora bien
$$f(x_o+h_1,y_0+h_2)-f(x_0,y_0)=\mathrm{△}z\approx \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)\mathrm{△}x+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\mathrm{△}y$$
expresa el cambio aproximado de $z=f(x,y)$ cuando $(x,y)$ pasa a $(x+\mathrm{△}x,y+\mathrm{△}y)$

Ejemplo. Aproximar el cambio de $z=4x^2-xy$ cuando $(x,y)$ pasa de $(2,1)$ a $(2.1,1.5)$\
En este caso tomamos $x_0=2$, $y_0=1$, $\mathrm{△}x=0.1$ y $\mathrm{△}y=.5$ y el valor de cambio será
$$\frac{\partial f}{\partial x}(2,1)\mathrm{△}x+\frac{\partial f}{\partial y}(2,1)\mathrm{△}y=(15)(0.1)-2(0.5)=1.5$$
mientras que
$$f(2.1,1.5)-f(2,1)=14.49-14=0.49$$
por lo tanto en la aproximacion se cometió un error de $0.01$

Ejemplo. Usando diferenciales se quiere calcular aproximadamente
$$A=\frac{0.97}{\sqrt{15.05}+\sqrt[3]{0.98}}$$

Solución. Considerando la función
$$f(x,y,z)=\frac{x}{\sqrt{y+\sqrt[3]{z}}}$$
con $x=1$, $y=15$, $z=1$, $dx=-0.03$, $dy=0.05$ y $dz=-0.02$ se tiene
$$f(x+dx,y+dy,z+dz)=f(x,y,z)+df(x,y,z)$$
en este caso
$$f(x,y,z)=f(1,15,1)=\frac{1}{4}$$
$$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{\sqrt{y}+\sqrt[3]{z}},\frac{\partial f}{\partial y}=-\frac{x}{2}{(y+\sqrt[3]{z})}^{\frac{-3}{2}},\frac{\partial f}{\partial z}=-\frac{x}{2}(y+\sqrt[3]{z}{)}^{\frac{-3}{2}}\frac{1}{3}{z}^{\frac{-2}{3}}$$
evaluando en $(1,15,1)$ se tiene
$$\frac{\partial f}{\partial x}(1,15,1)=\frac{1}{4},\frac{\partial f}{\partial y}(1,15,1)=-\frac{1}{128},\frac{\partial f}{\partial z}(1,15,1)=-\frac{1}{384}$$
de modo que
$$df(1,15,1)=\frac{1}{4}(-0.03)-\frac{1}{128}(0.05)-\frac{1}{384}(-0.02)=-\frac{3.01}{384}$$
por lo que
$$A=\frac{1}{4}-\frac{3.01}{384}=0.242161$$
(el valor es $0.2421726$)

Diferencial de orden 2

Si ${\displaystyle df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy}$ entonces una diferencial de orden 2 seria:
$$d^{2}f=d(df)=d(\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy)=\frac{\partial }{\partial x}(\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy)dx+\frac{\partial }{\partial y}(\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy)dy$$
$$=(\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}dx+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}dy)dx+(\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}dx+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}dy)dy=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}d{x}^2+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}dxdy+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}dydx+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}d{y}^2$$
$$=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}d{x}^2+2\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}dxdy+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}d{y}^2$$
Por lo tanto

$$d^{2}f=d(df)=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}d{x}^2+2\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}dxdy+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}d{y}^2$$

Ejemplo. Hallar la diferencial de orden 2 para $f(x,y)=e^{x^2+y^y}$

Solución. En este caso tenemos la fórmula
$$d^{2}f=d(df)=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}d{x}^2+2\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}dxdy+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}d{y}^2$$
vamos a calcular las derivadas parciales correspondientes
$$\frac{\partial (e^{x^2+y^2})}{\partial x}=2x{e}^{x^2+y^2}$$
$$\frac{\partial (e^{x^2+y^2})}{\partial y}=2y{e}^{x^2+y^2}$$
$$\frac{{\partial }^2(e^{x^2+y^2})}{\partial x^2}=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial (e^{x^2+y^2})}{\partial x}\right)=\frac{\partial (2x{e}^{x^2+y^2})}{\partial x}=4x^2{e}^{x^2+y^2}+2e^{x^2+y^2}$$
$$\frac{{\partial }^2(e^{x^2+y^2})}{\partial y^2}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial (e^{x^2+y^2})}{\partial y}\right)=\frac{\partial (2y{e}^{x^2+y^2})}{\partial y}=4y^2{e}^{x^2+y^2}+2e^{x^2+y^2}$$
$$\frac{{\partial }^2(e^{x^2+y^2})}{\partial y\partial x}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial (e^{x^2+y^2})}{\partial x}\right)=\frac{\partial (2x{e}^{x^2+y^2})}{\partial y}=4xy{e}^{x^2+y^2}$$
$$\frac{{\partial }^2(e^{x^2+y^2})}{\partial x\partial y}=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial (e^{x^2+y^2})}{\partial y}\right)=\frac{\partial (2y{e}^{x^2+y^2})}{\partial x}=4xy{e}^{x^2+y^2}$$
y la diferencial de orden 2 sería:
$$d^{2}f=(4x^2{e}^{x^2+y^2}+2e^{x^2+y^2})d{x}^2+8xy{e}^{x^2+y^2}dxdy+(4y^2{e}^{x^2+y^2}+2e^{x^2+y^2})d{y}^2$$

Diferencial de orden 3

Si ${\displaystyle d^{2}f=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}d{x}^2+2\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}dxdy+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}d{y}^2}$ entonces una diferencial de orden 3 seria:
$$d^{3}f=d(d^{2}f)=d(\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}d{x}^2+2\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}dxdy+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}d{y}^2)=$$
$$\frac{\partial }{\partial x}(\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}d{x}^2+2\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}dxdy+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}d{y}^2)dx+\frac{\partial }{\partial y}(\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}d{x}^2+2\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}dxdy+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}d{y}^2)dy=$$

$$(\frac{{\partial }^{3}f}{\partial x^3}d{x}^2+2\frac{{\partial }^{3}f}{\partial x^2\partial y}dxdy+\frac{{\partial }^{3}f}{\partial x\partial y^2}d{y}^2)dx+(\frac{{\partial }^{3}f}{\partial x^2\partial y}d{x}^2+2\frac{{\partial }^{3}f}{\partial x\partial y^2}dxdy+\frac{{\partial }^{3}f}{\partial y^3}d{y}^2)dy=$$

$$\frac{{\partial }^{3}f}{\partial x^3}d{x}^3+2\frac{{\partial }^{3}f}{\partial x^2\partial y}d{x}^{2}dy+\frac{{\partial }^{3}f}{\partial x\partial y^2}dxd{y}^2+\frac{{\partial }^{3}f}{\partial x^2\partial y}dyd{x}^2+2\frac{{\partial }^{3}f}{\partial x\partial y^2}dxd{y}^2+\frac{{\partial }^{3}f}{\partial y^3}d{y}^3=$$

$$\frac{{\partial }^{3}f}{\partial x^3}d{x}^3+3\frac{{\partial }^{3}f}{\partial x^2\partial y}d{x}^{2}dy+3\frac{{\partial }^{3}f}{\partial x\partial y^2}dxd{y}^2+\frac{{\partial }^{3}f}{\partial y^3}d{y}^3$$
Por lo tanto
$$d^{3}f=d(d^{2}f)=\frac{{\partial }^{3}f}{\partial x^3}d{x}^3+3\frac{{\partial }^{3}f}{\partial x^2\partial y}d{x}^{2}dy+3\frac{{\partial }^{3}f}{\partial x\partial y^2}dxd{y}^2+\frac{{\partial }^{3}f}{\partial y^3}d{y}^3$$

Diferencial de orden 3

Si ${\displaystyle d^{3}f=\frac{{\partial }^{3}f}{\partial x^3}d{x}^3+3\frac{{\partial }^{3}f}{\partial x^2\partial y}d{x}^{2}dy+3\frac{{\partial }^{3}f}{\partial x\partial y^2}dxd{y}^2+\frac{{\partial }^{3}f}{\partial y^3}d{y}^3}$ entonces una diferencial de orden 4 seria:
$$d^{4}f=d(d^{3}f)=\frac{{\partial }^{4}f}{\partial x^4}d{x}^4+4\frac{{\partial }^{4}f}{\partial x^3\partial y}d{x}^{3}dy+6\frac{{\partial }^{4}f}{\partial x^2\partial y^2}d{x}^{2}d{y}^2+4\frac{{\partial }^{4}f}{\partial x\partial y^3}dxd{y}^3+\frac{{\partial }^{4}f}{\partial y^4}d{y}^4$$

Diferencial de orden n

$$d^{n}f=\frac{{\partial }^{n}f}{\partial x^n}d{x}^n+\left(\begin{array}{c}n\\ 1\end{array}\right)\frac{{\partial }^{n-1}f}{\partial x^{n-1}\partial y}d{x}^{n-1}dy+\left(\begin{array}{c}n\\ 2\end{array}\right)\frac{{\partial }^{n-2}f}{\partial x^{n-2}\partial y^2}d{x}^{n-2}d{y}^2+\cdots +\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)\frac{{\partial }^{n-k}f}{\partial x^{n-k}\partial y^k}d{x}^{n-k}d{y}^k+\cdots +\frac{{\partial }^{n}f}{\partial y^n}d{y}^n$$

que se puede escribir
$$d^{n}f=\sum _{j=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\ j\end{array}\right)\frac{{\partial }^{n}f}{\partial x^{n-j}\partial y^j}d{x}^{n-j}d{y}^j$$

Mas adelante

Tarea Moral

Enlaces

Introducción

Los conjuntos de nivel proporcionan una representación visual de como la función toma ciertos valores en su dominio, mientras qu los límites nos permiten comprender el comportamiento de la función en puntos particulares o en el infinito. La relación entre ambos objetos puede verse como una descripción del comportamiento local y global de una función .

Funciones de ${\mathbb{R}}^n$ en $\mathbb{R}$

Definición 1 . Una función $f:A\subset {\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ es una función $f(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ que asocia a cada n-ada ordenada $(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ de ${\mathbb{R}}^n$ un número real $f(x_1,x_2,\dots ,x_n)$

Ejemplo. La función $f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ dada por $f(x,y)=x^2+y^2$ asocia a dada pareja $(x,y)\in {\mathbb{R}}^{{}^2}$ el número real $x^2+y^2$.

Ejemplo. La función $f:{\mathbb{R}}^3\to \mathbb{R}$ dada por $f(x,y,z)=\sqrt{1-x^2-y^2-z^2}$ asocia a dada terna $(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^{{}^3}$ el número real $\sqrt{1-x^2-y^2-z^2}$

Definición 2. El dominio de una función $f:A\subset {\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ es el conjunto
$$Do{m}_f\{(x_1,x_2,\dots ,x_n)\in {\mathbb{R}}^n|f(x_1,x_2,\dots ,x_n)\in \mathbb{R}\}$$

Ejemplo. La función $f:{\mathbb{R}}^3\to \mathbb{R}$ dada por $f(x,y,z)=\sqrt{1-x^2-y^2-z^2}$ asocia a dada terna $(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^{{}^3}$ el número real $\sqrt{1-x^2-y^2-z^2}$ tiene como dominio el conjunto

$$Do{m}_f=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3|1-x^2-y^2-z^2\ge 0\}=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3|1\ge x^2+y^2+z^2\}$$

Ejemplo La función $f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ dada por $f(x,y)=x^2+y^2$ asocia a dada pareja $(x,y)\in {\mathbb{R}}^{{}^2}$ el número real $x^2+y^2$ en este caso el dominio es ${\mathbb{R}}^2$

Definición 3.$ El rango de una función $f:A\subset {\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ es el conjunto
$$Ra{n}_f=\{f(x_1,x_2,\dots ,x_n)\in \mathbb{R}|(x_1,x_2,\dots ,x_n)\in {\mathbb{R}}^n\}$$

Ejemplo. La función $f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ dada por $f(x,y)=\sqrt{1-x^2-y^2}$ asocia a dada pareja $(x,y)\in {\mathbb{R}}^{{}^2}$ el número real $\sqrt{1-x^2-y^2}$ en este caso el rango de la función es el conjunto
$$\{z\in \mathbb{R}|0\le z\le 1\}$$

Definición 4. La gráfica de una función $f:A\subset {\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ es el conjunto
$$Gr{a}_f=\{(x_1,x_2,\dots ,x_n,f(x_1,x_2,\dots ,x_n))\in {\mathbb{R}}^{n+1}|(x_1,x_2,\dots ,x_n)\in {\mathbb{R}}^n\}$$

Ejemplo. La gráfica de la función $f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ dada por $f(x,y)=x^2+y^2$ es un paraboloide cuyo aspecto es

Ejemplo. La gráfica de la función $f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ dada por $f(x,y)=x^2-y^2$ es un paraboloide hiperbolico (silla de montar) cuyo aspecto es

Conjuntos de Nivel

Definición 5. Sea $f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ y sea $c\in \mathbb{R}$. El conjunto de nivel del valor c se define como:
$$C_N=\{x\in {\mathbb{R}}^n|f(x)=c\}$$

Ejemplo. Describir el conjunto de nivel de la función $f(x,y)=x^2+y^2$

$Solución$ En este caso el conjnuto de nivel es$$C_N=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|x^2+y^2=c\}$$
geometricamente son circunferencias con centro el origen y radio $c$.

Ejemplo. Describir el conjunto de nivel de la función $f(x,y)=x^2-y^2$

Solución En este caso el conjnuto de nivel es$$C_N=(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|x^2-y^2=c$$
geometricamente son circunferencias con centro el origen y radio c

Ejemplo La función $f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ dada por $f(x,y)=x^2+y^2$ tiene como gráfica el paraboloide de revolución $z=x^2+y^2$

Las curvas de nivel son: el vacio para $a<0$, y para $a>0$ es el conjunto $$\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|x^2+y^2=a\}$$, es decir un círculo de radio $\sqrt{a}$ con centro en el origen

Ejemplo La función $f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ dada por $f(x,y)=x^2-y^2$ tiene como gráfica el paraboloide hiperbolico $z=x^2-y^2$

Las curvas de nivel son: para $a=0\Rightarrow x^2-y^2=0$ par de rectas que se cortan en el origen, y para $a=1\Rightarrow x^2-y^2=1$ es una hiperbola paralela al eje X que lo corta en $(\pm 1,0)$, para $a=-1\Rightarrow x^2-y^2=-1$ es una hiperbola paralela al eje Y y que lo corta en $(0,\pm 1)$

Ejemplo La función $f:{\mathbb{R}}^3\to \mathbb{R}$ dada por $f(x,y,z)=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ tiene el siguiente conjunto de nivel
$$(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3|\sqrt{x^2+y^2+z^2}=a$$

Las superficies de nivel son: para $a=0\Rightarrow \sqrt{x^2+y^2+z^2}=0$ el origen, y para $a=1\Rightarrow \sqrt{x^2+y^2+z^2}=1$ es una esfera, $a=2\Rightarrow \sqrt{x^2+y^2+z^2}=2$ es una esfera

La función $f:{\mathbb{R}}^3\to \mathbb{R}$ dada por $f(x,y,z)=x^2-y^2+z^2$ tiene el siguiente conjunto de nivel
$$\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3|x^2-y^2+z^2=a\}$$

Las superficies de nivel son: para $a=0\Rightarrow x^2-y^2+z^2=1$ es un hiperboloide de un manto, y para $a=1\Rightarrow x^2-y^2+z^2=1$ es un hiperboloide de un manto, $a=2\Rightarrow \sqrt{x^2-y^2+z^2}=2$ es un hiperboloide de un manto

Límite de Funciones de ${\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$

Sea $f:\mathrm{\Omega }\subset {\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$, y sea $x_0$ un punto de acumulación de $\mathrm{\Omega }$. Se dice que $L\in \mathbb{R}$ es el límite de $f$ en
$x_0$, y se denota por: $${\displaystyle \underset{x\to x_0}{lim}f(x)=L}$$ Si dado $\epsilon >0$, existe $\delta >0$ tal que $|f(x)-b|<\epsilon$ cuando $x\in \mathrm{\Omega }$, $0<|x-x_0|<\delta$

Observación: Es necesarío que $x_0$ sea punto de acumulacion de $\mathrm{\Omega }$.

Usando la definición de límite, demostrar que:
$${\displaystyle \underset{(x,y)\to (0,0)}{lim}\frac{x^4{y}^2}{(x^2+y^2{)}^2}=0}$$
Por demostrar, para todo $\epsilon >0$ existe $\delta >0$ tal que $0<|(x,y)–(0,0)|<\delta$ entonces ${\displaystyle \left|\frac{x^4{y}^2}{(x^2+y^2{)}^2}\right|<\epsilon }$

Demostración. Como $x^2\le x^2+y^2$ entonces $x^4\le (x^2+y^2{)}^2$ entonces ${\displaystyle \frac{1}{(x^2+y^2{)}^2}\underset{(\ast )}{\le }{\displaystyle \frac{1}{x^4}}}$

$\therefore$ ${\displaystyle \left|\frac{x^4{y}^2}{(x^2+y^2{)}^2}\right|\underset{(\ast )}{\le }{\displaystyle \left|\frac{x^4{y}^2}{x^4}\right|\le |y^2|=y^2\le (\sqrt{x^2+y^2}{)}^2<{\delta }^2}}$

$\therefore$ Si ${\delta }^2=\epsilon$ entonces $\delta =\sqrt{\epsilon }$

Más adelante

Relacionaremos el concepto de límite con el de derivada para funciones $f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ escalares.

Tarea Moral

1.- Esboza las curvas de nivel y gráficas de las siguientes funciones

a) $f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R},(x,y)\to x-y+2$

b) $f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R},(x,y)\to x^2+4y^2$

2.- Describe el comportamiento conforme varia $c$ de la curva de nivel $f(x,y)=c$ para cada una de las siguientes funciones

a) $f(x,y)=x^2+y^2+1$

b) $f(x,y)=1-x^2-y^2$

3.- Traza la curva de nivel (en el plano $xy$) para las siguientes funciones.

a) $f(x,y)=4-3x+2y,c=0,1,2,3,-1,-2,-3$

b) $f(x,y)=x/y,c=0,1,2,3,-1,-2,-3$

4.- Sea $f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}.(x,y)\to x^2+y^2+2$ calcular ${\displaystyle \underset{(x,y)\to (0,1)}{lim}f(x,y)}$

5.- Sea $f:A\subset {\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$, $x_0$ un elemento o punto fronrtera de $A\in {\mathbb{R}}^n$ y $b\in \mathbb{R}$ demuestra que si

${\displaystyle \underset{x\to x_0}{lim}f(x)=b}$ entonces $$c{\displaystyle \underset{x\to x_0}{lim}f(x)=cb}$$

Enlaces

Calculadora para curvas de nivel de funciones de ${\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$

https://www.desmos.com/calculator/frx7bimvdd?lang=es