$\textcolor{Red}{\textbf{Puntos Interiores y Cerradura de un Conjunto}}$

$\textbf{Proposición.}$ Para todo subconjunto $A$ de $\mathbb{R}^n$ se tiene:

$(1)$ $int(A)\subset A$

$\small\textit{Demostración:}$ Si $\bar{a}\in int(A)$ $\exists$ $r>0$ tal que $B(\bar{a},r)\subset A$ $\therefore$ $int(A) \subset A$

$(2)$ $A\subset\bar{A}$

$\small\textit{Demostración:}$ Si $\bar{a}\in A$ $\forall$ $B(\bar{a},r)$ se tiene que $B(\bar{a},r)\cap A\neq\emptyset$ $\therefore$ $A\subset\bar{A}$

$Lema.$ Sea $A$ un subconjunto de $\mathbb{R}^n$

(1) Si $v\subset A$ y $v$ es abierto entonces $v\subset A^o$

$\small\textit{Demostración:}$ Sea $\bar{x}\in v$, como $v$ es abierto $\exists$ $r>0$ tal que $B(\bar{x},r)\subset v$ y como $v\subset A$ entonces $B(\bar{x},r)\subset A$ esto significa que $\bar{x}$ es un punto interior de $A$ es decir $\bar{x}\in A$.

(2) Si $A\subset F\subset\mathbb{R}^n$ y $F$ es cerrado, entonces $\bar{A}\subset F$

$\small\textit{Demostración:}$ Para probar que $\bar{A}\subset F$ mostraremos que el complemento de $F$, $F^c$ está contenido en el complemento de $\bar{A}^c$ de $\bar{A}$. Sea $\bar{x}\in F^c$ como $F$ es cerrado $F^c$ es abierto, luego $\exists$ $r>0$ tal que $B(\bar{x},r)\subset F^c$ pero $A\subset F$

$\therefore$ $F^c\subset A^c$ de donde $B(\bar{x},r)\subset
A^c$ o sea $B(\bar{x},r)\cap A=\emptyset$ esto significa que
$\bar{x}$ no es punto adherente de $A$ es decir $\bar{x}\not\in\bar{A}$ asi que $\bar{x}\in\bar{A}^c$.

$\textcolor{Red}{\textbf{Punto de Acumulación}}$

$\textbf{Ejemplo}$ Sea $A$ un subconjunto arbitrario de $\mathbb{R}^{n}$. Se dice que $\overline{x}\in \mathbb{R^{n}}$ es un \textit{\textbf{punto de acumulación}} de A, si toda bola abierta con centro en $\overline{x}$ contiene un punto de A distinto de $\overline{x}$ es decir $$\forall r>0 \quad \left(B(\overline{x},r)-{\overline{x}}\right)\bigcap A\neq \emptyset$$
Al conjunto de puntos de acumulación de A se le denomina el conjunto derivado de A y se le denota $A^{a}$

Sea $$A={(x,y)\in\mathbb{R}^{2}~|~x^{2}+y^{2}<1}=B((0,0),1)$$
Probaremos que el punto $$\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$$
que no pertenece a $A$, es punto de acumulación de $A$.

Dado $r>0$ se tiene que
$$\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{r}{\sqrt{2}(r+1)},\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{r}{\sqrt{2}(r+1)}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}(r+1)}(1,1)$$
es tal que
$$\left|\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{r}{\sqrt{2}(r+1)},\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{r}{\sqrt{2}(r+1)}\right|=\frac{1}{\sqrt{2}(r+1)}|(1,1)|$$
$$=\frac{1}{\sqrt{2}(r+1)}\sqrt{2}$$
$$=\frac{1}{r+1}$$
$$<1$$

y por lo tanto pertenece a $A$. Por otra parte, se tiene que
$$0<\left|\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)-\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{r}{\sqrt{2}(r+1)},\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{r}{\sqrt{2}(r+1)}\right)\right|$$
$$=\left|\frac{r}{\sqrt{2}(r+1)},\frac{r}{\sqrt{2}(r+1)}\right|$$
$$=\frac{r}{\sqrt{2}(r+1)}|(1,1)|$$
$$=\frac{r}{\sqrt{2}(r+1)}\sqrt{2}$$
$$=\frac{r}{r+1}$$
$$<r$$

de donde concluimos que este punto también pertenece al conjunto

$$B\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},r\right)-\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$$
y por lo tanto que
$$\left(B\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},r\right)-\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\right)\bigcap A\neq\empty$$
es decir, que
$$\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$$
es un punto de acumulación de $A$.

$\textbf{Ejemplo}$ Tenemos
$$A=(a,b)~\Rightarrow~A’=[a,b]$$
$$A=[0,1)-{2}~\Rightarrow~A’=[0,1]$$
$$A=\left\{\frac{1}{k}~\big|~k\in\mathbb{N}\right\}~\Rightarrow~A’=\left\{0\right\}$$