En esta entrada conoceremos dos lemas más previos a la demostración del teorema de Stone-Weierstrass. Las hipótesis a usar serán las mismas que se mencionaron en la entrada anterior: es un espacio métrico compacto, es decir, es un conjunto de funciones continuas que transforma valores en en valores reales. Supondremos también que satisface las propiedades:
a) Para cada y se cumple que Esto es, es cerrado bajo combinaciones lineales.
b) Para cada se cumple que Esto es, es cerrado bajo producto de funciones.
c) donde es la función constante que para cada asigna el valor
d) Para cualesquiera tales que existe una función tal que
Entonces se satisface el siguiente:
Lema 3. Si entonces
Demostración: Sabemos que es continua. Dado que es compacto, la imagen es compacta en , y por tanto es acotada, así para algún Como la función valor absoluto restringida en que denotamos con tal que también es continua en su dominio, se sigue que la composición
es continua en .
El siguiente diagrama muestra el comportamiento de las funciones.
Representación composición
Por lo visto en la entrada tal podemos aproximar la función con polinomios de Bernstein. Sea
el polinomio de Bernstein de grado a lo más de con Entonces
Si Evaluando el polinomio en tenemos:
De modo que la sucesión de polinomios converge a en
Veamos que cada sumando del polinomio está en Para ello usaremos los resultados del lema 2 visto en link.
La función constante como se sigue que el producto
Como y se sigue que el producto
Como entonces el producto Como se sigue que también . . . Como entonces el producto Como se sigue que el producto
Ya que cada sumando está en concluimos que para cada Por lo tanto
Para finalizar esta sección veamos otro resultado.
Lema 4. Sean Entonces las funciones
áá
íí
también están en
Demostración: Probemos que á Nota que
á
pues en el caso en que
Caso
Por otro lado, si
Ya que puede verse como combinación lineal de funciones en (por lo visto en lema 2 y lema 3) se sigue que
á
Análogamente se puede probar que se satisface la igualdad
í
Y así la función í La prueba de este hecho se dejará como ejercicio.
Más adelante…
Terminaremos con la demostración del teorema prometido. Por lo pronto sugerimos algunos ejercicios.
Tarea moral
Demuestra que í
Identifica bajo qué condiciones las siguientes familias de funciones satisfacen las hipótesis del teorema de Stone-Weierstrass: a) Las poligonales. b) Las funciones infinitamente diferenciables en c) Las funciones Lipschitz continuas.
En la entrada anterior link aprendimos que es posible acercarnos a funciones continuas que tienen su dominio en un intervalo cerrado en En esta sección probaremos que esta idea puede generalizarse en funciones cuyo dominio es un espacio métrico compacto. Presentamos el teorema y la demostración de dos lemas que usaremos para probarlo.
Teorema. Stone-Weierstrass: Sea un espacio métrico compacto. Sea es decir, es un conjunto de funciones continuas de en Si satisface las siguientes propiedades:
a) Para cada y se cumple que Esto es, es cerrado bajo combinaciones lineales.
b) Para cada se cumple que Esto es, es cerrado bajo producto de funciones.
c) donde es la función constante que para cada asigna el valor
d) Para cualesquiera tales que existe una función tal que
Entonces es denso en es decir,
Nota que esto significa que toda función continua está en la cerradura de y por lo visto en la entrada Convergencia, tenemos que puede aproximarse con funciones en según la métrica uniforme
La demostración de este teorema se hará a través de cuatro lemas. En el primero garantizaremos la existencia de una función que tome dos valores específicos en dos puntos específicos.
Lema 1: Sean y como en las hipótesis del teorema. Dados y existe tal que y
Demostración: De acuerdo con el inciso d), existe tal que
Representación tal que
Sin embargo buscamos que en vale específicamente y en vale
Representación de que en vale y en
Veamos si dicha puede obtenerse como combinación lineal de y la función constante es decir que para algunos
Encontrar y que satisfacen lo deseado equivale a resolver el sistema de ecuaciones
Por lo tanto existe la solución única al sistema de ecuaciones y así existe con tal que y
Lema 2: Si es tal que tiene las propiedades a), b), c) del teorema, entonces también las tiene.
Demostración: a) Sean y queremos probar que también está en
Como entonces, por lo visto en Convergencia sabemos que existe una sucesión de elementos de tales que es decir
De igual manera existe una sucesión de elementos de tales que es decir
Ya que para cada se cumple que Si demostramos que la sucesión converge a esto probaría que Probemos que Sea Por 1) y 2) sabemos que existen y tales que para cada
Y así
Y para cada
Y así
Entonces para cada á y para cada tenemos:
Por lo tanto y así lo que demuestra que
b) Buscamos demostrar que para cualesquiera también se cumple que
Ya que para cada se cumple que Si demostramos que la sucesión converge a esto probaría que
Probemos entonces que Esto se logrará si conseguimos acotar el valor de para cada
Dado que son continuas en un compacto, concluimos que son acotadas en el dominio. Así existen reales mayores que cero y tales que para cada
Por otro lado, como existe tal que para cada Entonces
Por lo tanto si
Además, por 1) y 2) sabemos que para cada existen y tal que para cada
y para
De lo anterior se sigue que para cada á
Por lo tanto y así lo que demuestra que
c) Dado que la función se sigue que pues
Más adelante…
Veremos dos lemas más que necesitamos en la demostración del teorema de Stone-Weierstrass. Por el momento sugerimos trabajar con los siguientes ejercicios para desarrollar más la idea de densidad.
Tarea moral
Sea un espacio métrico y sean y tales que y es denso en Demuestra que es denso en
Sea continua y suprayectiva. Demuestra que si es denso en entonces es denso en
Antes dos definiciones: Un conjunto es a lo más numerable si existe una función inyectiva Un espacio métrico es separable si contiene un subconjunto que es a lo más numerable y denso en Demuestra que todo espacio métrico compacto es separable. Se recomienda tomar un conjunto finito de bolas de radio para cada cuya unión es
Es sabido que existen funciones que no es tan sencillo evaluar en todos los puntos de su dominio. Sin embargo, cuando la función es veces derivable en un punto podemos definir polinomios de Taylor (ver entrada Cálculo Diferencial e Integral I: Polinomios de Taylor (Parte 1)). Conforme aumentamos el grado del polinomio más nos acercamos al valor real de incluso tenemos resultados en relación al residuo de Taylor (ver Cálculo Diferencial e Integral I: Polinomios de Taylor (Parte 2). Pero, ¿qué podemos hacer ante una función que no es derivable en ningún punto? En esta sección presentaremos una forma alternativa de estimar funciones continuas, útil para aquellas en las que no podemos identificar los polinomios de Taylor, pues recordemos que la continuidad no es una condición suficiente para que una función sea derivable. Por ejemplo, la función de Weierstrass dada por es continua en pero no es diferenciable en ningún punto.
La función de Weierstrass, es continua y no diferenciable en ningún punto.
Sea una función continua y . Supón además que conocemos los valores que toma esta función en los puntos y sea Para saber cuánto vale en vamos a tomar una moneda cuya probabilidad de arrojar águila al lanzarse sea precisamente Ahora la vamos a lanzar veces mientras registramos las veces en que salió águila. Sea ese número de resultados. Identifiquemos el valor
Definimos como
Con
Corresponde a la probabilidad de que de los lanzamientos sean águila con esa moneda cargada de probabilidad .
Con (1) y (2) definimos
que es la esperanza de la variable aleatoria que acabamos de describir, debido a que corresponde a la suma de los valores que toma esta variable ponderada por la probabilidad de que los tome.
A lo largo de esta entrada mostraremos formalmente que esta estimación funciona. Comenzamos diciendo qué es «acercarse mucho» a una función continua. Presentamos la definición con polinomios, pues son funciones continuas y derivables, lo cual facilita su manejo.
Definición. Función continua aproximada por polinomios. Sea Si para cada existe un polinomio tal que
diremos que la función puede aproximarse por polinomios. Demostraremos que toda función continua en tiene esta propiedad. Específicamente, los polinomios que usaremos en esa aproximación están dados por la siguiente:
Definición. El ésimo polinomio de Bernstein. Sea El ésimo polinomio de Bernstein de de grado a lo más es:
Que es la igualdad (3) definida arriba.
Mostremos el ésimo polinomio de Bernstein para tres funciones particulares.
El ésimo polinomio de Bernstein para la función constante,
Del teorema del binomio sabemos que
Haciendo y tenemos que
Si consideramos entonces y así
Por lo tanto
El ésimo polinomio de Bernstein para la función identidad,
Partiendo de
Reemplacemos por y por para obtener
El siguiente resultado será usado en el cálculo del polinomio:
Por lo tanto
Multipliquemos por ambos lados de la igualdad (4) y apliquemos la igualdad (5) en el coeficiente para tener
Haciendo y usando que entonces Se sigue:
Por lo tanto
El ésimo polinomio de Bernstein para la función identidad,
Partiendo de
Reemplacemos por y por para obtener
El siguiente resultado será usado en el cálculo del polinomio:
Por lo tanto
Multipliquemos por ambos lados de la igualdad (7) y apliquemos la igualdad (8) en el coeficiente para tener Haciendo se sigue que:
Entonces
Al dividir ambos lados de la igualdad por se obtiene:
De modo que
Por lo tanto
Ahora daremos paso al
Teorema de aproximación de Bernstein. Sea continua. Entonces la sucesión de polinomios de Bernstein para converge uniformemente a en
Demostración: Partimos de Al multiplicar ambos lados de la igualdad por obtenemos
Por lo tanto
Usando la desigualdad del triángulo y el hecho de que implica que se sigue que
Nuestra intención ahora será mostrar que cuando tiende a infinito esta distancia se hace muy pequeña.
Sea Como es continua en entonces es uniformemente continua, así existe tal que
Sea Considera tal que á
Separemos los elementos de en dos conjuntos como sigue:
Como entonces
De modo que si satisface y por la desigualdad (11) se cumple que
En cuanto a los tenemos lo siguiente:
Si entonces
Usaremos la última desigualdad al final del siguiente grupo de ecuaciones.
Ahora, partiendo de tenemos:
Por la igualdad (9) tenemos:
Partiendo de (6) se sigue:
Y también que
Sumando (17) con (19).
Ahora sumemos (16), (18) y (20) para obtener:
Dado que á podemos concluir que
Ya que podemos concluir que Se sigue de (15) y (22) que:
Ahora, de (14) y (23) tenemos, finalmente que
Lo cual demuestra que la sucesión de polinomios de Bernstein converge uniformemente a
Si bien, el teorema anterior aplica para funciones con dominio en se puede generalizar a cualquier intervalo cerrado en según enunciamos a continuación.
Teorema. De aproximación de Weierstrass. Sea una función continua. Entonces existe una sucesión de polinomios que converge uniformemente a en
Demostración: Definimos donde para cada En consecuencia, la función es una función continua en y por el teorema anterior sabemos que la sucesión de polinomios de Bernstein de converge en es decir,
Ahora definimos Nota que es un polinomio. Ocurre que
áá
Por lo tanto se da la convergencia uniforme en
Más adelante…
Conoceremos condiciones bajo las que es posible acercarnos a funciones continuas que tienen su dominio en conjuntos más generales que un intervalo cerrado: los espacios compactos. Lo haremos a través del teorema de Stone-Weierstrass que enunciaremos en la siguiente sección.
Tarea moral
Considera la función definida en (2). Demuestra que alcanza su máximo en el punto
Desarrolla las funciones para para
Considera la función dada por Grafica los polinomios de Bernstein de para Visualiza la gráfica para
En la entrada Funciones continuas en espacios métricos vimos que una función con espacio métrico, es continua en un punto si dado existe tal que si está en la bola abierta entonces
es continua en
Nota que esto significa que existe una bola abierta con centro que cumple que cualquiera de sus elementos satisface las siguientes desigualdades:
Si bien, las funciones que no son continuas no cumplen ambas desigualdades, es posible concluir propiedades de las que sí hacen valer alguna de las dos.
Si se satisface (1), entonces Como esto ocurre para cualquier podemos hacer y así
Si se satisface (2), entonces Como esto ocurre para cualquier podemos hacer y así
Este tipo de funciones se llaman «semicontinuas». Si permitimos que la función tome valores infinitos, las definimos como sigue:
Definición. Función semicontinua inferiormente. Sea una función, (nota que admite el valor ). Decimos que es semicontinua inferiormente en el punto si para toda existe tal que si entonces Diremos que es semicontinua inferiormente si lo es en todo punto de
es semicontinua inferiormente en
Diremos que es semicontinua inferiormente si lo es en todo punto de
Definición. Función semicontinua superiormente. Sea una función, (nota que admite el valor ). Decimos que es semicontinua superiormente en el punto si para toda existe tal que si entonces Diremos que es semicontinua inferiormente si lo es en todo punto de
es semicontinua superiormente en
Diremos que es semicontinua superiormente si lo es en todo punto de
Ejemplos:
La función piso donde á Es semicontinua superiormente.
aumentada en un punto de continuidad. Sea tal que es continua en Sea Considera la función Entonces es una función semicontinua superiormente en
disminuida en un punto de continuidad. Sea tal que es continua en Sea Considera la función Entonces es una función semicontinua inferiormente en
Si es una función semicontinua inferiormente, entonces la función es semicontinua superiormente.
Definición. Límite superior y límite inferior de en un punto Considera Sea Pensemos en todos los valores que toma la función en puntos «muy cerquita» de identificando así que es «lo más» que podría valer. Nos referimos al valor de que podría ser finito o infinito y recibe el nombre de límite superior de en
En la función de Dirichlet mientras que para cualquier
Análogamente, si pensamos en todos los valores que toma la función en puntos «muy cerquita» de identificando así que es «lo menos» que podría valer. Nos referimos al valor de que podría ser finito o infinito y recibe el nombre de límite inferior de en
Definición. Oscilación de la función en el punto Sean y La diferencia
si es que tiene sentido, es decir si al menos uno de los números o bien es finito, se llama oscilación de la función en el punto
Ejemplo
Si es la función de Dirichlet, la oscilación de en cualquier punto de es
Proposición: Sean y Entonces es continua en si y solo si es decir
ó
Nota que para cualquier función la función es semicontinua superiormente mientras que la función es semicontinua inferiormente. óé
Antes de continuar recordemos la entrada Espacios métricos de caminos. Vimos que un camino es una función continua con un espacio topológico. En algunos libros, como el de Mónica Clapp, esta definición se indica como trayectoria.
Si es un espacio métrico entonces a cada trayectoria se le puede asociar el valor dado por
lo cual define una función que satisface los axiomas de una longitud de caminos.
Otra cosa que podemos observar de es que no es continua cuando Como ejemplo un ejercicio al final de esta sección. La cuestión es que dada una trayectoria puede haber trayectorias con longitud muy grande pese a ser cercanas a en la métrica uniforme. No obstante, puede asegurarse que si las trayectorias son suficientemente cercanas a entonces su longitud no podrá ser arbitrariamente menor que la de . En otras palabras:
La función es semicontinua inferiormente en
Proposición: Sean y Entonces existe tal que si se satisface Demostración: Tomemos tal que Por definición de existen en tales que
Sea Si se sigue
Si sumamos las desigualdades para todo tenemos lo siguiente
De modo que que es lo que queríamos demostrar.
En la entrada Funciones en espacios topológicos compactos vimos que toda función continua en un espacio compacto alcanza su mínimo y máximo en Los resultados siguientes muestran la generalización al caso de funciones semicontinuas.
Proposición: Sea una función semicontinua inferiormente sobre un espacio métrico compacto entonces la imagen de está acotada inferiormente.
Demostración: Supón por el contrario que í Entonces existe una sucesión de elementos en tal que para cada Puesto que el espacio es compacto, el subconjunto infinito tiene al menos un punto de acumulación en (Recuerda el problema 3 de la tarea moral de la entrada Compacidad en espacios métricos). Ya que es semicontinua inferiormente en existe tal que para cada se cumple que Observa que contiene a lo más una cantidad finita de puntos de la sucesión, pero esto contradice que sea punto de acumulación de por lo tanto la imagen de está acotada inferiormente.
Se puede probar el resultado análogo para una función semicontinua superiormente.
Proposición: Sea una función semicontinua inferiormente sobre un espacio métrico compacto entonces alcanza su mínimo en
Demostración: Como es semicontinua inferiormente y por el resultado anterior, tiene ínfimo en podemos construir una sucesión de elementos en tal que para cada í
Como es compacto, el conjunto tiene un punto de acumulación
Vamos a probar que alcanza su mínimo en es decir que í Supón por el contrario que í Entonces existe tal que í Como es semicontinua inferiormente en existe tal que para cada í Observa que contiene a lo más una cantidad finita de puntos de la sucesión, pero esto contradice que sea punto de acumulación de por lo tanto í y así, alcanza su mínimo en
Se puede probar el resultado análogo para una función semicontinua superiormente.
Más adelante…
Conoceremos otro «tipo de continuidad» en las funciones. Esta vez lo haremos con una colección de ellas cuando la misma bola de radio y centro en asegura la cercanía con los puntos que cada función asigna a Este concepto es equicontinuidad y se verá formalmente en la siguiente entrada.
Tarea moral
Demuestra los resultados que se fueron indicando a lo largo de esta entrada.
a) Prueba que la sucesión de trayectorias converge a la trayectoria en el conjunto de funciones acotadas de en b) Prueba que c) Concluye que no es continua en
Para probar el teorema de Arzelá-Ascoli que veremos más adelante, usaremos familias de funciones que tienen la propiedad de enviar puntos muy cercanos del dominio a puntos muy cercanos en el contradominio. Suena a funciones continuas, ¿verdad? No obstante, en esta ocasión será el mismo valor de delta el que haga válida la cercanía para cualquier función.
Ejemplo. Considera el conjunto de funciones donde
Dejaremos como ejercicio demostrar que para cada (y menor que ) existe una función tal que de modo que no es posible encontrar un valor de que funcione para todas las funciones del conjunto.
La propiedad que estamos describiendo se conoce como equicontinuidad. Presentamos la definición de: Simon, B., Real Analysis A Comprehensive Course in Analysis, Part 1,. USA: American Mathematical Society, 2015, pág 70.
Definición. Familia uniformemente equicontinua. Sean y espacios métricos y una familia de funciones de en Diremos que es uniformemente equicontinua si para cada existe tales que para cualesquiera que cumplen que entonces para cualquier
En particular, si es el espacio de los complejos con la métrica euclidiana tenemos la definición de: Rudin, W., Principios de Análisis Matemático (3a ed.). México: McGraw–Hill, 1980, pág 167.
Definición. Familia equicontinua de funciones complejas. Sea una familia de funciones complejas con dominio en un espacio métrico Diremos que es equicontinua en si para cada existe tales que para cualesquiera que cumplen que entonces para cualquier
Nota que toda función de una familia equicontinua es uniformemente continua.
Proposición. Sea un espacio métrico compacto y una sucesión de funciones en (continuas) tal que la sucesión converge uniformemente en Entonces (el conjunto de las funciones de la sucesión) es uniformemente equicontinua sobre
Demostración: Sea . Como la sucesión de funciones converge uniformemente en de acuerdo con la entrada Convergencia puntual y convergencia uniforme, como es completo, es uniformemente de Cauchy, por lo tanto existe tal que para cada se cumple que
En la entrada Continuidad uniforme vimos que cada función continua con dominio compacto es uniformemente continua. En particular, para cada una de las primeras funciones de la sucesión, existe su correspondiente tal que para cada siempre que tenemos:
Si hacemos í se sigue cumpliendo (2) para
mientras que si se concluye de la desigualdad del triángulo, de (1) y de (2) que
Por lo tanto el conjunto de funciones en es equicontinuo.
La definición a considerar en el teorema de Arzelá-Ascoli
En la sección Teorema de Arzelá-Ascoli link nuestra familia de funciones tendrá un dominio compacto y consideraremos la definición de equicontinuidad que aparece en Clapp, M., Análisis Matemático. Ciudad de México: Editorial Papirhos, IM-UNAM, 2015, pág 125. Nota que la propiedad se fija en un punto:
Definición. Familia equicontinua en un punto: Sea un espacio métrico compacto y un espacio métrico. Sea es decir, es una familia de funciones continuas con dominio en e imagen en . Diremos que es equicontinuo en el punto si para todo existe tal que para toda función en se cumple que si entonces .
Esta definición se relaciona con la primera en el siguiente sentido:
Proposición: Si es uniformemente equicontinua entonces es equicontinua en cada punto de
Demostración: Sea y Como es uniformemente equicontinua, existe tal que para cada si entonces para cualquier En particular para cada si entonces para cualquier lo cual prueba que la familia de funciones es equicontinua en .
El recíproco no es cierto. Ser equicontinua puntualmente no implica ser uniformemente equicontinua, la demostración queda como ejercicio.
Más adelante…
Anteriormente vimos algunos resultados de la compacidad en los conjuntos, en la siguiente sección mostraremos una herramienta para identificarla en espacios de funciones, presentando así, los últimos conceptos necesarios para conocer el teorema de Arzelá-Ascoli.
Tarea moral
Resuelve los dos ejemplos de esta sección.
Muestra un ejemplo de una familia equicontinua puntualmente en todos los puntos del dominio pero que no sea uniformemente equicontinua.