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Segunda parte de la demostración del teorema de Stone-Weierstrass

Por Lizbeth Fernández Villegas

MATERIAL EN REVISIÓN

Introducción

En esta entrada conoceremos dos lemas más previos a la demostración del teorema de Stone-Weierstrass. Las hipótesis a usar serán las mismas que se mencionaron en la entrada anterior: K es un espacio métrico compacto, AC0(K,R), es decir, A es un conjunto de funciones continuas que transforma valores en K en valores reales. Supondremos también que A satisface las propiedades:

a) Para cada λ,μR y f,gA se cumple que λf+μgA. Esto es, A es cerrado bajo combinaciones lineales.

b) Para cada f,gA se cumple que fgA. Esto es, A es cerrado bajo producto de funciones.

c) 1A, donde 1 es la función constante que para cada xK asigna el valor 1.

d) Para cualesquiera x1,x2K tales que x1x2 existe una función φA tal que φ(x1)φ(x2).

Entonces se satisface el siguiente:

Lema 3. Si φA entonces |φ|A.

Demostración:
Sabemos que φ:KR es continua. Dado que K es compacto, la imagen φ(K) es compacta en R, y por tanto es acotada, así φ(K)[a,b] para algún a,bR. Como la función valor absoluto restringida en [a,b], que denotamos con h:[a,b]R tal que yR,h(y)=|y| también es continua en su dominio, se sigue que la composición

hφ(x)=|φ(x)|

es continua en K.

El siguiente diagrama muestra el comportamiento de las funciones.

Representación composición hφ.

Por lo visto en la entrada tal podemos aproximar la función h:[a,b]R con polinomios de Bernstein. Sea

Bn(h,y)=a0+a1y++anyn

el polinomio de Bernstein de grado a lo más n de h con y[a,b]. Entonces

limnBn(h,y)h=0.

Si xK, φ(x)[a,b]. Evaluando el polinomio en φ(x) tenemos:

Bn(h,φ(x))=a0+a1φ(x)++anφ(x)n.

De modo que la sucesión de polinomios (Bn(h,φ(x)))nN converge a hφ=|φ| en C0(K,R).

Veamos que cada sumando del polinomio está en A. Para ello usaremos los resultados del lema 2 visto en link.

La función constante 1A, como a0R se sigue que el producto 1a0=a0A.

Como φAA y a1R se sigue que el producto a1φA.

Como φAA entonces el producto φφ=φ2A. Como a2R se sigue que también a2φ2A.
.
.
.
Como φn1AA entonces el producto φn1φ=φnA. Como anR se sigue que el producto anφnA.

Ya que cada sumando está en A concluimos que para cada nN,Bn(h,φ(x))A. Por lo tanto |φ|A.

Para finalizar esta sección veamos otro resultado.

Lema 4. Sean φ,γA. Entonces las funciones

máx{φ,γ}(x):=máx{φ(x),γ(x)} y 

mín{φ,γ}(x):=mín{φ(x),γ(x)}

también están en A.

Demostración:
Probemos que máx{φ,γ}(x)A. Nota que

máx{φ(x),γ(x)}=φ(x)+γ(x)+|φ(x)γ(x)|2,

pues en el caso en que φ(x)γ(x)

φ(x)+γ(x)+|φ(x)γ(x)|2=φ(x)+γ(x)+(φ(x)γ(x))2=2φ(x)2=φ(x)

Caso φ(x)γ(x).

Por otro lado, si γ(x)φ(x)

φ(x)+γ(x)+|φ(x)γ(x)|2=φ(x)+γ(x)+(γ(x)φ(x))2=2γ(x)2=γ(x)

Ya que φ(x)+γ(x)+|φ(x)γ(x)|2 puede verse como combinación lineal de funciones en A (por lo visto en lema 2 y lema 3) se sigue que

φ(x)+γ(x)+|φ(x)γ(x)|2=máx{φ(x),γ(x)}A.

Análogamente se puede probar que se satisface la igualdad

mín{φ(x),γ(x)}=φ(x)+γ(x)|φ(x)γ(x)|2

Y así la función mín{φ(x),γ(x)}A. La prueba de este hecho se dejará como ejercicio.

Más adelante…

Terminaremos con la demostración del teorema prometido. Por lo pronto sugerimos algunos ejercicios.

Tarea moral

  1. Demuestra que mín{φ(x),γ(x)}=φ(x)+γ(x)|φ(x)γ(x)|2.
  2. Identifica bajo qué condiciones las siguientes familias de funciones satisfacen las hipótesis del teorema de Stone-Weierstrass:
    a) Las poligonales.
    b) Las funciones infinitamente diferenciables en R.
    c) Las funciones Lipschitz continuas.

Enlaces

Enunciado del teorema de Stone-Weierstrass y primera parte de la demostración

Por Lizbeth Fernández Villegas

MATERIAL EN REVISIÓN

Introducción

En la entrada anterior link aprendimos que es posible acercarnos a funciones continuas que tienen su dominio en un intervalo cerrado en R. En esta sección probaremos que esta idea puede generalizarse en funciones cuyo dominio es un espacio métrico compacto. Presentamos el teorema y la demostración de dos lemas que usaremos para probarlo.

Teorema. Stone-Weierstrass: Sea K un espacio métrico compacto. Sea AC0(K,R), es decir, A es un conjunto de funciones continuas de K en R. Si A satisface las siguientes propiedades:

a) Para cada λ,μR y f,gA se cumple que λf+μgA. Esto es, A es cerrado bajo combinaciones lineales.

b) Para cada f,gA se cumple que fgA. Esto es, A es cerrado bajo producto de funciones.

c) 1A, donde 1 es la función constante que para cada xK asigna el valor 1.

d) Para cualesquiera x1,x2K tales que x1x2 existe una función φA tal que φ(x1)φ(x2).

Entonces A es denso en C0(K,R), es decir, A=C0(K,R).

Nota que esto significa que toda función continua f:KR está en la cerradura de A y por lo visto en la entrada Convergencia, tenemos que f puede aproximarse con funciones en A según la métrica uniforme d.

La demostración de este teorema se hará a través de cuatro lemas. En el primero garantizaremos la existencia de una función que tome dos valores específicos en dos puntos específicos.

Lema 1: Sean K y A como en las hipótesis del teorema. Dados x1x2K y c1,c2R existe fA tal que f(x1)=c1 y f(x2)=c2.

Demostración:
De acuerdo con el inciso d), existe φA tal que φ(x1)φ(x2).

Representación φA tal que φ(x1)φ(x2).

Sin embargo buscamos f que en x1 vale específicamente c1 y en x2 vale c2.

Representación de f que en x1 vale c1 y en x2, c2.

Veamos si dicha f puede obtenerse como combinación lineal de φ y la función constante 1, es decir que f(x)=λφ(x)+μ1 para algunos λ,μR.

Encontrar λ y μ que satisfacen lo deseado equivale a resolver el sistema de ecuaciones

{λφ(x1)+μ=c1λφ(x2)+μ=c2

Según las fórmulas de Cramer para sistemas cuadrados, que pueden consultarse en Álgebra Lineal I: Determinantes en sistemas de ecuaciones lineales y regla de Cramer la solución existe y es única si y solo sí el determinante de la matriz de coeficientes dada por

|φ(x1)1φ(x2)1|

satisface:

|φ(x1)1φ(x2)1|=φ(x1)φ(x2)0

Lo cual sí ocurre, pues φ(x1)φ(x2)φ(x1)φ(x2)0.

Por lo tanto existe la solución única al sistema de ecuaciones y así existe fA con f(x)=λφ(x)+μ tal que f(x1)=c1 y f(x2)=c2.

Lema 2: Si AC0(K,R) es tal que tiene las propiedades a), b), c) del teorema, entonces A también las tiene.

Demostración:
a) Sean λ,μR y φ,γA, queremos probar que λφ+μγ también está en A.

Como φA entonces, por lo visto en Convergencia sabemos que existe una sucesión (fn)nN de elementos de A tales que fnφ, es decir

(1)limnfn=φ.

De igual manera existe una sucesión (gn)nN de elementos de A tales que gnγ, es decir

(2)limngn=γ.

Ya que para cada nN se cumple que λfn+μgnA. Si demostramos que la sucesión (λfn+μgn)nN converge a λφ+μγ esto probaría que λφ+μγA. Probemos que d(λfn+μgn,λφ+μγ)=0. Sea ε>0. Por 1) y 2) sabemos que existen N1 y N2N tales que para cada nN1,

d(fn,φ)<ε2|λ|

Y así

|λ|d(fn,φ)<ε2

Y para cada nN2,

d(gn,γ)<ε2|μ|

Y así

|μ|d(gn,γ)<ε2.

Entonces para cada nmáx{N1,N2} y para cada xK tenemos:
d(λfn(x)+μgn(x),λφ(x)+μγ(x))=|λfn(x)+μgn(x)λφ(x)μγ(x)|=|λfn(x)λφ(x)+μgn(x)μγ(x)||λfn(x)λφ(x)|+|μgn(x)μγ(x)|=|λ||fn(x)φ(x)|+|μ||gn(x)γ(x)||λ|d(fn,f)+|μ|d(gn,γ)<ε2+ε2=ε.

Por lo tanto d(λfn+μgn,λφ+μγ)=0 y así (λfn+μgn)nNλφ+μγ lo que demuestra que λφ+μγA.

b) Buscamos demostrar que para cualesquiera φ,γA también se cumple que φγA.

Ya que para cada nN se cumple que fngnA. Si demostramos que la sucesión (fngn)nN converge a φγ esto probaría que φγA.

Probemos entonces que limnd(fngn,φγ)=0. Esto se logrará si conseguimos acotar el valor de d(fn(x)gn(x),φ(x)γ(x))R para cada xK.

Dado que φ,γ son continuas en un compacto, concluimos que son acotadas en el dominio. Así existen reales mayores que cero M1 y M2 tales que para cada xK:

(3)|φ(x)|M1 y (4)|γ(x)|M2.

Por otro lado, como limngn=γ, existe N3N tal que para cada nN3,|gn(x)γ(x)|1. Entonces

1gn(x)γ(x)11+γ(x)gn(x)1+γ(x)1M21+γ(x)gn(x)1+γ(x)1+M2

Por lo tanto si nN3,

(5)|gn(x)|M2+1.

Además, por 1) y 2) sabemos que para cada ε>0 existen N4 y N5N tal que para cada nN4

d(fn,φ)<ε2(M2+1),

y para nN5,

d(gn,γ)<ε2M1.

De lo anterior se sigue que para cada nmáx{N3,N4,N5}

|fn(x)gn(x)φ(x)γ(x)|=|fn(x)gn(x)φ(x)gn(x)+φ(x)gn(x)φ(x)γ(x)||fn(x)gn(x)φ(x)gn(x)|+|φ(x)gn(x)φ(x)γ(x)|=|gn(x)||fn(x)φ(x)|+|φ(x)||gn(x)γ(x)|(M2+1)|fn(x)φ(x)|+M1|gn(x)γ(x)|<(M2+1)ε2(M2+1)+M1ε2M1=ε

Por lo tanto limnd(fngn,φγ)=0 y así (fngn)nNφγ lo que demuestra que φγA.

c) Dado que la función 1A se sigue que 1A pues AA.

Más adelante…

Veremos dos lemas más que necesitamos en la demostración del teorema de Stone-Weierstrass. Por el momento sugerimos trabajar con los siguientes ejercicios para desarrollar más la idea de densidad.

Tarea moral

  1. Sea X un espacio métrico y sean Z y Y tales que ZYX y Z es denso en X. Demuestra que Y es denso en X.
  2. Sea ϕ:XY continua y suprayectiva. Demuestra que si A es denso en X, entonces ϕ(A) es denso en Y.
  3. Antes dos definiciones:
    Un conjunto A es a lo más numerable si existe una función inyectiva f:AN.
    Un espacio métrico es separable si contiene un subconjunto que es a lo más numerable y denso en X.
    Demuestra que todo espacio métrico compacto es separable. Se recomienda tomar un conjunto finito de bolas de radio 1k para cada kN cuya unión es X.

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Polinomios de Bernstein

Por Lizbeth Fernández Villegas

MATERIAL EN REVISIÓN

Introducción

Es sabido que existen funciones que no es tan sencillo evaluar en todos los puntos de su dominio. Sin embargo, cuando la función f es nveces derivable en un punto a podemos definir polinomios de Taylor Tn,a (ver entrada Cálculo Diferencial e Integral I: Polinomios de Taylor (Parte 1)). Conforme aumentamos el grado del polinomio más nos acercamos al valor real de f, incluso tenemos resultados en relación al residuo de Taylor (ver Cálculo Diferencial e Integral I: Polinomios de Taylor (Parte 2). Pero, ¿qué podemos hacer ante una función que no es derivable en ningún punto? En esta sección presentaremos una forma alternativa de estimar funciones continuas, útil para aquellas en las que no podemos identificar los polinomios de Taylor, pues recordemos que la continuidad no es una condición suficiente para que una función sea derivable. Por ejemplo, la función de Weierstrass dada por f(x)=n=0ancos(bnπx)   con 0<a<1 y ab>1+32π,b>1 entero impar,
es continua en R pero no es diferenciable en ningún punto.

La función de Weierstrass, es continua y no diferenciable en ningún punto.

Las funciones con las que nos vamos a aproximar son conocidas como polinomios de Bernstein. Una forma de entenderlos es a través de la probabilidad. A continuación presentamos ideas tomadas del artículo de la Dra. Ana Meda cuya lectura sugerimos:
Meda A. (2005) Interpolar con volados, o los Polinomios de Bernstein. Miscelánea Matemática, 41, 1-12.

Sea f:[0,1]R una función continua y nN. Supón además que conocemos los valores que toma esta función en los puntos 0n,1n,2n,3n, y sea x[0,1]. Para saber cuánto vale f en x vamos a tomar una moneda cuya probabilidad de arrojar águila al lanzarse sea precisamente x. Ahora la vamos a lanzar n veces mientras registramos las veces en que salió águila. Sea k ese número de resultados. Identifiquemos el valor

(6)f(kn).

Definimos φk:[0,1]R, como
(7)φk(x)=(nk)xk(1x)nk.

Con
(nk)=n!k!(nk)!.

Corresponde a la probabilidad de que k de los lanzamientos sean águila con esa moneda cargada de probabilidad x.

Con (1) y (2) definimos

(8)Bn(f,x)=k=0nf(kn)(nk)xk(1x)nk,

que es la esperanza de la variable aleatoria que acabamos de describir, debido a que corresponde a la suma de los valores que toma esta variable ponderada por la probabilidad de que los tome.

A lo largo de esta entrada mostraremos formalmente que esta estimación funciona. Comenzamos diciendo qué es «acercarse mucho» a una función continua. Presentamos la definición con polinomios, pues son funciones continuas y derivables, lo cual facilita su manejo.

Definición. Función continua aproximada por polinomios. Sea fC0([0,1],R). Si para cada ε>0 existe un polinomio Pε:[0,1]R tal que

fPε=Supx[0,1]{|f(x)Pε(x)|}<ε,

diremos que la función f puede aproximarse por polinomios. Demostraremos que toda función continua en C0([0,1],R) tiene esta propiedad. Específicamente, los polinomios que usaremos en esa aproximación están dados por la siguiente:

Definición. El nésimo polinomio de Bernstein. Sea fC0([0,1],R). El nésimo polinomio de Bernstein de f de grado a lo más n es:
Bn(f,x)=k=0nf(kn)(nk)xk(1x)nk.

Que es la igualdad (3) definida arriba.

Mostremos el nésimo polinomio de Bernstein para tres funciones particulares.

El nésimo polinomio de Bernstein para la función constante, f(x)=1.

Del teorema del binomio sabemos que
(s+t)n=k=0n(nk)sktnk

Haciendo s=x y t=1x tenemos que
1=k=0n(nk)xk(1x)nk

Si consideramos f(x)=1 entonces f(kn)=1 y así
1=k=0n1(nk)xk(1x)nk=k=0nf(kn)(nk)xk(1x)nk

Por lo tanto
Bn(f(x)=1,x)=1.

El nésimo polinomio de Bernstein para la función identidad, f(x)=x.

Partiendo de
1=k=0n(nk)xk(1x)nk

Reemplacemos n por n1 y k por j para obtener
(9)1=j=0n1(n1j)xj(1x)n(1+j)

El siguiente resultado será usado en el cálculo del polinomio:

(n1k1)=(n1)!(k1)!(nk)!=nnkk(n1)!(k1)!(nk)!=knn(n1)!k(k1)!(nk)!=knn!k!(nk)!=kn(nk)

Por lo tanto

(10)(n1k1)=kn(nk)

Multipliquemos por x ambos lados de la igualdad (4) y apliquemos la igualdad (5) en el coeficiente para tener

x=j=0n1j+1n(nj+1)xj+1(1x)n(1+j)
Haciendo k=j+1 y usando que f(x)=x entonces f(kn)=kn. Se sigue:
(11)x=k=1nkn(nk)xk(1x)nk=k=0nf(kn)(nk)xk(1x)nk

Por lo tanto
Bn(f(x)=x,x)=x.

El nésimo polinomio de Bernstein para la función identidad, f(x)=x2.

Partiendo de
1=k=0n(nk)xk(1x)nk

Reemplacemos n por n2 y k por j para obtener

(12)1=j=0n2(n2j)xj(1x)n(2+j)

El siguiente resultado será usado en el cálculo del polinomio:

(n2k2)=(n2)!(k2)!(nk)!=nnn1n1kkk1k1(n2)!(k2)!(nk)!=k(k1)n(n1)n(n1)(n2)!k(k1)(k2)!(nk)!=k(k1)n(n1)n!k!(nk)!=k(k1)n(n1)(nk)

Por lo tanto

(13)(n2k2)=k(k1)n(n1)(nk)

Multipliquemos por x2 ambos lados de la igualdad (7) y apliquemos la igualdad (8) en el coeficiente para tener
x2=j=0n2(j+2)(j+1)n(n1)(nj+2)xj+2(1x)n(j+2)
Haciendo k=j+2 se sigue que:
x2=k=2nk(k1)n(n1)(nk)xk(1x)nk=k=0nk(k1)n(n1)(nk)xk(1x)nk

Entonces
(14)x2(n2n)=k=0nk(k1)(nk)xk(1x)nk

Al dividir ambos lados de la igualdad por n2 se obtiene:
(11n)x2=k=0nk(k1)n2(nk)xk(1x)nk=k=0n(k2n2kn2)(nk)xk(1x)nk=k=0nk2n2(nk)xk(1x)nkk=0nkn2(nk)xk(1x)nk=k=0n(kn)2(nk)xk(1x)nk1nk=0nkn(nk)xk(1x)nk=k=0n(kn)2(nk)xk(1x)nk1nx

De modo que
(11n)x2+1nx=k=0n(kn)2(nk)xk(1x)nk=k=0nf(kn)(nk)xk(1x)nk

Por lo tanto
Bn(x,f(x)=x2)=(11n)x2+1nx.

Ahora daremos paso al

Teorema de aproximación de Bernstein. Sea f:[0,1]R continua. Entonces la sucesión de polinomios de Bernstein para f converge uniformemente a f en [0,1].

Demostración:
Partimos de
1=k=0n(nk)xk(1x)nk
Al multiplicar ambos lados de la igualdad por f(x) obtenemos

f(x)=k=0nf(x)(nk)xk(1x)nk.

Por lo tanto

f(x)Bn(f,x)=k=0n(f(x)f(kn))(nk)xk(1x)nk.

Usando la desigualdad del triángulo y el hecho de que x[0,1] implica que (nk)xk(1x)nk>0, se sigue que

(15)|f(x)Bn(f,x)|k=0n|(f(x)f(kn))|(nk)xk(1x)nk

Nuestra intención ahora será mostrar que cuando n tiende a infinito esta distancia se hace muy pequeña.

Sea ε>0. Como f es continua en [0,1] entonces es uniformemente continua, así existe δ>0 tal que
(16) si |st|<δ entonces |f(s)f(t)|<ε2.

Sea x[0,1]. Considera nN tal que
n máx {1δ4,f2ε2}.

Separemos los elementos de N{0} en dos conjuntos como sigue:

(17)I1={kN{0}:0kn,|knx|<(1n)14},(18)I2={kN{0}:0kn,kI1},

Como n1δ4 entonces
n141δδ(1n)14

De modo que si kI1 satisface |knx|<(1n)14δ y por la desigualdad (11) se cumple que

kI1|(f(x)f(kn))|(nk)xk(1x)nkkI1ε2(nk)xk(1x)nkε2k=0(nk)xk(1x)nk(19)=ε2.

En cuanto a los ksI2 tenemos lo siguiente:

Si kI2 entonces
(1n)14|xkn|1n|xkn|4(xkn)4n(xkn)2n.

Usaremos la última desigualdad al final del siguiente grupo de ecuaciones.

kI2|(f(x)f(kn))|(nk)xk(1x)nkkI22f(nk)xk(1x)nk=2fkI2(xkn)2(xkn)2(nk)xk(1x)nk(20)2fnkI2(xkn)2(nk)xk(1x)nk

Ahora, partiendo de 1=k=0n(nk)xk(1x)nk, tenemos:

(x2)1=k=0n(x2)(nk)xk(1x)nk(21)x2=k=0nx2(nk)xk(1x)nk

Por la igualdad (9) tenemos:

(22)x2(n2n)=k=0nk(k1)(nk)xk(1x)nk

Partiendo de (6) se sigue:

(2x)x=k=0n(2x)kn(nk)xk(1x)nk(23)2x2=k=0n2knx(nk)xk(1x)nk

Y también que

(n)x=k=0n(n)kn(nk)xk(1x)nk(24)nx=k=0nk(nk)xk(1x)nk

Sumando (17) con (19).

x2(n2n)+nx=k=0n(k(k1)+k)(nk)xk(1x)nkx2(n2n)+nx=k=0nk2(nk)xk(1x)nk(1n2)(x2(n2n)+nx)=k=0n(1n2)k2(nk)xk(1x)nk(25)(11n)x2+1nx=k=0nk2n2(nk)xk(1x)nk

Ahora sumemos (16), (18) y (20) para obtener:

(26)1n(xx2)=k=0n(xkn)2(nk)xk(1x)nk

Dado que máx x[0,1](xx2)=14 podemos concluir que

(27)k=0n(xkn)2(nk)xk(1x)nk=1n(xx2)(1n)(14)=14n

Ya que nf2ε2 podemos concluir que εnf. Se sigue de (15) y (22) que:

kI2|(f(x)f(kn))|(nk)xk(1x)nk2fnkI2(xkn)2(nk)xk(1x)nk2εnn14n(28)=ε2.

Ahora, de (14) y (23) tenemos, finalmente que

|f(x)Bn(f,x)|k=0n|(f(x)f(kn))|(nk)xk(1x)nk=kI1|(f(x)f(kn))|(nk)xk(1x)nk+kI2|(f(x)f(kn))|(nk)xk(1x)nkε2+ε2(29)=ε.

Lo cual demuestra que la sucesión de polinomios de Bernstein converge uniformemente a f.

Si bien, el teorema anterior aplica para funciones con dominio en [0,1] se puede generalizar a cualquier intervalo cerrado en R según enunciamos a continuación.

Teorema. De aproximación de Weierstrass. Sea f:[a,b]R una función continua. Entonces existe una sucesión de polinomios que converge uniformemente a f en [a,b].

Demostración:
Definimos ρ:[0,1][a,b] donde para cada x[0,1],ρ(x):=(1x)a+xb. En consecuencia, la función g:=fρ es una función continua en [0,1] y por el teorema anterior sabemos que la sucesión de polinomios de Bernstein de g converge en g, es decir, Bn(g,x)g.

Ahora definimos pn:=Bn(g,x)ρ1. Nota que es un polinomio. Ocurre que

pnf:=máxt[a,b]|pn(t)f(t)|=máxx[0,1]|Bn(g,x)(x)g(x)|=Bn(g,x)g.

Por lo tanto se da la convergencia uniforme pnf en C0[a,b].

Más adelante…

Conoceremos condiciones bajo las que es posible acercarnos a funciones continuas que tienen su dominio en conjuntos más generales que un intervalo cerrado: los espacios compactos. Lo haremos a través del teorema de Stone-Weierstrass que enunciaremos en la siguiente sección.

Tarea moral

  1. Considera la función φk definida en (2). Demuestra que φk alcanza su máximo en el punto kn.
  2. Desarrolla las funciones φk para k=0,1,2 para n=2.
  3. Considera la función f:[0,1]R dada por f(x)=sen(πx). Grafica los polinomios de Bernstein de f para n=1,2,4,8. Visualiza la gráfica para f.

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Funciones semicontinuas

Por Lizbeth Fernández Villegas

MATERIAL EN REVISIÓN

Introducción

En la entrada Funciones continuas en espacios métricos vimos que una función f:XR con X espacio métrico, es continua en un punto x0X si dado ε>0 existe δ>0 tal que si x está en la bola abierta B(x0,δ) entonces f(x)B(f(x0),ε).

f es continua en x0X.

Nota que esto significa que existe una bola abierta con centro x0 que cumple que cualquiera de sus elementos x satisface las siguientes desigualdades:

(30)f(x0)ε<f(x).(31)f(x)<f(x0)+ε.

Si bien, las funciones que no son continuas no cumplen ambas desigualdades, es posible concluir propiedades de las que sí hacen valer alguna de las dos.

Si se satisface (1), entonces f(x0)ε<f(x). Como esto ocurre para cualquier ε>0 podemos hacer f(x0)ε=c y así c<f(x0).

Si se satisface (2), entonces f(x)<f(x0)+ε. Como esto ocurre para cualquier ε>0 podemos hacer f(x0)+ε=c y así c>f(x0).

Este tipo de funciones se llaman «semicontinuas». Si permitimos que la función tome valores infinitos, las definimos como sigue:

Definición. Función semicontinua inferiormente. Sea f:X(,] una función, (nota que admite el valor ). Decimos que f es semicontinua inferiormente en el punto x0X si para toda c<f(x0) existe δ>0 tal que si dX(x,x0)<δ entonces c<f(x). Diremos que f es semicontinua inferiormente si lo es en todo punto de X.

f es semicontinua inferiormente en x0X.

Diremos que f es semicontinua inferiormente si lo es en todo punto de X.

Definición. Función semicontinua superiormente. Sea f:X[,) una función, (nota que admite el valor ). Decimos que f es semicontinua superiormente en el punto x0X si para toda c>f(x0) existe δ>0 tal que si dX(x,x0)<δ entonces f(x)<c. Diremos que f es semicontinua inferiormente si lo es en todo punto de X.

f es semicontinua superiormente en x0X.

Diremos que f es semicontinua superiormente si lo es en todo punto de X.

Ejemplos:

  • La función piso
    f(x)=x:RR, donde
    x=máx{kZ:kx}
    Es semicontinua superiormente.
  • f aumentada en un punto de continuidad.
    Sea f:XR tal que f es continua en x0. Sea h>0. Considera la función g(x)={f(x)si xx0f(x0)+hsi x=x0
    Entonces g es una función semicontinua superiormente en x0.
  • f disminuida en un punto de continuidad.
    Sea f:XR tal que f es continua en x0. Sea h>0. Considera la función g(x)={f(x)si xx0f(x0)hsi x=x0
    Entonces g es una función semicontinua inferiormente en x0.
  • Si f:X[,) es una función semicontinua inferiormente, entonces la función f es semicontinua superiormente.

Queda como ejercicio al lector verificar que las funciones mencionadas son semicontinuas.

Definición. Límite superior y límite inferior de f en un punto x0. Considera f:XR. Sea x0X. Pensemos en todos los valores que toma la función f en puntos «muy cerquita» de x0 identificando así que es «lo más» que podría valer. Nos referimos al valor de
f(x0)=limε0[supxB(x0,ε)f(x)]
que podría ser finito o infinito y recibe el nombre de límite superior de f en x0.

En la función de Dirichlet f(x0)=1 mientras que f(x0)=0 para cualquier x0R.

Análogamente, si pensamos en todos los valores que toma la función f en puntos «muy cerquita» de x0 identificando así que es «lo menos» que podría valer. Nos referimos al valor de
f(x0)=limε0[infxB(x0,ε)f(x)]
que podría ser finito o infinito y recibe el nombre de límite inferior de f en x0.

Definición. Oscilación de la función f en el punto x0. Sean f:XR y x0X. La diferencia

ωf(x0)=f(x0)f(x0)

si es que tiene sentido, es decir si al menos uno de los números f(x0) o bien f(x0) es finito, se llama oscilación de la función f en el punto x0.

Ejemplo

Si f es la función de Dirichlet, la oscilación de f en cualquier punto de R es 1.

Proposición: Sean f:XR y x0X. Entonces f es continua en x0 si y solo si ωf(x0)=0, es decir
<f(x0)=f(x0)<.

La demostración queda como ejercicio al lector.

Nota que para cualquier función f:XR la función f(x) es semicontinua superiormente mientras que la función f(x) es semicontinua inferiormente. La demostración de estos hechos también se deja como ejercicio.

Antes de continuar recordemos la entrada Espacios métricos de caminos. Vimos que un camino es una función continua γ:[a,b]X con X un espacio topológico. En algunos libros, como el de Mónica Clapp, esta definición se indica como trayectoria.

Si X es un espacio métrico entonces a cada trayectoria γ:[a,b]X se le puede asociar el valor dado por

L(γ):=sup{k=1nd(γ(tk1),γ(tk)):a=t0t1tn=b,nN}

lo cual define una función L:(C0[a,b],X)(,] que satisface los axiomas de una longitud de caminos.

Otra cosa que podemos observar de L es que no es continua cuando X=R2. Como ejemplo un ejercicio al final de esta sección. La cuestión es que dada una trayectoria γ puede haber trayectorias con longitud muy grande pese a ser cercanas a γ en la métrica uniforme. No obstante, puede asegurarse que si las trayectorias son suficientemente cercanas a γ entonces su longitud no podrá ser arbitrariamente menor que la de γ. En otras palabras:

La función L es semicontinua inferiormente en (C0[a,b],X)

Proposición: Sean γ(C0[a,b],X) y c<L(γ). Entonces existe δ>0 tal que si d(γ,σ)<δ se satisface
c<L(σ).
Demostración:
Tomemos d0>0 tal que c+δ0<L(γ). Por definición de L, existen a=t0,t1tn=b en R tales que

c+δ0<k=1nd(γ(tk1),γ(tk)).

Sea δ:=δ02m. Si δ(γ,σ,)<δ se sigue

d(γ(tk1),γ(tk))d(γ(tk1),σ(tk1))+d(σ(tk1),γ(tk))d(γ(tk1),σ(tk1))+d(σ(tk1),σ(tk))+d(σ(tk),γ(tk))<δ+d(σ(tk1),σ(tk))+δ=d(σ(tk1),σ(tk))+2δ=d(σ(tk1),σ(tk))+δ0m.

Si sumamos las desigualdades para todo k=1,,n tenemos lo siguiente

(32)c+δ0<k=1nd(γ(tk1),γ(tk))(33)<k=1nd(σ(tk1),σ(tk))+δ0(34)L(σ)+δ0.

De modo que c<L(σ) que es lo que queríamos demostrar.

En la entrada Funciones en espacios topológicos compactos vimos que toda función continua f:AR en un espacio compacto A alcanza su mínimo y máximo en A. Los resultados siguientes muestran la generalización al caso de funciones semicontinuas.

Proposición: Sea f:AR una función semicontinua inferiormente sobre un espacio métrico compacto A, entonces la imagen de f está acotada inferiormente.

Demostración:
Supón por el contrario que ínfxAf(x)=. Entonces existe una sucesión {xn}nN de elementos en A tal que para cada nN,f(xn)<n. Puesto que el espacio A es compacto, el subconjunto infinito {xn:nN} tiene al menos un punto de acumulación x0, en A.(Recuerda el problema 3 de la tarea moral de la entrada Compacidad en espacios métricos). Ya que f es semicontinua inferiormente en x0, existe δ>0 tal que para cada xB(x0,δ) se cumple que f(x)>f(x0)1. Observa que B(x0,δ) contiene a lo más una cantidad finita de puntos de la sucesión, pero esto contradice que x0 sea punto de acumulación de {xn:nN} por lo tanto la imagen de f está acotada inferiormente.

Se puede probar el resultado análogo para una función semicontinua superiormente. Queda como ejercicio.

Proposición: Sea f:AR una función semicontinua inferiormente sobre un espacio métrico compacto A, entonces f alcanza su mínimo en A.

Demostración:
Como f es semicontinua inferiormente y por el resultado anterior, f(A) tiene ínfimo en R, podemos construir una sucesión (xn)nN de elementos en A tal que para cada nN,f(xn)ínfxAf(x)+1n.

Como A es compacto, el conjunto {xn:nN} tiene un punto de acumulación x0A.

Vamos a probar que f alcanza su mínimo en x0, es decir que f(x0)=ínfxAf(x).
Supón por el contrario que f(x0)>ínfxAf(x). Entonces existe ε>0 tal que ínfxAf(x)+εf(x0). Como f es semicontinua inferiormente en x0, existe δ>0 tal que para cada xB(x0,δ),f(x>ínfxAf(x)+ε). Observa que B(x0,δ) contiene a lo más una cantidad finita de puntos de la sucesión, pero esto contradice que x0 sea punto de acumulación de {xn:nN} por lo tanto f(x0)=ínfxAf(x) y así, f alcanza su mínimo en A.

Se puede probar el resultado análogo para una función semicontinua superiormente. Queda como ejercicio.

Más adelante…

Conoceremos otro «tipo de continuidad» en las funciones. Esta vez lo haremos con una colección de ellas cuando la misma bola de radio δ y centro en x0 asegura la cercanía con los puntos que cada función asigna a x0. Este concepto es equicontinuidad y se verá formalmente en la siguiente entrada.

Tarea moral

  1. Demuestra los resultados que se fueron indicando a lo largo de esta entrada.
  2. a) Prueba que la sucesión de trayectorias γk:[0,1]R2,
    γk=(x,1ksen(πkx)),
    converge a la trayectoria γ(x)=(x,0) en el conjunto de funciones acotadas de [0,1] en R2
    b) Prueba que L(γk)
    c) Concluye que L no es continua en C0([a,b],R).

Enlaces

Equicontinuidad

Por Lizbeth Fernández Villegas

MATERIAL EN REVISIÓN

Introducción

Para probar el teorema de Arzelá-Ascoli que veremos más adelante, usaremos familias de funciones que tienen la propiedad de enviar puntos muy cercanos del dominio a puntos muy cercanos en el contradominio. Suena a funciones continuas, ¿verdad? No obstante, en esta ocasión será el mismo valor de delta el que haga válida la cercanía para cualquier función.

Ejemplo. Considera el conjunto de funciones {fk:fkC0([1,1],R),kN}, donde

fk(x)={1 si x[1,1k],kx si x[1k,1k],1 si x[1k,1].

Dejaremos como ejercicio demostrar que para cada δ>0 (y menor que 1) existe una función fk tal que |fk(x)fk(δ2)|>ε=12 de modo que no es posible encontrar un valor de δ que funcione para todas las funciones del conjunto.

La propiedad que estamos describiendo se conoce como equicontinuidad. Presentamos la definición de:
Simon, B., Real Analysis A Comprehensive Course in Analysis, Part 1,. USA: American Mathematical Society, 2015, pág 70.

Definición. Familia uniformemente equicontinua. Sean (X,dX) y (Y,dY) espacios métricos y H una familia de funciones de X en Y. Diremos que H es uniformemente equicontinua si para cada ε>0 existe δ>0 tales que para cualesquiera x1,x2X que cumplen que dX(x1,x2)<δ entonces para cualquier fH, dY(f(x1),f(x2))<ε.

En particular, si Y es el espacio de los complejos con la métrica euclidiana tenemos la definición de:
Rudin, W., Principios de Análisis Matemático (3a ed.). México: McGraw–Hill, 1980, pág 167.

Definición. Familia equicontinua de funciones complejas. Sea H una familia de funciones complejas con dominio en un espacio métrico (X,dX). Diremos que H es equicontinua en X si para cada ε>0 existe δ>0 tales que para cualesquiera x1,x2X que cumplen que dX(x1,x2)<δ entonces para cualquier fH, f(x1)f(x2)<ε.

Nota que toda función de una familia equicontinua es uniformemente continua.

Proposición. Sea (X,dX) un espacio métrico compacto y (fn)nN una sucesión de funciones en C0(X,C) (continuas) tal que la sucesión converge uniformemente en X. Entonces {fn}nN (el conjunto de las funciones de la sucesión) es uniformemente equicontinua sobre X.

Demostración:
Sea ε>0. Como la sucesión de funciones (fn)nN converge uniformemente en X, de acuerdo con la entrada Convergencia puntual y convergencia uniforme, como C es completo, (fn)nN es uniformemente de Cauchy, por lo tanto existe NN tal que para cada nN se cumple que

(35)fnfN<ε3.

En la entrada Continuidad uniforme vimos que cada función continua con dominio compacto es uniformemente continua. En particular, para cada una de las primeras funciones de la sucesión, f1,f2,,fN, existe su correspondiente δi,i=1,,N tal que para cada i=1,,N, siempre que dX(x1,x2)<δi, tenemos:

(36)fi(x1)fi(x2)<ε3.

Si hacemos
δ<mín{di:i=1,,N}
se sigue cumpliendo (2) para i=1,,N

mientras que si n>N se concluye de la desigualdad del triángulo, de (1) y de (2) que

fn(x1)fn(x2)fn(x1)fN(x1)+fN(x1)fN(x2)+fN(x2)fn(x2)ε3+ε3+ε3=ε.

Por lo tanto el conjunto de funciones en (fn)nN es equicontinuo.

La definición a considerar en el teorema de Arzelá-Ascoli

En la sección Teorema de Arzelá-Ascoli link nuestra familia de funciones tendrá un dominio compacto y consideraremos la definición de equicontinuidad que aparece en
Clapp, M., Análisis Matemático. Ciudad de México: Editorial Papirhos, IM-UNAM, 2015, pág 125.
Nota que la propiedad se fija en un punto:

Definición. Familia equicontinua en un punto: Sea (X,dX) un espacio métrico compacto y (Y,dY) un espacio métrico. Sea HC0(X,Y) es decir, H es una familia de funciones continuas con dominio en X e imagen en Y. Diremos que H es equicontinuo en el punto x0X si para todo ε>0, existe δ>0 tal que para toda función f en H se cumple que si dX(x,x0)<δ entonces dY(f(x),f(x0))<ε.

Esta definición se relaciona con la primera en el siguiente sentido:

Proposición: Si H es uniformemente equicontinua entonces es equicontinua en cada punto de X.

Demostración:
Sea x0X y ε>0. Como H es uniformemente equicontinua, existe δ>0 tal que para cada x1,x2X si dX(x1,x2)<δ entonces dY(f(x1),f(x2))<ε para cualquier fH. En particular para cada xX, si dX(x,x0)<δ entonces dY(f(x),f(x0))<ε para cualquier fH lo cual prueba que la familia de funciones es equicontinua en x0.

El recíproco no es cierto. Ser equicontinua puntualmente no implica ser uniformemente equicontinua, la demostración queda como ejercicio.

Más adelante…

Anteriormente vimos algunos resultados de la compacidad en los conjuntos, en la siguiente sección mostraremos una herramienta para identificarla en espacios de funciones, presentando así, los últimos conceptos necesarios para conocer el teorema de Arzelá-Ascoli.

Tarea moral

  1. Resuelve los dos ejemplos de esta sección.
  2. Muestra un ejemplo de una familia equicontinua puntualmente en todos los puntos del dominio pero que no sea uniformemente equicontinua.

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