Antes de comenzar con el estudio de los métodos de integración veremos en esta sección un tema importante que es la definición de antiderivadas.
La antiderivada o función primitiva de una función $f(x)$ es una función $F(x)$ tal que al ser derivada nos generará la misma función $f(x)$. Por lo que, $F(x)$ es una antiderivada de $f(x)$ si $F'(x)=f(x)$.
En notación integral se expresa como:
$$\int f(x)dx=F(x)$$
Antiderivada
Definimos la antiderivada de una función como sigue.
Definición.Una función $F(x)$ es una antiderivada de $f(x)$ si $F'(x)=f(x)$, En notación integral:
$$\int f(x)dx=F(x)+C$$
Donde $C$ es la constante de integración.
Observación: Dada una función $f(x)$, la antiderivada no es única, puesto que existe una infinidad de antiderivadas o una familia de antiderivadas, es decir, si $F(x)$ es una antiderivada de $f(x)$ entonces $F(x)+C$ es una antiderivada de $f(x)$.
Veamos el siguiente teorema:
Teorema: Si $F(x)$ es una antiderivada de $f(x)$ en un intervalo $I$, es decir, en un intervalo abierto o cerrado, entonces la función $G(x)$ es una antiderivada de $f(x)$ $\Leftrightarrow G(x)=F(x)+C$, $\space \space$$\forall$ $x$ $\epsilon$ $I$
Demostración:
$\Rightarrow$ $\rfloor$
Por hipótesis $F(x)$ y $G(x)$ son antiderivadas de $f(x)$, entonces por definición:
$$F'(x)=f(x) \space \space y \space \space G'(x)=f(x)\Rightarrow F'(x)=G'(x)$$
Como $F(x)$ es una antiderivada de $f(x)$ entonces $F'(x)=f(x)$
$\Rightarrow G'(x)=f(x)$ Justo lo que buscamos, ya que recordemos que es la definición de una antiderivada.
$\therefore$ $G(x)$ es una antiderivada de $f(x)$.
$\square$
Para entender un poco mejor el concepto de la familia de antiderivadas veamos el ejemplo siguiente:
Sea $F(x)=x$, que es la antiderivada de la función constante $f(x)=1$, ya que $F'(x)=1=f(x)$. En notación de integral:
$$\int 1 dx=x+c$$
En la siguiente imagen (figura 1) se muestran algunas antiderivadas de la función constante $f(x)=1$, donde el valor de la constante va cambiando en cada función de la gráfica y es por eso que existe una infinidad de antiderivadas de una función. Ahí la importancia de escribir la constante de integración cuando se resuelva una integral indefinida.
Figura 1: Antiderivadas de la función constante 1.
Nota: Una integral definida de una función $f(x)$ dentro de un intervalo $I$ entre $a$ y $b$, nos da un resultado numérico, es decir:
$$\int_{a}^{b}f(x)dx=C$$
En cambio, una antiderivada nos da un conjunto de familia de funciones, es decir:
$$\int f(x)dx=F(x)+C$$
Algunas antiderivadas básicas
En la siguiente tabla se muestran algunas derivadas e integrales indefinidas básicas necesarias que nos serán útiles para comenzar a estudiar los métodos de integración y que nos ayudará con algunos ejercicios y ejemplos en las siguientes secciones.
Tabla 1: Tabla de derivadas e integrales indefinidas.
Tarea moral
Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para practicar lo aprendido y que te ayudarán en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.
Resuelve las siguientes integrales:
A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.
$$\int \frac{1}{x^{2}}dx$$
$$\int \sqrt{x}dx$$
$$\int 2\sin(x)dx$$
$$\int 100dx$$
$$\int (x+2)dx$$
$$\int \frac{x+1}{\sqrt{x}}dx$$
Más adelante…
En esta sección vimos la definición de antiderivada o también conocido como función primitiva $f(x)$, además de, algunas integrales indefinidas básicas que necesitaremos para estudiar los métodos de integración. Como primer método de integración que estudiaremos en la siguiente sección es el método de cambio de variable o integración por sustitución.
Hasta este punto nos hemos enfocado en estudiar la derivada para distintos tipos de funciones, orientando los esfuerzos principalmente en la ejecución, en derivar tal cual. En esta entrada estudiaremos dos teoremas que nos darán visibilidad de algunas propiedades que tienen las funciones que son derivables en un intervalo abierto.
Teorema de Rolle
En el bachillerato revisaste el tema de máximos y mínimos, donde uno de los criterios que se usaban para encontrarlos era usar el hecho de que si $x_0$ es un mínimo o máximo local, entonces la derivada en dicho punto es cero. De momento, formalizaremos tanto la definición de máximo y mínimo local, así como el criterio de la derivada antes mencionado. Sin embargo, será en una entrada de la siguiente unidad donde daremos la demostración del criterio de la derivada, esto con la finalidad de revisarlo junto con sus aplicaciones.
Definición: Consideremos una función $f$ continua en un intervalo $I$ y $x_0 \in (x_0-r, x_0+r) \subset I$ con $r > 0$ tal que $f'(x_0)$ existe. Decimos que:
$x_0$ es un máximo local de$f \Leftrightarrow$ existe $r>0$ tal que para todo $x\in (x_0-r, x_0 +r) $ ocurre que: $$f(x)\leq f(x_0).$$
$x_0$ es un mínimo local de$f \Leftrightarrow$ existe $r>0$ tal que para todo $x\in (x_0-r, x_0 +r)$ ocurre que: $$f(x_0)\leq f(x).$$
Teorema: Consideremos una función $f$ continua en un intervalo $I$ que es derivable en el punto $x_0 \in (x_0-r, x_0+r) \subset I$. Si tenemos que $x_0$ es un máximo o un mínimo local de $f$, entonces $f'(x_0)=0.$
Ahora veremos el Teorema de Rolle que menciona que si tenemos una función $f:[a,b] \to \RR$ continua en $[a,b]$ y derivable en el intervalo $(a,b)$, que satisface que $f(a) = f(b)$, entonces existe un punto $c$ cuya derivada es cero, es decir, si la función inicia y termina en el mismo punto, entonces existe al menos un máximo o un mínimo local.
Teorema de Rolle. Sea $f:[a,b] \to \RR$ tal que $f$ es continua en $[a,b]$ y derivable en $(a,b)$. Si $f(a) = f(b)$, entonces existe $c$, $a<c<b$ tal que $f'(c) =0.$
Demostración.
Caso 1: Para todo $x \in [a,b]$, $f(x) = k.$
Como $f$ es constante, entonces $f'(x) = 0$ para todo $x \in [a,b].$
Así, podemos considerar $c = \frac{a+b}{2}$. Donde se cumple que $a<c<b$ y $f'(c) =0.$
Caso 2: Existe $x_0 \in [a,b]$, tal que $f(x_0) > f(a).$
Por el teorema del máximo-mínimo, existe $c \in [a,b]$ tal que para todo $x \in [a,b]$ se tiene que $f(x) \leq f(c).$ Entonces,
Se sigue que \begin{gather*} & f(c) > f(a) = f(b). \\ \\ \therefore & c \neq a, \quad c \neq b. \\ \\ \therefore & c \in (a,b), \quad a<c<b. \end{gather*}
Por tanto, para todo $x \in [a,b]$, se cumple que $f(x) \leq f(c)$. Donde se concluye que $f$ es un máximo local en $c.$
Además, $f$ es derivable en $(a,b)$. Por tanto, es derivable en $c$. Por el teorema anterior, se concluye que $f'(c) = 0.$
Caso 3: Existe $x_0 \in [a,b]$ tal que $f(x_0) < f(a)$.
Este caso es análogo al anterior.
$\square$
Teorema del Valor Medio
El siguiente teorema que probaremos indica que si una función es continua en $[a,b]$ y derivable en el intervalo $(a,b)$, entonces existe un punto $c$ cuya derivada es $$f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$
Lo anterior indica que existe un punto $c$ de tal manera que la pendiente de la recta tangente es la misma que la pendiente de la recta que pasa por los puntos extremos del intervalo $a$, $b$. Esto se puede ver gráficamente en la siguiente imagen.
Teorema del Valor Medio. Sea $f:[a,b] \to \RR$ continua en $[a,b]$, derivable en $(a,b)$, entonces existe $c$, $a<c<b$ tal que
$$f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$
Demostración.
Consideremos $g(x) = f(a) + \left( \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \right) (x-a)$ y $\rho(x) = f(x)-g(x)$. Así, se tiene que
Considerando que $\rho'(c)=0$, de la expresión anterior, se sigue que
$$ f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$
$\square$
Corolario. Si para todo $x \in (a,b)$, $f'(x) = 0$, entonces existe $k \in \RR$ tal que $\forall x \in [a,b]$ se tiene que $f(x) = k.$
Demostración.
Si $x = a$, entonces $f(x) = f(a)$. Si $x \in [a,b]$, con $x \neq a$, entonces $x>a$. Aplicando el Teorema del Valor Medio en $[a,x]$, existe $c$, $a<c<x \leq b$ tal que
Por tanto, para todo $x \in [a,b]$, se tiene que $f(x) = k$, con $k = f(a).$
$\square$
Corolario. Sean $f,g:[a,b] \to \RR$ continuas en $[a,b]$ y derivables en $(a,b)$. Si para todo $x \in (a,b)$, $f'(x) = g'(x)$, entonces $f(x) = g(x) +k.$
Demostración.
Consideremos $h(x) = f(x)-g(x)$, entonces se tiene que $h'(x) = f'(x)-g'(x)= 0$ para todo $x \in (a,b).$
Por el corolario anterior, existe $k \in \RR$, constante, tal que para todo $x \in [a,b]$ se tiene $h(x) = k.$ Se sigue que
\begin{gather*} & f(x)-g(x) = k. \\ \therefore & f(x) = g(x) + k \quad \forall x \in [a,b]. \end{gather*}
$\square$
Más adelante…
La siguiente entrada será la última de la unidad y revisaremos un potente resultado de la derivada que nos permitirá hacer el cálculo de cierto tipo de límites con mayor facilidad, este resultado es conocido como la regla de L’Hôpital.
Tarea moral
A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.
Comprueba el teorema de Rolle en los intervalos que se muestran y halla los valores de $c$ para las siguientes funciones:
$f(x) = x^2-x-6$ en el intervalo $[-2,3].$
$f(x) = x^2-4$ en el intervalo $[-2,2].$
$f(x) = \sqrt{x}-2 \sqrt[4]{x}$ en el intervalo $[0,16].$
Comprueba el teorema del valor medio en los intervalos que se muestran y encuentra el valor $c$ para las siguientes funciones:
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»
En la entrada anterior vimos lo que son las permutaciones de tamaño $r$ de una colección de $n$ objetos. Además, observamos que al momento de calcular la cantidad de permutaciones de ese tipo, se toman en cuenta los arreglos lineales que tienen los mismos objetos, pero ordenados de distinta manera. Por ejemplo, recuerda el problema de los $10$ estudiantes. Ahí, vimos que al momento de contar las permutaciones de tamaño $5$ de los $10$ estudiantes, se contabilizaban $\mathrm{BCEFI}$ y $\mathrm{CEFIB}$. Esto pues aunque tienen los mismos objetos, el orden en el que se encuentran es diferente.
Por otra parte, también puede interesarnos encontrar la cantidad de arreglos lineales en donde los elementos son distintos. Es decir, considerar a aquellos arreglos que tienen los mismos elementos como indistinguibles, incluso si se encuentran en un orden distinto. Esto es precisamente lo que haremos en esta entrada: desarrollar un concepto que nos permita contar nada más eso.
Motivación
Para comenzar, veamos un ejemplo clásico de conteo. Una baraja inglesa estándar está formada por $52$ cartas que comprenden $4$ palos: tréboles, diamantes, corazones y espadas. Cada palo tiene $13$ cartas: As, $2$, $3$, $4$, …, $9$, $10$, jota, reina y rey. Si se nos pide tomar tres cartas de una baraja inglesa, una después de otra y sin reemplazo (es decir, sin devolver las cartas que ya hemos tomado), entonces por el principio del producto hay
posibles resultados. Por ejemplo, una de las posibles ternas de cartas que te pueden salir es $\color{red}{\mathrm{A}\heartsuit}$ (as de corazones), $9\clubsuit$ (nueve de tréboles), $\color{red}{\mathrm{K}\blacklozenge}$ (rey de diamantes). Pero, cuidado, recuerda que en el contexto de las permutaciones, «$\textcolor{red}{\mathrm{A}\heartsuit}\text{-}{9\clubsuit}\text{-}\textcolor{red}{\mathrm{K}\blacklozenge}$» se considera como un resultado distinto a «${9\clubsuit}\text{-}\textcolor{red}{\mathrm{A}\heartsuit}\text{-}\textcolor{red}{\mathrm{K}\blacklozenge}$» o «$\textcolor{red}{\mathrm{K}\blacklozenge}\text{-}\textcolor{red}{\mathrm{A}\heartsuit}\text{-}{9\clubsuit}$».
Sin embargo, observa que las cartas con las que terminas son las mismas sin importar el orden en el que las sacaste. Es decir, en tu mano estarán el as de corazones, el nueve de tréboles y el rey de diamantes sin importar el orden en el que se extraen. Por ello, podríamos considerar a todas las cadenas de cartas que tienen los mismos elementos como indistinguibles. Esto es, «$\textcolor{red}{\mathrm{A}\heartsuit} \text{-} {9\clubsuit} \text{-} \textcolor{red}{\mathrm{K}\blacklozenge}$», «$\textcolor{red}{\mathrm{A}\heartsuit} \text{-} \textcolor{red}{\mathrm{K}\blacklozenge} \text{-} {9\clubsuit}$», «${9\clubsuit} \text{-} \textcolor{red}{\mathrm{K}\blacklozenge} \text{-} \textcolor{red}{\mathrm{A}\heartsuit}$», «${9\clubsuit} \text{-} \textcolor{red}{\mathrm{A}\heartsuit} \text{-} \textcolor{red}{\mathrm{K}\blacklozenge}$», «$\textcolor{red}{\mathrm{K}\blacklozenge} \text{-} {9\clubsuit} \text{-} \textcolor{red}{\mathrm{A}\heartsuit}$» y «$\textcolor{red}{\mathrm{K}\blacklozenge} \text{-} \textcolor{red}{\mathrm{A}\heartsuit} \text{-} {9\clubsuit}$», las $6$ permutaciones posibles de las $3$ cartas, corresponden a una sola selección (sin orden) de cartas. En consecuencia, cada selección, o combinación, de $3$ cartas, sin tomar en cuenta el orden, corresponde a $3!$ permutaciones de $3$ cartas. En forma de ecuación, esto es:
\begin{align*}
(3!)\cdot (\text{No. de combinaciones} \; &\text{de} \; \text{tamaño $3$ de una baraja de $52$}) \\
&= \text{No. de permutaciones de tamaño $3$ de una baraja de $52$} \\
&= P(52, 3) \\
&= \frac{52!}{49!}.
\end{align*}
En conclusión, se pueden extraer, sin reemplazo, $3$ cartas sin reemplazo de una baraja inglesa estándar de $\frac{132{,}600}{3!} = 22{,}000$ maneras distintas.
Fórmula para el número de combinaciones sin repetición
Con la idea desarrollada en el ejemplo anterior, podemos presentar una fórmula para el cálculo del número de combinaciones de tamaño $r$ de una colección de $n$ objetos objetos.
Número de Combinaciones. Si tenemos $n$ objetos distintos, una combinación de $r$ de esos objetos, sin tomar en cuenta el orden, corresponde a $r!$ permutaciones de tamaño $r$ de los $n$ objetos. Por ello, el número de combinaciones de tamaño $r$ de una colección de $n$ objetos es
para $n, r \in \mathbb{N}$ tales que $0 \leq r \leq n$.
Para denotar al número de combinaciones de tamaño $r$ de una colección de $n$ objetos también se utiliza el símbolo ${n \choose r}$, y en algunas ocasiones el símbolo $\mathrm{C}_{r}^{n}$.
Algunas observaciones importantes:
${n \choose k}$ es también conocido como coeficiente binomial.
Para cualquier $n \geq 0$ se cumple que $C(n,0) = C(n,n) = 1$. Por un lado, el número de combinaciones de tamaño $0$ es $1$ porque sólo hay una combinación vacía. Por otro lado, el número de combinaciones de tamaño $n$ es $1$ porque la única combinación de tamaño $n$ es la colección misma.
Para cualquier $n \geq 1$, $C(n,1) = C(n,n−1) = n$.
En general, para cualesquiera $n, r \in \mathbb{N}$ tales que $0 \leq r \leq n$ se cumple que \[ C(n,r) = C(n, n−r). \]
Cuando $n < r$, se tiene que $C(n,r) = 0$.
¡Observación importante! – Cuando te enfrentes a cualquier problema de conteo, la primera pregunta que debes de hacerte es: «¿importa el orden?» Cuando el orden sí es relevante, deberás pensar en términos de permutaciones y el principio del producto. Por otro lado, cuando el orden no es relevante, las combinaciones serán una parte importante para resolver el problema.
Ejemplos de problemas con combinaciones sin repetición
Ejemplo. Una primera aplicación interesante es la siguiente. Sean $n \in \mathbb{N}$ y $A$ un conjunto finito tal que $|A| = n$. En consecuencia, podemos escribir a $A$ como sigue:
\[ A = \{ a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} \}. \]
Es decir, $A$ es una colección de $n$ objetos distintos. Para $r \leq n$, podemos preguntarnos: «¿cuántos subconjuntos de $A$ hay cuya cardinalidad es $r$?» Los conjuntos (en la teoría matemática) son colecciones de objetos en donde el orden en el que se escriben sus elementos no importa. Por ejemplo, se cumple que
\[ \{ a_{1}, a_{2} \} = \{ a_{2}, a_{1} \}. \]
Esto obedece al principio intuitivo que dice que «un conjunto está determinado por sus elementos». Por ello, un subconjunto de cardinalidad $r$ de $A$ es un ejemplo de una combinación de tamaño $r$ de los objetos en la colección $A$. Así, la cantidad de subconjuntos de cardinalidad $r$ de $A$ es simplemente $C(n,r) = {n \choose r}$.
Por ejemplo, para el conjunto $A = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \}$, se cumple que $|A| = 5$. En consecuencia, hay $C(5,2) = {5 \choose 2} = \frac{5!}{(2!)(3!)} = 10$ subconjuntos de cardinalidad $2$ de $A$. Estos son:
Ejemplo. En un curso de cálculo, la profesora se encuentra redactando el examen final que constará de $10$ preguntas a escoger.
Primero, la profesora decide que las instrucciones digan que escojas cualesquiera $7$ de las $10$ preguntas. Como no importa el orden en el que las respondas, puedes responder el examen de \[ {10 \choose 7} = \frac{10!}{(7!)(3!)} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120 \]maneras distintas.
Sin embargo, la profesora se da cuenta de que quizás sus alumnos tendrán un sesgo por las primeras $5$ preguntas, que son más sencillas. Por ello, decide dividir el examen en dos secciones, cada una con $5$ preguntas. Además, el alumno deberá de escoger $3$ preguntas de la primera sección y $4$ preguntas de la segunda sección. Las $3$ preguntas de la primera sección se pueden escoger de ${5 \choose 3} = 10$ maneras, y las $4$ preguntas de la segunda sección pueden escogerse de ${5 \choose 4} = 5$ maneras. Así, por el principio del producto, el examen puede completarse de ${5 \choose 3}{5 \choose 4} = 10 \cdot 5 = 50$ maneras.
Finalmente, la profesora decide restringir un poco menos las cosas para su grupo, y opta por lo siguiente: para resolver el examen, el alumno debe escoger $7$ preguntas tales que al menos $3$ de ellas vienen de la segunda sección. De esta manera, hay tres casos a considerar:
Si el alumno escoge $3$ preguntas de la segunda sección y $4$ preguntas de la primera sección, por el principio del producto hay ${5 \choose 3}{5 \choose 4} = 10 \cdot 5 = 50$ maneras de hacerlo.
Por otro lado, si el alumno decide escoger $4$ preguntas de la segunda sección y $3$ preguntas de la primera sección, puede hacerlo de ${5 \choose 4}{5 \choose 3} = 5 \cdot 10 = 50$ maneras.
Si decide responder las $5$ preguntas de la segunda sección y $2$ de la primera sección, entonces por el principio del producto, hay ${5 \choose 5}{5 \choose 2} = 1 \dot 10 = 10$ maneras posibles de hacerlo.
Así, combinando los resultados de los tres casos, por el principio de la suma encontramos que el examen puede formar \[ {5 \choose 3}{5 \choose 4} + {5 \choose 4}{5 \choose 3} + {5 \choose 5}{5 \choose 2} = 50 + 50 + 10 = 110 \] combinaciones de $7$ preguntas donde cada combinación incluye al menos $3$ preguntas de la segunda sección.
¡Otra observación importante! – Hay problemas que requieren los conceptos de permutaciones y combinaciones para su resolución. Esto puede observarse en el siguiente ejemplo.
Ejemplo. El número de permutaciones de las letras en la palabra $\mathrm{CHACHALACA}$ es
Ahora, ¿cuántas de estas permutaciones no tienen $\mathrm{C}$’s consecutivas? Sin considerar a las $\mathrm{C}$’s, el número de permutaciones de las letras que quedan ($\mathrm{HAHALAA}$) es
Observa que podemos poner las $3$ $\mathrm{C}$’s en cualesquiera de los $8$ espacios en blanco y se cumplirá que no hay $\mathrm{C}$’s consecutivas. Además, $3$ de esos $8$ espacios pueden escogerse de ${8 \choose 3} = 56$ maneras distintas. Esto se puede hacer para cada una de las $105$ permutaciones de las letras $\mathrm{HAHALAA}$, así que por el principio del producto se tienen $105 \cdot 56 = 5{,}880$ permutaciones de las letras en la palabra $\mathrm{CHACHALACA}$ que no tienen $\mathrm{C}$’s consecutivas.
Tarea moral
Los siguientes ejercicios son opcionales. Es decir, no formarán parte de tu calificación. Sin embargo, te recomiendo resolverlos para que desarrolles tu dominio de los conceptos abordados en esta entrada.
Sea $X = \{2, 4, 6, 8 \}$. ¿Cuántos subconjuntos de cardinalidad $2$ de $X$ hay?
¿Cómo se relaciona el coeficiente multinomial (visto en la entrada pasada) con el coeficiente binomial? Para verlo, ¿qué pasa cuando sólo se tiene $2$ tipos de objetos en el coeficiente multinomial?
Existen algunos ejercicios geométricos que pueden resolverse con las herramientas de esta entrada. Por ejemplo, considera los puntos $(2,1)$ y $(7,4)$ sobre una cuadrícula y conéctalos con un camino sobre esta, utilizando únicamente movimientos hacia la derecha y hacia arriba. Visualmente: El anterior es un ejemplo de los muchos caminos posibles. ¿Cuántos caminos posibles existen entre estos dos puntos? Sugerencia: Considera a cada camino como una secuencia (o cadena) de pasos hacia la derecha ($\mathrm{D}$) y hacia arriba ($\mathrm{A}$). Así, el camino mostrado en la gráfica corresponde a la cadena $\mathrm{ADDDAADD}$.
Más adelante…
Con esto damos por terminada la parte del curso que corresponde a los principios de conteo. Sin embargo, hay otros resultados de conteo que no revisamos aquí, como las combinaciones con reemplazo. Por otro lado, es posible que los ejemplos aquí expuestos no sean suficientes para representar todas las complejidades de los problemas de conteo. Por ello, te recomendamos buscar la mayor cantidad de ejemplos de conteo y combinatoria posibles. En particular, puedes revisar el libro que utilizamos como base para esta parte del curso: Discrete And Combinatorial Mathematics: An Applied Introduction (5ta Edición) de Ralph P. Grimaldi, tiene una gran cantidad de ejemplos de todos los temas de conteo vistos (algunos de esos ejemplos los incluímos aquí).
En la siguiente entrada veremos otro de los enfoques más importantes en la historia de la probabilidad: la probabilidad clásica, que está basada en el cálculo de cardinalidades. Como con los enfoques pasados, este enfoque puede representarse de manera formal como una medida de probabilidad.
En la entrada pasada vimos dos principios básicos de conteo: el de la suma y el del producto. En particular, el principio del producto tiene aplicaciones más especializadas. Tal es el caso de las permutaciones y las combinaciones. Dada una colección de objetos, es posible extraer una cantidad fija $k$ de ellos y formar arreglos de tamaño $k$. De estos arreglos puede o no importarnos el orden de los objetos que los forman. Esto da lugar al concepto que veremos en esta entrada: las permutaciones.
Motivación
Comenzaremos con el concepto de permutación. Dada una colección de $n$ objetos, es posible extraer $k$ (con $k \leq n$) de ellos para formar un arreglo lineal. Es decir, se acomodan los elementos en una línea. Lo que nos interesa es ver la cantidad de arreglos lineales de tamaño $k$ que pueden obtenerse de una colección de $n$ objetos. Sin embargo, en un arreglo nos importa el orden en el que se acomodan los objetos. Así, dos arreglos lineales con los mismos elementos pero ordenados de diferente manera se consideran como distintos. Por ello, si queremos la cantidad de arreglos lineales ordenados posibles, estas diferencias se toman en cuenta. Comencemos con un ejemplo.
Ejemplo. En un grupo de $10$ estudiantes, se escoge a $5$ de ellos y se sientan en una fila para una fotografía. ¿Cuántos arreglos lineales pueden formarse?
Como mencionamos anteriormente, la palabra arreglo designa una importancia al orden de los elementos. Si $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$, …, $\mathrm{I}$, $\mathrm{J}$ denotan a los $10$ estudiantes, entonces $\mathrm{BCEFI}$, $\mathrm{CEFIB}$ y $\mathrm{ABCFG}$ son tres arreglos lineales distintos. Además, observa que los dos primeros arreglos constan de los mismos $5$ estudiantes, lo que los hace distintos es el orden en el que están acomodados sus elementos.
Ahora, para responder a la pregunta que hicimos, vamos a valernos del principio del producto. Tenemos que considerar las $5$ posiciones (porque estamos tomando $5$ de los $10$ estudiantes que tiene el grupo) y debemos de considerar además cuántos estudiantes hay disponibles para ocupar cada posición.
En la 1ᵃ posición puede ir cualquiera de los $10$ estudiantes. No es posible duplicar a los estudiantes, por lo que las repeticiones no son posibles aquí. Por ello, podemos seleccionar únicamente a alguno de los $9$ estudiantes restantes para ocupar la 2ᵃ posición. Similarmente, ahora nos quedan $8$ estudiantes para ocupar la 3ᵃ posición. Continuamos así hasta llegar a que sólo $6$ estudiantes pueden ocupar la 5ᵃ posición. Así, tenemos un total de $30{,}240$ arreglos posibles de $5$ estudiantes tomados del grupo de $10$.
Permutaciones de objetos distintos
Seguramente ya notaste que en este tipo de problemas surgen productos de enteros consecutivos (observa el ejemplo que acabamos de ver, y el ejemplo de las placas de la entrada anterior). En Álgebra Superior I puede que hayas visto el concepto de factorial. Este concepto permite una escritura más sencilla de las operaciones que aparecen en los problemas de conteo. Por ello, lo incluimos como recordatorio:
Recordatorio. Sea $n \in \mathbb{N}$. Se define el número $n$ factorial (denotado por $n!$) como sigue:
Esto es, al dividir $10!$ entre $5!$ se cancelan los últimos términos de $10!$. Efectivamente, la expresión resultante coincide con lo que obtuvimos en el ejemplo.
Definición 1.18. Dada una colección de $n$ objetos distintos, cualquer arreglo lineal formado con estos objetos es llamado una permutación de la colección.
Por ejemplo, si tenemos las letras $\mathrm{a}$, $\mathrm{b}$ y $\mathrm{c}$, hay $6$ maneras de acomodar (o permutar) estas letras: $\mathrm{abc}$, $\mathrm{acb}$, $\mathrm{bac}$, $\mathrm{bca}$, $\mathrm{cab}$ y $\mathrm{cba}$. Por otro lado, si nos interesa tomar arreglos de $2$ letras, entonces hay $6$ permutaciones de tamaño $2$ de la colección: $\mathrm{ab}$, $\mathrm{ac}$, $\mathrm{ba}$, $\mathrm{bc}$, $\mathrm{ca}$ y $\mathrm{cb}$.
Principio de las permutaciones. Sean $n, r \in \mathbb{N}$ tales que $1 \leq r \leq n$. Si tenemos $n$ objetos distintos, entonces por la regla del producto, el número de permutaciones de tamaño $r$ de los $n$ objetos es
Como mencionamos previamente, aplicamos el principio del producto para determinar el número de permutaciones que pueden hacerse a partir de una colección dada.
Algunas propiedades importantes que observar.
Cuando $r = 0$, $P(n, 0) = 1 = \frac{n!}{(n−0)!}$, por lo que $P(n, r)$ está bien definido incluso para $r = 0$.
Al permutar todos los $n$ objetos de la colección, se tiene $r = n$. Por ello, $P(n,n) = \frac{n!}{0!} = n!$ es el número de permutaciones posibles de todos los objetos de la colección.
Es importante notar que el número de permutaciones de tamaño $r$ de una colección de $n$ objetos es un resultado del principio del producto cuando no permitimos repetición. En consecuencia, $P(n,r)$ es el número de arreglos lineales de tamaño $r$ en los que no se permiten repeticiones. Sin embargo, cuando sí permitimos las repeticiones, por el principio del producto hay $n^{r}$ arreglos lineales posibles.
Ejemplo. El número de permutaciones de las letras en la palabra $\mathrm{CARMESI}$ es $7!$, pues todas las letras son distintas entre sí. Si queremos formar permutaciones de tamaño $4$, entonces el número de permutaciones de tamaño $4$ es $P(7,4) = \frac{7!}{(7 − 4)!} = \frac{7!}{3!} = 840$. Por otro lado, si permitimos repeticiones de letras, entonces el número de cadenas de $11$ letras que podemos formar es $7^{11} = 1{,}977{,}326{,}743$.
Permutaciones con objetos repetidos
Ejemplo. ¿Qué pasa cuando nuestra colección tiene objetos repetidos o indistinguibles? Por ejemplo, ¿cuál es el número de permutaciones de las $4$ letras en la palabra $\mathrm{PALA}$? En este caso, la letra $\mathrm{A}$ se repite. Veamos cómo se ven todas las permutaciones de estas letras.
Tabla de Arreglos
$\mathrm{A \, A \, L \, P}$
$\mathrm{A_{1} \, A_{2} \, L \, P}$
$\mathrm{A_{2} \, A_{1} \, L \, P}$
$\mathrm{A \, A \, P \, L}$
$\mathrm{A_{1} \, A_{2} \, P \, L}$
$\mathrm{A_{2} \, A_{1} \, P \, L}$
$\mathrm{A \, L \, A \, P}$
$\mathrm{A_{1} \, L \, A_{2} \, P}$
$\mathrm{A_{2} \, L \, A_{1} \, P}$
$\mathrm{A L \, P \, A}$
$\mathrm{A_{1} \, L \, P \, A_{2}}$
$\mathrm{A_{2} \, L \, P \, A_{1}}$
$\mathrm{A \, P \, A \, L}$
$\mathrm{A_{1} \, P \, A_{2} \, L}$
$\mathrm{A_{2} \, P \, A_{1} \, L}$
$\mathrm{A \, P \, L \, A}$
$\mathrm{A_{1} \, P \, L \, A_{2}}$
$\mathrm{A_{2} \, P \, L \, A_{1}}$
$\mathrm{L \, A \, A \, P}$
$\mathrm{L \, A_{1} \, A_{2} \, P}$
$\mathrm{L \, A_{2} \, A_{1} \, P}$
$\mathrm{L \, A \, P \, A}$
$\mathrm{L \, A_{1} \, P \, A_{2}}$
$\mathrm{L \, A_{2} \, P \, A_{1}}$
$\mathrm{L \, P \, A \, A}$
$\mathrm{L \, P \, A_{1} \, A_{2}}$
$\mathrm{L \, P \, A_{2} \, A_{1}}$
$\mathrm{P \, A \, A \, L}$
$\mathrm{P \, A_{1} \, A _{2}\, L}$
$\mathrm{P \, A_{2} \, A _{1}\, L}$
$\mathrm{P \, A \, L \, A}$
$\mathrm{P \, A_{1} \, L \, A_{2}}$
$\mathrm{P \, A_{2} \, L \, A_{1}}$
$\mathrm{P \, L \, A \, A}$
$\mathrm{P \, L \, A_{1} \, A_{2}}$
$\mathrm{P \, L \, A_{2} \, A_{1}}$
(a)
(b)
En la tabla de la izquierda (a) pusimos todos los arreglos distintos que se pueden formar con las letras que tenemos. Por otro lado, si distinguimos a las dos letras $\mathrm{A}$ como $\mathrm{A_{1}}$ y $\mathrm{A_{2}}$, nuestra colección se vuelve una colección de objetos distintos. Así, en la tabla de la derecha (b) pusimos todos los arreglos con las letras de la palabra $\mathrm{PA_{1}LA_{2}}$. En este caso sí sabemos calcular el número de permutaciones posibles, es $P(4,4) = 4! = 24$. La tabla revela que para cada arreglo en el que las $\mathrm{A}$’s son indistinguibles le corresponden dos permutaciones con $\mathrm{A}$’s distintas. En consecuencia,
\begin{align*}
2 \cdot (\text{Arreglos distintos con las letras $\mathrm{P}$, $\mathrm{A}$, $\mathrm{L}$, $\mathrm{A}$}) = (\text{Permutaciones de los simbolos $\mathrm{P}$, $\mathrm{A_{1}}$, $\mathrm{L}$, $\mathrm{A_{2}}$}),
\end{align*}
por lo que la respuesta a nuestra pregunta original de encontrar todas las permutaciones de las $4$ letras en la palabra $\mathrm{PALA}$ es $\frac{4!}{2} = 12$.
Ejemplo. Usando la misma idea que desarrollamos en el ejemplo anterior, considera ahora las permutaciones de las $9$ letras de la palabra $\mathrm{COCODRILO}$.
Primero, observa que hay $3! = 6$ maneras de acomodar a las $\mathrm{O}$’s distinguidas por cada arreglo en el que las $\mathrm{O}$’s no están distinguidas. Por ejemplo, observa la siguiente tabla:
Tabla de arreglos
$\mathrm{C \, O \, C \, O \, D \, R \, I \, L \, O}$
$\mathrm{C \, O_{1} \, C \, O_{2} \, D \, R \, I \, L \, O_{3}}$
$\mathrm{C \, O_{1} \, C \, O_{3} \, D \, R \, I \, L \, O_{2}}$
$\mathrm{C \, O_{2} \, C \, O_{1} \, D \, R \, I \, L \, O_{3}}$
$\mathrm{C \, O_{2} \, C \, O_{3} \, D \, R \, I \, L \, O_{1}}$
$\mathrm{C \, O_{3} \, C \, O_{1} \, D \, R \, I \, L \, O_{2}}$
$\mathrm{C \, O_{3} \, C \, O_{2} \, D \, R \, I \, L \, O_{1}}$
(a) Arreglo sin distinguir las $\mathrm{O}$’s.
(b) Arreglos distinguendo a las tres letras $\mathrm{O}$.
Por cada permutación de las letras en la palabra $\mathrm{COCODRILO}$ sin distinguir a las $\mathrm{O}$’s, hay $3$ espacios ocupados por letras $\mathrm{O}$. Por ello, al distinguir a cada una, estamos permutando esas $3$ $\mathrm{O}$’s, que pueden acomodarse de $P(3,3) = 3! = 6$ maneras. Por otro lado, lo mismo pasa con las $\mathrm{C}$’s. En este caso, hay $2!$ maneras de acomodar las $\mathrm{C}$’s distinguidas por cada arreglo sin distinguir las $\mathrm{C}$’s. Por lo tanto, se tiene que
\begin{align*}
(3!)(2!)(\text{Arreglos distintos con las letras en $\mathrm{COCODRILO}$}) = (\text{Permutaciones de los simbolos $\mathrm{C}_{2}$, $\mathrm{O_{1}}$, $\mathrm{C}_{2}$, $\mathrm{O_{2}}$, $\mathrm{D}$, $\mathrm{R}$, $\mathrm{I}$, $\mathrm{L}$, $\mathrm{O_{3}}$}),
\end{align*}
así que el número de arreglos distintos de las $9$ letras en $\mathrm{COCODRILO}$ es $\frac{9!}{(3!)(2!)} = 30{,}240$.
Podemos enunciar un principio general para arreglos con objetos que se repiten siguiendo la idea desarrollada en los últimos ejemplos.
Permutaciones con objetos repetidos. Si tenemos una colección de $n$ objetos y dentro de esta colección tenemos $n_{1}$ objetos indistinguibles de un $1$er tipo, $n_{2}$ objetos indistinguibles de un $2$do tipo, …, y $n_{r}$ objetos indistinguibles de un $r$-ésimo tipo, de tal manera que
\[ n_{1} + n_{2} + \cdots + n_{r} = n, \]
entonces la cantidad de permutaciones de los $n$ objetos dados es
\[\frac{n!}{(n_{1}!)(n_{2}!) \cdots (n_{r}!)}. \]
Este valor es conocido como el coeficiente multinomial de $n_{1}$, $n_{2}$, …, $n_{r}$.
Ejemplo. La ciudad de $\mathrm{CONSTANTINOPLA}$ fue la ciudad capital del imperio bizantino entre los años 395 y 1204. Podemos aplicar el último principio de conteo que desarrollamos para encontrar la cantidad de permutaciones de las letras en la palabra $\mathrm{CONSTANTINOPLA}$.
Para ello, primero hay que encontrar cuántas letras distintas tiene. Observa que en total tiene $9$ letras distintas. En consecuencia, podemos pensar de cada letra distinta como un tipo de objeto. Así, tenemos $9$ tipos de objetos en la colección, y hay que contar cuántos objetos de cada tipo hay. Esto lo podemos ver en la siguiente tabla.
Tipo
Letra
Número de letras de ese tipo
$1$
$\mathrm{A}$
$n_{1} = 2$
$2$
$\mathrm{C}$
$n_{2} = 1$
$3$
$\mathrm{I}$
$n_{3} = 1$
$4$
$\mathrm{L}$
$n_{4} = 1$
$5$
$\mathrm{N}$
$n_{5} = 3$
$6$
$\mathrm{O}$
$n_{6} = 2$
$7$
$\mathrm{P}$
$n_{7} = 1$
$8$
$\mathrm{S}$
$n_{8} = 1$
$9$
$\mathrm{T}$
$n_{9} = 2$
Además, el número de letras en $\mathrm{CONSTANTINOPLA}$ es $14$, precisamente el resultado de sumar todos los $n_{i}$. Así, obtenemos que la cantidad de premutaciones posibles de las letras en $\mathrm{CONSTANTINOPLA}$ es
Otra pregunta que podemos resolver es, ¿cuántas permutaciones tienen a las $3$ $\mathrm{N}$’s juntas? Para verlo, podemos pensar en que la cadena de letras $\mathrm{NNN}$ es un solo símbolo, y partir de la colección de símbolos $\mathrm{A}$, $\mathrm{A}$, $\mathrm{C}$, $\mathrm{I}$, $\mathrm{L}$, $\mathrm{NNN}$ (como un solo símbolo), $\mathrm{O}$, $\mathrm{O}$, $\mathrm{P}$, $\mathrm{S}$, $\mathrm{T}$, $\mathrm{T}$, y hacer lo mismo. Así, el número de permutaciones que tiene a las $3$ $\mathrm{N}$’s juntas es
Los siguientes ejercicios son opcionales. Es decir, no formarán parte de tu calificación. Sin embargo, te recomiendo resolverlos para que desarrolles tu dominio de los conceptos abordados en esta entrada.
¿Cuántas permutaciones de los dígitos $0$, $1$, $2$, …, $9$ hay cuyo primer dígito es $3$ o cuyo último dígito es $7$?
Encuentra el número de permutaciones de la palabra $\mathrm{MISSISSIPPI}$.
¿Cuántas cadenas de $13$ símbolos pueden hacerse con $6$ estrellas $*$ y $7$ barras $|$? Por ejemplo:\[ |*|*|***|*|||, \qquad ******|||||||, \qquad |*|*|*|*|*|*|. \]
Más adelante…
En la siguiente entrada continuaremos con nuestro estudio de los principios de conteo. El siguiente concepto será el de combinación, que se deriva del concepto de permutación, siendo la combinación un concepto un poco más especializado.
Por otro lado, el concepto de permutación con objetos repetidos te será de utilidad en el curso de Probabilidad II para algo que se conoce como la distribución multinomial. Cuando veamos lo que son las variables aleatorias y las funciones de distribución te quedará claro a qué nos referimos por «distribución multinomial».
En la entrada anterior abordamos el enfoque frecuentista de la probabilidad. El siguiente enfoque que veremos requiere de algunas herramientas adicionales. Por ello, el propósito de esta sección es hacer todos los preparativos para estudiar la siguiente medida de probabilidad importante: la probabilidad clásica. Este último enfoque se utiliza para el caso en el que $\Omega$, el espacio muestral, es finito, y se basa en la cardinalidad de $\Omega$ y la de sus subconjuntos. En consecuencia, es necesario que sepas contar la cantidad de elementos que tiene cualquier subconjunto de $\Omega$ que se te pida.
No demostraremos la validez de las propiedades para conjuntos en esta entrada, pues se trata de propiedades de conjuntos finitos. Por ello, puedes consultar nuestras notas de Álgebra Superior I en caso de que las necesites. Esta parte del curso está basada principalmente en el primer capítulo del libro Discrete and Combinatorial Mathematics: An Applied Introduction (5ᵃ edición) de Ralph P. Grimaldi.
El principio de conteo de la suma
Comenzaremos enunciando algunos principios de conteo asociados a la realización de tareas. Estos principios pueden expresarse en términos de cardinalidades de conjuntos.
Principio de la suma. Si una tarea puede realizarse de $m$ formas distintas, y otra tarea puede realizarse de $n$ formas distintas, y las dos tareas no se pueden hacer simultáneamente, entonces se puede realizar alguna de las dos tareas de $m + n$ maneras distintas.
En términos de conjuntos. Si $A$, $B$ son conjuntos finitos tales que $A \cap B = \emptyset$, entonces
\[ | A \cup B | = |A| + |B|. \]
Donde $|A|$ es la cardinalidad (número de elementos) del conjunto $A$.
Ejemplo. En la biblioteca de la Facultad de Ciencias hay $25$ libros sobre probabilidad y $15$ libros sobre álgebra moderna. Así, por el principio de la suma, un alumno de la Facultad de Ciencias puede elegir de entre $25 + 15 = 40$ libros para aprender sobre cualquiera de estos dos temas.
El principio de la suma puede extenderse a más de dos tareas, siempre y cuando se cumpla que ningún par de tareas pueda ocurrir simultáneamente. En términos de conjuntos, se tiene que para cualesquiera $A_{1}$, $A_{2}$, …, $A_{k}$ conjuntos que son ajenos dos a dos. Entonces se cumple que
Precisamente, que los conjuntos sean ajenos dos a dos se interpreta como que ningún par de tareas puede realizarse simultáneamente.
Ejemplo. En la sección de ciencias de la computación de la biblioteca de la Facultad de Ciencias de la UNAM hay $7$ libros sobre C++, $6$ libros sobre Java, y $5$ libros sobre Python. En consecuencia, por el principio de la suma, una alumna de la facultad de ciencias tiene $7+6+5=18$ libros a elegir para comenzar a aprender algún lenguaje de programación.
También podemos precisar qué ocurre cuando $A$ y $B$ son finitos y no son ajenos. Primero, veamos cuando $B \subseteq A$. Como $B \subseteq A$, se cumple que $A = B \cup (A \smallsetminus B)$. Observa que $B$ y $A \smallsetminus B$ son conjuntos ajenos, por lo que
Y como la cardinalidad de un conjunto finito es un número natural, se tiene que $|B| \leq |A|$. En conclusión, si $A \subseteq B$, entonces $|B| \leq |A|$. Ahora, sabemos que para cualesquiera conjuntos finitos $A$ y $B$, los conjuntos $A$ y $B \smallsetminus A$ son ajenos, y que $A \cup B = A \cup (B \smallsetminus A)$, por lo que
En conclusión, la cardinalidad es subaditiva. De hecho, esta última propiedad se cumple para cualquier $n \in \mathbb{N}^{+}$ y cualesquiera $A_{1}$, $A_{2}$, …, $A_{n}$ conjuntos finitos:
Ejemplo. Una profesora de la facultad de ciencias tiene $8$ libros sobre Probabilidad en su colección, mientras que uno de sus colegas tiene $5$. Si denotamos por $m$ al número de libros diferentes sobre Probabilidad que tienen en su posesión, se cumple que
\[ 8 \leq m \leq 13, \]
pues $m$ será $8$ si el colega de la profesora tiene los mismos libros que ella (y así, el número de libros distintos que tienen en su posesión es $8$). Por otro lado, por el principio de la suma, $m$ puede tomar un valor máximo de $8 + 5 = 13$ en el caso de que los libros de la profesora y de su colega son todos distintos.
En la entrada de propiedades de una medida de probabilidad vimos un resultado conocido como el principio de inclusión-exclusión. Resulta que este principio es cierto también para la cardinalidad de conjuntos finitos. Es decir, que para cualesquiera $A$ y $B$ conjuntos finitos se cumple que
\[ |A \cup B| = |A| + |B|− |A \cap B|. \]
Más aún, para cualquier $n \in \mathbb{N}^{+}$ y cualesquiera $A_{1}$, $A_{2}$, …, $A_{n}$ conjuntos finitos se cumple que
Ejemplo. Le pedimos a tres aficionados al rock progresivo que nos dijeran sus $5$ bandas favoritas de este género musical. Sus listas son las siguientes:
Aficionado 1 ($A_{1}$)
Pink Floyd.
Genesis.
Marillion.
Rush.
Riverside.
Aficionado 2 ($A_{2}$)
King Crimson.
Yes.
Genesis.
Rush.
Pink Floyd.
Aficionado 3 ($A_{3}$)
Jethro Tull.
King Crimson.
Änglagård.
Anekdoten.
Yes.
Si decides escoger una banda de las que mencionaron estas tres personas, ¿cuántas opciones distintas existen? En otras palabras, ¿cuál es la cardinalidad de $A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3}$? Para verlo, podemos valernos del principio de inclusión-exclusión. Primero, veamos los elementos que tienen en común las listas al compararlas dos a dos:
$A_{1} \cap A_{2}$
Pink Floyd.
Genesis.
Rush.
$A_{1} \cap A_{3}$
No tienen elementos en común.
$A_{2} \cap A_{3}$
King Crimson.
Yes.
En consecuencia, $|A_{1} \cap A_{2}| = 3$, $|A_{1} \cap A_{3}| = 0$ y $|A_{2} \cap A_{3}| = 2$. Luego, observa que no hay elementos en común entre las tres listas, por lo que $|A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3}| = 0$. Entonces tenemos que
Por lo tanto, existen $10$ opciones distintas a elegir entre las bandas que mencionaron las tres personas.
El principio de conteo del producto
Ahora, ¿qué pasa cuando tenemos dos tareas y queremos hacerlas de forma consecutiva, en orden? Por ejemplo, imagina que tienes $3$ camisas distintas y $4$ pantalones distintos. ¿De cuántas maneras posibles puedes ponerte primero una camisa y luego un pantalón? Por cada una de las $3$ de camisas habrá $4$ pantalones distintos a escoger.
Figura. Figura que ilustra las maneras posibles de ponerte primero una de las $3$ camisas y luego uno de los $4$ pantalones.
En consecuencia, a la primera camisa le corresponden $4$ pantalones, a la segunda también, y a la tercera lo mismo. Por ello, el número de maneras posibles de ponerte primero una camisa y luego un pantalón serían $4 + 4 + 4 = 3 \cdot 4 = 12$.
Podemos verlo en términos de conjuntos. Sean $C = \{ c_{1}, c_{2}, c_{3} \}$ el conjunto de las camisas y $P = \{ p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4} \}$ el conjunto de los pantalones. Podemos representar la idea de tomar primero una camisa y luego un pantalón a través del producto cartesiano de estos dos conjuntos:
observa que cada par ordenado representa cada una de las combinaciones de camisa y pantalón que puedes escoger. Por ello, $|C \times D|$ es el número total de combinaciones de camisa y pantalón posibles, que resulta ser $|C \times D| = |C||D| = 3 \cdot 4 = 12$. Además, observa que $C \times D$ representa precisamente la idea de que primero se escoge una camisa, y en segundo lugar se escoge el pantalón. Por otro lado, el conjunto $D \times C$ representa la idea de escoger primero el pantalón y después la camisa. Observa que esto no afecta el número total de combinaciones posibles.
La discusión anterior da lugar a nuestro segundo principio básico de conteo.
Principio del producto. Si una tarea puede dividirse en dos etapas y hay $m$ resultados posibles para la primera etapa y para cada una de estas etapas hay $n$ resultados posibles para la segunda etapa, entonces la tarea puede ser realizada, en el orden acordado, de $m n$ maneras distintas.
En términos de conjuntos. Para cualesquiera $A$ y $B$ conjuntos finitos se cumple que
\[ |A \times B| = |A||B|. \]
Ejemplo. Se lanzan dos dados distintos sobre una mesa. El primero tiene $6$ caras, y el segundo tiene $8$ caras. En consecuencia, esta actividad tiene $6 \cdot 8 = 48$ resultados posibles.
Ejemplo. El principio del producto puede extenderse a más de dos etapas en una misma tarea. Por ejemplo, considera la manufactura de placas para automóviles que consisten de $2$ letras seguidas de $4$ dígitos.
Figura. Ejemplo de placa de acuerdo con lo anterior. Esta placa consiste de la cadena de letras y dígitos $\textrm{A}\textrm{A}0000$.
Si no ponemos restricciones a la combinación de caracteres que lleva cada placa, entonces hay $26 \cdot 26 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 6{,}760{,}000$ placas posibles, pues hay $26$ letras en el alfabeto (sin considerar a la ‘ñ’) y $10$ dígitos del $0$ al $9$.
Podemos restringir las combinaciones que admitimos en una placa. Si no permitimos que tenga letras repetidas, entonces la parte que corresponde a las letras tiene $26 \cdot 25$ combinaciones posibles. ¿Por qué $26 \cdot 25$ y no $26 \cdot 26$ como en el caso anterior? Precisamente porque al escoger la primera letra, la segunda no puede ser la misma, por lo que sólamente se puede escoger alguna de las $25$ restantes, que son distintas de la que ya se escogió. En consecuencia, hay $26 \cdot 25 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 6{,}500{,}000$ combinaciones de letras y dígitos en los que no se repiten las letras.
Por otro lado, ¿cuántas placas hay sin dígitos repetidos? En este caso, sí permitimos que las letras se repitan, así que la parte correspondiente a las letras es $26 \cdot 26$. Por otro lado, en los dígitos, queremos que no haya dígitos repetidos, así que el número de cadenas de dígitos admisibles es $10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7$. Esto se debe a que para el primer dígito se tienen $10$ opciones para escoger. Luego, al haber fijado el primero, el segundo está limitado a no ser el mismo que el primero, por lo que se puede escoger alguno de $9$ dígitos restantes. Después, el tercer dígito debe de ser distinto de los dos primeros, por lo que se escoge alguno de $8$ dígitos restantes. Finalmente, el cuarto dígito debe de ser distinto de los otros tres, por lo que se debe de escoger alguno de $7$ dígitos que quedan. En conclusión, hay $26 \cdot 26 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 3{,}407{,}040$ placas en las que los dígitos son todos distintos.
Por último, ¿cuántas placas hay sin repeticiones? Es decir, que ninguno de los símbolos (letras o dígitos) se repite. En este caso, se tienen $26 \cdot 25 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 3{,}276{,}000$ placas posibles en las que no hay repeticiones de ningún tipo.
Ejemplo. Para guardar información, la memoria principal de una computadora contiene una colección grande de circuitos, cada uno de los cuales es capaz de almacenar un bit. Esto es, alguno de los dígitos binarios (binary digits) $0$ o $1$. Toda la información que se almacena en una computadora consiste de colecciones muy grandes de bits. Por ejemplo, los colores y las imágenes son comúnmente almacenados en forma de arreglos de bits. En el caso de las imágenes, formatos como el PNG (Portable Network Graphics) y el BMP (bitmap, «mapa de bits») son ejemplos de formatos de imagen que consisten de matrices de pequeños cuadraditos de colores llamados pixeles.
Figura. Ejemplo de una imagen digital, que consiste de una matriz de pixeles. Al hacer zoom se aprecian claramente los pixeles que constituyen a la imagen.
Aunado a esto, cada uno de los pixeles tiene un color, el cual es representado a través de un arreglo de bits. Uno de los modelos de color más utilizados en los dispositivos digitales es el modelo RGB (Red Green Blue), que combina los colores primariosrojo, verdey azulpara obtener otros colores.
Sin embargo, una computadora tiene acceso a una cantidad limitada de espacios de memoria, por lo que no podemos representar todos los colores visibles. Por ello, hacemos lo posible por representar la mayor cantidad posible de colores con los recursos disponibles para la computadora. Antiguamente, las computadoras y las consolas de videojuegos tenían una cantidad muy limitada de recursos. En consecuencia, dedican una cantidad fija de bits al color. Esta cantidad es conocida como la profundidad de color. Por ejemplo, en la siguiente imagen se muestran todos los colores posibles en una profundidad de color de $6$-bits.
Figura. Todos los colores posibles que se obtienen con una profundidad de color de $6$ bits. A cada color primario se le dedican $2$ bits.
A cada color primario se le dedican $2$ bits, es decir, dos «casillas» en las que puede ir un $0$ o un $1$. Así, en cada «casilla» hay $2$ opciones a escoger, por lo que una cadena de $2$ bits tiene $2 \cdot 2 = 4$ combinaciones posibles de $0$’s o $1$’s.
Bit 1
Bit 2
$0$
$0$
$0$
$1$
$1$
$0$
$1$
$1$
En la tabla anterior se ilustran todos los valores que puede tomar la lista de $2$ bits que se asigna a cada color: $00$, $01$, $10$ y $11$. Estos valores pueden pensarse como cifras en sistema binario. Así, $00_{2}$ es $0$, $01_{2}$ es $1$, $10_{2}$ es $2$ y $11_{2}$ es $3$. A cada color primario le corresponde un par de bits que representa la intensidad de rojo, verde y azul que contiene un color compuesto dado. Estos valores se combinan entre sí de manera aditiva. Por ejemplo, tener los valores $01$ en rojo, $00$ en verde y $10$ en azul resulta en un color morado como se muestra en la siguiente figura.
Figura. La cadena de dígitos $\textcolor{red}{01}\textcolor{green}{00}\textcolor{blue}{10}$ resulta en este color morado.
En conclusión, cuando la profundidad de color es de $6$ bits se tiene un total de $(2^2) \cdot (2^2) \cdot (2^2) = 64$ colores disponibles. Para ilustrar lo limitada que resulta esa cantidad, observa la siguiente imagen.
Figura. Una fotografía del castillo de Lichtenstein. A la derecha se muestra una rendición de la misma fotografía utilizando nuestros $64$ colores disponibles.
Es por esto que las computadoras y consolas de videojuegos más antiguas tienen ese característico estilo de gráficos pixelados, pues sus capacidades de procesamiento eran tan limitadas que debían de limitar la cantidad de colores que podían presentar en la pantalla o televisión.
Para que te des una idea de cuánto ha avanzado la tecnología, prácticamente cualquier computadora y celular en la actualidad tiene una profunidad de color de $24$ bits, con $8$ bits dedicados a cada color primario. Esto es, se tienen disponibles $(2^8) \cdot (2^8) \cdot (2^8) = 16{,}777{,}216$ colores distintos para escoger.
Tarea moral
Los siguientes ejercicios son opcionales. Es decir, no formarán parte de tu calificación. Sin embargo, te recomiendo resolverlos para que desarrolles tu dominio de los conceptos abordados en esta entrada.
En una heladería se venden $7$ sabores de helado distintos. A unas cuadras de distancia, hay otra heladería más grande que vende $12$ sabores de helado.
Asumiendo que los sabores de helado que ofrecen ambas heladerías son todos distintos, ¿cuántos sabores distintos tienes para escoger?
Si no sabes los sabores que ofrecen ambas heladerías, sea $h$ el número de sabores distintos que se ofrecen en ambas heladerías. ¿Entre qué valores se encuentra $h$?
Retoma el ejemplo de las placas con $2$ letras y $4$ dígitos.
Si permitimos repeticiones, ¿cuántas placas tienen únicamente vocales (A, E, I, O, U) y dígitos pares?
Y si no permitimos repeticiones, ¿cuántas placas tienen únicamente vocales (A, E, I, O, U) y dígitos pares?
El SNES (Super Nintendo Entertainment System) es una consola muy antigua que posee una profundidad de color de $15$-bits ($5$ bits para cada color primario). ¿Cuántos colores disponibles tiene esta consola?
Más adelante…
En la siguiente entrada abordaremos otras herramientas de conteo, las permutaciones y las combinaciones. Estos nuevos conceptos son resultados que se derivan a partir del principio del producto. Por ello, es recomendable que te quede bien claro este último principio.
Los dos principios vistos en esta entrada son fundamentales para el estudio de la probabilidad clásica. En particular, el principio del producto será de gran utilidad para calcular la cardinalidad de los espacios muestrales de los experimentos aleatorios que veremos en esta parte.
