Introducción
Esta entrada es la última de la unidad, y la dedicaremos a demostrar uno de los resultados ampliamente usado en el cálculo de límites para los casos donde existen indeterminaciones de los tipos $0/0$ e $\infty/\infty$; este tipo de límites es posible resolverlos mediante de la derivada.
Teorema del Valor Medio Generalizado
Antes de probar la Regla de L’Hôpital, probaremos una generalización del teorema del valor medio, también conocido como teorema del Valor Medio de Cauchy. Para ello, primero revisemos el siguiente teorema.
Teorema. Sean $f,g: [a,b] \to \RR$, tal que $f(a)=g(a)=0$ de tal manera que $g(x) \neq 0$ para $a<x<b$. Si $f$ y $g$ son derivables en $a$ y $g'(a) \neq 0$, entonces el límite de $f/g$ en $a$ existe y es igual a $f'(a)/g'(a)$. Por tanto,
$$\lim_{x \to a^+} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}.$$
Demostración.
Puesto que $f(a) = g(a) = 0$, el cociente $\frac{f(x)}{g(x)}$ para $a<x<b$ puede escribirse como sigue
$$\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)} = \frac{ \frac{f(x)-f(a)}{x-a} }{ \frac{g(x)-g(a)}{x-a} }.$$
Aplicando el límite, tenemos que
$$\lim_{x \to a^+} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim\limits_{x \to a^+} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} }{ \lim\limits_{x \to a^+} \frac{g(x)-g(a)}{x-a} } = \frac{f'(a)}{g'(a)}.$$
$\square$
Teorema del Valor Medio de Cauchy. Sean $f,g: [a,b] \to \RR$, ambas funciones continuas en $[a,b]$ y derivables en $(a,b)$, y supongamos que $g'(x) \neq 0$ para todo $x$ en $(a,b)$. Entonces existe $c$ en $(a,b)$ tal que
$$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}.$$
Demostración.
Notemos que como $g'(x) \neq 0$ para todo $x \in (a,b)$, del teorema de Rolle se sigue que $g(a) \neq g(b)$. Para $x$ en $[a,b]$, definimos
$$h(x) = \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} (g(x)-g(a))-(f(x)-f(a)).$$
De esta forma, se tiene que $h$ es continua en $[a,b]$, derivable en $(a,b)$ y $h(a)=h(b)=0$. Nuevamente, por el teorema de Rolle se sigue que existe un punto $c \in (a,b)$ tal que
$$0 = h'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} g'(c)-f'(c).$$
Puesto que $g'(c) \neq 0$, podemos dividir la expresión anterior entre $g'(c)$, con lo que obtenemos
\begin{gather*}
\frac{0}{g'(c)} =\frac{ \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g'(c)-f'(c) }{g'(c)}. \\ \\
\Rightarrow 0 = \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}-\frac{f'(c)}{g'(c)}. \\ \\
\therefore \frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}.
\end{gather*}
$\square$
Regla de L’Hôpital
Demostraremos la regla de L’Hôpital empleando límites por la derecha, pero los resultados se extienden de forma análoga al límite por la izquierda.
Regla de L’Hôpital. Sean $a$, $b \in \RR$ tales que $a<b$ y sean $f$, $g$ funciones derivables en $(a,b)$ tales que $g'(x) \neq 0$ para todo $x \in (a,b)$. Supongamos que
$$\lim_{x \to a^+} f(x) = 0 = \lim_{x \to a^+} g(x).$$
$i)$ Si $\lim\limits_{x \to a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)} = L \in \RR$, entonces $\lim\limits_{x \to a^+} \frac{f(x)}{g(x)} = L.$
$ii)$ Si $\lim\limits_{x \to a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \infty$, entonces $\lim\limits_{x \to a^+} \frac{f(x)}{g(x)} = \infty.$
De forma análoga, se tiene que si $\lim\limits_{x \to a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)} = – \infty$, entonces $\lim\limits_{x \to a^+} \frac{f(x)}{g(x)} = – \infty.$
Demostración.
Si $a < \alpha < \beta < b$, entonces el teorema de Rolle implica que $g(\beta) \neq g(\alpha)$.
Por el teorema del Valor Medio de Cauchy, existe $u \in (\alpha, \beta)$, tal que
$$\frac{f(\beta)-f(\alpha)}{g(\beta)-g(\alpha)} = \frac{f'(u)}{g'(u)}. \tag{1}$$
$i)$ Por hipótesis, sabemos que $$\lim_{x \to a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)} = L$$
con $L \in \RR$.
Sea $\varepsilon > 0$. entonces existe $c \in (a,b)$ tal que
$$\left| \frac{f'(u)}{g'(u)} – L \right|< \varepsilon \text{ para } u \in (a,c).$$
Usando $(1)$, se tiene que
$$\left| \frac{f(\beta)-f(\alpha)}{g(\beta)-g(\alpha)}-L \right| < \varepsilon \text{ para } a < \alpha < \beta < c.$$
Además, por hipótesis sabemos que $\lim\limits_{\alpha \to a^+} f(\alpha) = 0$ y $\lim\limits_{\alpha \to a^+} g(\alpha) = 0.$ Así, de la expresión anterior se sigue que
$$\left| \frac{f(\beta)}{g(\beta)}-L \right| < \varepsilon \text{ para } \beta \in (a,c).$$
$$\therefore \lim_{x \to a^+} \frac{f(x)}{g(x)} = L.$$
$ii)$ Veremos el caso $\lim\limits_{x \to a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \infty$. El caso $\lim\limits_{x \to a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)} = – \infty$ es análogo. Sea $M>0$, Como $$\lim_{x \to a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \infty.$$
Entonces existe $c \in (a,b)$ tal que
$$\frac{f'(u)}{g'(u)} >M \text{ para } u \in (a,c).$$
Nuevamente, por $(1)$ se tiene que
$$\frac{f(\beta)-f(\alpha)}{g(\beta)-g(\alpha)} > M \text{ para } a < \alpha < \beta < c.$$
Además, por hipótesis sabemos que $\lim\limits_{\alpha \to a^+} f(\alpha) = 0$ y $\lim\limits_{\alpha \to a^+} g(\alpha) = 0.$ Así, de la expresión anterior se sigue que
$$\frac{f(\beta)}{g(\beta)} > M \text{ para } \beta \in (a,c).$$
$$\therefore \lim_{x \to a^+} \frac{f(x)}{g(x)} = \infty.$$
$\square$
Hay diversas extensiones de la regla de L’Hôpital. En particular, enunciaremos el siguiente.
Teorema. Sean $a$, $b \in \RR$ tal que $a < b$ y sean $f$, $g$ funciones derivables en $(a,b)$ tales que $g'(x) \neq 0$ para todo $x \in (a,b).$ Supongamos que
$$\lim_{x \to a^+} f(x) = \pm \infty = \lim_{x \to a^+} g(x) $$
$i)$ Si $\lim\limits_{x \to a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)} = L \in \RR$, entonces $\lim\limits_{x \to a^+} \frac{f(x)}{g(x)} = L.$
$ii)$ Si $\lim\limits_{x \to a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \infty$, entonces $\lim\limits_{x \to a^+} \frac{f(x)}{g(x)} = \infty.$
De forma análoga, se tiene que si $\lim\limits_{x \to a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)} = – \infty$, entonces $\lim\limits_{x \to a^+} \frac{f(x)}{g(x)} = – \infty.$
Procederemos ahora a revisar algunos ejemplos de límite donde aplicaremos la regla de L’Hôpital.
Ejemplo 1. Calcula el límite $$\lim_{x \to 1} \frac{ln(x)}{x-1}.$$
Sabemos que las funciones $f(x) = ln(x)$ y $g(x) = x-1$ son derivables en todo su dominio, en particular podemos considerar el intervalo $(0, b)$ con $b > 1$ para ambas. Y notemos que si $g(x) = x-1$, entonces $g'(x) = 1$. Por lo tanto, para todo $x \in (0,b)$ se tiene que $g'(x) \neq 0.$
Además como ambas funciones son continuas, se tiene que
$$\lim_{x \to 1} ln(x) = 0 \qquad \text{y} \qquad \lim_{x \to 1} x-1= 0.$$
Aplicando la Regla de $L’Hôpital$, tenemos
\begin{align*}
\lim_{x \to 1} \frac{ln(x)}{x-1} & = \lim_{x \to 1} \frac{(ln(x))’}{(x-1)’} \\ \\
& = \lim_{x \to 1} \frac{1/x}{1} \\ \\
& = 1.
\end{align*}
Ejemplo 2. Calcula el límite $$\lim_{x \to 0} \frac{ e^x-1}{x}.$$
Sabemos que las funciones $f(x) = e^x-1$ y $g(x) = x$ son derivables en todo su dominio, en particular podemos considerar el intervalo $(a, b)$ con $a < 0$ y $b > 0$ para ambas. Y notemos que si $g(x) = x$, entonces $g'(x) =1$. Por lo tanto, para todo $x \in (a,b)$ se tiene que $g'(x) \neq 0.$
Además como ambas funciones son continuas, se tiene que
$$\lim_{x \to 0} e^x – 1= 0 \qquad \text{y} \qquad \lim_{x \to 0} x= 0.$$
Aplicando la Regla de $L’Hôpital$, tenemos
\begin{align*}
\lim_{x \to 0} \frac{ e^x-1}{x} & = \lim_{x \to 0} \frac{(e^x-1)’}{(x)’} \\ \\
& = \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{1} \\ \\
& = e^0 \\ \\
&= 1.
\end{align*}
Más adelante…
En la siguiente unidad estudiaremos las aplicaciones prácticas de la derivada con lo cual podrás relacionar toda la abstracción revisada con la «realidad». Se revisará la manera en que se puede usar el cálculo en ámbitos diversos, desde física hasta economía.
Tarea moral
A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.
- Sea $f(x) = x^2sen(1/x)$ para $x \neq 0$ y $f(0) = 0$. Sea $g(x) = sen(x)$ para $x \in \RR$. Demuestra que $\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$ pero que el límite $\lim\limits_{x \to 0} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ no existe.
- Evalúa los límites donde el cociente está definido en el dominio $(0, \pi/2)$
- $$\lim_{x \to 0^+} \frac{ln(x+1)}{sen(x)}.$$
- $$\lim_{x \to 0^+} \frac{tan(x)}{x}.$$
- $$\lim_{x \to 0^+} \left( \frac{1}{x}-\frac{1}{sen(x)} \right).$$
- $$\lim_{x \to 0^+} \frac{ln(cos(x))}{x}.$$
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Agradecimientos
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»