Introducción

En la sección anterior vimos las series de Fourier para las funciones pares e impares, en esta sección veremos la forma exponencial de las series de Fourier por la fórmula reducida del matemático Jonhard Euler, aunque esta fórmula está dada en un plano complejo, se puede entender a este nivel utilizando unas cuantas propiedades sencillas de los números complejos.

Forma exponencial de las series de Fourier

La fórmula de Euler o relación de Euler esta dada como:

$$e^{ix}=\cos (x)+i\sin (x)$$

Donde $i$ es un número complejo o imaginario, aunque esta identidad se deducirá en el curso de variable compleja. De esta fórmula se puede deducir fácilmente las siguientes relaciones:

$$\cos (x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$$

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \sin (x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\end{array}$$

De los coeficientes de Fourier, observamos los términos de las funciones trigonométricas seno y coseno y sustituimos en las fórmulas anteriores como sigue:

$$\cos (\frac{2\pi n}{T}x)=\frac{e^{\frac{2\pi n}{T}ix}+e^{-\frac{2\pi n}{T}ix}}{2}$$

$$y$$

$$\sin (\frac{2\pi n}{T}x)=\frac{e^{\frac{2\pi n}{T}ix}-e^{-\frac{2\pi n}{T}ix}}{2i}$$

Así tenemos que:

$$a_n\cos (\frac{2\pi n}{T}x)+b_n\sin (\frac{2\pi n}{T}x)=a_n\left[\frac{e^{\frac{2\pi n}{T}ix}+e^{-\frac{2\pi n}{T}ix}}{2}\right]+b_n\left[\frac{e^{\frac{2\pi n}{T}ix}-e^{-\frac{2\pi n}{T}ix}}{2i}\right]$$

Existe una propiedad en los números complejos que nos dice que:

$$i=-\frac{1}{i}$$

Aunque esta demostración se verá en el curso de variable compleja, utilizaremos solo esta propiedad de los números complejos, aplicando lo anterior en el segundo término como sigue:

$$=a_n\left[\frac{e^{\frac{2\pi n}{T}ix}+e^{-\frac{2\pi n}{T}ix}}{2}\right]-i{b}_n\left[\frac{e^{\frac{2\pi n}{T}ix}-e^{-\frac{2\pi n}{T}ix}}{2}\right]$$

$$=\frac{a_n{e}^{\frac{2\pi n}{T}ix}+a_n{e}^{-\frac{2\pi n}{T}ix}}{2}+\frac{-i{b}_n{e}^{\frac{2\pi n}{T}ix}+i{b}_n{e}^{-\frac{2\pi n}{T}ix}}{2}$$

$$=\frac{1}{2}[a_n{e}^{\frac{2\pi n}{T}ix}-i{b}_n{e}^{\frac{2\pi n}{T}ix}+a_n{e}^{-\frac{2\pi n}{T}ix}+i{b}_n{e}^{-\frac{2\pi n}{T}ix}]$$

$$=\frac{1}{2}[(a_n-i{b}_n)e^{\frac{2\pi n}{T}ix}+(a_n+b_n)e^{-\frac{2\pi n}{T}ix}]$$

Sea $c_n=\frac{1}{2}(a_n-i{b}_n)$

Su respectivo complejo conjugado ${\overline{c}}_n$ es aquel que intercambia el signo del número complejo, es decir: ${\overline{c}}_n=\frac{1}{2}(a_n+i{b}_n)$

Entonces la serie de Fourier en la forma exponencial de $f(x)$ está dada como:

$$f(x)=C_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(c_n{e}^{\frac{2\pi n}{T}ix}-{\overline{c}}_n{e}^{-\frac{2\pi n}{T}ix})$$

Cuyo coeficientes complejos están dados como

$$c_n=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}f(x)e^{-\frac{2\pi n}{T}ix}dx$$

$$y$$

$${\overline{c}}_n=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}f(x)e^{\frac{2\pi n}{T}ix}dx$$

Con $nϵ\mathbb{Z}$

Veamos un ejemplo.

Ejemplo

Aproxime la siguiente función con una serie de Fourier en su forma exponencial.

• $f(x)=\sin (x)$ en el intervalo $[-\pi ,\pi ]$

Vemos que el periodo está dado como $T=2\pi$, ya que se repite en un intervalo de $-\pi$ a $\pi$ Calculemos los coeficientes complejos como sigue:

$$c_0=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\sin (x)e^{0}dx=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\sin (x)dx=0$$

$$\therefore c_0=0$$

$$c_n=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\sin (x)e^{-\frac{2\pi n}{2\pi }ix}dx=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\sin (x)e^{-nix}dx$$

Resolvemos esta integral con el método de integración por partes el cual ya habíamos visto, tomamos como cambio de variable a $u=-inx$, por lo que:

$$=\frac{1}{2\pi }\left(\frac{e^{-inx}(\cos (x)+in\sin (x)}{n^2-1}\right){|}_{-\pi }^{\pi }=\frac{1}{2\pi }(\frac{e^{-in(\pi )}(\cos (\pi )+in\sin (\pi ))}{n^2-1}-\frac{e^{-in(-\pi )}(\cos (-\pi )+in\sin (-\pi ))}{n^2-1})$$

$$=\frac{1}{2\pi }(\frac{e^{-in\pi }(-1)}{n^2-1}-\frac{e^{in\pi }(-1)}{n^2-1})=\frac{1}{2\pi }\frac{1}{n^2-1}(-e^{-in\pi }+e^{in\pi })$$

Podemos usar la relación $(1)$ para reescribir el resultado anterior como:

$$c_n=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\sin (x)e^{-nix}dx=\frac{1}{2\pi }\left(\frac{-e^{-in\pi }+e^{in\pi }}{n^2-1}\right)=\frac{1}{\pi }\left(\frac{i\sin (\pi n)}{n^2-1}\right)$$

Ahora para los coeficientes ${\overline{c}}_n$, se tiene que:

$${\overline{c}}_n=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\sin (x)e^{nix}dx$$

Por lo que solo cambia en el signo de la exponencial, lo cual se obtiene que la integral es:

$$\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\sin (x)e^{nix}dx==\frac{1}{2\pi }\left(\frac{e^{inx}(\cos (x)-in\sin (x)}{n^2-1}\right){|}_{-\pi }^{\pi }$$

Como $\sin (\pm \pi )=0$, por lo que el resultado de la integral solo cambia en el signo:

$${\overline{c}}_n=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\sin (x)e^{nix}dx=\frac{1}{\pi }\left(\frac{i\sin (\pi n)}{1-n^2}\right)$$

Por tanto, la serie de Fourier en términos exponenciales es:

$$f(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}[\frac{1}{\pi }\left(\frac{i\sin (\pi n)}{n^2-1}\right)e^{inx}-\frac{1}{\pi }\left(\frac{i\sin (\pi n)}{1-n^2}\right)e^{-inx}]$$

$$=\frac{1}{\pi }\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2i\sin (\pi n)}{n^2-1}(e^{inx}+e^{-inx})=\frac{1}{\pi }\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2isen(\pi n)}{n^2-1}2\cos (nx)=\frac{4}{\pi }\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{i\sin (\pi n)}{n^2-1}\cos (nx)$$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

• Verifique utilizando la relación de Euler las siguientes relaciones:

$$\cos (x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$$

$$\sin (x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$$

• Aproxime las siguientes funciones con serie de Fourier utilizando la forma exponencial.

1. $f(x)=x$ en el intervalo $[-\pi ,\pi ]$
2. $f(x)=\{\begin{array}{c}2si0\le x<1\\ -2si1\le x\le 2\end{array}$
3. $f(x)=\{\begin{array}{c}-1si-\pi \le x<0\\ 1si0\le x\le \pi \end{array}$

Más adelante…

En esta sección vimos la forma exponencial de las series de Fourier y aunque se vio un poco de variable compleja, realmente se vio las propiedades más básicas de los números complejos, por lo que no se tuvo que recurrir a un curso de variable compleja, en la siguiente sección veremos las curvas paramétricas así como ejemplo de estos.

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