Cálculo Diferencial e Integral II: Series de Fourier

Introducción

En esta última unidad del curso veremos algunos temas que nos serán útiles en otros cursos, comenzando estudiando las series de Fourier, por lo que empezaremos a ver la definición de las series de Fourier.

Series de Fourier

Habíamos visto que las series de Taylor se pueden utilizar para aproximar a una función $f(x)$ por medio de polinomios, en caso contrario, las series de Fourier utilizan una combinación lineal de funciones $sen(x)$ y $cos(x)$ para aproximar una función $f(x)$ como se muestra en la figura $(1)$, por lo que estas series son muy útiles al analizar funciones periódicas como son señales de radio, corrientes alternas, etc., veamos la siguiente definición.

Figura 1: Aproximación a la función $f(x)$ mediante series de Fourier para valores de $n$ distintas (https://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_Fourier).

Definición. Sea una función $f(x)$ integrable en el intervalo $[x_{0}-\frac{T}{2}, x_{0}+\frac{T}{2}]$, donde $T$ es el periodo de la función, entonces se puede aproximar en series de Fourier a $f(x)$ como:

$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left [a_{n}cos\left ( \frac{2n\pi }{T}x \right )+b_{n}sen\left ( \frac{2n\pi }{T}x \right ) \right ]$$

Donde $n$ toma valores $n=1, 2, 3, …..$.

$a_{0}$, $a_{n}$ y $b_{n}$ se denominan los coeficientes de Fourier que se definen como sigue:

$$a_{0}=\frac{2}{T}\int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)dx$$

$$a_{n}=\frac{2}{T}\int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)cos\left ( \frac{2n\pi }{T}x \right )dx $$

$$b_{n}=\frac{2}{T}\int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)sen\left ( \frac{2n\pi }{T}x \right )dx $$

Como recordatorio, una función periódica es una función $f(x)$ que tiene un patrón que se repite en un dado intervalo $[a, b]$, como por ejemplo, las funciones $sen(x)$ y $cos(x)$ que tienen el mismo periodo $T=2\pi$.

Veamos unos ejemplos de como calcular la serie de Fourier de una función.

Ejemplos

Calcule las series de Fourier de las siguientes funciones en el intervalo dado.

  • $f(x)=x$ para $-\pi < x <\pi$ repitiéndose con periodo $T=2\pi$

En este caso, primero calculamos los coeficientes de Fourier, de la definición tenemos que:

$$a_{0}=\frac{2}{T}\int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)dx=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}xdx=0$$

$$a_{n}=\frac{2}{T}\int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)cos\left ( \frac{2n\pi }{T}x \right )dx=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}xcos\left ( \frac{2n\pi }{2\pi}x \right )dx=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}xcos\left (n x \right )dx$$

Utilizando la integración por partes, el resultado de la integral se tiene que:

$$ \frac{1}{\pi}\int _{-\pi}^{\pi} xcos\left (n x \right )dx=\frac{1}{\pi} \left( \frac{n \pi sen(n \pi)+cos(n \pi)}{n^{2}}-\frac{n (-\pi) sen(n (-\pi))+cos(n (-\pi))}{n^{2}} \right )$$

$$=\frac{1}{\pi} \left ( \frac{n \pi sen(n \pi)+cos(n \pi)-n \pi sen(n \pi)-cos(n \pi)}{n^{2}} \right )=0 $$

$$\therefore a_{n}=0$$

$$b_{n}=\frac{2}{T}\int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)sen\left ( \frac{2n\pi }{T}x \right )dx=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}xsen\left ( \frac{2n\pi }{2\pi}x \right )dx=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}xsen\left (n x \right )dx$$

Utilizando nuevamente la integración por partes, se tiene que:

$$ \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}xsen\left (n x \right )dx =\frac{1}{\pi} \left( \frac{sen(n \pi)-n\pi cos(n \pi)}{n^{2}}-\frac{sen(n (-\pi))-n (-\pi) cos(n (-\pi))}{n^{2}} \right )$$

$$=\frac{1}{\pi} \left ( \frac{sen(n \pi)-n\pi cos(n \pi)+sen(n \pi)-n \pi cos(n \pi)}{n^{2}} \right )=\frac{1}{\pi}\left ( \frac{2sen(n \pi)-2n\pi cos(n \pi)}{n^{2}} \right )$$

Como $n \space \epsilon \space \mathbb{Z} \Rightarrow sen(n \pi)=0$

$$b_{n}= \frac{1}{\pi}\left ( \frac{0-2n\pi cos(n \pi)}{n^{2}} \right )=\frac{-2}{n}cos(n \pi)$$

Por lo que la serie de Fourier de $f(x)$ está dado como:

$$f(x)=-2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{cos(n \pi)}{n}sen(nx)$$

Para $x-\pi \notin 2\pi\mathbb{Z}$.

  • $$f(x)=\left\lbrace\begin{array}{c} 1 \space \space \space si \space \space \space 0 \leq x \leq \pi \\ 2 \space \space \space si \space \space \space \pi < x \leq 2\pi \end{array}\right.$$

Calculamos los coeficientes de Fourier como sigue:

$$a_{0}=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}f(x)dx=\frac{1}{\pi}\left ( \int_{0}^{\pi}1dx+\int_{\pi}^{2\pi}2dx \right )=\frac{3}{2}$$

$$a_{n}=\frac{1}{\pi}\left ( \int_{0}^{\pi}cos(nx)dx+\int_{\pi}^{2\pi}2cos(nx)dx \right )=\frac{1}{\pi}\left ( \left [ \frac{sen(nx)}{n} \right ]\bigg|_{0}^{\pi}+ \left [ \frac{2sen(nx)}{n} \right ]\bigg|_{\pi}^{2\pi}\right )$$

$$=\frac{1}{\pi} \left ( \frac{sen(n \pi)}{n}-\frac{sen(0)}{n}+\frac{2sen(2n\pi)}{n}-\frac{2sen(n \pi)}{n} \right )=0$$

$$\therefore a_{n}=0$$

$$b_{n}=\frac{1}{\pi}\left ( \int_{0}^{\pi}sen(nx)dx+\int_{\pi}^{2\pi}2sen(nx)dx \right )=\frac{1}{\pi}\left ( \left [ -\frac{cos(nx)}{n} \right ]\bigg|_{0}^{\pi}+ \left [ \frac{2cos(nx)}{n} \right ]\bigg|_{\pi}^{2\pi}\right )$$

$$=\frac{1}{\pi} \left ( \frac{-cos(n \pi)}{n}+\frac{cos(0)}{n}+\frac{2cos(2n\pi)}{n}-\frac{2cos(n \pi)}{n} \right )=\frac{cos(n\pi-1)}{n\pi}$$

Vemos en este caso que:

$$b_{1}=-\frac{2}{\pi}$$

$$b_{2}=0$$

$$b_{3}=-\frac{2}{3\pi}$$

$$b_{4}=0$$

$$b_{5}=-\frac{2}{5\pi}$$

Por tanto, la serie de Fourier de la función escalonada es:

$$\frac{3}{4}-\frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty} \left ( sen(x)+\frac{sen(3x)}{3}-+\frac{sen(5x)}{5}+…. \right )$$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.

Aproxime las siguientes funciones con la definición de serie de Fourier.

  1. $$f(x)=1 \space \space \space si \space \space \space 0\leq x \leq 2\pi$$
  2. $$f(x)=\left\lbrace\begin{array}{c} 1 \space \space \space si \space \space \space 0 \leq x \leq \pi \\ 2 \space \space \space si \space \space \space \pi < x \leq 2\pi \end{array}\right.$$
  3. $$f(x)=\left\lbrace\begin{array}{c} x \space \space \space si \space \space \space 0 \leq x \leq \pi \\ x-2\pi \space \space \space si \space \space \space \pi < x \leq 2\pi \end{array}\right.$$
  4. $$f(x)=\left\lbrace\begin{array}{c} x^{2} \space \space \space si \space \space \space 0 \leq x \leq \pi \\ 0 \space \space \space si \space \space \space \pi < x \leq 2\pi \end{array}\right.$$
  5. $$f(x)=e^{x}\space \space \space si \space \space \space 0\leq x \leq 2\pi$$

Más adelante…

En esta sección vimos las series de Fourier y los coeficientes de Fourier que aproximan a una función $f$ en series de combinación lineal de funciones trigonométricas $sen(x)$ y $cos(x)$, en la siguiente sección veremos las series de Fourier de funciones pares e impares.

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