Introducción

En esta última entrada de la unidad veremos un poco sobre la cardinalidad de un conjunto, un par de definiciones para decir cuando un conjunto es infinito o finito y algunos teoremas útiles. Dado que se trata de un tema adicional varios de los teoremas y resultados sólo serán enunciados.

Cardinalidad de un conjunto

Definición (Cardinalidad): Sea $A$ un conjunto. Definimos a la cardinalidad de $|A|$ como una medida que indica el número de elementos en dicho conjunto $A$ y la denotaremos como:
$$|A|.$$

Ejemplo: Sea $A=\{1,2,3,g,y,b\}$ así tenemos que su cardinalidad sería:
$$|A|=6.$$

Definición: Decimos que $|A|\le |B|$ si existe una función $f:A\to B$ inyectiva.

Misma cardinalidad

Definición: Sean $A,B$ conjuntos. Decimos que $A$ y $B$ tienen la misma cardinalidad $$|A|=|B|,$$ si existe una función $f:A\leftrightarrow B$ biyectiva.

Para los fines de esta entrada, daremos la definición de función biyectiva. Revisaremos esta definición con mayor detenimiento en la unidad 3, dedicada a las funciones, como parte de este curso.

Definición: Sea $f:A\to B$ una función. Decimos que $f$ es biyectiva si cumple con ser inyectiva y sobreyectiva.

Ejemplo: Si consideramos los intervalos $[0,1]$ y $(0,1)$. Vemos que:
$$|[0,1]|=|(0,1)|.$$
Primero tomamos los valores $0$ y $1$ en el intervalo $[0,1]$ y los enviamos a los valores $\frac{1}{3}$ y $\frac{1}{2}$ respectivamente en el intervalo $(0,1)$.

Ahora consideramos los valores de la forma $\frac{1}{n}$ con $n\in \mathbb{N}\setminus \left\{0\right\}$ y $n\ge 2$. A estos valores los enviaremos a los de la forma $\frac{1}{n+2}$. De este modo lo que haremos será enviarlos al $(0,1)$ como en el ejemplo de la siguiente imagen:

Y por último, a los valores restantes los enviamos a ellos mismos en el intervalo $(0,1)$.

Así la función biyectiva sería $f:[0,1]\leftrightarrow (0,1)$:
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}x& \text{si }x\ne 0,1,\frac{1}{n}\text{ con }n\ge 2\\ \frac{1}{2}& \text{si }x=1\\ \frac{1}{3}& \text{si }x=0\\ \frac{1}{x+2}& \text{si }x=\frac{1}{n}\text{ con }n\ge 2\end{array}$$

Conjuntos finitos e infinitos

Definición (1): Sea $A$ un conjunto.

• $A$ es finito si existe una función biyectiva $f:A\leftrightarrow \{1,2,\cdots ,N\}$ para algún $N\in \mathbb{N}\setminus \left\{0\right\}$.
• $A$ es infinito si no es finito.

Definición (2): Sea $A$ un conjunto.

• $A$ es infinito si existe $A^{\prime }\subset A$ subconjunto propio de A y una función biyectiva $f:A^{\prime }\leftrightarrow A$.
• $A$ es finito si no es infinito.

Teorema: Sean $A,B$ conjuntos no vacíos. Si $A\subseteq B$ entonces
$$|A|\le |B|.$$
Demostración: Proponemos a la función $f:A\to B$ como $f(x)=x$. Observamos que $f$ es inyectiva y cumple que para todo $x\in A$ se sigue que $x\in B$. Por definición se sigue que $|A|\le |B|.$

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Observación: Si $A,B$ son conjuntos infinitos puede ocurrir que $A\subset B$ y que $|A|=|B|.$

Teorema: Sean $A,B$ conjuntos finitos.

• Si $A\cap B=\mathrm{\varnothing }$ entonces:
  $|A\cup B|=|A|+|B|.$
• Si $A\cap B\ne \mathrm{\varnothing }$ entonces:
  $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|.$

Definición (3): Un conjunto $A$ es infinito si existe $B\subseteq A$ tal que
$$|B|=|\mathbb{N}|.$$

Conjuntos numerables

Definición: Sea $A$ un conjunto no vacío. Decimos que $A$ es numerable si $|A|=|\mathbb{N}|$ es decir si existe una función biyectiva:
$$f:A\to \mathbb{N}.$$

Teorema: Sean $A,B$ conjuntos. Si $A$ es finito y $B$ es infinito numerable entonces $A\cup B$ es numerable.
Demostración: Como $A$ es finito consideremos que tiene $m$ elementos.
$$A=\{a_1,a_2,\cdots ,a_m\}.$$
Y como $B$ es infinito y numerable entonces es de la forma:
$$B=\{b_1,b_2,\cdots ,b_n,\cdots \}.$$
Así al considerar la unión $A\cup B$ tendríamos:
$$A\cup B=\{a_1,a_2,\cdots ,a_m,b_1,b_2,\cdots ,b_n,\cdots \}.$$
Tenemos los siguientes dos casos:

• Si $A\cap B=\mathrm{\varnothing }$ y consideramos la siguiente indización:
  $$A\cup B=\{a_1,a_2,\cdots ,a_m,b_{m+1},b_{m+2},\cdots ,b_{m+n},b_{m+n+1},\cdots \}.$$
  Vemos $|A\cup B|=|\mathbb{N}|.$
• Si $A\cap B\ne \mathrm{\varnothing }$. Supongamos que tenemos $k$ elementos en la intersección, es decir:
  $$a_1=b_1,a_2=b_2,\cdots ,a_k=b_k$$
  $$A=\{a_1,a_2,\cdots ,a_k,a_{k+1},\cdots ,a_m\}.$$
  Así consideramos la siguiente indización para la unión:
  $$A\cup B=\{a_{k+1},a_{k+2},\cdots ,a_m,b_1,b_2,\cdots ,b_n,\cdots \}.$$
  Observamos que $|A\cup B|=|\mathbb{N}|.$
  

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Teorema: Si $A$ y $B$ son conjuntos infinitos y numerables entonces $A\cup B$ es infinito y numerable.
Demostración: Primero vemos que $A\cup B$ es infinito ya que al ocurrir que:

• $A\subseteq A\cup B$ con $A$ infinito y numerable.
• $B\subseteq A\cup B$ con $B$ infinito y numerable.

por definición (3) concluimos que $A\cup B$ es infinito.

Nos falta ver qué $A\cup B$ es numerable, ya que $A$ es numerable podemos escribirlo de la siguiente manera:
$$A=\{a_1,a_2,\cdots \}.$$
Análogamente para $B$:
$$B=\{b_1,b_2,\cdots \},$$
por lo que la unión se vería como:
$$A\cup B=\{a_1,b_1,a_2,b_2,a_3,b_3\cdots ,a_n,b_n,\cdots \}.$$
Observemos que si consideramos la siguiente indización:
$$A\cup B=\{a_1,b_2,a_3,b_4,a_5,b_6\cdots ,a_{2n-1},b_{2n},\cdots \},$$

el conjunto tiene una relación biunívoca con el conjunto de los naturales.
Veamos qué sucede en los siguientes casos:

• Si $A\cap B=\mathrm{\varnothing }\Rightarrow |A\cup B|=|\mathbb{N}|.$
• Si $A\cap B\ne \mathrm{\varnothing }$. Consideremos que existen k elementos en la intersección, por lo que serían de la forma:
  $$a_1=b_1,a_2=b_2,\cdots ,a_k=b_k.$$
  Por lo que ahora la unión se vería como:
  $$A\cup B=\{a_1,a_2,a_3,\cdots ,a_k,a_{k+1},b_{k+1},a_{k+2},b_{k+2}\cdots ,a_{k+n},b_{k+n},\cdots \}$$
  y si consideramos la siguiente nueva indización:
  $$A\cup B=\{a_1,a_2,a_3,\cdots ,a_k,a_{k+1},b_{k+2},a_{k+3},b_{k+4}\cdots ,a_{k+(2n-1)},b_{k+2n},\cdots \},$$
  tenemos que tiene una relación biunívoca con $\mathbb{N}$ por lo que también se cumple que $|A\cup B|=|\mathbb{N}|$.

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A continuación enunciaremos un teorema que generaliza el resultado sobre conjuntos numerables ya visto.

Teorema: Sean $A_1,A_2,\cdots ,A_N,\cdots$ conjuntos no vacíos.

• Si $A_1,A_2,\cdots ,A_N$ son numerables $\Rightarrow \begin{array}{c}\bigcup _{i=1}^N{A}_i\hfill \end{array}$ es numerable.
• Si $A_1,A_2,\cdots$ son numerables $\Rightarrow \begin{array}{c}\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i\hfill \end{array}$ es numerable.

Más adelante

Ahora que hemos concluido con la unidad relacionada a los Números reales, en la próxima iniciaremos el tema de funciones definiendo qué es el dominio, rango y regla de correspondencia de una función.

Entradas relacionadas

• Ir a: Cálculo Diferencial e Integral I
• Entrada anterior del curso: Cálculo Diferencial e Integral I: Cortaduras de Dedekind (Adicional).
• Entrada siguiente del curso: Cálculo Diferencial e Integral I: Concepto de función.
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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»