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Cálculo Diferencial e Integral II: Área entre curvas

Por Miguel Ángel Rodríguez García

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Introducción

Para esta unidad veremos diferentes aplicaciones de la integral en algunas diferentes ramas en donde son de utilidad las integrales para calcular algún objetivo en concreto.

En la unidad anterior vimos las técnicas de integración para resolver integrales, ahora que ya sabemos unas cuantas técnicas que nos permitirá facilitar los temas que vienen por delante. En esta sección veremos como calcular el área entre curvas, es decir, determinar el área entre dos gráficas acotadas por dos funciones.

Área entre curvas

Figura 1: Rectángulos de aproximación al área entre las curvas $f(x)$ y $g(x)$ (rojo y azul respectivamente).

Queremos encontrar el área que está acotada por una curva $y=f(x)$ y $y=g(x)$ entre las rectas verticales $x=a$ y $x=b$ como se muestra en la figura $(1)$, donde $f$ y $g$ son funciones continuas en el intervalo $[a,b]$, supóngase que $f(x) \geq g(x)$, para encontrar esa área, aproximamos la región con $n$ rectángulos basándonos en una partición $P=\left \{ x_{0}, x_{1},…, x_{n} \right \}$ en $[a, b]$ como se ve en la figura $(1)$, donde el área del k-ésimo rectángulo con base $\Delta x$ y altura $f(x_{i}^{*})-g(x_{i}^{*})$ es:

$$A=(f(x_{i}^{*})-g(x_{i}^{*}))\Delta x$$

Por tanto, sumando las áreas de todos los $n$ rectángulos aproximando al área entre las gráficas, obtenemos:

$$\sum_{i=1}^{n}(f(x_{i}^{*})-g(x_{i}^{*}))\Delta x$$

Tendremos una mejor aproximación si $n \rightarrow \infty$. Por tanto, definimos el área $A$ de $S$ como el valor límite de la suma de las áreas de los rectángulos de aproximación como:

$$A=\lim_{n \rightarrow \infty }\sum_{i=1}^{n}(f(x_{i}^{*})-g(x_{i}^{*}))\Delta x$$

Vemos que esta suma es una suma de Riemann [Hipervinculo: Calculo II. Definicion de la integral ],por lo que definimos el área entre curvas como sigue.

Definición. Si $f$ y $g$ son continuas con $f(x) \geq g(x)$ en todo $[a, b]$, el área de la región entre las curvas $y=f(x)$ y $y=g(x)$ y las rectas $x=a$ y $x=b$, está dada por la integral:

$$A=\int_{a}^{b}[f(x)-g(x)]dx$$

Por lo que al área que está acotada entre dos funciones lo podemos calcular por medio de una integral, veamos unos ejemplos.

Ejemplos

  • Determine el área de la región acotada entre las curvas $y=e^{x}$, $y=x$ y las rectas $x=0$ y $x=1$
Figura 2: Área entre las curvas $f(x)=e^{x}$ y $g(x)=x$.

Graficamos las curvas como se muestra en la figura $(2)$, vemos que $e^{x} > x$ en todo el intervalo $[0, 1]$, por definición, tenemos que el área de la región está dada como:

$$\int_{0}^{1}[e^{x}-x]dx=\int_{0}^{1}e^{x}dx-\int_{0}^{1}xdx=\left [ e^{x} \right ]\bigg|_{0}^{1}-\left [ \frac{x^{2}}{2} \right ]\bigg|_{0}^{1}=e-1-\frac{1}{2}$$

por lo que el área es: $$A=e-1.5$$

  • Encontrar el área de la región acotada por la parábola $y=2-x^{2}$ y la recta $y=-x$

En este caso tenemos que encontrar los límites de integración, para saber de donde a donde vamos a integrar, para eso igualamos las dos funciones:

$$2-x^{2}=-x \Rightarrow x^{2}-x-2=0 \Rightarrow (x+1)(x-2)=0$$

Figura 3: Área entre las curvas $f(x)=2-x^{2}$ y $g(x)=-x$.

Por lo que la región a integrar va de $x=-1$ a $x=2$, a veces es necesario graficar las funciones para ver quien es $f(x)$ y $g(x)$ en el intervalo deseado, ya que podríamos tener un área negativa si intercambiamos las funciones que no corresponden, de la figura $(3)$, vemos que $f(x)=2-x^{2}$ y $g(x)=-x$, así el área entre las curvas es:

$$\int_{-1}^{2}[2-x^{2}+x]dx=\int_{-1}^{2}2dx-\int_{-1}^{2}x^{2}dx+\int_{-1}^{2}xdx=\left [ 2x-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2} \right ]\bigg|_{-1}^{2}=(4-\frac{8}{3}+2)-(-2+\frac{1}{3}+\frac{1}{2})=\frac{9}{2}$$

  • Calcule el área de la región acotada entre las curvas $y=\cos(x)$, $y=\sin(x)$ y las rectas $x=0$ y $x=\frac{\pi }{2}$

De la figura vemos que: $\cos(x) \geq \sin(x)$ cuando $0 \leq x \leq \frac{\pi }{4}$ y $\sin(x) \geq \cos(x)$ cuando $\frac{\pi }{4} \leq x \leq \frac{\pi }{2}$ por lo que dividimos el área total como: $A=A_{1}+A_{2}$ y las integrales quedan de la siguiente forma:

$$A=A_{1}+A_{2}=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}[\cos(x)-\sin(x)]dx+\int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}[\sin(x)-\cos(x)]dx=\left [ \sin(x)+\cos(x) \right ]\bigg|_{0}^{\frac{\pi }{4}}+\left [ -\cos(x)-\sin(x) \right ]\bigg|_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}$$

$$=(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-0-1)+(-0-1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}})=2\sqrt{2}-2$$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Encontrar el área de la región delimitada por la curva $y=x\sqrt{4-x^{2}}$ en el intervalo $[-2, 2]$
  2. Encontrar el área de la región delimitada por las curvas $y=1$ y $y=\cos^{2}(x)$ en el intervalo $[0, \pi]$
  3. Encontrar el área de la región delimitada por las curvas $y=\sqrt{x}$ y $y=x-2$
  4. Encontrar el área de la región delimitada por las curvas $y=x^{2}$ y $y=2-x$ en el intervalo $[0, 2]$
  5. Encontrar el área de la región delimitada por las curvas $y=\cos(x)$ y $y=\sin(x)$ en el intervalo $[0, 2\pi]$

Más adelante…

En esta sección deducimos la forma de calcular el área que está delimitada entre dos funciones mediante la aplicación de la fórmula deducida. La integral tiene más aplicaciones que solo calcular el área de la integral de una función, en la siguiente sección veremos ahora como calcular la longitud del arco de una función en un intervalo dado.

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Cálculo Diferencial e Integral II: Criterios de convergencia para las integrales impropias.

Por Miguel Ángel Rodríguez García

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Introducción

En las secciones anteriores vimos las integrales impropias de primer, segundo tipo y tercer tipo, aprendiendo como dar solución a cada una de ella. En esta sección veremos distintos criterios para estudiar la convergencia o divergencia de las integrales impropias. Comencemos enunciando algunos teoremas de convergencia importantes para estas integrales.

Criterios de convergencia

Comencemos con el siguiente teorema.

Teorema: La integral $\int_{1}^{\infty}f(x)dx$ converge $\Leftrightarrow \forall \space \epsilon \space >0 \space \space \exists \space r$ tal que si $x, \space x^{‘} > r$ entonces:

$$\bigg| \int_{x^{‘}}^{x}f(t)dt \bigg|<\epsilon$$

Demostración:

Sea $\epsilon > 0, \space \int_{a}^{\infty}f(x)dx$ converge:

$$\Leftrightarrow \int_{a}^{\infty}f(x)dx=L \Leftrightarrow \lim_{x \to \infty}\int_{a}^{x}f(t)dt=L$$

$$\Leftrightarrow \exists \space r \space tal \space que \space si \space x, \space x^{‘} > r$$

Por definición de limite:

$$\Rightarrow \bigg| \int_{a}^{x}f(t)dt-L \bigg|<\frac{\epsilon }{2} \space \space y \space \space \bigg| \int_{a}^{x^{‘}}f(t)dt-L \bigg|<\frac{\epsilon }{2}$$

$$\Leftrightarrow \bigg| \int_{a}^{x}f(t)dt-L \bigg|<\frac{\epsilon }{2} \ \space \space y \space \space \bigg|L-\int_{a}^{x^{‘}}f(t)dt \bigg|<\frac{\epsilon }{2}$$

Ya que $|r|<c$ si y sólo si $-c<r<c$, entonces:

$$\Leftrightarrow -\frac{\epsilon }{2}<\int_{a}^{x}f(t)dt-L <\frac{\epsilon }{2} \ \space \space y \space \space -\frac{\epsilon }{2}<L-\int_{a}^{x^{‘}}f(t)dt<\frac{\epsilon }{2}$$

$$\Leftrightarrow -\epsilon<\int_{a}^{x}f(t)dt-\int_{a}^{x^{‘}}f(t)dt<\epsilon$$

$$\Leftrightarrow -\epsilon<\int_{x}^{x^{‘}}f(t)dt<\epsilon$$

$$\Leftrightarrow \bigg| \int_{x}^{x^{‘}}f(t)dt \bigg|<\epsilon$$

$$\Leftrightarrow \bigg| \int_{x^{‘}}^{x}f(t)dt \bigg|<\epsilon$$

$$\therefore \int_{1}^{\infty}f(x)dx \space \space converge $$

$\square$

Lema: Sea una función $f(x)$ continua en $[a,b)$ entonces la integral impropia $\int_{a}^{b}f(x)dx$ es convergente $\Leftrightarrow \forall \space \epsilon \space >0 \space \space \exists \space \delta >0 \space \space tal \space que \space si \space \space 0<b-x<\delta \space \space y \space \space 0<b-x^{‘}<\delta$ entonces:

$$\bigg| \int_{x^{‘}}^{x}f(t)dt \bigg|<\epsilon$$

Demostración:

$\int_{a}^{b}f(x)dx$ es convergente:

$$\Leftrightarrow \int_{a}^{b}f(x)dx=L \Leftrightarrow \lim_{x \to b^{-}} \int_{a}^{b}f(x)dx=L$$

$$\exists \space \delta >0 \space tal \space que \space si \space \space 0<b-x<\delta \space \space y \space \space 0<b-x^{‘}<\delta$$

$$\Rightarrow \bigg| \int_{a}^{x}f(t)dt-L \bigg|<\frac{\epsilon }{2} \space \space y \space \space \bigg| \int_{a}^{x^{‘}}f(t)dt-L \bigg|<\frac{\epsilon }{2}$$

Hacemos el mismo procedimiento como la demostración del teorema anterior, por lo que:

$$\bigg| \int_{x^{‘}}^{x}f(t)dt \bigg|<\epsilon \space \space converge$$

$\square$

Lema: Sea $f$ continua en $[a, b]$ entonces la integral impropia $\int_{a}^{b}f(x)dx$ es convergente $\Leftrightarrow \exists \space \delta >0 \space tal \space que \space si \space 0<b-x<\delta \space y \space 0<b-x^{‘}<\delta$, entonces:

$$\bigg| \int_{x^{‘}}^{x}f(t)dt \bigg|<\epsilon$$

La demostración se dejará como ejercicio moral, ya que la demostración es muy similar a la demostración del lema anterior.

Teorema: Sea $f$ una función continua en $[a, b)$ y acotada en $[a, b]$ entonces $\int_{a}^{b}f(x)dx$ es convergente.

Demostración:

Sea $\epsilon>0$, como $f$ está acotada en $[a, b]$ entonces:

$$\exists \space M \space tal \space que \space |f(x)|\leq M \space \forall \space x \space \epsilon \space [a,b]$$

Tomamos $\delta =\frac{\epsilon }{M}$.

Sea $x, x^{‘}$ tal que si $0<b-x<\delta$ y $0<b-x^{‘}<\delta$, entonces por propiedades de la integral: [Hipervinculo: Calculo II-Propiedad de valor absoluto de la integral menor o igual que la integral del valor absoluto de una funcion]:

$$\bigg| \int_{x^{‘}}^{x}f(t)dt \bigg| \leq \int_{x^{‘}}^{x}|f(t)|dt \leq \int_{x^{‘}}^{x}Mdt=M|x-x^{‘}<\delta M$$

$$\Rightarrow \bigg| \int_{x^{‘}}^{x}f(t)dt \bigg|<\epsilon$$

$$\forall \space x, x^{‘} \space tal \space que \space \space 0<b-x<\delta \space \space y \space \space 0<b-x^{‘}<\delta$$

Por el lema anterior:

$$\int_{a}^{b}f(x)dx \space \space converge$$

$\square$

Teorema: Sea $f$ una función continua en $(a, b]$ y acotada en $[a, b]$ entonces $\int_{a}^{b}f(x)dx$ es convergente.

La demostración se dejará como tarea moral, la idea de la demostración es muy similar a la demostración del teorema anterior.

Teorema: (Criterio de comparación)

Sean $f$ y $g$ dos funciones continuas en $[a, \infty)$ tal que si $0 \leq f(x) \leq g(x) \space \forall \space x \space \epsilon [a, \infty)$, Entonces:

Si $\int_{a}^{\infty}g(x)dx$ converge entonces $\int_{a}^{\infty}f(x)dx$ converge.

Mientras que si $\int_{a}^{\infty}f(x)dx$ diverge, entonces $\int_{a}^{\infty}g(x)dx$ diverge.

La demostración se dejará como tarea moral, la idea de la demostración es usar las definiciones de límite.

Una aplicación de las integrales impropias en el área de la física, es calcular la velocidad de escape de la superficie de la Tierra. Sabemos que la fuerza gravitacional está dada como:

$$F=G\frac{mM}{r^{2}}$$

Donde $G=6.67\cdot 10^{-11}\frac{Nm^{2}}{kg^{2}}$ es la constante gravitacional y $M$ la masa de la tierra. Así integramos desde un punto $R$ de la Tierra a la fuerza de gravedad, entonces:

$$\int_{a}^{b} Fdx=\int_{R}^{\infty}G\frac{mM}{r^{2}}dr=GmM\int_{R}^{\infty}\frac{1}{r^{2}}dr=-GmM\left [ \frac{1}{r} \right ]_{R}^{r \to \infty}=G\frac{mM}{R}$$

En ese te caso $R$ es el radio de la Tierra, cuyo valor es $R=6.37\cdot 10^{6}m$, $M=5.98\cdot 10^{24}kg$ es la masa de la Tierra, por lo que:

$$G\frac{mM}{R} \approx m \cdot 6.26 \cdot 10^{7}\frac{Nm}{kg}$$

Para calcular la velocidad de escape, igualamos la fuerza de gravedad con la energía cinética:

$$\frac{1}{2}mv^{2}=G\frac{mM}{R} \Rightarrow$$

$$v=\sqrt{\frac{2GM}{R}} \approx 11,91 \frac{m}{s}$$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Demuestra el primer lema de esta sección.
  2. Demuestra el segundo lema de esta sección.
  3. Demuestra el teorema del criterio de la comparación.

Utiliza el criterio de la comparación para determinar la convergencia de las siguientes integrales:

  1. $$\int_{1}^{\infty}\frac{1+e^{-x}}{x}dx$$
  2. $$\int_{1}^{\infty}e^{-x^{2}}dx$$

Más adelante…

En esta sección vimos algunos teoremas y lemas para la determinación de la convergencia de las integrales impropias, por lo que son útiles en algunos casos para el mismo objetivo. Este tema es el último de esta unidad 5, por lo que comenzaremos a estudiar la unidad 6, en el cual se verán algunas aplicaciones de las integrales.

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Cálculo Diferencial e Integral II: Integrales impropias del $2^{do}$ tipo

Por Miguel Ángel Rodríguez García

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Introducción

En la sección anterior vimos las integrales impropias del primer tipo en el cual son integrales de la forma:

$$\int_{-\infty}^{b}f(x)dx$$

$$\int_{a}^{\infty}f(x)dx$$

$$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx$$

En esta sección veremos las integrales impropias del segundo tipo que son integrales donde la función $f(x)$ no está definida en todo el intervalo, en algún punto dentro de un intervalo o en los extremos del intervalo.

Integrales impropias del $2^{do}$ tipo

Las integrales impropias del segundo tipo son integrales de la forma:

$$\int_{a}^{b}f(x)dx$$

Donde $f(x)$ es una función positiva y continua en un intervalo finito $[a ,b)$, por lo que se tiene una asíntota vertical en $b$, es decir, la función $f(x)$ tiene una discontinuidad en $x=b$.

Análogamente, si tenemos el intervalo $(a, b]$ se tiene una asíntota vertical en $a$, es decir, la función $f(x)$ tiene una discontinuidad en $x=a$.

Si tenemos que la función se indefine en un punto o varios puntos dentro del intervalo $[a, b]$ con $a<c<b$, entonces las integrales, que también son integrales impropias del segundo tipo, son integrales de funciones que se vuelven infinitas en un punto o varios puntos dentro de un intervalo, para solucionar este problema, veamos la siguiente definición:

Definición: Sea $f(x)$ una función continua en un intervalo $[a, b)$ y con una discontinuidad infinita en $b$ entonces definimos:

$$\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{x \to b^{-}}\int_{a}^{x}f(t)dt \tag{1}$$

Definición: Análogamente, al caso anterior, sea $f(x)$ una función continua en un intervalo $(a, b]$ y con una discontinuidad infinita en $a$ entonces definimos:

$$\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{x \to a^{+}}\int_{x}^{b}f(t)dt \tag{2}$$

Definición: Si $f(x)$ es continua en $[a, c) \cup (c,b]$, con $a<c<b$, entonces definimos:

$$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx \tag{2}$$

En estos casos, si la integral de la función $f(x)$ converge a un valor $L$ entonces se dice que la integral es convergente y converge al valor $L$, en caso contrario, se dice que la integral de la función $f(x)$ diverge.

Veamos unos ejemplos.

Ejemplos

  • $$\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt[3]{x}}dx$$

Vemos que la función es discontinua en $x=0$, por la definición $(2)$, podemos calcular la integral como:

$$\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt[3]{x}}dx=\lim_{x \to 0^{+}}\int_{x}^{1}\frac{1}{\sqrt[3]{t}}dt=\lim_{x \to 0^{+}}\int_{x}^{1}t^{-1/3}dt$$

$$=\lim_{x \to 0^{+}}(\frac{3}{2})t^{\frac{2}{3}}\bigg|_{x}^{1}=\lim_{x \to 0^{+}}(\frac{3}{2}-\frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}})=\frac{3}{2}$$

$$\therefore \int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt[3]{x}}dx \space \space converge \space a \space \space \frac{3}{2}$$

  • $$\int_{2}^{5}\frac{1}{\sqrt{x-2}}dx$$

Vemos que la función es discontinua en $x=2$, por la definición $(2)$, calculamos la integral como:

$$\int_{2}^{5}\frac{1}{\sqrt{x-2}}dx=\lim_{x \to 2^{+}}\int_{x}^{5}\frac{1}{\sqrt{t-2}}dt=\lim_{x \to 2^{+}}2\sqrt{t-2}\bigg|_{x}^{5}=\lim_{x \to 2^{+}}2(\sqrt{3}-\sqrt{x-2})=2\sqrt{3}$$

$$\therefore \int_{2}^{5}\frac{1}{\sqrt{x-2}}dx=2\sqrt{3}$$

Las integrales impropias del tercer tipo son integrales que mezcla los dos tipos anteriores de integrales impropias, es decir, son integrales impropias tanto del primer tipo como del segundo tipo, por lo que para resolver este tipo de integrales del tercer tipo, se utiliza las mismas estrategias para resolver las integrales del primer y segundo tipo.

Ejemplo

  • $$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x^{2}}dx$$

Vemos en los límites de integración que es una integral de primer tipo, pero la función tiene una discontinuidad en $x=0$, por lo que esta integral es de tercer tipo, determinamos su convergencia con las definiciones de las integrales de primer y segundo tipo como sigue:

$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x^{2}}dx=\lim_{x \to -\infty}\int_{x}^{0}\frac{1}{t^{2}}dt+\lim_{x \to \infty}\int_{0}^{\infty}\frac{1}{t^{2}}dt$$

$$=\lim_{x \to -\infty}\left ( \lim_{t \to 0^{-}} \int_{x}^{t} \frac{1}{v^{2}}dv \right )+\lim_{x \to \infty}\left ( \lim_{t \to 0^{+}} \int_{t}^{x} \frac{1}{v^{2}}dv \right )$$

$$=\lim_{x \to -\infty}\left ( \lim_{t \to 0^{-}} \frac{-1}{v}\bigg{|}^{t}_{x} \right)+\lim_{x \to \infty}\left ( \lim_{t \to 0^{+}} \frac{-1}{v}\bigg{|}^{t}_{x} \right )$$

$$=\lim_{x \to -\infty}\left ( \lim_{t \to 0^{-}} \left ( \frac{-1}{t}+\frac{1}{x} \right ) \right)+\lim_{x \to \infty}\left ( \lim_{t \to 0^{+}} \left ( \frac{-1}{t}+\frac{1}{x} \right ) \right )$$

Sabemos que $\lim_{t \to 0} \frac{1}{t}$ se indetermina.

$$\therefore \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x^{2}}dx \space \space diverge$$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.

Determine la convergencia de las siguientes integrales:

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. $$\int_{0}^{2}\frac{1}{x^{3}}dx$$
  2. $$\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x}(x+1)}$$
  3. $$\int_{0}^{1}\frac{1}{1-x}dx$$
  4. $$\int_{0}^{3}\frac{1}{(x-1)^{2/3}}dx$$
  5. $$\int_{0}^{1}ln(x)dx$$

Más adelante…

En esta sección vimos las integrales del segundo tipo y tercer tipo, así, como algunos ejemplos, por lo que terminamos de ver los tipos de integrales impropias, en la siguiente sección veremos algunos criterios de convergencia importante para las integrales impropias.

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Cálculo Diferencial e Integral II: Integrales impropias del $1^{er}$ tipo

Por Miguel Ángel Rodríguez García

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Introducción

En la sección anterior vimos el teorema del valor medio para integrales, en esta sección veremos las integrales impropias de primer tipo.

Al introducir el concepto de integral definida se exigió que las funciones estuvieran definidas en intervalos cerrados y que la integral de esas funciones en ese intervalo este definida. En esta entrada se suprimen esas restricciones y veremos integrales del tipo:

$$\int_{a}^{\infty }f(x)dx$$

$$\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{1-x}}$$

Obsérvese que en la primera integral el límite de integración se escribe el símbolo de infinito y en la segunda integral para el punto $x=1$ el integrando no está definido en $1$, por lo que veremos las definiciones siguientes.

Integrales impropias del $1^{er}$ tipo

Definición. Sea $f$ una función continua definida en $[a, \infty)$ entonces definimos:

$$\int_{a}^{\infty }f(x)dx=\lim_{x \to \infty }\int_{a}^{x}f(t)dt \tag{1}$$

A $\int_{a}^{\infty }f(x)dx$ se le llama la integral impropia del $1^{er}$ tipo de la función $f$ de $a$ hasta $\infty$.

Definición. Si $\lim_{x \to \infty }\int_{a}^{x}f(t)dt$ es un numero real $L$ se dice que la integral es convergente y converge al valor $L$.

En cambio, si $\lim_{x \to \infty }\int_{a}^{x}f(t)dt$ da como resultado $\infty$ o $-\infty$, es decir, la integral diverge, entonces se dice que la integral diverge a $\infty$ o $-\infty$.

Análogamente, se puede dar la misma definición para cuando el límite de integración inferior tiende a $- \infty$.

Definición. Sea $f$ una función continua definida en $(-\infty, b]$ entonces definimos:

$$\int_{-\infty}^{ b}f(x)dx=\lim_{x \to -\infty }\int_{x}^{b}f(t)dt \tag{2}$$

Podemos tener integrales impropias de una función $f(x)$, tal que, los límites de integración van de $-\infty$ a $\infty$, en este caso, definimos lo siguiente:

Definición. Sea una función continua en $(-\infty, \infty)$ entonces:

$$\int_{-\infty}^{\infty }f(x)dx=\int_{-\infty}^{a}f(x)dx+\int_{a}^{\infty}f(x)dx \tag{3}$$

Veamos unos ejemplos.

Ejemplos

  • Calcula, si es posible, la integral $\int_{1}^{\infty }\frac{dx}{x^{2}}$.

Usamos la definición $(1)$, así:

$$\int_{1}^{\infty }\frac{dx}{x^{2}}=\lim_{x \to \infty }\int_{1}^{x}\frac{1}{t^{2}}dt$$

$$\Rightarrow =\lim_{x \to \infty }\int_{1}^{x}{t^{-2}}dt=\lim_{x \to \infty }\left [ (-1)t^{-1} \right ] \bigg|_{1}^{x}=\lim_{x \to \infty }(-x^{-1}-(-1)^{-1})=-\lim_{x \to \infty }\frac{1}{x}+\lim_{x \to \infty }1$$

Sabemos que:

$$\lim_{x \to \infty }\frac{1}{x}=0$$

Entonces:

$$\int_{1}^{\infty }\frac{dx}{x^{2}}=1$$

  • Calcula la siguiente integral impropia $\int_{-\infty}^{\infty} e^{x-e^{x}}dx$.

Por definición $(3)$, se tiene que:

$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{x-e^{x}}dx=\int_{-\infty}^{a} e^{x-e^{x}}dx+\int_{\infty}^{a} e^{x-e^{x}}dx$$

Usamos ahora las definiciones $(1)$ y $(2)$ como:

$$=\lim_{x \to -\infty} \int_{x}^{a}e^{t-e^{t}}dt+\lim_{x \to \infty} \int_{a}^{x}e^{t-e^{t}}dt$$

Para integrar esta función solo utilizamos el método de cambio de variable, para esto, sea $u=e^{t}$, entonces:

$$\int e^{t-e^{t}}dt=\int e^{-u}dt=-e^{-u}=-e^{-e^{t}}$$

Así, la integral impropia se resuelve como:

$$\lim_{x \to -\infty} \int_{x}^{a}e^{t-e^{t}}dt+\lim_{x \to \infty} \int_{a}^{x}e^{t-e^{t}}dt=\lim_{x \to -\infty}-e^{-e^{x}}+\lim_{x \to \infty}-e^{-e^{x}}=1+0=1$$

Por tanto, la integral converge a 1.

Veamos el teorema siguiente que nos dice para que casos la función $ \frac{dx}{x^{s}} $ converge:

Teorema: $\forall \space s >1$ la integral:

$$\int_{1}^{\infty } \frac{dx}{x^{s}}=\frac{1}{s-1}$$

Es decir, $\frac{1}{x^{s}}$ converge. Sin embargo, si $s\leq 1$ la integral: $$\int_{1}^{\infty } \frac{dx}{x^{s}} \space diverge \space a \space \infty$$

Demostración:

Veamos la demostración por casos.

Sea $s\neq 1$, entonces por definición $(1)$ se tiene que:

$$\int_{1}^{\infty } \frac{dx}{x^{s}}=\lim_{x \to \infty}\int_{1}^{x} \frac{dt}{t^{s}}=\lim_{x \to \infty}\frac{t^{-s+1}}{-s+1}\bigg|_{1}^{x}= \lim_{x \to \infty}\left ( \frac{x^{-s+1}}{-s+1}-\frac{1^{-s+1}}{-s+1} \right )$$

  • Si $s>1 \Rightarrow -s<-1 \Rightarrow -s+1<0$, entonces tenemos que:

$$\lim_{x \to \infty}\frac{x^{-s+1}}{-s+1}=0$$

$$\therefore \int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{s}}=\lim_{x \to \infty}\left (-\frac{1^{-s+1}}{-s+1} \right )=\frac{-1}{-s+1}=\frac{1}{s-1}$$

  • Si $s<1 \Rightarrow -s>-1 \Rightarrow -s+1>0$, entonces:

$$\lim_{x \to \infty}\frac{x^{-s+1}}{-s+1} \to \infty$$

$$\therefore \int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{s}} \space Diverge$$

  • Si $s=1$, entonces:

$$\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{s}}=\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x}=\lim_{x \to \infty}\int_{1}^{\infty}\frac{dt}{t}=\lim_{x \to \infty}\left ( ln(t) \right )\bigg|_{1}^{x}=\lim_{x \to \infty}(ln(x)-ln(1))=\lim_{x \to \infty}ln(x)-0\to \infty$$

$$\therefore \int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{s}} \space Diverge$$

$$\therefore \int_{1}^{\infty } \frac{dx}{x^{s}}=\frac{1}{s-1}$$

Converge para $s>1$ y diverge para $s\leq 1$.

$\square$

Veamos el siguiente ejemplo.

Ejemplo

  • $$\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{3/2}}$$

Vemos que del integrando podemos usar el teorema visto anteriormente donde $s=\frac{3}{2}>1$ por lo que, en ese caso, tenemos que:

$$\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{3/2}}=\frac{1}{\frac{3}{2}-1}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.

Calcule las siguiente integrales.

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. $$\int_{0}^{\infty}e^{-x}dx$$
  2. $$\int_{-\infty}^{0}sin(x)dx$$
  3. $$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}+1}$$
  4. $$\int_{0}^{\infty}\frac{e^{x}}{1+e^{2x}}dx$$
  5. $$\int_{1}^{\infty}(1-x)e^{-x}dx$$

Más adelante…

En esta sección vimos integrales impropias del $1^{er}$ tipo que son integrales en donde se integra en un intervalo infinito y se necesita saber el área bajo la curva de una función $f(x)$, es decir, en intervalos no acotados, en la siguiente sección veremos integrales impropias del $2^{do}$ tipo que son integrales impropias en donde la discontinuidad de la función $f(x)$ no está definida en algún punto o todo intervalo en $(a,b)$.

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Cálculo Diferencial e Integral II: Teorema del valor medio para integrales

Por Miguel Ángel Rodríguez García

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Introducción

En las secciones anteriores vimos algunos métodos numéricos de integración que se utilizan para dar solución a la integral de funciones, en esta sección veremos el teorema del valor medio para integrales.

Teorema del valor medio para integrales

El teorema del valor medio es una consecuencia del teorema de valor medio para la derivada y el teorema fundamental del Cálculo [Hipervinculo: Calculo II-Teorema fundamental del calculo], geométricamente significa que para funciones no negativas y continuas en un intervalo $[a, b]$ existe un valor $c$ en el mismo intervalo, tal que, el rectángulo con base $[a, b]$ y altura $f(c)$ tiene la misma área que la región bajo la gráfica de $f$ en el intervalo $[a, b]$ o lo que es lo mismo decir, alcanza su valor promedio en al menos un punto $c$ (ver figura 1).

Figura 1: Teorema del valor medio para integrales.

Enunciamos el siguiente teorema:

Teorema del valor medio para integrales

Sea función continua $f(x)$ en un intervalo $[a, b]$ entonces existe $c \space \epsilon \space [a, b]$, tal que:

$$\int_{a}^{b}f(x)dx=f(c)(b-a)$$

Demostración:

Como $c \space \epsilon \space [a, b]$ supongamos sin perdida de generalidad que $a<c<b$ entonces:

$$\int_{a}^{b} f(x)dx=\int_{a}^{c} f(x)dx+\int_{c}^{b} f(x)dx$$

Por las propiedades de la integral [Hipervinculo: Calculo II-Propiedades de la integral], la función $f$ es integrable en $[a, c]$ y $[c, b]$.

Ahora por el teorema del valor extremo sabemos que $f$ alcanza sus valores máximo y mínimo absolutos en el intervalo, el cual se denotan como $M$ y $m$ respectivamente, así, sabemos que:

$$\int_{a}^{b} mdx\leq \int_{a}^{b} f(x)dx\leq \int_{a}^{b} Mdx$$

Las integrales de la izquierda y derecha se pueden evaluar fácilmente:

$$m(b-a)\leq \int_{a}^{b} f(x)dx\leq M(b-a) \tag{1}$$

Por otro lado, como $c \space \epsilon \space [a, b]$ entonces: $m\leq f(c) \leq M$ para alguna $c \space \epsilon \space [a, b]$.

Si $m$ y $M$ son infinitesimalmente pequeños, entonces $m=f(c)=M$, por lo que en $(1)$:

$$f(c)(b-a)\leq \int_{a}^{b} f(x)dx\leq f(c)(b-a)$$

$$\Rightarrow \int_{a}^{b}f(x)dx=f(c)(b-a)$$

$\square$

Veamos un ejemplo.

Ejemplo

  • Determine el valor promedio de la función $f(x)=1+x^{2}$ en el intervalo $[-1,2]$.

Vemos que $a=-1$ y $b=2$, para calcular el valor promedio de la función $f(x)$ utilizamos el teorema del valor medio como sigue:

$$f_{prom}=f(c)=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)dx$$

Así tenemos que:

$$f(c)=\frac{1}{2-(-1)}\int_{-1}^{2}(1+x^{2})dx=\frac{1}{3}\left [ x+\frac{x^{3}}{3} \right ]\bigg{|}_{-1}^{2}$$

$$=\frac{1}{3}\left [ 2+\frac{2^{3}}{3}-(-1)-\frac{(-1)^{3}}{3} \right ]=2$$

Vemos que $f(c)=2$, evaluamos en la función $f(x)$ el valor $c$ para encontrar su valor:

$$f(c)=1+c^{2}=2 \Rightarrow c=\pm 1$$

Sucede que en este caso hay dos números $c=1$ y $c=-1$ que toman el valor medio de la función $f(x)$.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.

Halle el valor promedio de las siguientes funciones en el intervalo indicado.

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. $f(x)=4x-x^{2}$, $[0,4]$
  2. $f(x)=4-x$, $[0,3]$
  3. $f(x)=3x^{2}-2x$, $[1,4]$
  • Determine los números $b$ talque el valor promedio de la función $f(x)=2+6x-3x^{2}$ en el intervalo $[0,b]$ sea igual a 3.
  • Demuestre que la velocidad promedio de un automóvil en un intervalo de tiempo $[t_{1}, t_{2}]$ es la misma que el promedio de sus velocidades.

Más adelante…

En esta sección vimos el teorema del valor intermedio aplicado a las integrales, en las siguientes secciones veremos las integrales impropias, es decir, integrales en donde se evalúa una función dentro de un intervalo que tiende a infinito o casos en donde la integral de una función se evalúa en todo $\mathbb{R}$.

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