Cálculo Diferencial e Integral II: Integrales impropias del $1^{er}$ tipo

Introducción

En la sección anterior vimos el teorema del valor medio para integrales, en esta sección veremos las integrales impropias de primer tipo.

Al introducir el concepto de integral definida se exigió que las funciones estuvieran definidas en intervalos cerrados y que la integral de esas funciones en ese intervalo este definida. En esta entrada se suprimen esas restricciones y veremos integrales del tipo:

$$\int_{a}^{\infty }f(x)dx$$

$$\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{1-x}}$$

Obsérvese que en la primera integral el límite de integración se escribe el símbolo de infinito y en la segunda integral para el punto $x=1$ el integrando no está definido en $1$, por lo que veremos las definiciones siguientes.

Integrales impropias del $1^{er}$ tipo

Definición. Sea $f$ una función continua definida en $[a, \infty)$ entonces definimos:

$$\int_{a}^{\infty }f(x)dx=\lim_{x \to \infty }\int_{a}^{x}f(t)dt \tag{1}$$

A $\int_{a}^{\infty }f(x)dx$ se le llama la integral impropia del $1^{er}$ tipo de la función $f$ de $a$ hasta $\infty$.

Definición. Si $\lim_{x \to \infty }\int_{a}^{x}f(t)dt$ es un numero real $L$ se dice que la integral es convergente y converge al valor $L$.

En cambio, si $\lim_{x \to \infty }\int_{a}^{x}f(t)dt$ da como resultado $\infty$ o $-\infty$, es decir, la integral diverge, entonces se dice que la integral diverge a $\infty$ o $-\infty$.

Análogamente, se puede dar la misma definición para cuando el límite de integración inferior tiende a $- \infty$.

Definición. Sea $f$ una función continua definida en $(-\infty, b]$ entonces definimos:

$$\int_{-\infty}^{ b}f(x)dx=\lim_{x \to -\infty }\int_{x}^{b}f(t)dt \tag{2}$$

Podemos tener integrales impropias de una función $f(x)$, tal que, los límites de integración van de $-\infty$ a $\infty$, en este caso, definimos lo siguiente:

Definición. Sea una función continua en $(-\infty, \infty)$ entonces:

$$\int_{-\infty}^{\infty }f(x)dx=\int_{-\infty}^{a}f(x)dx+\int_{a}^{\infty}f(x)dx \tag{3}$$

Veamos unos ejemplos.

Ejemplos

  • Calcula, si es posible, la integral $\int_{1}^{\infty }\frac{dx}{x^{2}}$.

Usamos la definición $(1)$, así:

$$\int_{1}^{\infty }\frac{dx}{x^{2}}=\lim_{x \to \infty }\int_{1}^{x}\frac{1}{t^{2}}dt$$

$$\Rightarrow =\lim_{x \to \infty }\int_{1}^{x}{t^{-2}}dt=\lim_{x \to \infty }\left [ (-1)t^{-1} \right ] \bigg|_{1}^{x}=\lim_{x \to \infty }(-x^{-1}-(-1)^{-1})=-\lim_{x \to \infty }\frac{1}{x}+\lim_{x \to \infty }1$$

Sabemos que:

$$\lim_{x \to \infty }\frac{1}{x}=0$$

Entonces:

$$\int_{1}^{\infty }\frac{dx}{x^{2}}=1$$

  • Calcula la siguiente integral impropia $\int_{-\infty}^{\infty} e^{x-e^{x}}dx$.

Por definición $(3)$, se tiene que:

$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{x-e^{x}}dx=\int_{-\infty}^{a} e^{x-e^{x}}dx+\int_{\infty}^{a} e^{x-e^{x}}dx$$

Usamos ahora las definiciones $(1)$ y $(2)$ como:

$$=\lim_{x \to -\infty} \int_{x}^{a}e^{t-e^{t}}dt+\lim_{x \to \infty} \int_{a}^{x}e^{t-e^{t}}dt$$

Para integrar esta función solo utilizamos el método de cambio de variable, para esto, sea $u=e^{t}$, entonces:

$$\int e^{t-e^{t}}dt=\int e^{-u}dt=-e^{-u}=-e^{-e^{t}}$$

Así, la integral impropia se resuelve como:

$$\lim_{x \to -\infty} \int_{x}^{a}e^{t-e^{t}}dt+\lim_{x \to \infty} \int_{a}^{x}e^{t-e^{t}}dt=\lim_{x \to -\infty}-e^{-e^{x}}+\lim_{x \to \infty}-e^{-e^{x}}=1+0=1$$

Por tanto, la integral converge a 1.

Veamos el teorema siguiente que nos dice para que casos la función $ \frac{dx}{x^{s}} $ converge:

Teorema: $\forall \space s >1$ la integral:

$$\int_{1}^{\infty } \frac{dx}{x^{s}}=\frac{1}{s-1}$$

Es decir, $\frac{1}{x^{s}}$ converge. Sin embargo, si $s\leq 1$ la integral: $$\int_{1}^{\infty } \frac{dx}{x^{s}} \space diverge \space a \space \infty$$

Demostración:

Veamos la demostración por casos.

Sea $s\neq 1$, entonces por definición $(1)$ se tiene que:

$$\int_{1}^{\infty } \frac{dx}{x^{s}}=\lim_{x \to \infty}\int_{1}^{x} \frac{dt}{t^{s}}=\lim_{x \to \infty}\frac{t^{-s+1}}{-s+1}\bigg|_{1}^{x}= \lim_{x \to \infty}\left ( \frac{x^{-s+1}}{-s+1}-\frac{1^{-s+1}}{-s+1} \right )$$

  • Si $s>1 \Rightarrow -s<-1 \Rightarrow -s+1<0$, entonces tenemos que:

$$\lim_{x \to \infty}\frac{x^{-s+1}}{-s+1}=0$$

$$\therefore \int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{s}}=\lim_{x \to \infty}\left (-\frac{1^{-s+1}}{-s+1} \right )=\frac{-1}{-s+1}=\frac{1}{s-1}$$

  • Si $s<1 \Rightarrow -s>-1 \Rightarrow -s+1>0$, entonces:

$$\lim_{x \to \infty}\frac{x^{-s+1}}{-s+1} \to \infty$$

$$\therefore \int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{s}} \space Diverge$$

  • Si $s=1$, entonces:

$$\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{s}}=\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x}=\lim_{x \to \infty}\int_{1}^{\infty}\frac{dt}{t}=\lim_{x \to \infty}\left ( ln(t) \right )\bigg|_{1}^{x}=\lim_{x \to \infty}(ln(x)-ln(1))=\lim_{x \to \infty}ln(x)-0\to \infty$$

$$\therefore \int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{s}} \space Diverge$$

$$\therefore \int_{1}^{\infty } \frac{dx}{x^{s}}=\frac{1}{s-1}$$

Converge para $s>1$ y diverge para $s\leq 1$.

$\square$

Veamos el siguiente ejemplo.

Ejemplo

  • $$\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{3/2}}$$

Vemos que del integrando podemos usar el teorema visto anteriormente donde $s=\frac{3}{2}>1$ por lo que, en ese caso, tenemos que:

$$\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{3/2}}=\frac{1}{\frac{3}{2}-1}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.

Calcule las siguiente integrales.

  1. $$\int_{0}^{\infty}e^{-x}dx$$
  2. $$\int_{-\infty}^{0}sin(x)dx$$
  3. $$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}+1}$$
  4. $$\int_{0}^{\infty}\frac{e^{x}}{1+e^{2x}}dx$$
  5. $$\int_{1}^{\infty}(1-x)e^{-x}dx$$

Más adelante…

En esta sección vimos integrales impropias del $1^{er}$ tipo que son integrales en donde se integra en un intervalo infinito y se necesita saber el área bajo la curva de una función $f(x)$, es decir, en intervalos no acotados, en la siguiente sección veremos integrales impropias del $2^{do}$ tipo que son integrales impropias en donde la discontinuidad de la función $f(x)$ no está definida en algún punto o todo intervalo en $(a,b)$.

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