Introducción

Ante el modelado de situaciones, resulta útil identificar qué tan lejos está un objeto de convertirse en otro. Si se identifica una secuencia o patrón entre una situación y la siguiente, posiblemente se pueda comprobar que, tras varios cambios, nos aproximaremos a algún resultado específico. El Análisis Matemático ofrece herramientas que formalizan este estudio. En la sección que a continuación presentamos trabajaremos más con la noción de cercanía a través de distancias que van tendiendo a cero. Esta vez lo haremos con una sucesión que toma elementos del espacio métrico. Se verá bajo qué condiciones estos puntos se acercan cada vez más a cierto punto en el espacio métrico. Comencemos con la siguiente:

Definición sucesión: Sea $(X,d)$ un espacio métrico. Decimos que una función $x: \mathbb{N} \to X$ es una sucesión en $X$.

Podemos pensar entonces que una sucesión elige, para cada número natural $n$, un elemento $x_n$ del conjunto $X$. Vamos a denotar una sucesión como $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}.$

¿Bajo qué condiciones podemos decir que la sucesión se aproxima cada vez más a cierto punto $x$ en $(X,d)$? Para que esto ocurra se espera que, siempre que se fije una distancia $\varepsilon >0$ como referencia, se pueda asegurar que los últimos elementos de la sucesión, tengan una distancia al punto $x$ menor que $\varepsilon$, es decir, que exista un número natural $N \,$ de modo que todos los puntos asignados por la sucesión a partir de la posición $N$, estén “dentro” de la bola de radio $\varepsilon$ con centro en $x$, el punto de convergencia. De manera formal, tenemos la:

Definición sucesión convergente: Vamos a decir que una sucesión $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ es convergente en $(X,d)$ si existe $x \in X$ tal que para todo $\varepsilon >0$ existe $N \in \mathbb{N}$ tal que para todo $n \geq N$ ocurre que $d(x_n,x)<\varepsilon$.

Si es así, diremos que $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ converge a $x$ y se indicará en la notación como:
$$x_n \to x$$
o como:
$$\underset{n \to \infty}{lim} \, x_n =x$$
Nota: $x_n \to x \text{ en } X \iff d(x_n,x) \to 0 \text{ en } \mathbb{R}$.
Si la sucesión no es convergente decimos que es divergente.

Ahora veamos que una sucesión no puede converger a dos puntos diferentes:

Proposición: Si $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ es una sucesión convergente en $X$ entonces el límite $\underset{n \to \infty}{lim} \, x_n$ es único.
Demostración:
Supongamos que $x_n \to x_a \,$ y $\, x_n \to x_b \,$ en $X$. Sea $\varepsilon>0$. Siguiendo la definición de convergencia se tiene que para todo $\frac{\varepsilon}{2} >0$ existen números naturales $N_a\, $ y $\, N_b\, $ tales que para todo $n\geq N_a, \, d(x_n,x_a)< \frac{\varepsilon}{2}$ y para todo $n\geq N_b, \, d(x_n,x_b)< \frac{\varepsilon}{2}$. Si elegimos $N = max\{N_a,N_b\}$ las dos condiciones anteriores se satisfacen. Entonces, para toda $n\geq N$,
$0 \leq d(x_a,x_b) \leq d(x_a,x_n)+d(x_n,x_b) \leq \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}= \varepsilon$
Nota entonces que $\forall \, \varepsilon >0,$ la distancia entre $x_a$ y $x_b$ queda acotada por $0 \leq d(x_a,x_b) \leq \varepsilon.$
En conclusión, $d(x_a,x_b)=0$, por lo tanto los puntos de convergencia son iguales.

Es importante mencionar que la convergencia de una sucesión depende tanto de la métrica como del conjunto a considerar. Una sucesión puede ser convergente en un espacio métrico pero no serlo en otro. Por ejemplo, la sucesión que a cada natural $n$ le asigna el número $\frac{1}{n}$ cumple que $(\frac{1}{n}) \to 0$ en $\mathbb{R}$ con la métrica euclideana, pero en el subespacio euclideano $(0,1]$ no es convergente, pues $0$ no está en el subespacio.

Definición subsucesión de $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$. Una subsucesión $(x_{k(n)})_{n \in \mathbb{N}}$ es una composición de la sucesión $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ con una función estrictamente creciente, $k:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$.
Esto significa que una subsucesión tomará elementos en $X$ de la sucesión, en el mismo orden en que aparecen, aunque es posible que vaya descartando algunos.

Hay una relación entre el límite de una sucesión y los de sus subsucesiones:

Proposición: Una sucesión $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge a $x$ en $X$ si y solo si toda subsucesión $(x_{k(n)})_{n \in \mathbb{N}}$ converge a $x$ en $X$.

Demostración:
Sea $(x_{k(n)})_{n \in \mathbb{N}}$ una subsucesión de $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$. Como $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge entonces existe $N \in \mathbb{N}$ tal que para todo $n \geq N, \, d(x_n,x) < \varepsilon$. Ya que $k: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ es estrictamente creciente, tenemos que para todo $j \geq N, \, k(j) \geq k(N) \geq N$. Así, $d(x_k(j),x)< \varepsilon$, lo cual demuestra que $(x_{k(n)}) \to x$. El regreso es trivial, pues es posible definir una subsucesión como la sucesión misma.

Definición: Diremos que una sucesión $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ en $X$ es acotada si existe $M \in \mathbb{R}$ y $x \in X$ tales que $\forall \, n \in \mathbb{N}$ ocurre que $d(x,x_n) \leq M$.
Esto significa que una sucesión es acotada si todos los puntos $x_n,$ con $n \in \mathbb{N}$ están en una bola abierta con centro en algún punto $x$ del espacio métrico.

¿Es posible concluir que una sucesión es convergente si sabemos que es una sucesión acotada? Al final se te propondrá dar un ejemplo de una sucesión acotada que no sea convergente.
En contraparte, tenemos la siguiente:

Proposición: Toda sucesión convergente es acotada.
Demostración:
Sea $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ una sucesión que converge a $x$ en $X$. Buscamos «encerrar» todos los puntos de la sucesión en una bola abierta. Si suponemos $\varepsilon = 1$, existe $N \in \mathbb{N}$ tal que para todo $n \geq N, \, d(x_n,x)<1$. Hasta aquí ya logramos «encerrar» todos los puntos de la sucesión a partir de $x_N$.

Para encerrar los elementos que van antes en la sucesión, considera las distancias entre $x$ y cada uno de esos puntos como $d_i = d(x_i,x), \, i=1,…,N-1$.

Si hacemos $M = máx\{d_i,1\}, \, i=1,…,N-1$, se consigue que para todo $n \in \mathbb{N}, \, d(x_n,x)<M$ con lo cual se demuestra que la sucesión es acotada.

Los últimos resultados que expondremos en esta entrada son muy importantes, en el sentido en que suele acudirse a ellos para otras demostraciones. Te sugerimos tenerlos presentes.

Proposición: Si $x_n \to x$ en $X$ entonces $x$ es un punto de contacto del conjunto $\{x_n \,|n \in \mathbb{N}\}$.
Según la definición, basta con demostrar que toda bola abierta de radio $\varepsilon >0$ con centro en $x$ interseca al conjunto $\{x_n\}$. La demostración se deja como ejercicio.

Proposición: Sea $A \subset X$ y $x \in X$. Entonces $x \in \overline{A}$ si y solo si existe una sucesión $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ en $A$ tal que $x_n \to x$ en $X$.

Demostración:
El regreso se concluye a partir de la proposición anterior.
Si $x \in \overline{A}$ entonces todas las bolas abiertas con centro en $x$ intersecan al conjunto $A$. Así, para cada $n \in \mathbb{N}$, podemos elegir un punto $x_n \in B(x, \frac{1}{n}) \cap A$. Como $d(x,x_n)< \frac{1}{n} \to 0$ en $\mathbb{R}$, se concluye que $x_n \to x$ en $X$.

Más adelante…

Tendremos un acercamiento a un espacio métrico cuyos elementos son los subconjuntos cerrados de otro espacio métrico. Al definir la distancia entre estos subconjuntos cerrados veremos que, si una sucesión de ellos converge, entonces lo hace en un subconjunto cerrado. Ya que eso significa que la distancia tiende a cero, y la distancia entre dos elementos es cero cuando son iguales, podemos esperar que los subconjuntos de la sucesión se parecerán cada vez más, al subconjunto al cual convergen.

Tarea moral

1. Prueba que si $(x_n) \to x$ en $X$ entonces $x$ es un punto de contacto del conjunto $\{x_n \,|n \in \mathbb{N}\}$.
2. Demuestra que una sucesión constante converge.
3. ¿Puede una sucesión ser convergente en el espacio discreto? ¿Bajo qué condiciones?
4. Da un ejemplo de una sucesión en $\mathbb{Q}$ que converge en $\mathbb{R}$ pero no en $\mathbb{Q}$.
5. Sea $A \subset X$. Demuestra que $x$ es un punto interior de $A$ si y solo si para toda $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ que converge a $x$ en $X$, existe $N>0$ tal que $\forall \, n \geq N, x_n \in A$.
6. Demuestra que $x \in X$ es un punto frontera de $A \subset X$ si y solo si existen sucesiones $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ en $A$ y $(b_n)_{n \in \mathbb{N}}$ en $X\setminus A$ que convergen a $x$.
7. Demuestra que si la imagen de una sucesión es finita entonces la sucesión es convergente.
8. Da un ejemplo de una sucesión acotada que no sea convergente.

Enlaces

• Análisis Matemático.
• Enlace a entrada anterior.
• Enlace a entrada siguiente.

Introducción

En las entradas anteriores hablamos de métricas definidas en distintos conjuntos. Trabajamos a partir de las distancias entre elementos representados como puntos. La mayoría de estos ejemplos fueron sobre el conjunto $\mathbb{R}^n$ pero, ¿será posible considerar como elementos objetos, aparentemente más complejos? Observemos ahora conjuntos de funciones y veamos si es posible definir una métrica entre ellas.

Considera el conjunto $C^0[a,b]$, que es el conjunto de funciones continuas que van del intervalo $[a,b] \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}$. Sean $f,g \in C^0[a,b]$. La suma de funciones y el producto de una función por un escalar para $\lambda \in \mathbb{R}$ definidos como:

\begin{align*}
(f+g)(x)&:= f(x)+g(x)\\
(\lambda f)(x)&:= \lambda f(x)
\end{align*}

Nos permiten considerar $C^0[a,b]$ como un espacio vectorial. Presentamos algunas normas para este espacio:

$$\norm{f}_p:= (\int_{a}^{b} |f(x)|^p \,dx)^{1/p} , \text{si } p \in [1,\infty),$$

$$\norm{f}_\infty:= máx\{|f(x)|:a\leq x \leq b \}.$$

En la sección de Espacios normados pudimos observar que una norma induce una métrica en un espacio vectorial. Es importante observar que la distancia entre funciones puede ser diferente según la métrica que se considere. Como ejemplo, consideremos las funciones en $C^0[0,1]$ definidas como:

\begin{align*}
f_k(x) &= \left\{ \begin{array}{lcc}
1-kx & si & 0\leq x \leq \frac{1}{k}\\
0 & si & \frac{1}{k} \leq x \leq 1
\end{array}
\right.\\
g(x)&= 0, \forall x \in [0,1]
\end{align*}

A continuación visualizamos el comportamiento de $f_k(x)$ para $k=1,2,3.$

Mientras que la función $g$ permanece sobre el eje horizontal.

Si calculamos la distancia entre $f_k(x)$ y $g(x)$ con la norma $||\cdot||_\infty$, podemos ver que $\forall \, k \geq 1$

\begin{align*}
||f_k(x)-g(x)||_\infty &= máx\{|f_k(x)-g(x)|:0\leq x \leq 1 \}\\
&= máx\{|1-kx-0|: 0\leq x \leq \frac{1}{k} \}\\
&= máx\{|1-kx|:0\leq x \leq \frac{1}{k} \}\\
&= 1
\end{align*}

Pero si consideramos $||\cdot||_p$ para $p=1$
\begin{align*}
\norm{f_k(x)-g(x)}_1&=\norm{f_k(x)-0}_1\\
&=\norm{f_k(x)}_1\\
&= \int_{0}^{1} |f(x)| \,dx)\\
&= \int_{0}^{1/k}1-kx\\
&=\dfrac{1}{2k}
\end{align*}

De modo que cuando $k \to \infty, \norm{f_k(x)-g(x)}_1 \to 0$

Esto muestra que la distancia entre dos funciones puede variar, considerablemente, al variar también la métrica usada.

Comentarios antes de la proposición

Nota que en el ejemplo anterior las funciones son acotadas, como lo son en general las funciones de $C^0[a,b]$, pues son continuas en un conjunto compacto en $\mathbb{R}$. ¿Qué pasa si alguna de las funciones no es acotada?

Sean $f:[0,1] \to \mathbb{R} \text{ y } g:[0,1] \to \mathbb{R}$ definidas como:
\begin{align*}
f(x) &= \left\{ \begin{array}{lcc}
1/x & si & 0 < x \leq 1\\
0 & si & x = 0
\end{array}
\right.\\
g(x)&= 0
\end{align*}
Entonces $\forall x \in [0,1]$
$|f(x)-g(x)|=|f(x)-0|=|f(x)|=f(x)$
Como $f$ no es acotada en $[0,1]$ no podemos hablar del valor del supremo por lo que la métrica inducida por $\norm{.}_\infty$ no está definida en este caso.

¿Qué pasa si $f \text{ y }g$ son acotadas pero no necesariamente son continuas?
Sean $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ y $g:[a,b] \to \mathbb{R}$ tales que $\forall \, x\in [a,b], |f(x)|\leq M_f \text{ y } |g(x)| \leq M_g$ para $M_f, M_g \in \mathbb{R}$ Entonces:
\begin{align*}
|f(x)-g(x)|&=|f(x)+(-g(x))|\\
&\leq|f(x)|+|g(x)|\\
&\leq M_f + M_g
\end{align*}

Se concluye que el conjunto $\{|f(x)-g(x)|: x \in [a,b]|\}$ es acotado y por tanto aquí sí podemos hablar del supremo.

Podemos pensar que para generalizar esta distancia entre funciones, basta con que esa distancia esté acotada. Veamos lo siguiente:

Definición función acotada: Sea $S$ un conjunto y $X=(X,d)$ un espacio métrico. Decimos que una función $f:S \to X$ es acotada si existe $M \in \mathbb{R}$ y $x_0 \in X$ tales que $\forall \, y \in S$ ocurre que $d(f(y),x_0) \leq M$. El conjunto de funciones acotadas de $f$ en $X$ se denota como:
$$\mathcal{B}(S,X):= \{ f:S \to X:f \text{ es acotada}\}$$.

Proposición: La métrica $d$ en $X$ induce una métrica en $\mathcal{B}(S,X)$ dada por:
$$d_\infty (f,g):= \underset{z\in S}{sup}\,d(f(z),g(z))$$
Y recibe el nombre de métrica uniforme.
Demostración:
Sean $f,g,h \in \mathcal{B}$ entonces:
1) \begin{align*} d_\infty(f,g)&=0 \\
\Leftrightarrow \underset{z\in S}{sup}\,d(f(z),g(z))&=0 \\
\Leftrightarrow \forall \, z \in S, d(f(z),g(z))&=0 \\
\Leftrightarrow \forall \, z \in S, f(z)&=g(z) \\
\Leftrightarrow f&=g. \\
\text{Por lo tanto: } d_\infty (f,g)=0 &\Leftrightarrow f=g
\end{align*}

2) \begin{align*}
d_\infty (f,g)&=\underset{z\in S}{sup}\,d(f(z),g(z))\\
&=\underset{z\in S}{sup}\,d(g(z),f(z)) \\
&=d_\infty(g,f).\\
\text{Por lo tanto: } d_\infty(f,g)&=d_\infty(g,f)
\end{align*}

3) \begin{align*}
d_\infty(f,g)&=\underset{z\in S}{sup}\,d(f(z),g(z))\\
&\leq \underset{z\in S}{sup}\,\{d(f(z),h(z))+d(h(z),g(z))\}\\
&\leq \underset{z\in S}{sup}\,d(f(z),h(z)) + \underset{z\in S}{sup}\,d(h(z),g(z))\\
&\leq d_\infty(f,h)+d_\infty(h,g)\\
\text{Por lo tanto: }d_\infty(f,g)&\leq d_\infty(f,h)+d_\infty(h,g)
\end{align*}

Ejemplos de espacios de funciones

Veamos ejemplos de espacios de funciones y analicemos la cercanía entre ellas. Recordemos que esto lo hacemos a través de las bolas abiertas con centro en un elemento del espacio métrico. En este caso, el centro es una función.

Funciones continuas del intervalo $[0,1]$ en $\mathbb{R}$
Si consideramos a $C[0,1]$ podemos observar que la bola abierta con centro en $f=0$ y radio $1$ está dado por $\{h: |h(x)|<1,x \in [0,1]\}$. Entonces, una función $h$ que esté en $B(f=0,1)$ debe satisfacer que $\forall x \in [0,1], -1<h(x)<1$.

En consecuencia, la bola abierta queda representada por curvas cuyos puntos se encuentren entre las rectas $y=-1$ y $y=1$.

Por otro lado, si consideramos como centro la función identidad $I(x)=x$ la bola de radio $1$ está dada por $\{h:|h(x)-x|<1,x \in [0,1]\}$. Entonces, una gráfica $h$ que esté en $B(I,1)$ debe satisfacer que $\forall x \in [0,1], -1<h(x)-x<1$ es decir $\forall x \in [0,1], x-1<h(x)<x+1$.

Entonces, la bola abierta queda representada por curvas cuyos puntos se encuentren entre las rectas $y=x-1$ y $y=x+1$.

De manera general si consideramos como centro una función $f(x)$ la bola de radio $1$ está dada por $\{h: |h(x)-f(x)|<1,x \in [0,1]\}$. Entonces, una gráfica $h$ que esté en $B(f,1)$ debe satisfacer que $\forall x \in [0,1], -1<h(x)-f(x)<1$ es decir $\forall x \in [0,1], f(x)-1<h(x)<f(x)+1$.

Entonces, la bola abierta queda representada por curvas cuyos puntos se encuentren entre las curvas de $f(x)-1$ y $f(x)+1$.

Funciones continuas del intervalo $[0,1]$ en $\mathbb{R}^2$
Consideremos a $\mathbb{R}^2$ con la métrica euclideana y a $C[0,1] \to \mathbb{R}^2$ el conjunto de funciones continuas. Una función en este conjunto se representa como una curva continua en $\mathbb{R}^2$

Entonces, una función $h$ que esté en la bola abierta con centro en $f=0$ y radio $1$ debe satisfacer $\{ h: \norm{h(x)-0}<1,x \in [0,1]\}$. Entonces su representación debe estar dentro de la bola de radio $1$ con centro en $0$.

Concluimos que $B(f=0,1)=\{ h: \norm{h(x)}<1, x \in [0,1], \}$. Dicho conjunto puede representarse de esta forma:

Funciones continuas de $[0,1]^2$ en $\mathbb{R}$

Ahora identifiquemos el conjunto $B(f=0,1)$ en el espacio $C^0[0,1]^2 \to \mathbb{R}$
El cuadrado $[0,1]^2$ visualizado en el plano $x_1 \, x_2$ se muestra como una sábana continua y representa la función $f(x)=0, x \in [0,1]^2$.

Si $h$ está en $B(f=0,1)$ entonces $|h(x)-0|<1,x \in [0,1]^2$, es decir, para todo $x \in [0,1]^2, -1<h(x)<1$. De modo que su gráfica será una sábana que esté entre las gráficas de $f_1(x)=-1 \, y\, f_2(x)=1$.

La $B(f=0,1)$ será la colección de todas las sábanas que cumplan esas condiciones:

Ahora considera como centro la función $f(x_1,x_2)=x_1$. Observemos el conjunto $B(f,1)$ en el espacio $C^0[0,1]^2 \to \mathbb{R}$.
La gráfica de $f$ se muestra a continuación.

Si $h$ está en $B(f,1)$ entonces $|h(x)-f(x)|<1,x \in [0,1]^2$, es decir, para todo $x \in [0,1]^2, x_{1}-1<h(x_1,x_2)<x_{2}+1$. De modo que su gráfica será una sábana que esté entre las gráficas de $f_1(x_1,x_2)=x_{1}-1\, y \, f_2(x_1,x_2)=x_{1}+1$.

La $B(f,1)$ será la colección de todas las sábanas que cumplan esas condiciones:

Queda como ejercicio al lector hacer el análisis corresponiente para una bola abierta con centro en una función arbitraria.

Funciones continuas de $[0,1]^2$ en $\mathbb{R}^2$

Considera $h$ una función en $C^0[0,1]^2 \to \mathbb{R}^2$. Bajo esa función, el cuadrado $[0,1]^2$ es transformado en una superficie como las mostradas en la imagen.

Si buscamos funciones que estén en la bola con centro en la función $0$ y radio $1$, demuestra que las figuras que representan la imagen de estas funciones estarán dentro del círculo unitario.

Más adelante…

Aprenderemos cómo identificar objetos que se aproximan entre sí y las condiciones que debe haber para que esto ocurra. Conoceremos el concepto de sucesión convergente en espacios métricos y descubriremos más particularidades que en el espacio euclideano no ocurren pero en otros espacios sí.

Tarea moral

1. Describe una representación de la bola abierta en $\mathbb{R}^2$ con un centro en una función distinta a la función cero.
2. Describe una representación de la bola abierta con centro en una función arbitraria en el espacio de funciones continuas de $\mathbb{R}^2$ en $\mathbb{R}$.
3. En el espacio de funciones continuas de $[0,1]^2$ en $\mathbb{R}^2$ buscamos funciones que estén en la bola con centro en la función $0$ y radio $1$. Demuestra que las figuras que representan la imagen de estas funciones estarán dentro del círculo unitario.

Enlaces

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Introducción

«En el Análisis tropezamos, casi siempre, con espacios provistos tanto de una topología como de operaciones de adición de elementos y multiplicación de éstos por números, es decir, tropezamos con los así llamados espacios topológicos lineales. Entre estos espacios, constituyen una clase importante los espacios normados. La teoría fue desarrollada en los trabajos de S. Banach y de otros autores». (Kolmogorov,1975).

Definición norma. Sea $X$ un espacio vectorial sobre $\mathbb R$. Se dice que una aplicación $\| . \| : V \rightarrow \mathbb R$ es una norma si para todo $x,y \in X$ y para todo $\lambda \in \mathbb R$ se satisface:

1. $\| x \|=0 \iff x=0$
2. $\|\lambda x\| = |\lambda| \|x\|$
3. $\|x + y\| \leq \|x\|+\|y\|$

El espacio vectorial $(X,\|.\|)$ es llamado espacio normado. Este a su vez induce un espacio métrico si se define:

$d(x,y)=\|x-y\|$

lo cual probaremos a continuación:

Demostración: Sean $x,y,z \in V$

1. $d(x,x)=\|x-x\|=\|0\|\iff x=0$
2. $d(x,y)=\|x-y\|=\|(-1)(-x+y)\|=|-1|\|-x+y\|=1\|y-x\|=\|y-x\|=d(y,x)$
3. $d(x,y)=\|x-y\|=\|x-z+z-y\|\leq \|x-z\|+\|z-y\|=d(x,z)+d(z,y)$

El recíproco no siempre es válido, es decir:

Proposición. No todos los espacios métricos son inducidos por espacios normados.

Demostración: Sean $X \neq \{0\}$ y $d$ la métrica discreta definida en Espacios métricos, entonces si $x \neq 0$
$\|2x\|=|2|\|x\|=|2|\|x-0\|=|2|d(x-0)=2(1)=2$
Lo cual no puede ser, pues la distancia únicamente toma valores en ${0,1}$

Ejemplos:

1. La norma p. Sea p $\in [1, \infty)$ y $x \in \mathbb {R}^n$. Si $x=(x_1,…, x_n)$, definimos:
   $\| x \|_p = (\sum_{i=1}^n |x_i|^p ) ^ {1/p}$ (p_norma).
2. $\|x\|_\infty = max \{|x_1|,…,|x_n|\}$ (la norma infinito).
3. En el espacio vectorial $C_{[a,b]}$ donde para $f \in C_{[a,b]}$, $\norm{f}=max_{a \leq t \leq b} |f(t)|$
4. Sea$(x_{n})$ en el conjunto de sucesiones acotadas. Se define la norma como: $\norm{(x_{n})}:=\sup_{n}|x_{n}|$.

Más adelante…

Ya que reconocemos la distancia entre dos puntos procederemos a identificar todos los puntos que están «cerca» de un punto específico. ¿Te suena familiar? Vamos a ver si el conjunto formado por estos puntos es diferente al que estamos acostumbrados a representar como una bola redonda de radio $\epsilon > 0$.

Tarea moral

1. Demuestra que si $(X,\|.\|)$ es un espacio normado, entonces $\forall \, x \in X, \norm{x} \geq 0$.
2. Demuestra que la norma $\| x \|_2$ induce la métrica euclideana.
3. Demuestra que la norma del ejemplo 3 induce la métrica en el espacio de funciones continuas vista en Espacios métricos.
4. Demuestra que en el conjunto de números complejos $\mathbb{C}$ pueden definirse las métricas 1 y 2.

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