El contenido de esta sección corresponde al libro Wheeden, R.L., Zygmund, A., Measure and Integral. An Introduccion to Real Analysis. (2da ed.). New York: Marcel Dekker, 2015, págs 34-37.
En la entrada anterior vimos que para cualesquiera se cumple que entonces
Nota que nosotros no hemos definido así la integral de Riemann-Stieltjes, sino tomando particiones cuyas normas tienden a cero. Aunque la intuición nos dice que particiones de intervalos muy pequeños se aproximan demasiado al valor de la integral, esto no siempre ocurre. Específicamente, incluso cuando se cumple que í en el caso de las sumas inferior y superior de Riemann-Stieltjes, la integral podría no existir. Veamos un ejemplo.
Sean y definidas como
Observa que y tienen un punto de discontinuidad común que provoca que no exista. En efecto, si es una partición entonces para algún Queda como ejercicio probar que con y así
sin importar qué tan pequeños sean los intervalos de la partición, por lo que no existe
Pese a lo anterior, es sencillo verificar que í
La siguiente proposición muestra hipótesis en las que la integral de Riemann-Stieltjes y los límites de las sumas sí coinciden.
Proposición: Sea acotada y monótona creciente. Si existe, entonces
existen y
í
Demostración: En el caso no trivial, supongamos que no es constante en
Sea Entonces dada existe tal que si entonces
Supongamos que con Tomemos tales que
Sean
entonces
Por otro lado, por (2),
Análogamente
De (6), (8) y la desigualdad del triángulo se sigue
mientras que de (7), (9) y la desigualdad del triángulo tenemos
por lo tanto
Dado que
í
entonces también
í
terminando así la prueba.
Para finalizar, veamos la siguiente:
Proposición: Sean acotada y monótona creciente y continua, entonces
a)
existen y se cumplen las siguientes igualdades:
í
b) Si además í entonces
existe y
í
Demostración: a) Será suficiente probar (10) y (11). Presentamos la demostración de (11). La igualdad faltante es análoga y se dejará como ejercicio al lector.
Para simplificar la notación, hagamos
í
Nota que (11) se cumple si y solo si dado existe tal que si entonces
Tomemos una partición de tal que
y sea
Ya que es uniformemente continua en existe tal que si entonces
Ahora tomemos partición de tal que y í
Vamos a mostrar que cumple (12).
Nota que
donde representa a los sumandos cuyos intervalos no tienen puntos de y representa a los que sí. Observa que, por como fueron elegidas y cada intervalo generado por tiene a lo más un punto de así
donde resulta de reemplazar cada sumando en que es de la forma
por la expresión
donde es el punto de en
Por lo tanto de (16) y (17) tenemos
Observa que se satisface al menos una de las siguientes igualdades:
Si se cumple (18) entonces
Pero si se cumple (19) se sigue que
En cualquier caso, de (13) y (14) la diferencia es a lo más
Entonces.
Más aún
con lo cual queda demostrada la proposición.
b) Dado que para cualquier
entonces haciendo concluimos:
í
Más adelante…
¡Gracias por acompañarnos en la exposición de este curso! Si deseas continuar, puedes consultar el contenido correspondiente a Análisis Matemático II. La comunidad sigue creciendo y ya trabaja creando notas con ejercicios que motiven el aprendizaje. Pronto te las compartiremos.
Tarea moral
En el ejemplo descrito al inicio, demuestra que a) con donde es el intervalo de la partición que tiene al cero. Prueba también que para todo existe una partición con tal que o dependiendo el punto elegido. Concluye que no existe b) Verifica que í
El contenido de esta sección corresponde al libro Wheeden, R.L., Zygmund, A., Measure and Integral. An Introduccion to Real Analysis. (2da ed.). New York: Marcel Dekker, 2015, págs 26-30.
Mostraremos resultados formales de la integral de Riemann-Stieltjes. Recordemos que en la entrada anterior partimos de dos funciones acotadas y y una partición en con puntos Definimos la suma de Riemann-Stieltjes como
Este resultado depende de y En esta ocasión, más que hacer haremos que la norma de la partición tienda a cero. Cuando existe tal que para cada existe tal que si entonces diremos que Si es finito lo llamamos integral de Riemann-Stieltjes de con respecto a en El valor de se denota como:
Por supuesto que este límite no siempre existe en Conozcamos una equivalencia que muestra cuando sí.
Proposición. Criterio de Cauchy para la integral de Riemann-Stieltjes: La integral existe si y solo si para cada existe tal que si entonces
La demostración se propone como tarea moral.
Ejemplos
Sean con continua y continuamente diferenciable, entonces De hecho, por el teorema del valor medio aplicado en para cada existen tales que
Teorema del valor medio en
Usando la continuidad uniforme de podemos asumir que, en intervalos muy pequeños, en consecuencia
Nota que esto ya es la común suma de Riemann y así:
o bien
Ahora considera donde
Gráfica de
y es una función continua en Es sencillo demostrar que
A continuación enunciaremos algunas propiedades de la integral de Riemann-Stieltjes. Las demostraciones las dejaremos como ejercicio.
Proposición: Sean y funciones de y entonces se satisfacen:
a) Si existe, entonces también existen tanto como y además
b) Si tanto como existen, entonces también existe y
c) Si tanto como existen, entonces también existe y
Para finalizar esta sección, veremos que es posible obtener la integral de Riemann-Stieltjes como equivalencia de la suma de integrales correspondientes a cada división del intervalo, como muestra la siguiente:
Proposición: Si existe y entonces
a) Tanto como existen y
b)
Demostración: Para simplificar la notación, hagamos donde
Para mostrar que existe, de acuerdo con el criterio de Cauchy para la integral de Riemann-Stieltjes encunciado arriba, será suficiente probando que para todo existe tal que si con entonces
Como existe entonces dada existe tal que para cualesquiera con tenemos
Sean tales que y toma tal que también
Definimos y Nota que ambas son particiones de cuya norma es menor que y por tanto satisfacen (4).
Notemos que
así, restando (5) de (6)
De (7) y (4) se cumple (3), por lo tanto
existe.
Análogamente se puede probar que existe, mientras que (5) y (6) permiten concluir que que es lo que queríamos demostrar.
Más adelante…
Veremos algunas propiedades más de la integral de Riemann-Stieltjes, por lo pronto desarrolla las ideas con los siguientes ejercicios.
Tarea moral
Prueba el Criterio de Cauchy para la integral de Riemann-Stieltjes:La integral existe si y solo si para cada existe tal que si entonces
Considera donde y es una función continua en Prueba que
Sean y funciones de y Demuestra que se satisfacen: a) Si existe, entonces también existen tanto como y además b) Si tanto como existen, entonces también existe y c) Si tanto como existe, entonces también existe y
Sean funciones acotadas. Demuestra que si y existe entonces también existe.
El contenido de esta sección corresponde al libro Wheeden, R.L., Zygmund, A., Measure and Integral. An Introduccion to Real Analysis. (2da ed.). New York: Marcel Dekker, 2015, págs 22-26.
Tal como lo hicimos en la entrada anterior, seguiremos hablando de las funciones de variación acotada. Notemos que en los resultados de esta teoría no suele pedirse que la función sea continua o acotada, más aún, esto pudiera no ser suficiente para que una función sea de variación acotada, tal como lo muestra un ejercicio de la tarea moral de esta sección. Veamos entonces qué hipótesis pudieran ser útiles. Comencemos con la siguiente:
Definición.Discontinuidades del primer tipo. Sea y sea En los siguientes dos casos, no es continua en
a) Cuando y existen y son distintos de pero
El límite por la izquierda en es distinto al límite por la derecha.
b) Cuando y existen y son distintos de y además pero
Existe el límite en pero la función no es continua ahí.
En cualquiera de estas situaciones, diremos que tiene una discontinuidad del primer tipo en
Proposición. Sea una función de variación acotada en entonces tiene a lo más una cantidad numerable de discontinuidades y todas son del primer tipo.
Demostración: Sea de variación acotada. De acuerdo con la entrada anterior, es acotada en . Veamos un caso bonito en el que es creciente.
El conjunto de discontinuidades de puede expresarse como
pues el «tamaño del salto» en una discontinuidad siempre será mayor que algún suficientemente pequeño.
Nota que cada uno de los conjuntos que compone la unión es o bien finito o vacío, (pues para cada el segmento cabe un número finito de veces en la altura ), por lo tanto, es contable.
Cada conjunto es finito o vacío.
Ahora veamos el caso general. De acuerdo con el teorema de Jordan, visto al final de la entrada anterior, con y funciones crecientes y acotadas que, por lo que acabamos de ver, tienen un número contable de discontinuidades del primer tipo, por lo tanto también cumple la condición.
Definición: Norma de Sea una partición de La norma de se define como la longitud del intervalo más grande de la partición y se denota como:
á
El resultado que veremos a continuación muestra condiciones bajo las cuales, cuando los intervalos generados por la partición son chiquititos, es posible aproximarse mucho a la variación a través de sumas Esto no siempre es así, recordemos el tercer ejemplo de la entrada anterior. ¿Puedes dar ejemplos de particiones donde no se acerca a aun siendo menor que cualquier (Ver ejercicio en tarea moral).
Proposición. Si es una función continua en entonces es decir, dado existe tal que para cualquier partición de con
Demostración:
Sea tal que
Tomemos tal que
Como es continua en entonces es uniformemente continua en Sea tal que si entonces
Nota que sí es fijo, pues lo es por ser el número de intervalos de la partición elegida.
Toma tal que íí
Sea una partición de tal que Afirmamos que esta partición satisface lo deseado, es decir que
Partimos de la igualdad
Ahora separemos los términos del lado derecho sumando en todos los sumandos donde no hay elementos de en el intervalo de correspondiente y sumando en aquellos donde sí los hay.
Por (3) todos estos intervalos son menores que cualquier intervalo de entonces cada intervalo de contiene a lo más un término de y así tiene a lo más sumandos.
Sea entonces es un refinamiento de ambas particiones. Bajo este indicador podemos reemplazar cada sumando de por los sumandos que separa el término de La suma de todos estos la representaremos con
Por (2) y (3),
y como
de (7) y (8) tenemos y como
Por lo tanto que es lo que queríamos demostrar.
Corolario. Si tiene derivada continua en se tiene que:
a)
b)
c)
Demostración: a) Sea una partición de Por el teorema del valor medio, aplicado en cada intervalo con sabemos que existe tal que
Por el teorema que acabamos de demostrar concluimos que
b) A continuación usaremos un resultado visto en la entrada anterior y haremos también una sustitución en con la igualdad en a).
c) La demostración es análoga a la anterior, partiendo de y la proponemos como ejercicio.
Pasemos ahora a conocer las curvas rectificables, comenzando con aquellas que pertenecen al plano
Definición. Curva en el plano y traza. Sean y dos ecuaciones paramétricas. Una curva en el plano está dada por: con
La traza de es el conjunto .
Nota que en la definición no se excluye que la traza pueda tener intersecciones ni tampoco se dan las condiciones necesarias para que sea continua o acotada.
Definición. La longitud de Sea una partición de Para cada definimos Pensemos en dibujar los puntos y las líneas que los conectan con su sucesor. La suma de la medida de cada una de estas líneas está dada por:
y denota la longitud de la poligonal generada. Como esta longitud depende de la partición, presentamos la longitud de como:
Entonces
Representación de
Veamos bajo qué condiciones podemos hablar de una longitud finita.
Definición curva rectificable. Sea una curva. Diremos que es rectificable si
Proposición. Sea una curva. Entonces es rectificable si y solo si tanto como son de variación acotada. Más aun.
Demostración: Supongamos que es rectificable. Sea una partición de
Sabemos que para cualesquiera
Por definición
Usando (13) y (14) en cada término de
Análogamente
Es decir, y son de variación acotada. Recíprocamente, partiendo de este hecho y usando que para cualesquiera se cumple que
concluimos
Por lo tanto lo que significa que es rectificable.
Al final de esta sección se te propone, en el ejercicio 4 de la tarea moral, una función que no es de variación acotada. De acuerdo con la proposición que acabamos de probar, la curva dada por no es rectificable aunque, curiosamente, tiene su traza en apenas un segmento de la línea en lo que significa que la longitud de la traza de una curva no necesariamente coincide con la longitud de la curva.
Las curvas en
La idea de la curva en también puede generalizarse en el caso A partir de una partición de podemos definir la curva con puntos en de la forma con y donde cada es una ecuación paramétrica. La longitud de la curva está dada por:
También diremos que y si definimos que la curva es rectificable.
Más adelante…
Presentaremos la integral de Riemann-Stieltjes motivándola con conceptos de Probabilidad, viendo su significado a través de la función distribución o la esperanza.
Tarea moral
Construye una función no decreciente, acotada que sea continua en los números irracionales y discontinua en los racionales como sigue: si es el conjunto de números racionales define ¿Es de variación acotada?
El ejercicio 3 de la entrada anterior decía lo siguiente: Sea un intervalo con el en su interior y tal que Entonces o de modo que Sea Para cada ¿Puedes dar ejemplo de una partición donde aun siendo menor que
Prueba que si tiene derivada continua, entonces
Sea tal que Muestra que es acotada y continua en pero
Demuestra que también en el caso en que la curva está en es rectificable si y solo si cada es de variación acotada.
Teorema. Stone-Weierstrass: Sea un espacio métrico compacto. Sea es decir, es un conjunto de funciones continuas de en Si satisface las siguientes propiedades:
a) Para cada y se cumple que Esto es, es cerrado bajo combinaciones lineales.
b) Para cada se cumple que Esto es, es cerrado bajo producto de funciones.
c) donde es la función constante que para cada asigna el valor
d) Para cualesquiera tales que existe una función tal que
Entonces es denso en es decir,
Demostración: Sea como en las hipótesis. Para probar que tomemos Sea Demostraremos que para toda se cumple que existe una función tal que es decir
Para que dicha exista, es suficiente demostrar que existe tal que
Pues si esa existe, entonces por lo visto en la entrada Convergencia, existe también una sucesión de funciones en tales que en y así existe tal que En consecuencia las desigualdades evidenciarían la existencia de la deseada. Procedamos entonces a justificar la existencia de la descrita arriba.
Fijemos Por el lema 1, visto en la entrada tal sabemos que para cada existe (que depende de y de ) tal que
Sea Como tanto como son continuas en entonces la función es continua en Así, para cada existe tal que si entonces
La colección de bolas abiertas de radio y centro en la respectiva es una cubierta abierta de que recordemos es compacto. Así, existe una subcubierta finita de es decir, existen
con tales que es una cubierta abierta de
Sea
í Demostraremos que esta función se acerca muchísimo a en cualquier punto, específicamente que Para cada
Esto ocurre porque si entonces existe tal que Así:
Y por (3)
Por el lema 4 de la entrada anterior sabemos que es continua en En consecuencia la función también lo es, de modo que existe tal que si entonces por (1) tenemos
Como es arbitraria, pensemos ahora en todas las que podemos hacer con cada Nota que es una cubierta abierta de compacto. Así, existe una subcubierta finita de es decir, existen
con tales que es una cubierta abierta de
Sea
á
Como todas las funciones dentro del corchete están en también pertenecen a Por el Lema 4, podemos decir que (ver tarea moral de esta sección).
A continuación demostraremos que
Sea
Por un lado, como existe tal que Sabemos que
Y por (5)
Como esto ocurre para cualquier entonces ocurre para cada Se sigue que
áá
Por otro lado, en la desigualdad (4) tenemos
Como esto ocurre para cualquier entonces ocurre para cada Se sigue que
áá
De (7) y (8) tenemos que para cada
Y así
Que es lo que queríamos demostrar.
Finalizamos esta sección con el siguiente:
Corolario. Sea compacto y sea el conjunto de polinomios en variables que van de en Entonces toda función continua se puede aproximar con polinomios, es decir, existe una sucesión de polinomios tal que con la métrica uniforme.
La demostración se deja como ejercicio.
Más adelante…
Complementaremos las ideas de aproximación notando que, para el caso de las funciones continuas en un intervalo cerrado, también es posible encontrar una aproximación a través de lo que llamaremos «función cuadrática por pedazos».
Tarea moral
Sea como en las hipótesis del teorema de Stone-Weierstrass. Muestra que si entonces la función í también pertenece a
Prueba el corolario. Sugerencia: Demuestra que satisface las hipótesis del teorema de Stone-Weierstrass. Usa la función proyeccion, que es continua, para probar que cumple d).
Demuestra que el conjunto de polinomios de grado impar de es denso en ¿Satisface las hipótesis del teorema?
En las entradas anteriores vimos que es posible aproximarnos a una función continua a través de polinomios (link Bernstein) y también que es posible generalizar el concepto en funciones continuas con dominio en un espacio compacto (link Stone-Weierstrass). No queremos pasar a otra sección sin hacer notar que, para el caso de las funciones continuas en un intervalo cerrado, también es posible encontrar una aproximación a través de una función cuadrática por pedazos.
Definición. Función cuadrática por pedazos. Sea decimos que es una función cuadrática por pedazos en si existen intervalos donde tal que la función restringida en cada intervalo es una función cuadrática.
Representación de una función cuadrática por pedazos
Antes de dar paso a la proposición recordemos que si tenemos tres puntos con como muestra la imagen, entonces la parábola que pasa por ellos tiene a como vértice de la parábola y por tanto también como máximo o mínimo.
Dicha parábola está dada por la función
Una traslación nos muestra que esta propiedad se cumple para cualesquiera tres puntos del plano cuando uno de ellos tiene la primera coordenada en el punto medio de las primeras coordenadas de los otros dos.
Esta construcción la usaremos más adelante. Ahora sí, demos paso a la aproximación deseada.
Proposición: Sea el conjunto de las funciones cuadráticas por pedazos en el intervalo entonces es denso en (el conjunto de las funciones continuas en ).
Demostración: Sea y Para probar que es denso en buscamos tal que
Como es continua en entonces también es uniformemente continua, por lo tanto existe tal que para cada si entonces
Sea tal que
Definimos intervalos de longitud en como sigue:
El intervalo se divide en subintervalos de igual longitud
Si para cada intervalo con identifica la parábola que pasa por el punto el punto (motivados por la función ) y el punto (simplemente reflejando al punto en la recta ).
Representación del caso en que es máximo en la parábola
Arriba describimos que existe una parábola que pasa por esos tres puntos y que hace que el punto sea vértice y así es también máximo o mínimo de la parábola. Consideremos únicamente la restricción de en el intervalo y una concatenación de estas para definir una función es decir
donde es la función característica en el intervalo .
Representación de la función
Ahora probemos que la distancia de a es menor que Sea entonces para algún
Por (1) sabemos que
Por otro lado, como es creciente cuando es máximo (o decreciente si es mínimo), entonces se cumple
En cualquier caso
Representación de la distancia entre y
Por lo tanto
probando así que
Más adelante…
Comenzaremos con la última sección del blog correspondiente a Análisis Matemático I. A través de definiciones y proposiciones llegaremos al concepto de la integral de Riemann-Stieltjes. Esta noción generaliza a la integral de Riemann, que suele verse en los cursos de Cálculo, pero que también es un caso particular de la integral de Lebesgue, la que se verá en el curso de Análisis Matemático II.
Tarea moral
Sea y sea el conjunto de funciones lineales por pedazos en Muestra que es denso en