(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

Sería conveniente que revisaras el concepto de relación que vimos en la Nota 7. Relaciones y funciones . En esta nota veremos el concepto de relación de equivalencia, útil en distintas áreas de la matemática, como el álgebra, la teoría de números, el análisis, la topología etc.

Recuerda que dado un conjunto $A$, una relación $\mathcal R$ en $A$ es un subconjunto de $A\times A$, la relación de equivalencia será aquella que cumpla tres condiciones que llamaremos reflexividad, simetría y transitividad.

Definición

Sea $A$ un conjunto, $\mathcal R\subseteq A\times A$ una relación. Decimos que $\mathcal R$ es una relación de equivalencia si y sólo si:

1. $\forall a\in A\,\,\,\,(a,a)\in R$, es decir es reflexiva.
2. $\forall a,b\in A$, si $(a,b)\in \mathcal R$, entonces $(b,a)\in \mathcal R$, es decir es simétrica.
3. $\forall a,b,c\in A$, si $(a,b)\in \mathcal R$ y $(b,c)\in \mathcal R$, entonces $(a,c)\in \mathcal R$. es decir es transitiva.

Ejemplos

1. $\mathcal R\subseteq \mathbb R\times \mathbb R$ con $\mathcal R=\set {(a,b)\in \mathbb R\times \mathbb R\mid a=b}$

$\forall a\in \mathbb R$ la pareja $(a,a)\in \mathcal R$ ya que $a=a$, y por lo tanto es reflexiva.

$\forall a,b\in \mathbb R$, si $(a,b)\in \mathcal R$ entonces $a=b$, y por lo tanto $(b,a)\in \mathbb R$, así la relación es simétrica.

$\forall a,b,c\in \mathbb R$, si $(a,b)\in \mathcal R$ y $(b,c)\in \mathcal R$ entonces $a=b$ y $b=c$, así $a=c$ y entonces $(a,c)\in \mathcal R$, así la relación es transitiva.

2. $\mathcal R\subseteq \mathbb Z\times \mathbb Z$ con $(a,b)\in \mathcal R$ si y sólo si $a<b$.

Veamos que esta relación es transitiva: dados $a,b,c,d\in \mathbb Z$ si $(a,b)\in \mathcal R$ y $(b,c)\in \mathcal R$, entonces $a<b$ y $b<c$, de donde concluimos que $a<c$ y así $(a,c)\in \mathcal R$.

No es reflexiva pues $1\nless1$, así $(1,1)\notin \mathcal R$.

No es simétrica ya que $1<2$, pero $2\nless 1$, así $(1,2)\in \mathcal R$ pero $(2,1)\notin \mathcal R$.

Y por lo tanto la relación $\mathcal R$ no es una relación de equivalencia.

3. Sea $\mathcal R$ una relación en $\mathbb Z$, dada por $(a,b)\in \mathcal R$ si y sólo si $a$ y $b$ tienen la misma paridad, es decir si y sólo si ambos son pares o ambos son impares.

Notemos que:

$(a,b)\in \mathbb R$ si y sólo si $a-b$ es par.

Tenemos entonces que $(a,a)\in \mathbb R$ pues $a-a=0=2(0)$, así la relación es reflexiva.

Si $(a,b)\in \mathcal R$, entonces $a-b$ es par, por lo cual $a-b=2k$, con $k\in \mathbb Z$. Así, $b-a=2(-k)$, por tanto $b-a$ también es par y entonces $(b,a)\in \mathcal R$. Concluimos que la relación es simétrica.

Para mostrar que $\mathcal R$ es transitiva, sean $(a,b)\in \mathcal R$ y $(b,c)\in \mathcal R$, entonces $a-b$ y $b-c$ son pares es decir:

$a-b=2k$ y $b-c=2q$ con $k,q\in \mathbb Z$.

Así, $a-c=(a-b)+(b-c)=2k+2q=2(k+q)$ con $k+q\in \mathbb Z.$

Esto nos muestra que $a-c$ es par y entonces $(a-c)\in \mathcal R$. Así, $\mathcal R$ es transitiva.

Dado que $\mathcal R$ es reflexiva, simétrica y transitiva concluimos que $\mathcal R$ es una relación de equivalencia.

Notación:

Si $\mathcal R$ es una relación de equivalencia:

$(a,b)\in \mathcal R$ se denota por $a\sim b$.

$(a,b)\notin \mathcal R$ se denota por $a\nsim b$.

Definición

Sea $A$ un conjunto, $\mathcal R$ una relación de equivalencia en $A$. Para cada $x\in A$ definimos la clase de equivalencia de $x$ como:

$[x]=\overline{x}=\set{y\in A\mid y\sim x},$

a cada $y\in \overline{x}$ se le llama un representante de la clase $\overline{x}$.

Ejemplos:

1. $\mathcal R$ la relación en $\mathbb R^2$ dada por $(p,q)\in \mathcal R$ si y sólo si $\|p\|=\|q\|$.

$\mathcal R$ es una relación de equivalencia (quedará como ejercicio en la tarea moral).

Dado $p\in \mathbb R^2$

$\overline{p}=\set{q\in \mathbb R^2\mid q\sim p}=\set{q\in \mathbb R^2\mid \|p\|=\|q\|}.$

Por ejemplo:

$\overline{(2,2)}=\set{ q\in \mathbb R^2\mid \|q\|=\|(2,2)\|}=\set{ q\in \mathbb R^2\mid \|q\|=2\sqrt{2}}.$

Claramente $(2,2)$ es un representante de $\overline{(2,2)}$, pero no es el único. Por ejemplo $(2\sqrt{2},0)\in \overline{(2,2)}$, entonces $(2\sqrt{2},0)$ es otro representante de $\overline{(2,2)}$.

2. $\mathcal R$ la relación en $\mathbb Z$ dada por $a,b\in \mathbb Z$, $(a,b)\in \mathcal R$ si y sólo si $b-a$ es múltiplo de 3.

$\mathcal R$ es una relación de equivalencia (quedará como ejercicio en la tarea moral).

$\overline{a}=\set{b\in \mathbb Z\mid b\sim a}$

$\phantom{\overline{a}}=\set{b\in \mathbb Z\mid b-a\,\,\,es \,\,\,múltiplo\,\,\,de\,\,\,3}$

$\phantom{\overline{a}}=\set{b\in \mathbb Z\mid b-a=3k\,\, k\in Z}$

$\phantom{\overline{a}}=\set{3k+a\mid k\in \mathbb Z}$

Así:

$\overline{0}= \set{3k+0\mid k\in \mathbb Z}= \set{3k\mid k\in \mathbb Z}=\set{\dotsi,-6,-3,0,3,6,\dotsi}$

$\overline{1}= \set{3k+1\mid k\in \mathbb Z}=\set{\dotsi,-5,-2,1,4,7,\dotsi}$

$\overline{2}= \set{3k+2\mid k\in \mathbb Z}=\set{\dotsi,-4,-1,2,5,8,\dotsi}$

Tarea Moral

1. Determina si las siguientes relaciones en el conjunto $A$ son reflexivas, simétricas y transitivas:

i) $A=\set{2,3,4,\dotsi}$, $\mathcal R$ la relación en $A$ dada por $(a,b)\in \mathcal R$ si y sólo si $a$ y $b$ tienen un factor común distinto de $1$ o $-1.$

ii) $A=\set{t\mid t \, \,es \, \, un \, \, triángulo \, \, en \, \, \mathbb R^2}$

$\mathcal R$ la relación en $A$ dada por $(a,b)\in \mathcal R$ si y sólo si $a$ es semejante a $b$.

iii) $A=\mathbb R^2$, $\mathcal R$ es la relación en $A$ dada por $(a,b)\in \mathcal R$ si y sólo si $a$ y $b$ están sobre la misma recta horizontal.

iv) $A=\set{1,2,3,4}$, $\mathcal R$ la relación en $A$ dada por:

$\mathcal R=\set{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,3),(3,1),(4,3),(3,4)}$

2. Sea $\mathcal R$ una relación simétrica y transitiva. Sea $(x,y)\in \mathcal R$, por ser $\mathcal R$ simétrica $(y,x)\in \mathcal R$ y por transitividad concluimos que $(x,x)\in \mathcal R$. ¿Podemos entonces decir que la simetría y la transitividad implican la reflexividad?

3. Numerando las propiedades:

$1$ reflexividad

$2$ simetría

$3$ transitividad

Da relaciones, si es que existen, tales que:

Cumpla $1$ y $2$ pero no $3$.

Cumpla $1$ y $3$ pero no $2$.

Cumpla $2$ y $3$ pero no $1$.

Cumpla $1$ pero no $2$ y $3$.

Cumpla $2$ pero no $1$ y $3$.

Cumpla $3$ pero no $1$ y $2$.

4. En los incisos del ejercicio 1 en los que se tenga una relación de equivalencia describe las distintas clases de equivalencia.

5. Sea $A=\mathbb Z$, $\mathcal R$ la relación en $A$ dada por $(a,b)\in \mathcal R$ si y sólo si $4$ divide a $b-a$. Prueba que $\mathcal R$ es una relación de equivalencia y describe las distintas clases de equivalencia.

6. Define una relación de equivalencia en el conjunto $A=\set{0,2,4,6}$ y encuentra las distintas clases de equivalencia.

7. Prueba que las relaciones dadas en los ejemplos 1 y 2 son relaciones de equivalencia.

Más adelante

En la siguiente nota describiremos qué es una partición. Veremos cómo es que dada una relación de equivalencia en un conjunto $A$ ésta nos genera una partición del conjunto, y también al revés, cómo dada una partición en $A$ tendremos asociada una relación de equivalencia a esa partición.

Enlaces relacionados

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Enlace a la nota anterior. Nota 12. Teoremas de la composición de funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas.

Enlace a la nota siguiente. Nota 14. Familia de Conjuntos y particiones.

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En la nota anterior definimos cuándo una función es inyectiva, suprayectiva y biyectiva, en esta nota daremos cinco resultados referentes a la composición de funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas, de forma que es conveniente que se tengan muy claras las definiciones de estos conceptos.

Teorema

La composición de funciones inyectivas es inyectiva.

Demostración

Consideraremos cualesquiera dos funciones inyectivas y vamos a mostrar que su composición es inyectiva.

Sean $A$, $B$, $C$ conjuntos $f:A\to B$, $g:B\to C$ funciones inyectivas.

Por demostrar que $g\circ f$ es inyectiva.

Para mostrar que la composición es inyectiva se tiene que ver que si $g\circ f(x_1)= g\circ f(x_2)$ entonces $x_1=x_2$.

Sean $x_1,x_2\in A$ tales que $g\circ f(x_1)= g\circ f(x_2)$

por definición de composición se tiene que

$g(f(x_1))= g(f(x_2)),$

al ser $g$ inyectiva esto implica que $f(x_1)=f(x_2)$

y como $f$ también es inyectiva concluimos que $x_1=x_2$.

Por lo tanto $g\circ f$ es inyectiva, así la composición de funciones inyectivas es inyectiva.

$\square$

Teorema

La composición de funciones suprayectivas es suprayectiva

Demostración

Sean $A$, $B$, $C$ conjuntos $f:A\to B$, $g:B\to C$ funciones suprayectivas.

Por demostrar que $g\circ f$ es suprayectiva.

Para probar que $g\circ f:A\to C$ es suprayectiva dado $c\in C$ tenemos que exhibir $a\in A$ tal que $g\circ f(a)=c$.

Sea $c\in C$.

Como $g$ es suprayectiva, existe $b\in B$ tal que $g(b)=c$.

Como $f$ es suprayectiva, existe $a\ A$ tal que $f(a)=b$.

Entonces

$g\circ f(a)=g(f(a))=g(b)=c.$

Así, para para cada $c\in A$ existe $a\in A$ tal que $g\circ f(a)=c$ que es lo que queríamos demostrar.

$\square$

Corolario

La composición de funciones biyectivas es biyectiva.

Demostración

Sean $A$, $B$, $C$ conjuntos $f:A\to B$, $g:B\to C$ funciones biyectivas.

Como $f$ y $g$ son biyectivas, en particular son inyectivas y por lo demostrado anteriormente $g\circ f$ es inyectiva.

Como $f$ y $g$ son biyectivas, en particular son suprayectivas y por lo demostrado anteriormente $g\circ f$ es suprayectiva.

Así, $g\circ f$ es inyectiva y suprayectiva y por lo tanto biyectiva, que es lo que queríamos probar.

$\square$

Teorema

Sean $A$, $B$, $C$ conjuntos $f:A\to B$, $g:A\to B$, $h:B\to C$ funciones, con $h$ inyectiva. Si $h\circ f=h\circ g$, entonces $f=g$.

Consideremos $A$, $B$, $C$ conjuntos $f:A\to B$, $g:B\to C$, $h:B\to C$ funciones. Tomemos como hipótesis que $h$ es inyectiva y que $h\circ f=h\circ g$. Debemos probar que $f=g$.

Veamos que $f$ y $g$ tienen la misma regla de correspondencia. Sea $a\in A$, como $h\circ f=h\circ g$ tenemos que $h\circ f(a)=h\circ g(a).$

Por definición de composición lo anterior implica que:

$h(f(a))=h(g(a)),$

y al ser $h$ inyectiva:

$f(a)=g(a).$

Por lo tanto $f$ y $g$ tienen la misma regla de correspondencia. Como además tienen el mismo dominio y el mismo codominio concluimos que $f=g$, que es lo que queríamos demostrar.

$\square$

Teorema

Sean $A$, $B$, $C$ conjuntos $f:A\to B$, $g:B\to C$, $h:B\to C$ funciones, con $f$ suprayectiva. Si $g\circ f=h\circ g$, entonces $g=h$.

Consideremos $A$, $B$, $C$ conjuntos $f:A\to B$, $g:B\to C$, $h:B\to C$ funciones. Supongamos que $f$ es suprayectiva y que $g\circ f=h\circ f$. Tenemos que demostrar que $g=h.$

Veamos que $g$ y $h$ tienen la misma regla de correspondencia. Para ello consideremos un elemento cualquiera de su dominio, es decir un $b\in B.$ Como $f$ es suprayectiva sabemos que existe $a\in A$ tal que $f(a)=b$.

Además $g\circ f=h\circ f$ por hipótesis, así que $g\circ f(a)=h\circ f(a).$ Entonces por la definición de composición de funciones se tiene que:

$g(f(a))=h(f(a)).$

Pero $a$ es tal que $f(a)=b$, así que podemos reescribir lo anterior de la siguiente forma:

$g(b)=h(b).$

De este modo para cualquier $b\in B$ se tiene que $g(b)=h(b)$ y entonces $g$ y $h$ tienen la misma regla de correspondencia.

Como además $g$ y $h$ tienen el mismo dominio y el mismo codominio concluimos que $g=h$, que es lo que queríamos demostrar.

$\square$

Tarea Moral

1. En cada inciso determina si existe, y en su caso encuentra funciones $f$ y $g$ con las siguientes características:

i) Sean $f:A\to B$, $g:B\to C$ tales que $f$ es inyectiva, $g$ suprayectiva pero $g\circ f$ ni inyectiva ni suprayectiva.

ii) Sean $f:A\to B$, $g:B\to C$ tales que $f$ es no es suprayectiva, $g$ no es inyectiva pero $g\circ f$ es biyectiva.

Más adelante

En la siguiente nota retomaremos el tema de relaciones para hablar de una muy especial y útil, la llamada relación de equivalencia, un concepto ampliamente usado en distintas áreas de las matemáticas.

Enlaces relacionados

Página principal del curso.

Enlace a la entrada anterior. Nota 11. Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas.

Enlace a la entrada siguiente. Nota 13. Relación de equivalencia.

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En esta nota analizaremos las definiciones de lo que es una función inyectiva o uno a uno, suprayectiva o aquella que tiene su codominio lleno, y las biyectivas, aquellas funciones que son inyectivas y suprayectivas al mismo tiempo, terminaremos mostrando que el hecho de tener una función invertible es equivalente a tener una función biyectiva.

Definición

Sean $A$, $B$ conjuntos, $f:A\to B$ una función. Si para cada $x_1$, $x_2$ $\in A$ se tiene que:

$x_1\neq x_2$ implica que $f(x_1)\neq f(x_2)$

O de modo equivalente

$f(x_1)=f(x_2)$ implica que $x_1=x_2$

decimos que $f$ es una función inyectiva.

Ejemplo

Sea $f:\mathbb R\setminus \set{1}\to \mathbb R$ dada por $f(x)=\frac{x}{x-1}$

Sean $x_1,x_2\in \mathbb R\setminus \set{1}$ tales que $f(x_1)=f(x_2)$

$f(x_1)=f(x_2)$ $\Longrightarrow$

$\frac{x_1}{x_1-1}= \frac{x_2}{x_2-1}$ $\Longrightarrow$

$x_1(x_2-1)=x_2(x_1-1)$ $\Longrightarrow$

$x_1x_2-x_1=x_2x_1-x_2$ $\Longrightarrow$

$-x_1=-x_2$ $\Longrightarrow$

$x_1=x_2$

Y por lo tanto $f$ es inyectiva.

Definición

Sean $A$, $B$ conjuntos, $f:A\to B$ una función. Decimos que $f$ es una función suprayectiva si para toda $y\in B$ existe $x\in A$ tal que $f(x)=y$, o de modo equivalente $Im\,f=B$.

Ejemplo

$f:\mathbb R\setminus \set{-5}\to \mathbb R$ dada por $f(x)=\frac{2}{x+5}+1$

¿La función es suprayectiva?, Para toda $y\in \mathbb R$, ¿existe $x\in \mathbb R\setminus \set{-5}$ tal que $f(x)=y$?

Supongamos que sí es suprayectiva, entonces para $y=1$, existe $x\in \mathbb R\setminus \set{-5}$ tal que $f(x)=1=y$

$1=\frac{2}{x+5}+1$ $\Longrightarrow$

$0=\frac{2}{x+5}$ $\Longrightarrow$

$(x+5)0=2$ $\Longrightarrow$

$0=2$, lo cual es una contradicción.

Así no existe $x\in \mathbb R\setminus \set{-5}$ tal que $f(x)=y=1$ y por lo tanto $f$ no es suprayectiva.

Definición

Sean $A,B$ conjuntos $f:A\to B$ una función. Decimos que $f$ es biyectiva si $f$ es inyectiva y suprayectiva.

Teorema

Una función es invertible si y solosi es biyectiva.

Demostración

$\Longrightarrow$ Demostración de la implicación de ida

Supongamos que $f$ es invertible.

Por demostrar que es biyectiva.

Si $f$ es invertible entonces existe $f^{-1}:B\to A$ la inversa de $f$.

Veamos que $f$ es inyectiva.

Sean $x_1,x_2\in A$ tales que $f(x_1)=f(x_2)$

$f(x_1)=f(x_2)$ $\Longrightarrow$

$f^{-1}(f(x_1))= f^{-1} (f(x_2))$ $\Longrightarrow$

$f^{-1}\circ f(x_1)= f^{-1}\circ f(x_2)$ $\Longrightarrow$

$id_A(x_1)=id_B(x_2)$ $\Longrightarrow$

$x_1=x_2$

Y por lo tanto $f$ es inyectiva.

Para ver que $f$ es suprayectiva, Sea $y\in B$, tenemos que mostrar que hay un elemento en $A$ tal que bajo $f$ va a dar a $y\in B$, consideramos $f^{-1}(y)\in A$ y al aplicarle $f$ tenemos que:

$f(f^{-1}(y))=f\circ f^{-1}(y) = id_B(y)=y$, y por lo tanto $f$ es suprayectiva.

$\Longleftarrow$ Demostración de la implicación de regreso

Supongamos que $f$ es biyectiva

Por demostrar que es invertible.

Dado $y\in B$ por ser $f$ suprayectiva existe $x\in A$ tal que $f(x)=y$, además como $f$ es inyectiva dicha $x$ es única, llamémosle $x_y$.

Definimos $g:B\to A$ con $g(y)=x_y$, donde $x_y$ es el único elemento de $A$ tal que $f(x_y)=y$.

Como $g$ asigna a cada $y\in B$ un único elemento de $A$, entonces $g$ es una función.

Veamos ahora que $g$ es una inversa de $f$.

Dado $y\in B$ se tiene que

$f\circ g(y)=f(g(y))=f(x_y)=y$, y así $f\circ g=id_B.$

Dado $x\in A$ se tiene que

$g\circ f(x)=g(f(x))=x_{f(x)}$, el único elemento en $A$ que bajo $f$ nos da $f(x)$, pero $x\in A$ es tal que bajo $f$ da $f(x)$. Así $x_{f(x)}=x$ y entonces $g\circ f(x)=x$, por lo tanto $g\circ f=id_A$.

Así $g$ es una inversa de $f$ y concluimos que $f$ es invertible.

$\square$

Tarea Moral

1. Prueba o da un contraejemplo:

i) Sean $f:A\to B$, $g:B\to C$ tales que $g\circ f$ es inyectiva, ¿Es $g\circ f$ necesariamente inyectiva?.

ii) Sean $f:A\to B$, $g:B\to C$ tales que $f$ es inyectiva, ¿Es $g\circ f$ necesariamente inyectiva?.

2. Prueba o da un contraejemplo:

i) Sean $f:A\to B$, $g:B\to C$ tales que $g\circ f$ es suprayectiva, ¿Es $g\circ f$ necesariamente suprayectiva ?.

ii) Sean $f:A\to B$, $g:B\to C$ tales que $g$ es suprayectiva , ¿Es $g\circ f$ necesariamente suprayectiva?.

3. Determina si las siguientes funciones son inyectivas, suprayectivas o biyectivas.

i) $f:\mathbb R\to (-\infty,3]$ con $f(x)=x^2+3$

ii) $f:[1,\infty)\to [0,\infty)$ con $f(x)=4(x-1)^2$

iii) $f:\set{x\in \mathbb R\mid x\neq -2}\to \mathbb R$ con $f(x)=\frac{1}{x+2}$.

iv) $f:\set{x\in \mathbb R\mid x\neq 7}\to \set{x\in \mathbb R\mid x\neq 1}$ con $f(x)=\frac{1}{x-7}+1$.

Más adelante

En la siguiente nota daremos algunos teoremas referentes a la composición de funciones inyectivas con inyectivas y suprayectivas con suprayectivas, además veremos que es lo mismo ser biyectiva que invertible.

Enlaces relacionados

Página principal del curso.

• Enlace a la nota anterior. Nota 10. Función inversa.
• Enlace a la nota siguiente. Nota 12. Teoremas de la composición de funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas.

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En esta nota centraremos nuestros esfuerzos en comprender el concepto de función inversa, partiremos de la definición de lo que es una función inversa derecha o izquierda de una función, para concluir que cuando una función tiene un inverso derecho y uno izquierdo ambos son la misma función.

Definición

Sean $A$, $B$ conjuntos, $f:A\to B$, $g:B\to A$ funciones.

Si $g\circ f=id_A$, decimos que $f$ es una inversa derecha de $g$, y que $g$ es una inversa izquierda de $f$.

Decimos que $f$ es invertible si existe una función $g$ que sea inversa izquierda y derecha de $f$; en este caso se dice que $g$ es una inversa de $f$.

En el ejemplo siguiente $f$ es una inversa izquierda de $g$, $g$ es una inversa derecha de $f$, $f$ no es una inversa derecha de $g$, $g$ no es una inversa izquierda de $f$.

Ejemplos

El siguiente ejemplo aparece en el libro de Avella y Campero mencionado en la bibliografía, Ejemplo 4.56:

1. Sean $f:\set{1,2,3}\to \set{4,5,6,7}$ con:

$f(1)=4$, $f(2)=5$, $f(3)=6$

y $g:\set{ 4,5,6,7 }\to \set{1,2,3}$ con:

$g(4)=1$, $g(5)=2$, $g(6)=3$, $g(7)=3.$

Si se hace la composición $g\circ f$:

$g\circ f(1)=g(f(1))=g(4)=1$

$g\circ f(2)=g(f(2))=g(5)=2$

$g\circ f(3)=g(f(3))=g(4)=3.$

Así $g\circ f=id_{\set{1,2,3}}$, de forma que $g$ es una inversa izquierda de $f$ y $f$ es una inversa derecha de $g$.

Pero $f\circ g\neq id_{\set{4,5,6,7}}$, pues $f\circ g(7)=f(g(7))=f(3)=6$, y por lo tanto $g$ no es una inversa derecha de $f$ y $f$ no es una inversa izquierda de $g$.

2. Sean $h:\set{1,2,3}\to \set{4,5}$ con:

$h(1)=2$, $h(2)=4$, $h(3)=5$

y $j:\set{4,5}\to \set{1,2,3}$ con:

$j(4)=1$, $j(5)=3.$

Como:

$h\circ j(4)=h(j(4))=h(1)=4$,

$h\circ j(5)=h(j(5))=h(3)=5$,

notamos que $h\circ j=id_{\set{4,5}}$, pero $j\circ h\neq id_{\set{1,2,3}}$ pues $j\circ h(2)=1$.

Teorema

Sean $A$, $B$ conjuntos, $f:A\to B$ una función. Si $f$ tiene un inverso derecho $g$ y un inverso izquierdo $h$, entonces $g=h$.

Demostración

Sean $A$ y $B$ conjuntos y $f:A\to B$ una función. Supongamos que existen $g$ un inverso derecho de $f$ y $h$ un inverso izquierdo de $f$.

Como $g$ es un inverso derecho de $f$, por definición $g$ es una función $g:B\to A$ tal que $f\circ g=id_B$.

Como $h$ es un inverso izquierdo de $f$, por definición $h$ es una función $h:B\to A$ tal que $h\circ f=id_A$.

Queremos demostrar que $h=g.$

$h=$	empezamos tomando la función $h$
$h\circ id_B=$	la reescribimos de esta forma, expresándola como la identidad en $B$ compuesta con $h$
$h\circ (f\circ g)=$	por hipotesis $id_B=f\circ g$
$(h\circ f)\circ g=$	por asociatividad de la composición de funciones
$id_A\circ g=$	por hipotesis $id_A=h\circ f$
$g$	la composición con la identidad nos da $g$

$\square$

Corolario

Si una función $f$ es invertible, entonces su inverso es único. En este caso su inverso se denota por $f^{-1}$.

Sea $f$ una función invertible. Supongamos que $g$ y $h$ son inversos de $f$. En particular $g$ es un inverso derecho de $f$ y $h$ es un inverso izquierdo de $f$. Así, por el teorema anterior $g=h$.

Tarea Moral

En cada inciso determina si existe una inversa derecha de $f$, o bien una inversa izquierda de $f$.

En caso de que exista constrúyela.

1. $f:\set{3,4,7,8}\to \set{1,2,7,8,9}$ con

$f(3)=9$, $f(4)=8$, $f(7)=7$, $f(8)=2$.

2. $f:\set{-2,-1,0,1,2}\to \set{3,6,9}$ con

$f(-2)=f(2)=3$, $f(1)=f(-1)=6$, $f(0)=9$.

3. $f:\set{0,2,4,6}\to \set{1,3,5,7}$ con

$f(x)=x+1$.

4. $f:\set{1,2,3}\to \set{5,6,7}$ con

$f(1)=f(2)=5$, $f(3)=7$.

5. Utiliza el siguiente recurso de geogebra para obtener la función inversa de algunas funciones.

Más adelante

En la siguiente nota analizaremos las definiciones de funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas.

Enlaces relacionados

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• Enlace a la nota anterior. Nota 9. Composición de funciones.
• Enlace a la nota siguiente. Nota 11. Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas.

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Componer funciones, evaluar el resultado de una en otra, nos dará una amplia gama de funciones muy útiles como lo son la composición de las funciones trigonométricas con las lineales. Para que te des una idea de esto trata de obtener la siguiente familia de funciones con geogebra, $sen(kx+t)$, con $k,t\in \mathbb R$, éstas te darán una serie de curvas con las que se pueden describir distintos tipos de ondas. Dale también un vistazo al siguiente video donde se habla de música y matemáticas.

Definición

Sean $A,B,C,D$ conjuntos, $f:A\rightarrow B$, $g:C\rightarrow D$ funciones, con $Im\,f\subseteq C$. Definimos la composición de $f$ seguida de $g$ como:

$$g\circ f:A\to D$$

con regla de correspondencia $g\circ f(x)=g(f(x))$, para todo $ x\in A.$ Observa que escribiremos la composición de derecha a izquierda, aunque existen autores que la escriben de izquierda a derecha.

Ejemplos

1. $f:\mathbb R\to \mathbb R $, $g:\mathbb R\to \mathbb R $

$f(x)=3x^2+1$, $g(x)=2x-1$

$g\circ f(x)=g(f(x))=g(3x^2+1)=2(3x^2+1)-1$

$f\circ g(x)=f(g(x))=f(2x-1)=3(2x-1)^2+1$

2. $\alpha:\set{1,2,3}\to \set{1,2,3}$, $\beta:\set{1,2,3}\to \set{1,2,3}$,

$\alpha=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\
2 & 3 & 1\end{pmatrix} $

$\beta =\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\
2 & 1 & 3\end{pmatrix} $

$\beta\circ \alpha=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\
1 & 3 & 2\end{pmatrix} $

$\alpha\circ \beta=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\
3 & 2 & 1\end{pmatrix} $

3. Considera las siguientes funciones, $f(x)=a \, sen(x)$, $g(x)=kx+t$ para algunos $a,k,t\in \mathbb R,$ $f\circ g(x)=f(g(x))=f(kx+t)=a \, sen(kx+t)$.

En el siguiente recurso de geogebra mueve los deslizadores $a$, $k$ y $t$ para obtener la gráfica de $a \, sen(kx+t)$.

Teorema

Sean $A,B,C,D$ conjuntos, $f:A\to B$, $g:B\to C$ y $h:C\to D$, entonces $h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f$, es decir la composición es asociativa.

Demostración

Para esta prueba usaremos el hecho de que dos funciones son iguales si tienen el mismo dominio, el mismo codominio, y la misma regla de correspondencia. Empecemos probando que $h\circ (g\circ f) $ y $(h\circ g)\circ f$ tienen el mismo dominio y el mismo codominio.

Como $g\circ f: A\to C$ y $h: C\to D$ entonces $h\circ (g\circ f): A\to D$

Como $f: A\to B$ y $h\circ g: B\to D$ entonces $(h\circ g)\circ f: A\to D$

Así $h\circ (g\circ f ) $ y $(h\circ g)\circ f$ tienen el mismo dominio y el mismo codominio.

Para ver que tienen la misma regla de correspondencia:

Sea $x\in A$

Como $h\circ (g\circ f )(x)=h( g\circ f(x) )=h(g(f(x))).$

y como $(h\circ g)\circ f(x)= h\circ g (f(x))=h(g(f(x))).$

Y así $h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f$ .

$\square$

Definición

Sea $A$ un conjunto. La función identidad en $A$ es:

$id_A:A\to A$

Con regla de correspondencia $id_A(x)=x$, $\forall x\in A$.

Proposición

Sean $A,B$ conjuntos, $f:A\to B$ una función, se cumple que:

1. $f\circ id_A=f$
2. $id_B\circ f=f$

Demostración

Demostración de 1

Por demostrar que $f\circ id_A=f$.

$f\circ id_A$ y $f$ tienen dominio $A$ y codominio $B$.

Vamos a ver que tienen la misma regla de correspondencia.

Sea $x\in A$. La función $f\circ id_A$, de acuerdo a la definición de composición, tiene la siguiente regla de correspondencia: $f\circ id_A(x)=f(id_A(x))$ y por definición de identidad tenemos que esto es igual a $f(x)$. Concluimos que $f\circ id_A$ y $f$ tienen el mismo dominio, el mismo condominio y la misma regla de correspondencia y así $f\circ id_A=f$.

Demostración de 2

$id_B\circ f$ y $f$ tienen dominio $A$ y codominio $B$.

Sea $x\in A$. La función $ id_B\circ f(x)$, de acuerdo a la definición de composición, tiene la siguiente regla de correspondencia: $id_B\circ f(x)=id_B(f(x))$ y por definición de identidad tenemos que esto es igual a $f(x)$. Concluimos que $id_B\circ f$ y $f$ tienen el mismo dominio, el mismo condominio y la misma regla de correspondencia y, así $id_B\circ f=f$.

$\square$

El siguiente ejemplo aparece en el libro de Avella y Campero, mencionado en la bibliografía, Ejemplo 4.54

Ejemplo

$f:\mathbb R\to [0,\infty)$, $x\longmapsto x^2$

$g:[0,\infty)\to \mathbb R$, $x\longmapsto +\sqrt{x}$

$f\circ g:[0,\infty)\to [0,\infty)$

$f\circ g(x)=f(g(x))=f(+\sqrt{x} )=( +\sqrt{x} )^2=x$

$g\circ f:\mathbb R\to \mathbb R $

$g\circ f(x)=g(f(x))=g(x^2)=+\sqrt{x^2} =|x|$

Observa el siguiente clip

Aquí $f\circ g=id_{[0,\infty)}$, pero $g\circ f\neq id_{\mathbb R}$.

En el siguiente recurso de geogebra cambia los valores de $f$ y $g$, observa como son $f\circ g$ y $g\circ f$.

Tarea Moral

1. En cada inciso calcula, si es posible, las composiciones $g\circ f$ y $f\circ g$:

a) $f:\mathbb R\to \mathbb R$ con $f(x)=x^2+5$

b) $g:\mathbb R^+\to \mathbb R$ con $g(x)=\frac{3}{x}-1$

2. ¿Existirán dos funciones $f$ y $g$ de $\mathbb R$ a $\mathbb R$ tales que $f\neq g$ pero $g\circ f=f\circ g$?

3. $f:\set{5,6,7}\to \set{0,2,4,6}$, $f(5)=0$, $f(6)=4$, $f(7)=6$,

$g:\set{ 0,2,4,6 }\to \set{5,6,7}$, $g(0)=g(2)=5$, $g(4)=6$, $g(6)=7$.

Calcula las composiciones $g\circ f$ y $f\circ g$ . ¿Qué puedes decir del comportamiento de las composiciones? ¿Y si ahora $g(2)=7$?

Más adelante

En la siguiente nota hablaremos del concepto de función inversa y daremos condiciones para que una función sea invertible.

Enlaces relacionados

Página principal del curso.

Enlace a la nota anterior. Nota 8. Imagen directa e inversa de una función.

Enlace a la nota siguiente. Nota 10. Función inversa.