Introducción

En esta nota centraremos nuestros esfuerzos en comprender el concepto de función inversa, partiremos de la definición de lo que es una función inversa derecha o izquierda de una función, para concluir que cuando una función tiene un inverso derecho y uno izquierdo ambos son la misma función.

Definición

Sean $A$, $B$ conjuntos, $f:A\to B$, $g:B\to A$ funciones.

Si $g\circ f=id_A$, decimos que $f$ es una inversa derecha de $g$, y que $g$ es una inversa izquierda de $f$.

Decimos que $f$ es invertible si existe una función $g$ que sea inversa izquierda y derecha de $f$; en este caso se dice que $g$ es una inversa de $f$.

En el ejemplo siguiente $f$ es una inversa izquierda de $g$, $g$ es una inversa derecha de $f$, $f$ no es una inversa derecha de $g$, $g$ no es una inversa izquierda de $f$.

Ejemplos

1. Sean $f:\set{1,2,3}\to \set{4,5,6,7}$ con:

$f(1)=4$, $f(2)=5$, $f(3)=6$

y $g:\set{ 4,5,6,7 }\to \set{1,2,3}$ con:

$g(4)=1$, $g(5)=2$, $g(6)=3$, $g(7)=3.$

Si se hace la composición $g\circ f$:

$g\circ f(1)=g(f(1))=g(4)=1$

$g\circ f(2)=g(f(2))=g(5)=2$

$g\circ f(3)=g(f(3))=g(4)=3.$

Así $g\circ f=id_{\set{1,2,3}}$, de forma que $g$ es una inversa izquierda de $f$ y $f$ es una inversa derecha de $g$.

Pero $f\circ g\neq id_{\set{4,5,6,7}}$, pues $f\circ g(7)=f(g(7))=f(3)=6$, y por lo tanto $g$ no es una inversa derecha de $f$ y $f$ no es una inversa izquierda de $g$.

2. Sean $h:\set{1,2,3}\to \set{4,5}$ con:

$h(1)=2$, $h(2)=4$, $h(3)=5$

y $j:\set{4,5}\to \set{1,2,3}$ con:

$j(4)=1$, $j(5)=3.$

Como:

$h\circ j(4)=h(j(4))=h(1)=4$,

$h\circ j(5)=h(j(5))=h(3)=5$,

notamos que $h\circ j=id_{\set{4,5}}$, pero $j\circ h\neq id_{\set{1,2,3}}$ pues $j\circ h(2)=1$.

Teorema

Sean $A$, $B$ conjuntos, $f:A\to B$ una función. Si $f$ tiene un inverso derecho $g$ y un inverso izquierdo $h$, entonces $g=h$.

Demostración

Sean $A$ y $B$ conjuntos y $f:A\to B$ una función. Supongamos que existen $g$ un inverso derecho de $f$ y $h$ un inverso izquierdo de $f$.

Como $g$ es un inverso derecho de $f$, por definición $g$ es una función $g:B\to A$ tal que $f\circ g=id_B$.

Como $h$ es un inverso izquierdo de $f$, por definición $h$ es una función $h:B\to A$ tal que $h\circ f=id_A$.

Queremos demostrar que $h=g.$

$h=$	empezamos tomando la función $h$
$h\circ id_B=$	la reescribimos de esta forma, expresándola como la identidad en $B$ compuesta con $h$
$h\circ (f\circ g)=$	por hipotesis $id_B=f\circ g$
$(h\circ f)\circ g=$	por asociatividad de la composición de funciones
$id_A\circ g=$	por hipotesis $id_A=h\circ f$
$g$	la composición con la identidad nos da $g$

$\square$

Corolario

Si una función $f$ es invertible, entonces su inverso es único. En este caso su inverso se denota por $f^{-1}$.

Sea $f$ una función invertible. Supongamos que $g$ y $h$ son inversos de $f$. En particular $g$ es un inverso derecho de $f$ y $h$ es un inverso izquierdo de $f$. Así, por el teorema anterior $g=h$.

Tarea Moral

En cada inciso determina si existe una inversa derecha de $f$, o bien una inversa izquierda de $f$.

En caso de que exista constrúyela.

1. $f:\set{3,4,7,8}\to \set{1,2,7,8,9}$ con

$f(3)=9$, $f(4)=8$, $f(7)=7$, $f(8)=2$.

2. $f:\set{-2,-1,0,1,2}\to \set{3,6,9}$ con

$f(-2)=f(2)=3$, $f(1)=f(-1)=6$, $f(0)=9$.

3. $f:\set{0,2,4,6}\to \set{1,3,5,7}$ con

$f(x)=x+1$.

4. $f:\set{1,2,3}\to \set{5,6,7}$ con

$f(1)=f(2)=5$, $f(3)=7$.

5. Utiliza el siguiente recurso de geogebra para obtener la función inversa de algunas funciones.

Más adelante

En la siguiente nota analizaremos las definiciones de funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas.

Enlaces relacionados

• Enlace a la nota anterior. Nota 9. Composición de funciones.
• Enlace a la nota siguiente. Nota 11. Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas.