(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)
Introducción
En la nota anterior definimos cuándo una función es inyectiva, suprayectiva y biyectiva, en esta nota daremos cinco resultados referentes a la composición de funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas, de forma que es conveniente que se tengan muy claras las definiciones de estos conceptos.
Teorema
La composición de funciones inyectivas es inyectiva.
Demostración
Consideraremos cualesquiera dos funciones inyectivas y vamos a mostrar que su composición es inyectiva.
Sean $A$, $B$, $C$ conjuntos $f:A\to B$, $g:B\to C$ funciones inyectivas.
Por demostrar que $g\circ f$ es inyectiva.
Para mostrar que la composición es inyectiva se tiene que ver que si $g\circ f(x_1)= g\circ f(x_2)$ entonces $x_1=x_2$.
Sean $x_1,x_2\in A$ tales que $g\circ f(x_1)= g\circ f(x_2)$
por definición de composición se tiene que
$g(f(x_1))= g(f(x_2)),$
al ser $g$ inyectiva esto implica que $f(x_1)=f(x_2)$
y como $f$ también es inyectiva concluimos que $x_1=x_2$.
Por lo tanto $g\circ f$ es inyectiva, así la composición de funciones inyectivas es inyectiva.
$\square$
Teorema
La composición de funciones suprayectivas es suprayectiva
Demostración
Sean $A$, $B$, $C$ conjuntos $f:A\to B$, $g:B\to C$ funciones suprayectivas.
Por demostrar que $g\circ f$ es suprayectiva.
Para probar que $g\circ f:A\to C$ es suprayectiva dado $c\in C$ tenemos que exhibir $a\in A$ tal que $g\circ f(a)=c$.
Sea $c\in C$.
Como $g$ es suprayectiva, existe $b\in B$ tal que $g(b)=c$.
Como $f$ es suprayectiva, existe $a\ A$ tal que $f(a)=b$.
Entonces
$g\circ f(a)=g(f(a))=g(b)=c.$
Así, para para cada $c\in A$ existe $a\in A$ tal que $g\circ f(a)=c$ que es lo que queríamos demostrar.
$\square$
Corolario
La composición de funciones biyectivas es biyectiva.
Demostración
Sean $A$, $B$, $C$ conjuntos $f:A\to B$, $g:B\to C$ funciones biyectivas.
Como $f$ y $g$ son biyectivas, en particular son inyectivas y por lo demostrado anteriormente $g\circ f$ es inyectiva.
Como $f$ y $g$ son biyectivas, en particular son suprayectivas y por lo demostrado anteriormente $g\circ f$ es suprayectiva.
Así, $g\circ f$ es inyectiva y suprayectiva y por lo tanto biyectiva, que es lo que queríamos probar.
$\square$
Teorema
Sean $A$, $B$, $C$ conjuntos $f:A\to B$, $g:A\to B$, $h:B\to C$ funciones, con $h$ inyectiva. Si $h\circ f=h\circ g$, entonces $f=g$.
Consideremos $A$, $B$, $C$ conjuntos $f:A\to B$, $g:B\to C$, $h:B\to C$ funciones. Tomemos como hipótesis que $h$ es inyectiva y que $h\circ f=h\circ g$. Debemos probar que $f=g$.
Veamos que $f$ y $g$ tienen la misma regla de correspondencia. Sea $a\in A$, como $h\circ f=h\circ g$ tenemos que $h\circ f(a)=h\circ g(a).$
Por definición de composición lo anterior implica que:
$h(f(a))=h(g(a)),$
y al ser $h$ inyectiva:
$f(a)=g(a).$
Por lo tanto $f$ y $g$ tienen la misma regla de correspondencia. Como además tienen el mismo dominio y el mismo codominio concluimos que $f=g$, que es lo que queríamos demostrar.
$\square$
Teorema
Sean $A$, $B$, $C$ conjuntos $f:A\to B$, $g:B\to C$, $h:B\to C$ funciones, con $f$ suprayectiva. Si $g\circ f=h\circ g$, entonces $g=h$.
Consideremos $A$, $B$, $C$ conjuntos $f:A\to B$, $g:B\to C$, $h:B\to C$ funciones. Supongamos que $f$ es suprayectiva y que $g\circ f=h\circ f$. Tenemos que demostrar que $g=h.$
Veamos que $g$ y $h$ tienen la misma regla de correspondencia. Para ello consideremos un elemento cualquiera de su dominio, es decir un $b\in B.$ Como $f$ es suprayectiva sabemos que existe $a\in A$ tal que $f(a)=b$.
Además $g\circ f=h\circ f$ por hipótesis, así que $g\circ f(a)=h\circ f(a).$ Entonces por la definición de composición de funciones se tiene que:
$g(f(a))=h(f(a)).$
Pero $a$ es tal que $f(a)=b$, así que podemos reescribir lo anterior de la siguiente forma:
$g(b)=h(b).$
De este modo para cualquier $b\in B$ se tiene que $g(b)=h(b)$ y entonces $g$ y $h$ tienen la misma regla de correspondencia.
Como además $g$ y $h$ tienen el mismo dominio y el mismo codominio concluimos que $g=h$, que es lo que queríamos demostrar.
$\square$
Tarea Moral
1. En cada inciso determina si existe, y en su caso encuentra funciones $f$ y $g$ con las siguientes características:
i) Sean $f:A\to B$, $g:B\to C$ tales que $f$ es inyectiva, $g$ suprayectiva pero $g\circ f$ ni inyectiva ni suprayectiva.
ii) Sean $f:A\to B$, $g:B\to C$ tales que $f$ es no es suprayectiva, $g$ no es inyectiva pero $g\circ f$ es biyectiva.
Más adelante
En la siguiente nota retomaremos el tema de relaciones para hablar de una muy especial y útil, la llamada relación de equivalencia, un concepto ampliamente usado en distintas áreas de las matemáticas.
Enlaces relacionados
Enlace a la entrada anterior. Nota 11. Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas.
Enlace a la entrada siguiente. Nota 13. Relación de equivalencia.