(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En la presente nota veremos lo que es una familia de conjuntos, una familia indexada de conjuntos y usaremos esos conceptos para establecer lo que es una partición de un conjunto dado. En ésta y la siguiente nota estableceremos la relación que hay entre las particiones y las relaciones de equivalencia.

Definición

Un conjunto de conjuntos se llama una familia de conjuntos.

Ejemplo

$\mathscr F=\set{\set{1,4,7},\set{0,2},\mathbb N}.$

Definición

Sea $I$ un conjunto. Para cada $i\in I$ consideremos un conjunto $A_i$. Decimos que: $\mathscr F=\set{A_i\mid i\in I}$ es una familia de conjuntos indexada por $I$, a $I$ se le llama un conjunto de índices.

La unión de $\mathscr F$ es:

$\bigcup\limits_{i\in I} A_{i}=\set{x\mid x\in A_i\,\,para \,\, algún \,\, i\in I}$

La intersección de $\mathscr F$ es:

$\bigcap\limits_{i\in I} A_{i}=\set{x\mid x\in A_i\,\,para \,\, toda\,\, i\in I}$.

Nota. Si $\mathscr F\neq \emptyset$, considerando algún $C\in \mathscr F $, tenemos que

$\bigcap\limits_{i\in I} A_{i}=\set{x\in C\mid x\in A_i\,\,para \,\, toda\,\, i\in I},$

y por el axioma de separación $\bigcap\limits_{i\in I} A_{i}$ es un conjunto. Por otro lado, existe un axioma que asegura que la unión de una familia de conjuntos es un conjunto.

Ejemplos

1. Si $\mathscr F=\set{A_1, A_2, A_3, A_4}=\set{A_i\mid i\in \set{1,2,3,4}}$, con:

$A_1=\set{2,-1,9,3,5}$

$A_2=\set{-2,0,2,4}$

$A_3=\set{2,12}$

$A_4=\set{1,2,3,4,5}$

$\bigcup\limits_{i\in\set{1,2,3,4}}A_i=\set{2,-1,9,3,5,-2,0,4,12,1}$

$\bigcap\limits_{i\in\set{1,2,3,4}}A_i=\set{2}$

2. Sea $I=\set{1,2,3,\dotso}$, $B_i=[0,i]$ $\forall i\in I$

$\mathscr F=\set{B_i\mid i\in I}$

$\bigcup\limits_{i\in I}B_i=[0,\infty)$

$\bigcap\limits_{i\in I}B_i=B_1=[0,1]$

En el siguiente clip se observan los primeros 50 intervalos en el eje x.

3. Sea $I=\mathbb R^+$, $C_r=[-r,r]$ $\forall r\in I$

$\mathscr F=\set{C_r\mid r\in I}$

$\bigcup\limits_{r\in I}C_r=\mathbb R$

$\bigcap\limits_{r\in I}C_r=\set{0}$

En el siguiente clip se observan algunos de esos intervalos.

Definición

Sea $A$ un conjunto. Una partición de $A$ es una familia $P=\set{A_i\mid i\in I}$ de subconjuntos de $A,$ es decir $A_i\subseteq A$ $\forall i\in I$, tal que:

1. $A_i\neq \emptyset$ $\forall i\in I$
2. Si $i,j\in I$ son tales que $A_i\neq A_j$, entonces $A_i\cap A_j=\emptyset$
3. $A=\bigcup\limits_{i\in I}A_i$

Ejemplo

$A=\set{1,2,3}$, veamos las distintas particiones de $A$.

$P_1=\set{\set{1}, \set{2,3} }$

$P_2=\set{\set{3}, \set{1,2} }$

$P_3=\set{\set{2}, \set{1,3} }$

$P_4=\set{\set{1}, \set{2},\set{3} }$

$P_5=\set{\set{1,2,3}}$

Lema

Sea $A$ un conjunto, $\mathcal R$ una relación de equivalencia en $A$. Dados $x,y\in A$. Dados $x,y\in A$.

1. Si $x\sim y$ entonces $\overline{x}=\overline{y}.$
2. Si $x\nsim y$ entonces $\overline{x}\cap \overline{y}=\emptyset$.

Demostración de 1.

Sea $A$ un conjunto , $\mathcal R$ una relación de equivalencia en $A$, $x,y\in A$.

Supongamos que $x\sim y$.

Por demostrar que $\overline{x}=\overline{y}$.

La prueba se hará por doble contención.

$\subseteq $ Primera contención

Por demostrar que $\overline{x}\subseteq \overline{y}$.

Sea $z\in\overline{x}=\set{a\in A\mid a\sim x}$, entonces $z\sim x$ y por hipótesis $x\sim y$, por transitividad de $\mathcal R$ $z\sim y$ y así $z\in\set{a\in A\mid a\sim y}=\overline{y}$. Por lo tanto $\overline{x}\subseteq \overline{y}$.

$\supseteq $ Segunda contención

Por demostrar que $\overline{y}\subseteq \overline{x}$.

Sea $z\in\overline{y}=\set{a\in A\mid a\sim y}$, entonces $z\sim y$ y por hipótesis $x\sim y$, por ser $\mathcal R$ simétrica $y\sim x$. Así, $z\sim y$ y $y\sim x$, entonces por transitividad $z\sim x$, es decir $z\in\set{a\in A\mid a\sim x}=\overline{x}$. Por lo tanto $\overline{y}\subseteq \overline{x}$.

Dado que se cumplen las dos contenciones tenemos que $\overline{x}=\overline{y}$, que es lo que queríamos probar.

$\square$

Demostración de 2.

Queremos probar que si $x\nsim y$, entonces $\overline{x}\cap \overline{y}=\emptyset$.

Supongamos que $x\nsim y$ y supongamos también por reducción al absurdo que $\overline{x}\cap \overline{y}\neq \emptyset$, por lo que existe $z\in \overline{x}\cap \overline{y}$, es decir $z\in \overline{x}$ y $z\in \overline{y}$. Así $z\sim x$ y $z\sim y$, entonces por simetría $x\sim z,$ y como $z\sim y$ por transitividad de la relación de equivalencia tenemos que $x\sim y$, lo cual es una contradicción a nuestra primera hipótesis, por lo tanto $\overline{x}\cap \overline{y}=\emptyset$.

$\square$

Tarea Moral

1. Considera los siguientes conjuntos:

$A_1=\set{1,3,5,7,11}$

$A_2=\set{-5,-3,-1,1,3,5}$

$A_3=\set{1,2,3,4,5,6,7}$

$A_4=\set{-5,-3,1,3,5}$

$A_5=\set{0,3,5,11}$

Encuentra $\bigcup\limits_{i\in\set{1,2,3,4,5}}A_i$ y $\bigcap\limits_{i\in\set{1,2,3,4,5}}A_i$.

2. En cada uno de los siguientes incisos encuentra $\bigcup\limits_{i\in I} B_{i}$ y $\bigcap\limits_{i\in I} B_{i}$.

i) Sea $I=\mathbb Z$, $B_i=[i,i+1]$.

ii) Sea $I=\mathbb N$, $B_i=[-i,i+1]$.

3. Encuentra todas las posibles particiones de $\set{3,6,7,9}$.

Más adelante.

En la siguiente nota terminaremos de ver que una relación de equivalencia induce una partición, y una partición induce una relación de equivalencia.

Enlaces relacionados

Página principal del curso.

Enlace a la nota anterior. Nota 13. Relación de equivalencia.

Enlace a la nota siguiente. Nota 15. Relaciones de equivalencia y particiones