Introducción

En esta sección comenzaremos definiendo que es un conjunto infinito para posteriormente probar resultados acerca de la cantidad de elementos que estos poseen, es decir, la cardinalidad de dichos conjuntos.

Concepto previo

Definición: Sean $X$ y $Y$ conjuntos. Decimos que $|X|\leq|Y|$ si existe $f:X\to Y$ tal que $f$ es inyectiva.

La definición anterior nos ayudará a determinar cuándo un conjunto $X$ tiene más elementos que un conjunto $Y$, aún si $X$ y $Y$ son infinitos. A continuación daremos la definición formal de conjunto infinito.

Conjunto infinito

Definición: Sea $A$ un conjunto. Decimos que $A$ es un conjunto infinito si no es finito, es decir, para todo $n\in \mathbb{N}$, no existe una función $f:A\to n$ que sea biyectiva.

Ejemplo:

El conjunto de los números naturales no es finito. En efecto, sea $n\in\mathbb{N}$ cualquier elemento. Ahora, si existiera una función biyectiva $f:n\to\mathbb{N}$, en particular, debería existir $B\subseteq n$ tal que $f[B]=s(n)$. Luego, podemos particionar a $n$ como $n=B\cup(n\setminus B)$, por lo que $s(n)=n\cup\set{n}=B\cup(n\setminus B)\cup\set{n}$ y, por tanto, $|s(n)|=|B|+|n\setminus B|+1$. Dado que $g:B\to s(n)$ definida por medio de $g(m)=f(m)$ es una biyección, entonces $|B|=|s(n)|$. De este modo, $|s(n)|=|s(n)|+|n\setminus B|+1$, por lo que $0=|n\setminus B|+1$ y esto último es imposible, pues el sucesor de cualquier número natural es distinto de $0$. Así pues, no existe función biyectiva de $n$ en $\mathbb{N}$ y, consecuentemente, $\mathbb{N}$ no es finito.

$\square$

A continuación mostraremos que dado cualquier número natural $n$, existe una función inyectiva de $n$ en cualquier conjunto infinito. Veamos la demostración.

Teorema: Si $X$ es infinito, entonces $|X|\geq n$ para cualquier $n\in \mathbb{N}$.

Demostración: (Por inducción sobre $n$)

Base de inducción: Si $n=0$, entonces se cumple por vacuidad que existe la función $\emptyset$ tal que $\emptyset:n\to X$ es inyectiva.

Hipótesis de inducción: Supongamos que $n\leq |X|$ para algún $n\in \mathbb{N}$.

Paso inductivo: Veamos que $n+1\leq|X|$.

Dado que $n\leq|X|$, entonces existe $f:n\to X$ tal que $f$ es inyectiva. Luego, como $X$ es infinito, existe $y\in X$ tal que $y\notin Im(f)$.

Definimos $g: n+1\to X$ como $g=f\cup \set{(n,y)}$. Resulta que $g$ es inyectiva. En efecto, sean $n_1, n_2\in n+1$ tal que $g(n_1)=g(n_2)$.

Caso 1: Si $n_1, n_2\in n$, entonces $g(n_1)=f(n_1)=f(n_2)=g(n_2)$ y como $f$ es inyectiva se tiene que $n_1=n_2$.

Caso 2: Si $n_1,n_2=n$, entonces $n_1=n_2$.

No puede ocurrir que $n_1\in n$ y $n_2=n$, pues de ser así tendríamos que $g(n_1)=f(n_1)\not=y$ pues $y\notin Im(f)$, mientras que $g(n_2)=y$, lo cual contradice que $g(n_1)=g(n_2)$. Análogamente, no puede ocurrir que $n_2\in n$ y $n_1=n$.

Por lo tanto $g$ es inyectiva y así, $n+1\leq|X|$.

$\square$

Tarea moral

• Muestra que si $X$ es un conjunto tal que para cada natural $n$ existe una función inyectiva $f_n:n\to X$, entonces existe una función inyectiva $f$ de $\mathbb{N}$ en $X$.
• Muestra que si $X$ no es un conjunto finito, entonces para cada subconjunto finito $A$ de $X$, el conjunto $X\setminus A$ no es finito.
• Retomando el ejercicio anterior, si $a\in X$, ¿existirá una función biyectiva entre $X$ y $X\setminus\set{a}$?
• Muestra que si $A$ y $B$ son conjuntos tales que $A\cup B$ no es finito, entonces alguno de los conjuntos $A$ o $B$ no es finito.

Más adelante

El primer conjunto infinito que vimos fue el de los números naturales. En la siguiente entrada hablaremos acerca de conjuntos numerables, el primero de ellos será el de los naturales y veremos que existen muchos conjuntos que tienen la misma cantidad de elementos que el conjunto de números naturales.

Enlaces

Entrada anterior: Teoría de los Conjuntos I: Conjuntos numerables

Siguiente entrada: Aritmética cardinal