Archivo del Autor: Eduardo Vera Rosales

Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Ecuaciones autónomas, soluciones de equilibrio, línea fase y esbozo de soluciones

Por Eduardo Vera Rosales

Deja un comentario

Introducción

En la entrada anterior desarrollamos un par de técnicas geométricas para conocer las soluciones de una ecuación diferencial de primer orden de la forma $\frac{dy}{dt}=f(t,y)$. En esta ocasión nos enfocaremos en una familia de ecuaciones en particular, que tienen la forma $\frac{dy}{dt}=f(y)$, las cuales llamaremos ecuaciones autónomas. Para conocer sus soluciones de manera geométrica, haremos uso de sus soluciones de equilibrio y su línea fase. Por supuesto definiremos estos conceptos y mediante herramientas de cálculo diferencial podremos hacer un esbozo de las soluciones a dicha ecuación diferencial.

Vamos a comenzar.

Esbozo de las soluciones a una ecuación autónoma mediante el trazo de la línea fase y sus soluciones de equilibrio

En este video definimos a las ecuaciones diferenciales autónomas de primer orden y sus soluciones de equilibrio. Posteriormente, dibujamos la línea fase asociada a la ecuación y con ayuda de esta hacemos un esbozo de las soluciones a la ecuación en el plano $t-y$.

Clasificación de las soluciones de equilibrio

Una vez que conocemos cómo dibujar las soluciones de una ecuación autónoma a partir de su línea fase, clasificamos sus soluciones de equilibrio en tres tipos, según el comportamiento de soluciones cercanas en el plano $t-y$.

Finalizamos con un teorema que nos permitirá conocer el tipo de solución de equilibrio de una ecuación autónoma, mediante el signo de la derivada de la función $f(y)$ evaluada en la solución de equilibrio.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Encuentra las soluciones de equilibrio y dibuja la línea fase de la ecuación $\frac{dy}{dt}=y^{3}-y^{2}$.
  • Considera la ecuación autónoma $\frac{dy}{dt}=\frac{1}{1-y}$. Encuentra sus soluciones de equilibrio (si las tiene) y dibuja la línea fase. Con la información obtenida, analiza cuál es el comportamiento de las soluciones a la ecuación. ¿Cómo crees que se ven las soluciones en el plano $t-y$?
  • ¿Cómo dibujarías las soluciones a la ecuación $\frac{dy}{dt}=f(y)$ si $f$ tiene la siguiente gráfica? Hint: Recuerda los criterios de los signos de las derivadas de primer orden en un punto que nos ayudan a ver cuándo la función es creciente o decreciente en dicho punto.
Ecuaciones autónomas
Gráfica de $f$. Elaboración propia.
  • Da ejemplos donde $\frac{dy}{dt}=f(y)$, $y_{0}$ es solución de equilibrio de la ecuación diferencial, $f'(y_{0})=0$ y $y_{0}$ sea atractor, repulsor o nodo.
  • Clasifica las soluciones de equilibrio del tercer ejercicio.

Más adelante

Ahora que hemos visto varias técnicas para encontrar las soluciones a una ecuación de primer orden, al menos de manera geométrica, nos enfocaremos en la parte analítica de las soluciones.

En el próximo video nos enfocaremos en las ecuaciones lineales homogéneas, y la técnica para resolverlas.

Entradas relacionadas

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Campo de pendientes asociado a una ecuación diferencial, curvas integrales y método de las isoclinas

Por Eduardo Vera Rosales

Deja un comentario

Introducción

Hola, bienvenidos a una nueva entrada del curso de Ecuaciones Diferenciales I. En la entrada anterior definimos a las soluciones de una ecuación diferencial ordinaria. Así que ahora veremos un poco de la geometría de soluciones a ecuaciones diferenciales de primer orden, en particular de la forma \begin{align*}\frac{dy}{dt}=f(t,y(t)).\end{align*}

Comenzaremos asociando un campo de pendientes a una ecuación diferencial, definiremos posteriormente el concepto de curvas integrales, y estudiaremos la relación que existe con las soluciones a la ecuación asociada.

Posteriormente revisaremos el método de las isoclinas el cual sirve para encontrar y dibujar las soluciones a una ecuación diferencial usando las curvas de nivel de $\frac{dy}{dt}=f(t,y(t))$, vista como una función $f:\mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}$.

Manos a la obra!

Campo de pendientes asociado a una ecuación diferencial y relación con sus soluciones

En el primer video, vemos cómo asociar un campo de pendientes a una ecuación de la forma $\frac{dy}{dt}=f(t,y(t))$ y revisamos un par de ejemplos.

Una vez que asociamos un campo de pendientes, en los siguientes dos videos definimos a las curvas integrales y estudiamos la relación que guardan con las soluciones a la ecuación diferencial.

Método de las isoclinas

Estudiamos un método bastante sencillo, llamado de las isoclinas, para conocer el comportamiento de las soluciones a una ecuación diferencial, mediante las curvas de nivel de la función $f:\mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}$ que define a la ecuación y el campo de pendientes asociado que definimos en los videos de la sección anterior.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Esboza el campo de pendientes asociado a la ecuación $\frac{dy}{dt}=y$.
  • Dibuja las curvas integrales del campo de pendientes asociado a la ecuación $\frac{dy}{dt}=y$.
  • Prueba que si $\phi: (a,b) \rightarrow \mathbb{R}$ es una curva integral del campo de pendientes asociado a la ecuación $\frac{dy}{dt}=f(t,y(t))$ entonces $\phi(t)$ es solución a la ecuación diferencial.
  • Esboza las soluciones de la ecuación $\frac{dy}{dt}=-\frac{t}{y}$, con base en la información obtenida en el segundo ejemplo del último video. Analiza qué sucede con los puntos sobre el eje $t$, ¿forman parte de alguna solución a la ecuación?
  • En el último video hablamos acerca de las ventajas del método de las isoclinas. ¿Cuáles son las desventajas de usar este método para encontrar las soluciones a una ecuación?
  • Utiliza el método de las isoclinas para encontrar las soluciones a la ecuación $\frac{dy}{dt}=\frac{y}{t}$.

Más adelante

En la próxima entrada continuaremos analizando soluciones de una ecuación diferencial de primer orden desde un punto de vista geométrico. En esta ocasión nos enfocaremos en el caso particular de las ecuaciones del tipo $\frac{dy}{dt}=f(y)$.

Para esto analizaremos los puntos de equilibrio de la función $f(y)$ y haremos un diagrama bastante sencillo de dibujar que nos servirá para hacer un esbozo de las soluciones a la ecuación.

Nos vemos en la próxima ocasión.

Entradas relacionadas

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Introducción al curso y definiciones básicas

Por Eduardo Vera Rosales

Deja un comentario
Imágen Ecuaciones Diferenciales I

Introducción

Hola a todos. Esta es la primer entrada de una serie de videos correspondientes a un curso completo de Ecuaciones Diferenciales I, tomando como base el temario oficial de la Facultad de Ciencias de la UNAM, el cual podrás encontrar en el siguiente enlace (temario oficial).

En esta primer entrada daremos una pequeña introducción donde hablaremos a grandes rasgos sobre lo que tratará el curso. Posteriormente daremos un primer vistazo a lo que son las ecuaciones diferenciales y motivaremos su estudio mediante ejemplos donde juegan un papel fundamental. Finalmente veremos las definiciones básicas que necesitamos conocer para poder comenzar un estudio formal de las ecuaciones diferenciales.

¡Vamos a comenzar!

¿De qué trata el curso?

El curso pretende introducirte al mundo de las ecuaciones diferenciales ordinarias. A grandes rasgos una ecuación diferencial ordinaria es una relación entre una variable independiente $t$, una función que depende de $t$, y las derivadas de distintos órdenes de la función. Cuando la relación involucra más de una variable independiente hablaremos de una ecuación en derivadas parciales, sin embargo en este curso no abordaremos ese caso.

Principalmente veremos las distintas técnicas de resolución de ecuaciones, especialmente de primer y segundo orden, así como sistemas de ecuaciones de primer orden. Sin embargo, como el conjunto de ecuaciones diferenciales que se pueden resolver por métodos analíticos es muy pequeño, también analizaremos las ecuaciones desde un punto de vista cualitativo, es decir, realizaremos una descripción lo más completa posible de las soluciones a una ecuación diferencial sin conocerlas explícitamente. También abordaremos el Teorema de Existencia y Unicidad, el cual nos brinda las herramientas para poder resolver problemas con condiciones iniciales, bajo ciertas condiciones.

Motivación y ejemplos de modelos matemáticos mediante ecuaciones diferenciales

Comenzamos el curso con un par de aplicaciones a problemas de dinámica de poblaciones. Revisamos cómo modelar matemáticamente dichos fenómenos mostrando la importancia de las ecuaciones diferenciales.

Definiciones básicas

En el primer video, damos las definiciones de ecuación diferencial ordinaria, soluciones y orden de una ecuación, con sus respectivos ejemplos para que tengas claros estos conceptos.

En el segundo video, revisamos el concepto de problema de condición inicial, también llamado problema de valor inicial, y mediante un ejemplo analizaremos la importancia que tiene en la búsqueda de soluciones particulares de una ecuación. Por último clasificamos a las ecuaciones en lineales y no lineales, ya que en próximos videos comenzaremos a ver las técnicas para resolver este tipo de ecuaciones.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Investiga acerca de algún problema de la vida real que se modele mediante una ecuación diferencial.
  • Comprobar que cuando $P<N$, entonces la tasa de cambio del tamaño de la población en el ejemplo del modelo logístico ( visto en el segundo video) es positiva, es decir, $\frac{dP}{dt}=k(1-\frac{P}{N})P>0$, por lo cual el tamaño de la población crece.

Verificar si las siguientes funciones son solución a su respectiva ecuación diferencial:

  • $\frac{d^{2}y}{dt}+y=0, \,\,\,\,\, y(t)=\sin t$.
  • $y'{}’+5y’+6y=0, \,\,\,\,\, y(t)=e^{-2t}$.
  • $\frac{dy}{dt}+y=te^{t}, \,\,\,\,\, y(t)=ce^{-t}+\frac{te^{t}}{2}-\frac{e^{t}}{4}$.
  • Sabemos que $y(t)=\frac{1}{k-t}$ es solución a la ecuación $\frac{dy}{dt}=y^{2}$ (verifícalo). Encuentra la solución al problema si agregamos la condición inicial $y(0)=1$.

¿Cuál es el orden de las siguientes ecuaciones diferenciales? ¿Son lineales o no?

  • $3ty+y^{2}+(t^{2}+ty)\frac{dy}{dt}=0$.
  • $\alpha t\frac{d^{5}y}{dt}+\sin(t)\frac{d^{2}y}{dt}-\frac{dy}{dt}+t^{5}y=t$.
  • $\cos(t^{2})-y'{}'{}’+37e^{t}y'{}’+y’-\cosh(y)=100e^{\cos(t^{3})}$.

Más adelante

En la próxima entrada analizaremos un poco de la geometría de soluciones de una ecuación de primer orden mediante algunas técnicas bastante sencillas.

Primero veremos cómo asociar un campo de pendientes a una ecuación, y conoceremos cuál es la relación que tiene este campo con las soluciones a la ecuación. Posteriormente veremos el método de las isóclinas para encontrar el campo de pendientes asociado a una ecuación y sus soluciones en el plano $t-y$.

¡No se los pierdan!

Entradas relacionadas

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»